ακτύλιοι Κυρίων Ιδεωδών και Περιοχές Μονοσήµαντης Ανάλυσης

Κεφάλαιο 10 ακτύλιοι Κυρίων Ιδεωδών και Περιοχές Μονοσήµαντης Ανάλυσης 10.1 Συνοπτική Θεωρία Η παρούσα ενότητα είναι αφιερωµένη στην υπενθύµιση ϐασικών εννοιών και αποτελεσµάτων από τη ϑεωρία περιοχών κυρίων ιδεωδών και περιοχών µονοσήµαντης ανάλυσης ή παραγοντοποίησης. Στην παρούσα ενότητα, R = (R,+, ) συµβολίζει έναν µεταθετικό δακτύλιο, όπως πάντα µε µονάδα 1 R 0 R. 10.1.1 Περιοχές Κυρίων Ιδεωδών Προφανώς το µηδενικό ιδεώδες 0 = { 0 } = (0) και ο δακτύλιος R = (1 R ) είναι κύρια ιδεώδη. Επειδή ο δακτύλιος R είναι µεταθετικός, ένα κύριο ιδεώδες I = (r ) του R ϑα είναι της µορφής : I = (r ) = { r x R x R } = { xr R x R } Ορισµός 10.1.1. Ενας µεταθετικός δακτύλιος καλείται δακτύλιος κυρίων ιδεωδών, αν κάθε ιδεώδες του είναι κύριο. Μια ακέραια περιοχή η οποία είναι δακτύλιος κυρίων ιδεωδών, καλείται περιοχή κυρίων ιδεωδών. Παράδειγµα 10.1.2. 1. Κάθε σώµα είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι τα µόνα ιδεώδη ενός σώµατος R είναι τα τετριµµένα, { 0 } = (0) και R = (1), τα οποία είναι κύρια. 2. Θεωρούµε τον δακτύλιο Z των ακεραίων. Επειδή τα ιδεώδη του δακτυλίου Z των ακεραίων, συµπίπτουν µε τις υποοµάδες της προσθετικής οµάδας (Z,+), έπεται ότι τα ιδεώδη του Z είναι τα εξης : nz = (n) = { nk Z k Z }, n = 0,1,2,3, Με άλλα λόγια τα ιδεώδη του Z είναι όλα κύρια, και εποµένως ο δακτύλιος Z είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών. Πρόταση 10.1.3. Εστω ότι K είναι ένα σώµα. Τότε ο δακτύλιος πολυωνύµων K[t] και ο δακτύλιος K[[t]] των τυπικών δυναµοσειρών υπεράνω του K είναι περιοχές κυρίων ιδεωδών. Παρατήρηση 10.1.4. Οι δακτύλιοι πολυωνύµων K[t 1, t 2,, t n ], n 2, όπου K είναι σώµα, δεν είναι περιοχές κυρίων ιδεωδών. Παρόµοια ο δακτύλιος πολυωνύµων R[t] δεν είναι γενικά περιοχή κυρίων ιδεωδών, αν η ακέραια περιοχή R δεν είναι σώµα (π.χ. αν R = Z). 437

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι ΕΩ ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 438 Στην παρούσα ενότητα ϑα παραθέσουµε στοιχεία από τη ϐασική ϑεωρία διαιρετότητας στο πλαίσιο των περιοχών κυρίων ιδεωδών, γενικεύοντας την αντίστοιχη οικεία ϑεωρία διαιρετότητας στον δακτύλιο των ακε- ϱαίων και στον δακτύλιο πολυωνύµων µιας µεταβλητής υπεράνω ενός σώµατος. Ορισµός 10.1.5. Αν a, b είναι στοιχεία του R, όπου b 0, τότε ορίζουµε ότι το στοιχείο b διαιρεί το στοιχείο a, αν : υπάρχει στοιχείο c R έτσι ώστε a = bc, και τότε ϑα γράφουµε b a: a,b R, a 0 : b a c R : a = bc Σ αυτή την περίπτωση επίσης ϑα λέµε ότι το b είναι διαιρέτης του a ή το a είναι πολλαπλάσιο του b. Οταν το στοιχείο b δεν διαιρεί το στοιχείο a, ϑα γράφουµε : b a. Ορισµός 10.1.6. Εστω ότι a, b είναι δύο µη-µηδενικά στοιχεία ενός µεταθετικού δακτυλίου R. Τα στοιχεία a,b καλούνται συντροφικά αν : a b και b a. Για παράδειγµα κάθε µη-µηδενικό στοιχείο a του R είναι συντροφικό µε τον εαυτό του, και επίσης µε το αντίθετό του a, διότι a = ( 1)a και a = ( 1)( a). Για να χαρακτηρίσουµε τα συντροφικά στοιχεία ενός δακτυλίου R χρειάζεται να υποθέσουµε ότι ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή. Πρόταση 10.1.7. Εστω ότι a,b είναι δύο µη-µηδενικά στοιχεία µιας ακέραιας περιοχής R. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : 1. Τα στοιχεία a, b είναι συντροφικά. 2. Τα κύρια ιδεώδη τα οποία παράγονται από τα a,b συµπίπτουν : (a) = (b). 3. Υπάρχει αντιστρέψιµο στοιχείο u R: a = ub. Ιδιαίτερα, ένα στοιχείο r του R είναι αντιστρέψιµο αν και µόνον αν το r είναι συντροφικό µε την µονάδα 1 του R αν και µόνον αν (r ) = (1) = R. Ορισµός 10.1.8. Εστω ότι a 1, a 2,, a n είναι µη-µηδενικά στοιχεία ενός µεταθετικού δακτυλίου R. 1. Ενας κοινός διαιρέτης των στοιχείων a 1, a 2,, a n είναι ένα στοιχείο d R, το οποίο είναι διαιρέτης του a k, δηλαδή d a k, k = 1,2,,n. Ενας κοινός διαιρέτης d R των a 1, a 2,, a n είναι ένας µέγιστος κοινός διαιρέτης των a 1, a 2,, a n, αν κάθε άλλος κοινός διαιρέτης των a 1, a 2,, a n είναι επίσης διαιρέτης του d. 2. Ενα κοινό πολλαπλάσιο των στοιχείων a 1, a 2,, a n είναι ένα στοιχείο e R, το οποίο είναι πολλαπλάσιο του a k, δηλαδή a k e, k = 1,2,,n. Ενα κοινό πολλαπλάσιο e R των a 1, a 2,, a n είναι ένα ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των a 1, a 2,, a n, αν κάθε άλλο κοινό πολλαπλάσιο των a 1, a 2,, a n είναι επίσης πολλαπλάσιο του e. Ενας µέγιστος κοινός διαιρέτης ή ένα ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο ή περισσότερων στοιχείων, όταν υπάρχει, δεν είναι µοναδικά ορισµένο στοιχείο του δακτυλίου, αλλά ορίζεται µε ακρίβεια συντροφικού στοιχείου. ηλαδή αν d 1,d 2, αντίστοιχα e 1,e 2, είναι µεγιστοι κοινοί διαιρέτες, αντίστοιχα ελάχιστα κοινά πολλαπλάσια, στοιχείων ενός µεταθετικού δακτυλίου, τότε τα στοιχεία d 1 και d 2, αντίστοιχα τα στοιχεία e 1 και e 2, είναι συντροφικά. Αν και υπάρχουν ακέραιες περιοχές στις οποίες υπάρχουν στοιχεία χωρίς µέγιστο κοινό διαιρέτη, αυτό δεν µπορεί να συµβεί όταν εργαζόµαστε σε περιοχές κυρίων ιδεωδών : Θεώρηµα 10.1.9. Εστω ότι R είναι µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, και a 1, a 2,, a n µη-µηδενικά στοιχεία της. 1. (αʹ) Υπάρχει ένας µέγιστος κοινός διαιρέτης των στοιχείων a 1, a 2,, a n.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι ΕΩ ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 439 (ϐʹ) Αν d είναι ένας µέγιστος κοινός διαιρέτης των στοιχείων a 1, a 2,, a n, τότε υπάρχουν στοιχεία r 1,r 2,,r n, έτσι ώστε : d = a 1 r 1 + a 2 r 2 + + a n r n (γʹ) Το στοιχείο d είναι ένας µέγιστος κοινός διαιρέτης των στοιχείων a 1, a 2,, a n αν και µόνον αν (d) = (a 1 ) + (a 2 ) + + (a n ) 2. (αʹ) Υπάρχει ένα ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των στοιχείων a 1, a 2,, a n. (ϐʹ) Το στοιχείο e είναι ένα ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των στοιχείων a 1, a 2,, a n αν και µόνον αν (e) = (a 1 ) (a 2 ) (a n ) Ορισµός 10.1.10. Τα µη-µηδενικά στοιχεία a 1, a 2,, a n του δακτυλίου R καλούνται σχετικώς πρώτα αν : ( a1, a 2,, a n ) = 1 Ισοδύναµα ένας µέγιστος κοινός διαιρέτης τους είναι αντιστρέψιµο στοιχείο του R. Τα µη-µηδενικά στοιχεία a 1, a 2,, a n του δακτυλίου R καλούνται πρώτα µεταξύ τους ανά δύο αν : 1 i j n = ( a i, a j ) = 1 Ισοδύναµα, ανά δύο τα στοιχεία αυτά έχουν ως µέγιστο κοινό διαιρέτη ένα αντιστρέψιµο στοιχείο του R. Η ακόλουθη συνέπεια προκύπτει άµεσα από το Θεώρηµα 10.1.9. Πόρισµα 10.1.11 (Ταυτότητα του Bezout). Εστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, και έστω τα µη-µηδενικά στοιχεία a 1, a 2,, a n του R. Τότε : Τα στοιχεία a 1, a 2,, a n είναι σχετικώς πρώτα r 1,r 2,,r n R : r 1 a 1 + r 2 a 2 + + r n a n = 1 Πρόταση 10.1.12. Εστω ότι a, b είναι µη-µηδενικά στοιχεία σε µια περιοχή κυρίων ιδεωδών R. Αν (a, b) είναι ένας µέγιστος κοινός διαιρέτης των a,b και [a,b] είναι ένα ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των a,b, τότε υπάρχει αντιστρέψιµο στοιχείο u U(R), έτσι ώστε : (a,b)[a,b] = uab δηλαδή τα στοιχεία (a, b)[a, b] και ab είναι συντροφικά. Η ακόλουθη σηµαντική συνέπεια της Πρότασης 10.1.12 µας είναι οικεία στο πλαίσιο της στοιχειώδους Θεωρίας Αριθµών. Πόρισµα 10.1.13. Εστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών και a, b δύο σχετικώς πρώτα στοιχεία της : (a, b) = 1. Αν c R, τότε : 1. a bc = a c. 2. a c και b c = ab c. Σηµαντικά παραδείγµατα περιοχών κυρίων ιδεωδών αποτελούν οι Ευκλείδειες περιοχές µε την έννοια του ακόλουθου ορισµού :

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι ΕΩ ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 440 Ορισµός 10.1.14. Αν R είναι µια ακέραια περιοχή, µια απεικόνιση δ: R \ { 0 } N 0, a δ(a) καλείται Ευκλείδεια στάθµη επί της R, αν για τυχόντα στοιχεία a,b R, όπου b 0, υπάρχουν στοιχεία q,r R έτσι ώστε : a = bq + r, όπου είτε r = 0 ή δ(r ) < δ(b) Μια ακέραια περιοχή καλείται Ευκλείδεια περιοχή αν είναι εφοδιασµένη µε µια Ευκλείδεια στάθµη. Ισχύει το ακόλουθο αποτέλεσµα. Θεώρηµα 10.1.15. Κάθε Ευκλείδεια περιοχή είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών. Παράδειγµα 10.1.16. στάθµη 1. Η ακέραια περιοχή Z των ακεραίων είναι Ευκλείδεια περιοχή µε Ευκλείδεια δ: R \ { 0 } N 0, a δ(a) := a 2. Η ακέραια περιοχή K[t] των πολυωνύµων υπεράνω ενός σώµατος K είναι Ευκλείδεια περιοχή µε Ευκλείδεια στάθµη δ: K[t] \ { 0 } N 0, P(t) δ(a) := degp(t) 3. Η απεικόνιση δ: Z[i] \ { 0 } N 0, a = m + ni δ(a) := aa = m 2 + n 2 είναι µια Ευκλείδεια στάθµη επί της ακέραιας περιοχής Z[i] των ακεραίων του Gauss, και άρα ο δακτύλιος Z[i] είναι Ευκλείδεια περιοχή. Τα στοιχεία ενός µεταθετικού δακτυλίου τα οποία διαδραµατίζουν αντίστοιχο ϱόλο µε τους πρώτους αριθµούς στον δακτύλιο των ακεραίων ή τα ανάγωγα πολυώνυµα στον δακτύλιο των πολυωνύµων υπεράνω ενός σώµατος, είναι αντικείµενο του ακόλουθου ορισµού : Ορισµός 10.1.17. Ενα µη-µηδενικό στοιχείο a ενός µεταθετικού δακτυλίου R καλείται ανάγωγο αν δεν είναι αντιστρέψιµο, και οι µόνοι διαιρέτες του είναι αντιστρέψιµα στοιχεία του R ή τα συντροφικά του στοιχεία. Παράδειγµα 10.1.18. 1. Στον δακτύλιο Z των ακεραίων, το στοιχείο 3 είναι προφανώς ανάγωγο. Οµως αν το 3 ϑεωρηθεί στο σώµα Q των ϱητών, δεν είναι ανάγωγο διότι για παράδειγµα 3 = 3 2 2. 2. Αν ο δακτύλιος R είναι σώµα, τότε κανένα στοιχείο του δεν είναι ανάγωγο. 3. Τα µόνα ανάγωγα στοιχεία τοτ Z είναι τα στοιχεία ±p, όπου p είναι πρώτος. 4. Τα ανάγωγα πολυώνυµα του δακτυλίου K[t] συµπίπτουν µε τα ανάγωγα στοιχεία του. Η έννοια του ανάγωγου στοιχείο σχετίζεται µε την έννοια του πρώτου στοιχείου σε έναν µεταθετικό δακτύλιο : Ορισµός 10.1.19. Ενα µη-µηδενικό στοιχείο p R σε έναν µεταθετικό δακτύλιο R καλείται πρώτο στοιχείο, αν το p δεν είναι αντιστρέψιµο, και αν a,b R είναι µη-µηδενικά στοιχεία του R έτσι ώστε p ab, τότε είτε p a είτε p b. Σε µια ακέραια περιοχή R, κάθε πρώτο στοιχείο είναι ανάγωγο. Το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει. Στην περίπτωση των περιοχών κυρίων ιδεωδών κάθε ανάγωγο στοιχείο είναι πρώτο : Θεώρηµα 10.1.20. Εστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, και p R ένα µη-µηδενικό στοιχείο της. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα :

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι ΕΩ ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 441 1. Το στοιχείο p είναι ανάγωγο. 2. Το ιδεώδες (p) είναι µεγιστοτικό. 3. Το ιδεώδες (p) είναι πρώτο. 4. Το στοιχείο p είναι πρώτο. Ιδιαίτερα κάθε µη-µηδενικό πρώτο ιδεώδες µιας περιοχής κυρίων ιδεωδών είναι µεγιστοτικό ιδεώδες. 10.1.2 Περιοχές Μονοσήµαντης Ανάλυσης Γνωρίζουµε ότι κάθε ϑετικός ακέραιος µπορεί να γραφεί µοναδικά ως γινόµενο πρώτων παραγόντων. Η ακόλουθη κλάση δακτυλίων γενικεύει την ιδιότητα µοναδικής παραγοντοποίησης η οποία ικανοποιείται στον δακτύλιο των ακεραίων. Ορισµός 10.1.21. Μια ακέραια περιοχή R καλείται περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης, αν : ( ΠΜΑ1) Κάθε µη-µηδενικό στοιχείο του R είναι είτε αντιστρέψιµο είτε (πεπερασµένο) γινόµενο αναγώγων στοιχείων. (ΠΜΑ2) Εστω { } n p i i=1 και { } m q j j =1 είναι δύο σύνολα αναγώγων στοιχείων του R και έστω ότι : a := p 1 p 2 p n = q 1 q 2 q m Τότε n = m, υπάρχει µια µετάθεση σ S n και αντιστρέψιµα στοιχεία u i, 1 i n, του R, έτσι ώστε : q σ(i) = u i p i, 1 i n. Οταν ισχύει η ιδιότητα (ΠΜΑ2), τότε ϑα λέµε ότι η ανάλυση ή παραγοντοποίηση ενός στοιχείου σε γινόµενο ανάγωγων στοιχείων είναι µοναδική. Η ακόλουθη σηµαντική Πρόταση πιστοποιεί ότι σε περιοχές µονοσήµαντης ανάλυσης, τα ανάγωγα και τα πρώτα στοιχεία ταυτίζονται. Πρόταση 10.1.22. Σε µια περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης, ένα στοιχείο είναι πρώτο αν και µόνον αν είναι ανάγωγο. Ορισµός 10.1.23. Ενα µεταθετικός δακτύλιος R ικανοποιεί την συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας για κύρια ιδεώδη, αν για κάθε αύξουσα ακολουθία (a 1 ) (a 2 ) (a n ) (a n+1 ) κύριων ιδεωδών του R, υπάρχει δείκτης m 1, έτσι ώστε : (a m ) = (a m+1 ) =. Το ακόλουθο Θεώρηµα παρουσιάζει κάποιες σηµαντικές ιδιότητες οι οποίες αφορούν την ύπαρξη και µοναδικότητα παραγοντοποίησης στοιχείων σε ανάγωγους παράγοντες. Θεώρηµα 10.1.24. Εστω R µια ακέραια περιοχή. 1. Αν ο R είναι περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης, τότε ο R ικανοποιεί τη συνθήκη αύξουσας αλυσίδας για κύρια ιδεώδη. 2. Αν ο R ικανοποιεί τη συνθήκη αύξουσας αλυσίδας για κύρια ιδεώδη, τότε ο R ικανοποιεί την ιδιότητα (ΠΜΑ1). 3. Αν ο R ικανοποιεί την ιδιότητα (ΠΜΑ1) και κάθε ανάγωγο στοιχείο του R είναι πρώτο, τότε ο R είναι περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι ΕΩ ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 442 Ως άµεση συνέπεια του Θεωρήµατος 10.1.24 και της Πρότασης 10.1.22, έχουµε το ακόλουθο Θεώρηµα το οποίο χαρακτηρίζει τις περιοχές µονοσήµαντης ανάλυσης. Θεώρηµα 10.1.25. Για µια ακέραια περιοχή R, τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : 1. Η R είναι περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης. 2. (αʹ) Η R ικανοποιεί την ιδιότητα (ΠΜΑ1), δηλαδή κάθε µη-µηδενικό στοιχείο του R είναι είτε αντιστρέψιµο είτε (πεπερασµένο) γινόµενο αναγώγων στοιχείων, και (ϐʹ) κάθε ανάγωγο στοιχείο της R είναι πρώτο. 3. (αʹ) Η R ικανοποιεί την συνθήκη αύξουσας αλυσίδας για κύρια ιδεώδη, και (ϐʹ) κάθε ανάγωγο στοιχείο της R είναι πρώτο. Το ακόλουθο Θεώρηµα δείχνει ότι µια σηµαντική κλάση ακέραιων περιοχών είναι περιοχές µονοσήµαντης ανάλυσης. Θεώρηµα 10.1.26. Κάθε περιοχή κυρίων ιδεωδών, ιδιαίτερα µια Ευκλείδεια περιοχή, είναι περιοχή µονοσή- µαντης ανάλυσης. Οι περιοχές µονοσήµαντης ανάλυσης έχουν κοινές πολλές ιδιότητες οι οποίες ικανοποιούνται σε µια περιοχή κυρίων ιδεωδών. Για παράδειγµα : Πρόταση 10.1.27. Για κάθε δύο µη-µηδενικά στοιχεία µιας περιοχής µονοσήµαντης ανάλυσης, υπάρχει ένας µέγιστος κοινός διαιρέτης και ένα ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο. Από τώρα και στο εξής R συµβολίζει µια (µεταθετική) περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης. Το ενδιαφέρον µας τώρα στρέφεται σε δακτυλίους πολυωνύµων οι οποιοι είναι περιοχές µονοσήµαντης ανάλυσης. Εστω P(t) = a 0 +a 1 t + +a n t n ένα µη-µηδενικό πολυώνυµο µε στοιχεία από την περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης R. Ορισµός 10.1.28. Η περιεκτικότητα του µη-µηδενικού πολυωνύµου P(t) = n a k t k R[t] ορίζεται να είναι το στοιχείο c(p(t)) = (a 0, a 1, a 2,, a n ) Ενα πολυώνυµο P(t) = n a k t k καλείται πρωταρχικό, αν c(p(t)) = 1. Το ακόλουθο σηµαντικό αποτέλεσµα είναι γνωστό ως Λήµµα του Gauss. Λήµµα 10.1.29 (Λήµµα του Gauss). Αν P(t) και Q(t) είναι µη-µηδενικά πολυώνυµα υπεράνω του R, τότε c(p(t)q(t)) = c(p(t))c(r(t)) Ιδιαίτερα, το γινόµενο πρωταρχικών πολυωνύµων είναι πρωταρχικό πολυώνυµο. Το επόµενο αποτέλεσµα συσχετίζει τα ανάγωγα, ισοδύναµα τα πρώτα, στοιχεία, του πολυωνυµικού δσκτυλίου R[t] µε τα ανάγωγα στοιχεία του δακτυλίου πολυωνύµων Q(R)[t] υπεράνω του σώµατος κλασµάτων Q(R) της ακέραιας περιοχής R. Λήµµα 10.1.30. Για ένα πολυώνυµο P(t) R[t] ϐαθµού 1, τα ακόλουθα είναιν ισοδύναµα : 1. Το P(t) είναι πρώτο στοιχείο του R[t]. 2. Το P(t) είναι ανάγωγο στοιχείο του R[t]. 3. Το P(t) είναι ανάγωγο πρωταρχικό στοιχείο του Q(R)[t].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι ΕΩ ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 443 Το ακόλουθο σηµαντικό αποτέλεσµα δείχνει ότι η ιδιότητα µοναδικής παραγοντοποίησης µεταφέρεται στον δακτύλιο πολυωνύµων. Θεώρηµα 10.1.31. Αν ο δακτύλιος R είναι περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης, τότε ο δακτύλιος πολυωνύµων R[t] είναι περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης. Τα επόµενα πορίσµατα είναι άµεσες συνέπειες του Θεωρήµατος 10.1.31. Πόρισµα 10.1.32. Αν ο δακτύλιος R είναι περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης, τότε ο δακτύλιος πολυωνύµων R[t 1, t 2,, t n ], n 1, είναι περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης. Πόρισµα 10.1.33. 1. Ο δακτύλιος Z[t 1, t 2,, t n ], n 1, είναι περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης. 2. Αν K είναι ένα σώµα, τότε ο δακτύλιος πολυωνύµων K[t 1, t 2,, t n ], n 1, είναι περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης. 3. Αν R είναι µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, τότε ο δακτύλιος πολυωνύµων R[t 1, t 2,, t n ], n 1, είναι περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης. 10.2 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 10.2.1. Γνωρίζουµε ότι αν ο µεταθετικός δακτύλιος R είναι σώµα, τότε ο δακτύλιος πολυωνύµων R[t] είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών. Να εξετασθεί αν ισχύει το αντίστροφο. Λύση. Υποθέτουµε ότι ο δακτύλιος R[t] είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών. είχνουµε πρώτα ότι ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή. Εστω a,b R έτσι ώστε a b = 0. Τότε για τα σταθερά πολυώνυµα a = a και b = b, ϑα έχουµε ab = ab = 0 είναι το µηδενικό σταθερό πολυώνυµο. Επειδή ο δακτύλιος R[t] είναι ακέραια περιοχή, έπεται ότι a = 0 ή b = 0, και αυτό σηµαίνει ότι a = 0 ή b = 0 στον R. Άρα ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή. Θεωρούµε ένα µη-µηδενικό στοιχείο a R και έστω I = (a, t) το ιδεώδες του R[t] το οποίο παράγεται από το σταθερό πολυώνυµο a = a και το πολυώνυµο t. Επειδή ο δακτύλιος R[t] είναι δακτύλιος κυρίων ιδεωδών, έπεται ότι υπάρχει πολυώνυµο P(t) R[t] έτσι ώστε : (P(t)) = (a, t). Τότε επειδή a, t (P(t)), έπεται ότι υπάρχουν πολυώνυµα A(t),B(t) R[t] έτσι ώστε : a = A(t)P(t) και t = B(t)P(t) Επειδή ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή, ϑα έχουµε 0 = dega = deg(a(t)p(t)) = deg A(t) + degp(t) και άρα τα πολυώνυµα A(t) και P(t) είναι σταθερά, αναγκαστικά µη-µηδενικά πολυώνυµα διότι a 0, και έτσι A(t) = b και P(t) = c, όπου b,c R \ {0}. Τότε από τη δεύτερη σχέση ϑα έχουµε t = B(t)c, και άρα 1 = deg t = deg(b(t)c) = degb(t) + degc = degb(t) + 0, απ όπου έπεται ότι B(t) = r t + s, για κάποια r, s R. Τότε : 1 = B(t)c = (r t + s)c = r ct + sc = r c = 1 και sc = 0 απ όπου προκύπτει ότι το στοιχείο c είναι αντιστρέψιµο στοιχείο του r. Τότε (P(t)) = (c) = R[t], και εποµένως ϑα έχουµε (a) + (t) = (a, t) = R[t] = (1) = C(t),D(t) R[t] : 1 = ac(t) + td(t) Το πολυώνυµο td(t) έχει προφανώς µηδενικό σταθερό όρο, και άρα αν c 0 είναι ο σταθερός όρος του πολυωνύµου C(t), τότε εξισώνοντας συντελεστές στην παραπάνω σχέση, ϑα έχουµε 1 = ac 0. Αυτό σηµαίνει ότι το τυχόν µη-µηδενικό στοιχείο a του R είναι αντιστρέψιµο. Εποµένως ο δακτύλιος R είναι σώµα. Ασκηση 10.2.2. Εστω R ένας µεταθετικός δακτύλιος. Τότε ο δακτύλιος πολυωνύµων R[t 1, t 2,, t n ], δεν είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών, αν n 2.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι ΕΩ ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 444 Λύση. Αν ο δακτύλιος R[t 1, t 2 ] είναι δακτύλιος κυρίων ιδεωδών, τότε επειδή R[t 1, t 2 ] = (R[t 1 ])[t 2 ], από την Άσκηση 10.2.1 έπεται ότι ο δακτύλιος R[t 1 ] είναι σώµα και αυτό είναι προφανώς άτοπο, για παράδειγµα το µη-µηδενικό στοιχείο του t 1 δεν είναι αντιστρέψιµο στον δακτύλιο R[t 1 ]. Άρα ο δακτύλιος R[t 1, t 2 ] δεν είναι δακτύλιος κυρίων ιδεωδών. Αν ο δακτύλιος R[t 1, t 2, t 3 ] είναι δακτύλιος κυρίων ιδεωδών, τότε όπως και πριν ϑα έχουµε ότι ο δακτύλιος R[t 1, t 2 ] είναι σώµα και άρα και δακτύλιος κυρίων ιδεωδών το οποίο είναι άτοπο. Άρα ο δακτύλιος R[t 1, t 2, t 3 ] δεν είναι δακτύλιος κυρίων ιδεωδών. Συνεχίζοντας αυτή τη διαδιακσία, ϐλέπουµε άµεσα ότι ο δακτύλιος R[t 1, t 2,, t n ] δεν είναι δακτύλιος κυρίων ιδεωδών, όταν n 2. Ασκηση 10.2.3. Εστω R µια ακέραια περιοχή και a R ένα ανάγωγο στοιχείο του R. Να δειχθεί ότι το ιδεώδες (a, t) του R[t] το οποίο παράγεται από το σταθερό πολυώνυµο a και το πολυώνυµο t δεν είναι κύριο. Λύση. Υποθέτουµε ότι το ιδεώδες (a, t) = Ra + (t) είναι κύριο µε γεννήτορα το πολυώνυµο P(t): (a, t) = Ra + (t) = (P(t)) = { P(t)A(t) R[t] A(t) R[t] } Επειδή a (a, t), έπεται ότι a (P(t)) και άρα a = P(t)A(t) για κάποιο πολυώνυµο A(t) R[t]. Παρόµοια επειδή t (a, t), έπεται ότι t (P(t)) και άρα t = P(t)B(t) για κάποιο πολυώνυµο B(t) R[t]. Επειδή το στοιχείο a R είναι ανάγωγο, εξ ορισµού είναι µη-µηδενικό και άρα το σταθερό πολυώνυµο a είναι µη-µηδενικό. Θεωρώντας ϐαθµούς πολυωνύµων στις παραπάνω σχέσεις, ϑα έχουµε : 0 = deg(p(t)a(t)) = degp(t) + deg A(t) και 1 = deg(p(t)b(t)) = degp(t) + degb(t) Από τις παραπάνω σχέσεις έπεται ότι degp(t) = 0, δηλαδή το πολυώνυµο P(t) είναι ένα σταθερό πολυώνυµο, το οποίο είναι µη-µηδενικό διότι διαφορετικά ϑα είχαµε t (a) + (t) = { 0 } το οποίο είναι είναι προφανώς άτοπο. Επίσης deg A(t) = 0 και άρα το πολυώνυµο A(t) είναι σταθερό και µη-µηδενικό (διότι αν A(t) = 0 ϑα είχαµε a = 0 το οποίο είναι άτοπο διότι το στοιχείο a είναι ανάγωγο), και επίσης degb(t) = 1. Άρα A(t) = d, όπου d R \ { 0 } και B(t) = b 0 +b 1 t, για κάποια στοιχεία b 0,b 1 R. Ετσι P(t) = c, όπου 0 c R και τότε από τη σχέση t = P(t)B(t) = c(b 0 + b 1 t), έπεται ότι cb 0 = 0 και cb 1 = 1 Αυτό ιδιαίτερα σηµαίνει ότι ϱτο στοιχείο c είναι αντιστρέψιµο στοιχείο του RT και εποµένως το σταθερό πολυώνυµο P(t) = c είναι αντιστρέψιµο στοιχείο του πολυωνυµικού δακτυλίου R[t]. Τότε όµως ϑα έχουµε (P(t)) = (a, t) = R[t] και εποµένως υπάρχουν πολυώνυµα C(t), D(t) R[t] έτσι ώστε 1 = ac(t) + td(t). Αν C(t) = m c k t k, τότε ϑα έχουµε 1 = ac 0 και αυτό σηµαίνει ότι το ανάγωγο στοιχεία a είναι αντιστρέψιµο και αυτό είναι άτοπο διότι εξ ορισµού ένα ανάγωγο στοιχείο δεν είναι αντιστρέψιµο. Εποµένως το ιδεώδες (a, t) δεν είναι κύριο. Ασκηση 10.2.4. Εστω R µια ακέραια περιοχή και 0 a R ένα στοιχείο του R. Θεωρούµε το ιδεώδες (a, t) του R[t] το οποίο παράγεται από το σταθερό πολυώνυµο a και το πολυώνυµο t. Να προσδιορισθεί ο δακτύλιος πηλίκο R[t] / (a, t) Αν η ακέραια περιοχή είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών, να δειχθεί ότι το ιδεώδες (a, t) είναι πρώτο αν και µονον αν το ιδεώδες (a, t) είναι µεγιστοτικό αν και µόνον αν το στοιχείο a R είναι ανάγωγο. Λύση. Θεωρούµε το κύριο ιδεώδες (a) του R το οποίο παραγεται από το στοιχείο a R, και ορίζουµε απεικόνιση f : R[t] R/(a), f (P(t)) = P(0) + (a) ηλαδή, αν P(t) = n a k t k, τότε f (P(t)) = a 0 + (a). Η απεικόνιση f είναι επιµορφισµός δακτυλίων διότι είναι σύνθεση του επιµορφισµού δακτυλίων R[t] R, P(t) P(0), και του κανονικού επιµορφισµού r r + (a). Αν P(t) = n a k t k Ker(f ), τότε : f (P(t)) = 0 R/(a) = P(0) + (a) = (a) = P(0) = a 0 (a) = r R : a 0 = ar

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι ΕΩ ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 445 Αντίστροφα, αν P(0) = a 0 (a), τότε f (P(t)) = P(0) + (a) = a 0 + (a) = (a). Εποµένως Ker(f ) = { P(t) = n a k t k R[t] P(0) = a 0 (a) } = { a 0 +t(a 1 +a 2 t+ +a n t n 1 R[t] a 0 (a) } = (a)+(t) = (a, t) Εποµένως από το Πρώτο Θεώρηµα Ισοµορφισµών ακτυλίων, ϑα έχουµε έναν ισοµορφισµό R[t] / (a, t) = R/(a) Επειδή ο δακτύλιος R είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών, γνωρίζουµε ότι ένα µη-µηδενικό ιδεώδες του, όπως το ιδεώδες (a), είναι πρώτο αν και µόνον αν είναι µεγιστοτικό αν και µόνον αν το στοιχείο a είναι ανάγωγο. Εποµένως, επειδή a 0, ο δακτύλιος R/(a) είναι ακέραια περιοχή αν και µόνον αν είναι σώµα. Λόγω του παραπάνω ισοµορφισµού, ϑα έχουµε ότι ο δακτύλιος R[t] / (a, t) είναι ακέραια περιοχή αν και µόνον αν είναι σώµα. Ισοδύναµα το ιδεώδες (a, t) είναι πρώτο αν και µόνον αν είναι µεγιστοτικό. Εποµένως, συνοψίζοντας, δείξαµε ότι το ιδεώδες (a, t) είναι πρώτο αν και µονον αν το ιδεώδες (a, t) είναι µεγιστοτικό αν και µόνον αν το στοιχείο a R είναι ανάγωγο. Ασκηση 10.2.5. Εστω R µια ακέραια περιοχή, και υποθέτουµε ότι κάθε µη-µηδενικό στοιχείο του R είναι είτε αντιστρέψιµο είτε ανάγωγο. Να δειχθεί ότι η ακέραια περιοχή R είναι σώµα 1. Λύση. Εστω a R = R \ {0} ένα στοιχείο του R το οποίο δεν είναι αντιστρέψιµο. Τότε προφανώς και το στοιχείο a 2 δεν είναι αντιστρέψιµο. Επειδή από την υπόθεση, το a είναι ανάγωγο, ϑα πρέπει τα στοιχεία a και a 2 να είναι συντροφικά. Εποµένως υπάρχει αντιστρέψιµο στοιχείο u R έτσι ώστε a = ua 2. Τότε χρησιµοποιώντας ότι ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή και a 0, ϑα έχουµε : a = ua 2 = (1 ua)a = 0 = 1 = ua = a U(R) Εποµένως το a είναι αντιστρέψιµο και αυτό είναι άτοπο. Άρα κάθε µη-µηδενικό στοιχείο του R είναι αντιστρέψιµο και εποµένως η ακέραια περιοχή R είναι σώµα. Τότε προφανώς όλα τα µη-µηδενικά στοιχεία του R είναι αντιστρέψιµα. Ενας µεταθετικός δακτύλιος R καλείται δακτύλιος της Noether, αν ικανοποιείται η συνθήκη αύξουσας αλυσίδας για τα ιδεώδη του, δηλαδή για κάθε αύξουσα ακολουθία I 1 I 2 I n I n+1 ιδεωδών του R, υπάρχει δείκτης m 1, έτσι ώστε : I m = I m+1 =. Ασκηση 10.2.6. Κάθε µεταθετικός δακτύλιος κυρίων ιδεωδών R είναι δακτύλιος της Noether. Απόδειξη. Θεωρούµε µια αλυσίδα ιδεωδών του R: I 1 I 2 I 3 I n I n+1 Από την Άσκηση 7.2.7, έπεται ότι η ένωση I := n=1 I n είναι ιδεώδες του R. Επειδή ο δακτύλιος R είναι δακτύλιος κυρίων ιδεωδών, έπεται ότι I = (r ) για κάποιο r R. Επειδή r I, προφανώς ϑα έχουµε ότι r I k για κάποιο k 1. Τότε I = (r ) I k και επειδή προφανώς I n I, n 1, έπεται ότι I = I k. Τότε, l 1, ϑα έχουµε I k+l I = I k I k+l, και εποµένως I k = I k+l, l 1. Εποµένως κάθε αύξουσα αλυσίδα ιδεωδών είναι τελικά σταθερή και εποµένως ο δακτύλιος R είναι δακτύλιος της Noether. 1 και τότε όλα τα µη-µηδενικά στοιχεία του R είναι αντιστρέψιµα.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι ΕΩ ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 446 Ασκηση 10.2.7. Να δειχθεί ότι κάθε γνήσιο ιδεώδες σε έναν δακτύλιο κυρίων ιδεωδών, περιέχεται σε ένα µεγιστοτικό ιδεώδες 2. Λύση. Εστω I 1 ένα γνήσιο ιδεώδες του R. Αν το I 1 είναι µεγιστοτικό, τότε έχουµε εντοπίσει ένα µεγιστοτικό ιδεώδες του R το οποίο περιέχει το I 1, το ίδιο το I 1. Αν το I 1 δεν είναι µεγιστοτικό, τότε υπάρχει γνήσιο ιδεώδες I 2 του R µε I 1 I 2 έτσι ώστε I 1 I 2. Αν το I 2 είναι µεγιστοτικό, τότε έχουµε εντοπίσει ένα µεγιστοτικό ιδεώδες του R το οποίο περιέχει το I 1, το ιδεώδες I 2. Αν το I 2 δεν είναι µεγιστοτικό, τότε υπάρχει γνήσιο ιδεώδες I 3 του R µε I 2 I 3 έτσι ώστε I 1 I 2 I 3. Αν το I 3 είναι µεγιστοτικό, τότε έχουµε εντοπίσει ένα µεγιστοτικό ιδεώδες του R το οποίο περιέχει το I 1, το ιδεώδες I 3. Αν το I 3 δεν είναι µεγιστοτικό συνεχίζουµε αυτή τη διαδικασία µέσω της οποίας προκύπτει µια αύξουσα αλυσίδα ιδεωδών του R: I 1 I 2 I 3 I n I n+1 και αυτή η διαδικασία σταµατά στο n-οστό της ϐήµα αν το ιδεώδες I n είναι µεγιστοτικό, και τότε I n = I n+1 =. Επειδή ο δακτύλιος R είναι δακτύλιος κυρίων ιδεωδών, από την Άσκηση 10.2.6, έπεται ότι η παραπάνω αλυσίδα ιδεωδών του R σταµατά, δηλαδή υπάρχει δείκτης n 1, έτσι ώστε I n = I n+1 =. Αυτό σηµαίνει ότι ϱτο ιδεώδες I n είναι µεγιστοτικό και προφανώς περιέχει το I 1. Ασκηση 10.2.8. Εστω R µια Ευκλείδεια περιοχή µε Ευκλείδεια στάθµη δ. Τότε υπάρχει µια Ευκλείδεια στάθµη δ : R \ {0} N ορισµένη επί της R, έτσι ώστε : a,b R \ {0} : δ (a) δ (ab) Λύση. Για κάθε µη-µηδενικό στοιχείο a R έχουµε δ(a) 0 και άρα το σύνολο S = { δ(ab) N b R \ {0} } είναι µη-κενό διότι δ(a 1) S. Από την Αρχή Καλής ιάταξης 3, έπεται ότι το συνολο S έχει ελάχιστο στοιχείο και άρα µπορούµε να ορίσουµε : δ : R \ {0} N, δ (a) = min b 0 δ(ab) Ετσι δ (a) = δ(ab 0 ) για κάποιο b 0 R \ {0}, και ιδιαίτερα δ (a) δ(a). Για κάθε a,b R \ {0}, ϑα έχουµε δ (ab) = δ(abc) για κάποιο c R \ {0} και τότε εξ ορισµού ϑα έχουµε δ (a) δ(abc) = δ (ab). Εστω τώρα a,b R, όπου b 0. Τότε υπάρχει στοιχείο c R, c 0, έτσι ώστε δ (b) = δ(bc). Επειδή η συνάρτηση δ είναι µια Ευκλείδεια στάθµη, ϑα έχουµε ότι υπάρχουν στοιχεία q,r R έτσι ώστε : a = (bc)q 0 + r 0, όπου : είτε r 0 = 0 είτε δ(r 0 ) < δ(bc) Θέτουµε q = cq 0 και r = r 0. Τότε a = b(cq 0 ) + r 0 = bq + r. Επειδή δ(bc) = δ (b) και δ (r ) δ(r ), ϑα έχουµε : δ(r ) = δ(r 0 ) < δ(bc) και άρα δ (r ) < δ (b). Εποµένως ϑα έχουµε : a = bq + r, όπου είτε r = 0 είτε δ (r ) < δ (b) Άρα η απεικόνιση δ είναι µια Ευκλείδεια στάθµη η οποία ικανοποιεί την επιπλέον ιδιότητα ότι δ(a) δ (ab), a,b \{0}. Η παραπάνω Άσκηση µας επιτρέπει, χωρίς ϐλάβη της γενικότητας, να ϑεωρούµε πάντα Ευκλειδειες περιοχές R για τις οποίες η Ευκλείδεια στάθµη δ ικανοποιεί την επιπλέον ιδιότητα ότι δ(a) δ(ab), a,b R \ {0}. 2 Με χρήση του Λήµµατος του Zorn, αποδεικνύεται ότι κάθε γνήσιο ιδεώδες σε τυχόντα δακτύλιο περιέχεται σε ένα µεγιστοτικό ιδεώδες, ϐλέπε [12]. Εδώ αποφεύγουµε τη χρήση του Λήµµατος του Zorn εκµεταλλευόµενοι τη δοµή των ιδεωδών του R. 3 Η Αρχή Καλής ιάταξης πιστοποιεί ότι κάθε µη-κενό συνόλο ϑετικών ακεραίων έχει ελάχιστο στοιχείο.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι ΕΩ ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 447 Ασκηση 10.2.9. Εστω R µια Ευκλείδεια περιοχή µε Ευκλείδεια στάθµη δ η οποία ικανοποιεί την ιδιότητα δ(a) δ(ab), a,b R \ {0}. Τότε για κάθε στοιχείο x R, x 0, τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : 1. x U(R). 2. δ(x) = δ(1). Λύση. Επειδή δ(a) δ(ab), a,b R \ {0}, διαλέγοντας a = 1, έπεται ότι δ(1) δ(b), b R \ {0}. 1. «=» Εστω ότι το x είναι αντιστρέψιµο, και άρα υπάρχει y R έτσι ώστε x y = 1. Θέτοντας a = y στη σχέση δ(x) δ(xa), a R \ {0}, έπεται ότι δ(x) δ(1). Επειδή δ(a) δ(1), a R \ {0}, έπεται ότι δ(x) = δ(1). 2. «=» Εστω ότι x 0 και δ(x) = 1. Επειδή η απεικόνιση δ είναι µια Ευκλείδεια στάθµη, έπεται ότι υπάρχουν στοιχεία q,r R έτσι ώστε : 1 = qx + r, όπου : είτε r = 0 είτε δ(r ) < δ(x) = δ(1) Αν r = 0, τότε 1 = qx και το στοιχείο x είναι αντιστρέψιµο. Αν r 0, τότε ϑα έχουµε δ(r ) < δ(x) = δ(1). Επειδή r 0 ϑα έχουµε δ(1) δ(r 1) = δ(r ) < δ(1) και αυτό είναι άτοπο. Άρα αναγκαστικά ϑα έχουµε r = 0 και το στοιχείο x είναι αντιστρέψιµο. Σχόλιο 10.2.10. Η Ευκλείδεια στάθµη δ(z) = zz στον δακτύλιο Z[i] των ακεραίων του Gauss, και η Ευκλείδεια στάθµη δ(p(t)) = degp(t), στον δακτύλιο πολυωνύµων K[t], όπου K είναι ένα σώµα, ικανοποιούν προφανώς την ιδιότητα δ(a) δ(ab), a,b 0, της παραπάνω Άσκησης 10.2.9. Σύµφωνα µε την Άσκηση 10.2.8, για κάθε Ευκλείδεια περιοχή R µε Ευκλείδεια στάθµη δ, υπάρχει Ευκλέιδεια στάθµη δ η οποία ικανοποιεί τις προϋποθέσεις της Άσκησης 10.2.9. Ασκηση 10.2.11. Εστω R µια Ευκλείδεια περιοχή µε Ευκλείδεια στάθµη δ, και a, b R. Να δειχθεί ότι στην ακολουθία διαδοχικών εφαρµογών της Ευκλείδειας ιαίρεσης : a = q 0 b + r 1, όπου είτε r 1 = 0 είτε δ(r 1 ) < δ(a) a = q 1 r 1 + r 2, όπου είτε r 2 = 0 είτε δ(r 2 ) < δ(r 1 ) r 1 = q 2 r 2 + r 3, όπου είτε r 3 = 0 είτε δ(r 3 ) < δ(r 2 ). r m 2 = q m 1 r m 1 + r m, όπου είτε r m = 0 είτε δ(r m ) < δ(r m 1 ) υπάρχει n 1 έτσι ώστε r n 1 0 και r n 1 = q n r n. Τότε. (a,b) = r n Λύση. 1. είχνουµε πρώτα ότι µε ακρίβεια συντροφικών στοιχείων, έχουµε : q R : (a,b) = (a,b qa) Πράγµατι, έστω d 1 = (a,b) και d 2 = (a,b qa). Τότε d 1 a και άρα d 1 qa. Επειδή d 1 b, ϑα έχουµε ότι d 1 (b qa), και εποµένως επειδή d 1 a, έπεται ότι d 1 (a,b qa) = d 2. Αντίστροφα, ϑα έχουµε d 2 a και άρα d 2 qa. Επειδή d 2 b qa, έπεται ότι d 2 b και επειδή d 2 a, έπεται ότι : d 2 (a,b) = d 1. Επειδή d 1 d 2 και d 2 d 1, έπεται ότι υπάρχει αντιστρέψιµο στοιχείο u R έτσι ώστε d 1 = ud 2. Άρα οι µέγιστοι κοινοί διαιρέτες d 1 και d 2 είναι συντροφικά στοιχεία.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι ΕΩ ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 448 2. Στην ακολουθία των Ευκλείδειων ιαιρεσεων, ϑα έχουµε ότι υπάρχει δείκτης k έτσι ώστε n 1 έτσι ώστε r n 1 0 και r n = 0. Πράγµατι, διαφορετικά αν δ(r k ) 0, k 1, τότε επειδή δ(x) 0, x R, ϑα είχαµε µια γνησίως ϕθίνουσα ακολουθία ϑετικών ακεραίων : < δ(r n ) < δ(r n 1 ) < < δ(r 2 ) < δ(r 1 ) < δ(a) και αυτό είναι άτοπο. Άρα υπάρχει n 1 έτσι ώστε r n+1 = 0 και r n 0, και τότε r n 1 = q n r n. Θα δείξουµε ότι (a,b) = r n. Παρατηρούµε ότι r k 0, 1 k n 1, διότι διαφορετικά ϑα είχαµε ότι r n = 0. Από το µέρος 1., από τις διαδοχικές Ευκλείδειες ιαρέσεις, ϑα έχουµε : (a,b) = (a,b q 0 a) = (a,r 1 ) = (r 1, a) (r 1, a) = (r 1, a q 1 r 1 ) = (r 1 r 2 ) = (r 2,r 1 ) (r 2,r 1 ) = (r 2,r 1 q 2 r 2 ) = (r 2,r 3 ) = (r 3,r 2 ). (r n 1,r n 2 ) = (r n 1,r n 2 q n 1 r n 1 ) = (r n 1,r n ) = (r n,r n 1 ) = (r n, q n r n ) = r n Εποµένως r n = (a,b) (µε ακρίβεια συντροφικών στοιχείων). Ασκηση 10.2.12. Να προσδιορισθούν οι µέγιστοι κοινοί διαιρέτες (3 + 4i,4 3i) και (11 + 7i,18 i) στον δακτύλιο Z[i] των ακεραίων του Gauss. Λύση. 1. Επειδή 3 + 4i = i(4 3i), έπεται ότι (3 + 4i,4 3i) = (i(4 3i),4 3i) = 4 3i. 2. Θα εφαρµόσουµε τον Ευκλείδειο αλγόριθµο : 18 i 11 + 7i (18 i)(11 7i) 191 137i = = = 191 (11 + 7i)(11 7i) 170 170 137 170 21 33 21 + 33i i = (1 + ) (1 )i = (1 i) + 170 170 170 Θέτουµε r = 21+33i 170 = a + bi και q = 1 i. Παρατηρούµε ότι a = 21 170 1 33 2 και b = 170 1 2 και εποµένως δ(r ) = δ( 21+33i 170 < 1 2 + 1 2 = 1. Τώρα η παραπάνω σχέση, πολλαπλασιαζόµενη µε τον παρονοµαστή 11+7i και ϑέτοντας r = (11 + 7i)r, δίνει 18 i = (11 + 7i)q + (11 + 7i)r = (11 + 7i)q + r και δ(r ) = δ((11 + 7i)r ) = δ(11 + 7i)δ(r ) < δ(11 + 7i) Με άλλα λόγια ϑα έχουµε 18 i = (11 + 7i)(1 i) + r, απ όπου r = 3i και εποµένως έχουµε εκτελέσει το πρώτο ϐήµα στον Ευκλείδειο αλγόριθµο : 18 i = (11 + 7i)(1 i) + 3i, και δ(3i) = 9 < δ(11 + 7i) = 170 Εποµένως (18 i,11 + 7i) = (11 + 7i,3i) Για το δεύτερο ϐήµα του Ευκλείδειου αλγόριθµου, ϑα έχουµε : 11 + 7i (11 + 7i)( 3i) 21 33i = = 3i 3i 9 = (2 4i) + 1 + i 3 = 11 + 7i = 3i(2 4i) + ( 1 + i) = 11 + 7i = 3i(2 4i) + 3i 1 + i 3 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι ΕΩ ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 449 Άρα έχουµε εκτελέσει το δεύτερο ϐήµα στον Ευκλείδειο αλγόριθµο : 11 + 7i = 3i(2 4i) + ( 1 + i), και δ( 1 + i) = 2 < δ(3i) = 9 Εποµένως (11 + 7i,3i) = (3i, 1 + i) Για το τρίτο ϐήµα στον Ευκλείδειο αλγόριθµο, ϑα έχουµε : 3i 1 + i = 3i( 1 i) ( 1 + i)( 1 i) = 3 3i = (1 i) + 1 i 2 2 (1 i)( 1 + i) = 3i = (1 i)( 1 + i) + 2 = = 3i = (1 i)( 1 + i) + i Άρα έχουµε εκτελέσει το τρίτο ϐήµα στον Ευκλείδειο αλγόριθµο : 3i = (1 i)( 1 + i) + i, και δ(i) = 1 < δ(1 i) = 2 Εποµένως (3i, 1 + i) = ( 1 + i,i) Το στοιχείο i είναι αντιστρέψιµο στον δακτύλιο Z[i] και αυτό προφανώς σηµαίνει ότι ο µέγιστος κοινός διαρέτης ( 1+i, i) είναι αντιστρέψιµο στοιχείο του Z[i]. Ισοδύναµα, µε ακρίβεια συντροφικών στοιχείων ϑα έχουµε ότι ( 1 + i,i) = 1, και εποµένως, µε ακρίβεια συντροφικών στοιχείων, έπεται ότι (11 + 7i,18 i) = 1 Ασκηση 10.2.13. Στην Ευκλείδεια περιοχή Z[i] των ακεραίων του Gauss, να δειχθεί ότι ένα στοιχείο z = a + bi Z[i] είναι πρώτο αν και µόνον αν το συζυγές του z = a bi είναι πρώτο. Λύση. Εστω ότι a 0 ή b 0. Εστω ότι το στοιχείο z = a+bi είναι πρώτο, και το συζυγές του z δεν είναι πρώτο. Τότε ϑα έχουµε µια γνήσια παραγοντοποίηση z = uv του z και εποµένως µια γνήσια παραγοντοποίηση z = z = u v του z και αυτό είναι άτοπο. Παρόµοια δείχνουµε ότι αν το z είναι πρώτο, τότε και το z είναι πρώτο. Άρα σ αυτή την περίπτωση το z = a +bi Z[i] είναι πρώτο αν και µόνον αν το συζυγές του z = a bi είναι πρώτο. Αν a = 0 ή b = 0, τότε προφανώς τα στοιχεία z = bi ή z = a αντίστοιχα και z = bi ή z = a αντίστοιχα, είναι συντροφικά, και τότε προφανώς το z είναι πρώτο αν και µόνον αν το z είναι πρώτο. Ασκηση 10.2.14. Στην Ευκλείδεια περιοχή Z[i] των ακεραίων του Gauss, να δειχθεί ότι το στοιχείο 0 a + bi Z[i] είναι ανάγωγο, ή ισοδύναµα πρώτο, αν και µόνον αν ο ϑετικός ακέραιος a 2 + b 2 είναι πρώτος. Ως εφαρµογή, να δειχθεί ότι το στοιχείο 1 + 2i Z[i] είναι πρώτο. Λύση. Επειδή U(Z[i]) = { 1,i, 1, i }, αν ο ϑετικός ακέραιος a 2 + b 2 είναι πρώτος, τότε το στοιχείο a + bi δεν είναι αντιστρέψιµο. Αντίστροφα εξ ορισµού ένα ανάγωγο στοιχείο δεν είναι αντιστρέψιµο. Άρα σε ότι ακολουθεί µπορούµε να υποθέσουµε ότι το µη-µηδενικό στοιχείο a + bi δεν είναι αντιστρέψιµο. Εστω ότι a +bi = (x + yi)(z +wi) = (xz yw)+(xw + yz)i, όπου x + yi, z +wi Z[i]. Εποµένως ϑα έχουµε τις σχέσεις : xz yw = a και xw + yz = b Χρησιµοποιώντας την Ευκλείδεια στάθµη δ: Z[i] N, δ(a + bi) = a 2 + b 2, ϑα έχουµε δ(a + bi) = δ((x + yi)(z + wi)) = δ(x + yi)δ(z + wi), και εποµένως : a 2 + b 2 = (x 2 + y 2 )(z 2 + w 2 )

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι ΕΩ ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 450 1. «=» Αν ο ϑετικός ακέραιος a 2 + b 2 := p είναι πρώτος, τότε ϑα έχουµε ότι x 2 + y 2 = 1 και z 2 + w 2 = p ή x 2 + y 2 = p και z 2 + w 2 = 1. Εστω ότι x 2 + y 2 = 1 και z 2 + w 2 = p. Τότε προφανώς ϑα έχουµε x = ±1 και y = 0 ή x = 0 και y = ±1. Στην πρώτη περίπτωση το στοιχείο x + yi = ±1 είναι αντιστρέψιµο και στην δεύτερη περίπτωση το στοιχείο x + yi = ±i είναι αντιστρέψιµο. Εστω τώρα ότι x 2 + y 2 = p και z 2 + w 2 = 1. Τότε όπως και πριν ϑα έχουµε z = ±1 και w = 0 ή z = 0 και w = ±1. Στην πρώτη περίπτωση το στοιχείο z + wi = ±1 είναι αντιστρέψιµο και στην δεύτερη περίπτωση το στοιχείο z + wi = ±i είναι αντιστρέψιµο. Άρα σε κάθε περίπτωση είτε το στοιχείο x + yi είναι αντιστρέψιµο είτε το στοιχείο z + wi είναι αντιστρέψιµο. Εποµένως το στοιχείο a + bi είναι ανάγωγο. 2. «=» Αντίστροφα έστω ότι το στοιχείο z = a+bi είναι ανάγωγο. Επειδή ο δακτύλιος Z[i], ως Ευκλείδεια περιοχή, είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών, το ανάγωγο στοιχείο z = a + bi είναι πρώτο, και ιδιαίτερα το z = a + bi είναι µη-µηδενικό και µη-αντιστρέψιµο. Υποθέτουµε ότι ο ϑετικός ακέραιος δ(z) = zz = a 2 + b 2 δεν είναι πρώτος και άρα µπορούµε να γράψουµε a 2 + b 2 = mn, όπου m 1 n. Μπορούµε να υποθέσουµε ότι τα στοιχεία z, z είναι πρώτα µεταξύ τους. Πράγµατι, διαφορετικά τα στοιχεία z, z ϑα ήταν συντροφικά, ως πρώτα στοιχεία, σύµφωνα µε την προηγούµενη Άσκηση 10.2.13. Αυτό µπορεί να συµβαίνει µόνο όταν a = ±1 και b = ±1. Τότε όµως a 2 + b 2 = 2 ο οποίος είναι πρώτος. Εποµένως υποθέτουµε ότι ότι τα στοιχεία z, z είναι πρώτα µεταξύ τους. Επειδή το στοιχείο z είναι πρώτο και z (a 2 + b 2 ) = mn, έπεται ότι z m ή z n. Αν z m, τότε µπορούµε να γράψουµε m = zw και τότε m = zw = zw, και άρα z m. Επειδή τα στοιχεία z, z είναι πρώτα µεταξύ τους, ϑα έχουµε a 2 +b 2 = mn = zz m. Αυτό σηµαίνει ότι m = a 2 +b 2 και τότε αναγκαστικά n = 1 το οποίο είναι άτοπο. Παρόµοια αν z n, προκύπτει η αντίφαση m = 1. Εποµένως ϑα έχουµε ότι ο ϑετικός ακέραιος a 2 + b 2 είναι πρώτος. Επειδή δ(1 + 2i) = 1 1 + 2 2 = 5 ο οποίος είναι πρώτος αριθµός, έπεται ότι το στοιχείο 1 + 2i Z[i] είναι πρώτο. Ασκηση 10.2.15. Εστω p ένας περιττός πρώτος αριθµός. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : 1. Ο p είναι άθροισµα δύο τετραγώνων. 2. Ο p είναι της µορφής 4n + 1, n 1. Λύση. «1. = 2.» Υποθέτουµε ότι ο πρώτος p είναι άθροισµα δύο τετραγώνων : p = a 2 + b 2, a,b Z. Αν a = 2k, τότε a 2 = 4k 2 και αν a = 2k + 1, τότε a 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 4(k 2 + k) + 1. Παρόµοια αν b = 2l, τότε b 2 = 4l 2, και αν b = 2l + 1, τότε b 2 = 4l 2 + 4l + 1 = 4(l 2 + l) + 1. Άρα αν a = 2k και b = 2l, τότε p = a 2 + b 2 = 4(k 2 + l 2 ), το οποίο είναι άτοπο διότι ο p είναι πρώτος. Αν a = 2k + 1 και b = 2l + 1, τότε p = a 2 +b 2 = 4(k 2 +k)+1+4(l 2 +l)+1 = 4(k 2 +k +l 2 +l)+2, το οποίο είναι άτοπο διότι ο p είναι πρώτος. Αν a = 2k +1 και b = 2l, τότε p = a 2 +b 2 = 4(k 2 +k)+1+4l 2 = 4(k 2 +k +l 2 )+1, και παρόµοια αν a = 2k και b = 2l + 1, τότε p = a 2 + b 2 = 4(k 2 + l 2 + l) + 1. Άρα αν ο p είναι άθροισµα δυο τετραγώνων, τότε ο p είναι της µορφής 4n + 1. «2. = 1.» Υποθέτουµε ότι ο πρώτος p είναι της µορφής 4n + 1, όπου n 1. Τότε (p 1)! = (2n)! (2n + 1)(2n + 2) 4n = (2n)! (p 2n) (p 1). Θεωρώντας αυτή τη σχέση mod p, ϑα έχουµε : (p 1)! 1 2 (2n)! ( 2n) ( 1)(mod p) (1 2 2n) 2 ( 1) 2n (mod p) = (2n)!( 1) n (mod p) Θέτοντας x = (2n)!( 1) n, χρησιµοποιώντας ότι από το Θέωρηµα του Wilson της Στοιχειώδους Θεωρίας Αριθµών 4 έχουµε (p 1)! 1(mod p), έπεται ότι : x 2 1(mod p), και εποµένως p x 2 + 1. Τότε 4 Υπενθυµίζουµε ότι το Θεώρηµα του Wilson πιστοποιεί ότι για έναν ϑετικό ακέραιο p > 1 ισχύει ότι : ο p είναι πρώτος (p 1)! 1(mod p)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι ΕΩ ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 451 εργαζόµενοι στην περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης Z[i], ϑα έχουµε p (x + i)(x i). Αν p x + i, τότε ϑα έχουµε p(a + bi) = x + i, για κάποιο a + bi Z[i], δηλαδή pa + pbi = x + i, απ όπου pb = 1 και αυτό είναι άτοπο διότι p > 2. Παρόµοια, p x i, τότε ϑα έχουµε p(c + di) = x i, για κάποιο c + di Z[i], δηλαδή pc + pdi = x i, απ όπου pd = 1 και αυτό είναι άτοπο διότι p > 2. Άρα το στοιχείο p δεν είναι πρώτο και εποµένως δεν είναι ανάγωγο. Αυτό σηµαίνει ότι υπάρχουν µηαντιστρέψιµα στοιχεία a + bi,c + di Z έτσι ώστε p = (a + bi)(c + di) και τότε χρησιµοποιώντας την Ευκλείδεια στάθµη δ: Z[i] N 0, δ(a + bi) = a 2 + b 2, έπεται ότι δ(p) = p 2 = δ ( (a + bi)(c + di) ) = δ(a + bi)δ(c + di) = (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) Άρα p p = (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ), απ όπου ϑα έχουµε ότι p = a 2 + b 2 = c 2 + d 2. Ασκηση 10.2.16. 1. Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει πρώτος αριθµός p της µορφής 4n + 3 ο οποίος ικανοποιεί τη γραµµική ισοτιµία x 2 1 mod p, δηλαδή ότι p x 2 + 1 για κάποιον ακέραιο x. 2. Να δειχθεί ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθµοί της µορφής 4n + 1. Λύση. 1. Υποθέτουµε ότι υπάρχει πρώτος p της µορφής 4n + 3 έτσι ώστε η ισοτιµία x 2 1mod p να έχει λύση, έστω x. Επειδή p = 4n + 3, ϑα έχουµε p 1 = 4n + 3 1 = 4n + 2 = 2(2n + 1) και εποµένως p 1 2 = 4n + 1. Τότε x 2 1mod p = (x 2 ) p 1 2 ( 1) p 1 2 mod p = x p 1 ( 1) 2n+1 mod p = x p 1 1mod p Προφανώς ϑα έχουµε (x, p) = 1 διότι διαφορετικά αν (x, p) = d > 1, τότε d p και άρα d = p. Τότε p x και άρα x 0mod p και άρα x 2 0mod p και επειδή από την υπόθεση x 2 1mod p έπεται ότι 0 1mod p δηλαδή p 1 το οποίο είναι άτοπο. Άρα (x, p) = 1 και τότε από το Θεώρηµα του Fermat από τη Στοιχειώδη Θεωρία Αριθµών 5, έχουµε x p 1 1mod p. Άρα ϑα έχουµε x p 1 1mod p και x p 1 1mod p, απ όπου 1 1mod p, δηλαδή p 2 και άρα p = 2. Αυτό είναι άτοπο διότι ο πρώτος p είναι περιττός. Άρα η ισοτιµία x 2 1mod p δεν έχει λύση. 2. Υποθέτουµε ότι υπάρχει πεπερασµένο πλήθος πρώτων αριθµών της µορφής 4n + 1, και έστω ότι όλοι οι πρώτοι αυτής της µορφής είναι οι : p 1, p 2,, p k. Θεωρούµε τον αριθµό A = (2p 1 p 2 p k ) 2 + 1 ο οποίος είναι της µορφής 4n + 1 διότι A = 4(p 1 p 2 p k ) 2 + 1. Προφανώς A > 1 και άρα ο A έχει έναν πρώτο διαιρέτη p. Οι πρώτοι διαιρέτες του αριθµού A είναι είτε το 2 είτε περιττοί της µορφής 4n + 1 και 4n +3. Προφανώς 2 A διότι ο A είναι περιττός. Αν υπάρχει πρώτος διαιρέτης p του A της µορφής 4n + 3, τότε A 0 mod p = (2p 1 p 2 p k ) 2 + 1 0 mod p = (2p 1 p 2 p k ) 2 1 mod p και άρα η ισοτιµία x 2 1 mod p έχει µια λύση, την x = 2p 1 p 2 p k, και αυτό είναι άτοπο από το µέρος 1. διότι υποθέσαµε ότι ο p είναι της µορφής 4n +3. Εποµένως όλοι οι πρώτοι διαιρέτες του A ϑα είναι της µορφής 4n + 1. Εστω p είνας πρώτος διαιρέτης του A ο οποίος ϑα είναι της µορφής 4n + 1, και άρα ϑα είναι κάποιος από τους p i, 1 i k, έστω ότι p = p i. Τότε προφανώς p = p i (2p 1 p 2 p k ) 2 και επειδή p A, έπεται ότι p A (2p 1 p 2 p k ) 2 = 1, δηλαδή p 1 και αυτό είναι άτοπο. Εποµένως το πλήθος των πρώτων αριθµών της µορφής 4n + 1 είναι άπειρο. 5 Υπενθυµίζουµε ότι το Θεώρηµα του Fermat πιστοποιεί ότι για έναν πρώτο p και για έναν ακέραιο a, ισχύει ότι : (a, p) = 1 = a p 1 1(mod p)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι ΕΩ ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 452 Ασκηση 10.2.17. Να προσδιορισθούν όλα τα πρώτα στοιχεία του δακτυλίου Z[i] των ακεραίων του Gauss. Λύση. Γνωρίζουµε από την Άσκηση 10.2.14 ότι αν z = a + bi είναι ένα πρώτο στοιχείο του Z[i], τότε ο ϑετικός ακέραιος zz = a 2 + b 2 είναι ένας πρώτος ακέραιος p. Οι πρώτοι ϑετικοί ακέραιοι είναι είτε το 2 είτε της µορφής 4n + 1 είτε της µορφής 4n + 3. 1. Υποθέτουµε ότι: p = 2. Τότε a 2 + b 2 = 2, απ όπου έπεται ότι : a = 1 και b = 1, είτε a = 1 και b = 1, είτε a = 1 και b = 1, είτε a = 1 και b = 1. Με άλλα λόγια z = 1 + i ή z = 1 i ή z = 1 + i ή z = 1 i δηλαδή z = 1 + i ή κάποιο από τα συντροφικά του στοιχεία z, i z, i z. 2. Υποθέτουµε ότι ο πρώτος p είναι της µορφής 4n+3. Τότε ο p είναι και πρώτο στοιχείο του Z[i]. Πράγµατι, αν το στοιχείο p δεν είναι πρώτο στον δακτύλιο Z[i], τότε ϑα έχουµε p = w 1 w 2, όπου τα στοιχεία w 1, w 2 Z[i] δεν είναι αντιστρέψιµα, και άρα δ(w 1 ) 1 δ(w 2 ), ϐλέπε την Άσκηση 10.2.9. Τότε p 2 = δ(p) = δ(w 1 w 2 ) = δ(w 1 )δ(w 2 ) στον δακτύλιο Z, και άρα αναγκαστικά ϑα έχουµε δ(w 1 ) = p = δ(w 2 ). Αν w 1 = k + li, τότε p = k 2 + l 2 και άρα ο πρώτος p είναι άθροισµα τετραγώνων δύο ακεραίων. Από την Άσκηση 10.2.15 έπεται ότι ο p ϑα είναι της µορφής 4n +1 και αυτό είναι άτοπο διότι ο p είναι πρώτος της µορφής 4n + 3. Εποµένως ο πρώτος ϑετικός ακέραιος p είναι πρώτο στοιχείο του Z[i]. 3. Υποθέτουµε ότι ο πρώτος ϑετικός ακέραιος p είναι της µορφής 4n + 1. Σύµφωνα µε την Άσκηση 10.2.14, τα στοιχεία z = a + bi και z = a bi είναι πρώτα στοιχεία του Z[i]. Τα στοιχεία a + bi και a bi δεν είναι συντροφικά διότι, επειδή τα αντιστρέψιµα στοιχεία του Z[i] είναι τα στοιχεία της οµάδας U(Z[i]) = { 1, 1,i, i }, ϑα έπρεπε να είχαµε είτε a + bi = (a + bi) = a bi είτε a + bi = i(a + bi) = b + i a είτε a + bi = i(a + bi) = b i a. Ισοδύναµα ϑα έπρεπε να είχαµε 2a + 2bi = 0 και άρα a = b = 0 το οποίο είναι άτοπο, είτε b = a = b και άρα a = b = 0 το οποίο είναι άτοπο, είτε a = b και άρα z = a + bi = a ai = a(1 i) και το οποίο και αυτό είναι άτοπο διότι διαφορετικά ϑα είχαµε p = a 2 + a 2 = 2a 2 και άρα 2 p, δηλαδή p = 2 και αυτό δεν ισχύει διότι ο πρώτος p είναι περιττός. Άρα τα πρώτα στοιχεία a + bi και a bi δεν είναι συντροφικά. Ετσι έχουµε p = a 2 + b 2 = (a + bi)(a bi), όπου τα στοιχεία a + bi και a bi είναι πρώτα και µησυντροφικά στοιχεία του Z[i]. Αν p = (c + di)(c di) όπου τα στοιχεία c + di και c di είναι πρώτα στοιχεία του Z[i], τότε επειδή ο δακτύλιος Z[i] είναι περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης, έπεται ότι υπάρχει αντιστρέψιµο στοιχείο u Z[i], και άρα u { 1, 1,i, i }, έτσι ώστε είτε c + di = u(a + bi) είτε c + di = u(a bi). Αν u = 1, ϑα έχουµε είτε c = a και d = b είτε c = a και b = d. Αν u = i, ϑα έχουµε είτε c = b και d = a είτε c = b και d = a. Αν u = i, ϑα έχουµε είτε c = b και d = a είτε c = a και d = a. Εποµένως c +di = (±)a+(±b)i, και άρα η παράσταση του p ως p = a 2 +b 2 = (a+bi)(a bi) είναι µοναδική µε ακρίβεια προσήµου και διάταξης των ακεραίων a,b. Εποµένως αν ο πρώτος p είναι της µορφής 4n + 1, τότε υπάρχουν ακριβώς δύο πρώτα µη-συντροφικά στοιχεία του Z[i], τα a + bi και a bi και τα οποία ικανοποιούν τη σχέση p = a 2 + b 2. Συνοψίζοντας : τα πρώτα στοιχεία του Z[i], µε ακρίβεια συντροφικών στοιχείων, είναι τα εξής : 1. Το στοιχείο 1 + i, 2. Ολοι οι πρώτοι ακέραιοι της µορφής 4k + 1, 3. Ολα τα στοιχεία της µορφής a + bi και a bi έτσι ώστε ο ϑετικός ακέραιος a 2 + b 2 είναι πρώτος της µορφής 4k + 1. Ασκηση 10.2.18. Να δειχθεί ότι για κάθε πρώτο αριθµό p, το ακόλουθο σύνολο { a Z (p) = b Q } p b είναι ένας υποδακτύλιος του Q ο οποίος είναι Ευκλείδεια περιοχή, και εποµένως είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι ΕΩ ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 453 Λύση. Εύκολα ϐλέπουµε ότι το σύνολο Z (p) είναι ένας υποδακτύλιος του Q και εποµένως είναι µια ακέραια περιοχή. Αν c b Z (p), τότε για τον αριθµητή c µπορούµε προφανώς να γράψουµε c = p t a, όπου t N 0 και a Z και p a. Ετσι από τώρα και στο εξής, τα στοιχεία του Z (p) µπορούν να γραφούν ως Ορίζουµε απεικόνιση p t a b, t N 0, a,b Z, b 0, και p a, p b δ: Z (p) \ { 0 } N 0, δ ( pt a ) = t b Εστω ότι x = pt a b και 0 y = ps c d είναι στοιχεία του Z (p), όπου a,b,c,d Z, b,d 0 και ο p δεν διαιρεί κανέναν από τους a,b,c,d. Αν t < s, τότε ϑέτουµε r = x και q = 0, και ϑα έχουµε x = q y +r και δ(x) = t < s = δ(y) = s. Αν t s, µπορούµε να ϑεωρήσουµε τον ϱητό αριθµό q = x pt a y = b p s c d = pt ad p s bc = pt s ad bc ο οποίος ανήκει στον δακτύλιο Z (p) διότι p bc αφού ο p είναι πρώτος και p b,c. Ετσι x = q y + r, όπου r = 0. Εποµένως η απεικόνιση δ είναι µια Ευκλείδεια στάθµη στην ακέραια περιοχή Z (p) και εποµένως ο δακτύλιος Z (p) είναι µια Ευκλείδεια περιοχή, και εποµένως είναι µια περιοχή κυρίων ιδεωδών. Ασκηση 10.2.19. Εστω R µια περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης και p R ένα στοιχείο της. Θεωρούµε το ιδεώδες (p, t) του δακτυλίου πολυωνύµων R[t] το οποίο παράγεται από το σταθερό πολυώνυµο p και το πολυώνυµο t. Να δειχθεί ότι υπάρχει ένας ισοµορφισµός δακτυλίων : Λύση. Ορίζουµε απεικόνιση R[t]/(p, t) f : R[t] R/(p), P(t) = = R/(p) m a k t k f (P(t)) = a 0 + (p) 1. Η απεικόνιση f είναι ένας επιµορφισµός δακτυλίων. Πράγµατι, ϑα έχουµε f (1) = 1 + (p), όπου 1 είναι το σταθερό πολυώνυµο 1 = 1 R R[t], και άρα η f στέλνει την µονάδα του R[t] στην µονάδα του R/(p). Αν P(t) = r a k t k και Q(t) = m b k t k είναι δύο πολυώνυµα του R[t], µπορούµε να υποθέσουµε χωρίς ϐλάβη της γενικότητας ότι r m και τότε µπορούµε να γράψουµε P(t) = m a k t k όπου a r +1 = = a m = 0. Τότε ϑα έχουµε f ( P(t) +Q(t) ) = f ( m m a k t k + b k t k) = f ( m (a k + b k )t k) = (a 0 + b 0 ) + (p) = = (a 0 + (p)) + (b 0 + (p)) = f (P(t)) + f (Q(t)) Παρόµοια, ϑέτοντας c k = k s=0 a s b k s, 0 k r + m, ϑα έχουµε : f ( P(t) Q(t) ) = f ( r a k t k m b k t k) = f ( r +m = (a 0 + (p))(b 0 + (p)) = f (P(t))f (Q(t)) c k t k) = c 0 + (p) = (a 0 b 0 ) + (p) = Ετσι η απεικόνιση f είναι ένας οµοµορφισµός δακτυλίων. Αν a+(p) R/(p), τότε ϑεωρούµε το σταθερό πολυώνυµο P(t) = a R[t] και τότε προφανώς ϑα έχουµε f (P(t)) = f (a) = a + (p) και εποµένως πράγµατι η απεικόνιση f είναι επιµορφισµός δακτυλίων.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι ΕΩ ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 454 2. Θα δείξουµε ότι: Ker(f ) = (p, t). Εστω P(t) = m a k t k (p, t). Υπενθυµίζουµε ότι (p, t) = (p) + (t) και άρα : (p, t) = (p) + (t) = { A(t) + B(t) R[t] A(t) (p) και B(t) (t) } = = { A(t) + B(t) R[t] A(t) = ps και B(t) = m a k t k, για κάποια s, a 1,, a m R } Αν P(t) := A(t) + B(t) = ps + m k=1 a k t k (p, t), τότε f (A(t) + B(t)) = ps + (p) = (p) = 0 R/(p) και άρα P(t) Ker(f ), δηλαδή (p, t) Ker(f ). Αντίστροφα, έστω P(t) = m a k t k ένα πολυώνυµο του R[t] το οποίο ανήκει στον πυρήνα Ker(f ) και εποµένως ϑα έχουµε : f (P(t)) = f ( m a k t k) = a 0 + (p) = 0 R/(p) = a 0 + (p) = (p) = a 0 (p) = b R : a 0 = pb Τότε P(t) = a 0 +a 1 t + +a m t m = pb +(a 1 +a 2 t + +a n t n 1 )t (p)+(t) = (p, t) και άρα Ker(f ) (p, t). Συνοψίζοντας, δείξαµε ότι Ker(f ) = (p, t) 3. Από το Πρώτο Θεώρηµα Ισοµορφισµών ακτυλίων, έπεται ότι ο επιµορφισµός f επάγει έναν ισοµορ- ϕισµό δακτυλίων = R[t]/(p, t) R/(p) k=1 Η επόµενη Άσκηση δείχνει ότι το Θεώρηµα 10.1.20 για περιοχές κυρίων ιδεωδών, ισχύει και στο γενικότερο πλαίσιο των περιοχών µονοσήµαντης ανάλυσης. Ασκηση 10.2.20. Εστω R µια περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης, και έστω 0 p R ένα µη-µηδενικό στοιχείο της : Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : 1. Το στοιχείο p είναι ανάγωγο. 2. Το ιδεώδες (p) είναι µεγιστοτικό. 3. Το ιδεώδες (p) είναι πρώτο. 4. Το στοιχείο p είναι πρώτο. Ιδιαίτερα κάθε µη-µηδενικό πρώτο ιδεώδες µιας περιοχής κυρίων ιδεωδών είναι µεγιστοτικό ιδεώδες. Λύση. 1. «1. 4.» Από το Θεώρηµα 10.1.25 προκύπτει ότι σε µια περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης, τα πρώτα και τα ανάγωγα στοιχεία ταυτίζονται. 2. «2. = 3.» Προκύπτει άµεσα διότι δε κάθε µεταθετικό δακτύλιο, κάθε µεγιστοτικό ιδεώδες είναι πρώτο. 3. «3. 4.» [Αυτή η ισοδυναµία ισχύει σε κάθε ακέραια περιοχή]. Εστω ότι το στοιχείο p είναι πρώτο και έστω ab (p). Τότε ab = pc για κάποιο c R και άρα p ab. Επειδή το στοιχείο p είναι πρώτο, ϑα έχουµε p a ή p b, δηλαδή a (p) ή b (p). Άρα το ιδεώδες (p) είναι πρώτο. Αντίστροφα, έστω ότι το κύριο ιδεώδες (p) είναι πρώτο, και έστω ότι a,b R είναι στοιχεία του R τέτοια ώστε : p ab. Τότε ϑα έχουµε ότι ab = pc (p) για κάποιο c R και τότε επειδή το ιδεώδες (p) είναι πρώτο, έπεται ότι είτε a (p) είτε b (p). Ισοδύναµα αυτό σηµαίνει ότι είτε a = pc για κάποιο c R είτε b = pd για κάποιο d R. ηλαδή είτε p a είτε p b.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι ΕΩ ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 455 4. «4. = 2.» Εστω ότι p είναι ένα πρώτο στοιχείο του R και έστω I R ένα ιδεώδες του R έτσι ώστε (p) I R Υποθέτουµε ότι (p) I και ϑα δείξουµε ότι I = R. Επειδή (p) I, υπάρχει στοιχείο x I \ (p). Επειδή σε µια περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης υπάρχει ο µέγιστος κοινός διαιρέτης δύο τυχόντων στοιχείων, έπεται ότι µπορούµε να ϑεωρήσουµε τον µέγιστο κοινό διαιρέτη d = (x, p). Από το Θεώρηµα 10.1.9 έπεται ότι υπάρχουν στοιχεία a,b R έτσι ώστε d = ax +pb. Επειδή d p και το στοιχείο p είναι πρώτο, έπεται ότι το στειχείο d είναι, µε ακρίβεια συντροφικότητας, είτε αντιστρέψιµο είτε της µορφής d = up, όπου το στοιχείο u R είναι αντιστρέψιµο. Αν d = up, τότε επειδή έχουµε και d x, έπεται ότι x = dc για κάποιο c R και άρα ϑα έχουµε x = dc = puc (p) το οποίο είναι άτοπο. Εποµένως η δεύτερη περίπτωση δεν εµφανίζεται και άρα το στοιχείο d είναι αντιστρέψιµο. Τότε επειδή p, x I και το I είναι ιδεώδες, από τη σχέση d = ax + py έπεται ότι d I και επειδή το στοιχείο d είναι αντιστρέψιµο, ϑα έχουµε I = R. Άρα το ιδεώδες (p) είναι µεγιστοτικό. Ασκηση 10.2.21. Εστω R µια περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης και p R \{0} ένα µη-µηδενικό στοιχείο της. Θεωρούµε το ιδεώδες (p, t) του δακτυλίου πολυωνύµων R[t] το οποίο παράγεται από το σταθερό πολυώνυµο p και το πολυώνυµο t. Να δειχθεί ότι : το ιδεώδες (p, t) είναι πρώτο το ιδεώδες (p, t) είναι µεγιστοτικό το στοιχείο p είναι πρώτο Λύση. Από την Άσκηση 10.2.19 έχουµε έναν ισοµορφισµό δακτυλίων R[t]/(p, t) = R/(p) Τότε το ιδεώδες (p, t) του δακτυλίου R[t] είναι πρώτο αν και µόνον αν ο δακτύλιος πηλίκο R[t]/(p, t) είναι ακέραια περιοχή ή ισοδύναµα αν και µόνον αν ο δακύλιος R/(p) είναι ακέραια περιοχή, και παρόµοια το ιδεώδες (p, t) του R[t] είναι µεγιστοτικό αν και µόνον αν ο δακτύλιος πηλίκο R[t]/(p, t) είναι σώµα ή ισοδύναµα αν και µόνον αν ο δακτύλιος R/(p) είναι σώµα. Το Ϲητούµενο τώρα προκύπτει µε χρήση της Άσκησης 10.2.20 σύµφωνα µε την οποία ένα στοιχείο p σε µια περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης R, είναι πρώτο αν και µόνον αν το στοιχείο p είναι ανάγωγο αν και µόνον αν το ιδεώδες (p) είναι πρώτο αν και µόνον αν το ιδεώδες (p) είναι µεγιστοτικό. Ασκηση 10.2.22. Θεωρούµε ένα σώµα K και έστω K[x, y] ο δακτύλιος πολυωνύµων στις δύο µεταβλητές. Αν P(x) K[x] K[x, y], να δειχθεί ότι υπάρχει ένας ισοµορφισµός δακτυλίων K[x, y]/(p(x), y) = K[x]/(P(x)) Εποµένως το ιδεώδες (P(x), y) είναι πρώτο αν και µόνον αν είναι µεγιστοτικό αν και µόνον αν το πολυώνυµο P(x) είναι ανάγωγο. Ως εφαρµογή να δειχθούν τα εξής : 1. R[x, y]/(x 2 + 1, y) = C. 2. Ο δακτύλιος Z[x, y]/(x n p, y), όπου p είναι πρώτος ϑετικός ακέραιος και n 1, είναι σώµα. Λύση. Θέτουµε R = K[x] ο οποίος είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών και άρα είναι περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης. Τότε R[y] = K[x, y], και τότε από την Άσκηση 10.2.19 έπεται ότι K[x, y]/(p(x), y) = R[y]/(P(x), y) = R/(P(x)) = K[x]/(P(x)) Από την Άσκηση 10.2.21, έπεται το Ϲητούµενο : το ιδεώδες (P(x), y) είναι πρώτο αν και µόνον αν είναι µεγιστοτικό αν και µόνον αν το πολυώνυµο P(x) είναι ανάγωγο.