1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv. Ποιο σύστημα λέγεται γραμμικό και τι ονομάζεται λύση του; v. Πότε δύο συστήματα λέγονται ισοδύναμα; vi. Τι ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός των εξισώσεων και ; vii. Ποιες είναι οι βασικές μέθοδοι επίλυσης ενός συστήματος; viii. Τι γνωρίζεται για το πλήθος των λύσεων ενός συστήματος; y i. Να λύσετε και διερευνήσετε το σύστημα. y y. Στο σύστημα τι ονομάζεται ορίζουσα του συστήματος και ποιες είναι οι ορίζουσες y D και D y ; y i. Τι γνωρίζεται για τις λύσεις του συστήματος με τη χρήση των οριζουσών; y ii. Ποια εξίσωση ονομάζεται γραμμική εξίσωση με τρείς αγνώστους; Τι ονομάζεται λύση της;. Να λύσετε τα συστήματα: y α) y y δ) y y β) 5y 5 y y ε) y 8 y 8 y y στ) y 7. Να λύσετε το σύστημα: y. y. Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ, να βρείτε τα κοινά σημεία των ευθειών: : y : y.. Για ποια τιμή του λ, το σύστημα 5y 7 ; y y 5 έχει λύση η οποία επαληθεύει την εξίσωση

5. Ένα ξενοδοχείο έχει 6 δωμάτια, άλλα δίκλινα και άλλα τρίκλινα και συνολικά 68 κρεβάτια. Πόσα είναι τα δίκλινα και πόσα τα τρίκλινα δωμάτια; 6. Να βρεθεί κλάσμα τέτοια ώστε αν στους δύο όρους του προσθέσουμε το προκύπτει ο αριθμός ενώ αν από τους όρους του αφαιρέσουμε προκύπτει ο αριθμός. Μη γραμμικά συστήματα 7. Να λύσετε τα συστήματα: y y α) y β) y y 0 y y 6 y y 5y 0 y 8. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού k, για τις οποίες η ευθεία y k τέμνει την παραβολή y σε δύο σημεία. ο κεφάλαιο: Ιδιότητες συναρτήσεων Μονοτονία Ακρότατα Συμμετρίες συνάρτησης i. Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; ii. Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; iii. Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ; f, 0 ; iv. Ποια είναι η μονοτονία της συνάρτησης v. Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει ελάχιστο στο 0 A; Πως ονομάζεται το 0 ; vi. Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει μέγιστο στο 0 A;Πως ονομάζεται το 0 ; vii. Πότε μια συνάρτηση λέγεται άρτια; Τι γνωρίζεται για τη γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης; viii. Πότε μια συνάρτηση λέγεται περιττή; Τι γνωρίζεται για τη γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης; 9. Να αποδείξετε ότι: α) Η συνάρτηση f 6 0 παρουσιάζει ελάχιστο για. g β) Η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο για. 0. Να βρείτε, αν υπάρχει το ελάχιστο των συναρτήσεων: 6 α) f 8 9 β) g h. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες περιττές: f 5 f f α) β)

5 δ) f ε) f στ) f. Δίνεται η συνάρτηση f,. 7, 5 6 α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία σε καθένα από τα διαστήματα,,. β) Να βρείτε τις τιμές f0 και f. Να εξετάσετε αν η f είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της. και. Δίνεται συνάρτηση f γνησίως φθίνουσα στο. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: f f 0 α) f f β). Αν μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής,, 0, είναι περιττή, να αποδείξετε ότι η γραφική της παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Κατακόρυφη Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης i. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f c, c 0 ποια σχέση έχει με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ; ii. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f c, c 0 ποια σχέση έχει με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ; iii. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f c, c 0 ποια σχέση έχει με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ; iv. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f c, c 0 ποια σχέση έχει με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ; 5. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: f g h α) β) δ) ο Κεφάλαιο: Τριγωνομετρία Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας i. Πως ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου; ii. Πως ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω, με 0 60 ; iii. Πως ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών που είναι μεγαλύτερες από 60 καθώς και οι αρνητικές γωνίες; iv. Για κάθε, να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: 60 60 60 60

v. Ποιος κύκλος λέγεται τριγωνομετρικός; vi. Πως ορίζεται το συνημίτονο και το ημίτονο μιας γωνίας ω στον τριγωνομετρικό κύκλο; vii. Ποιο είναι το διάστημα μεταβολών του, ; viii. Ποιο είναι το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών στα τέσσερα τεταρτημόρια; A,0 είναι ο άξονας i. Να εξηγήσετε γιατί η εφαπτομένη του τριγωνομετρικού κύκλου στο σημείο των εφαπτομένων.. Ποιο τόξο ονομάζεται τόξο ενός ακτινίου ή rad; Τι είναι το ακτίνιο ή rad; i. Αν μια γωνία είναι και α ακτίνια, τότε ποιος τύπος συνδέει το με το α; ii. Να γράψετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών 0,5,60, καθώς και τα ακτίνια αυτών των γωνιών. 6. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας: α) 80 β) 90 980 δ) 600 7. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει γωνία χ για την οποία να ισχύει:,. Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες i. Να αποδείξετε ότι για κάθε γωνία ω ισχύει: ii. Να αποδείξετε ότι:, και iii. Να αποδείξετε ότι και. 8. Αν και, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας rad. 5 9. Αν και, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας rad. 0. Να αποδείξετε ότι: α) β). Αν α) β), να υπολογίσετε ως συνάρτηση του α τις παραστάσεις: δ) Αναγωγή στο ο τεταρτημόριο i. Τι γνωρίζεται για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των αντίθετων γωνιών; ii. Τι γνωρίζεται για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των παραπληρωματικών γωνιών (άθροισμα 80 ); iii. Τι γνωρίζεται για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών που διαφέρουν κατά 80 ;

iv. Τι γνωρίζεται για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών με άθροισμα 90 ; (συμπληρωματικές γωνίες). Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας: α) 00 β) 850 87 δ) 6. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι: α) β) 0 A B. Να αποδείξετε ότι: 5 7 5 7 5 7 5 7 5. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 6. Αν για τις οξείες γωνίες Β και Γ τριγώνου ΑΒΓ ισχύει ότι αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. 95 0 95 0 0 95 και Τριγωνομετρικές συναρτήσεις i. Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται περιοδική; f, g ii. Ποια είναι η περίοδος των συναρτήσεων και h iii. Ποια είναι τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της συνάρτησης f μιας περιόδου; Να χαράξετε τη γραφική της παράσταση. iv. Ποια είναι τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της συνάρτησης f μιας περιόδου; Να χαράξετε τη γραφική της παράσταση. f v. Ποια είναι τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης 5 ;., να σε διάστημα σε διάστημα σε διάστημα μιας περιόδου; Ποιες ευθείες λέγονται κατακόρυφες ασύμπτωτες της; Να χαράξετε τη γραφική της παράσταση. f, g vi. Ποια είναι τα ακρότατα και ποια η περίοδος των συναρτήσεων με, 0; 7. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f, g, h. 8. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f, g, h. 9. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: 5

f, g, h. 0. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f, g, h. 7 g. Δίνεται η συνάρτηση: α) Να αποδείξετε ότι g. β) Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά την συνάρτηση g, όταν 0. Να βρείτε πόσες λύσεις έχει η εξίσωση g όταν 0 h.. Δίνεται η συνάρτηση: h α) Να αποδείξετε ότι β) Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά την συνάρτηση h, όταν 0. Να βρείτε πόσες λύσεις έχει η εξίσωση h όταν 0. Η παλίρροια σε μια θαλάσσια περιοχή περιγράφεται κατά προσέγγιση με τη συνάρτηση y t, όπου y το ύψος της στάθμης των υδάτων σε μέτρα και t ο χρόνος σε ώρες. 6 α) Να βρείτε την υψομετρική διαφορά ανάμεσα στην ψηλότερη πλημμυρίδα και τη χαμηλότερη άμπωτη. β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης για 0 t. Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις i. Ποιες είναι οι λύσεις της εξίσωσης ; ii. Ποιες είναι οι λύσεις της εξίσωσης ; iii. Ποιες είναι οι λύσεις της εξίσωσης και ;. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 0 β) δ) στ) 0 ζ) η) θ) ε) ι) 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 0 β) t t δ) ε) 5 6. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) β) 6 6

δ) 6 στ) 6 ε) ζ) η) 0 6 7. Δίνεται η εξίσωση: 0 α) Να λύσετε την εξίσωση. β) Ποιες από τις λύσεις της παραπάνω εξίσωσης ανήκουν στο διάστημα 0, ; Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών i. Να αποδείξετε ότι ii. Να αποδείξετε ότι iii. Να αποδείξετε ότι iv. Να αποδείξετε ότι v. Να αποδείξετε ότι vi. Να αποδείξετε ότι vii. Να γράψετε τους τύπους που συνδέουν τα και με τα και. 8. Να αποδείξετε ότι: α) β) 0 9. Αν 0, να αποδείξετε ότι. 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 6 β). Αν, να αποδείξετε ότι i. Να αποδείξετε ότι. Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας α ii. Να αποδείξετε ότι. iii. Να αποδείξετε ότι. 7

iv. Να αποδείξετε ότι,,. Να αποδείξετε ότι: α) β). Να υπολογίσετε την, αν και.. Να αποδείξετε ότι: α) β) 5. Αν 5 0 και ημ > 0 να υπολογιστούν το ημ και το συν. 6. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 0 β) 0 β) 0 δ) 0 7. Δίνονται οι συναρτήσεις f και g 8,, 0. Αν οι συναρτήσεις f,g έχουν την ίδια μέγιστη τιμή και την ίδια περίοδο, τότε: α) να αποδείξετε ότι. β) Να βρείτε τη τιμή της παράστασης f g Να λύσετε την εξίσωση f g στο διάστημα,. 8. Έστω η συνάρτηση f, όπου α και β είναι πραγματικοί αριθμοί. α) Αν η μέγιστη τιμή της f είναι και η περίοδός της είναι, να αποδείξετε ότι και. β) Για τις τιμές και 9. Η συνάρτηση f σημείο,. Γενικές ασκήσεις τριγωνομετρίας,να λύσετε την εξίσωση f. έχει περίοδο π και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το α) Να βρείτε τα ρ,ω. β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f στο διάστημα 0,. δ) Να λύσετε την εξίσωση f f 6

50. Δίνεται η συνάρτηση: f συν 0. 7 5 α) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f. β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. Να αποδείξετε ότι είναι περιοδική με περίοδο. δ) Να λύσετε την εξίσωση f 5. Έστω η συνάρτηση : f. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή. f Να λύσετε την εξίσωση : 5. Δίνεται η παράσταση: f, α) Να παραγοντοποιήσετε την f. f 0,. β) Να αποδείξετε ότι Να βρείτε τις τιμές του χ για τις οποίες f 0. δ) Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια. ε) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιοδική με περίοδο π. στ) Να αποδείξετε ότι η f έχει μέγιστο το. ο Κεφάλαιο: Πολυώνυμα Πολυωνυμικές εξισώσεις Πολυώνυμα i. Τι ονομάζεται μονώνυμο του ; ii. Τι ονομάζεται πολυώνυμο του ; iii. Ποιο πολυώνυμο λέγεται σταθερό και ποιο μηδενικό; iv. Πότε τα πολυώνυμα... και είναι ίσα για κάθε ; v. Ποιος είναι ο βαθμός του πολυωνύμου 0 vi. Τι ονομάζεται αριθμητική τιμή του πολυωνύμου... με, 0 0..., 0 P για ; Πότε το ρ λέγεται ρίζα του πολυωνύμου; vii. Ποιος είναι ο βαθμός του αθροίσματος και του γινομένου δύο μη μηδενικών πολυωνύμων; 5. Να βρείτε για ποιες τιμές του, το πολυώνυμο P είναι το μηδενικό πολυώνυμο. 9

5. Να βρείτε για ποιες τιμές του τα πολυώνυμα Q είναι ίσα. P και 55. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς, για τους οποίους το πολυώνυμο P 6 έχει ρίζα το και η τιμή του για είναι. 56. Να βρείτε πολυώνυμο P, για το οποίο ισχύει: Διαίρεση πολυωνύμων P 9. i. Ποια είναι η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύμου με το πολυώνυμο διαιρεί ή είναι παράγοντας του ; ii. Πότε το πολυώνυμο iii. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου τιμή του πολυωνύμου για, δηλαδή iv. Να αποδείξετε ότι ένα πολυώνυμο του P, δηλαδή αν και μόνο αν P. ; P με το είναι ίσο με την P έχει παράγοντα το αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα P 0. 57. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης πολυωνύμου P με το είναι 8 και με το είναι 7, να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης P :. 58. Να βρείτε τις τιμές του k, για τις οποίες το g k k. είναι παράγοντας του 59. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner μόνο, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο P 6 5 και να βρείτε το πηλίκο. διαιρείται με το 60. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε το πολυώνυμο να έχει για παράγοντα το P 0. Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις i. Ποια εξίσωση λέγεται πολυωνυμική εξίσωση ν βαθμού; Πότε ο αριθμός ρ είναι ρίζα της; ii. Έστω η πολυωνυμική εξίσωση... 0 0 με ακέραιους συντελεστές. Να αποδείξετε ότι αν ο ακέραιος 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου 0. 6. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 9 8 0 β) 6. Να λύσετε τις ανισώσεις: 6 0 6 9 8 0 0

α) 5 6 0 9 0 β) 6 0 0 δ) 6 0 6. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f 5 βρίσκεται κάτω από τον άξονα. 6. Να βρείτε για ποιες τιμές των, τους και P 6 έχει παράγοντες το P 0.. Στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 65. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) β) 0 0 66. Να λύσετε τις ανισώσεις: α) 0 β) 5 Γενικές ασκήσεις στα πολυώνυμα 67. Έστω Ρ() πολυώνυμο ου βαθμού, το οποίο διαιρείται με το οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με. α) Να αποδείξετε ότι P. β) Να λύσετε την ανίσωση 68. Δίνεται το πολυώνυμο f,. α) Να αποδείξετε ότι το είναι παράγοντας του διαίρεσης του f με το., έχει ρίζα το 0 και του f και να βρείτε το πηλίκο της β) Να αποδείξετε ότι το είναι παράγοντας του και να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του με το. Να βρείτε τα διαστήματα, στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα. k k,k, 69. Δίνεται το πολυώνυμο α) Αν 7 β) Να γίνει η διαίρεση του και, να αποδείξετε ότι k 6και 5. P, για k 6και 5, με το πολυώνυμο και να γραφεί το P με την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης. Να λυθεί η ανίσωση P 7 για k 6και 5. 70. Δίνεται το πολυώνυμο 6 6. α) Να βρείτε την αριθμητική τιμή του πολυωνύμου P για. β) Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του P με το.

Να λύσετε την ανίσωση P 0. 7. Δίνεται το πολυώνυμο P 8 5 8 6,α. α) Να γίνει η διαίρεση του P δια του και να γράψετε τη σχετική ταυτότητα. β) Να βρείτε τη τιμή του α, ώστε η παραπάνω διαίρεση να είναι τέλεια. Για P 0 καθώς και τα διαστήματα στα οποία, να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης P είναι κάτω από τον άξονα. 5ο Κεφάλαιο: Εκθετική και Λογαριθμική συνάρτηση Εκθετική συνάρτηση i. Πως ορίζονται οι δυνάμεις με ρητό εκθέτη; ii. Ποιες είναι οι ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη πραγματικό αριθμό. iii. Ποια συνάρτηση λέγεται εκθετική με βάση α; f όταν και όταν 0. iv. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης v. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού, το σύνολο τιμών και η μονοτονία της f με ; vi. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού, το σύνολο τιμών και η μονοτονία της f με 0 ; vii. Τι γνωρίζετε για τον αριθμό e; 7. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: f α) f και g β) f, και f f, f και f δ) f e, f, f e και f e 7. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ορίζεται στο η συνάρτηση f ποιες από αυτές τις τιμές η συνάρτηση είναι: α) γνησίως φθίνουσα β) γνησίως αύξουσα 7. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 6 β) 7 9 δ) 5 7 ε) 5 0 στ) ζ) 5 5. Για 75. Να λύσετε τις ανισώσεις: 5 6 α) 5 β) 76. Να λύσετε τα συστήματα: 0 00 00 0

α) 8 5 5 5 y y y β) y y 7 e e e y e : e y Λογάριθμοι i. Να δώσετε τον ορισμό του λογάριθμου θ με βάση το α. ii. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: log log log log iii. Να γράψετε τις ιδιότητες των λογαρίθμων. log log log. iv. Να αποδείξετε ότι v. Να αποδείξετε ότι log log. vi. Ποιοι λογάριθμοι λέγονται φυσικοί ή νεπέριοι; 77. Να υπολογίσετε τους λογαρίθμους: α) log0 0, 00 β) log 0 log 0 78. Να βρείτε τη τιμή του για την οποία ισχύει: α) log0 β) log log 6 79. Να αποδείξετε ότι: α) log log log β) log 5 log8 log log 5 log6log log log 6 δ) Λογαριθμική συνάρτηση i. Ποια συνάρτηση λέγεται λογαριθμική με βάση 0, ; ii. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g log,. Ποια συμμετρία ικανοποιούν; iii. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g log, 0. Ποια συμμετρία ικανοποιούν; iv. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού, το σύνολο τιμών και η μονοτονία της f viii. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού, το σύνολο τιμών και η μονοτονία της f log με ; log με 0 ; 80. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: f log g log h log., και 8. Να λύσετε τις εξισώσεις: log log log5 β) log log α)

ln 5ln 0 δ) 5 8. Να λύσετε τις ανισώσεις: α) log log β) log log 8. Να συγκρίνετε τους αριθμούς: α) log και log 5 β) log 0, 5 και 0, log 7 log 8. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι περιττές: α) f ln β) f ln 85. Για ποιες τιμές του οι αριθμοί δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. log 0 και log log78, log 8, log με τη σειρά που 86. Να λύσετε τα συστήματα: α) log y log log log y log β) y log y log log Γενικές ασκήσεις εκθετικής και λογαριθμικής συνάρτησης 87. Δίνεται η συνάρτηση. f ln e e 5 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να λύσετε την εξίσωση f ln. Να λύσετε την ανίσωση f 0. f δ) Έστω η συνάρτηση g e 5e. i. Να αποδείξετε ότι η g είναι - ii. Να λύσετε την εξίσωση g g 88. Δίνονται οι συναρτήσεις f ln e e και g ln ln e. α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f και g β) Να λύσετε την εξίσωση f g Να λύσετε την ανίσωση f g δ) Να αποδείξετε ότι η g είναι. ε) Να λύσετε την εξίσωση g g f 0. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή συνάρτηση. f g για κάθε. 89. Δίνονται οι συναρτήσεις f e e και g e e β) Να αποδείξετε ότι Να αποδείξετε ότι g gf gf,,. δ) Να λύσετε την εξίσωση f g. Στέλιος Μιχαήλογλου