Όταν η s n δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει.

Σχετικά έγγραφα
ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. v. Σε αυτή την περίπτωση το lim v

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Ορισμός 1. Μια 1 1 (ένα προς ένα) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο X του, δηλαδή μία 1 1 συνάρτηση

n sin 1 n. 2 n n+1 6 n. = 1. = 1 2, = 13 4.

Μερικές φορές δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την τιμή του άπειρου αθροίσματος.

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι ( )

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

Ακολουθίες & Σειρές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ακολουθίες, Σειρές, Δυναμοσειρές. τεχνικές.

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)

Ακολουθίες & Σειρές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ακολουθίες, Σειρές, Δυναμοσειρές. τεχνικές.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Απειροσ τικός Λογισμός ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών

Σειρές Taylor και MacLaurin

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)

Σειρές πραγματικών αριθμών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

Κεφάλαιο 12. Σειρές Ορισμός και Παραδείγματα Ορισμός

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

AkoloujÐec sunart sewn A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις


ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιμής) Έστω f: [α, β] R συνεχής και παραγωγίσιμη στο (α, β). Τότε υπάρχει ξ (α, β)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Σηµειώσεις στις σειρές

ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

Περίληψη μαθημάτων Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Με N θα συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών, δηλ. N = {1, 2, 3, 4, }.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα.

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. ln = Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΚΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

Λύσεις Διαγωνισμάτος 1 Ενότητα: Ακολουθίες-Σειρές

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο?

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

sup(a + B) = sup A + sup B inf(a + B) = inf A + inf B.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. z x y 2xyi. Re z x y. Θα δείξουμε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει ότι. z z zz. zz zz z z 1 0 z z 1 (1)

Μαθηματική Ανάλυση Ι

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x β. τo σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε x Α. = f (x)

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 2

Θέμα 1. που. . Δηλαδή ο υπόχωρος V είναι το. Απάντηση 1α) ii)παρατηρούμε οτι

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ Οι συντεταγμένες ενός σημείου Απόλυτη τιμή...14

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΤΡΙΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στο μάθημα Ανάλυση Ι & Εφαρμογές 26 Φεβρουαρίου 2015

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

lim y < inf B + ε = x = +. f(x) =

Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Eisagwg sthn Anˆlush II

1. Δύο συναρτήσεις f,g είναι ίσες μόνο όταν έχουν ίδιο πεδίο ορισμού και ίδιο τύπο. Η πρόταση είναι Λάθος. Αντιπαράδειγμα:

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...23 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΘΕΙΕΣ...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...43

1.6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ x

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Προφανώς, μια συνάρτηση μπορεί να μην είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. Όμως, μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα μιας άρτιας fe

1.6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ x

Ερωτήσεις-Απαντήσεις Θεωρίας

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων

f(x) f(c) x 1 c x 2 c

ΘΕΩΡΙΑ 1ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΩΔΕΚΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1,

... ονοµάζεται ακολουθία µερικών αθροισµάτων. Το όριό της, καθώς το n τείνει στο άπειρο, n n n 1

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση x 0

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

Ολοκληρωτικός Λογισμός

ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΕΥΤΕΡΑ ΑΙΘ.ΖΑ

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας

Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Transcript:

Όταν η s δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει.

Παρατήρηση: Το αντίστροφο του προηγουμένου θεωρήματος δεν ισχύει. Παράδειγμα η σειρά με νιοστό όρο α = +-. Τότε lim α =0. Όμως s =α +α + +α = - + 3- +...+ +- = +-. H τελευταία έχει όριο το. Παράδειγμα. Να εξετάσετε αν η σειρά + συγκλίνει. 3+ Απάντηση. Παρατηρούμε ότι το όριο της ακολουθίας = + lim + = lim 3+ = 3 0, άρα η σειρά αποκλίνει. 3+ του γενικού όρου της σειράς, είναι Ορισμός: Θα λέμε ότι η σειρά συγκλίνει απολύτως αν η σειρά συγκλίνει. Θεώρημα: Αν η σειρά συγκλίνει απολύτως τότε είναι συγκλίνουσα. Αν οι όροι μιας σειράς είναι μη αρνητικοί αριθμοί τότε ισχύει το παρακάτω θεώρημα: Αν παραλείψουμε ένα πεπερασμένο πλήθος όρων μιας σειράς, τότε η σειρά που προκύπτει έχει την ίδια συμπεριφορά ως προς τη σύγκλιση με την αρχική, ωστόσο το άθροισμά της θα είναι διαφορετικό. Υπόλοιπο (remider) σειράς (R ). Ας ξεκινήσουμε με τη σειρά και ας υποθέσουμε ότι η σειρά συγκλίνει στο s. Αυτό σημαίνει ότι αν πάρουμε τα μερικά αθροίσματα s, θα σχηματίσουν μια συγκλίνουσα ακολουθία με όριο το s. Αυτό

σημαίνει ότι τα μερικά αθροίσματα s πλησιάζουν το s όσο κοντά θέλουμε παίρνοντας το αρκετά μεγάλο. Με άλλα λόγια, αν πάρουμε το αρκετά μεγάλο, τότε μπορούμε να πούμε ότι, s s. Αυτή είναι μια μέθοδος για τον υπολογισμό του ορίου της σειράς. Μπορούμε να πάρουμε κάποιο μερικό άθροισμα και με αυτό να εκτιμήσουμε την τιμή της σειράς. Εγείρονται δύο ερωτήματα: Πρώτον, το πόσο καλή είναι η εκτίμηση; Δεύτερον, υπάρχει τρόπος να γίνει η εκτίμηση καλύτερη; Ας ξεκινήσουμε με μια γενική συζήτηση σχετικά με το πώς θα καθορίσουμε πόσο καλή είναι η εκτίμηση. Ας ξεκινήσουμε με όλη την σειρά και να απομακρύνουν τους πρώτους όρους (Το εδώ είναι σταθερό). Δηλαδή = + i () i= i=+ [ή + ν =( + )+( + + + ν ) υποθέτοντας ότι υπάρχουν τα όρια όταν το ν τείνει στο άπειρο). Τότε s=s +R όπου η σειρά στα δεξιά συμβολίζεται με R και καλείται υπόλοιπο. Ισχύει () R =s-s. Επομένως το υπόλοιπο μας λέει για την διαφορά ή το λάθος μεταξύ της ακριβούς τιμής της σειράς και του μερικού αθροίσματος που χρησιμοποιούμε για την εκτίμηση της σειράς. Φυσικά δεν μπορούμε α υπολογίσουμε την ακριβή τιμή του υπολοίπου γιατί δεν γνωρίζουμε την ακριβή τιμή της σειράς. Όμως υπάρχουν θεωρήματα τα οποία με προϋποθέσεις μας βοηθούν να εκτιμήσουμε το υπόλοιπο. Παράδειγμα: Δίνεται η σειρά ν. ν= Τότε s 3 = + + 4 8 και R 3= + +... 6 3. s = + +... και τo -στό υπόλοιπο είναι το R = + +... 4 8 + + 3

Έτσι για =4 έχουμε s 4 = + + + = 5 4 8 6 6, ν = και R 4= 4+ν = ν= ν= 6. Πρόταση: Αν η σειρά συγκλίνει σε ένα αριθμό s, τότε και η σειρά c όπου c σταθερός πραγματικός αριθμός συγκλίνει και μάλιστα στον αριθμό cs. Πρόταση: Αν οι σειρές και b συγκλίνουν στους αριθμούς s και r αντιστοίχως, τότε και η σειρά ( + b ) συγκλίνει και μάλιστα στον αριθμό s+r. Κριτήρια σύγκλισης (για σειρές με μη αρνητικούς όρους) o : Το Κριτήριο της Σύγκρισης (compriso test) Έστω ότι για τις ακολουθίες, b ισχύει 0 b. (α) Αν η σειρά (β) Αν η σειρά b συγκλίνει, τότε και η σειρά αποκλίνει, τότε και η σειρά b συγκλίνει. αποκλίνει. Παράδειγμα: Να εξετάσετε αν η σειρά συγκλίνει. ++5 Απάντηση. Παρατηρούμε ότι ++ < + = +. Όμως, έχουμε ήδη δει ότι η σειρά συγκλίνει στον αριθμό (σελ., παρ. 3). Αρα από το κριτήριο σύγκρισης συμπεραίνουμε + ότι η σειρά συγκλίνει. ++5 ο : Το Κριτήριο του Λόγου Έστω η σειρά με 0. 4

+ (α) Αν το lim =<, τότε η σειρά συγκλίνει. + (β) Αν το lim => τότε η σειρά αποκλίνει. + (γ) Αν το lim =, τότε δεν έχουμε κανένα συμπέρασμα για τη σύγκλιση της σειράς. Παράδειγμα: Να εξετάσετε αν η σειρά! συγκλίνει. Λύση. Χρησιμοποιώντας το κριτήριο του λόγου έχουμε: lim +! = lim =0<, άρα η σειρά συγκλίνει. +! 3 ο : Το Κριτήριο του Ολοκληρώματος. Έστω f(x) μια μη αρνητική, συνεχής και φθίνουσα συνάρτηση με πεδίο ορισμού το διάστημα [, +). (α) Το ολοκλήρωμα (β) Το ολοκλήρωμα f(x)dx συγκλίνει, αν και μόνο αν η σειρά f(x)dx αποκλίνει, αν και μόνο αν η σειρά f() συγκλίνει. f() αποκλίνει. Προσοχή! Αν το ολοκλήρωμα και η σειρά συγκλίνουν δεν σημαίνει, ότι συγκλίνουν απαραίτητα στον ίδιο αριθμό. Παράδειγμα: Να εξετάσετε αν η σειρά p με p> συγκλίνει. Απάντηση. Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) = x p διάστημα [, )., p>. H συνάρτηση αυτή είναι θετική και φθίνουσα στο 5

Ισχύει dx x = p t t lim p dx = lim - p- x t p- t = p- Άρα το γενικευμένο ολοκλήρωμα συγκλίνει και επομένως και η αντίστοιχη σειρά. Εναλλάσσουσες σειρές Μια σειρά στην οποία οι διαδοχικοί όροι της αλλάζουν πρόσημο λέγεται εναλλάσσουσα. Σε μια εναλλάσουσα σειρά ο γενικός της όρος θα έχει την μορφή =(-) b ή =(-) + b, όπου b 0. Κριτήριο Εναλλασσουσών σειρών. Αν σε μία εναλλάσσουσα σειρά ισχύει + και η είναι μια μηδενική ακολουθία τότε η σειρά συγκλίνει. Παράδειγμα: Η σειρά είναι συγκλίνουσα. Απάντηση. Πράγματι η σειρά αυτή είναι εναλλάσσσουσα και η ακολουθία είναι φθίνουσα και τείνει στο 0, συνεπώς η σειρά συγκλίνει. Παρατηρείστε ότι η σειρά αυτή δε συγκλίνει απόλυτα αφού η αρμονική σειρά δεν συγκλίνει. Δυναμοσειρές Έστω, N μια ακολουθία πραγματικών αριθμών. Μια σειρά της μορφής ( x-c) λέγεται =0 δυναμοσειρά με κέντρο το c και συντελεστές. Παρατηρήσεις: ) Μια δυναμοσειρά είναι πιθανόν να συγκλίνει για κάποιες τιμές του x, ενώ να αποκλίνει για άλλες. Για κάθε x που συγκλίνει ορίζεται μια συνάρτηση f(x). 6

) Όλες οι δυναμοσειρές με κέντρο το c συγκλίνουν για x=c. (θεωρούμε ότι 0 0 =) Παράδειγμα: Ισχύει x = =0 -x για x <. (γεωμετρική σειρά παρ.4 σελ.). Σε κάθε δυναμοσειρά ενδιαφέρον έχει το σύνολο των πραγματικών αριθμών x για τους οποίους η σειρά συγκλίνει. Ισχύει σχετικά η παρακάτω πρόταση: Πρόταση: Το σύνολο σύγκλισης μιας δυναμοσειράς είναι το σύνολο {xr : x-c <r}, όπου r - = lim +. Αν x-c >r η σειρά αποκλίνει. Αν x-c =r δεν μπορούμε εν γένει να αποφανθούμε. To r ονομάζεται ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς. Παράδειγμα: Η δυναμοσειρά έχει ακτίνα σύγκλισης r=, δηλαδή συγκλίνει σε όλο το R. Πράγματι + = + 0, άρα r=. Ισχύει το παρακάτω θεώρημα: Θεώρημα: Έστω f(x)= =0 ( x-c) - α) f (x)= ( x-c) = ( + +) ( x-c). = για κάθε x στο διάστημα σύγκλισής της. Τότε ισχύει: =0 + x-c - x-c β) f(x)dx = +λ= +λ, όπου λ είναι μια σταθερά. + =0 = 7

Σειρές Tylor-Mcluri Η σειρά Τέιλορ (Tylor) μίας πραγματικής συνάρτησης f(x) η οποία είναι απείρως παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα ενός πραγματικού αριθμού α είναι η δυναμοσειρά: f()+ f ()! (x-)+ f ()! (x-) + f () 3! (x-) 3 + ή σε συμπαγή μορφή =0 f! x- Η παράγωγος τάξης μηδέν της f ορίζεται να είναι η ίδια η f. Στην περίπτωση που =0, η σειρά ονομάζεται και σειρά Mcluri. Λέμε ότι η f αναπτύσσεται σε σειρά Tylor ή Mcluri. Είναι κοινή πρακτική να χρησιμοποιείται πεπερασμένος αριθμός από τους όρους της σειράς Τέιλορ για να προσεγγίσουμε μια συνάρτηση. Η εκθετική συνάρτηση (μπλε), και το άθροισμα των πρώτων + (=0,,,3,4,5,6,7) όρων της οικείας σειράς Τέιλορ στο 0 (κόκκινο). 8

Μερικές σημαντικές σειρές Mcluri Στη συνέχεια δίνουμε μερικές εξαιρετικά χρήσιμες σειρές μαζί με τα διαστήματα σύγκλισής τους. Οι σειρές αυτές θα αποτελέσουν το πρότυπο για τον υπολογισμό συνθετότερων μορφών τέτοιων συναρτήσεων. e x = + x + x + x3 + + x + x R! 3!! l( + x) = x x + x3 x + ( )+ 3 + < x l( x) = x x x3 3 x x < συνx = cosx = x + x4! 4! x + + ( ) + x R ()! ημx = six = x x3 3! + x5 5! + x + ( ) + x R ( + )! x = + x + x + x 3 + + x + x < +x = x + x x 3 + + ( ) x + x < 9