ΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ Σ ΝΕΟ & ΠΛΙΟ ΣΥΣΤΗΜ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΝΕΛΛΔΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ Γ ΤΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΟΥ ΛΥΕΙΟΥ Ι ΕΠΛ (ΟΜΔ Β ) ΠΡΣΕΥΗ 20 ΜΪΟΥ 2016 ΕΞΕΤΖΟΜΕΝΟ ΜΘΗΜ: ΜΘΗΜΤΙ Ι ΣΤΟΙΧΕΙ ΣΤΤΙΣΤΙΗΣ ΓΕΝΙΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ(4) ΘΕΜ 1. ν A και A είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές τους ισχύει: P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7 2. Να δώσετε τον ορισμό της διαμέσου (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων. Μονάδες 4 3. Έστω f μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x0 A ; Μονάδες 4 4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) ν και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Β, τότε για τις πιθανότητές τους ισχύει P(A) P(Β). β) Ο σταθμισμένος αριθμητικός μέσος ή σταθμικός μέσος είναι μέτρο διασποράς. γ) ν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες, τότε ισχύει ότι: (f(x) g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x). δ) Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής μεταβλητής. ε) ν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f(x) > 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. Μονάδες 10 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ Σ ΝΕΟ & ΠΛΙΟ ΣΥΣΤΗΜ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜ Β Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 3 x 5 2 f(x) = x + 6x 1, x. 3 2 Β1. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f. Μονάδες 9 Β2. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της A(0,f(0)). Μονάδες 8 Β3. Να υπολογίσετε το όριο ΘΕΜ Γ f(x) 12 lim x -1 x + 1. Μονάδες 8 Μεταξύ των οικογενειών με τρία παιδιά επιλέγουμε τυχαία μία οικογένεια και εξετάζουμε τα παιδιά της ως προς το φύλο και ως προς τη σειρά γέννησής τους. Γ1. Να προσδιορίσετε το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος χρησιμοποιώντας ένα δενδροδιάγραμμα. Μονάδες 4 Γ2. Να παρασταθούν με αναγραφή των στοιχείων τους τα ενδεχόμενα που προσδιορίζονται από την αντίστοιχη ιδιότητα: A: «τo πρώτο παιδί είναι κορίτσι» Β: «ο αριθμός των κοριτσιών υπερβαίνει τον αριθμό των αγοριών» Γ: «τα δύο πρώτα παιδιά είναι του ίδιου φύλου». Μονάδες 6 Γ3. Υποθέτουμε ότι ο δειγματικός χώρος Ω αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. α) Να υπολογίσετε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων:, Δ = A B Ε = A B, Ζ= Γ Ε. (μονάδες 9 ) β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων: Η: «δεν πραγματοποιείται κανένα από τα,β» Θ: «πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα,β». (μονάδες 6 ) Μονάδες 15 ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ Σ ΝΕΟ & ΠΛΙΟ ΣΥΣΤΗΜ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜ Δ Οι χρόνοι (σε λεπτά) που χρειάστηκαν ν υπολογιστές για να τρέξουν ένα πρόγραμμα, έχουν ομαδοποιηθεί σε 4 ισοπλατείς κλάσεις πλάτους c, όπως στον παρακάτω πίνακα: Χρόνος (σε λεπτά) εντρική Τιμή x i Συχνότητα ν i [8, ) 20 [, ) 14 15 [, ) 10 [, ) ν 4 ΣΥΝΟΛΟ ν=... Δ1. Να αποδείξετε ότι c= 4. Μονάδες 4 Δ2. ν η μέση τιμή των χρόνων είναι x= 14, να αποδείξετε ότι ν 4 = 5 (μονάδες 4) και στη συνέχεια να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίνακα κατάλληλα συμπληρωμένο (μονάδες 2). Μονάδες 6 Δ3. ν οι παρατηρήσεις είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες σε κάθε κλάση, να βρείτε πόσοι υπολογιστές χρειάστηκαν τουλάχιστον 9 λεπτά για να τρέξουν το πρόγραμμα. Μονάδες 5 Δ4. Να αποδείξετε ότι η τυπική απόκλιση των χρόνων είναι s=4 και να εξετάσετε αν το δείγμα των χρόνων είναι ομοιογενές. Μονάδες 6 Δ5. ντικαθιστούμε τον επεξεργαστή κάθε υπολογιστή με έναν ταχύτερο και βρίσκουμε ότι κάθε υπολογιστής τρέχει τώρα το πρόγραμμα στο 80% του χρόνου που χρειαζόταν πριν. Να εξετάσετε ως προς την ομοιογένεια το καινούργιο δείγμα χρόνων. Μονάδες 4 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ Σ ΝΕΟ & ΠΛΙΟ ΣΥΣΤΗΜ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους) 1. Στο εξώφυλλο να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνωπάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά σας στοιχεία. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας. 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. ατά την αποχώρησή σας, να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. 4. άθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 10.30 π.μ. ΣΣ ΕΥΧΟΜΣΤΕ KΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΜΘΗΜΤΙ ΓΕΝΙΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤ ΘΕΜΤ ΕΞΕΤΣΕΩΝ 2016 ΘΕΜ 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150-151 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 87 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 14 4. ) Σωστό Β) Λάθος Γ) Σωστό Δ) Σωστό Ε) Λάθος ΘΕΜ Β Β1. f(x) = x3 3 5 2 x2 + 6x 1, xεr. H f ειναι παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική με f (x) = x 2 5x + 6 f (x) = 0 x = 2 ή x = 3
x - 2 3 + f (x) + + f γν. αύξουσα γν. φθίνουσα γν. αύξουσα Η f είναι γνησίως αύξουσα για xε(, 2] Η f είναι γνησίως φθίνουσα για xε[2,3] Η f είναι γνησίως αύξουσα για xε[3, + ) Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για x = 2 το f(2) = 11 3 Η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για x = 3 το f(3) = 7 2 Β2. f(0) = 1 f (0) = 6 Έστω ε: y = αx + β η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο (0, 1). Τότε a = f (0) = 6 άρα ε: y = 6x + β και (0, 1) ε ε 1 = 6 0 + β Άρα ε: y = 6x 1 Β3. f (x) 12 x 2 5x + 6 12 x 2 5x 6 (x + 1)(x 6) lim = lim = lim = lim x 1 x + 1 x 1 x + 1 x 1 x + 1 x 1 x + 1 = 7
ΘΕΜ Γ Γ1. ρχή Ω = {,,,,,,, } Γ2. = {,,, } Β = {,,, } Γ = {,,, } Γ3. (α) Δ = Β = {,, } Ρ(Δ) = Ν( Β) Ν(Ω) = 3 8 Ε = Β = {,,,, } Ρ(Ε) = Ν(Ε) Ν(Ω) = 5 8 Ζ = Γ Ε = {, } Ρ(Ζ) = Ν(Γ Ε) Ν(Ω) = 2 8 = 1 4
(β) Ρ(Η) = Ρ( ( Β) ) = Ρ(Ε ) = 1 Ρ(Ε) = 3 8 Ρ(Θ) = Ρ( (-Β) (Β-) ) = Ρ(-Β) + Ρ(Β-) = 1 8 + 1 8 = 1 4, σύμφωνα με τον απλό προσθετικό νόμο αφού (-Β) (Β-)=, αφού -Β = {} με Ρ(-Β) = Ν( Β) Ν(Ω) Β- = {} με Ρ(Β-) = Ν(Β ) Ν(Ω) = 1 8 = 1 8 ΘΕΜ Δ Δ1. Χρόνος (σε λεπτά) εντρική τιμή xi Συχνότητα vi [8, 8+c) 20 [8+c, 8+2c) 14 15 [8+2c, 8+3c) 10 [8+3c, 8+4c) v4 Σύνολο v = 8 + c + 8 + 2c 2 = 14 16 + 3c = 28 3c = 12 c = 4
Δ2. Χρόνος (σε λεπτά) εντρική τιμή xi Συχνότητα vi [8, 12) 10 20 [12, 16) 14 15 [16, 20) 18 10 [20, 24) 22 v4 4 x = 1 v x iv i i=1 14 = x 1v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 + x 4 v 4 v 14 = 200 + 210 + 180 + 22v 4 v 14ν = 590 + 22ν 4 7ν = 295 + 11ν 4 7ν 11ν 4 = 295 (1) Επιπλέον ν 1 + ν 2 + ν 3 + ν 4 = ν 45 + ν 4 = ν (2) (1)και (2): 7(45 + ν 4 ) 11ν 4 = 295 315 + 7ν 4 11ν 4 = 295 4ν 4 = 20 ν 4 = 5 Δ3. Χρόνος (σε λεπτά) εντρική τιμή xi Συχνότητα vi [8, 12) 10 20 [12, 16) 14 15 [16, 20) 18 10 [20, 24) 22 5 Σύνολο 50
τρόπος: Η κατανομή των παρατηρήσεων στην κλάση [8,12] θεωρείται ομοιόμορφη. Άρα 20 12 8 = 20 12 9 x 4 = 20 3 x x = 15 8 9 12 X Τουλάχιστον 9 και κάτω από 12 λεπτά χρειάστηκαν 15 υπολογιστές. Τουλάχιστον 12 και κάτω από 24 λεπτά χρειάστηκαν 15 + 10 + 5 = 30 υπολογιστές. Άρα τουλάχιστον 9 λεπτά χρειάστηκαν 15 + 30 = 45 υπολογιστές. Β τρόπος: Η κατανομή των παρατηρήσεων στην κλάση [8,12) θεωρείται ομοιόμορφη. άτω από 9 λεπτά χρειάστηκαν 1 20 = 5 υπολογιστές. 4 Άρα οι ζητούμενοι υπολογιστές είναι 50 5 = 45 υπολογιστές. Δ4. 4 s 2 = 1 50 (x i x ) 2 ν i = i=1 = (10 14)2 20 + (14 14) 2 15 + (18 14) 2 10 + (22 14) 2 5 50 Άρα s = s 2 = 4 = 320 + 0 + 160 + 320 50 = 800 50 = 16. = CV = s x = 4 14 > 1,4 14 = 0,1 Άρα το δείγμα δεν είναι ομοιογενές.
Δ5. y i = 0,8x i Άρα y = 0,8 x = 0,8 14 = 11.2 s y = 0,8 s x = 0,8 s x = 0,8 4 = 3,2 CV y = s y y = 3,2 11,2 > 1,12 = 0,1 άρα το δείγμα δεν είναι ομοιογενές. 11,2 Επιμέλεια αθηγητών Φροντιστηρίων Βακάλη