Σερίφης Κωννος Α. Βσικές γνώσεις Τυτότητες ± ) ± + ± ) 3 3 ± 3 +3 ± 3 + ± ) ++γ) + +γ ++γ+γ - -)+) 3-3 -) ++ ) ν - ν -) ν- + ν- + + ν- + ν- ) 3 + 3 +) -+ ) ν + ν +) ν- - ν- + - ν- + ν- ) ΜΟΝΟ ΓΙΑ ν ΠΕΡΙΤΤΟ. + +γ --γ-γ [-) +-γ) +γ-) ] 3 + 3 +γ 3-3γ ++γ)[-) +-γ) +γ-) ] Ανισότητες. Οι θετικοί κι ντίστροφοι ριθμοί έχουν άθροισμ.: + γι κάθε >0.. Οι ρνητικοί κι ντίστροφοι ριθμοί έχουν άθροισμ -.: + γι κάθε <0. 3. Οι περιττές δυνάμεις άνισων ριθμών είνι ομοιοτρόπως άνισες: Αν, ε IR ν + ν + < < ν θετικός κέριος. Προσοχή!! Αυτό ισχύει γι τις άρτιες δυνάμεις μόνο ν, θετικοί ριθμοί) 4. Οι ντίστροφοι ομόσημων ριθμών είνι ντιστρόφως άνισοι π ότι υτοί.: Αν, θετικοί κι οι δύο ή ρνητικοί ριθμοί κι οι δύο, με < τότε > Απόλυτ - Ρίζες. Η πόλυτη τιμή ενός θετικού ριθμού χ είνι ο ίδιος ο ριθμός.. Η πόλυτη τιμή ενός ρνητικού ριθμού χ είνι ο ντίθετος ριθμός. 3. 0 γι κάθε πργμτικό ριθμό. 4. κι γι κάθε πργμτικό ριθμό 5. γι κάθε πργμτικό ριθμό 6. θ θ θ, ν θ 0 7. θ θ ή -θ, ν θ 0 8. θ θ ή - θ, ν θ 0 9. ± + γι οποιουσδήποτε πργμτικούς ριθμούς,. Η ιδιότητ υτή ισχύει κι γι μιγδικούς ριθμούς, κι γι δινύσμτ.) 0. Η πόστση δύο ριθμών πάνω σε ένν άξον είνι ίση με την πόλυτη τιμή της διφοράς τους. Αν, δύο πργμτικοί ριθμοί τότε : d, ).. ν χ ν χ,χ ε IR κι ν θετικός κέριος. ν. χ ν χ, χ θετικός ή 0 κι ν θετικός κέριος. μ ν μ ν 3. χ χ, χ θετικός ή 0 κι ν, μ θετικοί κέριοι. μ μ ν μ 4. ν ) ν χ χ χ, χ εir κι ν, μ θετικοί κέριοι.
Σερίφης Κωννος Τριώνυμο Τριώνυμο είνι κάθε πράστση που μπορεί ν πάρει τη μορφή χ +χ+γ. Ρίζες του τριωνύμου είνι οι τιμές του χ γι τις οποίες η τιμή του χ +χ+γ είνι 0. + Δ Δ Αν > 0Το τριώνυμο έχει δύο ρίζες άνισες τις, κι ποδεικνύετι ότι μπορεί ν πάρει τη μορφή: f ) + + γ ) ). Αν 0.Το τριώνυμο έχει μί διπλή ρίζ την κι ποδεικνύετι ό τι μπορεί ν πάρει τη μορφή : f ) + + γ Αν < 0.Το τριώνυμο έχει τη μορφή +. f ) Αν < 0.Το τριώνυμο έχει μιγδικές ρίζες τις Δ + + γ + + 4 + i Δ i Δ Πρόσημο τριωνύμου η περίπτωση: >0 κι > 0 Τιμές του χ - χ χ + Πρόσημο του χ +χ + ομόσημο του 0 - ετερόσημο του 0 + ομόσημο του +γ η περίπτωση: >0 κι < 0 Τιμές του χ - χ χ + Πρόσημο του χ +χ +γ 3 η περίπτωση: 0 κι > 0 - ομόσημο του 0 + ετερόσημο του 0 - ομόσημο του χ +χ+γ 0 γι κάθε πργμτικό ριθμό χ. :ομόσημο του )Μηδενίζει μόνο γι χ 4 η περίπτωση: 0 κι < 0 χ +χ+γ 0 γι κάθε πργμτικό ριθμό χ. :ομόσημο του )Μηδενίζει μόνο γι χ 5 η περίπτωση: <0 κι > 0 Το τριώνυμο δεν έχει ρίζ κι ισχύει: χ +χ+γ>0 γι κάθε πργμτικό ριθμό χ. ομόσημο του ) 6 η περίπτωση: <0 κι < 0 Το τριώνυμο δεν έχει ρίζ κι ισχύει: χ +χ+γ<0 γι κάθε πργμτικό ριθμό χ. ομόσημο του ) Προσοχή!!. Αν γι κάθε τιμή του χ : χ +χ+γ 0 τότε: <0 οπότε το τριώνυμο χ +χ+γ είνι ομόσημο του γι κάθε τιμή του χ δηλδή: χ +χ+γ)>0 γι κάθε τιμή του χ. Ισχύει χ +χ+γ 0 γι κάθε πργμτικό ριθμό χ ν κι μόνο ν ισχύει: 0 κι <0 3. Ισχύει χ +χ+γ<0 γι κάθε πργμτικό ριθμό χ ν κι μόνο ν ισχύει: <0 κι <0 4. Ισχύει χ +χ+γ 0 γι κάθε πργμτικό ριθμό χ ν κι μόνο ν ισχύει: 0 κι >0 5. Ισχύει χ +χ+γ>0 γι κάθε πργμτικό ριθμό χ ν κι μόνο ν ισχύει: <0 κι >0 6. Το τριώνυμο χ +χ+γ διτηρεί στθερό πρόσημο γι κάθε πργμτικό ριθμό χ ν κι μόνο ν ισχύει: <0.
Σερίφης Κωννος Πολυώνυμ. Πολυώνυμο είνι κάθε πράστση που μπορεί ν πάρει τη μορφή: Ρχ) ν χ ν + ν- χ ν- +.+ χ+ 0. με ν, ν-,.,, 0 στθεροί πργμτικοί ριθμοί κι χ μετλητή με τιμές πργμτικούς ριθμούς. Το πολυώνυμο Ρχ) έχει ρίζ τον ριθμό ρ ν κι μόνο ν Ρρ)0 ν κι μόνο ν έχει πράγοντ το χ-ρ δηλδή Ρχ)χ-ρ)πχ). Αν Ρχ), Qχ) δύο πολυώνυμ με Qχ) 0 τότε υπάρχουν δύο πολυώνυμ πχ) κι υχ) ώστε : Ρχ) Qχ)πχ)+υχ). Τ πολυώνυμ πχ) κι υχ) ρίσκοντι κάνοντς τη διίρεση Ρχ) : Qχ) Πρόοδοι Αριθμητική πρόοδος ονομάζετι η κολουθί ριθμών,, 3,.., ν,. στην οποί κάθε όρος προκύπτει πό τον προηγούμενο προσθέτοντς τον ίδιο ριθμό, διφορά), ω. ν ν Ισχύουν: ν +ν-)ω + + 3 +..+ ν + ν ) [ + ν ) ω] Γεωμετρική πρόοδος ονομάζετι η κολουθί ριθμών,, 3,.., ν,. στην οποί κάθε όρος προκύπτει πό τον προηγούμενο πολλπλσιάζοντς τον ίδιο μη μηδενικό ριθμό, λόγος), λ. Ισχύουν: ν λ ν- ν λ + + 3 +..+ ν λ Λογάριθμοι ν 3 εφόσον λ Ορισμός του e: ν ν lim +,78888459045353608747357 e + Η συνάρτηση e χ με χ πργμτικό ριθμό είνι γνησίως ύξουσ στο IR κι φυσικά έχει θετικές τιμές. Η συνάρτηση χ ορίζετι στο IR, εφόσον > 0. Αν 0<< είνι γνησίως φθίνουσ. Αν > είνι γνησίως ύξουσ. Αν είνι στθερή. Έχει τιμές θετικές. Ο νεπέριος λογάριθμος ln, >0 κι η ντίστροφη συνάρτηση της εκθετικής e, ε IR. lny e y, με >0 κι yεir. Η συνάρτηση ln είνι γνησίως ύξουσ στο 0, + ) κι έχει σύνολο τιμών το -, + ) IR. Κάθε πργμτικός ριθμός μπορεί ν γρφεί ως λογάριθμος: ε IR τότε: lne ln ΑΛΛΑΓΗ ΒΑΣΗΣ σε λογάριθμο: lg ln εκθέτης εκθέτη ln άσης ) ΑΛΛΑΓΗ ΒΑΣΗΣ σε εκθετική συνάρτηση : ση ) e εκδικός λογάριθμος λέγετι ο λογάριθμος που έχει άση το 0: lg y 0 y ln Αλλγή άσης: lg ln0 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ. ln0. lne 3. lne 4. e ln 5. lny)ln+lny 6. ln k kln 7. ln ln ln y y ΟΡΙΑ ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ lim ln lim ln + ομοίως κι γι τον lg. + 0 + ΟΡΙΑ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ. >: lim 0, lim +. 0<<: lim +, lim 0 + +
Σερίφης Κωννος Τριγωνομετρί Η τριγωνομετρί είνι δύο πράγμτ: Οι τύποι κι ο.. Βσικοί τριγωνομετρικοί τύποι κι ριθμοί. ημ χ+συν χ ή ημ χ -συν χ ή συν χ -ημ χ, γι κάθε χ ε IR. ημχ, συνχ, γι κάθε χ ε IR 3. ημχ π εφχ γι χ ε IR - κπ +, : κέριος συνχ κ 4. συνχ σφχ γι χ ε IR - { κπ,κ : κέριος} ημχ 5. εφχ σφχ 6. +εφ χ εφχ) +σφ χ -σφχ) Ο τόνος δηλώνει πράγωγο) 7. ημχ ημχ συνχ συνχ συν χ ημ χ - ημ χ συν χ 8. Τύποι ποτετργωνισμού : ημ χ συν χ συν χ + συν χ 9. ημχ χ εφ + εφ χ συνχ εφ χ + εφ χ εφχ χ εφ εφ χ 0. ημ ± ) ημσυν ± συνημ, συν ± )συνσυν ημημ, εφ ± ) 4 εφ ± εφ εφεφ. Νόμος ημιτόνων: Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ με R την κτίν του περιγεγρμμένου του κύκλου γ ισχύει: R ημα ημβ ημγ. Νόμος συνημιτόνων: Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν οι σχέσεις: +γ -γ συνα, +γ -γ συνβ, γ + - συνγ 3. Πολικ ές συντετγμένες σημείου Μχ, ψ) στο επίπεδο Οχψ. Αν ΟΜρ 0 κι γωνί χομ ω 0 ο ω<360 ο ) τότε: χ ρ συνω κι ψ ρ ημω συντελεστής διεύθυνσης της ΟΜ, εφόσον χ 0. 4. Πίνκς τριγωνομετρικών ριθμών: Γωνί ω 30 ο 45 ο ο 60 ημω 3 συνω 3 εφω 3 3 3 σφω 3 3 3 ψ εφω χ
Σερίφης Κωννος Γεωμετρί Έστω τ δινύσμτ κι y ), y ). Ορίζουμε:, y. det, ) y y. συν, ) + y y Ισχύουν :., y), y ) 0 + y y 0. y ), y ) det, ) 0 y y 0, y Γενική μορφή εξίσωσης ευθείς: Αχ+Βψ+Γ0 με Α ή Β 0. Ισχύουν: Η ευθεί ε): Αχ+Βψ+Γ0 είνι στο διάνυσμ δ Β, Α) κι έχει συντελεστή διεύθυνσης A λ, εφόσον Β 0. B Αχ + Β + Γ Η πόστση ενός σημείου Μχ ο, ψ ο ) πό την ε) είνι: Μ, ) ο ψ d ε ο Α + Β Το εμδό του τριγώνου ΑΒΓ με Αχ, ψ ), Βχ, ψ ), Γχ 3, ψ 3 ) είνι: ΑΒΓ) det AB, AΓ) με AB χ χ, ψ ) κι A Γ χ χ, ψ ) ψ 3 3 ψ Κύκλος είνι το σύνολο των σημείων του επιπέδου Οχψ τ οποί πέχουν στθερή πόστση ρ, κτίν του κύκλου), πό έν στθερό σημείο Κ, κέντρο του κύκλου). Αν Μχ,ψ) υτά τ σημεί κι Κχ ο, ψ ο ) τότε: χ-χ ο ) +ψ-ψ ρ ο ) εξίσωση κύκλου) Η εξίσωση του κύκλου στο μιγδικό επίπεδο είνι: z z ρ, με z ο στθερός μιγδικός ριθμός κι ρ στθερός θετικός πργμτικός ριθμός. Προλή είνι το σύνολο των σημείων του επιπέδου Οχψ τ οποί ισπέχουν πό μι ευθεί δ, διευθετούσ) κι έν στθερό ση μείο Ε, Εστί). p Αν Μχ,ψ) υτά τ σημεί κι δ:, Ε p,0) τότε: dm, δ) ΜΕ ψ pχ. Το πάνω τμήμ υτής της προλής είνι η γρφική πράστση της συνάρτησης: ψ pχ, ενώ το κάτω της ψ pχ p p Αν Μχ,ψ) υτά τ σημεί κι δ: ψ, Ε 0, ) τότε: dm, δ) ΜΕ χ pψ. Αυτή η προλή είνι η γρφική πράστση της συνάρτησης: χ ψ p Έλλειψη είνι το σύνολο των σημείων του επιπέδου Οχψ τ οποί έχουν στθερό άθροισμ ποστάσεων, ), πό δύο στθερά σημεί Ε, Ε εστίες), Πρέπει: ΕΕ γ<). Αν Μχ,ψ) υτά τ σημεί κι Εγ,0), Ε -γ,0) τότε: ΜΕ+ΜΕ +, -γ. Αν Μχ,ψ) υτά τ σημεί κι Ε0,γ), Ε 0,-γ) τότε: ΜΕ+ΜΕ +, -γ. Το πάνω τμήμ υτής της έλλειψης χ + ψ είνι η γρφική πράστση της συνάρτησης: ψ χ, ενώ το κάτω της ψ χ, χ ε [-, ]. 5
Σερίφης Κωννος Το πάνω τμήμ υτής της έλλειψης + είνι η γρφική πράστση της συνάρτησης: ψ χ, ενώ το κάτω της ψ χ, χ ε [-, ]. Η εξίσωση της έλλειψης στο μιγδικό επίπεδο είνι: z z + z z, με z, z στθερούς μιγδικούς ριθμούς κι στθερός θετικός πργμτικός ριθμός κι Εκκεντρότητ της έλλειψης ονομάζετι ο ριθμός ε γ < z z 0 < Υπερολή είνι το σύνολο των σημείων του επιπέδου Οχψ τ οποί έχουν στθερή πόλυτη διφορά ποστάσεων, ), πό δύο στθερά σημεί Ε, Ε εστίες), Πρέπει: ΕΕ γ>). Αν Μχ,ψ) υτά τ σημεί κι Εγ,0), Ε -γ,0) τότε: ΜΕ ΜΕ, γ -. ψ χ Αν Μχ,ψ) υτά τ σημεί κι Ε0,γ), Ε 0,-γ) τότε: ΜΕ ΜΕ, γ -. Το πάνω τμήμ υτής της υπερολής είνι η γρφική πράστση της συνάρτησης: ψ χ, ενώ το κάτω της ψ χ, χ ε -, -] [, + ). ψ χ Το πάνω τμήμ υτής της υπερολής είνι η γρφική πράστση της συνάρτησης: ψ + χ, ενώ το κάτω της ψ + χ, χ ε IR Η εξίσωση της υπερολής στο μιγδικό επίπεδο είνι: z z z z, με z, z στθερούς 6 μιγδικούς ριθμούς κι στθερός θετικός πργμτικός ριθμός. κι z γ Εκκεντρότητ της υπερολής ονομάζετι ο ριθμός ε z > Εφπτομένες Εφπτομένη του κύκλου χ +ψ ρ στο σημείο του Αχ ο,ψ ο ): χχ ο +ψψ ο ρ Εφπτομένη της προλής ψ pχ ψψ ο pχ+χ ο ) Εφπτομένη της προλής χ pψ στο σημείο της Αχ ο,ψ ο ): χχ ο pψ+ψ ο ) χψ Εφπτομένη της έλλειψης + στο σημείο της Αχ ο,ψ ο ): + χψ Εφπτομένη της υπερολής στο σημείο της Αχ ο,ψ ο ): Ασύμπτωτες της υπερολής Ασύμπτωτες της είνι οι ε ): 0 κι + 0 ψ χ ψ χ Ασύμπτωτες της είνι οι ε ): 0 κι + 0 Ισοσκελής υπερολή λέγετι η υπερολή: χ -ψ.
Σερίφης Κωννος Β. Τι πρέπει ν προσέχουμε. Μιγδικοί. Προσέχουμε, πάντ, ότν μς δίνετι ένς μιγδικός z +i, ν, είνι πργμτικοί ριθμοί.. υνάμεις του i : i ν i 4κ+υ i υ., με υ 0,,, 3. Τ κ, υ είνι το πηλίκο κι το υπόλοιπο ντίστοιχ της διίρεσης του ν με το 4. 3. Μπορείτε ν υπολογίσετε μι μεγάλη δύνμη ενός μιγδικού ν μι μικρή του δύνμη είνι πολλπλάσιο του i : +i) 004 +i) ) 00 i) 00-00 004. 4. Η πράστση + στους μιγδικούς γίνετι διφορά! τετργώνων: + -i) i)+i). 5. Κάθε πολυωνυμική εξίσωση με πργμτικούς συντελεστές ν έχει ρίζ ένν μιγδικό z τότε θ έχει z ρίζ κι το συζυγή του 6. Η εξίσωση χ +χ+γ 0, με,, γ ε IR, <0, έχει ρίζες δύο συζυγείς μιγδικούς z, z, ποιες;), με z +z - κι z z γ. Οπότε ν z, z ρίζες της εξίσωσης τότε Rez ) Rez ) - κι γ z z. 7. Προσοχή!! Αν z +i με, ε IR τότε: z + z z z i κι zz z + 8. Ότν έχουμε δεδομένο ή ζητούμενο ότι ένς μιγδικός είνι πργμτικός ή φντστικός ενδεχομένως ν χρειάζετι ν χρησιμοποιήσουμε τις ισοδυνμίες: z πργμτικός ν κι μόνο ν z z, z φντστικός ν κι μόνο ν z z 9. Προσοχή!! εν έχει νόημ στους μιγδικούς τ σύμολ των νισοτήτων, εκτός ν υτοί είνι πργμτικοί. 0. Έν σημείο του επιπέδου Μχ, ψ) είνι ισοδύνμο με τον μιγδικό z χ+ψi κι λέγετι εικόν του z.. Το μέτρο ενός μιγδικού είνι η πόστση της εικόνς του πό την ρχή των ξόνων.. Αν z ένς μιγδικός τότε: η εικόν του z είνι συμμετρική της εικόνς του z ως προς το Ο. η εικόν του z είνι συμμετρική της εικόνς του z ως προς τον χ χ. η εικόν του z είνι συμμετρική της εικόνς του z ως προς τον ψ ψ. Οι εικόνες των z, -z, z, z ισπέχουν πό την ρχή των ξόνων δηλδή: z z z z 3. Η πόστση των εικόνων δύο μιγδικών είνι ίση με το μέτρο της διφοράς τους. 4. ρ ρ Ν χρησιμοποιούμε το εξής : z ρ zz ρ z z, ρ 0 z z π.χ.: z τότε: z z, z z, z z 5. Στις πράξεις με μιγδικούς κλό είνι ν μην έχουμε μιγδικό στον προνομστή. Πολλπλσιάζουμε με τον συζυγή μιγδικό του προνομστή κι έτσι ο προνομστής γίνετι πργμτικός κι ίσος με το τετράγωνο του μέτρου του. ν μην κάνουμε μέσως ντικτάστση τον z με χ+ψi, κτρχάς ν προχωράμε τις πράξεις. 6. Προσοχή!! Αν Α η εικόν του z, Β η εικόν του z τότε: Η εξίσωση ως προς z: z z ρ πριστάνει κύκλο με κέντρο το Α κι κτίν ρ. Στην περίπτωση υτή ο μιγδικοί z με το ελάχιστο, μέγιστο μέτρο θ είνι οι μιγδικοί που είνι τ σημεί τομής του κύκλου κι της ευθείς ΟΑ. Η εξίσωση ως προς z: z z + z z, με < z z, πριστάνει έλλειψη με εστίες τ σημεί 0 < Α, Β μήκος μεγάλου άξον. Η εξίσωση ως προς z: z z z z, με z z, πριστάνει υπερολή με εστίες τ σημεί > Α, Β πόστση κορυφών Η εξίσωση ως προς z: z z z z πριστάνει την μεσοκάθετη ευθεί του ΑΒ. 7
Σερίφης Κωννος Γενικά ν ερμηνεύουμε μι πράστση ή σχέση μέτρων γεωμετρικά γνωρίζοντς τι εκφράζει το μέτρο ενός μιγδικού κθώς κι τι εκφράζει το μέτρο της διφοράς δύο μιγδικών. Ανάλυση. Προσέχουμε πάντ τ χ γι τ οποί ορίζετι μί συνάρτηση ή μί συνρτησική σχέση. Αν δεν μς δίνοντι πρέπει ν τ ρίσκουμε.. Η μονοτονί μις συνάρτησης νφέρετι σε κάποιο διάστημ ή σύνολο. Αν γράψουμε ότι η συνάρτηση είνι γνησίως μονότονη, χωρίς ν νφέρουμε το σύνολο στο οποίο υτό συμίνει, τότε θεωρούμε ότι η συνάρτηση είνι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της. 3. Γι το πεδίο ορισμού της h ) f g )) λμάνουμε υπόψιν ότι Dg ώστε g ) D f. 4. Αν το σύνολο τιμών της g ) περιέχετι στο πεδίο ορισμού της f ) τότε το πεδίο ορισμού της h ) f g )) συμπίπτει με το πεδίο ορισμού της g ). 5. Αν μς δίνετι ο τύπος f g ))... κι γνωρίζουμε την g ) τότε κάνουμε ντικτάστση g ) y... κι ρίσκουμε τον τύπο της f : f y )... ) 6. Αν μς δίνετι ο τύπος f g ))... κι γνωρίζουμε την f ) τότε στην f ) άζουμε όπου χ το g ) κι εξισώνουμε τις δύο ισότητες f g ))... οι οποίες προκύπτουν.. κτόπιν ρίσκουμε εύκολ την g ). 7. Αν οι f, g έχουν το ίδιο είδος μονοτονίς τότε η σύνθεση της g με την f, δηλδή η fg, είνι γνησίως ύξουσ. Απόδειξη εύκολη με άση τον ορισμό). 8. Αν οι f, g έχουν διφορετικό είδος μονοτονίς τότε η σύνθεση της g με την f, δηλδή η fg, είνι γνησίως φθίνουσ. Απόδειξη εύκολη με άση τον ορισμό). 9. Αν μι συνάρτηση είνι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της τότε θ είνι κι οπότε θ ορίζετι η ντίστροφή της κι επίσης : κάθε εξίσωση της μορφής f ) k θ έχει το πολύ μι ρίζ στο πεδίο ορισμού της f. 0. Αν μι συνάρτηση είνι γνησίως μονότονη σε έν διάστημ κι σε κάποιο χ ο του μηδενίζει τότε στο σημείο υτό θ λλάζει πρόσημο. Βρίσκουμε το πρόσημό της χρησιμοποιώντς τον ορισμό της μονοτονίς.. Η ντίστροφη συνάρτηση f της συνάρτησης f ορίζετι μόνο ν η f είνι «-» κι έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών της f. Είνι γνησίως μονότονη, η f, στο σύνολο τιμών της f ν η f είνι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της κι έχει το ίδιο είδος μονοτονίς. Γι κάθε y που νήκει στο σύνολο τιμών της f υπάρχει μονδικό που νήκει στο πεδίο ορισμού της f ώστε: f ) y f y), εφόσον ορίζετι η f. f f )) Γι κάθε που νήκει στο σύνολο τιμών της f, εφόσον ορίζετι η f f )) Γι κάθε που νήκει στο πεδίο ορισμού της f, εφόσον ορίζετι η f Οι γρφικές πρστάσεις των f, f, εφόσον ορίζετι η f, είνι συμμετρικές ως προς την διχοτόμο ου κι 3 ου τετρτημορίου δηλδή την ευθεί ψχ. Το χ ο, ψ ο ) νήκει στην γρφική πράστση της f f χ ο )ψ ο κι εφόσον η f ντιστρέψιμη, f ψ f ο )χ ο το ψ ο, χ ο ) νήκει στην γρφική πράστση της. Βέι πιτείτι κι χ ο στοιχείο του πεδίου ορισμού της f. Αν η γρφική πράστση της f τέμνει την ψχ σε έν σημείο τότε κι η γρφική πράστση της f θ τέμνει την ψχ στο ίδιο σημείο. Οι γρφικές πρστάσεις των f, f θ τέμνοντι μόνο πάνω στην ψχ ν η f είνι γνησίως ύξουσ κάτι που δεν ισχύει ν η f δεν είνι γνησίως ύξουσ.. Αν ένς ριθμός κ νήκει στο σύνολο τιμών μις συνάρτησης f τότε η εξίσωση f ) k θ έχει ρίζ στο πεδίο ορισμού της f, υπάρχει χ ο στο πεδίο ορισμού της f ώστε: f ) k 3. Από την ισότητ f ) f ) μπορούμε ν συμπεράνουμε, εφόσον γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση f είνι «-» ή γνησίως μονότονη στο σύνολο όπου υπ ρχουν τ,. 8 f
Σερίφης Κωννος 4. Ότν μι συνάρτηση δεν είνι «-» τότε υπάρχουν, στο πεδίο ορισμού της γι τ οποί ισχύει f ) f ) ενώ. 5. Αν το lim f ) είνι ένς θετικός ή ρνητικός ριθμός τότε κοντά στο ο οι τιμές της συνάρτησης f ) θ είνι θετικοί ή ρνητικοί ριθμοί ντίστοιχ, μι σημντική οήθει ότν θέλουμε ν πλείψουμε πόλυτ ή ν κάνουμε Blzn ή Πρόμοι συμπεράσμτ έχουμε κι στις περιπτώσεις που ±, το όριο της συνάρτησης είνι ± 6. Αν το lim f ) υπάρχει κι είνι ριθμός κι η συνάρτηση έχει τιμές, κοντά στο χ ο, θετικές ή 0 τότε lim f ) 0 προσοχή μπορεί ν είνι κι 0 το όριο κόμη κι ν f ) > 0 κοντά στο χ ο ). 7. Προσοχή!!! Μπορούμε ν γράφουμε lim f ) f ) μόνον ότν γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση είνι συνεχής στο χ ο. Ότν γι μι συνάρτηση, του ιλίου σς), γνωρίζουμε τον τύπο της, συνέχει ενδεχομένως ν έχουμε μόνο στ σημεί που λλάζει ο τύπος της. Αν δεν γνωρίζουμε τον τύπο της συνάρτησης τ συμπεράσμτά μς, γι τη συνέχει, θ προκύπτουν μόνο πό τ δεδομέν. 8. Ότν μς δίνετι έν όριο μις πράστσης, που περιέχει μι συνάρτηση f ) κι μς ζητείτι έν άλλο όριο μις διφορετικής πράστσης που περιέχει την f ), μπορούμε ν θέτουμε συνάρτηση g ) την πράστση της οποίς γνωρίζουμε το όριό της, κοντά στο χ ο, ν λύνουμε, προσέχοντς τους περιορισμούς, ως προς f ) κι τέλος ν ντικθιστούμε την f ) στην δεύτερη πράστση. Προσοχή!!! Η συνάρτηση g ) δεν ορίζετι στο χ ο. Το lim g ) ισούτι με το όριο που σς δίνετι. 9. Ότν μς δίνετι ότι η f είνι πργωγίσιμη στο χ ο τότε μς δίνοντι τ όρι: f ) f ) lim f ) κθώς κι το lim f ) f ), φού η συνάρτηση θ είνι κι συνεχής. 0. Ότν μς δίνετι ότι η f έχει πλάγι σύμπτωτη στο + την ψχ+ τότε μς δίνοντι τ όρι: f ) lim f ) + )) 0 ορισμός) lim κι lim f ) ) πρότση). + + +. Αν γνωρίζουμε ότι g ) f ) κοντά στο χ ο κι lim g ) + τότε κι με δεδομένο ότι θ ισχύει g ) f ) < + το συμπέρσμά μς, πό το Κ.Π. θ είνι ότι lim f ) +. Πρόμοιο συμπέρσμ θ έχουμε κι γι το -.. Προσοχή!!! εν υπάρχουν τ όρι lim ημ κι lim συν. Σε περίπτωση που τ συνντάμε σε ± κάποι πράστση χρησιμοποιούμε το Κ.Π. λμάνοντς υπόψιν μς τις ιδιότητες: ημ, συν, ± ημ γι κάθε χ. Η ισότητ στην τελευτί νισότητ ισχύει μόνο στο 0. 3. Αν σε κάποι συνάρτηση δεν μπορούμε ν ρούμε πευθείς την τιμή της στο χ ο ενδεχομένως ν χρειάζετι ν υπολογίσουμε το όριό της στο χ ο. Αν έχουμε ότι η συνάρτηση είνι συνεχής στο χ ο, τότε η τιμή της θ συμπίπτει με το όριό της. Αν f συνεχής στο χ ο τότε: f ) lim f ). 4. Αν έχουμε ζητούμενο : «ν δείξετε ότι υπάρχει χ ο ώστε f 0 ) k ή f 0 ) k» Ενδεχομένως ν χρειάζετι μι πλή επίλυση εξίσωσης, ν όχι: μήπως προκύπτει άμεσ πό τ δεδομέν; Αν όχι: Θεωρήμτ: Blzn, Rlle, θεώρημ ενδιάμεσων τιμών, θεώρημ μέσης τιμής, Fermt, ν όχι: σύνολο τιμών ν όχι: ο θεός οηθός!! 5. Αν έχουμε άσκηση με εξίσωση εφπτομένης: Είνι πρίτητο ν γνωρίζουμε το σημείο επφής, f ). Αν δεν δίνετι ή δεν προκύπτει πό κάποιο δεδομένο είνι κλό ν ξεκινάμε υποθέτοντς «έστω, f ) το σημείο στο οποίο εφάπτετι η ευθεί η οποί.» 9
Σερίφης Κωννος Μην ξεχνάμε ότι η εφπτομένη ευθεί έχει συντελεστή διεύθυνσης y f ) f ) ). f ) κι εξίσωση 6. Πρόσημο συνάρτησης ή πργώγων της - Απόδειξη νισώσεων. Α. Επίλυση νίσωσης: Μπορεί το πρόσημο ν προκύπτει άμεσ πό την επίλυση μις εύκολης νίσωσης ή πό τ δεδομέν της άσκησης. Μην ξεχνάμε το πρόσημο ενός τριωνύμου. Β. Χρήση Blzn: Αν η συνάρτηση είνι συνεχής σε έν διάστημ κι 0 τότε θ διτηρεί στθερό πρόσημο στο διάστημ υτό. Το πρόσημό της μπορεί ν προκύψει ν γνωρίζουμε ή μπορούμε ν ρούμε κάποι τιμή της συνάρτησης στο διάστημ υτό, διφορετικά πλά διτηρεί στθερό πρόσημο. Γ. Χρήση μονοτονίς: Αν η συνάρτηση είνι γνησίως μονότονη κι κάπου μηδενίζει στο σημείο υτό λλάζει πρόσημο Πράδειγμ: Αν f γνησίως ύξουσ στο IR κι f ) 0 τότε: γι κάθε χε-,χ ο ) ισχύει: χ<χ ο f ) < f ) f ) < 0 κι ) f γι κάθε χεχ ο, + ) ισχύει: χ>χ ο f > ) f ) > 0. Χρήση Θ.Μ.Τ. : Πράδειγμ: Αν η f κυρτή στο IR κι f 0) 0 ρείτε το πρόσημο της g ) f ) f ) Απάντηση: Αν < 0 στο διάστημ [χ, 0] ισχύει το Θ.Μ.Τ. οπότε υπάρχει μετξύ f ) f 0) f ) του χ κι του 0 ώστε: f ). Στο σημείο υτό χρησιμοποιούμε τη μονοτονί της 0 η οποί είνι γνησίως ύξουσ φού f κυρτή στο IR ως εξής: χ<χ ο <0 άρ f ) < f ) < f 0) f ) f ) < < f 0) πολλπλσιάζουμε την πρώτη νισότητ με το ρνητικό χ, λλάζοντς τη φορά της : f ) > f ) επομένως: g ) < 0 γι κάθε χε-,0). Με τον ίδιο τρόπο ν χ>0 θ συμπεράνουμε ότι: g ) < 0 γι κάθε χε0,+ ). Ε. Χρήση κροτάτων: Αν η συνάρτηση έχει ελάχιστη τιμή ένν ριθμό κ τότε όλες οι τιμές της θ είνι μεγλύτερες πό τον ριθμό υτό. Αν η συνάρτηση έχει μέγιστη τιμή ένν ριθμό κ τότε όλες οι τιμές της θ είνι μικρότερες πό τον ριθμό υτό. ΣΤ. Χρήση κυρτότητς: Αν μι συνάρτηση f είνι κυρτή σε έν διάστημ κι Α, f )) έν τυχίο σημείο της με ε τότε η γρφική της πράστση της f ρίσκετι πιο πάνω πό την εφπτομένη της στο σημείο Α. Αυτό είνι ισοδύνμο με την νίσωση: f ) y γι κάθε ε, με y f ) + f ) ηλδή: f ) f ) + f ) γι κάθε ε, η ισότητ ισχύει μόνο στο σημείο επφής δηλδή γι. Ομοίως ν η f είνι κοίλη σε έν διάστημ : f ) f ) + f ) γι κάθε ε, η ισότητ ισχύει μόνο στο σημείο επφής δηλδή γι. Ζ. Το πρόσημο του ορίου: Προσοχή!!! Αυτό δίνει το πρόσημο της συνάρτησης μόνο κοντά στο χ ο. Η. Χρήση συνόλου τιμών: Το σύνολο τιμών μις συνάρτησης μς δείχνει κριώς ποιες είνι οι τιμές της συνάρτησης οπότε ενδεχομένως ν προκύπτει κι το πρόσημό της. Θ. Η νισότητ του ορισμένου ολοκληρώμτος: Χρησιμοποιείτι ότν έχουμε ορισμένο ολοκλήρωμ σε έν διάστημ [, ] ή σε διάστημ [, χ] με χ>. f ) d 0 εφόσον f ) 0 γι κάθε χ ε [, ]. Αν όμως υπάρχει έστω κι έν χ 0 γι το οποίο f 0 ) > 0 τότε f ) d > 0 lim + e t dt t Πράδειγμ: Ν ρεθεί το όριο Απάντηση: Η συνάρτηση f t) e, t ε IR είνι πργωγίσιμη στο IR με f t) te, t ε IR έχει ελάχιστη τιμή την f 0) οπότε: f t) γι κάθε, t ε IR. Με τη οήθει της νισότητς του ολοκληρώμτος στο διάστημ [, ] με > t f 0
Σερίφης Κωννος dt έχουμε: f t ) dt f t dt t ) ) e dt ) κι εφόσον lim + e dt + είνι. t lim ) + + θ 7. Ότν σε κάποι άσκηση μς δίνετι μι νισότητ η οποί ισχύει γι κάθε τιμή της μετλητής που περιέχει τότε: Α. Η νισότητ μπορεί ν δίνετι γι ν χρησιμοποιηθεί γι την πόδειξη κάποιου ζητούμενου, π.χ. την εύρεση της μονοτονίς μις συνάρτησης, την εύρεση μις άλλης νισότητς,.. Β. Η νισότητ μπορεί ν χρησιμοποιηθεί γι ν υπολογιστεί κάποιο όριο με τη οήθει του κριτηρίου 4 πρεμολής. f ) + g ) γι κάθε χ τότε f, g συνεχείς, πργωγίσιμες στο 0;) Γ. Η νισότητ μπορεί ν χρησιμοποιηθεί μζί με την ιδιότητ των ορίων: Αν τ όρι των f, g στο χ ο υπάρχουν κι είνι ριθμοί κι οι συνρτήσεις κοντά στο χ ο είνι άνισες τότε κι τ όριά τους θ είνι ομοιοτρόπως άνισ.. Η νισότητ μπορεί ν χρησιμοποιηθεί γι την πόδειξη ότι μι συνάρτηση έχει ελάχιστο ή μέγιστο σε έν εσωτερικό σημείο ενός διστήμτος στο οποίο υτή είνι πργωγίσιμη, οπότε.. FERMAT. 8. Ότν θέλουμε ν δείξουμε ότι μι συνάρτηση είνι στθερή, σε έν διάστημ, μπορούμε, εφόσον γίνετι, ν δείξουμε ότι είνι πργωγίσιμη κι ότι έχει πράγωγο 0. Αν θέλουμε ν δείξουμε ότι δύο συνρτήσεις είνι ίσες σε έν διάστημ, μπορούμε, εφόσον γίνετι, ν δείξουμε ότι η διφορά τους είνι πργωγίσιμη συνάρτηση με πράγωγο 0, οπότε η διφορά τους θ είνι c, κτόπιν δείχνουμε ότι το c είνι 0. 9. Γι την πόδειξη της ύπρξη μις τουλάχιστον ρίζς κάποις εξίσωσης ή κάποιου χ ο : Α. Απλά λύνουμε την εξίσωση. Προφνής λύση. Προκύπτει άμεσ πό τ δεδομέν. Β. Blzn σε έν διάστημ. f ) 0 ) ή ενδιάμεσων τιμών ή σύνολο τιμών f ) k ) Γ. Rlle σε έν διάστημ. f ) 0 ). Θ.Μ.Τ. σε έν διάστημ. f ) k ) Ε. Fermt, εφόσον διπιστώνετι η ύπρξη κρόττου. f ) 0 ) 30. Γι την πόδειξη της μονδικότητς ρίζς κάποις εξίσωσης ή κάποιου χ ο : Α. Αν έχουμε λύσει την εξίσωση τότε προκύπτει άμεσ. Β. Με τη οήθει της μονοτονίς, «-» Γ. Με τη οήθει του Rlle, σε άτοπο. 3. Κάθε συνάρτηση f συνεχής στο [, ] θ έχει ελάχιστη κι μέγιστη τιμή. Προσοχή έχουμε τοπικά κρόττ κι στ άκρ. Γι ν είνι συνεχής η f στο [, ] δεν πιτείτι συνέχει στ, : πρέπει ν είνι συνεχής στο, ) κι lim f ) f ), lim f ) f ). + 3. Γι ν δείξουμε ότι η συνάρτηση f δεν έχει τοπικό ή ολικό κρόττο σε έν νοικτό διάστημ, ) ρκεί ν δείξω ότι η f είνι γνησίως μονότονη στο, ) ή, εφόσον γνωρίζουμε, ότι η f είνι πργωγίσιμη στο, ) ν φτάσουμε σε άτοπο με την υπόθεση ότι έχουμε κρόττο στο χ ο ε, ) οπότε πό Fermt f ) 0. Με τον ίδιο τρόπο σκεφτόμστε κι γι σημείο κμπής. 33. Μι συνάρτηση γνησίως μονότονη στο [, ] έχει ελάχιστο κι μέγιστο στ,. 34. Το όριστο ολοκλήρωμ f ) d είνι το σύνολο των συνρτήσεων που ν τις πργωγίσουμε ) ) δίνουν την συνάρτηση f ) : f ) d f 35. Το ορισμένο ολοκλήρωμ f ) d είνι ο ριθμός F ) F ), F πράγουσ της συνεχούς f).
Σερίφης Κωννος 36. Η συνάρτηση f t) dt είνι πράγουσ της συνεχούς f t) : f t) dt f ) Είνι συνάρτηση με μετλητή το χ η οποί πρέπει ν πίρνει τιμές στο ίδιο διάστημ με το κι στο οποίο διάστημ η f t) ορίζετι κι είνι συνεχής. Ν μην συγχέουμε την μετλητή του ορισμένου ολοκληρώμτος, t με την μετλητή της συνάρτησης ολοκλήρωμ,χ Η κάθε μί γι την άλλη είνι στθερή νεξάρτητη. Το t πίρνει τιμές μετξύ του κι του χ. Προσοχή! Οι μετλητές μπορεί ν δοθούν κι νάποδ! 37. Γι τον υπολογισμό του ολοκληρώμτος Α. Αν πρτηρούμε ότι στο ολοκλήρωμ υπάρχει μι συνάρτηση κι η πράγωγός της τότε μάλλον χρειάζετι ν κάνουμε ντικτάστση. Β. Αν πρτηρούμε ότι υπάρχει ή προκύπτει πράστση της μορφής f ) g ) τότε μάλλον χρειάζετι ν κάνουμε κτά πράγοντες. Γ. Αν πρτηρούμε πράστση της μορφής f g )), σύνθετη συνάρτηση, τότε μάλλον χρειάζετι ντικτάστση το g). Ν μην ξεχνάμε, στο ορισμένο ολοκλήρωμ, ν λλάζουμε τ όρι ολοκλήρωσης ότν κάνουμε ντικτάστση. Ε. Ν μην ξεχνάμε, στο όριστο ολοκλήρωμ, ν ντικθιστούμε, στο τέλος, το ψ που ντικτστήσμε στη μέθοδο ντικτάστσης. Στ. Ν μην ξεχνάμε, στο όριστο ολοκλήρωμ, ν άζουμε το c στο τέλος του υπολογισμού του. Ζ. Ν μην ξεχνάμε το πόλυτο στη συνάρτηση ότν υπολογίζουμε εμδό χωρίου κι έι ότι το εμδό είνι θετικός ριθμός!! 38. Ισχύει : f ) f ) f ) d. Χρήσιμο γι τον υπολογισμό τιμών της συνάρτησης f ότν είνι γνωστός ο ρυθμός μετολής της f, οπότε μπορεί ν υπολογιστεί το f ) d. 39. Ισχύει : f ) f ) f t) dt. Χρήσιμο γι τον υπολογισμό της συνάρτησης f ότν είνι γνωστός ο ρυθμός μετολής της f κι κάποι τιμή της f ) οπότε μπορεί ν υπολογιστεί το f t) dt. 40. Γι τον υπολογισμό του πεδίου ορισμού, ότν υτό μς ζητείτι ή δεν δίνετι), της συνάρτησης h ) g ) φ ) f t) dt κι εφόσον η f είνι συνεχής σε ένωση δύο διστημάτων,, οι συνρτήσεις φ, h, g πργωγίσιμες στ πεδί ορισμού τους πρέπει ν λάουμε υπόψιν μς τους εξής περιορισμούς γι το χ: Το χ ν νήκει στ πεδί ορισμού των φ,h, g κι συγχρόνως h ), g ) ν νήκουν κι τ δύο στο ή κι τ δύο στο. Κτόπιν επιλέγοντς κτάλληλο ;) ριθμό θ πρέπει ν μετσχημτίσουμε την συνάρτηση : h ) g ) φ ) f t) dt φ ) h ) f t) dt φ ) g ) f t) dt. Ποι θ είνι η πράγωγός της;
Σερίφης Κωννος Προσέχουμε κι υτό!!. Θεώρημ: Τ πρπάνω είνι πρίτητ ν τ γνωρίζουμε γι την κλύτερη προετοιμσί μς στις εξετάσεις δεν είνι όμως ικνά γι υτή. Απόδειξη: Ας δούμε την άσκηση : Γι τις διάφορες τιμές του πργμτικού ριθμού ν μελετήσετε την 3 μονοτονί της συνάρτησης f ) +, ε IR. Τίποτ πό τ πρπάνω δεν θ μς οηθήσει στην επίλυση της άσκησης! Ανεπιθύμητες πρενέργειες : Τ πρπάνω ίσως περιορίσουν τη σκέψη μς, κυρίως εφόσον υτή στηριχθεί μόνον σ υτά. Συμουλή: Αφήνουμε τη σκέψη μς «ελεύθερη». Μι άσκηση μθημτικών λύνετι εφόσον έχουμε τις πρίτητες γνώσεις, το θάρρος κι την ικνότητ ν δημιουργούμε μόνοι μς την λύση της. Αυτή η ικνότητ δεν είνι έμφυτη Αφήνουμε τ δεδομέν κι τ ζητούμεν της άσκησης ν μς οδηγήσουν. Ερμηνεύουμε σωστά τ δεδομέν. Ερμηνεύουμε σωστά τ ζητούμεν. Συσχετίζουμε τ δεδομέν κι τ ζητούμεν με τις γνώσεις τις οποίες έχουμε. Εφρμόζουμε διάφορες τεχνικές, ρκεί υτές ν συμφωνούν με τη λογική κι με τις γνώσεις μς. Ελέγχουμε τ ποτελέσμτ. Είνι φυσικό ν κάνουμε κάποι λάθη τ οποί πρέπει ν νζητάμε κι ν τ διορθώνουμε. Προσέχουμε κάποι κρυφά σημεί των δεδομένων ζητούμενων. Σε μι άσκηση με πολλά ερωτήμτ, το κάθε ερώτημ ίσως ν ποτελεί συνέχει του προηγούμενου. Σε κμιά περίπτωση δεν δεχόμστε ότι δεν μπορούμε ν λύσουμε την άσκηση. Κλή επιτυχί. Κ. Σερίφης 3