ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Κατευθυνόµενη Παράγωγος Ορισµός Έστω a είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα µοναδιαίο διάνυσµα του χώρου ), E είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του, : E και P E Αν υπάρχει το όριο lim t P t a P ( + ) t και ισούται µε ένα αριθµό λ, τότε λέµε ότι υπάρχει η παράγωγος της στο Ρ κατά την κατεύθυνση του διανύσµατος a, συµβολικά: Παρατηρήσεις: λ a = ( P ) ή λ = ή a P λ = D P a H κατευθυνόµενη παράγωγος a ( P ) (όταν αυτή υπάρχει) ισούται µε την κλίση της εφαπτόµενης ευθείας της καµπύλης του + χώρου µε παραµετρική εξίσωση στο σηµείο της P, ( P ) c: r( t) = P + t a+ ( P + ta) e + ( ), η οποία (καµπύλη) προκύπτει ως τοµή της γραφικής παράστασης της µε το επίπεδο Π που διέρχεται από το P και είναι παράλληλο προς τα διανύσµατα a = ( a,, a,) και e + = (,,,) ηλαδή = εφφ P a, όπου φ είναι η γωνία µεταξύ των διανυσµάτων a = ( a,, a,) και του εφαπτόµενου διανύσµατος (,,, ( )) + c στο σηµείο P, ( P ) του χώρου t P ta ( ) a a ϕ της καµπύλης ϕ = + Σηµειώνουµε ότι η φ µετράται επί του επιπέδου Π, όπου ( ) 47
Αν ( P ) > a (ή ( P ) < a ) τότε οι τιµές P αυξάνουν (ή µειώνονται) όσο κινούµαστε από (ή προς) το P κατά την κατεύθυνση του a Προφανώς (θέτουµε στον ορισµό = t) ( P ) = P a a Iσχύουν οι γνωστοί κανόνες παραγώγισης, πχ ( λ ± µ g) g ( P) = λ ( P) ± µ ( P), λ, µ a a a ( g) g ( P) = ( P) g( P) + ( P) ( P), κλπ a a a a συνεχής πάνω στην ευθεία ε που διέρχεται από το a παράλληλη στο διάνυσµα a (άµεση συνέπεια του ορισµού) Αν υπάρχει η κατευθυνόµενη παράγωγος ( P ), τότε η είναι P και είναι Ο ορισµός της παραγώγου κατά κατεύθυνση µπορεί να επεκταθεί ώστε να περιλάβει και τις τιµές ± Μερικές Παράγωγοι Εστω Ε είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του Καλούµε µερικές παραγώγους µιας συνάρτησης : E να είναι όλες οι παράγωγοι της πάνω στις κατευθύνσεις των µοναδιαίων διανυσµάτων της,, e e του συνήθους κανονικής βάσης { } Στο εξής θα εργασθούµε για ευκολία µε την περίπτωση συναρτήσεων δύο µεταβλητών : E Τα αποτελέσµατα γενικεύονται και για συναρτήσεις περισσοτέρων των δύο µεταβλητών Ορισµός Εστω Ε είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του, : E και P = (, ) E Καλούµε µερική παράγωγο της ως προς τη µεταβλητή στο σηµείο P, το όριο (εάν υπάρχει) lim h ( +, ) (, ) h h = λ, 48
συµβολικά ( P) = (, ), ή πιο απλά ( P ) Οµοίως, καλούµε µερική παράγωγο της ως προς τη µεταβλητή στο σηµείο P, το όριο (αν υπάρχει) ( ), = lim (, + ) (, ) h h συµβολικά ( P) = (, ), ή πιο απλά ( ) επεκτείνονται και στην περίπτωση που ( P ) = ± (ή h, P Οι ορισµοί P =± ) Παρατηρήσεις: Ο ορισµός προκύπτει άµεσα από τον ορισµό της κατευθυνόµενης παραγώγου Πράγµατι: και P = P, e = (,), e P = P, e = (,) e Πρακτικά για να υπολογίσουµε τις µερικές παραγώγους της κρατάµε κάθε φορά σταθερές όλες τις ανεξάρτητες µεταβλητές εκτός από µία και παραγωγίζουµε την ως προς αυτή τη µεταβλητή Αν όµως η συνάρτηση αλλάζει τύπο εκατέρωθεν του Ρ τότε αναγκαστικά υπολογίζουµε τις µερικές παραγώγους στο Ρ (αν υπάρχουν) µέσω του ορισµού Παράδειγµα Υπολογίστε τις µερικές παραγώγους των συναρτήσεων: 49
(, ) = +, g= e ( + + ) (, ), h(,, z) =, ( > ) ηµ z Λύση (α) =, = (β) g e ( ) = + + + e + +, g = e + + (γ) ηµ z ηµ z h ηµ z =, ηµ z ηµ z h ηµ z =, z ηµ z l( ) ηµ z h = e = συν z z Παράδειγµα Υπολογίστε τις µερικές παραγώγους της συνάρτησης:, (, ) (,) (, ) = + (, ) = (,) Λύση Αν (, ) (,), τότε υπολογίζουµε τις µερικές παραγώγους της µε χρήση των γνωστών κανόνων παραγώγισης και παίρνουµε: ( + ) ( ) + ( + ) ( + ) = = ( + ) ( + ) + = = Αν (, ) = (,) υπολογίζουµε τις µερικές παραγώγους µε χρήση του ορισµού ( + h) ( + h,) (,) ( + h) + (,) = lim = lim = lim =+ h h h h h h ( + h) (, + h) (,) + ( + h), = lim = lim = lim = h h h h h h Θεώρηµα Εστω Ε είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του, : E και P Ε Αν σε κάποια περιοχή π ε ( P ) E του σηµείου P υπάρχουν 5
όλες οι µερικές παράγωγοι της συνάρτησης και είναι φραγµένες, τότε η είναι συνεχής στο P Απόδειξη Για ευκολία θα δείξουµε το Θεώρηµα για = Έστω, P E P =, Τότε:, όπου π ε (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) + Εφαρµόζουµε το θεώρηµα µέσης τιµής για συναρτήσεις µιας µεταβλητής δηλαδή θεωρούµε = σταθερά (, ) (, ) = ( *, ) ( ) = σταθερά (, ) (, ) = (, * ) ( ) για κάποιο * (, ) ή στο (, ) και * (, ) ή στο (, ) (, ) (, ) ( *, ) (, *) + άρα η είναι συνεχής στο P οπότε: M + M, (, ) (, ) Παρατήρηση Εάν απλά υπάρχουν οι µερικές παράγωγοι της σε κάποια περιοχή π ε ( P ) E χωρίς να είναι φραγµένες, τότε το παραπάνω συµπέρασµα δεν ισχύει πάντα Για παράδειγµα η συνάρτηση (, ),,, = +, =, έχει µη φραγµένες µερικές παραγώγους στο P = (,) και δεν είναι συνεχής στο P Ορισµός 3 Aν υπάρχουν όλες οι µερικές παράγωγοι της σε σηµείο Ρ και είναι πεπερασµένες τότε λέµε ότι η είναι µερικώς παραγωγίσιµη στο Ρ Ορισµός 4 Αν η είναι µερικώς παραγωγίσιµη στο Ρ, τότε ορίζουµε το διάνυσµα κλίσης της στο Ρ, συµβολικά grad ( P ) (ή ( P ) ) ως εξής: 5
3 ιαφορισιµότητα,, grad P = P = P P Από το ιαφορικό Λογισµό συναρτήσεων µιας µεταβλητής : E είναι γνωστό ότι αν η είναι παραγωγίσιµη σε σηµείο E µε πεπερασµένη παράγωγο, τότε: ή ισοδύναµα: δηλαδή: ( ) = lim ( ) lim =, ( ) lim =, Εµπνεόµενοι από την παραπάνω σχέση δίνουµε κατ αναλογία τον εξής: Ορισµός 5 Eστω E είναι ανοικτό υποσύνολο του, : E και P E Θα λέµε ότι η είναι παραγωγίσιµη (ή διαφορίσιµη) στο P αν υπάρχει ένας πίνακας γραµµή διάστασης τον οποίο καλούµε (ολική) παράγωγο της συνάρτησης στο P, συµβολικά ( P ) (ή D ( P ) ), έτσι ώστε: ( ) P P P P P lim = P P PP Σηµειώνουµε ότι µε την πράξη ( P ) ( P P ) εννοούµε γινόµενο πινάκων, οπότε το P P θεωρείται ως πίνακας στήλη Θεώρηµα Eστω E είναι ανοικτό υποσύνολο του, : E και P E Εάν η είναι διαφορίσιµη στο σηµείο P, τότε: a (α) H είναι παραγωγίσιµη προς κάθε κατεύθυνση a = και a 5
( P) = ( P) a a (β) Ο πίνακας γραµµή ( P ) είναι µοναδικός και ισούται µε ( P) = D ( P) = ( P) ( P) (γ) Για κάθε κατεύθυνση a ισχύει ( P ) grad ( P ) a Απόδειξη (α) Εστω ότι η είναι διαφορίσιµη στο P Εκλέγουµε µία a τυχαία κατεύθυνση a = και θέτουµε P= P + ta Τότε από τον a ορισµό έχουµε: ( P + ta) ( P) ( P) ta lim = και επειδή a = t t a (αφού το a είναι κατεύθυνση) παίρνουµε: ή ισοδύναµα ( P + ta) ( P) lim ( P ) a =, t t ( P) ( P) a =, a δηλαδή P = ( P) a a = Υπενθυµίζουµε ότι (β) Εστω P [ b b ] ( ) a P = ( P) a 53
όπως δείξαµε παραπάνω Αν πάρουµε a = e i για κάθε i=,, τότε η παραπάνω ισότητα γίνεται ( P ) = bi e, δηλαδή i ( P) = [ b b ] = ( P) ( P) Αν υπήρχε πίνακας [ ] C = c c ( P ) ώστε να ισχύει P P C ( P P) lim = P P PP τότε εργαζόµενοι όπως παραπάνω θα παίρναµε ( P ) a = e i e θα είχαµε ( P ) i = c i a, άτοπο διότι υποθέσαµε ότι = C a, οπότε για (c) Eχουµε: [ ] C = c,, c ( P ) a ( P ) = grad ( P ) a grad ( P ) a = grad ( P ) Cauch Schwarz Παρατηρήσεις: (α) Εστω ότι η είναι διαφορίσιµη σε σηµείο P Αφού σε κάθε πίνακα γραµµή [ a a ] αντιστοιχεί µοναδικό διάνυσµα a= ( a,, a ), στο εξής χωρίς βλάβη της γενικότητας θα µπορούµε να θεωρούµε την παράγωγο ( P ) είτε ως πίνακας-γραµµή ( P) ( P ) ( P ), = = Με αυτή τη γραφή στην ουσία ταυτίζουµε την παράγωγο της στο P µε το διάνυσµα κλίσης της στο P (βλέπε ορισµό 4), δηλαδή είτε ως διάνυσµα ( P) ( P ),, ( P ) P = ( P) πάντα υπό την προϋπόθεση διαφορισιµότητας για την 54
(β) Αν η είναι διαφορίσιµη σε σηµείο P, τότε υπάρχει µοναδικό εφαπτόµενο υπερεπίπεδο στη γραφική παράσταση της στο σηµείο ( P, ( P )) που προσεγγίζει τις τιµές της σε µια περιοχή του σηµείου P Με άλλα λόγια υπάρχουν οι εφαπτόµενες ευθείες στη γραφική παράσταση της στο ( P, ( P )) ως προς κάθε κατεύθυνση και ανήκουν στο ίδιο επίπεδο, το οποίο καλούµε εφαπτόµενο υπερεπίπεδο της στο ( P, ( P )) Αν P = ( ρ,, ρ ) και P= (,, ) είναι τυχαίο σηµείο του, τότε κάθε σηµείο (,,, z ) του εφαπτόµενου υπερεπιπέδου στο σηµείο ( P, ( P )) ικανοποιεί την εξίσωση z = P + ( P) ( P P) ( ρ ) ( ρ ) = ( P) + P + + P (γ) Το Θεώρηµα (γ) υπονοεί ότι η κλίση της εφαπτόµενης ευθείας της γραφικής παράστασης της στο ( P, ( P )) κατά µία κατεύθυνση a παίρνει τη µέγιστη τιµή της στην κατεύθυνση του grad ( P ) και την ελάχιστη τιµή της στην κατεύθυνση του grad ( P ) (δ) Σηµειώνουµε ότι αν µια συνάρτηση είναι διαφορίσιµη σε κάθε σηµείο ανοικτού συνόλου Ε τότε θα λέµε ότι η είναι διαφορίσιµη στο Ε (ε) Αν, g: E είναι διαφορίσιµες στο Ε τότε ισχύουν οι γνωστοί κανόνες παραγώγισης: a ± b g P = a P ± b g P P E a b = + ( P) g( P) ( P) g ( P) =, g( P) g g ( P),,, ( g) ( P) ( P) g( P) ( P) g ( P) P Είδαµε παραπάνω ότι η ύπαρξη µόνον των µερικών παραγώγων µιας συνάρτησης σ ένα σηµείο P δεν εγγυάται τη συνέχεια της στο P (βλέπε Θεώρηµα ) Η διαφορισιµότητα όµως της σε σηµείο P διασφαλίζει τη συνέχεια της στο P Θεώρηµα 3 Αν είναι διαφορίσιµη στο P, τότε η είναι συνεχής στο P 55
Απόδειξη Αφού η είναι διαφορίσιµη στο P υπάρχει µια περιοχή του ( P) ( P) ( P) ( P P) P, έστω π δ ( P ), όπου η συνάρτηση PP είναι φραγµένη από κάποιο θετικό αριθµό L, δηλαδή: Aρα: P P P ( P P) < L P π δ ( P ) PP P P P ( P P) < L PP L PP + P ( P P ) < P P < L PP + P ( P P ) Aπό την ανισότητα Cauch-Schwartz έχουµε οπότε παίρνουµε P P P P PP, P P < L PP + P PP και επειδή PP όταν P P παίρνουµε το ζητούµενο Το αντίστροφο Θεωρήµατος 3 δεν ισχύει Ισχύει όµως το ακόλουθο πολύ χρήσιµο: Θεώρηµα 4 Αν υπάρχουν όλες οι µερικές παράγωγοι της και είναι συνεχείς σε κάποια περιοχή π ε ( P ) του σηµείου P, τότε η είναι διαφορίσιµη στο P Θεώρηµα 5 (Μέσης τιµής) Αν η : E είναι διαφορίσιµη επί κυρτού τόπου Ε, τότε για οποιαδήποτε σηµεία P, P E υπάρχει * σηµείο P πάνω στο ευθύγραµµο τµήµα που ορίζουν τα P, P έτσι ώστε 4 Κανόνας αλυσίδας ( P) ( P) = ( P ) ( P P) * Θεώρηµα 6 Εστω E, U k : E U : ( P) = ( P),, m ( P) G: U : G( Q) = g Q,, g Q 56 m είναι ανοικτά σύνολα και ( k ) F F,
είναι δύο διανυσµατικές συναρτήσεις Αν F, G είναι διαφορίσιµες στα σηµεία P και Q= F( P) αντιστοίχως, τότε η σύνθετη συνάρτηση ( ) k H= GF: E : GF( P) = G F P είναι επίσης διαφορίσιµη στο P και ισχύει G F ( P) = G F P F ( P) () Aν P= ( ) και Q ( ),, =,, m, τότε λαµβάνοντας υπόψην ότι και j( P) F ( P) = i m gl ( Q) G ( Q) = j k m (j=,,m, i=,,) (l=,,k, j=,,m), από τη σχέση () µε χρήση του γινοµένου πινάκων προκύπτει ότι ( Q) m h g j ( P) l P l =, i j= j i (,, k ) όπου H( P) G F( P) h ( P) h ( P) = = 5 Μερικές Παράγωγοι ανώτερης τάξης Ορισµός 7 Έστω E ανοικτό υποσύνολο του P E Αν υπάρχει η µερική παράγωγος, : E και ( P), k,, km k m k, k τότε αυτή καλείται µερική παράγωγος m-τάξεως της στο P και συµβολίζεται µε m ( P ) ή k P k m k k k m 57
m Η γραφή ( P ) k k k m υπονοεί ότι η παραγώγιση γίνεται πρώτα ως προς k, µετά ως προς k και τέλος ως προς k m Οµοίως η γραφή k P k m υπονοεί ότι η παραγώγιση γίνεται πρώτα ως προς k, µετά ως προς k και τέλος ως προς k Αν k = k = = k λ γράφουµε λ k αντί να γράφουµε k k k Παράδειγµα 3 Eστω m (,, z) z 3z 4 = + Υπολογίστε τη µερική παράγωγο ης τάξης και τη µερική παράγωγο 3 ης τάξης 4 Απάντηση = = z + 3z = z z 3 3 = = ( + z ) = = z z Προσοχή: Eάν αλλάξουµε τη σειρά της παραγώγισης τότε µπορεί να αλλάξει το αποτέλεσµα Για παράδειγµα δεν ισχύει πάντα = Ισχύει όµως το ακόλουθο βασικό: Θεώρηµα 7 Aν : E έχει συνεχείς µερικές παραγώγους µέχρι k-τάξης ( k ) σε ανοικτό σύνολο E, τότε οποιαδήποτε αλλαγή στη σειρά της παραγώγισης (µέχρι k-τάξης) δεν αλλάζει το αποτέλεσµα Παρατήρηση: Μία συνάρτηση : E που έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης σε ανοικτό σύνολο Ε και ικανοποιεί την εξίσωση ( P) + + ( P) =, P E καλείται αρµονική συνάρτηση Οι αρµονικές συναρτήσεις έχουν πολύ σηµαντικές ιδιότητες, πχ είναι αναλυτικές, παίρνουν µέγιστο και ελάχιστο πάνω στο σύνορο του Ε κλπ Πολλές φορές χρησιµοποιούµε τους συµβολισµούς 3 = + + ή = + + 58
για τον γραµµικό τελεστή του Laplace ή αλλιώς Λαπλασιανή Ετσι η παραπάνω ισότητα γράφεται ως = ή = 6 ιαφορικά πρώτης και ανώτερης τάξης Ορισµός 8 Εστω P = ( ρ ρ ), P ( ) =,, και είναι διαφορί-,, σιµη στο P Η ποσότητα ρ dp ( P) = ( P ) dp = ( P) ( P P) = P P ρ ρ d P = P ( ) + + P ( ρ ) P καλείται διαφορικό ης τάξης της στο σηµείο P Γεωµετρική ερµηνεία του διαφορικού: Είπαµε παραπάνω ότι η εξίσωση + του εφαπτόµενου υπερεπιπέδου στο σηµείο ( P, ( P ) ) του χώρου δίνεται από τη σχέση Αν ( P, ( P) ) P z = P = P + P P P = P + d ( P) είναι οποιοδήποτε σηµείο ΠΑΝΩ στο εφαπτόµενο υπερεπίπεδο της στο (, ) έχουµε P P τότε από την παραπάνω ισότητα d ( P) = ( P) ( P ) P Εφόσον ( P) ( P ) όταν P P (βλέπε ορισµό 5), και P = P P έχουµε χρησιµοποιώντας το συµβολισµό P P P d P P για P «κοντά» στο dp P µετρά το σφάλµα που προκύπτει αν προσεγγίσουµε το γράφηµα της σε µία περιοχή του P, ( P ) Με P, δηλαδή η ποσότητα σηµείου Ρ από το εφαπτόµενο επίπεδό της στο σηµείο ( ) άλλα λόγια η ποσότητα d σε µια περιοχή του Ρ P P είναι ένα µέτρο της γραµµικότητας της 59
Ας υποθέσουµε τώρα ότι dp παραµένει σταθερό για οποιαδήποτε ζεύγη σηµείων Τότε η έκφραση d ( P) = ( P) dp είναι µια συνάρτηση πολλών µεταβλητών Eστω ότι η έχει συνεχείς µερικές παραγώγους µέχρι k-τάξης στο πεδίο ορισµού της Tότε µπορούµε να ορίσουµε το διαφορικό ης τάξης της συνάρτησης d ( P ) ως 6 d P = d d P και το διαφορικό αυτό καλούµε διαφορικό ης τάξης της στο P Για ευκολία θα εργασθούµε για συναρτήσεις δύο µεταβλητών Τα αποτελέσµατα γενικεύονται και για συναρτήσεις περισσοτέρων µεταβλητών Εφόσον dp = d, d = σταθερό, προφανώς οι ποσότητες d και d είναι σταθερές, οπότε = = ( ) = d( d+ d) d ( P) d d ( P) d ( P) dp = ( d + d) d + ( d + d) d = d + dd + dd + d = d + dd + d Η τελευταία ισότητα θυµίζει ανάπτυγµα τέλειου τετραγώνου και γι αυτό γράφουµε «συµβατικά» () d ( P) ( P) d ( P) d = + Συνεχίζοντας µε τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται ότι το διαφορικό k-τάξης της δίνεται από τη σχέση Παρατηρήσεις: ( k ) k d ( P) = ( P) d+ ( P) d () Υπενθυµίζουµε τον τύπο του διωνυµικού αναπτύγµατος Newto
a+ b = a b k= k k k βάσει του οποίου αναπτύσσεται η () µε τη σύµβαση ότι αντί για δύναµη θα εννοούµε παραγώγιση ηλαδή ( ( P) d+ ( P) d) = k k P d d k k k k= k Αν dp ( d, d) = δεν είναι σταθερό, τότε d d d d d d d ( P ) = ( + ) + ( + ) = d + d + dd + dd + d + d () = d+ d + d + d Ας θεωρήσουµε τώρα µια συνάρτηση δυο µεταβλητών της µορφής Pd (, ) + Qd (, ) (3) Ένα βασικό ερώτηµα είναι, πότε η (3) είναι διαφορικό ης τάξης (ή ολικό διαφορικό) κάποιας συνάρτησης : E Ισχύει το Θεώρηµα 8 Εστω Ε είναι κυρτός τόπος του και οι συναρτήσεις PQ, : E έχουν συνεχείς µερικές παραγώγους στο Ε Τότε η συνάρτηση Pd (, ) + Qd (, ) είναι διαφορικό µιας συνάρτησης : E αν και µόνον αν για κάθε σηµείο του Ε ισχύει Τότε: P, = Q P E (, ) (,), = Pt dt + Qtdt όπου (, ) Ε και (, ) είναι οποιοδήποτε πλην όµως σταθεροποιηµένο σηµείο του πεδίου( PQ, ) είναι τυχαίο σηµείο του Ε Η καλείται δυναµικό του 6
Aπόδειξη Εστω ότι η = P (, ) d+ Q (, ) d είναι διαφορίσιµη συνάρτηση Τότε = d+ d, συνεπώς = P = P P = Q = Q = Q = Αντίστροφα έστω ότι ισχύει η ισότητα P = Q, όπου οι PQ, : E έχουν συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης στο Ε Αφού ο τόπος είναι κυρτός µπορούµε να υποθέσουµε ότι (, ) (,), = Pt dt + Qtdt όπου (, ) είναι σταθεροποιηµένο Τότε: Q(, ) t 6 = Επίσης: = P, + Q (,) t dt = P, + P (,) t dt = P, + P, P, = P, Aρα υπάρχει = P d+ Q d= d+ d η οποία είναι και διαφορίσιµη εφόσον έχει συνεχείς µερικές παραγώγους στο Ε Το Θεώρηµα 8 µπορεί να επεκταθεί και σε συναρτήσεις τριών µεταβλητών ως εξής: 3 Θεώρηµα 9 Εστω ότι οι συναρτήσεις PQR,, : E έχουν συνεχείς µερικές παραγώγους σε κυρτό τόπο Ε Τότε η συνάρτηση Pzd (,, ) + Qzd (,, ) + Rzdz (,, ) είναι διαφορικό µιας 3 συνάρτησης : E αν και µόνον αν για κάθε σηµείο του Ε ισχύει P = Q και Pz = R και Qz = R Τότε: z = P( t,, z) dt + Q(, t, z) dt + R(,, t) dt όπου (,, ) του Ε και (,, ) z, z είναι οποιοδήποτε πλην όµως σταθεροποιηµένο σηµείο z είναι τυχαίο σηµείο του Ε ΠΡΟΣΟΧΗ: Tόσο το Θεώρηµα 8 όσο και το Θεώρηµα 9 µπορούν να γενικευθούν και σε απλά συνεκτικούς τόπους Τα θεωρήµατα αυτά όµως ΕΝ ισχύουν γενικά για ΜΗ ΑΠΛΑ συνεκτικούς τόπους
7 Συναρτησιακή εξάρτηση Oρισµός 9 Εστω E είναι ανοικτό υποσύνολο του Θα λέµε ότι οι συναρτήσεις i : E, i=,,m είναι συναρτησιακά εξαρτηµένες επί του Ε εάν υπάρχει µια µη σταθερή συνάρτηση Φ τέτοια ώστε Φ,, = m Σε αντίθετη περίπτωση λέµε ότι οι συναρτήσεις i είναι συναρτησιακά ανεξάρτητες Θεώρηµα Εστω m, : m, Ε ανοικτό υποσύνολο του Αν οι συναρτήσεις i : E, i=,, m έχουν συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης σε κάθε σηµείο του Ε τότε οι i είναι συναρτησιακά εξαρτηµένες αν και µόνον αν ο βαθµός του πίνακα ( P) ( P) ( P) ( P) ( P) ( P) i ( P) J( P) = = j m m( P) m( P) m( P) που καλείται Iακωβιανός πίνακας ικανοποιεί τη σχέση rak ( A) < m Στην ειδική περίπτωση όπου m=, τότε ο Iακωβιανός πίνακας είναι τετραγωνικός και η ορίζουσα αυτού καλείται Iακωβιανή ορίζουσα, συµβολικά J( P ) ή ( ) D(,, ) D,, ( P) ή ( ) (,, ),, ( P) Στην ειδική αυτή περίπτωση το Θεώρηµα αναδιατυπώνεται ως Θεώρηµα Αν οι συναρτήσεις i : E, i=,, έχουν συνεχείς µερικές παραγώγους σε κάθε σηµείο ανοικτού συνόλου Ε τότε οι i είναι συναρτησιακά εξαρτηµένες αν και µόνον J( P ) = για κάθε P E 63
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ίνεται η συνάρτηση :, όπου (, ),, = +, =, ( ) Να εξετασθεί εάν υπάρχουν οι µερικές παράγωγοι (,), (,) Είναι η συνεχής στο, ; Λύση Εστω (, ) = (,) Τότε: Οµοια: ; Είναι η διαφορίσιµη στο ( +,) (,) h (,) = lim h h 64 ( ) ( + ) hh = lim = h hh, + h, h (,) = lim = lim = h h h h( + h ) { } ως πηλίκο συνεχών (πολυωνυµι- Η είναι συνεχής στο (,) κών) συναρτήσεων Αν (, ) (,), τότε (, ) = = = (,), + άρα η είναι συνεχής στο Για να είναι η διαφορίσιµη στο σηµείο Ρ =(,) θα πρέπει να ισχύει (βάσει του ορισµού 5) P P ( P) ( P P) lim = P P PP Αν η είναι διαφορίσιµη στο Ρ =(,) θα πρέπει (βλ Θεώρηµα (α)) ( ) ( P) = ( P) = (,), (,) = (,) Εχουµε: ( P) ( P) ( P) ( P P) PP
= (, ) (, ) ( (,), (,)) (, ) (, ) (,) = (, ) (, ) (,) (, ) (, ) (,), = (, ) ( ) ( ) +,, = = + + 3 Μελετούµε το lim ( + ) (, ) (,) 3 Έστω + P=,, (βαδίζουµε στο (,) κατά µήκος της ηµιευθείας = για > ) Τότε: Έστω lim P lim, lim (, + + ) 3 = = = P + P=,, (βαδίζουµε στο (,) κατά µήκος της ευθείας = ) Τότε: / lim P = lim, = lim = lim = ( + ) ( + ) P, 3/ 3/ + + + Αρα το όριο lim ( + ) (, ) (,) 3 διαφορίσιµη στο σηµείο (, ) δεν υπάρχει και συνεπώς η δεν είναι Να δειχθεί ότι η συνάρτηση (, ) = ( e + e) κάτωθι ισότητες: ικανοποιεί τις 65
+ = και = e e Λύση Εχουµε =, = e + e e + e, άρα: Eπίσης: και e + e + = = e + e ( + ) + + e e e e e e + e e e = = = + + + e e e e e e ( + ) + e e e e e e = = + + e e e e, Απ την άλλη πλευρά έχουµε: ( + ) e e e e = = = + + + 4 e e e e e e Τελικά: + + e e = = 4 4 e + e e + e 3 Να υπολογισθεί η εξίσωση του εφαπτόµενου επιπέδου της επιφάνειας (, ) ( ) = + στο σηµείο P, ( P ) = (,, 5) Λύση Η συνάρτηση είναι πολυωνυµική, άρα διαφορίσιµη στο σηµείο P = (, ) ( έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης σε µία περιοχή του σηµείου Ρ ), συνεπώς έχει µοναδικό εφαπτόµενο επίπεδο στο σηµείο P, ( P ) =,, 5 µε εξίσωση: Αλλά 4( ) z = P + P + P = +, συνεπώς 66
και 4( ) = +, συνεπώς ( P ) = 4( ) ( ) + = ( P ) = 4 ( ) + = 4 z = 5 + + + 4 = + 4 75, δηλαδή Τελικά: 4+ z+ 75 = 4 Υπολογίστε την παράγωγο της συνάρτησης 3 (, ) = 3 + 3 + στο σηµείο P = ( 3,) κατά την a = 6,5 κατεύθυνση του διανύσµατος Λύση Η κατεύθυνση του a είναι a ( 6,5) 6 5 a = = =, a 36 + 5 6 6, = 3 + 3 + είναι: Η κλίση της συνάρτησης 3 (, ) ( 3 6 3, 3 6 ) = = + +, άρα: ( P ) = ( 39 63 + 3, 39 + 63 ) = (, 9) Τελικά µε χρήση του Θεωρήµατος (α) και λαµβάνοντας υπόψη ότι η είναι διαφορίσιµη ως πολυωνυµική παίρνουµε: 6 5 7 45 7 ( P) = ( P) a = (, 9 ), = = a 6 6 6 6 6 5 (α) Υπολογίστε την κλίση της εφαπτόµενης ευθείας του ίχνους της καµπύλης που ορίζεται ως τοµή της επιφάνειας z = / µε το επίπεδο που διέρχεται από το σηµείο P =(,,) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο Οz (β) Υπολογίστε τo ρυθµό µεταβολής της h= + z στο σηµείο P =(,,- ) κατά την κατεύθυνση του διανύσµατος a = (,, 3) Ποια είναι η κατεύθυνση πάνω στην οποία παρατηρείται η ελάχιστη τιµή της κλίσης 67
της εφαπτόµενης ευθείας στη γραφική παράσταση της h στο σηµείο (,,,3); Ποια είναι η τιµή αυτή; z = Λύση (α) Η ζητούµενη κλίση είναι η (, ) (β) O ζητούµενος ρυθµός µεταβολής είναι Μετά από πράξεις βρίσκουµε (,, ) h = a h(,, ) a = h(,, ) a a Aπό το Θεώρηµα (γ) η ελάχιστη τιµή της κλίσης παρατηρείται πάνω στην κατεύθυνση του διανύσµατος grad h(,,) = h(,,) =,, H ελάχιστη τιµή της κλίσης είναι h(,,) = + + = 6 6 Αν : : = ( + + ) δείξτε ότι = Λύση Εστω i=,, Tότε: και = i + + i ( ) ( ) i ( ) = 4 + + + + + i Αθροίζοντας παίρνουµε ( ) + + = + + + ( + + ) ( + + ) = 4 68
7 Προσεγγίστε την ποσότητα σηµείου + 885 3+ σε περιοχή κατάλληλου + Λύση Ορίζουµε τη συνάρτηση (, ) =,, > 3 + + 9 4 Παρατηρούµε ότι (9,) = =, οπότε επιλέγουµε το σηµείο 3+ 3 P = ( 9,) Σε µία µικρή περιοχή π ε ( P ) που περιέχει το σηµείο ( 885, ) (πχ θεωρούµε 5 < ε < ) είναι εύκολο να δούµε ότι η έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης διότι οι µερικές παράγωγοι = 3 ( + ) και = + ( 3 + ) είναι συνεχείς στην περιοχή π ε ( P ) ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων Αρα η είναι διαφορίσιµη στην π ε ( P ) (λόγω του Θεωρήµατος 4) και συνεπώς υπάρχει µοναδικό εφαπτόµενο επίπεδο στο σηµείο ( P, ( P ) ) το οποίο προσεγγίζει τις τιµές (P) στην περιοχή π ε ( P ) Αρα λοιπόν µπορούµε να πούµε (µε κάποιο σφάλµα που µπορεί να ελεγχθεί) ότι ( P) d ( P) P P Αρα (, ) ( 9, ) (9,) ( 9 ) (9,) ( ) + ( 885,) ( 9, ) + (9,) ( 885 9 ) + (9,) ( ) 4 4 46 + ( 5) = 3 8 9 36 8 Nα εξετασθεί αν η ( ) e d+ e + d είναι διαφορικό συνάρτησης Aν ναι, υπολογίστε όλες τις συναρτήσεις δυναµικού Λύση Εστω P (, ) = e και Q (, ) = e + Επειδή P Q = e =, P 69
από το Θεώρηµα 8 υπάρχει τέτοια συνάρτηση Mπορούµε να χρησιµοποιήσουµε απευθείας τον τύπο του Θεωρήµατος 8 (για φιξαρισµένο (, ), πχ (, ) = (,) ) διότι το πεδίο ορισµού είναι το που είναι κυρτό, είτε να εργασθούµε ως εξής: Αφού η ( ) ισχύει ed+ e + d είναι διαφορικό της θα πρέπει να = e και e = + (4) Ολοκληρώνοντας ως προς (και θεωρώντας σταθερό) παίρνουµε = e (, ) = e d+ g = e + g, όπου g : αυθαίρετη πλην όµως συνεχώς παραγωγίσιµη συνάρτηση που θα προσδιορίσουµε Από την παραπάνω ισότητα έχουµε (, ) = e + g = e + g Συνδυάζοντας µε την (4) προκύπτει ότι συνεπώς = e +, e + g = e + g = g d= ( ) d+ c g = + c 9 είξτε ότι οι συναρτήσεις = e cos z, = e si z, = e 3 είναι συναρτησιακά εξαρτηµένες και να βρεθεί η σχέση εξάρτησής τους Λύση Θα µελετήσουµε την Ιακωβιανή ορίζουσα Θεώρηµα ) Εχουµε (,, 3) (,, ) D D z (βλέπε 7
(,, ) (,, ) D ecos z ecos z esi z = esi z esi z ecosz =, ( z,, ), 3 D z e e άρα οι,, 3 είναι γραµµικά εξαρτηµένες Λόγω της ύπαρξης των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων siz και cosz στους τύπους των, υψώνοντας στο τετράγωνο εύκολα βρίσκουµε ότι + = 3 Εξετάστε αν η συνάρτηση {(,)} (, ) = + είναι αρµονική στο,,,, έχουµε { } Λύση Υπενθυµίζουµε ότι αν + = η είναι αρµονική Για κάθε, τότε και =, + = = + = = =, = = ( + ) ( + ) 3/ 3/ 3/ 3/ Αρα + = και συνεπώς η δεν είναι αρµονική Να βρεθεί το διαφορικό ης και ης τάξης της συνάρτησης (, ) = e cos Λύση Προφανώς η έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης στο Εχουµε ( ηµ ) ( ηµ ) d = d + d = e + d + e + d Συνεχίζοντας παίρνουµε: 7
() d = d + d = ( d) + dd + ( d) (βλέπε ()) Επειδή = cos, = = e + ηµ = e + cos + si, = e + cos µε αντικατάσταση στην παραπάνω ισότητα παίρνουµε το ζητούµενο ίνεται η επιφάνεια µε εξίσωση (, ) = + 4 Να βρεθεί η εξίσωση του εφαπτοµένου επιπέδου της επιφάνειας που είναι παράλληλο προς το επίπεδο + z = 4 καθώς επίσης και το σηµείο επαφής Λύση Προφανώς η είναι διαφορίσιµη σε κάθε σηµείο Ρ (έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ης τάξης), άρα υπάρχει µοναδικό εφαπτόµενο επίπεδο στη γραφική παράσταση της επιφάνειας της στο σηµείο P, ( P ) µε εξίσωση όπου P (, ) z = P + P + P = Εφόσον όµως το παραπάνω επίπεδο είναι παράλληλο µε το επίπεδο + z = 4 θα πρέπει να ισχύει Από την (5) έχουµε ( ( ) ) P P = = = λ (5) ( ) ( P) P 8 = = = = (, ) =, 8 Αρα z 5 = (, ) =, =, συνεπώς το σηµείο επαφής είναι το 8 6 5 ( P, ( P) ) = (,, z) =,, και η εξίσωση του εφαπτόµενου 8 6 επιπέδου της στο σηµείο αυτό είναι z = P + P + P 7
5 z = + ( ) + 6 8 3 είξτε ότι κάθε παραγωγίσιµη συνάρτηση : : w= ( s) όπου s = + a είναι λύση της µερικής διαφορικής εξίσωσης:, w a w = ( a σταθερά) Λύση Xρησιµοποιούµε τον κανόνα αλυσίδας Eχουµε: ( ) ( ) ( ) dw= s ds= s s d+ s d = s s d+ s s d, οπότε w = s s = s a= a s w = s s = s = s συνεπώς w a w a ( s) a ( s) = = 4 Yπολογίστε τις µερικές παραγώγους της σύνθετης συνάρτησης (, ) = e, όπου = u + v και = uv Λύση Eφαρµόζουµε τον κανόνα αλυσίδας και έχουµε d = d + d = du + dv + du + dv u v u v ( u u) ( v v) d = + du+ + dv e + u e v u = u + u = v = v + v e + v e u 73 ( u v ) + ue + uv vu = + ve uv uv u + v u + v u + v uv uv e u + v u + v u + v u v u uv uv + e
5 Aν u = (, z, z ), δείξτε ότι u + u + u = z Λύση Eστω u =, v= z, w= z Τότε έχoυµε: άρα: du = u du + v dv + w dw, u = u u + v v + w w u = u + v + w u = u u + v v + w w u = u ( ) + v + w uz u uz v vz w w = + + z uz = u + v ( ) + w Αρα u + u + u = z ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Yπολογίστε τις µερικές παραγώγους των συναρτήσεων: + + z (, ) = l εφ, g (, ) =, hz (,, ) = τοξεφ Απάντηση: =, = ηµ ηµ + + g = +, g = ( + z ), + z, h = h = h = ( ) + ( + + z) ( ) + ( + + z) ( ) + ( + + z) z ίνεται η συνάρτηση, (, ) (,) :, (, ) = + (, ) = (,) Υπολογίστε τις µερικές παραγώγους (,), (,) Eίναι η συνεχής στο ; Eίναι η διαφορίσιµη στο σηµείο (,); Υπόδειξη: Εργασθείτε όπως στη λυµένη άσκηση 74
Απάντ (,) = (,) = Η είναι συνεχής στο διαφορίσιµη στο (,) εν είναι 3 3 (α) Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης (, ) = 3+ στο σηµείο P = (,) κατά την κατεύθυνση του διανύσµατος PP, όπου P = (3,4) (β) Να βρεθεί η κλίση (στο σηµείο (,, 6) ) της εφαπτόµενης ευθείας της καµπύλης που ορίζεται ως τοµή της επιφάνειας g(, ) = 3 + + µε το επίπεδο που διέρχεται από το σηµείο (,-,) και είναι παράλληλο στο διάνυσµα e 3 = (,,) και στην εφαπτόµενη ευθεία της παραβολής = στο σηµείο (,) Yπόδειξη: Εργασθείτε όπως στη λυµένη άσκηση 5 Απάντ (α) (, ) = PP (β) Ψάχνουµε την παράγωγο της στο σηµείο (, ) κατεύθυνση του διανύσµατος a = (, 4) (γιατί αυτό;) κατά την (, ) = 6 a 7 4 Αν ( z,, ) = ( + + z), δείξτε ότι z = z = z Yπόδειξη Υπολογίστε τις µερικές παραγώγους ανώτερης τάξης 4 z 4 4, z = =, = ( + + z ) ( + + z ) ( + + z ) z z 5 Προσεγγίστε την ποσότητα 5 3 + e 398 + 3 795 3 + e Απάντ Θεωρήστε συνάρτηση (,, z) = και το σηµείο 3 + z 4787 Ρ =(4,,8) Τότε (398,5,795) 48 6 Υπολογίστε το διαφορικό ης και ης τάξης της συνάρτησης z = + ( z,, ) 75
Απάντ ( ) ( ( ) ) ( ( )( ) ) z z z d = + d + z + d + + + dz z z z ( ) ( 4 ( ) ) ( ) z ( + ) z ( ( ) ) d = + d + z + dd + + + ddz + + z ( + ) + ddz + ( z + + 4 z( z ) + )( d) + + ( + ) + ( dz) z z z 7 Εστω έχει συνεχείς µερικές παραγώγους 3 ης τάξης στο είναι αρµονική στο, δείξτε ότι η είναι αρµονική στο Αν Υπόδειξη: Εργασθείτε όπως στη λυµένη άσκηση και χρησιµοποιείστε κατάλληλα το Θεώρηµα 7 8 είξτε ότι η παράσταση ( + z) d+ ( + z) d+ ( + ) dz είναι διαφορικό µιας συνάρτησης ( z,, ) Στη συνέχεια προσδιορίστε όλες αυτές τις συναρτήσεις Υπόδειξη: είξτε ότι ισχύει το Θεώρηµα 9 και εργασθείτε όπως στη λυµένη άσκηση 8 Aπάντ ( z,, ) = + z+ z+ c 9 είξτε ότι αν : E έχει συνεχείς µερικές παραγώγους σε τόπο Ε και αν P = = P = P E, τότε ( P) = c για κάποια σταθερά c είξτε µε αντιπαράδειγµα ότι η πρόταση παύει να ισχύει αν το Ε είναι µόνον ανοικτό σύνολο Υπόδειξη: Χρησιµοποιείστε το θεώρηµα µέσης τιµής του Λογισµού Ι για καθεµιά από τις µερικές παραγώγους λαµβάνοντας υπόψην ότι σε κάθε τόπο Ε πάντα υπάρχει πολυγωνική γραµµή που ενώνει οποιαδήποτε δύο σηµεία του Ε και κείται εντός του Ε Αν : : P = OP δείξτε ότι OP OP ( P ) 3, ( ( P )), P (,,) = = ( P) ( P) Yπόδειξη: Χρησιµοποιείστε τον ορισµό του µέτρου διανύσµατος και τον ορισµό της διανύσµατος κλίσης και επαληθεύστε 76
Εάν z ( ) =, όπου η είναι παραγωγίσιµη συνάρτηση, z δείξτε ότι z + z = Yπόδειξη: Xρησιµοποιείστε τον κανόνα αλυσίδας και επαληθεύστε Αν είναι παραγωγίσιµη συνάρτηση και αν z =, δείξτε ότι z = z Yπόδειξη: Xρησιµοποιείστε τον κανόνα αλυσίδας και επαληθεύστε 3 είξτε ότι η συνάρτηση z e e = + επαληθεύει τη σχέση: z + z = z + z 3 3 4 Υπολογίστε τη Λαπλασιανή µιας συνάρτησης (, ) µε συνεχείς παραγώγους ης τάξης σε πολικές συντ/νες ηλαδή υπολογίστε την = +, όπου = ρσυνθ, = ρηµθ, k 5 είξτε ότι Απάντ = ρ + + ρ ρ ρρ θθ ( t, t) = t (, ) k + = k (, ) Τέτοιες συναρτήσεις καλούνται οµογενείς βαθµού k Yπόδειξη: " " Χρησιµοποιείστε κατάλληλα τον κανόνα αλυσίδας t u, v : u= t, v= t και παραγωγίστε τη συνάρτηση θεωρώντας ότι k ( t, t) = t (, ) ως προς t " " Θεωρήστε ότι Φ () t = ( t, t) και παραγωγίστε και τα δύο µέλη 77