ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ και εισαγωγή στα Σ.Α.Ε.

ΣΧΟΛΗ Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑΣ & Η/Υ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ και εισαγγή στα Σ.Α.Ε. ρ. Α. ΜΑΓΟΥΛΑΣ Επικ. Καθηγητης Σ.Ν.. 4

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΥΠΟΒΑΘΡΟΥ. Μιγαδικοί αριθµοί.. Ορισµός φανταστικής µονάδας.. Μιγαδικοί αριθµοί µιγαδικό επίπεδο..3 Πράξεις µεταξύ µιγαδικών αριθµών...4 Απόλυτη τιµή ή µέτρο µιγαδικού αριθµού 4..5 Πολική εκθετική µορφή µιγαδικού αριθµού 4..6 Υπολογισµός γινοµένου και πηλίκου µιγαδικών σε εκθετική µορφή 6..7 Έκφρασή συζυγούς και αντιστρόφου µιγαδικού σε εκθετική µορφή 7..8 υνάµεις µιγαδικών αριθµών 7..9 Ρίζες µιγαδικών αριθµών 8.. Στρεφόµενοι µιγαδικοί αριθµοί 8. Η ηµιτονοειδής συνάρτηση... Γενικά για την ηµιτονοειδή συνάρτηση... Παράσταση ηµιτονοειδών συναρτήσεν µε χρήση µιγαδικών αριθµών..3 Εφαρµογές. 4.3 Η εκθετική συνάρτηση 7.3. Γενικά για την εκθετική συνάρτηση 7.3. Μορφές εκθετικών συναρτήσεν 7.4 Γραµµική ανεξαρτησία συναρτήσεν 9.4. Ορισµός 9.4. Παραδείγµατα 9.5 Γραµµικές ιαφορικές Εξισώσεις µε σταθερούς συντελεστές.5. Εισαγγικά.5. Γενικός τρόπος επίλυσης γραµµικής.ε.5.3 Επίλυση γραµµικής.ε. ης τάξες.5.4 Παραδείγµατα επίλυσης γραµµικών.ε. ης τάξες 4.5.5. Επίλυση γραµµικής.ε. ας τάξες 3.5.6 Παραδείγµατα επίλυσης γραµµικών.ε. ας τάξες 3.5.7 Επίλυση γραµµικών.ε. 3 ης και αντέρας τάξες 37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ. Η έννοια του συστήµατος 4.. Ορισµός του συστήµατος 4.. Κατηγορίες συστηµάτν 4..3 Προβλήµατα συστηµάτν 43. Το ηλεκτρικό στοιχείο 46

.. Ορισµός του ηλεκτρικού στοιχείου φορές αναφοράς 46.. Το ηλεκτρικό στοιχείο στο πεδίο του χρόνου 47..3 Τα 3 βασικά ηλεκτρικά στοιχεία 48..4 Η έννοια της τελέστριας σύνθετης αντίστασης Z D 5.3 ιαιρέτης τάσες και ρεύµατος 54.3. Εισαγγικά 54.3. ιαιρέτης τάσες 54.3.3 ιαιρέτης ρεύµατος 55.4 Θεώρηµα Millma 56.5 Θεώρηµα Επαλληλίας 57 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ 3. Ορισµός του σήµατος 59 3. Κατηγορίες σηµάτν 59 3.3 Παράµετροι σηµάτν 6 3.4 Στοιχειώδη σήµατα 6 3.5 Στοιχειώδη ανώµαλα σήµατα 6 3.5. Μοναδιαία βηµατική συνάρτηση u 6 3.5. Μοναδιαία αναρριχητική συνάρτηση r 6 3.5.3 Μοναδιαία κρουστική συνάρτηση δ ή συνάρτηση του Dirac 63 3.6 Παράγγος ασυνεχούς συναρτήσες 65 3.7 Παραδείγµατα κατασκευής συνθεττέρν σηµάτν µε βάση τα στοιχειώδη ανώµαλα σήµατα 66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΜΕΛΕΤΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΙΚΤΥΩΝ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ 4. Εισαγγικά 73 4. Το πρόβληµα αναλύσες δικτύου 74 4.3 Παρατηρήσεις σχετικά µε τις αρχικές συνθήκες 75

4.4 Μεταβατική και µόνιµη απόκριση 76 4.5 Συνέχεια ρεύµατος πηνίου και τάσες πυκντή 77 4.6 Βηµατική απόκριση δικτύου 8 4.7 Κρουστική απόκριση δικτύου 8 Τρόπος υπολογισµού της κρουστικής απόκρισης 8 Κρουστική απόκριση συστήµατος ης τάξες 84 Κρουστική απόκριση συστήµατος ας τάξες 88 Γενική µεθοδολογία υπολογισµού κρουστικής απόκρισης 9 4.8 Παραδείγµατα υπολογισµού αποκρίσεν δικτύν 9 Παράδειγµα κύκλµα - Παράδειγµα κύκλµα - Παράδειγµα 3 κύκλµα -- σειράς Παράδειγµα 4 Παράδειγµα 5 4.9 Περιγραφή δικτύν και συστηµάτν µε χρήση τν Μεταβλητών Καταστάσες 4.9. Εισαγγικά 4.9. ιατύπση τν εξισώσεν καταστάσες 3 4.9.3 ιατύπση τν εξισώσεν καταστάσες για γραµµικό σύστηµα µίας εισόδου µίας εξόδου 6 4.9.4 Εξισώσεις καταστάσες σε ηλεκτρικά δίκτυα 8 9 97 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΙΚΤΥΩΝ ΣΤΗΝ ΗΜΙΤΟΝΙΚΗ ΜΟΝΙΜΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ 5. Γενικά για την Ηµιτονική Μόνιµη Κατάσταση Η.Μ.Κ. 33 5. Παραστατικοί µιγαδικοί phaor 33 5.3 Σχέσεις τάσες ρεύµατος τν τριών βασικών ηλεκτρικών στοιχείν στην Η.Μ.Κ. 35 5.3. Ωµική αντίσταση 35 5.3. Πηνίο µε αυτεπαγγή 36 5.3.3 Πυκντής µε χρητικότητα 36 5.4 Σύνθετη αντίσταση στην Η.Μ.Κ. 36 5.5 Ισχύς στην Η.Μ.Κ. 39

5.6 Εύρεση της µόνιµης απόκρισης γραµµικού δικτύου σε ηµιτονοειδή διέγερση 4 5.7 Η συνάρτηση µεταφοράς 45 5.8 Παραδείγµατα 46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΝΑΛΥΣΗ FOUIE ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΙΚΤΥΩΝ 6. Ανάλυση Fourier περιοδικών συναρτήσεν 55 Εισαγγικά 55 Σειρά Fourier - τριγνοµετρικές µορφές Α και Β 55 Μιγαδική µορφή σειράς Fourier 59 6. Παραδείγµατα αναπτυγµάτν Fourier περιοδικών συναρτήσεν 6 6.3 Φάσµατα Fourier 8 6.4 Τύπος του Pareval 86 6.5 Παράµετροι σηµάτν αναλυµµένν σε σειρά Fourier 87 6.5. Ποσοστό ισχύος της k-οστης αρµονικής και ζώνης αρµονικών 87 6.5. Υπόλοιπο αρµονικών 87 6.5.3 Περιεχόµενο αρµονικών 87 6.6 Αριθµητικό παράδειγµα αναλύσες σήµατος σε σειρά Fourier 9 6.7 Παράδειγµα επίλυσης ηλεκτρικού δικτύου µε χρήση ανάλυσης Fourier 94 6.7. Εύρεση αναπτυγµάτν Fourier του σήµατος εισόδου E 95 6.7. Επίλυση του κυκλώµατος 6.7.3 Υπολογισµός ισχύος στην αντίσταση 6.8 Μετασχηµατισµός Fourier 3 6.9 ιακριτά σήµατα και ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier 7 6.9. Γενικά για τα διακριτά σήµατα 7 6.9. ιακριτοποίηση σήµατος 8 6.9.3 Ψηφιοποίηση σήµατος 6.9.4 ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier D.F.. 3 6.9.5 Σχέση του διακριτού µετασχηµατισµού Fourier µε τις σειρές Fourier 6 6.9.6 Παραδείγµατα εφαρµογής του ιακριτού Μετασχηµατισµού Fourier 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΜΕΛΕΤΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΙΚΤΥΩΝ ΣΤΗΝ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΜΟΝΙΜΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Ε. Μ. Κ. 7. Γενικά για την Εκθετική Μόνιµη Κατάσταση Ε.Μ.Κ. 35 7. Χρήση παραστατικών µιγαδικών 36 7.3 Σχέσεις τάσες ρεύµατος τν τριών βασικών ηλεκτρικών στοιχείν στην Ε.Μ.Κ. 37 7.3. Ωµική αντίσταση 37 7.3. Πηνίο µε αυτεπαγγή. 38 7.3.3 Πυκντής µε χρητικότητα 38 7.4 7.5 Σύνθετη αντίσταση στην Ε.Μ.Κ. Η συνάρτηση µεταφοράς στην Ε.Μ.Κ 39 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APAE ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤOY ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΙΚΤΥΩΝ 8. Το πεδίο της µιγαδικής συχνότητας 43 8. Ορισµός του Μετασχηµατισµού aplace 44 8.3 Μετασχηµατισµοί aplace βασικών συναρτήσεν 45 8.4 Βασικές ιδιότητες του µετασχηµατισµού aplace 46 8.5 Αντίστροφος µετασχηµατισµός aplace 49 8.6 Μετασχηµατισµένα κατά aplace στοιχεία κυκλµάτν 5 8.6. Ωµική αντίσταση 5 8.6. Πηνίο µε αυτεπαγγή 5 8.6.3 Πυκντής µε χρητικότητα 54 8.7 Πορεία επίλυσης ενός ηλεκτρικού δικτύου µε τη µέθοδο aplace 55 8.8 Παραδείγµατα επιλύσες ηλεκτρικών δικτύν 56

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ 9. Η έννοια του Συστήµατος Αυτοµάτου Ελέγχου 65 9. Η συνάρτηση µεταφοράς rafer fucio 67 9.3 Σχέση συνάρτησης µεταφοράς και.ε. συστήµατος. 69 9.4 Γραφική παράσταση της συνάρτησης µεταφοράς 7 9.5 Αποκρίσεις συστηµάτν στα στοιχειώδη σήµατα 7 9.5. Απόκριση σε είσοδο κρουστική συνάρτηση 7 9.5. Απόκριση σε τυχαία είσοδο µε χρήση του συνελικτικού ολοκληρώµατος 7 9.5.3 Απόκριση σε είσοδο βηµατική συνάρτηση 7 9.5.4 Απόκριση σε είσοδο ηµιτονοειδή συνάρτηση` 73 9.6 ιαγράµµατα βαθµίδν 74 9.6. Σύνδεση βαθµίδν εν σειρά. 74 9.6. Σύνδεση βαθµίδν παράλληλα. 75 9.6.3 Ανάδραση 75 9.7 Ελεγκτές 75 9.7. Γενικά για τους ελεγκτές 75 9.7. Τύποι ελεγκτών 76 9.8 Χαρακτηριστικά µεγέθη της αποκρίσες συστηµάτν 8 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 83

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΥΠΟΒΑΘΡΟΥ. Μιγαδικοί αριθµοί Αναφέρουµε αρχικά ότι οι µιγαδικοί αριθµοί χρησιµοποιούνται ευρύτατα στην επιστήµη της Ηλεκτρολογίας. Παρακάτ δίδονται οι βασικές γνώσεις της µιγαδικης άλγεβρας απαραίτητες για όλα τα µαθήµατα Ηλεκτρολογίας... Ορισµός φανταστικής µονάδας Η λύση της εξίσσης ορίζεται στα µαθηµατικά ς η φανταστική µονάδα και x συµβολίζεται µε τα γράµµατα i ή j στην Ηλεκτρολογία χρησιµοποιείται το j για αποφυγή σύγχυσης µε το σύµβολο του ηλεκτρικού ρεύµατος i. Άρα λοιπόν ισχύει: και επίσης ισχύουν: - j -, j 3 j j - j και j 4 j j Με βάση τη φανταστική µονάδα σχηµατίζονται οι φανταστικοί αριθµοί που έχουν τη γενική µορφή: j y όπου y οποιοσδήποτε πραγµατικός αριθµός... Μιγαδικοί αριθµοί µιγαδικό επίπεδο Ένας µιγαδικός αριθµός z complex umber σχηµατίζεται από το άθροισµα ενός πραγµατικού αριθµού x και ενός φανταστικού αριθµού j y. j ηλαδή: z x j y Η γραµµή που υπάρχει πάν από το z συµβολίζει µιγαδικό αριθµό και έτσι γίνεται η διάκριση από ένα πραγµατικό αριθµό. Είναι αντιληπτό ότι ή έννοια του µιγαδικού αριθµού θυµίζει αρκετά τη έννοια του διανύσµατος στον χώρο δύο διαστάσεν επίπεδο. Άρα λοιπόν µπορούµε να θερήσουµε, αντίστοιχα, το λεγόµενο «µιγαδικό επίπεδο» το οποίο θα διαθέτει δύο κάθετους άξονες, τον άξονα τν πραγµατικών και τον άξονα τν φανταστικών αριθµών. Στο επίπεδο αυτό µπορούν να παρασταθούν όλοι οι µιγαδικοί αριθµοί.

Στο παρακάτ σχήµα φαίνεται το µιγαδικό επίπεδο. φανταστικός άξονας Im j y o Z x j y j x e πραγµατικός άξονας Ο µιγαδικός αριθµός z x j y παριστάνεται στο µιγαδικό επίπεδο, µε τον µικρό κύκλο o Ο πραγµατικός αριθµός x ονοµάζεται πραγµατικό µέρος του z, συµβολισµός x e{ z} το σύµβολο e { } από το real. Αντίστοιχα ο πραγµατικός y ονοµάζεται φανταστικό µέρος του z, Im{ z} y το σύµβολο Im{ } από το imagiary.. 3 Πράξεις µεταξύ µιγαδικών αριθµών Αρχικά θα δώσουµε τον ορισµό του συζυγούς µιγαδικού αριθµού Έστ ο µιγαδικός αριθµός z x j y. Ως συζυγής µιγαδικός του z ορίζεται ο µιγαδικός αριθµός : z x j y ηλ. δύο συζυγείς µιγαδικοί αριθµοί έχουν ίσα πραγµατικά µέρη και αντίθετα φανταστικά µέρη. Το αστεράκι * συµβολίζει τον συζυγή µιγαδικό. Οι 4 βασικές πράξεις της αριθµητικής εκτελούνται στους µιγαδικούς αριθµούς ς εξής: α Πρόσθεση και αφαίρεση Έστ οι µιγαδικοί αριθµοί z x j y και z x j y Τότε: z z x jy x jy x x j y y

3 και y y j x x jy x jy x z z ηλαδή η πρόσθεση και η αφαίρεση δύο µιγαδικών ανάγονται σε πρόσθεση και αφαίρεση τν αντίστοιχν πραγµατικών και φανταστικών µερών τους. Αυτό παρουσιάζει πλήρη ταύτιση µε την πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτν, εφ όσον θερήσουµε το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος ενός µιγαδικού αριθµού ς τις «συνιστώσες» x και y ενός διανύσµατος. γ Πολλαπλασιασµός Έστ οι µιγαδικοί αριθµοί y j x z και y j x z Ο πολλαπλασιασµός z z εκτελείται κατά τα γνστά έχοντας υπ όψη την βασική σχέση j j j άρα z z y y j x y j y x j x x jy x jy x ή z z x y y x j y y x x γ ιαίρεση Έστ οι µιγαδικοί αριθµοί y j x z και y j x z Το πηλίκο y j x y j x z z υπολογίζεται ς εξής: Πολλαπλασιάζουµε αριθµητή και παρονοµαστή επί τον συζυγή µιγαδικό του παρονοµαστή y j x z και έχουµε: y j x y j x z z y x y x x y j y x y y x x y j x y j x y j x y j x Ο πολλαπλασιασµός και η διαίρεση µιγαδικών αριθµών δεν συµβαδίζουν τους κανόνες της διανυσµατικής άλγεβρας όπς συµβαίνει µε την πρόσθεση και την αφαίρεση Ειδικά για τον πολλαπλασιασµό και την διαίρεση θα δούµε παρακάτ έναν πιο αποτελεσµατικό τρόπο εκτελέσεώς τους.

4.. 4 Απόλυτη τιµή ή µέτρο µιγαδικού αριθµού Ως απόλυτη τιµή, ή µέτρο, z του µιγαδικού αριθµού z x j y ορίζεται ο θετικός πραγµατικός αριθµός: z x y.. 5 Πολική εκθετική µορφή µιγαδικού αριθµού Οι µιγαδικοί αριθµοί µπορούν να γραφούν και σε µια άλλη εναλλακτική µορφή η οποία µπορεί να φανεί πολύ χρήσιµη σε πληθώρα περιπτώσεν. Στο µιγαδικό επίπεδο θερούµε τον µιγαδικό αριθµό Im z x j y y r iϑ y r z x ϑ r coϑ o x z e Το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος Z είναι ίσο µε r όπου r z x y το µέτρο του µιγαδικού z. Έστ ότι θ είναι η γνία που σχηµατίζεται από τον πραγµατικό άξονα και το ευθύγραµµο τµήµα Z. Η γνία θ λέγεται όρισµα του µιγαδικού αριθµού z και µεταβάλλεται µεταξύ τν ορίν π ϑ π. Παρατηρούµε ότι το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος του µιγαδικού z γράφονται: x e { z } r co ϑ και y Im { z } r i ϑ

5 άρα ο z x j y γράφεται z x j y r co ϑ j r i ϑ r co ϑ j i ϑ αυτή η µορφή γραφής z r co ϑ j i ϑ ονοµάζεται πολική µορφή του µιγαδικού z γιατί έχει άµεση σχέση µε τις πολικές συντεταγµένες ενός σηµείου x, y στο επίπεδο. Συνοψίζουµε: Καρτεσιανή αλγεβρική µορφή µιγαδικού: z x Πολική µορφή µιγαδικού: z r co ϑ j i ϑ όπου: x r co ϑ, y r i ϑ και r z j y y ϑ a x x y, Σηµ. η συνάρτηση a τόξο εφαπτοµένης χρειάζεται προσοχή, κατά τον υπολογισµό της, δηλαδή την εύρεση της γνίας ϑ στο σστό τεταρτηµόριο, ανάλογα µε τα πρόσηµα τν αριθµών x και y. Πάντς όλες οι αριθµοµηχανές calculaor που έχουν τη δυνατότητα µετατροπής συντεταγµένν από καρτεσιανές σε πολικές, έχουν ενσµατµένο ειδικό πρόγραµµα που υπολογίζει σστά τη γνία ϑ Επανερχόµαστε στην πολική µορφή µιγαδικού z r co ϑ j i ϑ και αναφέρουµε µια βασική ταυτότητα που αποδεικνύεται στα Μαθηµατικά τύπος του Euler ϑ e j coϑ j i Με βάση τον τύπο του Euler ο µιγαδικός z γράφεται: ϑ για κάθε πραγµατικό αριθµό ϑ z r co ϑ j i ϑ r e j ϑ z e jϑ Αυτός ο τρόπος γραφής z jϑ z e ονοµάζεται εκθετική µορφή µιγαδικού αριθµού και χρησιµοποιείται ευρύτατα στην πράξη.

6.. 6 Υπολογισµός γινοµένου και πηλίκου µιγαδικών σε εκθετική µορφή Το άθροισµα και η διαφορά δύο µιγαδικών υπολογίζονται πολύ εύκολα σε αλγεβρική καρτεσιανή µορφή. Ο υπολογισµός όµς του γινοµένου και ιδίς του πηλίκου παρουσιάζει κάποια πολυπλοκότητα στη µορφή αυτή. Η χρήση όµς της εκθετικής µορφής απλοποιεί πάρά πολύ τα πράγµατα για τις δύο αυτές πράξεις γινόµενο πηλίκο. Συγκεκριµένα θα έχουµε: jϑ e jϑ e Έστ οι µιγαδικοί z z και z z Το γινόµενο z z υπολογίζεται κατά τα γνστά z z z e jϑ jϑ j z e z z e ϑ ϑ δηλαδή το γινόµενο z z έχει µέτρο το γινόµενο τν µέτρν τν z και z και όρισµα το άθροισµα τν ορισµάτν ϑ και ϑ. Σηµ. οι πράξεις µε τους µιγαδικούς εκθέτες ακολουθούν τους ίδιους νόµους µε τις πράξεις µε πραγµατικούς εκθέτες Με όµοιο τρόπο το πηλίκο z z υπολογίζεται ς εξής: z z z jϑ e z j ϑ ϑ e jϑ e z z δηλαδή το πηλίκο z z έχει µέτρο το πηλίκο τν µέτρν τν z και z και όρισµα την διαφορά τν ορισµάτν αριθµητή µείον παρονοµαστή ϑ - ϑ. Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι είναι προτιµότερο η πρόσθεση και η αφαίρεση δύο µιγαδικών να γίνονται σε αλγεβρική καρτεσιανή µορφή ενώ ο πολλαπλασιασµός και η διαίρεση να γίνονται σε εκθετική µορφή. Χρειάζεται βέβαια κάθε φορά ή αντίστοιχη µετατροπή τν µιγαδικών από την µία µορφή στην άλλη µε χρήση τν γνστών τύπν.

7.. 7 Έκφρασή συζυγούς και αντιστρόφου µιγαδικού σε εκθετική µορφή Έστ ο µιγαδικός αριθµός z x j y z co ϑ j i ϑ z jϑ e Ο συζυγής του γράφεται: z x j y z coϑ _ j iϑ z jϑ e διότι ισχύει ς γνστόν e jϑ co ϑ j i ϑ coϑ j iϑ ηλαδή στην εκθετική µορφή ο συζυγής µιγαδικός του z έχει το ίδιο µέτρο z και αντίθετο όρισµα _ ϑ Επίσης θα ισχύει jϑ jϑ z z z e z e z ηλαδή το γινόµενο ενός µιγαδικού µέτρου του z. z επί τον συζυγή του είναι ίσο µε το τετράγνο του Ο αντίστροφος ενός µιγαδικού z jϑ z e γράφεται: z z e jϑ e z j e jϑ z e jϑ ηλαδή ο αντίστροφος του z έχει µέτρο το αντίστροφο του µέτρου του και όρισµα το αντίθετο του ορίσµατός του... 8 υνάµεις µιγαδικών αριθµών Οι δυνάµεις µιγαδικών αριθµών υπολογίζονται σύµφνα µε τους γνστούς κανόνες που ισχύουν για τους πραγµατικούς αριθµούς και ο υπολογισµός απλοποιείται σηµαντικά όταν ο µιγαδικός είναι γραµµένος σε εκθετική µορφή. Έστ ο µιγαδικός z z jϑ e Τότε: z j ϑ e z και z z j e ϑ όπου ακέραιος Αλλά και γενικότερα ισχύει z m m ϑ j m z e όπου, m ακέραιοι

8.. 9 Ρίζες µιγαδικών αριθµών Ο µιγαδικός αριθµός z z jϑ e έχει τον αριθµό -οστές ρίζες z οι οποίες υπολογίζονται από τον ακόλουθο τύπο: z k z e ϑ kπ j όπου k,,, -.. Στρεφόµενοι µιγαδικοί αριθµοί Θερούµε τον µιγαδικό αριθµό, η ακριβέστερα την µιγαδική συνάρτηση: z A e j όπου Α και σταθεροί πραγµατικοί αριθµοί και πραγµατική µεταβλητή χρόνος. Παρατηρούµε ότι ο z έχει σταθερό µέτρο Α ενώ το όρισµά του αυξάνει γραµµικά συναρτήσει του χρόνου. Αυτό σηµαίνει ότι ο z, στο µιγαδικό επίπεδο, κινείται πάν σε µία περιφέρεια µε ακτίνα Α µε σταθερή γνιακή ταχύτητα. βλ. και καττέρ σχήµα Im A i A A co o ϑ z ϑ e Το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος του z θα είναι αντίστοιχα: e { z } A co και Im { z } A i Από τις σχέσεις αυτές γίνεται δυνατή η παράσταση ηµιτονοειδών συναρτήσεν µε χρήση µιγαδικών αριθµών. Ο µιγαδικός αριθµός z λέγεται και στροφέας phaor.

9 Η χρονική παράγγος και το ολοκλήρµα του z µπορούν εύκολα να υπολογιστούν εφαρµόζοντας τους κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για πραγµατικές συναρτήσεις. Έτσι θα έχουµε: j j j j j e A e e A e j A A e d d d z d π π διότι ισχύει j e j π Άρα παραγώγιση του j A e z σηµαίνει πολλαπλασιασµό του µέτρου του επί και ταυτόχρονα αύξηση κατά γνία π του ορίσµατός του. Αντίστοιχα για το ολοκλήρµα: j j j j j e A e e A e j A d A e d z π π διότι ισχύει j e j j π Άρα ολοκλήρση του j A e z σηµαίνει διαίρεση µέτρου του δια και ταυτόχρονα µείση κατά γνία π του ορίσµατός του.

. Η ηµιτονοειδής συνάρτηση.. Γενικά για την ηµιτονοειδή συνάρτηση Η συνάρτηση αυτή χρησιµοποιείται πολύ στην Ηλεκτρολογία αλλά και σε άλλες Τεχνικές Επιστήµες. Οι λόγοι είναι οι ακόλουθοι: α Με την ηµιτονοειδή συνάρτηση περιγράφονται πολλά φυσικά φαινόµενα και τούτο γιατί οι ηµιτονοειδείς συναρτήσεις µαζί µε τις εκθετικές συναρτήσεις, αλλά και συνδυασµοί αυτών τν δύο, αποτελούν τις γενικές λύσεις τν γραµµικών διαφορικών εξισώσεν µε σταθερούς συντελεστές. Με τις εξισώσεις αυτές περιγράφεται πληθώρα φυσικών φαινοµένν π.χ. οι ταλαντώσεις. β Από µαθηµατική άποψη είναι µια πολύ «οµαλή» συνάρτηση. Η παράγγός της είναι επίσης µια ηµιτονοειδής συνάρτηση µε κάποια διαφορά φάσες. γ Με την ηµιτονοειδή συνάρτηση µπορούν να περιγραφούν και να µελετηθούν συνθετότερα σήµατα περιοδικά ή όχι µέσ της ανάλυσης Fourier όπς θα δούµε στα επόµενα Μια ηµιτονοειδής συνάρτηση f A m i φ χαρακτηρίζεται πλήρς από 3 µεγέθη: - Το πλάτος A m µε µονάδα ανάλογη του φυσικού µεγέθους που περιγράφεται - Την κυκλική συχνότητα rad /ec - Την αρχική φάση φ rad ή µοίρες Το µέγεθος φ rad, δηλ. το όρισµα, λέγεται φάση της ηµιτονοειδούς συνάρτησης Επίσης το µέγεθος π ec λέγεται περίοδος της ηµιτονοειδούς συνάρτησης και το αντίστροφο της περιόδου f Hz ec - λέγεται συχνότητα. Ο χρόνος µιας πλήρους περιόδου Τ, αντιστοιχεί προφανώς σε π rad ακτίνια Παρακάτ δίνεται µια τυπική γραφική παράσταση της ηµιτονοειδούς συνάρτησης f A m i φ

f A m A m iϕ ϕ π A m Παρατηρείστε ότι για η τιµή είναι f A m i φ Το χρονικό διάστηµα αριστερά του µηδενός το οποίο απαιτείται για να µηδενιστεί η f είναι ίσο µε ϕ π. ϕ Γενικά γνία φ rad αντιστοιχεί σε χρονικό διάστηµα ec π Αντί για την ηµιτονοειδή συνάρτηση µπορεί να χρησιµοποιηθεί, για την περιγραφή τν ίδιν φαινοµένν, και η συνηµιτονοειδής συνάρτηση f A m co φ Υπενθυµίζονται από την Τριγνοµετρία οι σχέσεις: άρα: και αντίστοιχα: π π co x i x και i x co x π f A m co φ A m i ϕ π f A m i φ A m co ϕ ηλαδή η περιγραφή ενός µεγέθους µε ηµιτονοειδή ή συνηµιτονοειδή συνάρτηση σηµαίνει απλά µια µετατόπιση στη φάση κατά ή - π/ rad ή αντίστοιχα ή - 9 µοίρες. Στην πράξη είναι ορθότερο, κατά την µελέτη τν προβληµάτν, να χρησιµοποιείται µόνον ή µία από τις δύο µορφές δηλαδή να εκφράζουµε όλα τα µεγέθη µε ηµιτονοειδείς ή όλα µε συνηµιτονοειδείς συναρτήσεις. Σε ολόκληρο το σύγγραµµα αυτό επιλέγεται η έκφραση µε ηµιτονοειδείς συναρτήσεις.

.. Παράσταση ηµιτονοειδών συναρτήσεν µε χρήση µιγαδικών αριθµών Αποδεικνύεται στα Μαθηµατικά, ότι για κάθε πραγµατικό αριθµό x, ισχύει η παρακάτ ταυτότητα τύπος του Euler : j co x e x j i x Άρα αν θερήσουµε τον µιγαδικό αριθµό η ακριβέστερα την µιγαδική συνάρτηση A A j m e ϕ Ο µιγαδικός j ϕ A A m e έχει σταθερό µέτρο A m και όρισµα το οποίο αυξάνει γραµµικά συναρτήσει του χρόνου. Αυτό σηµαίνει ότι ο A εκτελεί, στο µιγαδικό επίπεδο, οµαλή κυκλική κίνηση µε γνιακή ταχύτητα. Με εφαρµογή του τύπου του Euler έχουµε: Παρατηρούµε λοιπόν ότι: j ϕ A A m e A co ϕ j A i ϕ m { A } A co και Im{ A } A m i ϕ e m ϕ δηλαδή το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος του A είναι, αντίστοιχα, µια συνηµιτονοειδής και µια ηµιτονοειδής συνάρτηση. m Im α A m A m iϕ ϕ A e A m Επιλέγουµε στο σηµείο αυτό την χρήση της ηµιτονοειδούς συνάρτησης * φανταστικό µέρος * Εξ ίσου θα µπορούσαµε να επιλέξουµε την συνηµιτονοειδή συνάρτηση πραγµατικό µέρος

Άρα: { j ϕ } { j ϕ A i Im A e Im A e e j ϕ } m m 3 Στο σηµείο αυτό κάνουµε την ακόλουθη παρατήρηση: Έστ ότι έχουµε να υπολογίσουµε ένα άθροισµα ή µία διαφορά δύο ηµιτονοειδών συναρτήσεν µε την ίδια κυκλική συχνότητα. Από την Τριγνοµετρία είναι γνστό ότι το αποτέλεσµα είναι επίσης µια ηµιτονοειδής συνάρτηση µε την ίδια κυκλική συχνότητα. Στην περίπτση λοιπόν που έχουµε να υπολογίσουµε ένα τέτοιο αλγεβρικό άθροισµα µπορούµε, για την περιγραφή τν ηµιτονοειδών συναρτήσεν, αντί του στρεφοµένου µιγαδικού αριθµού: A A m e j ϕ να χρησιµοποιήσουµε τον σταθερό µιγαδικό: A m e jϕ e j m A A m e jϕ Αυτό φαίνεται εύκολα µε βάση τον παρακάτ συλλογισµό: έστ: { } { } j ϕ j ϕ j A m e Im A m e { } { } j ϕ A e Im A e j ϕ j α ϕ και α A m i Im e ϕ A m i Im m m e τότε j ϕ j α ± α { } { } j ϕ j Im A m e e ± Im A m e e j ϕ j j ϕ j j j ϕ j ϕ Im{ A m e e A m e e } Im{ e A m e ± A m e } j j ϕ Im{ e A e } { } j ϕ Im A e j ϕ όπου: j ϕ A e A e A e j ϕ ± m m άρα: α ± α { } j ϕ Im A e ± m m m m A m i φ ηλαδή παρατηρούµε ότι για τον υπολογισµό, µε χρήση στρεφοµένν µιγαδικών αριθµών, της παράστασης ο όρος A m m i ϕ ± A i ϕ A m i φ j e δεν υπεισέρχεται στους υπολογισµούς του πλάτους A m και της γνίας φ και κατά συνέπεια µπορεί προσρινά να απαλειφθεί. Είναι προφανές ότι αντί για αλγεβρικό άθροισµα µόνον δύο ηµιτονοειδών όρν, µπορούµε να έχουµε αλγεβρικό άθροισµα οποιουδήποτε αριθµού ηµιτονοειδών όρν, µε την προϋπόθεση να έχουν όλοι την ίδια κυκλική συχνότητα.

4 Συνοψίζουµε εδώ την µεθοδολογία: Η ηµιτονοειδής συνάρτηση: α A m i φ µπορεί να παρασταθεί από τον στρεφόµενο µιγαδικό αριθµό: A ο οποίος αποκαλείται και στροφέας ή phaor A j m e ϕ Πρακτικά όµς χρησιµοποιείται ο σταθερός µιγαδικός αριθµός: A A m e jϕ Αντίστροφα αν είναι γνστός ο jϕ A A m e και η κυκλική συχνότητα, τότε η ηµιτονοειδής συνάρτηση α προκύπτει από τη σχέση: j j ϕ j { A e } Im{ A e e } A i ϕ α Im m m Με την χρήση τν µιγαδικών αριθµών οι πράξεις µεταξύ ηµιτονοειδών συναρτήσεν ανάγονται σε πράξεις µιγαδικών αριθµών. Έτσι αποφεύγονται πολύπλοκες τριγνοµετρικές εκφράσεις και αντικαθίστανται από απλή µιγαδική άλγεβρα. Ας δούµε παρακάτ δύο απλές εφαρµογές:.. 3 Παραδείγµατα Παράδειγµα Η έκφραση f α i α co όπου τα α και α πραγµατικοί αριθµοί θετικοί ή αρνητικοί µπορεί να γραφεί και ς: f α m i φ τα µεγέθη α m και φ υπολογίζονται ς εξής: - ο όρος α i αν α > παριστάνεται µε στροφέα A α π -ο όρος α co α i αν α > παριστάνεται µε στροφέα A α e Προσθέτοντας τους στροφείς A και A θα πάρουµε: π j

5 π j α e F α α jα α j a α α α e Im F e j i a άρα: f { } α α α α συνεπώς αm α α και ϕ a α α α Προσοχή όµς χρειάζεται στον σστό υπολογισµό της γνίας ϕ a α ανάλογα µε τα πρόσηµα τν α και α! ίνουµε παρακάτ δύο αριθµητικά παραδείγµατα της εφαρµογής αυτής Παράδειγµα Η έκφραση f 5 i 7 co γράφεται: 5 i στροφέας A 5 7 co 7 i π/ στροφέας A 7 e j 7 άρα: F A A π j 7 j a 5 5 j 7 5 7 e 8.6 e και f 8.6 i.95 ή σε µοίρες f 8.6 i 54.46 ο j.95 Παράδειγµα 3 Η έκφραση f 3 i - co γράφεται: 3 i στροφέας A 3 - co - i π/ i π/ π στροφέας A e j άρα: F A A π j j a 3 j.59 3 j 3 e 3.66 e και f 3.66 i -.59 ή σε µοίρες f 3.66 i - 33.7 ο

6 Παράδειγµα 4 Να υπολογιστεί το άθροισµα: f 6 i.3 5 i.78 3 i.3 i -.56 οι γνίες σε rad οι αντίστοιχοι στροφείς θα έιναι: 6 i.3 5 i.78 j. 3 α e 6 5.84 j.368 j. 78 α e 5 3.554 j 3.56 3 i.3 3 i.3 π 3 i.9 i -.56 j. 56 α 4 e.694 j.6 j. 9 α 3 e 3 -.998 j.89 άρα: f α α α3 α4.9 - j.743.4 j συνεπώς: f { f e } Im.4 i.7 ή σε µοίρες f.4 i 9.7 ο j.7 e

7. 3 Η εκθετική συνάρτηση. 3. Γενικά για την εκθετική συνάρτηση Η εκθετική συνάρτηση, έχει εξ ίσου µε την ηµιτονοειδή συνάρτηση, σηµαντικότατη αξία για την Ηλεκτρολογία. Οι εκθετικές συναρτήσεις, όπς είναι γνστό, αποτελούν γενικές λύσεις τν γραµµικών διαφορικών εξισώσεν µε σταθερούς συντελεστές. Στο σηµείο αυτό αναφέρουµε την ακόλουθη παρατήρηση: - εν είναι ποτέ δυνατόν από πραγµατικό φυσικό σύστηµα να προκύψει ς απόκριση εκθετική συνάρτηση µε θετικό εκθέτη, δηλαδή συνάρτηση της µορφής όπου το α >. f e α Είναι προφανές ότι η f α e τείνει στο άπειρο καθώς ο χρόνος τείνει στο άπειρο και µια τέτοια απόκριση δεν µπορεί να προκύψει από πραγµατικό - φυσικό σύστηµα. Άρα λοιπόν οι εκθετικές συναρτήσεις που χρησιµοποιούνται για να περιγράψουν φυσικά φαινόµενα έχουν πάντοτε αρνητικούς εκθέτες.. 3. Μορφές εκθετικών συναρτήσεν Στην πράξη χρησιµοποιούνται οι ακόλουθες δύο µορφές εκθετικών συναρτήσεν. e α Η κατερχόµενη εκθετική συνάρτηση : f A όπου Τ η σταθερά χρόνου Η συνάρτηση f τείνει ασυµπττικά στο και η εφαπτοµένη της καµπύλης στο σηµείο, Α τέµνει τον άξονα τν στο σηµείο. f A.368A 5 Για Τ η f παίρνει την τιµή f Τ Α e.368 Α 5 Για 5 Τ έχουµε f 5 A e.67a τιµή που θερείται πολύ µικρή σε σχέση µε το Α, και έτσι η τιµή 5 Τ θερείται ς το «πρακτικό» χρονικό όριο στο οποίο η f µηδενίζεται.

8 β Η ανερχόµενη εκθετική συνάρτηση: f A e όπου Τ η σταθερά χρόνου Η συνάρτηση f τείνει ασυµπττικά στο Α και η εφαπτοµένη της καµπύλης στο σηµείο, τέµνει την ασύµπττο ευθεία σε ένα σηµείο από το οποίο αν φέρουµε την κάθετο στον άξονα τν θα συναντήσει το σηµείο. f A.63A 5 Για Τ η f παίρνει την τιµή f Τ Α - e.63 A Για 5 Τ έχουµε f 5 A - e 5.9933 A τιµή που θερείται πολύ κοντά στο Α, και έτσι η τιµή 5 Τ θερείται ς το «πρακτικό» χρονικό όριο στο οποίο η f παίρνει την τελική της τιµή Α.

9. 4 Γραµµική ανεξαρτησία συναρτήσεν. 4. Ορισµός Οι συναρτήσεις f και f θα λέγονται γραµµικά ανεξάρτητες όταν η σχέση α f α f για κάθε ισχύει µόνον όταν α α. Αν µπορούν να βρεθούν δυο πραγµατικοί αριθµοί α, α διάφοροι του µηδενός και να ικανοποιείται η αντέρ σχέση τότε οι συναρτήσεις f και f λέγονται γραµµικά εξαρτηµένες.. 4. Παραδείγµατα α Οι συναρτήσεις i και co είναι γραµµικά ανεξάρτητες διότι δεν µπορούν να βρεθούν δυο πραγµατικοί αριθµοί α, α διάφοροι του µηδενός ώστε να ισχύει α i α co για κάθε β Οι συναρτήσεις i και i, όπου, είναι γραµµικά ανεξάρτητες διότι δεν µπορούν να βρεθούν δυο πραγµατικοί αριθµοί α, α διάφοροι του µηδενός ώστε να ισχύει α i α i για κάθε γ Οι συναρτήσεις e k και e m, όπου k m, είναι γραµµικά ανεξάρτητες διότι δεν µπορούν να βρεθούν δυο πραγµατικοί αριθµοί α, α διάφοροι του µηδενός ώστε να ισχύει α e k α e m για κάθε δ Οι συναρτήσεις e k και e k, είναι γραµµικά εξαρτηµένες διότι: η σχέση α e k α e k επαληθεύεται για κάθε αν έχουµε π.χ. α β β τυχαίος πραγµατικός αριθµός και α - β /

. 5 Γραµµικές ιαφορικές Εξισώσεις µε σταθερούς συντελεστές. 5. Εισαγγικά Η γενική µορφή µιας γραµµικής ιαφορικής Εξίσσης.Ε. µε σταθερούς συντελεστές είναι: a d y d y d y a... a a y f d d d Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τον συµβολισµό: D d d όπου ο τελεστής D υποδηλώνει την παράγγο, και εποµένς θα ισχύουν: d 3 d D, D... κ.ο.κ. 3 d d Με βάση τα προηγούµενα η διαφορική εξίσση µπορεί να γραφεί και ς εξής: 3 a D y a D y... a D y a y f a ή [ D a D... a D a ] y f όπου: y : άγνστη συνάρτηση απόκριση ή «έξοδος» f : γνστή συνάρτηση διέγερση ή «είσοδος» : µέγιστη τάξη παραγώγου της άγνστης συνάρτησης που λέγεται και τάξη της διαφορικής εξίσσης [, a... a, ] a σταθεροί πραγµατικοί αριθµοί συντελεστές της διαφορικής εξίσσης a Για να λυθεί η διαφορική αυτή εξίσση πρέπει να είναι γνστές και το πλήθος Αρχικές Συνθήκες Α.Σ. οι οποίες συνήθς είναι οι τιµές: y, D y,.., D y, D y Η τιµή σηµαίνει ότι το είναι απείρς κοντά στο αλλά από τις θετικές τιµές, δηλαδή ισχύει >. Οι γραµµικές διαφορικές εξισώσεις µε σταθερούς συντελεστές εµφανίζονται στην περιγραφή πάρα πολλών φυσικών φαινοµένν και βέβαια στην ανάλυση τν ηλεκτρικών κυκλµάτν.

. 5. Γενικός τρόπος επίλυσης γραµµικής.ε. Αποδεικνύεται στα Μαθηµατικά ότι η γενική λύση µιας.ε. - τάξες: είναι η ακόλουθη: [ D a D... a D a ] y f a y γενικη yοµογενης y µερικη όπου: y οµογενης : η γενική λύση της αντίστοιχης οµογενούς.ε. [ D a D... a D a ] y a y µερικη : µία συνάρτηση του η οποία δεν προκύπτει από την λύση της οµογενούς και ταυτόχρονα αποτελεί λύση της.ε. Η ειδική λύση της.ε. y ε iδικη προκύπτει από την y γενικη µετά από εφαρµογή τν δεδοµένν αρχικών συνθηκών Α.Σ. y, D y,.., D y, D y Παρακάτ θα ασχοληθούµε µε την επίλυση γραµµικών.ε. µε σταθερούς συντελεστές ης και ας τάξες και στη συνέχεια θα γενικεύσουµε τον τρόπο επίλυσης για.ε. τάξες.

. 5. 3 Επίλυση γραµµικής.ε. ης τάξες Η γενική µορφή µια γραµµικής.ε. ης τάξες είναι:.ε. : D a y f a Α.Σ. : y y Αντίστοιχη οµογενής.ε.: D a y a Από την οµογενή.ε. προκύπτει η λεγόµενη χαρακτηριστική εξίσση της.ε. θέτοντας αντί του τελεστή D την αλγεβρική µεταβλητή. Έτσι θα πάρουµε: Χαρακτηριστική εξίσση: a a δηλ. η χαρακτηριστική εξίσση της.ε. είναι πάντα µία πολυνυµική εξίσση µε βαθµό ίσο µε την τάξη της.ε., άρα η.ε. ης τάξες θα έχει χαρακτηριστική εξίσση πρώτου βαθµού Η ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσσης θα είναι: a a Αποδεικνύεται ότι η γενική λύση της αντίστοιχης οµογενούς D a y a θα είναι: y οµογενης e όπου η σταθερά προσδιορίζεται από την δεδοµένη αρχική συνθήκη y y Σύµφνα µε την µεθοδολογία επίλυσης, πρέπει να βρούµε και µία µερική λύση της.ε. την οποία θα προσθέσουµε στη γενική λύση της οµογενούς και στη συνέχεια θα εφαρµόσουµε τη δεδοµένη αρχική συνθήκη για την εύρεση της σταθεράς. Στο σηµείο αυτό θα περιορίσουµε το πρόβληµα της εύρεσης µερικής λύσης της.ε. για ορισµένες ειδικές µορφές της συνάρτησης f. Οι µορφές αυτές φαίνονται στον πίνακα που ακολουθεί.

3 ΜΟΡΦΕΣ ΜΕΡΙΚΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ.Ε. Μορφή f Μορφή y µερική Σταθερή συνάρτηση : f k Σταθερή συνάρτηση : y µερική k η σταθερά k προσδιορίζεται µε απλή αναγγή m Πολυώνυµο m - βαθµού: m m m f b b... b b Πολυώνυµο m βαθµού: m m y µερ d m d m... d d οι σταθερές d, d,, d m προσδιορίζονται µε απλή αναγγή Εκθετική Συνάρτηση: k f k e Εκθετική Συνάρτηση: y k µερικη 3 e k Παρατηρούµε ότι ο εκθέτης παραµένει ο ίδιος η σταθερά k 3 προσδιορίζεται µε απλή αναγγή Ηµιτονοειδής συνάρτηση: f k i Άθροισµα ηµιτόνου και συνηµιτόνου µε την ίδιο : y µερική k i k 3 co ή ισοδύναµα: y µερική k 4 i φ οι σταθερές k, k 3 ή k 4, φ προσδιορίζονται µε απλή αναγγή Εκθετικά αποσβεννύµενη ηµιτονοειδής Άθροισµα ηµιτόνου και συνηµιτόνου µε την ίδιο και τον ίδιο συντελεστή απόσβεσης k k f k e i y µερ k e [ k 3 i k 4 co ] k ή ισοδύναµα: y µερ k 5 e i φ οι σταθερές k 3, k 4 ή k 5, φ προσδιορίζονται µε απλή αναγγή

4. 5. 4 Παραδείγµατα επίλυσης γραµµικών.ε. ης τάξες Παρ. Να λυθεί η.ε. D y µε Α.Σ. y οµογενής.ε. Η χαρακτηριστική εξίσση είναι µε ρίζα -.5 Άρα η γενική λύση της οµογενούς.ε. θα είναι: y οµογ e e.5 Με εφαρµογή της δεδοµένης A.Σ. y θα πάρουµε: y οµογ άρα η ειδική λύση της.ε. θα είναι: y ειδ. y e. 5 Παρακάτ φαίνεται η γραφική παράσταση της λύσης..8 y.6.4. 4 6 8 4 Παρ. Να λυθεί η.ε. D 3 y 3 µε Α.Σ. y Χαρακτηριστική εξίσση: 3 µε ρίζα - 3 Άρα η γενική λύση της οµογενούς.ε. θα είναι: y οµογ e 3 Εύρεση µερικής λύσης: Εδώ έχουµε f 3 σταθ., άρα δοκιµάζουµε ώς Θέτουµε την y µερ στη.ε. και έχουµε: y µερ k σταθ.

εποµένς η συνάρτηση 5 D 3 y µερ 3 ή D 3 k 3 άρα 3 k 3 k y µερ είναι µια µερική λύση της.ε. Άρα η γενική λύση: y y y γεν οµογ 3 ή y e γεν µερ Με εφαρµογή της δεδοµένης A.Σ. άρα η ειδική λύση της.ε. θα είναι: y θα πάρουµε: y γεν y ειδ. y e 3 Παρακάτ φαίνεται η γραφική παράσταση της λύσης.5.5 y.5.5.5.5 Παρ. 3 Να λυθεί η.ε. 3 D y e µε Α.Σ. y Χαρακτηριστική εξίσση: 3 µε ρίζα Άρα η γενική λύση της οµογενούς.ε. θα είναι: 3 Εύρεση µερικής λύσης: y οµογ e 3 Εδώ έχουµε f e, άρα δοκιµάζουµε ς y µερ k e

6 Θέτουµε την y µερ στη.ε. και έχουµε: 3 D y µερ e 3 D k e e - 6 k e k e e - 6 k k k -.5 Εποµένς η συνάρτηση y µερ -.5 e είναι µια µερική λύση της.ε. Άρα η γενική λύση: y y y γεν οµογ µερ ή y γεν 3 e.5 e Με εφαρµογή της δεδοµένης A.Σ. άρα η ειδική λύση της.ε. θα είναι: y θα πάρουµε: y γεν.5 3. 5 y ειδ y 3.5 e 3.5 e Παρακάτ φαίνεται η γραφική παράσταση της λύσης.5 y.5 4 6 8 Παρ. 4 Να λυθεί η.ε. D y e µε Α.Σ. y Χαρακτηριστική εξίσση: µε ρίζα - Άρα η γενική λύση της οµογενούς.ε. θα είναι: Εύρεση µερικής λύσης: y e οµογ

Εδώ έχουµε f e 7, και παρατηρούµε ότι ο εκθέτης της εκθετικής συνάρτησης της f είναι ίδιος µε αυτόν της y οµογ δεν είναι γραµµικά ανεξάρτητες yοµογ e, εποµένς οι συναρτήσεις f και Στην περίπτση αυτή δοκιµάζουµε ς y µερ k e Θέτουµε την y µερ στη.ε. και έχουµε: D y µερ e D k e e D k e k e e k e - k e k e e k Εποµένς η συνάρτηση y µερ e είναι µια µερική λύση της.ε. Άρα η γενική λύση: y y y γεν οµογ µερ ή y γεν e e Με εφαρµογή της δεδοµένης A.Σ. y θα πάρουµε: y γεν άρα η ειδική λύση της.ε. θα είναι: y ειδ y e e Παρακάτ φαίνεται η γραφική παράσταση της λύσης.4. y.8.6.4. 4 6 8

Παρ. 5 Να λυθεί η.ε. D 3 y i 3 µε Α.Σ. y 8 Χαρακτηριστική εξίσση: 3 µε ρίζα -.5 Άρα η γενική λύση της οµογενούς.ε. θα είναι: y.5 e οµογ Εύρεση µερικής λύσης: Εδώ έχουµε f i 3 οκιµάζουµε ς y µερ k co 3 k i 3 Θέτουµε την y µερ στη.ε. και έχουµε: D 3 y µερ i 3 D [ k co 3 k i 3 ] 3 [ k co 3 k i 3 ] i 3-6 k i 3 6 k co 3 3 k co 3 3 k i 3 ] i 3 [ 3 k 6 k ] co 3 [ - 6 k 3 k ] i 3 i 3 Άρα λόγ της γραµµικής ανεξαρτησίας τν συναρτήσεν i και co εδώ 3 θα έχουµε: Η λύση του συστήµατος είναι: 3 k 6 k 6 k 3 k 4 k, k 3 4 Άρα η συνάρτηση y µερ co 3 i 3 είναι µια µερική λύση της.ε. 3 3 Χρησιµοποιώντας την ταυτότητα: a co b i a b i ϕ όπου φ a a / b εδώ, για την τιµή του φ, προσοχή χρειάζεται στα πρόσηµα τν a και b! 3 η y µερ γράφεται και ς y µερ.497 i 3 63.43 o Άρα η γενική λύση: y y y γεν οµογ µερ ή.5 y γεν e.497 i 3 63.43 o Με εφαρµογή της δεδοµένης A.Σ. y θα πάρουµε: y γεν.497 i 63.43 o.3333 άρα η ειδική λύση της.ε. θα είναι: y.5 y.3333 e.497 i 3 63.43 o ειδ

9 Παρακάτ φαίνεται η γραφική παράσταση της λύσης.5.5 y -.5 - -.5-4 6 8

. 5. 5 Επίλυση γραµµικής.ε. ας τάξες 3 Η γενική µορφή µιας γραµµικής.ε. ας τάξες είναι: a.ε. : D a D a y f Α.Σ. : y y, D y y a Αντίστοιχη οµογενής.ε.: D a D a y a Άρα η χαρακτηριστική εξίσση θα είναι: a a Εξετάζουµε τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσσης: i ρίζες πραγµατικές και διάφορες µεταξύ τους, η γενική λύση της οµογενούς θα είναι: y οµογ e e i i µια ρίζα πραγµατική διπλή η γενική λύση της οµογενούς θα είναι: y οµογ e e i i i ρίζες µιγαδικές συζυγείς σ ± j η γενική λύση της οµογενούς θα είναι: σ y οµογ [ co i ] e σ e 3 ή ισοδύναµα: y οµογ i ϑ Παρατηρούµε ότι στην περίπτση.ε. ας τάξες εµφανίζονται προσδιοριστέες σταθερές οι οποίες υπολογίζονται από τις δεδοµένες Α.Σ. y y, D y y Για την εύρεση µιας ειδικής λύσης µιας.ε. ας τάξες εφαρµόζουµε την ίδια ακριβώς διαδικασία όπς µε την εξίσση ης τάξες.. Ακολουθούν παραδείγµατα.

3. 5. 6 Παραδείγµατα επίλυσης γραµµικών.ε. ας τάξες Παρ. 6 Να λυθεί η.ε. D. D. y. µε Α.Σ. y D y 4. 5 Η χαρακτηριστική εξίσση της.ε. θα είναι:.. µε ρίζες -., - άρα η γενική λύση της οµογενούς θα είναι y οµογ e -. e Αναζητούµε µία µερική λύση Επειδή f. σταθ. αναζητούµε µερική λύση της µορφής y µερ k σταθ. Αντικαθιστώντας στην.ε. D. D. y µερ. ή. k. k άρα y µερ άρα y γεν e -. e εφαρµόζοντας τις δεδοµένες Α.Σ. y D y 4.75 θα έχουµε: y γεν - D y γεν 4.75 -. - 4. 5 από τη λύση του συστήµατος αυτού προκύπτει:. 5, - 4. 5 Εποµένς η ειδική λύση της.ε. θα είναι: y ειδ y. 5 e -. - 4. 5 e Παρακάτ φαίνεται η γραφική παράσταση της λύσης 4 3.5 3 y.5.5.5 5 5 5 3 35

3 Παρ. 7 Να λυθεί η.ε. D. 4 D 8 y 3 e - µε Α.Σ. y D y - Η χαρακτηριστική εξίσση της.ε. θα είναι:. 4 8 µε µιγαδικές ρίζες: -. j 4.38, -. j 4.38 άρα η γενική λύση της οµογενούς θα είναι y οµογ e -. [ co 4.38 i 4.38 ] Αναζητούµε µία µερική λύση Επειδή f 3 e - αναζητούµε µερική λύση της µορφής y µερ k k e - άρα D y µερ - k e και D y µερ k e Αντικαθιστώντας στην.ε. D. 4 D 8 y µερ 3 e - προκύπτει: k e -. 4 k e 8 k 8 k e 3 e ή 8.6 k e 8 k 3 e άρα: k / 8., k 3 / 8.6.63 εποµένς y µερ..63 e και η γενική λύση της.ε. θα είναι: y γεν y οµογ y µερ e -. [ co 4.38 i 4.38 ].63 e. Εφαρµόζοντας τις δεδοµένες Α.Σ. y D y - θα έχουµε: y γεν.63..776 D y γεν - -. 4.38.63 - -.636 Εποµένς η ειδική λύση της.ε. θα είναι: y ειδ y e -. [.776 co 4.38.636 i 4.38 ].63 e. ή ισοδύναµα: y. 7458 e -. i 4.38. 67 o.63 e.

Παρακάτ φαίνεται η γραφική παράσταση της λύσης του παραδείγµατος 7 33..8.6 y.4. -. -.4 -.6 5 5 5 Παρ. 8 Να λυθεί η.ε. D.7 D.6 y 4 i 5 µε Α.Σ. y D y - 4 Η χαρακτηριστική εξίσση της.ε. θα είναι:.7.6 µε ρίζες -.5, -. άρα η γενική λύση της οµογενούς θα είναι y οµογ e -.5 e -. Αναζητούµε µία µερική λύση Επειδή f 4 i 5 η µερική λύση θα είναι της µορφής: y µερ k co 5 k i 5 άρα D y µερ - 5 k i 5 5 k co 5 και D y µερ - 5 k co 5 5 k i 5 αντικαθιστώντας τις εκφράσεις τν y µερ, Dy µερ, D y µερ στην.ε. έχουµε: - 5 k co 5 5 k i 5 8.5 k i 5 8.5 k co 5.6 k co 5.6 k i 5 4 i 5 ή: co 5 [- 5 k 8.5 k.6 k ] i 5 [ 5 k 8.5 k.6 k ] 4 i 5 άρα προκύπτει το σύστηµα εξισώσεν: 4.4 k 8.5 k 8.5 k 4.4 k µε λύση: 4 k.59 k.46

34 και η µερική λύση y µερ της.ε. θα είναι: y µερ -.59 co 5.46 i 5 η y µερ ισοδύναµα γράφεται y µερ.548 i 5-6.8 o εποµένς η γενική λύση της.ε. θα είναι: y γεν y οµογ y µερ e -.5 e -..548 i 5 6.8 o Εφαρµόζοντας τις δεδοµένες Α.Σ. y D y - 4 θα έχουµε: y γεν.548 i - 6.8 o.59 D y γεν - 4 -.5 -. 5..548 co -6.8 o - 4 -.5 -. - 3.69 η λύση του συστήµατος.5..59 3.69 δίνει:.8688 3.994 Εποµένς η ειδική λύση της.ε. θα είναι: y ειδ y -.8688 e -. 5 3.994 e -..548 i 5-6.8 o Παρακάτ φαίνεται η γραφική παράσταση της λύσης.8.6.4. y -. -.4 -.6 -.8-5 5 5

Παρ. 9 Να λυθεί η.ε. D 6 D 5 y 8 co 5 35 µε Α.Σ. y D y 3 Η χαρακτηριστική εξίσση της.ε. θα είναι: 6 5 µε µιγαδικές ρίζες - 3 j 4, - 3 - j 4 άρα η γενική λύση της οµογενούς θα είναι y οµογ e - 3 [ co 4 i 4 ] Αναζητούµε µία µερική λύση Επειδή f 8 co 5 αναζητούµε µερική λύση της µορφής y µερ k co 5 k i 5 άρα D y µερ - 5 k i 5 5 k co 5 και D y µερ - 5 k co 5 5 k i 5 αντικαθιστώντας τις εκφράσεις τν y µερ, Dy µερ, D y µερ στην.ε. έχουµε: - 5 k co 5 5 k i 5-9 k i 5 9 k co 5 5 k co 5 5 k i 5 8 co 5 ή: co 5 [ - 5 k 9 k 5 k ] i 5 [ 5 k - 9 k 5 k ] 8 co 5 άρα προκύπτει το σύστηµα εξισώσεν: k 9 k 9 k k 8 µε λύση: k k.336.497 άρα η µερική λύση y µερ θα είναι: y µερ -.336 co 5.497 i 5 που ισοδύναµα γράφεται y µερ.3647 i 5 65.77 o εποµένς η γενική λύση της.ε. θα είναι: y γεν y οµογ y µερ e - 3 [ co 4 i 4 ].3647 i 5 65.77 o Εφαρµόζοντας τις δεδοµένες Α.Σ. y D y 3 θα έχουµε: y γεν.3647 i - 65.77 o -.336.336 D y γεν 3-3 4 5..3647 co - 65.77 o 3-3 4.7755.788

36 Εποµένς η ειδική λύση της.ε. θα είναι: y ειδ y e - 3 [.336 co 4.788 i 4 ].3647 i 5 65.77 o Παρακάτ φαίνεται η γραφική παράσταση της λύσης.4.3. y. -. 3 4 5

37. 5. 7 Επίλυση γραµµικών.ε. 3 ης και αντέρας τάξες Η γενική µορφή µια γραµµικής.ε. 3 ης τάξες είναι: 3 a 3.Ε. : D a D a D a y f Α.Σ. : y y, D y y, D y y 3 a 3 Αντίστοιχη οµογενής.ε.: D a D a D a y 3 a 3 Άρα η χαρακτηριστική εξίσση θα είναι: a a a 3 ου βαθµού Η µεθοδολογία επίλυσης είναι η ίδια όπς και στα προηγούµενα. Αναζητούµε τις 3 ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσσης και αυτό αποτελεί ήδη ένα πρόβληµα λόγ της δυσκολίας εφαρµογής του σχετικού τύπου τύπος ardao που υπάρχει στα Μαθηµατικά. Η άλλη επιλογη είναι να υπολογιστούν οι ρίζες µε εφαρµογή κάποιου αριθµητικού αλγόριθµου. Θερόντας λοιπόν γνστές τις ρίζες πραγµατικές ή µιγαδικές θα έχουµε: - Αν έχουµε τρεις πραγµατικές ρίζες απλές,, 3, τότε η γενική λύση της οµογενούς θα είναι: y οµογ e e 3 3 e - Αν έχουµε µια πραγµατική απλή ρίζα και µια πραγµατική διπλή ρίζα τότε: y οµογ e e 3 e - Αν έχουµε µια πραγµατική τριπλή ρίζα τότε: y οµογ e e 3 e - Τέλος αν έχουµε µια πραγµατική ρίζα και ένα ζεύγος συζυγών µιγαδικών ριζών, 3 σ± j θα έχουµε µια αντίστοιχη λύση y οµογ σ e e [ co 3 i ] ή ισοδύναµα: y οµογ σ e 4 e i ϑ

38 Η γενική λύση της οµογενούς y οµογ θα περιλαµβάνει τρεις προσδιοριστέες σταθερές,, 3. Η µερική λύση βρίσκεται µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπς και στην.ε. ας τάξες και οι τρεις σταθερές που απαιτούνται για την εύρεση της ειδικής λύσης υπολογίζονται από τις τρεις δεδοµένες αρχικές συνθήκες. y y D y y, D y y, Η µεθοδολογία γενικεύεται και για.ε. 4 ης και αντέρας τάξες και η µόνη δυσκολία είναι η πολυπλοκότητα τν σχετικών µαθηµατικών εκφράσεν που προκύκπτουν. Παρακάτ ακολουθεί ένα τελευταίο παράδειγµα επίλυσης.ε. 3 ης τάξες. Παρ. Να λυθεί η.ε. D 3.3 D 5.55 D 67.575 y 35.5 µε Α.Σ. y D y 8 D y - Η χαρακτηριστική εξίσση της.ε. θα είναι: 3.3 5.55 67.575 µε ρίζες -. 3, -.5 j 5, 3 -.5 - j 5 άρα η γενική λύση της οµογενούς θα είναι: y οµογ e -.3 e -.5 [ co 5 3 i 5 ] Αναζητούµε µία µερική λύση: Επειδή f 35.5 σταθ. η µερική λύση θα έχει τη µορφή y µερ. k σταθ. Αντικαθιστώντας στη.ε. D 3.3 D 5.55 D 67.575 y µερ 35.5 αµέσς προκύπτει ότι: y µερ Εποµένς η γενική λύση της.ε. θα είναι: y γεν y οµογ y µερ e -.3 e -.5 [ co 5 3 i 5 ]

39 Εφαρµόζοντας τις δεδοµένες Α.Σ. y, D y 8, D y - θα έχουµε: y γεν D y γεν 8 -. 3 -.5 5 3 8 D y γεν -.9 4.75-5 3 - Από τη λύση του συστήµατος:.3.9.5 4.75 5 5 3 3 8 παίρνουµε: -. 9,. 9, 3 5. 94 Εποµένς η ειδική λύση της.ε. θα είναι: y ειδ y -.9 e -. 3 e -. 5 [.9 co 5 5.94 i 5 ] η ισοδύναµα: y ειδ y -.9 e -. 3 e -. 5 [ 5.95 i 5 ο ] Παρακάτ φαίνεται η γραφική παράσταση της λύσης 6 4 y - -4-6 4 6 8

4

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ. Η έννοια του συστήµατος.. Ορισµός του συστήµατος Παρακάτ δίδεται ένας γενικός ορισµός του συστήµατος : Καλούµε σύστηµα ένα σύνολο στοιχείν και διατάξεν οι οποίες συνδέονται µεταξύ τους και έχουν σκοπό να επιτελέσουν κάποια διαδικασία ή έργο. Τα συστήµατα περιγράφονται από µαθηµατικές σχέσεις, που συνδέουν κάποιο «αίτιο» µε κάποιο «αποτέλεσµα», µε χρήση διαφόρν «δυναµικών» µεταβλητών δηλ. µεταβλητών που είναι συναρτήσεις του χρόνου. Οι µεταβλητές αυτές είναι φυσικά µεγέθη, η φυσική διάσταση τν οποίν εξαρτάται από το ίδιο το σύστηµα. Κάποιες από τις µεταβλητές αυτές θερούνται ς διεγέρσεις ή είσοδοι, ή αίτια και κάποιες άλλες ς αποκρίσεις ή έξοδοι, ή αποτελέσµατα. Ένα σύστηµα µπορεί να έχει µία ή περισσότερες εισόδους και εξόδους. Επίσης αναφέρουµε ότι οι είσοδοι και οι έξοδοι ονοµάζονται και σήµατα. Με βάση τον ορισµό αυτό µπορούµε άµεσα να θερήσουµε πολλές απλές περιπτώσεις συστηµάτν όπς είναι π.χ. τα βασικά ηλεκτρικά στοιχεία,,, αλλά και τα ηλεκτρικά κυκλώµατα. Προηγουµένς όµς θα διατυπώσουµε τους ορισµούς κάποιν ειδικών κατηγοριών συστηµάτν τα οποία θα µας απασχολήσουν κατα κύριο λόγο. Θερούµε ένα σύστηµα µε µία είσοδο f και µία έξοδο y. Τα f και y µπορούν να είναι οποιαδήποτε φυσικά µεγέθη. Το σύστηµα µπορεί να συµβολιστεί όπς παρακάτ: Εισοδος Εξοδος f ΣΥΣΤΗΜΑ y Στο σηµείο αυτό δεν µας ενδιαφέρει καθόλου η εστερική δοµή του συστήµατος δηλ τι υπάρχει µέσα στο «κουτί». Απλώς θερούµε ότι τα µεγέθη f και y συνδέονται µε κάποια µαθηµατική σχέση.

4.. Κατηγορίες συστηµάτν α Γραµµικό σύστηµα Ένα σύστηµα θα λέγεται γραµµικό όταν υπακουει στους δύο ακόλουθους κανόνες Αν η είσοδος f δίνει έξοδο y τότε η είσοδος α f δίνει έξοδο α y όπου α ένας οποιοσδήποτε πραγµατικός αριθµός. Σχηµατικά: Αν f ΣΥΣΤΗΜΑ y τότε α f ΣΥΣΤΗΜΑ α y Αν η είσοδος f δίνει έξοδο y και η είσοδος f δίνει έξοδο y τότε η είσοδος f f δίνει έξοδο y y. Σχηµατικά: Άν Τότε f ΣΥΣΤΗΜΑ y και f ΣΥΣΤΗΜΑ y y f f ΣΥΣΤΗΜΑ y Καθε σύστηµα που δεν ακολουθεί και τους δύο αυτούς κανόνες λέγεται µη γραµµικό Τα γραµµικά συστήµατα έχουν κυρίαρχη θέση στην µελέτη τν συστηµάτν γενικά, γιατί η µαθηµατική περιγραφή τους είναι αρκετά απλή. Ολόκληρη η βασική θερία κυκλµάτν στηρίζεται στη γραµµικότητα και µπορούµε να πούµε ότι ακόµα και µη γραµµικά συστήµατα ή µη γραµµικά φαινόµενα πολλές φορές µελετώνται κάνοντας την παραδοχή ότι είναι κατά προσέγγιση γραµµικά.

43 Εύκολα µπορεί να δειχθεί ότι για τις ακόλουθες περιπτώσεις συστηµάτν, όπου δίδεται και η µαθηµατική σχέση µεταξύ εισόδου f και εξόδου y, ισχύει η γραµµικότητα. y k f, d f y k, d y k f d όπου k µια σταθερά. Ενώ αντίθετα για τις ακόλουθες περιπτώσεις η γραµµικότητα δεν ισχύει y k f, y k i f, y k e f β Χρονικά σταθερό σύστηµα Ένα σύστηµα θα λέγεται χρονικά σταθερό όταν ικανοποιείται η ακόλουθη πρόταση: Αν η είσοδος f δίνει έξοδο y τότε η είσοδος f - τ δίνει έξοδο y - τ όπου τ >. Αυτό σηµαίνει ότι αν εισάγουµε την ίδια είσοδο f µε χρονική καθυστέρηση τ τότε θα πάρουµε την ίδια ακριβώς έξοδο y µε την ίδια χρονική καθυστέρηση τ. Η απόκριση του συστήµατος σε κάποια είσοδο δεν εξαρτάται απο την χρονική στιγµή κατα την οποία επιβάλλεται η είσοδος αυτή. Η εστερική δοµή του συστήµατος και εποµένς η µαθηµατική σχέση µεταξύ f και y δεν εξαρτάται από τον χρόνο. Σχηµατικά: Άν Τότε f y f τ y τ τ τ Κάθε σύστηµα που δεν ικανοποιεί την παραπάν πρόταση λέγεται χρονικά µεταβλητό

44 Για παράδειγµα το σύστηµα y k f k είναι χρονικά σταθερό, ενώ το σύστηµα y k i f k είναι χρονικά µεταβλητό. γ Συγκεντρµένο σύστηµα Η έννοια του συγκεντρµένου συστήµατος σχετίζεται µε το αν τα σήµατα εισόδου και εξόδου f και y θερούνται συναρτήσεις µόνον του χρόνου και όχι του χώρου. Αν είναι απαραίτητο να έχουµε και χρική εξάρτηση δηλαδή f x, y, z, και y x, y, z, τότε αυτό σηµαίνει ότι τα µεγέθη f και y έχουν κυµατική φύση είναι κύµατα και το σύστηµα λέγεται µη συγκεντρµένο ή διανεµηµένο. Στην περίπτση αυτή για την µελέτη ανάλυση του συστήµατος απαιτείται η κυµατική θερία. Μπορούµε να εξετάσουµε την έννοια του συγκεντρµένου συστήµατος και µε το ακόλουθο σκεπτικό: Ένα σήµα εισόδου f µπορεί να περιέχει διάφορες συχνότητες από τις οποίες η µεγαλύτερη είναι έστ η f max. Η συχνότητα αυτή αντιστοιχεί σε ένα µήκος κύµατος λ mi σύµφνα µε τη γνστή σχέση λ mi c / f max, όπου c 8 3 m / ec η ταχύτητα του φτός. Αν οι φυσικές γεµετρικές διαστάσεις του συστήµατος είναι κατά πολύ µικρότερες από το µήκος κύµατος λ mi τότε το σύστηµα λέγεται συγκεντρµένο. Αν όµς οι διαστάσεις αυτές είναι συγκρίσιµες µε το λ mi τότε το σύστηµα λέγεται διανεµηµένο το κυµατικό φαινόµενο κάνει αισθητή την παρουσία του. Παρακάτ αναφέρουµε δύο χαρακτηριστικά παραδείγµατα. i Έστ ένα ηλεκτρικό κύκλµα που λειτουργεί στη συχνότητα f 5 Ηz. Στη συχνότητα αυτή αντιστοιχεί µήκος κύµατος λ 6 km. Αν οι διαστάσεις του κυκλώµατος είναι της τάξες του m, είναι προφανές ότι µιλάµε για συγκεντρµένο κύκλµα- σύστηµα. ii Θερούµε τώρα ένα άλλο κύκλµα το οποίο λειτουργεί σε συχνότητα f GHz π.χ. κινητό τηλέφνο, συσκευή radar, κ.λ.π.. Στο GHz αντιστοιχεί µήκος κύµατος λ 3 cm που είναι της ίδιας τάξης µεγέθους µε τις φυσικές διαστάσεις πχ. ενός κινητού τηλεφώνου. Προφανώς εδώ έχουµε διανεµηµένο κύκλµα σύστηµα το οποίο δεν µπορεί να µελετηθεί µε την βασική θερία κυκλµάτν. Συνοψίζοντας όλα τα προηγούµενα αναφέρουµε τα εξής:

45 Η βασική θερία κυκλµάτν ασχολείται µε γραµµικά, χρονικά σταθερά και συγκεντρµένα κυκλώµατα τα οποία αποτελούνται από γραµµικά, χρονικά σταθερά και συγκεντρµένα ηλεκτρικά στοιχεία... 3 Προβλήµατα συστηµάτν Κατά την µελέτη τν συστηµάτν εµφανίζονται τα δύο ακόλουθα προβλήµατα: α ίδεται το σύστηµα δηλ. η πλήρης µαθηµατική περιγραφή του και επίσης δίδεται το σήµα εισόδου διέγερση f. Ζητείται να υπολογιστεί το σήµα εξόδου απόκριση y. Το πρόβληµα αυτό λέγεται ανάλυση συστήµατος και είναι αυτό µε το οποίο ασχολείται η βασική θερία συστηµάτν ή η βασική θερία κυκλµάτν αντίστοιχα β ίδεται το σήµα εισόδου διέγερση f και επίσης δίδεται σήµα εξόδου απόκριση y. Ζητείται να ευρεθεί η πλήρης δοµή και µαθηµατική περιγραφή του συστήµατος Το προβληµα αυτό λέγεται σύνθεση συστήµατος και είναι κατά πολύ πολυπλοκότερο και δυσκολότερο απο το προηγούµενο. Με το πρόβληµα αυτό ασχολείται η προχρηµένη θερία συστηµάτν ή κυκλµάτν αντίστοιχα.

46. Το ηλεκτρικό στοιχείο.. Ορισµός του ηλεκτρικού στοιχείου φορές αναφοράς Λέγοντας ηλεκτρικό στοιχείο εννοούµε «αντικείµενο» δύο διακεκριµένν ακροδεκτών Α και Β στο οποίο µπορούµε να ορίσουµε τα δύο βασικά µεγέθη της θερίας κυκλµάτν, την τάση v και το ρεύµα i. βλ. σχήµα i ηλεκτρικο στοιχειο A B v Τα δύο αυτά µεγέθη v και i συνοδεύονται πάντοτε από τις φορές αναφοράς τους, οι οποίες είναι: - για την τάση v ένα στον ένα ακροδέκτη και ένα - στον άλλο - για το ρεύµα i ένα βέλος Οι φορές αναφοράς τοποθετούνται αυθαίρετα, χρις κανένα περιορισµό, και η σηµασία τους είναι η ακόλουθη: Αν v > τότε ο ακροδέκτης µε το σηµείο έχει υψηλότερο δυναµικό από τον ακροδέκτη µε το -. Αν v < ισχύει το αντίστροφο. Αν i > τότε θετικά ηλεκτρικά φορτία κινούνται σύµφνα µε την κατεύθυνση του βέλους, ενώ αν i < τα φορτία αυτά κινούνται µε κατεύθυνση αντίθετη από αυτήν που δείχνει το βέλος. Όπς προαναφέραµε κανένας περιορισµός δεν υπάρχει για την τοποθέτηση τν φορών αναφοράς. Αν όµς αυτές τεθούν όπς στο αντέρ σχήµα, δηλαδή από τον ακροδέκτη µε το σηµείο για την τάση v, να εισέρχεται το ρεύµα i, τότε λέγονται συσχετισµένες φορές αναφοράς. Η µεγάλη χρησιµότητα τν φορών αναφοράς είναι ότι χρίς αυτές δεν µπορούν να γραφούν οι εξισώσεις αναλύσες της θερίας κυκλµάτν Οι δύο νόµοι του Kirchhoff. Τα ηλεκτρικά στοιχεία µπορούν είτε να παράγουν, από µόνα τους, ηλεκτρική ενέργεια οπότε λέγονται ενεργητικά π.χ. οι ηλεκτρικές πηγές είτε να καταναλώνουν ή να αποθηκεύουν ηλεκτρική ενέργεια οπότε λέγονται παθητικά

47 Ένα ηλεκτρικό στοιχείο µπορεί προφανώς να θερηθεί και σαν σύστηµα µε είσοδο την τάση v και έξοδο το ρεύµα i ή και αντίστροφα, µε είσοδο το i και έξοδο την v. Η θερία κυκλµάτν εξετάζει τα ηλεκτρικά στοιχεία πάντοτε ώς συγκεντρµένα συστήµατα και στις περισσότερες περιπτώσεις ς γραµµικά και χρονικά σταθερά. Η µελέτη µη γραµµικών και χρονικά µεταβλητών στοιχείν αποτελεί προχρηµένο θέµα της θερίας κυκλµάτν... Το ηλεκτρικό στοιχείο στο πεδίο του χρόνου Με τον όρο «πεδίο του χρόνου» εννοούµε τη κατάσταση κατα την οποία όλα τα φυσικά µεγέθη που εµπλέκονται στα διάφορα φυσικά φαινόµενα, µελετώνται και περιγράφονται µαθηµατικά, σαν συναρτήσεις του χρόνου δηλαδή όπς ακριβώς συµβαίνει στην πραγµατικότητα. Αυτός ο τρόπος περιγραφής παρέχει µεγάλη φυσική «εποπτεία» στην µελέτη τν φαινοµένν αλλά έχει το σχετικό µειονέκτηµα της µαθηµατικής δυσκολίας ειδικά σε περιπτώσεις περιγραφής πολυπλόκν φαινοµένν π.χ. στη θερία Ηλεκτροµαγνητικών Πεδίν. Εκτός από την µελέτη στο πεδίο του χρόνου υπάρχει, όπς θα δούµε, και ο τρόπος µελέτης στο πεδίο της συχνότητας. Παρακάτ εξετάζουµε το ηλεκτρικό στοιχείο στο πεδίο του χρόνου. Είναι προφανές ότι τα δύο ηλεκτρικά µεγέθη v και i που ορίζονται σε ένα ηλεκτρικό στοιχείο πρέπει να συνδέονται µεταξύ τους µε κάποια µαθηµατική σχέση η οποία θα εκφράζει κάποιο φυσικό νόµο του Ηλεκτρισµού. Η σχέση αυτή µπορεί να είναι απλή αλγεβρική ή ολοκληρδιαφορική, να υπακούει στη γραµµικότητα ή όχι, κ.λ.π. Στην θερία κυκλµάτν είναι κοινά παραδεκτό ότι υπάρχουν τρία βασικά παθητικά ηλεκτρικά στοιχεία. Στην πλέον απλή περίπτση θερούµε ότι τα στοιχεία αυτά, θερούµενα σαν συστήµατα, υπακούουν στους κανόνες της γραµµικότητας και της χρονικής σταθερότητας.

48.. 3 Τα 3 βασικά ηλεκτρικά στοιχεία Αυτά φαίνονται στον παρακάτ πίνακα: ΗΛ. ΣΤΟΙΧΕΙΟ Σχεσεις Τάσες Ρεύµατος και Ρεύµατος- Τάσες στο πεδίο του χρόνου Ωµική αντίσταση Ohm i V _ V i i V Πηνίο µε αυτεπαγγή Hery i i V _ i i V d i d V d _ όπου i η αρχική κατάσταση για το ρεύµα του πηνίου Πυκντής µε χρητικότητα Farad i V _ V _ V i V d V d i d _ όπου V η αρχική κατάσταση για την τάση του πυκντή

49 Παρατηρήσεις α Οι φορές αναφοράς τν v και i έχουν γραφεί σε όλες τις περιπτώσεις ς συσχετισµένες. Αυτο, ς γνστόν, δεν είναι υποχρετικό να συµβαίνει. Σε περίπτση όµς που επιλεγούν φορές αναφοράς µη συσχετισµένες χρειάζεται να τεθεί ένα αρνητικό πρόσηµο στις σχέσεις τάσες ρεύµατος. Στην παρακάτ περίπτση έχει τεθεί το πρόσηµο - για την τάση V στον ακροδέκτη Α από τον οποίο εισέρχεται το ρεύµα i. V AB _ i A _ B V Οι σχέσεις γράφονται: V i και i V [ Εξήγηση : Θερείται πάντοτε ότι ισχύει >. Αν είναι i > τότε θετικά φορτία κινούνται από το Α προς το Β φορά βέλους, άρα θα πρέπει ο ακροδέκτης Α να έχει υψηλότερο δυναµικό από τον Β, συνεπώς θα πρέπει V AB V A V B >. δηλαδή η τάση V έχει το στο Β, ενώ η τάση V AB έχει το στο Α. Άρα προφανώς θα ισχύει V V BA - V AB, πράγµα το οποίο σηµαίνει ότι οπσδήποτε πρέπει να ισχύει V <. Αυτή η απαραίτητη προϋπόθεση V < εξασφαλίζεται µε τη σχέση V - i εφ όσον θρήσαµε αρχικά ότι i >. Ανάλογα σκεπτικό έχουµε και µε την υπόθεση i <, όπου τότε θα πρέπει να ισχύει πάντοτε V >. Ακριβώς τα αντίστοιχα ισχύουν και για το πηνίο και τον πυκντή. ] β Εύκολα φαίνεται ότι όλες οι σχέσεις τάσες ρεύµατος τν στοιχείν,, αναλογία, παράγγος και ολοκλήρµα ικανοποιούν τους δύο κανόνες της γραµµικότητας. γ Ειδικά για το πηνίο η σχέση d i V δεν χρειάζεται ένα - µπροστά της d διότι η τάση V δεν είναι η ηλεκτρεγερτική δύναµη που αναπτύσσεται σύµφνα µε τον νόµο του Faraday αλλά η αντίθετη της. δ Το πηνίο και ο πυκντής είναι στοιχέια που µπορούν να αποθηκεύουν ενέργεια, πράγµα το οποίο δεν µπορεί να κάνει η µική αντίσταση. Έτσι στο πηνίο έχουµε αποθήκευση ενέργειας µαγνητοστατικού πεδίου και στον πυκντή αποθήκευση ενέργειας ηλεκτροστατικού πεδίου. Αυτή η δυνατότητα αποθήκευσης ενέργειας εκφράζεται µέσ της αρχικής κατάστασης, του