Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α ν- ν-,, α, α 0 λέγονται όροι του πολυωνύµου. β. Τα α ν, α ν-,, α, α 0 λέγονται συντελεστές του πολυωνύµου. γ. Το ν λέγεται βαθµός του πολυωνύµου. δ. Οι αριθµοί θα θεωρούνται σας σταθερά πολυώνυµα µηδενικού βαθµού. ε. Αν οι συντελεστές ενός πολυωνύµου είναι όλοι µηδέν, το πολυώνυµο λέγεται µηδενικό. στ. ύο πολυώνυµα είναι ίσα µεταξύ τους αν έχουν τον ίδιο βαθµό και οι αντίστοιχοι συντελεστές τους είναι ίσοι. Ορισµός αριθµιτικής τιµής πολυωνύµου για =ρ. Ονοµάζω αριθµητική τιµή του πολυωνύµου για =ρ την τιµή που παίρνει το πολυώνυµο αν αντικαταστήσω το µε το ρ και κάνω πράξεις. Παρατηρήσεις α. Η αριθµητική τιµή συµβολίζεται µε Ρ(ρ), δηλαδή αν Ρ()=α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0 ένα πολυώνυµο, τότε Ρ(ρ)=α ν ρ ν +α ν- ρ ν- + +α ρ+α 0. β. Αν Ρ(ρ)=0, το ρ λέγεται ρίζα του πολυωνύµου. Ταυτότητα της διαίρεσης Για κάθε ζεύγος πολυώνυµων () και δ() 0, υπάρχουν δύο µοναδικά πολυώνυµα π() και υ() τέτοια ώστε: ()=δ().π()+υ(). Το υ() έχει βαθµό µικρότερο του δ(). ηλαδή: 0 βαθµ υ()<βαθµ δ(). 3-5 +-=(-3)( --4)+ (διαιρετέος)=(διαιρέτης).(πηλίκο)+(υπόλοιπο) Παρατήρηση: Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης δύο πολυωνύµων είναι µηδέν, η διαίρεση ονοµάζεται τέλεια. π.χ. 3 + --=( -)(+) ή γενικά: ()=δ().π() Λέµε τότε ότι το 3 + -- έχει παράγοντες τον - και τον +. ιαίρεση πολυωνύµου µε -ρ δηλαδή P()=(-ρ).π()+υ() Ισχύουν οι προτάσεις: α. Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P() µε το -ρ είναι ίσο µε την τιµή του πολυωνύµου για =ρ. ηλαδή: υ=ρ(ρ). Απόδειξη Στη διαίρεση του πολυωνύµου P() µε το -ρ το υπόλοιπο είναι µηδενικού βαθµού. Έτσι η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται: Ρ()=(-ρ)π()+υ. Αν θέσουµε όπου το ρ, παίρνουµε: Ρ(ρ)=(ρ-ρ)π(ρ)+υ=0+υ=υ. Άρα υ=ρ(ρ). ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 405043-697330667

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ιαιρώ το Ρ()= +3+8 µε -. Έχω το υπόλοιπο Ρ()=. +3.+8=8+6+8=9. Άρα υ=9. β. Ένα πολυώνυµο Ρ() έχει παράγοντα το -ρ αν και µόνο αν το ρ είναι ρίζα του Ρ(), δηλαδή αν και µόνο αν Ρ(ρ)=0. Απόδειξη Έστω ότι το -ρ είναι παράγοντας του Ρ(). Τότε ισχύει: Ρ()=(-ρ)π(). Στη σχέση αυτή θέτω =ρ και παίρνω Ρ(ρ)=(ρ-ρ)π(ρ)=0. Άρα Ρ(Ρ)=0. Αντίστροφα: Έστω ότι το ρ είναι ρίζα του Ρ(), δηλαδή Ρ(ρ)=0. Η ταυτότητα της διαίρεσης Ρ()=(-ρ)π()+υ γίνεται: Ρ()=(-ρ)π()+Ρ(ρ) Ρ()=(-ρ)π(), που σηµαίνει ότι το (-ρ) είναι παράγοντας του Ρ(). Σχήµα Horner Χρησιµεύει για να βρω το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P() µε το -ρ. Επίσης µ αυτό βρίσκω την αριθµητική τιµή ενός πολυωνύµου για =ρ και βοηθάει στη λύση πολυωνυµικών εξισώσεων. Να βρεθεί η τιµή του P()= 4-5 3 +34-5-8 για = και για =3. Σχήµα Horner -5 34-5 -8 = 4-4 8-9 0 Ρ()=0 ηλαδή το είναι ρίζα της εξίσωσης Ρ()=0. -5 34-5 -8 =3 6-7 8-9 7 6 0 Ρ(3)=0 ηλαδή το 3 είναι ρίζα της εξίσωσης Ρ()=0. Για τις ασκήσεις α. Πώς θα λύσω πολυωνυµικές εξισώσεις, (δηλαδή εξισώσεις της µορφής: α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0 =0, όπου α ν, α ν-,,α, α 0 ακέραιοι). i. Μετασχηµατίζω το α µέρος σε γινόµενο παραγόντων και κατόπιν στηρίζοµαι στην ισοδυναµία: P ()P () P κ ()=0 P ()=0 ή P ()=0 ή ή P κ ()=0 3-4 +3-=0 (-4)+3(-4)=0 (-4)( +3)=0 {-4=0 ή +3=0} =4 ή =-3 (αδύνατο) =4 ii. Πολλές φορές στηριζόµενοι στα παρακάτω θεωρήµατα µπορούµε να βρούµε παράγοντες της µορφής -ρ ώστε να λύσω την εξίσωση. Θεώρηµα ακέραιων ριζών Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης α ν v +β ν- v- + +α +α 0 =0, τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α 0. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 405043-697330667

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Απόδειξη Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης α ν v +β ν- v- + +α +α 0 =0 τότε έχουµε: α ν ρ v +α ν- ρ v- + +α ρ+α 0 =0 α 0 =-α ν ρ ν -α ν- ρ ν- - -α ρ α 0 =ρ(-α ν ρ ν- -α ν- ρ ν- - -α ). Επειδή οι ρ, α, α,, α ν είναι ακέραιοι, έπεται ότι και ο -α ν ρ ν- -α ν- ρ ν- - -α είναι ακέραιος. Από την τελευταία ισότητα συµπεραίνουµε ότι ο ρ είναι διαιρέτης του α 0. Θεώρηµα κλασµατικών ριζών Αν το ανάγωγο κλάσµα λ κ είναι ρίζα της εξίσωσης α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0 =0, τότε το κ είναι διαιρέτης του α 0 και το λ διαιρέτης του α ν. Ακολουθώ λοιπόν την εξής διαδικασία: Βρίσκω τους διαιρέτες του α 0 και του α ν. Υπολογίζω κατόπιν την αριθµητική τιµή του πολυωνύµου για τους διάφορους διαιρέτες του α ο και για τα κλάσµατα λ κ όπως τα ορίσαµε πιο πάνω. Αυτό γίνεται κυρίως µε σχήµα Horner. Παρατηρήσεις α. Αν η πολυωνυµική εξίσωση έχει οµόσηµους συντελεστές τότε δεν έχει θετικές ρίζες. β. Αν η πολυωνυµική εξίσωση είναι ν βαθµού, δεν µπορεί να έχει πάνω από ν ρίζες. γ. Για καθένα από τα παραπάνω θεωρήµατα δεν ισχύει το αντίστροφο. π.χ. το 6 διαιρεί το σταθερό όρο της 3-9 +7+6=0 αλλά δεν είναι ρίζα της. Να λυθεί η εξίσωση: 3-9 +7+6=0. Λύση Οι διαιρέτες που ζητώ είναι ±, ±, ±3, ±6, ±, ± 3. Εφαρµόζω το σχήµα Horner για =. - 7 6 9 4-0 -6-5 -3 0 Άρα η εξίσωση έχει παράγοντα το = και γίνεται: (-)( -5-3)=0 -=0 = ή -5-3=0 =3, =- Άρα το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης είναι Α={-,,3} ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 405043-697330667

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ β. Πώς θα λύσω ρητές (κλασµατικές) εξισώσεις. Ακολουθώ πάντα την εξής διαδικασία: - Κάνω απαλοιφή παρανοµαστών αφού βάλω περιορισµούς έτσι ώστε αυτοί να είναι διάφοροι του µηδενός. - Μεταφέρω όλους τους όρους στο α µέρος και τους διατάσω κατά τις φθίνουσες δυνάµεις ώστε να έχω πολυωνυµική εξίσωση. - Λύνω την πολυωνυµική εξίσωση όπως προηγούµενα. -Απορρίπτω τις ρίζες που δεν πληρούν τους περιορισµούς. Να λυθεί η εξίσωση: 3+ + = Λύση Περιορισµοί: πρέπει: 0, - 0, - 0. Η εξίσωση γίνεται: EKΠ= ( ) 3+ + = (-)( -3+)+=(3 -) 3=-3 +- +3-+-3 3 +=0-3 -4 +6=0 3 +4-6=0 ( +- 3)=0 =0 ή +-3=0 =0, =, 3 =-3. Οι =0 και = απορρίπτονται γιατί δεν πληρούν τον περιορισµό. Άρα η εξίσωση έχει λύση =3. γ. Πώς θα λύσω άρρητες εξισώσεις, (δηλαδή εξισώσεις που ο άγνωστος ή µία παράστασή του βρίσκεται κάτω από ριζικό). Ακολουθώ την εξής διαδικασία: - Θέτω κατάλληλους περιορισµούς ώστε τα υπόρριζα να είναι µη αρνητικά αλλά και οι ρητές παραστάσεις αν υπάρχουν να είναι θετικές όταν ισούνται µε άρρητες. - Υψώνω µία ή περισσότερες φορές σε κατάλληλη δύναµη ώστε να φύγουν οι ρίζες και η εξίσωση να µετατραπεί σε πολυωνυµική ή ρητή. - Λύνω αυτήν όπως προηγούµενα. - Απορρίπτω τις ρίζες που δεν ικανοποιούν τους περιορισµούς που τέθηκαν στην αρχή. Να λυθεί η εξίσωση 5 + 8 = 3. Λύση Περιορισµοί: πρέπει: -5 0, -8 0, 3-0. Έχω διαδοχικά: ( 5 + 8) = ( 3 ) 8+ ( 5) + ( 8) = 3-5+- ( 5) + ( 8) = 8 [ ( 5) + ( 8) ] =(-8) 4(-5)(-8)=(- 8) =8, =4 Η =4 απορρίπτεται άρα =8. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 405043-697330667

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ δ. Πώς θα προσδιορίσω (µε προσέγγιση) τη ρίζα ενός πολυωνύµου όταν αυτή είναι άρρητη. Στηριζόµαστε στο θεώρηµα που ακολουθεί: Έστω η συνάρτηση f()=α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0. Αν για δύο πραγµατικούς αριθµούς α,β µε α<β οι τιµές f(α) και f(β) είναι ετερόσηµες, τότε υπάρχει µία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f()=0 µεταξύ των α και β. Να βρεθεί µία ρίζα της εξίσωσης 3 +6-4=0 στο διάστηµα (0,) µε προσέγγιση δεκάτου. Λύση Θεωρώ τη συνάρτηση f()= 3 +6-4. Έχω f(0)=-4<0 και f()=3>0. Άρα η f()=0 έχει τουλάχιστον µία ρίζα στο (0,). Βρίσκω τώρα τις τιµές της f στα σηµεία 0,, 0,, 0,3, 0,4, 0,5, 0,6, 0,7, 0,8, 0,9. Είναι: f(0,6) -0,8<0 ενώ f(0,7) 0,54>0, άρα µία ρίζα περιέχεται στο διάστηµα (0,6, 0,7). Έτσι µπορούµε να πούµε ότι η εξίσωση f()=0 έχει ρίζα ρ 0,6 (προσέγγιση δεκάτου). Ασκήσεις Πράξεις µηδενικό σταθερό πολυώνυµο.. ίνονται τα πολυώνυµα f()= 3-3 +5+6 και g()=-3 3 +4-7. Να βρεθούν τα πολυώνυµα: α. h()=f()-4g() β. σ()=4f()-3g(). Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε το πολυώνυµο f()=(5α -) 3 +(5α +9α-)-+5α είναι µηδενικό. 3. Να εξεταστεί αν υπάρχουν τιµές των α και β ώστε το πολυώνυµο f()=(α-4) +(β-6)+α+β-7 είναι µηδενικό. 4. Να βρεθεί η τιµή του α ώστε το πολυώνυµο Ρ()=(49α 3 -α) 3 +49 α 49-7α+ να είναι το µηδενικό. 5. Αν είναι α 3 +β 3 +γ 3 =3αβγ και α+β+γ 0 όπου α,β,γ ΙR, δείξτε ότι το πολυώνυµο f()=3(α-4) +(β-γ)+5(γ-α) είναι µηδενικό. Ισότητα πολυωνύµων 6. Να βρεθούν οι τιµές του λ IR ώστε τα πολυώνυµα f()=λ 3 +(λ-6) +5 και g()=(7λ-6) 3 +(λ -36) +λ-7 είναι ίσα. 7. Να βρεθούν τα α,β ΙR ώστε τα πολυώνυµα f()=4 3 +4 - και g()=(+)(- 3)(α+β)+0+6 να είναι ίσα. 8. Να βρεθεί το πολυώνυµο Ρ() για το οποίο ισχύει: [Ρ()] = 4-3 +5-4+4. 9. Να βρεθεί το πολυώνυµο Ρ() β βαθµού για το οποίο ισχύει η ισότητα: Ρ[Ρ()]=8 4-4 +5. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 405043-697330667

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. Nα βρείτε όλα τα πολυώνυµα β βαθµού για τα οποία ισχύει η ισότητα: Ρ[Ρ()]= Ρ()-P()+.. Nα γράψετε το πολυώνυµο Ρ()=3-7+5 στη µορφή : Ρ()=α(-)(+)+β(-)+γ(-)(+3).. Nα βρείτε τα α, β ώστε το πολυώνυµο Ρ()=α 3 +β +- να αναλύεται σε γινόµενο δύο πολυωνύµων εκ των οποίων το ένα να είναι το Q()=+. 3. Να βρείτε δύο πρωτοβάθµια πολυώνυµα Ρ() και Q() τέτοια ώστε να ισχύουν οι συνθήκες: Ρ ()+Q ()= + και Ρ(0)Q()=. a β 4. α) Να βρείτε τα α και β ώστε να ισχύει: = +. ( + ) + β) Να υπολογίσετε το άθροισµα: + + +... +. 3 3 4 v( v+ ) 3 a β γ 5. α) Να βρείτε τα α, β, γ ώστε να ισχύει: = + +. ( 4)( + ) + + a β+ γ β) Να βρείτε τα α, β, γ ώστε να ισχύει: = +. 3 8 + + 4 6. Να βρεθούν τα α, β, γ, δ ώστε το πολυώνυµο Ρ()= 3 +6 +9- να παίρνει τη µορφή α(+γ) 3 +β(+δ). 7. Να βρεθεί πολυώνυµο f() για το οποίο ισχύει η σχέση (3+)f()=3 3-0 ++6. Aριθµητική τιµή ρίζα πολυωνύµου. 8. Να βρεθεί πολυώνυµο P() τρίτου βαθµού το οποίο να έχει ρίζα το 0 και να ικανοποιεί τη σχέση P(-)=P()-. 9. Να βρείτε τους ακέραιους αριθµούς α και β, για τους οποίους τα πολυώνυµα Ρ()=α 3 -(α-β) +(3α-β)-5 και Q()=α 4 +(β-) 3 +(α+β+7) -(β +4α)+4 έχουν κοινή ρίζα τον αριθµό. 0. α) Αν το άθροισµα των συντελεστών ενός πολυωνύµου Ρ() είναι µηδέν, δείξτε ότι το πολυώνυµο έχει ρίζα τον αριθµό. β) Βρείτε τον αριθµό λ ώστε το πολυώνυµο Ρ()=[ηµλ+(-)συνλ] 4 +[ 3 ηµ λ-(-) 5 συν λ] -6 να έχει ρίζα τον αριθµό.. Για ποιες τιµές του λ ΙR το είναι ρίζα του πολυωνύµου P()= 3 +λ -(4λ+3)+.. Για ποιες τιµές του λ ΙR η τιµή του πολυωνύµου P()= 3 + -3+λ -4 για =- είναι. 3. Να βρεθούν τα κ,λ αν το πολυώνυµο P()= 3 + +κ+λ έχει ρίζες το -4 και το. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 405043-697330667

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αλγοριθµική διαίρεση Horner παράγοντας πολυωνύµου. 4. Να γίνουν οι διαιρέσεις: α. ( 4 - +):( ++) β. (6 +y-5y ):(-3y) γ. (6 3 - -4+3):(-3) δ. ( 4 + 3 +7-6+8):( -+) 5. Αν Ρ()= 3 - +5-4, να κάνετε τη διαίρεση Ρ() : ( -3+). 6. Aν f()= +-, να κάνετε τη διαίρεση [f ()-f(+)] : f(-). 7. Nα βρείτε τον αριθµό λ ώστε η διαίρεση ( 3 -λ+) : (+) να είναι τέλεια. 8. Nα βρείτε τον αριθµό λ ώστε το υπόλοιπο της διαίρεσης [ 3 -(λ+) +(5λ-)-7] : (-) να είναι 5. 9. Να βρεθεί το λ IR ώστε: α. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του P()= 3-6 +-8 µε το +λ να είναι µηδέν. β. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του g()=λ 4-7λ +8 µε το - να είναι το -4. 30. Να βρεθεί µε σχήµα Horner η αριθµητική τιµή του P()=- 5 +3 4 - +5- για =-3 και ακόµη το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης P():(+3). 3. Όµοια της διαίρεσης P():(+) όπου P()=- 4 +3 ++. 3. Να εξεταστεί αν τα πολυώνυµα +3 και - είναι παράγοντες του P()= 3 - -+3. 33. Να βρεθούν τα α και β ώστε το πολυώνυµο P()= 3 - +α+β να έχει παράγοντες τους + και -4. 34. ίνεται το πολυώνυµο P()= 4 +34-5-8. Να βρεθεί η αριθµητική τιµή για = και κατόπιν να γραφεί σαν γινόµενο ενός πρωτοβάθµιου παράγοντα επί ένα πολυώνυµο. 35. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P()= 3-3κλ+κ 3 +λ 3 έχει παράγοντα το πολυώνυµο +κ+λ. 36. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P()= 4-4 3 +5-4+4 έχει παράγοντα το πολυώνυµο f()= -4+4. 37. Έστω το πολυώνυµο Ρ() µε Ρ(0)=, Ρ()= και Ρ(-)=0. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ() : ( 3 + -). 38. Nα βρείτε τα α και β ώστε τα πολυώνυµα Ρ()= 3 +α +β-6 και Q()= -α+β+4 να έχουν κοινό παράγοντα το -3. 39. Nα βρείτε τα α και β ώστε το πολυώνυµο Ρ()= 3 +α+β να διαιρείται µε το (-). 40. Οι διαιρέσεις ενός πολυωνύµου Ρ() µε τα - και +5 δίνουν υπόλοιπα 3 και 7 αντίστοιχα. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ() : (-)(+5). 4. Οι διαιρέσεις ενός πολυωνύµου Ρ() µε τα (+) και (+) δίνουν υπόλοιπα 5 και 0 αντίστοιχα. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ() : ( +3+). Ποιο είναι το Ρ() αν είναι γνωστό ότι είναι τρίτου βαθµού και διαιρείται µε το πολυώνυµο -+; ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 405043-697330667

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ένα πολυώνυµο Ρ() διαιρούµενο µε τα +, - και +3 δίνει υπόλοιπα αντίστοιχα, και 6. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ() µε το γινόµενο (+)(-)(+3). 43. Να βρείτε τα α και β ώστε το πολυώνυµο Ρ()= 3 +α -3+β να διαιρείται µε το Q()= --6. 44. Nα βρείτε τα λ και µ ώστε το πολυώνυµο Ρ()= 5 -λ 4 +4 3 +µ -8+8 να διαιρείται µε το -4+4. 45. Nα βρείτε τα α, β, γ ώστε το Ρ()= 6 +α 4 +β +γ να έχει παράγοντα το (-) 3. Κατόπιν να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης Ρ() : (-) 3. 46. Να δειχθεί ότι το P()= 3 +7α +α +α 3 έχει παράγοντα το πολυώνυµο +α. 47. Να βρείτε τα α και β ώστε το πολυώνυµο Ρ()= 4 +4 +α+β διαιρούµενο µε το - να δίνει υπόλοιπο 3-. 48. Θεωρούµε πολυώνυµο Ρ(). Να αποδείξετε ότι οι διαιρέσεις Ρ() : (-) και Ρ(4+6) : (+) δίνουν το ίδιο υπόλοιπο. 49. Έστω το πολυώνυµο Q()=Ρ(-5)- +-. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ() : (+) είναι 3, να δείξετε ότι η διαίρεση Q() : (-) είναι τέλεια. 50. Να αποδείξετε ότι το πολυώνυµο Ρ()=(+) v - v -- διαιρείται µε το πολυώνυµο Q()= 3 +3 +. 5. Nα βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ():( 3 -), όπου P()=( -) 006 +3( -) 003-7 3 +6-3. (Aπ. α=3, β=-, γ=-5 ). 5. Nα βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ():( -), όπου Ρ()=( +-) v +( - +) v -. Πολυωνυµικές εξισώσεις 53. Να λυθούν οι εξισώσεις: α. 3-8 +7=0 β. 3 - +8=0 γ. 3-5 -5+=0 δ. 3-4 +4-=0 ε. 3 - +-=0 στ. 4-4 3 +-9=0 ζ. 4 3-4 +=3(4 -)-(-)(+) η. 3 +3 +8+=0 θ. 3 4-4 3 +=0 ι. ( -3) +3( -3)+=0 54. Να λυθούν οι εξισώσεις: α. 3 - ++9=0 β. 3 +3 +8+=0 γ. 3 + --0=0 δ. 3-9 +7+6=0 ε. 3 3 - +48-3=0 στ. 4 4-4 3-5 ++6=0 ζ. ( -)(-)(-3)+3(-)( -4)=0 η. 3 - -=0 θ. 3-4 --0=0 ι. 3 3 - -9-6=0 κ. 3 3-7 -8-8=0 λ. 5-3 4 +67 3-7 +6-08=0 ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 405043-697330667

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ρητές εξισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυµικές 55. Να λυθούν οι εξισώσεις: α. γ. + = = + + 4 β. + - = ( ) δ. 3 5 = + 5 ε. + 3 = 6 στ. + 5 = 3 Άρρητες εξισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυµικές 56. Να λυθούν οι εξισώσεις: 6 8 α. = + 7 8 β. = 6 γ. ( ) = δ. 40 + 6 = + 6 ε. 3 + 7+ 3 4 = 7 ζ. + = + η. + 3 + 6 + + + 8 = 0 θ. + + > + ι. 3 + 0 + 3 > 0 κ. 5 4 = 5 4 (+ ) + µ. > + λ. ( ) + 5 = (+ 3) + 3 3 3 ν. 3 + 4 5 - = 0 Γενικές ασκήσεις 57. Αν το πολυώνυµο P()= 4-3 +α +β+4 είναι τέλειο τετράγωνο του πολυωνύµου f()= -+γ, να βρεθούν τα α,β,γ. 58. Να βρεθεί το πολυώνυµο P() 5 ου βαθµού που δεν έχει σταθερό όρο και επαληθεύει την σχέση P()-P(-)= 4. 59. Να γίνει η διαίρεση του P()= 4-4 3 +7 -α+β µε το πολυώνυµο f()= -4+3 και να βρεθούν τα α, β, γ ώστε η διαίρεση να είναι τέλεια. 60. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P()= ν -να ν- +να ν -α ν έχει παράγοντα το (-α), όπου ν ΙΝ, ν, α IR. 6. Αν P()= 4-3 -0 +8+4, να λυθεί η εξίσωση P()=0 αν γνωρίζω ότι έχει ρίζα το ρ=+ 7. 6. Για ποιες τιµές του φυσικού αριθµού ν το πολυώνυµο (-ψ) ν -( v -ψ ν ) έχει παράγοντα το -ψ: 63. Αν το ν είναι περιττός φυσικός αριθµός, να αποδείξετε ότι το πολυώνυµο (+ψ+z) v -( v +ψ v +z v ) διαιρείται µε τα διώνυµα +ψ, ψ+z, z+. 64. Να λυθεί η εξίσωση 3 5 +6 4-4 3 - ++=0. 65. Να λυθεί η εξίσωση (ω -ω+) 4-0ω (ω -ω+) +9ω 4 =0. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 405043-697330667

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 66. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου f() µε το γινόµενο (-)(+)(3-) είναι υ()= -+5. Nα βρείτε τα υπόλοιπα των διαιρέσεων του f() µε καθένα από τα διώνυµα -, +, 3-. 67. Aν f() τυχαίο πολυώνυµο, να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του f() µε το - είναι υ()= [ f() - f(-) ] + [ f() - f(-) ]. 68. Έστω πολυώνυµο Ρ() µε Ρ()=-Ρ(-). i) Να δείξετε ότι Ρ(0)=0. ii) Aν το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(): (-) είναι 5, να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(): ( -). 69. To πολυώνυµο Ρ() διαιρούµενο µε +, +, +3 δίνει υπόλοιπο υ. Να αποδείξετε ότι και η διαίρεση του Ρ() µε το γινόµενο (+)(+)(+3) δίνει υπόλοιπο υ. ******************** Ερωτήσεις τύπου «ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ». Αν Ρ(ρ)=0, τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ(). Σ Λ. Αν Ρ(ρ)=ρ, τότε το ρ είναι ρίζα του Q()=P()-. Σ Λ 3. To µηδενικό πολυώνυµο έχει βαθµό 0. Σ Λ 4. Κάθε σταθερό και µη µηδενικό πολυώνυµο έχει βαθµό 0. Σ Λ 5. Η παράσταση 3-4 -5+ είναι πολυώνυµο 3ου βαθµού. Σ Λ 6. Το πολυώνυµο 0 +0+0 είναι ου βαθµού. Σ Λ 7. Το Ρ()=α 4 +3 3-5+8 είναι 3 ου βαθµού για κάθε α R. Σ Λ 8. Το Ρ()=(λ -4) +(λ+)+λ+ είναι πρώτου βαθµού για λ=-, Σ Λ 9. Αν για το πολυώνυµο Ρ() ισχύει: (- )P()= 4-5 3 +4 ++, τότε το Ρ() είναι δευτέρου βαθµού. Σ Λ 0. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ() µε το -α είναι το Ρ(α). Σ Λ. Αν το Ρ(-)=0 τότε το - είναι παράγοντας του Ρ(). Σ Λ. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ() µε το +- είναι πάντα πολυώνυµο πρώτου βαθµού. Σ Λ 3. Η ισότητα 3 - +-=(-)( -)+ - εκφράζει ταυτότητα διαίρεσης. Σ Λ 4. Αν ()=δ()π()+υ(), δ() 0, τότε το πολυώνυµο ()-υ() έχει παράγοντα το δ(). Σ Λ ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 405043-697330667

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Αν Ρ(0)=0, τότε το διαιρεί το Ρ(). Σ Λ 6. Aν το - διαιρεί το Ρ()= 3 ++α, τότε α= -0. Σ Λ 7. Το µηδενικό πολυώνυµο διαιρείται από κάθε πολυώνυµο Ρ() 0. Σ Λ 8. Aν το + είναι παράγοντας του Ρ(), τότε το είναι ρίζα του πολυωνύµου Q()=P(+)+ -. Σ Λ 9. To + διαιρεί το πολυώνυµο Ρ()= 3 -α -4+4α, για κάθε α R. Σ Λ 0. Αν το + είναι παράγοντας του Ρ()= v +, τότε ο ν είναι περιττός φυσικός αριθµός. Σ Λ. Αν το είναι παράγοντας του Ρ(), τότε το 0 είναι ρίζα του πολυωνύµου R()=P()- 006. Σ Λ. Aν το Ρ() έχει ακέραιους συντελεστές, τότε κάθε διαιρέτης του σταθερού του όρου είναι και ρίζα του Ρ(). Σ Λ ********************** Ερωτήσεις ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ.. Αν το 3 είναι ρίζα του Ρ()= 3-3 +4-κ τότε το κ είναι ίσο µε: Α: 30, Β: 35, Γ: 40, : 39, Ε: άλλο.. Ο βαθµός του πολυωνύµου Ρ()=3(+) 3-4 3 +4-7 είναι: Α:, Β:, Γ: 0, : 3, Ε: άλλος. 3. Το πολυώνυµο Ρ()=(λ -) 3 +(-λ) -(λ+)+λ+8 είναι σταθερό πολυώνυµο: Α: αν λ= -, Β: αν λ=0, Γ: αν λ=, : για κάθε λ R, Ε: δεν υπάρχει τιµή του λ. 4. Αν Ρ() είναι σταθερό πολυώνυµο και Ρ()=5, τότε το Ρ(-) είναι: Α: -5, Β: 0, Γ: 4, :, Ε: 5. 5. Αν τα πολυώνυµα Ρ()=(α -)+6 +α+α και Q()=7 3 +α +3+5 α -6 είναι ίσα, τότε το α είναι ίσο µε: Α:, Β: -3, Γ: ή 3 : 3 ή 3 Ε: 3. 6. Αν το Ρ() έχει ρίζα τον αριθµό, τότε ο αριθµός είναι ρίζα του πολυωνύµου: Α: Q()=Ρ(+)+, B: F()=P(-3)-, Γ: G()=P(-)+-, : Η()=P()+, E: W()=P(P())+. 7. Aν το Ρ() έχει ρίζα το -, τότε διαιρείται µε το πολυώνυµο: Α: -, B: -, Γ: +, : +, E: +. 8. Το πολυώνυµο Ρ()=(4+5) 004 + 007 έχει παράγοντα το: Α: +, B: -, Γ:, : +5/4, E: +. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 405043-697330667

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου Ρ()=κ 3-3κ +κ+ µε το - είναι ίσο µε 0 όταν: Α: κ=0, Β: κ= -, Γ: κ=, : κ=, Ε: κ= -. 0. Αν ένα πολυώνυµο Ρ() διαιρούµενο µε το Q() δίνει υπόλοιπο 0 (ο βαθµός του Ρ είναι µεγαλύτερος από το βαθµό του Q), τότε: Α: κάθε ρίζα του Q είναι και ρίζα του Ρ. Β: το Ρ έχει πάντα ρίζες, µόνο τις ρίζες του Q. Γ: κάθε ρίζα του Ρ είναι και ρίζα του Q. : αν το ρ δεν είναι ρίζα του Q, τότε το ρ δεν είναι ρίζα και του Ρ.. Aν η διαίρεση του Ρ() µε το 4+5 είναι τέλεια, τότε το Ρ() έχει ρίζα τον αριθµό: Α: 4, Β: - 3, 5 Γ: -5, : 5, Ε: 5. 4 4. H εξίσωση 3-6 +κ+4=0, κ R, δεν µπορεί να έχει ρίζα τον αριθµό: Α:, Β: -, Γ: 3, :, Ε: -4. 3. Η εξίσωση 3 = + 4, δεν µπορεί να έχει ρίζα τον αριθµό: Α:, Β:, Γ: 3, : 4, Ε:. 3 4. Αν η εξίσωση 3 +β -+α=0, α,β Z, έχει ρίζα τον αριθµό 3, τότε το α δεν µπορεί να είναι ίσο µε: Α: 6, Β:, Γ: 0, :, Ε: 33. 5. Αν η εξίσωση + α = 6έχει λύση, τότε ο α 0δεν µπορεί να πάρει την τιµή: Α:, Β: 3, Γ: 4, : 5, Ε: 6. 6. Το µεγαλύτερο δυνατό πλήθος ριζών της εξίσωσης 4 +α 3 +β +γ+=0, α,β,γ Zείναι: Α:, Β:, Γ: 3, : καµία Ε: άλλο. 7. ίνεται η εξίσωση 5 + 4 + ++8=0. Ποιος από τους παρακάτω ισχυρισµούς δεν µπορεί να είναι σωστός: Α: Η εξίσωση έχει αρνητικές ρίζες, Β: Η εξίσωση έχει µια τουλάχιστον θετική ρίζα, Γ: Η εξίσωση έχει µια τουλάχιστον αρνητική ρίζα. 8. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f()=3 3-5 ++α +β διέρχεται από την αρχή των αξόνων, τότε: Α: α=β=, Β: α=0, β R, Γ: α R, β = 0, : α=β=0. ************ ******** **** * ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 405043-697330667

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 405043-697330667