Ένα τεµάχιο πάγου επιπλέει σε νερό που περιέ χεται σε δοχείο, του οποίου ο πυθµένας είναι οριζόντιος. i) Eάν ανασύρουµε τον πάγο από το νερό θα µεταβληθεί η πίεση στον πυθµένα του δοχείου; ii) Eάν προκαλέσουµε τήξη του πάγου θα µεταβληθεί η πίεση στον πυθµένα του δοχείου; ΛYΣH: i) Eξετάζοντας το τεµάχιο του πάγου παρατηρούµε ότι, αυτό δέχεται το βάρος του w και την άνωση A από το νερό. Λόγω της ισορροπίας του πάγου τα µέτρα των δύο αυτών δυνάµεων ικανοποιούν την σχέση: w π = A (1) Σχήµα 1 Σύµφωνα µε το αξίωµα της ισότητας δράσης-αντίδρασης ο πάγος εξασκεί στο νερό δύναµη A αντίθετη της A, που σηµαίνει ότι η δύναµη A είναι ίση µε το βάρος του νερού που εκτοπίζει ο πάγος. Δηλαδή ο πάγος από πλευράς επίδ ρασης πάνω στο νερό µπορεί να αντικατασταθεί µε την µάζα του νερού που εκτοπίζει. Αρα η πίεση στον πυθµένα του δοχείου, όταν υπάρχει ο πάγος, είναι ίση µε ρ ν gh, όπου h το ύψος της στήλης του νερού και ρ ν η πυκνότητα του νερού. Όταν λοιπόν αφαιρεθεί ο πάγος το ύψος h θα µειωθεί µε αποτέλεσµα να µειωθεί η πίεση στα σηµεία του πυθµένα του δοχείου. ii) Όταν ο πάγος λειώσει θα αυξηθεί ο όγκος του νερού κατά ΔV και θα ισχύει: V = w $ g % (1) V = A $ g = V & $ g $ g = V & όπου V β ο βυθισµένος µέσα στο νερό όγκος του πάγου πριν αρχίσει η τήξη του.
Άρα η στάθµη του νερού δεν θα µεταβληθεί όταν λειώσει ο πάγος, οπότε δεν θα µεταβληθεί και η πίεση στον πυθµένα του δοχείου. Kατά την ανάµειξη οινοπνεύµατος και αιθέρα προκύπτει διάλυµα, του οποίου ο όγκος V είναι µικρότερος του αθ ροίσµατος των όγκων των δύο υγρών. Ένα σώµα εµβαπτιζόµενο µέσα στο οινόπνευµα, στον αιθέρα και στο διάλυµα των δύο υγρών δέχεται αντιστοίχως ανώσεις A 1, A και A 0. Eάν V 1, V είναι οι όγκοι των δύο υγρών πριν την ανάµειξη τους να δειχθεί η σχέση: V = V 1 A 1 A 0 + V A A 0 ΛYΣH: Eάν ρ 1, ρ, ρ είναι οι πυκνότητες του οινοπνεύµατος του αιθέρα και του διαλύµατος που προκύπτει από την ανάµειξή τους, τότε για τα µέτρα των αντι στοίχων ανώσεων που δέχεται το σώµα, όταν βαπτίζεται στα τρία υγρά, ισχύ ουν οι σχέσεις: A 1 = V 1 g, A = V g, A 0 = V g Συνδυάζοντας τις παραπάνω σχέσεις παίρνουµε: A 1 /A 0 = 1 / A /A 0 = / $ όπου V σ ο όγκος του σώµατος και g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Eξάλλου κατά την ανάµειξη των δύο υγρών η µάζα του διαλύµατος είναι ίση µε το άθροισµα των µαζών των δύο υγρών, οπότε θα ισχύει η σχέση: V = V 1 1 + V V = V 1 1 / + V / () Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) καί () παίρνουµε την αποδεικτέα σχέση: (1) V = V 1 A 1 A 0 + V A A 0 Mέσα σ ένα δοχείο περιέχονται δύο υγρά πυκνο τήτων ρ 1 και ρ µε ρ 1 <ρ. Eάν h 1 είναι το ύψος της στήλης του υπερ κείµενου υγρού, να βρεθεί σε πόση απόσταση κάτω από την διαχωρι στική επιφάνεια των δύο υγρών πρέπει να αφήσουµε ένα µικρό σφαιρίδιο πυκνότητας ρ, µε ρ 1 <ρ<ρ, ώστε αυτό µόλις να φθάσει στην ελεύθερη επιφάνεια του υπερκείµενου υγρού. H αντίσταση των δύο υγρών στην κίνηση του σφαιριδίου θα θεωρηθεί αµελητέα, ο δε χρό
νος διέλευσης του σφαιριδίου διά µέσου της διαχωριστικής επιφά νειας των υγρών ασήµαντος. ΛYΣH: Όταν το σφαιρίδιο αφεθεί ελεύθερο στο σηµείο M του κάτω υγρού θα δέχεται το βάρος του w και την άνωση A από το υγρό, η οποία κατά µέτρο εί ναι µεγαλύτερη από το βάρος, διότι ρ<ρ. Άρα το σφαιρίδιο θα επιταχύνεται από την ηρεµία µέχρις ότου φθάσει στην διαχωριστική επιφάνεια των δύο υγρών. Όταν το σφαιρίδιο εισδύσει στο υπερκείµενο υγρό η άνωση A 1 που δέχεται από αυτό θα είναι µικρότερη κατά µέτρο από το βάρος του w και η κίνησή του θα είναι επιβραδυνόµενη, δηλαδή η ταχύτητά του θα µειώνεται µε τον χρόνο και σύµφωνα µε τα δεδοµένα της άσκησης αυτή θα µηδενίζεται όταν το σφαιρίδιο Σχήµα φθάσει στην ελεύθερη επιφάνεια του υπερκείµενου υγρού (σηµείο N). Eφαρ µόζοντας για το σφαιρίδιο το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου µεταξύ των σηµείων M και N, παίρνουµε την σχέση: K N - K M = W w + W A 1 + W A 0-0 = -mg(x + h) + A 1 x + A h 0 = -V g(x + h) + V gx + V 1 gh 0 = -x - h + x + 1 h ( - )x = ( 1 - )h x = ( 1 - )h /( - ) όπου V σ ο όγκος του σφαιριδίου καί g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Mέσα σ ένα δοχείο σταθερής διατοµής περιέχον ται δύο υγρά της ίδιας µάζας και διαφορετικών ειδικών βαρών ε 1, ε µε ε 1 <ε. Eάν η απόσταση της ελεύθερης επιφάνειας του υπερκείµε νου υγρού από τον οριζόντιο πυθµένα του δοχείου είναι H, να βρεθεί η υδροστατική πίεση στον πυθµένα του δοχείου. Aκόµη να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της υδροστατικής πίεσης εντός του συστήµα τος των δύο υγρών, σε συνάρτηση µε το βάθος από την ελεύθερη επιφάνεια.
ΛYΣH: Eάν h 1 είναι το ύψος της στήλης του υπερκείµενου υγρού, τότε το ύ ψος της στήλης του υποκείµενου υγρού θα είναι h =H-h 1. Eπειδή τα δύο υγ ρά έχουν ίδια µάζα, θα ισχύει η σχέση: Sh 1 1 = S(H - h 1 ) h 1 1 /g = (H - h 1 ) /g h 1 1 = H - h 1 h 1 = H /( 1 + ) (1) όπου ρ 1, ρ οι πυκνότητες των δύο υγρών και S το εµβαδόν διατοµής του δοχεί ου. H υδροστατική πίεση P H στον πυθµένα του δοχείου θα είναι: (1) P = h 1 1 + (H - h 1 ) = h 1 ( 1 - ) + H P = ( - )H 1 + H = H ( - ) + ( + ) & 1 1 % ( 1 + $ 1 + ' P = H - 1 + 1 + & % ( = H 1 () $ 1 + ' 1 + Σχήµα 3 Eάν P h είναι η υδροστατική πίεση σε βάθος h από την ελεύθερη επιφάνεια του υπερκείµενου υγρού, τότε θα έχουµε: P h = 1 h, 0 h h $ 1 % 1 h + (h - h 1 ), h 1 h H P h = 1 h, 0 h h $ 1 % ( 1 - )h 1 + h, h 1 h H H γραφική παράσταση της σχέσεως (3) φαίνεται στο σχήµα (3). (3)
Το δοχείο του σχήµατος (4) περιέχει υγρό πυκνότη τας ρ και φέρει πλευρικό κατακόρυφο µανοµετρικό σωλήνα ανοικτό στην ατµόσφαιρα ο οποίος περιέχει υγρό µέχρι ύψος h. Nα βρεθεί το µέτρο της δύναµης που δέχεται η εσωτερική επιφάνεια του ηµισφαιρι κού τµήµατος, ακτίνας R του δοχείου από το υγρό. Δίνεται η ατµοσ φαιρική πίεση P α και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Eξετάζουµε το τµήµα του υγρού που περιέχεται στο ηµισφαιρικό µέρος του δοχείου. Το υγρό αυτό ισορροπεί υπό την επίδραση του βάρους του w, της πιεστικής δύναµης f που ασκεί στην κυκλική του βάση η υπόλοιπη µάζα του υγρού και τέλος της δύναµης επαφής F από την εσωτερική επιφάνεια του δοχείου. Οι φορείς των δυνάµεων w και f ταυτίζονται µε τον άξονα συµµετρί ας y του ηµισφαιρίου που σηµαίνει ότι και ο φορέας της συνισταµένής τους F = w + f θα είναι ο άξονας y. Όµως λόγω της ισορροπίας του εξεταζόµενου τµήµατος του υγρού πρέπει η δύναµη F να εξουδετερώνει την F, που σηµαί Σχήµα 4 νει ότι ο φορέας της είναι ο άξονας y (σχ. 4), ενώ τα µέτρα των τριών αυτών δυνάµεων oφείλουν να ικανοποιούν την σχέση: w + F = f F = f - w F = R P - mg F = R P - 4R 3 g / 6 F = R ( P - Rg / 3) (1) όπου P η πίεση στα σηµεία της βάσεως του ηµισφαιρίου. Όµως η πίεση αυτή είναι ίση µε την ατµοσφαιρική πίεση P α συν την υδροστατική πίεση ρgh που αντιστοιχεί στο ύψος h της στήλης του υγρού στον µανοµετρικό σωλήνα, οπότε η σχέση (1) γράφεται: ( ) F = R P + g( h - R / 3) F = R P + gh - Rg / 3 [ ] () Σύµφωνα µε τον τρίτο νόµο του Νεύτωνα (αξίωµα ισότητας δράσης-αντίδρασης) το υγρό εξασκεί στην εσωτερική επιφάνεια του ηµισφαιρικού δοχείου δύναµη
F που έχει τον ίδιο φορέα, αντίθετη φορά και ίδιο µέτρο µε την F (σχ. ), δηλα δή ισχύει: [ ( )] F = F = R P + $g h - R / 3 Παρατήρηση: O αναγνώστης ας εξετάσει την δύναµη που δέχεται η εξωτερική επιφάνεια του ηµισφαιρικού τµήµατος του δοχείου, από τον ατµοσφαιρικό αέρα. Kύβος ακµής α είναι ερµατισµένος, µε αποτέλεσµα το κέντρο µάζας του να απέχει από µια οριζόντια έδρα του απόσταση α/4, ευρισκόµενο στον κάθετο επί την έδρα αυτή άξονα συµµετρίας x x του κύβου. Αρχικά ο κύβος ισορροπεί βυθισµένος κατά το ήµισυ του όγκου του σε υγρό πυκνότητας ρ, όπως φαίνεται στο σχήµα (5). Να βρεθεί η ροπή που πρέπει να ασκηθεί στον κύβο, ώστε να στραφεί κατα γωνία φ=π/4 εξακολουθώντας να είναι ο µισός βυθισµένος στο υγρό, όπως φαίνεται στο σχήµα (6). Δίνεται η επιτάχυνση g της βα ρύτητας. ΛΥΣΗ: Αρχικά ο κύβος ισορροπεί υπό την επίδραση του βάρους του w και της ανώσεως A από το υγρό, που σηµαίνει ότι οι δύο αυτές δυνάµεις έχουν τον ίδιο φορέα, αντίθετη φορά και ίδιο µέτρο (σχ. 5), δηλαδή ισχύει: w = A = 3 g / (1) Όταν ο κύβος στραφεί από την προηγούµενη θέση του κατα γωνία φ=π/4, εξακολουθώντας να είναι ο µισός βυθισµένος στο υγρό (σχ. ), η άνωση που δέχε ται είναι πάλι A, αλλά τώρα ο φορέας της είναι παράλληλα µετατοπισµένος ως προς τον φορέα του βάρους w. Επειδή ο φορέας της άνωσης διέρχεται από το κέντρο µάζας* κ του εκτοπιζόµενου υγρού (κέντρο ανώσεως) και είναι κατακό Σχήµα 5 Σχήµα 6 ρυφος, αναγκαστικά θα διερχεται από το γεωµετρικό κέντρο Ο του κύβου. Παρατηρούµε ότι οι δυνάµεις αποτελούν ζεύγος επαναφοράς του κύβου στην -------------------------- * Το κέντρο µάζας κ του εκτοπιζόµενου υγρού είναι το σηµείο τοµής των διαµέσων της βυθισµένης στο υγρό τριγωνικής τοµής του κύβου.
αρχική του θέση, του οποίου η ροπή έχει µέτρο που δίνεται από την σχέση: (1) = w( CM) = A( OCµ ) = 3 g & 4 $µ % ) ( + ' 4* = 3 g $ & % 8 ' ) = ( 4 g 16 () Για να παραµένει ακίνητος ο κύβος στην νέα του θέση πρέπει να δέχεται εξωτε ρική ροπή αντίθετη της, οπότε θα ισχύει: () = = 4 $g /16 Kυλινδρικό δοχείο διατοµής S, περιέχει νερό µέχ ρις ορισµένου ύψους. Eφαρµόζουµε στο δοχείο ένα έµβολο, το οποίο µπορεί να κινείται χωρίς τριβή κατά µήκος του δοχείου καί παρου σιάζει υδατοστεγή επαφή µε τα τοιχώµατά του. Tο έµβολο φέρει µία οπή εµβαδού σ, στην οποία καταλήγει κατακόρυφος σωλήνας. Tο νερό του δοχείου συµπιεζόµενο από το βάρος του συστήµατος εµβολοσωλήνας ανέρχεται στον σωλήνα. Nα βρεθεί πόσο κατέβηκε η στάθµη του νερού στο δοχείο. Δίνεται η πυκνότητα ρ του νερού και η µάζα m του συστήµατος έµβολο-σωλήνας. ΛYΣH: Eξετάζουµε το σύστηµα εµβολο-σωλήνας-νερό που περιέχεται στον σωλήνα, όταν αυτό βρίσκεται σε ισορροπία. Oι δυνάµεις που δέχεται το σύστη µα είναι το βάρος m g του εµβόλου καί του σωλήνα, το βάρος w του υγρού που περιέχεται στον σωλήνα καί η πιεστική δύναµη F που δέχεται το σύστηµα λόγω της επαφής του µε το νερό, που περιέχεται στο δοχείο. Λόγω της ισορρο πίας του συστήµατος, γιά τα µέτρα των δυνάµεων αυτών ισχύει η σχέση: Σχήµα 7 w + mg - F = 0 yσρg + mg = PS (1) όπου y το ύψος της στήλης του νερού στο σωλήνα καί P η υδροστατική πίεση
στα σηµεία επαφής του εµβόλου µε το νερό. Όµως για την πίεση P ισχύει P=yρg και λόγω της ασυµπιεστότητας του υγρού ισχύει και η σχέση: (y - x)σ = (S - σ)x yσ = Sx y = Sx/σ () Έτσι η σχέση (1) γράφεται: yσρg + mg = yρgs ρ(s - σ)y = m S(S - )x/ = m x= m/s(s - ) Mέσα σε δοχείο µε κατακόρυφα τοιχώµατα περιέ χονται δύο µη αναµείξιµα υγρά διαφορετικών πυκνοτήτων ρ 1 και ρ, µε ρ 1 <ρ. Nα δείξετε ότι στην κατάσταση ισορροπίας του συστήµατος τα υγρά διαχωρίζονται µε µια οριζόντια επιφάνεια και ότι το υγρό µε την µικρότερη πυκνότητα βρίσκεται υπεράνω του άλλου υγρού. ΛYΣH: H διαχωριστική επιφάνεια των δύο υγρών πρέπει να είναι οριζόντιο επίπεδο, διότι σε ενάντια περίπτωση τόσο τα µόρια του ενός όσο και τα µόρια του άλλου υγρού θα βρίσκονταν σε κατάσταση κίνησης στην περιοχή της διαχωριστικής επιφάνειας, πράγµα όµως που δεν συµβαίνει αφού το σύστηµα των δύο υγρών είναι σε ισορροπία. Aς δεχθούµε τώρα ότι το υγρό µεγαλύτε ρης πυκνότητας υπέρκειται του υγρού µικρότερης πυκνότητας και ας φαντα στούµε ότι στην διαχωριστική επιφάνεια των δύο υγρών δηµιουργούµε µια στοιχειώδη παραµόρφωση αυτής, όπως φαίνεται στο σχήµα (8). Στο oριζόντιο τµήµα της παραµορφωµένης διαχωριστικής επιφάνειας, εµβαδού ΔS, ενεργούν οι πιεστικές δυνάµεις F 1 και F από το κάτω και το πάνω υγρό αντιστοίχως, οι οποίες είναι κατακόρυφες και αντίρροπες τα δε µέτρα τους υπολογίζονται από τις σχέσεις: Σχήµα 8 και F 1 = ( h g + h 1 g + P ) S (1) F = ( h g + h g + P ) S ()
όπου P α η ατµοσφαιρική πίεση. Aφαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (1) και () έχουµε: F - F 1 = ( h g + h g - h g - h 1 g) S F - F 1 = hg( - 1 )S (3) Eπειδή ισχύει ρ >ρ 1 από την (3) προκύπτει F >F 1, που σηµαίνει ότι η επιφάνεια ΔS θα κινείται προς τα κάτω, δηλαδή αποµακρύνεται από την θέση ισορροπίας της. Eίναι προφανές ότι η υπόλοιπη διαχωριστική επιφάνεια θα κινείται προς τα πάνω, λόγω της ασυµπιεστότητας των δύο υγρών, οπότε η αρχική κατάστα ση που θεωρήσαµε για τα δύο υγρά είναι ασταθής. Άρα η ευσταθής κατάσταση του συστήµατος των δύο υγρών αντίστοιχεί στην περίπτωση που το πάνω υγρό έχει µικρότερη πυκνότητα από το κάτω. Tο δοχείο του σχήµατος (9) καταλήγει σε δύο κατακόρυφους κυλινδρικούς σωλήνες, διατοµών και S. Tο δοχείο περιέχει νερό, του οποίου η στάθµη βρίσκεται σε τέτοια θέση ώστε, οι σωλήνες να µην είναι γεµάτοι µε νερό. Eφαρµόζουµε υδατοστεγώς επί των σωλήνων δύο έµβολα βαρών w 1, w, τα οποία µπορούν να ολισθαί νουν κατά µήκος των σωλήνων χωρίς τριβή. i) Όταν το σύστηµα νερό-έµβολα βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας, πόσο θα έχει κατέλθει η στάθµη του νερού στον ένα σωλήνα και πόσο θα έχει ανέλθει στον άλλο; ii) Πόσο θα µεταβληθεί η πίεση σ ένα σηµείο της µάζας του νερού όταν τοποθετηθούν τα δύο έµβολα; Δίνεται η πυκνότητα ρ του νερού. ΛYΣH: i) Eξετάζουµε τα δύο έµβολα στις θέσεις ισορροπίας τους, όπου το µεν αριστερό έµβολο έχει κατέλθει κατά h 1 και το δεξιό έχει ανέλθει κατά h σε σχέση µε την αρχική στάθµη του υγρού στα δύο δοχεία, πρίν τοποθετη θούν τα έµβολα. Λόγω της ασυµπιεστότητος του νερού θα ισχύει η σχέση: h 1 = S h h 1 = S h / (1) Tο αριστερό έµβολο ισορροπεί υπό την επίδραση του βάρους του w 1, της πιεστι κής δύναµης F 1 από το νερό και της πιεστικής δύναµης F από τον ατµοσφαι ρικό αέρα. Aντίστοιχες δυνάµεις w, F και F δέχεται και το δεξιό έµβολο, οπότε λόγω της ισορροπίας των δύο εµβόλων θα ισχύουν οι σχέσεις: F 1 = w 1 + F F = w + F $ % P 1 = w 1 + P P S = w + P S $
P 1 = w 1 / + P P = w /S + P $ ( ) P 1 - P = w 1 - w S () όπου P 1, P οι πιέσεις του νερού στα δύο έµβολα και P α η ατµοσφαιρική πίεση. Όµως από την θεµελιώδη αρχή της υδροστατικής έχουµε: P 1 -P =(h 1 +h )ρg οπότε η σχέση () γράφεται: Σχήµα 9 (h 1 + h )g = w 1 - w (1) S h $ S + h &'g = w 1 - w % S S + $ & 'gh = w S - w 1 % S h = w S - w 1 gs (S + ) (3) Aπό (1) και (3) παίρνουµε την σχέση: h 1 = w 1 S - w g S + ( ) (4) ii) Aς θεωρήσουµε ένα τυχαίο σηµείο M του υγρού που βρίσκεται σε απόσταση h M από την αρχική του στάθµη, πριν τοποθετηθούν τα δύο έµβολα. H πίεση P M του σηµείου M θα είναι: P M = P + gh M (5) H πίεση P M του σηµείου M µετά την τοποθέτηση των δύο εµβόλων θα είναι: P M = P + w 1 / + g(h M - h 1 ) (6) H µεταβολή ΔP της πίεσης του σηµείου M θα είναι: (5),(6) P = P M - P M (4) P = w 1 / - gh 1
P = w 1 - g(w S - w S ) 1 1 = w 1 - w S - w 1 g (S + ) (S + ) P = w 1 ( + S ) ( + S ) - w 1 S - w ( + S ) = w 1 + w + S Aνοιχτό δοχείο, στο οποίο περιέχεται υγρό, κινεί ται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο µε σταθερή επιτάχυνση a. Μέσα στο υγρό υπάρχει µικρό σφαιρίδιο από φελλό, του οποίου η πυκνότητα ρ φ είναι µικρότερη από την πυκνότητα ρ υ του νερού. i) Nα δείξετε ότι, η ελεύθερη επιφάνεια του επιταχυνόµενου υγρού είναι επίπεδη, αλλά µη οριζόντια. ii) Nα δείξετε ότι, ο φορέας της άνωσης που δέχεται το σφαιρίδιο από το νερό είναι κάθετος στην ελεύθερη επιφάνεια του νερού. iii) Nα εξετάσετε την κίνηση του σφαιριδίου στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους και στο σύστηµα αναφοράς του δοχείου. Να δεχθείτε ότι την χρονική στιγµή t=0 το σφαιρίδιο βρίσκεται στην κοινή αρχή Ο των αξόνων των δύο συστηµάτων και έχει µηδενική ταχύτητα ως προς τα δύο αυτά συστήµατα. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛYΣH: i) Θεωρούµε ένα τυχαίο στοιχειώδες τµήµα της ελεύθερης επιφάνειας του υγρού, πολύ µικρού πάχους και µάζας Δm. Tο τµήµα αυτό δέχεται το βάρος του Δm g και την δύναµη F από την µάζα του υγρού που το περιβάλλει, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στην επιφάνεια του τµήµατος (σχ. 10). Σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα, η συνισταµένη των δύο Σχήµα 10 αυτών δυνάµεων πρέπει να είναι ίση µε Δm a, που σηµαίνει ότι ο φορέας της είναι οριζόντιος, το δε µέτρο της ίσο µε Δma. Aπό το ορθογώνιο τρίγωνο που
σχηµατίζουν τα διανύσµατα F και Δm a, παίρνουµε για την γωνία φ την σχέση: = ma/mg = a/g (1) Όµως η γωνία φ είναι ίση µε την γωνία κλίσεως του στοιχειώδους επιφανει ακού τµήµατος του υγρού, ως προς την οριζόντια διεύθυνση, δηλαδή όλα τα στοιχειώδη τµήµατα της ελεύθερης επιφάνειας του υγρού έχουν την ίδια κλίση φ ως προς την οριζόντια διεύθυνση, που σηµαίνει ότι η ελεύθερη επιφάνεια του επιταχυνόµενου υγρού είναι επίπεδη, αλλά µη οριζόντια. ii) Eξάλλου, για να υπολογίσουµε την άνωση A που δέχεται το σφαιρίδιο του φελλού από το υγρό, πρέπει να παρατηρήσουµε ότι αυτή είναι δύναµη επαφής εξαρτώµενη από την φύση του υγρού, από την κινητική του κατάσταση και από το σχήµα του σφαιριδίου. Aν λοιπον στην θέση του σφαιριδίου θεωρήσουµε την µάζα του υγρού που εκτοπίζει το σφαιρίδιο, τότε η µάζα αυτή θα δέχεται από την υπόλοιπη µάζα του υγρού δύναµη ίση µε A. Όµως η εκτοπιζόµενη από το σφαιρίδιο µάζα mυ του υγρού έχει ως προς το ακίνητο έδαφος επιτάχυνση a, που σηµαίνει ότι η άνωση A αναλύεται σε µια κατακόρυφη συνιστώσα A y που εξουδετερώνει το βάρος της mυ g και σε µια οριζόντια συνιστώσα A x ίση µε Σχήµα 11 mυ a (σχ. 11). Έτσι θα ισχύουν οι σχέσεις: A y = m g A x = m a$ (:) A x A y = m a m g = a g όπου θ η γωνία που σχηµατίζει ο φορέας της A µε την κατακόρυφη διεύθυν ση. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε φ=θ, που σηµαίνει ότι ο φορέας της A είναι κάθετος στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού. Παρατηρούµε λοιπόν ότι στο σύστηµα αναφόρας του εδάφους ο φορέας της άνωσης δεν είναι κατακόρυφος και το γεγονός αυτό οφεί λεται στην επιτάχυνση του υγρού. ()
iii) Εξετάζοντας το σφαιρίδιο του φελλού στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους διαπιστώνουµε ότι κατά τον οριζόντιο άξονα Οx δέχεται την αντίστοιχη συνιστώσα A x της άνωσης A, της οποίας το µέτρο είναι: A x = V a (3) όπου V o όγκος του σφαιριδίου. Σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα η αντίστοιχη επιτάχυνση a x του σφαιριδίου θα έχει µέτρο: a x = A (3) x m a x = V a V = a (4) δηλαδή κατά τον άξονα Οx το σφαιρίδιο επιταχύνεται οµαλά και η µετατόπισή του σε χρόνο t είναι: x = a xt (4) x = a t (5) Εξάλλου κατα τον κατακόρυφο άξονα Οy το σφαιρίδιο δέχεται την αντίστοιχη συνιστώσα A y της άνωσης A και το βάρος του m g. Επειδή ισχύει d φ <d υ θα είναι και Vd φ g<vd υ g, που σηµαίνει ότι Α y >m φ g δήλαδη η επιτάχυνση a y του σφαιρι δίου κατά τον άξονa Οy κατευθύνεται προς τα πάνω και το µέτρο της είναι: a y = A y- m g m a y= V g -V g $ = ' V & - 1 % ) ( g (6) Σχήµα 1 δηλαδή και κατά τον άξονα Οy το σφαιρίδιο επιταχύνεται οµαλά, η δε αντίστοι χη µετατόπισή του σε χρόνο t είναι: y = a yt (6) $ y = ' & - 1 % ) ( g t (7)
Διαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (6) και (5) παίρνουµε: y x = g a $ ' & - 1 % ) / ( y = g $ a 1 - ' & % ) ( x (8) Από την (8) προκύπτει ότι η τροχιά του σφαιριδίου στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους είναι η ευθεία γραµµή ε µε κλίση (g/a)(1-ρ φ /ρ υ ) (σχ. 7). Εξάλλου στο σύστηµα αναφοράς του δοχείου το σφαιρίδιο έχει κατά µεν τον οριζόντιο άξονα Ο x επιτάχυνση a x µε µέτρο: (4) a x = a x - a a x = % a - a = ( ' -1 $ & * $ ) a (9) κατά δε τον κατακόρυφο άξονα Ο y επιτάχυνση a y µε µέτρο: (6) a y = a y % a y = ( ' - 1 & * $ ) g Oι µετατοπίσεις x, y του σφαιριδίου σε χρόνο t θα είναι: x = a xt = % ( ' -1 & * $ ) a t και y = a yt = % ( ' -1 & * $ ) από τις οποίες µε διαίρεση κατά µέλη παίρνουµε: y x = g a y = g a x g t δηλαδή η τροχιά του σφαιριδίου στο σύστηµα αναφοράς του δοχείου είναι η ευθεία ε που διευθύνεται κάθετα προς την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού.