ικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 4 ο ΓΛΧ M.Ι.Παπαγρηγοράκης Χανιά [Μαθηματικά] Θετικών Σπουδών

Transcript

1 ικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου 4 ο ΓΛΧ 5-6 M.Ι.Ππγρηγοράκης Χνιά [Μθημτικά] Θετικών Σπουδών

2 Τξη: Γ Γενικού Λυκείου Μθημτικά Θετικών Σπουδών Μέρος Α: Συνρτήσεις - Όρι Συνέχει Έκδοση 5.7 Η συλλογή υτή δινέμετι δωρεάν σε ψηφική μορφή μέσω διδικτύου προορίζετι γι σχολική χρήση κι είνι ελεύθερη γι ξιοποίηση ρκεί ν μην λλάξει η μορφή της Μίλτος Ππγρηγοράκης Μθημτικός MEd Χνιά 5 Ιστοσελίδ:

3 Γ Λυκείου Μθημτικά Θετικών Σπουδών ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΣ. Έσ A) Βρείτε το πεδίο ορισμού της B) Λύστε την εξίσ Γ) Λύστε την νίσωση Δ) Ν δείξετε ότι ( ) συν συν. Ανν. Δίν Δείξτε ότι.4 Δίν το με κι το : Ν λ λ λ λ Α) πράλληλη στην 5 Γ) ν διέρχετι πό το σημείο, Δ) ν είνι κτκόρυφη Ε) ν είνι οριζόντι Στ) στω η συνάρτηση () n νετι η συνά νετι η συνάρτηση με πεδίο ορισμού 4 4. Ν υπολογίσετε το προσδιοριστεί ο λ ώστε η ευθεί σωση ν είνι:. Ν ποδείξετε ότι άρτηση Β) κάθετη στην 4 ν σχημτίζει γωνί 5 ο- με τον,,...6 Ν ρεθεί λ ώστε ν είνι ε συνάρτηση η. v km/h, κτνλώνει την ώρ 6,,v λίτρ κύσιμ. Ν ρείτεε τη συνολική ποσότητ κυσίμων πουυ χρειάζετι γι ν δινύσει πόστση km με στθερή τχύτητ v. χωρητικότητ lt. Ν εκφράσετε το κόστος κτσκευής του δοχείου συνρτήσει της κτίνς της άσης του, ν το κόστος του ενός cm c μετάλου είνι, eur. τμήμτ με τ οποί σχημτίζουμε ένν κύκλο κι έν τετράγωνο ντιστοιχ. Ν εκφράσετε το άθροισμ τωνν εμδών των δύο σχημάτων συνρτήσει του μήκους του ενός πό τ δύο τμήμτ..7 Έν.8 Έν κυλινδρικό δοχείο έχει.9 Έν σύρμ μήκους κόετι σε δύο. Στο διπλνό 5, λ λ 4, -λ όχημ ότνν τξιδεύει με τχύτητ σχήμ ν ρείτε συνρτήσει του, τη συνάρτηση που περιγράφει τοο εμδόν της γρμμοσκισμένης περιοχής που δημιουργείτι πό τη ΔΕ κι τις πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ γι τις διάφορες θέσεις τουυ E πάνω στη BΓ. Το τρίγωνο ΑΒΓ είνι ισόπλευρο με μήκος πλευράς η BE κι κ ΔΕ ΒΕΕ

4 4 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ Γρφική Πράστση. N της συνάρτησης () ln κι ν ρείτε το πλήθος των ριζών της εξί. Ν των πρκάτω συνρτήσεων k. Ν των συνρτήσεων () ln( ) ), k() ln.4 N συνρτήσεις Α) σχεδιάσετε τη γρφική πράστση σχεδιάσετε τις γρφικέςς πρστάσεις g m σχεδιάσετε τις γρφικέςς πρστάσεις Β) t() ημ m() ln t( ) ln πρστήσετε γρφικά τις τ π () ημ ημ,, ίσωσης n g() ln( ), π Γ) 6 h () συν..5 Ν σχεδιάσετε σ τις γρφικές πρστάσειςπ των συνρτήσεων: Α) e, Β) ) g() ) ln, < e, e..6 Ν ρείτε τον 4 τύπο της συνάρτησης =() του σχήμτοςς 4 O Ν πρστήσετεπ ε γρφικά κάθε μι πό τις πρκάτω συνρτήσεις: g. e ln.8 Ν πρστήσετεπ ε γρφικά τιςς συνάρτήσεις h συν g() ) π συν π π ln e Κοινά Σημεί.9 Γι C δεν τέμνει τον άξον. Ν είνι πάνω πό τη C ότν: Α) 4. Έσ οποίες ισχύει τη συνάρτηση : ισχύει ότι Ν ρεθεί η σχετική θέση των C, C,. Ν δείξετε ότιι η ρεθούν τ διστήμτ όπου η g στω οι συνρτήσεις,g : γι τις 9 κι g ν Β) () κι g() ν < g γι κάθε. g 8 C.. Έστωω η συνάρτηση : γι την οποί ισχύει ότι ό γι γ κάθε. Ν δείξετε ότι η C δύο τουλάχιστον σημεί.. Έστωω οι συνρτήσεις,g :, ώστε ν ισχύει () g() κ κάθε, κ. Ν ρεθεί ο κ ώστε οι γρφικές πρστάσεις τους, ν τέμνοντι στην ευθεί κθώς κι τ διστήμτ όπου η..4 Γι τη συνάρτηση h: ισχύει ότι h h h Δείξτε ότι h γι κάθε C τέμνει τον άξον ά σε είνι πάνω πό την C g γι κάθε κ.

5 Γ Λυκείου Μθημτικά Θετικών Σπουδών 5 Πεδίο ορισμου.5 Βρ συνρτήσεων g() -+ h() ρείτε τ πεδί ορισμού των ln φ() ) t() k() ( )..8 Βρείτε τ πεδί ορισμού των συνρτήσεων k() t συν ln h 4 m() (e r lnl )ln( ).6 Βρ συνρτήσεων ρείτε τ πεδί ορισμού των p() q ln ημ t r συν p() e e, ln.7 Βρ 5συν e ln g φ() ) e e ρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης m q εφ ημ ημ ln ln..9 Βρείτε τ πεδί ορισμού των συνρτήσεων k() e e r( () m r ln( ) ln,,, t t ln k 4 () e ln εφ,,π (), Σύνολο Τιμών. Βρ συνρτήσεων: Α) Β) Γ). Βρ συνρτήσεων: Α) Β). Βρ συνρτήσεων: ρείτε τ σύνολ τιμών των ln, 4 ρείτε τ σύνολ τιμών των,5 6 4 e ρείτε τ σύνολ τιμών των ν (), g() ν 5,, /, συνρτήσεων ( () lg r πλήθος των ριζών των εξισώσεων: Β) Γ) Δ. Βρείτε τ σύνολ τιμών των Ε) 4 ν,5.4 Στο Α) ) ) ) ), 5 e g t( ) 5 e 4 σχήμ φίνετι η γρφική,, πράστση της συνάρτησης. Ν ρείτε το

6 6 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ισότητ Συνρτήσεων.5 Δίν Α) Ν εξετάσετε ποιες πό τις πρκάτω συνρτήσεις είνι ίσες με τη συνάρτηση. - () - () 5 lne.6 Ν.7 Eξε νετι η συνάρτηση (). 4 () - () () e 6 εξετάσετε ν είνι ίσες οι ετάστε ν είνι ίσες οι συνρτήσεις κι g ln() Β) Βρείτε το ευρύτερο υποσύνολο του στο οποίο οι πρπάνω συνρτήσεις είνι όλες ίσες. συν ημ συνρτήσεις () κι g() ημ συν..8 Eξετάστε ν είνι ίσες οι συνρτήσεις ( (). συνρτήσεις στις σ πρκάτω περιπτώσεις. Α) () Β) ) () ln κι g ln...9 Ν εξετάσετε ε ν ν είνι ίσες οιι.4 Ν ρεθεί ο ώστε ν είνι ίσες οι.4 Eξετάστε ν είνι ίσες οι συνρτήσεις ( () ln κι g() ) κι g() κι g 4 συνρτήσεις () κι g() g 4 ln ln ln Πράξεις Συνρτήσεων.4 Βρ.4 Ν.44 Γι ότι g () 4 ] κι g() δείξετε ότι η C τέμνει τον θετικό ημιάξον O.45 N που ικνοποιούν την σχέση:.46 N ρείτε τις συνρτήσεις g,κι g ότ ν ρεθούν οι συνρτήσεις g,κι g ν (), κι, τις συνρτήσεις,g : ισχύει,. Ν g ρείτε όλες τις συνρτήσεις : ποδείξετε g ότι g ln, -,,, ν ισχύει ότι ι g () g () γι κάθε. οποίες ισχύει ότι ό 4e e που ικνοποιούν την σχέση:. ύξουσες συνρτήσεις : γι τις οποίες ισχύει ότι (). ν γι κάθε ισχύει ότι.47 Βρείτε τις συνρτήσεις : γι τις.49 Ν προσδιορίσετπ ετε όλες τις γνήσι. συνρτήσεις : ν ν γι κάθε ισχύει ότι.5 Ν ρείτε τις συνρτήσεις,,g : g.5 Ν ρείτε τις συνρτήσεις τις γι κάθε g,..48 Βρείτε όλες τις συνρτήσεις :,

7 Γ Λυκείου Μθημτικά Θετικών Σπουδών 7 Άρτιες Περιττές.5 N εξετάσετε ν είνι άρτιες ή περιττέςς οι συνρτήσεις g() ln, () ( ) ( ),. Ν ποδείξετε ότι η είνι περιττή κι ν ρείτε τον τύπο της..54 ** Δίνετι η συνάρτηση : γι την οποί ισχύειι ( ) ( ) () () γι κάθε,. Ν ποδείξετε ότι: Α) Β) η είνι άρτι Γ).55 Η συνάρτηση : είνι περιττή κι ισχύει ό Ν ρείτε τον τύπο της () γι κάθε ότι ().5 Γι τη συνάρτηση : ισχύει ότι γι κάθε...56 Δύο συνρτήσεις ιδιότητες: g ότι η είνι άρτι ά κι η g περιττή..57 Αν ισχύει ι ( ) δείξετε ότι η..58 Ν δείξετε δ ότι ν είνι άρτι κι περιττή τότε γι κάθε είνι ( () g g..59 Δείξτε ότι γι κά η συνάρτηση g() () + ( ) είνι άρτι..6 Δίνοντι οι συν g κι περιττές τότε η g είνιι περιττή ενώ οι g, /g, ( g() ) είνι άρτιιες γι κάθε. Ν δείξετε είνι περιττή ς,g : έχουν τις A A Ν ποδείξετε ότι: Αν οιι,g είνι ) () (),, ν ν η συνάρτηση : άθε συνάρτηση : ρτήσεις,g με Σύνθεση Συνρτήσεων.6 Ν εκφράσετεε τη συνάρτηση ως σύνθεση δύο ή περισσοτέρων (μη τυτοτικών) συνρτήσεων, ν: () ln( ημ) () ln( ) ln () ln Α) () ln Β) () (,), g() ) [,4).6 Αν κι g( () ln () ) συν (), () ) ημ (5).6 Ν οριστεί η συνάρτηση g ν g ν Αν g() e ( g)() (g )(),..65 Βρεί h με h() ( ( 4) ( ) ν D [,5)..66 Ν () ln( e σε κάθε μι πό τις περιπτώσεις: Α) Αν ln() Β) ) Αν (( g)() ν ποδείξετε ότι ίτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ρεθεί ο τύπος μις συνάρτησης Γ) ) Αν (g( )() συν κι g(), e, ) κιι κι g() ορίσετε τις συνρτήσεις g κι g

8 8.67 Ν συνάρτηση : ν ισχύει ότι ()( ) (),.68 Έσ g :Ag προσδιορισθεί ο τύποςς της στω συνρτήσεις :A, με A A. Ν ποδειχτεί ότι: A) Αν η είνι άρτι, τότε η g είνι ε άρτι. g..77 Ν ρεθεί συνάρτηση ( (4) κι γι κάθε, ισχύει ( ()() 4 4 (),. () ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ * :.78 Γι τησυνάρτησητ η : ( ( ) () e,.ν ποδείξετε ότι * * ν ισχύει ότι B) Αν η είνι περιοδική, τότε κι η g είνιι () ( () e κι κ () e ( ) γι κάθε κι περιοδική με την ίδι περίοδο. ν ρείτε την.69 Δε ν ικνοποιεί τη σχέση () ( ),.7 Bρ ειξτε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση που ρείτε τη συνάρτησης :, ν..79 Ν ρεθούν οι συνρτήσεις ν γι κάθε, ισχύει ότι : ισχύει ότι ln γι κάθε. e.7 Ν ρείτε τη συνάρτηση ν ισχύει ότι γι κάθε..8 Έστωω η συνάρτηση : γι την οποί ισχύει ότι ό,. Ν δείξετε ότι η C τέμνει τονν σε δύο τουλάχιστον σημεί. σ.7 Αν () e δείξετε ότι η πίρνει την τιμή 4.7 Αν τότε ν υπολογίσ.74 Ν Α) Αν ( )( ) (), Β) Αν ισχύει (), *.75 Αν ισχύει: () γι.76 Έσ ν ισχύει ότι () γι κάθε προσδιορισθεί ο τύποςς της : ν () οποί ισχύει ότι () στω η συνάρτηση : γι την ποδείξετε ότι η εξίσωσ γι κάθε, ν ετε το ν ρεθεί ο, ν κάθε,. Ν έχει μι ση..8 ** Έστω : μί συνάρτηση γι την οποί υπάρχουν, πργμτικοί ριθμοί τέτοιοι ώστε () ( ) ) γι κάθε, κι () ( ) γι κάθε ( (). ότ κ. : τέτοιες ώστ γι κάθε,. Aν A () 4, ( ), ν ρείτε την.8 Γι τη συνάρτησ τι. Ν Ν ποδείξετ ι.8 Ν προσδιορίσετπ ετε όλες τις συνρτήσεις ( ln γι κάθε,, ση :, ετε ότι τε ισχύει ln, τουλάχιστον ρίζ

9 Γ Λυκείου Μθημτικά Θετικών Σπουδών 9 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ.84 Ν συνρτήσεων () 5 t r().85 Βρ k.86 Έσ γνησίως ύξουσ. Δείξτε ότι η είνι γνησίως φθίνουσ στο, 4.87 Α) ) Αν 5 5 ν ποδειχθεί ότι η είνι γν. φθίνουσ. Β) Ν λυθεί η νίσωση N Α) ln.89 Γι 5 () Α) Αποδείξτε ότι η είνι γνήσι ύξουσ Β) Ν λυθεί η νίσωση.9 Ν ποδείξετεε τη μονοτονί των 5 ln ν φ() ) ν ρείτε τη μονοτονί των συνρτήσεων ν ln, g() στω η συνάρτηση :, λύσετε τις νισώσεις: ι τη συνάρτηση : ισχύει ότι: e g ln e m e γι κάθε. ποδείξετεε ότι η συνάρτηση. είνι γνησίως ύξουσ κι ν Β) m g e 4, τότε ln,..9 Δίνετι ότι η συνάρτηση ορισμένη κι είνι γνήσι ύξουσ στο εξίσωση. ιδ Επιπλέον ισχύει ότι «ν τότε». Ν. ορισμού το,, σύνολο τιμών το, ώστε g φθίνουσ. Δείξτε ότι g( () φθίνουσ στο με (() )) γι κάθε, ν δείξετε ότι (),..95 Ν ποδειχθεί ότι δεν υπάρχει συνάρτηση :, γνήσι φθίνουσ με την ιδιότητ ( ) (6 8) 4,. () κι γι κάθε ισχύει ότι: 5, ν ποδείξετε ότι (), γι κάθε. διότητ.9 Έστωω συνρτήσεις,g με κοινό σύνολο,, κι η είνι γνήσι την οποί ότι - = γι κάθε, δείξετε ότι η είνι γν. ύξουσ στο,..94 Αν : περιττή κι γνησίως.96 * Η συνάρτησησ είνι γνησίως ύξουσ.97 Έστωω συνάρτησηη, ορισμένη στο γι ότι η είνι γνήσι γ ύξουσ κι ότι,. Ν λύσετε την.9 Η συνάρτηση : : (, ) έχει την g (). e e,. Δείξτε, λύσετε την νίσωση 6 5 6

10 .98 Δί είνι γνήσι ύξουσ στο. Ν λυθεί η νίσωση 5.99 Έσ γνήσι μονότονη κι η γρφική τηςς πράστσηη διέρχετι πό τ σημεί, κι, Α) Ν ποδείξετεε ότι είνι γνήσι ύξουσ Β) Ν λύσετε τις νισώσεις κι Δ) Ν λύσετε την εξίσωση. Πόσες ρίζες μπορεί ν έχει η εξίσωση 44. Δί Α) Ν ποδειχθεί ότι είνι γνησίως ύξουσ. Β) Ν λυθεί η νίσωση ( 8). Γι e (7 ) Α) Αποδείξτε ότι η είνι γνήσι ύξουσ Β) Ν μελετηθεί ως προς τη μονοτονί η συνάρτηση g e Γ) Ν υπολογίσε Δ) Ν ρείτε το πρόσημο της. Έσ πίρνει θετικές τιμές κι ισχύει γι κάθε. ίνετι η συνάρτηση : η οποί Α) Ν ποδείξετεε ότι η είνι γνήσι φθίνουσ κι ν ρείτε Β) Λύστε την νίσωση 5 στω συνάρτηση :, που είνι ίνετι η συνά ι τη συνάρτηση : ισχύει ότι ι γι στω συνάρτηση ορισμένη στο, άρτηση κάθε ετε το το η Έστωω συνάρτησηη :, που είνι γνήσι μονότονη κι η γρφική της πράστση διέρχετι πό τ σημεί, κι, Α) Ν ποδείξετε ότι είνι γνήσι ύξουσ Β) ) Ν λύσετε λ τις νισώσεις κι Ε) ) Πόσες ρίζες μπορεί ν έχει η εξίσωση 4..4 Ν μονότονη συνάρτηση : γι την οποί ισχύει ()..5 Α) Ν h Β) ) Έστωω συνάρτησηση ορισμένη στο ώστε ν ισχύε. Αποδείξτε ότι η είνι γνήσι ύξουσ Γ) ) Ν λύσετε λ την εξίσωση υπολογίσετε τ..6 Αν : συνάρτηση του σχήμτος, ν ρείτε την μονοτονί της συνάρτηση στο, (mathematica.gr). τέτοι ώστε γι κάθε. Θεωρούμε τη συνάρτηση g h φθίνουσ στο h e 5.7 Έστωω η συνάρτη. N N ποδείξετε ότι η h είνι γνήσι h e ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ Δ) ) Ν λύσετε λ την εξίσωση ποδείξετε ότι δεν υπάρχει γνησίως γι Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση, είνι γνήσι ύξουσ. ει 5 ο είνι η ης g, κι ν λύσετε την εξίσωση h e κάθε. () γι κάθε h ση :, h e στο h() όπου κι ν,

11 Γ Λυκείου Μθημτικά Θετικών Σπουδών.8 Ν τις πρκάτω συνρτήσεις g() 4 t() 4 4 r 4 5 :[,4) μεε () ν φ ν.9 Ν τις πρκάτω συνρτήσεις Β). Ν τις πρκάτω συνρτήσεις Α) 4 5 Β) e e. Ν τις πρκάτω συνρτήσεις Α) e Β) e e Β. Έστω () προυσιάζει ελάχιστο. Έσ Α) Ν ποδείξετεε ότι η συνάρτηση Β) Ν ρείτε την μέγιστη τιμή της e συνάρτησης Φ() e Ακρόττ ρεθούν τ κρόττ κάθε μις πό ρεθούν τ κρόττ κάθε μις πό :[,4) ρεθούν τ κρόττ κάθε μις πό ρεθούν τ κρόττ κάθε μις πό Α) ln,, με () στω : συνάρτησηη με () () g() έχει μέγιστη τιμή το. () 4e. Α) )Ν δείξετε ότι 5 4 ν 8. N ποδείξετε ότι () γι κάθε κι ότι η..4 Ν ρεθεί ο λ ( () (λ ) ν έχει ελάχιστο το. ( (() συνάρτηση h έχει μέγιστο τοο οποίο κι ν ρεθεί (mathematica)..6 Αν Α) Ν ρείτε το πρόσημο του Β) ) Ν λύσετε λ τις νισώσεις..7 Αν Α) Ν ρείτε το πρόσημο του Β) ) Ν λύσετε λ τις νισώσεις ) B) Ν λυθεί λ η εξίσωση 6 Γ) ) Ν ρείτε τους, ώστεε ν ισχύει. ύξουσ στο πεδίο π ορισμού της. Β) ) Δείξτε ότι η προυσιάζει ελάχιστο. Γ) ) Ν λύσετε λ την νίσωση 5.5 Έστωω οι συνρτήσεις,g : ώστε Δ) ) Ν λύσετε λ την εξίσωση 5 e g() γι κάθε. Δείξτε ότι η ).9 Δίνετι η συνάρτ 5 g 6 8,,τότε 6 8,,τότε 4 6 e 4, ώστε η συνάρτηση ) )..8 Δίνετι η συνάρτηση A) Αποδείξτε ότι η έχει ελάχιστο το τηση 5 44 e 5 e 5 e. Α) Αποδείξτε ότι η είνι γνησίως g 88

12 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ Συνάρτηση :. Ν συνρτήσεις, είνι κι ποιες όχι: Α) Γ). Δίν την οποί ισχύει (()), γι κάθε [, ). Ν δείξετε ότι η είνι. Έσ. Αποδείξτε ότι η η είνι. εξετστεί ποιες πό τις πρκάτω ln Β) 4 4 νετι η συνάρτηση :[, ) γι στω ότι η συνάρτηση : είνι e F. Αν η συνάρτηση : έχει την ιδιότητ, ν..9 Δίνοντι οι συνρτήσεις,gg : με () δεν είνι. Α Β.. Θεω g. Δίνε Ν ποδείξετε ότι η είνι - Ν λύσετε λ την εξίσωση: -+ = ln : Β ετι η, ν ποδείξετε ότι ν B (A) κι η g είνι τότε η g ln κι g,. N ποδείξετε ότι κι ότι η g ι + ρούμε τις συνρτήσεις : Α κι είνι, στο, δείξετε ότι είνι -.. Αν ε είνι e e,, τότε.4 Ν ρεθεί ο λ συνάρτηση.5 Ν συνάρτηση ν ισχύει 6.6 Δίν Α) N μελετήσετε τη μονοτονί της Γ) Ν λύσετε την νίσωση ln.7 Ν Α) Γ) e ln Β) 6 e e.8 N 4 ν () λ 8 ν ποδειχτεί ότι δεν είνι η νετι η συνά λύσετε τις εξισώσεις. λύσετε την εξίσωση ώστε ν είνι η () 9 άρτηση 7 5 Δ) ln Β) Ν λύσετε την εξίσωση ln lg λ lg 5λ 5 5λ 5 λ 4 Α) Ν ποδείξετε ότι. Β) ) Ν λυθεί η εξίσωση e e.. Ν e..4 Αν () Ν λύσετε τηνν εξίσωση Αν e. e :, μ υπάρχουν,,, ώστε ν ισχύει 4 τότε με, Α) N N δείξετε ότι είνι Β) Ν Ν λύσετε τηνν εξίσωση: - +( -).6 *** Δίνετι Δ η συνάρτηση ποδείξετε ότι ν ισχύει 4 τότε: e τότεε + -=ee. Ν ποδείξετε ότι με. + +(+) +

13 Γ Λυκείου Μθημτικά Θετικών Σπουδών Αντίστροφη.7 Βρ συνρτήσεων Α) () Γ) () lg Ε),.8 Βρ συνρτήσεων Α) ( (). 4 Γ) ( () lg Ε) ( () 9 Στ) ().9 Ν ν ().4 Έσ ((())) 7 γι κάθε. Δίνετι κόμη ότι (), κι ν λύσετε την εξίσωση.4 Έσ Α) Ν ποδείξετεε ότι η ντιστρέφετι. Β) Ν λύσετε την εξίσωση () (). Γ) Ν λύσετε την νίσωση (5 6)..4 Έστω ln Α) Ν ρείτε την τιμή Β) Ν λύσετε την εξίσωση ln λ 5 λ ρείτε τις ντίστροφες των ρείτε τις ντίστροφες των ρείτε τ κοινά σημεί των C C,, στω συνάρτηση ώστε ν ισχύει () 9 στω η με 4 λ Β) () 5 Δ) () ln( e ),, Δ) Ζ) () lnn. Ν ποδείξετε ότι η είνι (). e e Β) () e () () Αν γ υπάρχουν οι συνρτήσεις σ ν ποδείξετε ότι υπάρχουν κι οι..44 Έστωω η συνάρτηση () Α) Ν ποδείξετε ότι ντιστρέφετι Β) ) Ν λύσετε τις εξισώσεις (), () Γ) ) Ν ρείτεε τ κοινά σημεί της C με τους Δ) ) Ν λύσετε την την εξίσωση ( ημ ) ημη ημ ημ κι τις νισώσεις: ισχύει ότι κθώς κι τ..46 Οι σ ντιστρέψιμεςς έχουν σύνολο τιμών το κι ισχύει g g, ν δείξετε ότι g..47 Ν έχει μόνο έν κοινό σημείοο με την ντίστροφή της υτό θ ρίσκετι πάνω στην ευθεί..48 Θεω τύπο () 5 A) B) Ν λυθεί λ η εξίσωση ()..49 Ν πράστσης τ γι τις συνρτήσεις, g Αποδείξτε η ντιστρέφετι, ν ρείτε την συμμετρίς την ευθεί τ κοινά σημεί των C κι συνρτήσεις ποδείξετε ότι ν μι συνάρτηση ρούμε την συνάρτηση. Ν ποδείξετε ότι ποδείξετε ότι η γρφική της g άξονες κι με την ευθεί κι g (), κι () Γι τη τ συνάρτηση : ( ) (),g :, γι κάθε. 5 έχει άξον 5 :,, ι g κι με είνι C g : με..5

14 4 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΓΕΝΙΚΕΣ.5 Γι τη συνάρτηση : ισχύει ότιι ν ρείτε το ν όροι το.5 Δί ίνετι η συνάρτηση : (, ) γι την οποί ισχύει ότι ό ( ) () () γι κάθε,. Ν ποδείξετεε ότι: () () (),, ().5 Έστω η συνάρτηση : με σύνολο τιμών το, κι γ γι κάθε ισχύει () () e. Ν ρείτε την κιι την ντίστροφη της..54 Έστω συνάρτηση :(, ) με τηνν ιδιότητ: έχει μονδική ρίζ, τότε - = γι κάθε, Αν η εξίσωση Α) Ν ποδείξετεε ότι η είνι Β) Ν λύσετε την εξίσωση.55 Γι τη συνάρτηση : ισχύει ότι ι, γι Δίνετι επιλέον ότι ισχύει η πρότση: «Α) Ν ποδείξετεε ότι η είνι περιττή κι γνήσι ύξουσ Β) Ν λύσετε την εξίσωση H συνάρτηση : είνι γνήσι μονότονη κι η C διέρχ.57 Γι την συνάρτηση : είνι γνωστό ότι e Α) Ν δείξετε ότι η είνι ντιστρέψιμη.». Β) Ν ρείτε το. γι γ κάθε ι κάθε,. χετι πό τ σημεί A 5,9 κι B, τότε: Α) Αποδείξτε ότι η είνι γν. ύξουσ Β) Λύστεί την εξίσωση ( ) 9 Γ) N λύσετε την εξίσωση e 4 e 5.58 H συνάρτηση : είνι γνήσι μονότονη, έχει σύνολο τι τ σημεί A 5,9 κι B, τότε: ιμών το κι η C διέρχετι πό Α) Ν ποδείξετεε ότι η είνι γν. ύξουσ Β) Ν λύσετε τις Γ) Ν λύσετε τις νισώσεις νίσωση εξισώσεις ( ) 9 κι ln 7 κι ln 4 9

15 Γ Λυκείου Μθημτικά Θετικών Σπουδών.59 Έστω η γνησίως μονότονη συνάρτηση : στη C τότε ν ρείτε το λ ώστεε λ e.. Αν Α τ σημεί A, κ ι B, ρίσκοντι 5.6 Έσ στω συνάρτηση : γι την οποί ισχύει: (e ) 8( ) 8 e γι κάθεε. Αν η είνι γνήσι ύξουσ ν λύσετε: Α Την εξίσωση: Β Την νίσωση e e..6 Α) ) Αν γν. ύξουσ στο κι, τότε ( B) Ν ποδείξετεε ότι η συνάρ ρτηση 4 ντιστρέφετι, ν ν ρείτε τηνν κθώς κι τ κοινά σημεί των C κι C..6 Γι ι τη συνάρτηση : ισχύει ότι ι ( ) ()() γι κάθε, κι υπάρχει ξ, ώστε (ξ). Ν ποδείξετεε ότι: Α) () γι κάθε κι () Β) ( ) = () () κι ( ), () ν Γ) (ν) () γι κάθε ν Ν κι.6 *Δ e Δίνετι η συνάρτηση : γι την οποί ισχύει: (), γι κάθε () Α. Ν δείξετε ότι () γι κάθε. Β. Ν δείξετε ότι η είνι γνησίως ύξουσ. Γ. Ν λύσετε την νίσωση: lnn ()..64 Έσ στω η συνάρτηση :,, με κι η συνάρτηση g η οποί είνι γνησίως φθίνουσ. Α) Ν δείξετε ότι η είνι γνησίως φθίνουσ. B) Γ) Ν λυθεί η εξίσωση N λύσετε την εξίσωση ln e.65 Ν λύσετε την εξίσωση.66 Έσ στω η συνάρτηση :, τέτοι ώστε γι κάθε. Θεωρούμε τη συνάρτηση g h() όπου h Α) Ν ποδείξετεε ότι η g είνι περιττή. Β) N ποδείξετεε ότι τη μονοτονί της h Γ) Ν λύσετε την εξίσωση h e. Τότε: he h e h e στο,

16 6 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΟΡΙΑ ΟΡΙΟ ΣΤΟ X.67 Ν Α) Β).68 Ν υπολογίσετε τ όρι ν ν (ν ) με ε ν Ν* υπολογίσετε τ όρι..7 Ν υ Α) Β) )..74 Ν υ ημ π ημ ημ π υπολογίσετε τ όρι υπολογίσετε τ όρι: κι ημ συν συν Α) Β) Γ) im li Ν υ Α) Γ) ) ημ ημ( ( ) υπολογίσετε τ όρι: Β) συν συν ημ ημ.69 Ν Α) Β).7 Ν.7 Ν, ν () 4 ν.7 Ν υπολογίσετε τ όρι 4 υπολογίσετε τ όρι υπολογίσετε το () ν υπολογίσετε τ όρι:..76 Ν ημ ημ..77 Ν..78 Αν () Αν ()-(-) ημ ρείτε (ν υπάρχουν) τ όρι ημ ρεθεί ο ν N ν ημ ημ... ημν 8 () 5 l ν ποδείξετε ότι () () l ν ν ρείτε το Α) 6 ημ ημ Β)..8 Αν g() 7, ν ρείτε το Γ) 4 li () im g() g g() 4

17 Γ Λυκείου Μθημτικά Θετικών Σπουδών.8 Ν ρεθεί το ()g() ν g() ()( )..9 Αν () () l -, ν ρεθεί το 7.8 Ν..8 Η ισχύει ότι () () 5 4. Ν ρείτε το.84 Αν () () 4.85 Ανν κι ισχύει -, ρείτε το ().86 Ν () g() 5 () ) g() 4 ν κι.87 Αν () - () ().88 Aνν ν ποδείξτε ότι.89 Αν () ποδείξετεε ότι ν, τότε συνάρτηση είνι άρτι στο κιι () ) 4 () 9, ν ρεθεί το () ρεθούν τ ν γι τη συνάρτηση : είνι, ν ρείτε τ όρι ν η : είνι περιττή με ν ρεθεί τ κ () () κι () συν γι κάθε () =. [(-)-(-)] το g() κι, ( ().9 Έστωω συνάρτησηη με. (v) Α) Α Ν δείξετε δ ότι v, v Β) ) Αν (v) ημ (v) ημ γι κάθε ν δείξετε ότι v..9 Έστωω συνάρτησηη γι την οποί ισχύει Α) Α Ν ποδείξετε ότι η είνι περιττή Γ) ) Αν ισχύει ότι ό. οποί ισχύει ότι ό () *. Αν m, τότε ν ποδείξετε ότι κι ν ν ρείτε τ (ημ). γι κάθε,,..9 Έστωω συνάρτησηη :* γι την l Β) ) Αν ισχύει ότι ό, ν ποδείξτε ότι (()) im ν ποδείξετε ότι *.94 Έστωω η συνάρτηση : με την ιδιότητ: () () γι κάθε, Α) Α Αν η εξίσωση () έχει μονδική ρίζ το ν δείξετε δ ότι η είνι () Β) ) Αν l ν ρείτε το ημ() ημ () κι m ημ, γι κάθε ( ). (ημ) (συν) ημ συν σ π 4

18 8 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΧΟ.95 Ν Α) 4 ρεθούν(ν υπάρχουν)τ όρι Β)..97 Α) Α g() Αν h() ν ρεθεί το Γ) Ε) Δ) 5 ημ π Στ) ( ( ) ( 4)..98 Αν )() () ρεθεί το ν.96 Ν Α) ρεθούν(ν υπάρχουν)τ όρι 6 4 Β) )..99 Αν l () 5 ν ρεθεί το () Γ) 5 5 Ε) ( ) Δ) συ υν Ζ) συν.. Αν g() l g() g() 6 4 ν ρεθεί το τ Όρι Πρμετρι ικών Συνρτήσεων στο Χ ο. Αν ρεθούν τ,, γ ώστε ν υπάρχει το () () γ5 στο σύνολο των πργμτικών,, ν 5λ.5 Βρείτε το λ ώστε 9( λ ). λ μ.6 Βρείτε τ λ,μ ν Ν ποδειχτεί ότι γι κάθε λ η. Ανν () ημ() ν ν ν -λ συνάρτηση ( ) - - πργμτικό όριο στο. δεν έχει ρείτε το () γι κάθε ν. Ανν () λ ν ρείτε το () γι κάθε λ 4 λ λ ν..8 N A) 6 `..9 N ρεθούν γι κάθε τ όρι: B) ρεθεί το m 4 ( 4)( ) 7,.4 Ν ρείτε τουςλ,μ ώστε : (λ μ) (λ μ ) μ

19 Γ Λυκείου Μθημτικά Θετικών Σπουδών 9. Βρείτε τ,, ν Όριο συνρτησης στο πειρο 6 4. Ν υπολογίσετε τ όρι Α) Β) Γ). Ν υπολογίσετε τ όρι Πρμετρικά όρι στο πειρο.8 Αν ρεθεί το.9 Αν (λ ) (λμ) μ () () γι κάθε λ,μ () --, ώστε () ν ν ρεθούν οι Α) Β) Γ) Δ) e e 4 5 lg lg. Αν () λ ν ρεθεί το (). Αν γι κάθε λ () 4 ημφ συνω φ,ω π. Ν ρείτε τ φ,ω ώστε με (). Ν ρεθούν οι, ώστε:. Ν υπολογίσετε τ όρι Α) Β) ημ συν ημ.4 Ν υπολογίσετε το ln( ) ln( ) ημ.5 Ν ρείτε το.6 Ν ρείτε το ln(t t ) ln t t. Γι κάθε -, -.4 Γι κάθε.5 Ν ρεθεί το όριο γ με,,γ κι () γ, ν υπολογίσετε το, ν υπολογίσετε το () Αν.7 Γι την συνάρτηση :, ισχύει l, Ν ρεθεί το ln ln.6 Έστω η ρείτε τ όρι () ln(). κ ln, κ Ν

20 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ.7 Έσ ισχύει: (), γι κάθε ρείτε τ ()-4 A) Γ) ()-6.8 Ν g 4g 5, γι κάθε..9 Αν. Aνν, ν ποδειχθεί ότ. Αν () 4 () 9 (). Η στο κι γι κάθε ισχύει 7.Βρείτε το l (). Ν.4 **Έ ισχύει ποδείξετε ότι.5 Απ στω συνάρτηση γι την οποί B) Δ) ν ισχύει ότι l συνάρτηση έχει πργμτικό όριο υπολογίσετε το Έστω η συνάρτηση γι την οποί ημ γι κάθε. N ποδείξτε ότι ()-4 ()- - 4 ρείτε τ, g g, τότε ν ποδείξετε ότι g τι συν γι κάθε (). Ν ημ ν συν ημ 9 ν ρείτε το..6 Δίνοντι οι συνρτήσεις, g, h ώστε ν g() 4 ισχύουν ημ( ) g() () h() κι ( ) κι κ γι κάθεε h() τ..7 Βρείτε το..8 Ν..9 Ν..4 Ν ρεθεί το m..4 Ν..4 Ν ρεθεί το m ημ συν 4ημ..4 Ν ρείτε το m συ υν ημ συν..44 Ν ρείτε το m..45 Η συ στο κι ισχύει γι κάθε. Ν ρεθείί το (). g(), h() κι κάθε, ν ν ποδείξετεε ότι:...47 ρεθεί το ρεθεί το ημ υνάρτηση. () ι ημ ημ ημ ημ συν ημ συν ημ ρεθεί το m έχει πργμτικό όριο..46 Γι τη τ συνάρτηση : 7 ημ γι Ν ρείτε ισχύει

21 Γ Λυκείου Μθημτικά Θετικών Σπουδών ΣΥΝΕΧΕΙΑ.48 Ν συνάρτησης ν ισχύει ότι () 5 ημ ( )( ), ()-.49 Αν -.5 Δί ()= εξετάσετε ως προς τη συνέχει τη συνάρτηση..5 Αν ρεθεί ο τύπος της συνεχούς ίνετι η συνάρτηση :, μεε γι κάθε,. Ν ν γι κάθε ισχύει ότι κι η ()- ()-6 συνεχής, ρείτε το - ημ ( ) () ημ ().Ν είνι..56 Έστω Α) Ν ποδείξετε ότι ν τότε η είνι συνεχής στο Β) ) Ν εξετάσετε τη συνέχει της γι..57 Έστωω : με ω. () e, κ ι ν εξετάσετε ν η είνι συνεχής στο μηδεν ημ, ν, ν e, γι κάθε. Δείξτε ότι..58 Έστωω η συνάρτηση :, γι την οποί ισχύει () () ) συν, Α) Ν ποδείξετε ότι () ποδείξετε ότι η είνι συνεχής στο. Β) ) Αποδείξτε ότι η είνι συνεχής στο.5 Γι ότι g. Αποδείξτε ότι οι, g είνι συνεχείς στοο / ιδιότητ 5 ότι είνι συνεχής στο..54 ** κι ισχύει () e ρείτε το ( ) ι τις συνρτήσεις,g : ισχύειι.55 Αν l. Ν ποδείξετεε Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στοο συνεχής, ν δείξετε ότι 5 4g.5 Μι συνάρτηση : γι κάθε, ν ln κι η συν, έχει την είνι Γ) ) Ν ρείτε το όριο. Α) Ν υπολογίσετε υ τ όρι: Β) ) Υπάρχει τιμή του ώστε η ν είνι συνεχής;..6 Η συ,. Ν ποδείξετε ότι είνι συνεχής στο..59 Δίνε, -.6 Έστωω ότι η συνάρτηση είνι συνεχής στο ετι η κι ισχύει,, l, υνάρτηση,. Δείξτε ότι η είνι συνεχής στο, είνι συνεχής στο κι ισχύει ότι () ) () () γι κάθε,

22 Βσικά Θεωρήμτ.6 Ν π εφ έχει στο διάστημ, τουλάχιστον μι ρίζ.6 Ν κ λ μ με κ, λ,μ έχει κριώςς - δύο ρίζες, τις ρ, ρ, γι τις οποίες μάλιστ ισχύει ότι.64 Έσ,,,. Ν ποδειχτεί ότι έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο,.65 'Εστω :, συνάρτηση,, ώστε () κι () ότι υπάρχει.66 Εσ ώστε () (π). Ν ποδείξετε ότι υπάρχει π,π, ώστε ( )..67 Η ποδείξετε ότι: B) Υπάρχουν άπειροι ώστε () ( ).68 Δί () e, g() (ημ συν). Αν το (,) είνι σημείο της ευθείς τουλάχιστον κοινό σημείο με τετμημένη, ποδείξετεε ότι η εξίσωση ποδείξετεε ότι η εξίσωση ρ ρ στω η εξίσωση ι [,], στω :[,π] συνεχής συνάρτηση, συνάρτηση είνι συνεχής στο A) Η είνι περιοδική ίνοντι οι συνρτήσεις με τύπους (,),, ποδείξτεε ότι οι, μ -λ κ, συνεχής, με ώστε ( ). C. Δείξτε κι γι κάθε είνι () ( ) Ν, μεε C g έχουν έν. είνι συνεχής στο κι ισχύουν 4 κ * γι κάθε κι ρ..7 Η συ, ώστε ( ) 4() 7( ). :,, Δείξτε ότι υπάρχει (,), ώστε 7..7 Αν πόλυτη τιμή δεν υπερίνει τον...7 Αν η ότ εξ..74 Αν η ποδείξετε ότιι υπάρχει,, ώστε.69 Έστωω συνάρτησηη : η οποί γι γ κάθε. Δείξτε ότι ι..75 Η συ συνεχής κι υπάρχουν γ ώστε γ γ. Ν δείξετε ότι υπάρχει ώστε συνάρτηση. Δείξτε ότι υπάρχει, ώστε.7 Eστωω η συνεχής συνάρτηση τι γι κάθε,δείξτε ότι η ξίσωση, με έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο. υνάρτηση ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ, με, δείξτε ότι υπάρχει με 4,, ν ποδείξετε ότι η η είνι συνεχής στο κι ισχύει η συνάρτησηη είνι συνεχής στο 6, κι κό υνάρτηση : :,, είνι (S. Banach) ) * είνι συνεχής στο, κι γ εξίσωση ημ έχει ρίζ της οποίς η όμη 8, ν..76 'Εστω :,, συνεχήςς 4 ρείτε το,. τέτοιο

23 Γ Λυκείου Μθημτικά Θετικών Σπουδών.77 Ν κι.78 Αν,,...,,. ποδείξετε ότι υπάρχει, έν τουλάχιστον, ώστε Ν συνρτήσεις : ν ισχύει ότιι ημ,.8 * με 9 ποδείξετε ότι.8 N συνάρτησης 4 κι ν λύσετε την νίσωση.8 Έσ οποί ισχύει ότι 4 9 () 6 γι κάθε,. ln Ν ρείτε τον τύπο της.8 Βρ συνρτήσεων ρείτε τη συνάρτηση, συνεχή στοο ν ισχύειι e 4 4e γι κάθε ν ρεθούν όλες οι συνεχείς ίνετι συνάρτηση : συνεχής γι κάθε γι κάθε ρείτε το σύνολο τιμών της ς η στω η συνεχής συνάρτηση γι την Α), Β) συν,,π / μπορούσε η ν είνι ντιστρέψιμη; ρείτε τ σύνολ τιμών των κι ν Ν. Ν.84 Μι συνεχής συνάρτηση : ικνοποιεί τη σχέση: 4. Θ..85 Αν π υπάρχει, ώστε..86 Ν πρστάσεις των τ συνρτή g διστήμτος π, Οι σ συνεχείς κι ισχύει g g γι κάθ Έστω κόμ ότι ό η είνι γνησίως φθίνουσ στο,. Ν ποδειχθεί ότι υπάρχει (τε),..88 Ν ν...9 Αν η γνησίως ύξουσ στο (, + ) με l ποδείξετε ότιι υπάρχει μόνο ένς ριθμός ο ώστε..9 Η συ υνάρτηση είνι συνεχής στο κι ισχύει () γι κάθε. Ν ποδείξετε ότιι υπάρχει ώστε γι κάθε ισχύει ότι ρ ημ ημ συν τέμνοντι σε έν μόνο σημείο του ωστε.89 Έστωω συνεχής συνάρτηση :, ν ποδείξετε ότ ρείτε το 5,, γ, ν ποδείξετεε ότι γ κι e ln. ποδείξετε ότι οι γρφικές συνρτήσεις κι g ρείτε το πρόσημο της συνάρτησης 4 5π π η συνάρτησηη είνι συνεχής κι m ημ ήσεων κι,g :, τι ημ, π,. δ, ν, είνι θε,.. Ν Z κι..9 Έστωω : σ συνεχής με 9 κι

24 4 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ.9 Α) Γενικές Ασκήσεις ) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση ln έχει μονδική ρίζ Β) Δίνετι η συνά άρτηση ν lnn ν με μ Ανν η είνι συνεχής στο, ν ρείτε την τιμή του.94 Έσ συνεχής στω g ημ κ ι συν, ν g() g() ν g() Ν ρείτε το ν η είνι.95 Έσ στω : συνάρτηση, ώστε ημ,. Α) Αποδείξτε ότι η είνι συνεχής στο Β) Αν η είνι συνεχής στο κι ισχύειι ν δείξετεε ότι..96 Έσ Ν ποδείξετε ότι:, γι κάθε, 4, Α) στω συνεχής συνάρτηση στο, 4 4 Β) Η συνάρτηση g έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο,. γι την οποί ισχύουν: γι κάθε, 4, Γ) Η δεν είνι ντιστρέψιμη..97 Έσ είνι μί συνεχής συνάρτηση ορισμένη στο, ν δείξετε ότι υπάρχει ο [,] ώστε ( ο ) (g( ο )).98 Έσ - 4 στω η συνάρτηση g() ορισμένη στο,. Αν ισχύει g 5 () 5 όπου Α) Ν ρείτε το Β) Αν γι κάθε,4 ν δείξετε ότι: ) ) στω οι συνεχείς συνρτήσεις,g :, με ν g γι κάθε,4. ) έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο,. g κι () g( () () g() Η εξίσωση.99 Έσ στω η συνεχής κι γνησίως φθίνουσ συνάρτηση :(,) γι την οποί ισχύουν () κι ημ( ) ( )() Α) Ν ρείτε το σύνολο τιμών της h() () ln γι κάθε (,) Β) Ν δείξετε ότι η γρφική πράστση της συνάρτησης g() e () τέμνει την ευθεί σε έν μόνο σημείο με τετμημένη (,) )

25 Γ Λυκείου Μθημτικά Θετικών Σπουδών 5. A) ) Η συνάρτηση είνι συνεχής κι σε διάστημ Δ. Αν,, γ Δ με γ, ν ποδείξετε ότι θ είνι είτε () () (γ) είτεε (γ) () () B) Αν η συνάρτηση είνι συνεχής κι στ Δ, ν ποδείξετε ότι είνι γνησίως μονότονη στο Δ.. Έσ κάθε. στω συνάρτηση, συνεχής στο κι ισχύει η σχέση 44 6 Ν ποδείξετε ότι η εξίσ σωση έχει τουλάχιστον μι ρίζ ρ στο, 6 γι. Η συνάρτηση είνι συνεχής στο, κι ισχύει () 4 γι κάθε. Ν δείξετε ότι: Α. η είνι Β. Aνν η είνι γνήσι μονότονη τότε είνι γνήσι φθίνουσ Γ. υπάρχει ώστε Δ.. Η ορειάτης ξεκινάει την νάση στις 6 το πρωί κι χωρίς ν στμτήσει ρίσκετι σε 6 ώρες στην κορυφή. Την άλλη μέρ ξεκινάειι στις 6 το πρωί την κτάση, σε 6 ώρες, κολουθώντς την ίδι διδρομή, επιστρέφει στη άση. Ν δείξετε ότιι υπάρχει έν τουλάχιστον σημείο της διδρομής ς όπου ρίσκετι την ίδι ώρ κι τις δύο ημέρες.4 Η ν ξ.5 Έσ νάση - όπως κι η κτάση - στην ψηλότερη κορυφή του Ολύμπου διρκεί 6 ώρες. Ένς συνάρτηση είνι συνεχής στο, ν ποδείξετε ότι υπάρχουν ξ,ξ, ώστε ξ... v, με,, στω η συνάρτηση :I I ώστε () 4 γι κάθε I κ. Γι κάθε,,,...,... v v ι κι v, A) Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο σημείο, ν υπολογίσετε το όριοο B) Ν ποδείξετεε ότι η συνάρτηση δεν είνι συνεχής στο, () ημ.6 Έσ στω συνεχής συνάρτηση :, I γι την οποί ισχύε Α) Ν ποδείξετεε ότι Β) Ν μελετηθεί ως προς τη συνέχει η συνάρτηση g ημμ,,, ει,,

26 6 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ.7 Δί ίνετι η συνεχής συνάρτηση με ln ln Α) Ν ποδείξετεε ότι η είνι ντιστρέψιμη κι ν ορίσετε την Β) Ν ρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης g Γ) Ν ποδείξετεε ότι η εξίσωση e e έχει μονδική λύση μεγλύτερη του έν.8 Γι ι τη συνεχή συνάρτηση, ισχύει ότι: ( () ημ, 4. Ν 6 υπολογίσετεε το () κι ν ποδείξετε ότι υπάρχει, έν τουλάχιστον κ 6 κ (,] ώστε κημ κ. 6.9 Έσ στω συνάρτηση ορισμένη στο μεε σύνολο τιμών το, γι την οποί ισχύει ότι γι κάθε. Ν ποδείξετεε ότι Α) ότι η είνι κι ν ρείτε τον τύπο της ντίστροφής της. Β) ότι η είνι γνήσι ύξουσ. Γ) γι κάθε Δ) Ν ποδείξετεε ότι η είνι συνεχής στο μηδέν Ε) m. ** οποίου τ άκρ νήκουν στη γρφική πράστση της. Έστω ότι είνι μι συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού το * Αν είνι μι συνάρτηση, τότε λέγοντς χορδή της εννοούμε έν ευθύγρμμο τμήμ του ε, κι με. Α) Ν ποδείξετεε ότι υπάρχειι οριζόντι χορδή της με μήκος. Β) N ποδείξετεε ότι υπάρχειι οριζόντι χορδή της με μήκος, ν όπου ν,,.... Δί Η συνάρτηση είνι συνεχής στο () () () () Γι τη συνάρτηση g ισχύει ότι g Α), γι κάθε Β) Υπάρχει ω ώστε ω Γ) ίνοντι οι συνρτήσεις κι g γι τις οποίες ισχύουν ότι:, γι κάθε. 4 με Δ) υπάρχει μι τουλάχιστον ρίζ της g στο, Ε) οι κι g δεν είνι ντιστρέψιμες., γι κάθε,, 9 9 κι, γι κάθε. Ν' ποδειχθεί ότι :

27 Βσικές Γνώσεις Μθημτικών μέχρι κι τη Β Λυκείου ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Φυσικοί: IN,,,..., Ακέριοι: Z...,,,,,,..., Ρητοί: Q / Ζ, Ζ*, Άρρητοι Q Πργμτικοί QQ, ενώ, Ισχύει: ΝΖQ, Ενώ με Ν*, Ζ*, Q*, * συμολίζουμε τ ντίστοιχ σύνολ χωρίς το μηδέν. ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ γ γ γ γ ν ν ν ν ν ν... ν ν ν ν ν ν ν... με ν περιττο. γ γγ γ γ γ γ γ ή ==γ Euler γ δ γ δ δ γ Lagrange ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. Επιτρέπετι ν προσθέσω ή ν φιρέσω πό τ δύο μέλη μις νισότητς τον ίδιο ριθμό. Επιτρέπετι ν πολλπλσιάσω, ν διιρέσω κι τ δύο μέλη μις νισότητς με τον ίδιο θετικό ριθμό, ενώ πρέπει ν λλάξω την φορά της νισότητς ν υτός είνι ρνητικός.. Επιτρέπετι ν υψώσω μι νισότητ σε δύνμη με περιττό εκθέτη, ενώ πρέπει ν έχει θετικούς όρους ν την υψώσω σε δύνμη με άρτιο εκθέτη (ν έχει ρνητικούς όρους κι την υψώνω σε άρτιο εκθέτη πρέπει ν της λλάξω τη φορά) 4. Επιτρέπετι ν προσθέσω δύο νισότητες της ίδις φοράς κτά μέλη 5. Επιτρέπετι ν πολλπλσιάσω δύο νισότητες της ίδις φοράς κτά μέλη εφ όσον όλοι οι όροι είνι θετικοί. 6. Αν, θετικοί κι οι δύο ή ρνητικοί ριθμοί κι οι δύο τότε ισχύει η ισοδυνμί 7. Ισχύει η μεττική ιδιότητ: Αν κι γ τότε γ. Η ιδιότητ υτή μου επιτρέπει ν «ενισχύω» μι νισότητ με κάτι μεγλύτερο πό το μεγάλο ή κάτι μικρότερο πό το μικρό μέλος της. 8. ΙΣΧΥΟΥΝ:,, ν, ν 9. ΠΡΟΣΟΧΗ! ΔΕΝ ΑΦΑΙΡΟΥΜΕ, ΔΕΝ ΔΙΑΙΡΟΥΜΕ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΤΑ ΜΕΛΗ ΑΠΟΛΥΤΑ. Απόλυτη τιμή ενός ριθμού είνι η πόστση της εικόνς του ριθμού πό την ρχή O του άξον.. Η πόλυτη τιμή ενός θετικού ριθμού είνι ο ίδιος ο ριθμός. Η πόλυτη τιμή ενός ρνητικού ριθμού είνι ο ντίθετος ριθμός.. γι κάθε,, Μ. Π π γ μρ ρ η μγ ν μ ο μρ νμ ά κ η ς, ν > ν = ν 4. κι γι κάθε ή γι κάθε κι γενικότερ: () () () 5. θ θ ή θ, ν θ ή 6. θ θ θ, ν θ θ θ ή -θ, ν θ 7., με γι κάθε,. 8. Η πόστση δύο ριθμών στον άξον ισούτι με την πόλυτη τιμή της διφοράς τους: d(,) ΠΡΟΣΟΧΗ! Αν τότε κι ΡΙΖΕΣ Ορισμός: Ιδιότητες: ν μ ν. Αν ν ν με ν θετικός κέριος,, ν γι κάθε ν ν ν, ν τότε κι. Aν τότε ή ν,. μ ν ν,μ θετικοί κέριοι ενώ είνι μ ν μ ν ν Με, κι ν,μ,ρ Ζ ισχύουν ν ν μ ν, κι ν,μ θετικοί κέριοι, ν ν ν, ν μ ν ν ν,, θετικός, μ κέριος, ν θετικός κέριος κι, ν ν ν, νρ ν, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ γ Γι τη λύση του γρμμικού συστήμτος Σ με τη μέθοδο των οριζουσών ρίσκουμε τις ορίζουσες γ D, γ D γ γ γ, γ D γ γ γ κι ισχύει ότι Αν D έχει μονδική λύση την D D κι D D, Αν D κι D ή D είνι δύντο, ενώ ν D D D τότε είνι δύντο ή όριστο ή έχει άπειρες λύσεις. 4.7

28 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ:, / Βσικές Γνώσεις Μθημτικών μέχρι κι τη Β Λυκείου Ανοικτό:, Κλειστό, /,, /,, /,, /,, / ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η πόστση των σημείων Α(, ) κι Β(, ) είνι ίση με (ΑΒ) ( ) ( )., κ.λ.π Το σημείο, είνι συμμετρικό ως προς: τον με το,, τον με το, το O, με το,, την ευθεί με το, Οι ευθείες κι είνι πράλληλες ν κι μόνο ν Οι ευθείες κι με είνι κάθετες ν κι μόνο ν Μι συνάρτηση λέγετι άρτι ν κι μόνο ν γι κάθε A ισχύει ότι: A κι Η γρφική πράστση μις άρτις συνάρτησης έχει άξον συμμετρίς τον Μι συνάρτηση λέγετι περιττή ν κι μόνο ν γι κάθε A ισχύει ότι: A κι. Η γρφική πράστση μις περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίς το O(,) Μι συνάρτηση σε έν διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της: Είνι γνήσι ύξουσ ν κι μόνο ν γι κάθε, Δ ισχύει ότι: Αν τότε Είνι γνήσι φθίνουσ ν κι μόνο ν γι κάθε, Δ ισχύει ότι: Αν Η μονοτονί μις συνάρτησης κθορίζετι πό το πρόσημο του λόγου μετολής: λ τότε. Αν C είνι η γρφική πράστση της συνάρτησης τότε η γρφική πράστση της g με : g c, c προκύπτει πό την πράλληλη μεττόπιση της C κτά c μονάδες πάνω g c, c προκύπτει πό την πράλληλη μεττόπιση της C κτά c μονάδες ριστερά g είνι η συμμετρική της C ως προς άξον συμμετρίς τον. g είνι η συμμετρική της C ως προς άξον συμμετρίς τον. ν g ν ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Η πολυωνυμική συνάρτηση () Η πολυωνυμική συνάρτηση () =,. O O O > O a> a< a= O < Η πολυωνυμική συνάρτηση () =,. O O > < O O = =- Η ρητή συνάρτηση a (), a. Οι συνρτήσεις ( ), g( ). > O O < O O =ημ =συν M. Ππγρηγοράκης

29 Βσικές Γνώσεις Μθημτικών μέχρι κι τη Β Λυκείου ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ν ν Πολυώνυμο είνι κάθε πράστση που μπορεί ν πάρει τη μορφή: P.... με ν ν ν, ν,..., στθεροί πργμτικοί ριθμοί κι Το πολυώνυμο P έχει ρίζ το ρ ν κι μόνο ν Pρ δηλ ν κι μόνο ν P ( ρ)π(). Αν P, Q δύο πολυώνυμ με Q τότε υπάρχουν δύο πολυώνυμ π() κι υ() ώστε : P Q()π() υ(). Τ πολυώνυμ π() κι υ() ρίσκοντι κάνοντς τη διίρεση P :Q() ν ν Το πολυώνυμο Pν ν... είνι το μηδενικό ν κι μόνο ν ν= ν=... = ενώ δύο πολυώνυμ είνι ίσ ν κι μόνο ν οι συντελεστές των ομοάθμιων όρων τους είνι ίσοι. ΤΡΙΩΝΥΜΟ Τριώνυμο είνι κάθε πράστση που μπορεί ν πάρει τη μορφή γ με. ΡΙΖΕΣ Δ Δ Δ Έχει δύο ρίζες άνισες τις:, Δ Έχει μι διπλή ρίζ την, i Δ i Δ Δ Έχει δύο μιγδικές ρίζες τις, ΜΟΡΦΗ () () γ Δ () 4 TΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ, Τιμές του - Πρόσημο του, ετερόσημο του ομόσημο του Πρόσημο του τριωνύμου Δ γ, Τιμές του - + Πρόσημο του γ ομόσημο του ετερόσημο του ομόσημο του + Δ Τιμές του - ο + Πρόσημο του γ ομόσημο του ομόσημο του Δ Τιμές του - + Πρόσημο του γ ομόσημο του Προσοχή!!. Αν γι κάθε είνι γ τότε είνι Δ γ είνι. Στην περίπτωση υτή το τριώνυμο ομόσημο του δηλδή: γ γι κάθε. Ισχύει γ γι κάθε πργμτικό ριθμό ν κι μόνο ν ισχύει: Δ κι. Ισχύει γ γι κάθε πργμτικό ριθμό ν κι μόνο ν ισχύει: Δ κι, κ.λ.π. 4. Το τριώνυμο γ διτηρεί στθερό πρόσημο γι κάθε πργμτικό ν κι μόνο ν ισχύει Δ Δ Η συνάρτηση γ, είνι προλή με κορυφή το σημείο, 4 γ Σχέσεις ριζών συντελεστών: (τύποι Vietta) S ρ ρ, Ρ ρρ Ενώ μι εξίσωση που έχει δοσμένες ρίζες ρ, ρ είνι η ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Πίνκς τριγωνομετρικών ριθμών: Γωνί ω ημω συνω εφω, π 6 45, π 4 σφω SP 6, π π 7, 9, π 8, π Μ. Π π γ ρ η γ ο ρ ά κ η ς M. Ππγρηγοράκης

30 Βσικοί τριγωνομετρικοί τύποι κι ριθμοί:. ημ συν ή Βσικές Γνώσεις Μθημτικών μέχρι κι τη Β Λυκείου ημ συν ή ημ π. εφ κπ,κ : κέριος συν. ημ, συν, γι κάθε, εφ, σφ γι συν ημ,, εφ σφ σφ, κ π, κ Z συν ημ 4. ημ() ημσυν συν ημ, συν( ) συνσυν ημημ, 5. ημ ημ συν, γι κπ,κ : κέριος εφ συν συν ημ συν ημ, εφ εφ εφ εφ εφ() εφεφ 6. συν συν συν ημ, συν, εφ συν (Τύποι ποτετργωνισμού): 7. εφ εφ εφ εφ, σφ ημ συν εφ συν ημ εφ εφ εφ ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ κπ θ Είνι: ημ κπ, κ Ζ, ημ ημθ ή με κ Ζ π συν κπ, κ Ζ, κπ π θ π κπ θ ημ κπ, κ Ζ συν συνθ ή με κ Ζ π κπ θ ημ κπ, κ Ζ εφ εφθ κπ θ με κ Ζ συν κπ, κ Ζ σφ σφθ κπ θ με κ Ζ συν κπ π ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ: λύνοντι με χρήση του τριγωνομετρικού κύκλου.. Νόμος ημιτόνων: Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι γ ημα ημβ ημγ. Νόμος συνημιτόνων: Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι γ γσυνα ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Οι γωνίες κπ ω κι ω έχουν τους ίδιους τριγωνομετρικούς ριθμούς με κ Ζ. Οι ντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνημίτονο συνω συνω, κι ντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς ριθμούς ημω ημω, εφω εφω, σφω σφω. Δηλδή η συνάρτηση συν, είνι άρτι, ενώ οι π ημ,, εφ, κπ, σφ, κπ είνι περιττές συνρτήσεις. ο ο Οι γωνίες της μορφής ή που μπορούν ν πάρουν τη μορφή 8 ω, π ω ή 6 ω π ω, έχουν τους ίδιους τριγωνομετρικούς ριθμούς με τη γωνί ω με πρόσημο ή νάλογ με το τετρτημόριο στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίς τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο, θεωρώντς ότι π ω ο Οι γωνίες της μορφής ή που μπορούν ν πάρουν τη μορφή 9 ω, π ω ή ο 7 ω, π ω, ενλλάσσουν τους τριγωνομετρικούς ριθμούς με τη γωνί ω, δηλδή το ημίτονο γίνετι συνημίτονο ή ντίστροφ κι εφπτομένη γίνετι συνεφπτομένη ή ντίστροφ με πρόσημο ή νάλογ με το τετρτημόριο στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίς τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο, θεωρώντς ότι π ω ΠΡΟΟΔΟΙ Αριθμητική πρόοδος ονομάζετι η κολουθί ριθμών,,... ν,. στην οποί κάθε όρος προκύπτει πό τον προηγούμενο προσθέτοντς τον ίδιο ριθμό, (διφορά), ω. ν ν Ισχύουν: ν= +(ν-)ω, Σν ν ν (ν )ω, ενώ νγκί κι ικνή συνθήκη γι ν είνι τρείς ριθμοί,, γ διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου είνι η γ Γεωμετρική πρόοδος ονομάζετι η κολουθί των μη μηδενικών ριθμών,,... ν, στην οποί κάθε όρος προκύπτει πό τον προηγούμενο πολλπλσιάζοντς τον ίδιο μη μηδενικό ριθμό, (λόγος), λ. ν (ν-) λ Ισχύουν: ν=λ, Σν ν εφόσον λ κι Σν ν ν λ, ενώ νγκί κι ικνή λ συνθήκη γι ν είνι τρείς μη μηδενικοί ριθμοί,, γ διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου είνι η γ M. Ππγρηγοράκης

31 Βσικές Γνώσεις Μθημτικών μέχρι κι τη Β Λυκείου ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ονομάζετι η συνάρτηση (), ορίζετι γι κάθε κι πίρνει τιμές στο,. Αν είνι γνησίως φθίνουσ ενώ ν είνι γνησίως ύξουσ. ν Ορισμός του e: =, =e ν ν ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ Ορισμός lg θ θ με, θ Νεπέριος λογάριθμος λέγετι ο λογάριθμος που έχει άση το e: ln e με κι. Δεκδικός λογάριθμος λέγετι ο λογάριθμος που έχει άση το : lg με κι. Κάθε πργμτικός ριθμός μπορεί ν γρφεί ως λογάριθμος : γι κάθε ισχύει: lne ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Η συνάρτηση () lg, ορίζετι στο,, έχει τιμές στο I κι είνι η ντίστροφη της Αν είνι γνησίως φθίνουσ, ενώ ν είνι γνησίως ύξουσ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ: --- στις επόμενες ιδιότητες όπου δεν γράφετι τ περιεχόμεν των λογρίθμων είνι θετικά ενώ οι άσεις θετικές κι όχι έν. ln P() lnp() ln ln e lne e με lne P() e P() με P lg () lg lg lg lg lg lg με, κ κ lg ln lg ΑΛΛΑΓΗ ΒΑΣΗΣ σε λογάριθμο: lg, γενικότερ ισχύει: lg,,, ln lg ΑΛΛΑΓΗ ΒΑΣΗΣ σε εκθετική συνάρτηση : ση ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ εκθέτης εκθέτη ln(άσης) Οι συνρτήσεις () κι () lg με Είνι ντίστροφες κι έχουν γρφικές πρστάσεις που είνι συμμετρικές ως προς την ευθεί (Διπλνά σχήμτ) ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Αν Α(, ) κι Β(, ) τότε AB, Αν (,), τότε i j, e ή, e ln ενώ το μέσο M του AB είνι το M, λ εφω, =a O > =lg a =a O << =lg a Έστω τ δινύσμτ (, ) κι (, ). Tότε: Ορίζουμε: συν(,) Ισχύουν (, ) ( ),, συν,, ν προ ν (, ) (, ) det(,) // det(,) = ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ε είνι η: Α Β Γ με A ή B. Ισχύουν: Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείς που διέρχετι πό τ A,, B, είνι λαβ Η ευθεί (ε): Α Β Γ είνι πράλληλη στο διάνυσμ δ ( Β,Α) A συντελεστή διεύθυνσης λ, εφόσον Β ενώ είνι κάθετη στο διάνυσμ. p (Α, Β) B Αο Βο Γ Η πόστση ενός σημείου Μ( ο, ο) πό την (ε) είνι: d(μ,ε) Α Β Το εμδό του τριγώνου ΑΒΓ με Α,, B,, Γ, είνι: (ΑΒΓ) det(ab,aγ), Μ. Π π, στο διάνυσμ ε γ (Β, ρ Α) η κι γ έχει ο ρ ά κ η ς M. Ππγρηγοράκης

32 Βσικές Γνώσεις Μθημτικών μέχρι κι τη Β Λυκείου ΚΥΚΛΟΣ είνι το σύνολο των σημείων του επιπέδου Ο τ οποί πέχουν στθερή πόστση ρ, (κτίν του κύκλου), πό έν στθερό σημείο Κ, (κέντρο του κύκλου). Αν Μ(,) υτά τ σημεί κι Κ(, ) τότε: ο ο ρ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΥΚΛΟΥ ABΓ με Α Β 4Γ Α Β Τότε έχει κέντρο το σημείο: Κ, κι κτίν Α Β 4Γ ρ Η εξίσωση του κύκλου στο μιγδικό επίπεδο είνι: zz ρ, με z στθερός μιγδικός ριθμός κι ρ. ΠΑΡΑΒΟΛΗ είνι το σύνολο των σημείων του επιπέδου Ο τ οποί ισπέχουν πό μι ευθεί δ, (διευθετούσ) κι έν στθερό σημείο Ε, (Εστί). p Αν Μ(,) υτά τ σημεί κι δ:, Ε ( p,) τότε: dm,δ ME p. Το πάνω τμήμ είνι η γρφική πράστση της συνάρτησης p, ενώ το κάτω της p ε M(,) Α(,) Ο P p> M(,) Α O p E, p δ: p p Αν Μ(,) υτά τ σημεί κι δ :, Ε, τότε: dm,δ ME p. Αυτή η προλή είνι η γρφική πράστση της συνάρτησης: p ΈΛΛΕΙΨΗ είνι το σύνολο των σημείων Μ(,) του επιπέδου Ο τ οποί έχουν στθερό άθροισμ ποστάσεων,, πό δύο στθερά σημεί Ε, Ε (εστίες), ( EE γ. Αν είνι E(γ,), E( γ,) τότε: ΜΕ ΜΕ Α, γ. Αν είνι E(,γ), E(, γ) τότε: ΜΕ ΜΕ Α, γ. Το πάνω τμήμ της έλλειψης είνι η γρφική πράστση της συνάρτησης:, ενώ το κάτω της,,. Αντίστοιχ ισχύουν γι την γ γ Εκκεντρότητ της έλλειψης ονομάζετι ο ριθμός ε. Ότν ε τότε η έλλειψη γίνετι ποιο πεπλτυσμένη, ενώ γ ότν ε η έλλειψη τείνει ν γίνει κύκλος ΥΠΕΡΒΟΛΗ είνι το σύνολο των σημείων του επιπέδου τ οποί έχουν στθερή πόλυτη διφορά ποστάσεων,, πό δύο στθερά σημεί Ε, Ε (εστίες), ( EE γ ). a a Αν Μ(,) υτά τ σημεί κι E( γ,), E(γ,) τότε: ΜΕ ΜΕ, γ. Ν Κ Αν Μ(,) υτά τ σημεί κι E(, γ), E(,γ) τότε ΜΕ ΜΕ, γ Α Α Ο Το πάνω τμήμ της υπερολής είνι η γρφική πράστση της συνάρτησης: Μ Λ, ενώ το κάτω της υπερολής ονομάζετι ο ριθμός ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΤΗΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ είνι οι κι ενώ της Ισοσκελής υπερολή λέγετι η υπερολή:,,,, Εκκεντρότητ της γ ε.- Αντίστοιχ ισχύουν γι την. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ: των πρπάνω κμπυλών στο σημείο τους Α, είνι οι κι. ΚΩΝΙΚΗ ρ p p ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ρ p( ) p( ) ο ο A =p p> E( γ,) ο ο E, p O p δ: B O B M (, ) E(γ,) Α M. Ππγρηγοράκης