,,, και τα ενδεχόμενα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) 0 ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f(x)=x είναι f( x=, ) για κάθε x Α. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x Α ; 0 Μονάδες Α. Να δώσετε τον ορισμό της διαμέσου (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων. Μονάδες Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για τη συνάρτηση f( x) =, x 0 x ισχύει ότι f ( x) = x (μονάδες ) β) Για το γινόμενο δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων f,g ισχύει ότι f( x) g( x) = f ( x) g( x) + f( x) g( x ) ( ) (μονάδες ) ΘΕΜΑ Β γ) Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποσοτικής μεταβλητής. (μονάδες ) δ) Η διάμεσος είναι ένα μέτρο θέσης, το οποίο επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις. (μονάδες ) ε) Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω με Α Β, ισχύει ότι Ρ ( Α) > Ρ( Β) (μονάδες ) Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω= { ω ω ω ω},,, και τα ενδεχόμενα {, } και Β = { ω, ω } Α= ω ω Μονάδες 0

Για τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων { ω } και { } x + x+ P( ω ) = lim x x + x ω του Ω ισχύει ότι: H P( ω ) είναι ίση με το ρυθμό μεταβολής της f( x ) ως προς x, όταν x=, όπου x f (x) = lnx, x > 0 Β. Να αποδείξετε ότι P( ω ) = και ω = P( ) Μονάδες 0 Β. Να αποδείξετε ότι P(A ), όπου A το συμπληρωματικό του A. Β. Αν P(A ) =, τότε να βρείτε τις πιθανότητες P( ω ), P( ω ), P(A [ B) (B A) ] και P(Α -Β ), όπου Β το συμπληρωματικό του Β. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Γ Θεωρούμε ένα δείγμα ν παρατηρήσεων μιας συνεχούς ποσοτικής μεταβλητής X, τις οποίες ομαδοποιούμε σε ισοπλατείς κλάσεις. Δίνεται ότι: η μικρότερη παρατήρηση είναι 50 η κεντρική τιμή της τέταρτης κλάσης είναι x = 85 η σχετική συχνότητα της τέταρτης κλάσης είναι διπλάσια της σχετικής συχνότητας της τρίτης κλάσης η διάμεσος των παρατηρήσεων του δείγματος είναι δ = 75 και η μέση τιμή των παρατηρήσεων του δείγματος είναι x = 7 Γ. Να αποδείξετε ότι το πλάτος είναι c = 0 Μονάδες Γ. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα συμπληρωμένο σωστά Kλάσεις Κεντρικές Τιμές Σχετική Συχνότητα x i f i [, ) [, ) [, ) [, ) Σύνολο Μονάδες 8

Γ. Δίνεται ότι f = 0,, f = 0,, f = 0, και f = 0, Να αποδείξετε ότι η μέση τιμή των παρατηρήσεων, που είναι μικρότερες του 80, είναι 00 Γ. Επιλέγουμε κ παρατηρήσεις του αρχικού δείγματος με κ < ν, οι οποίες ακολουθούν κανονική κατανομή με το,5% των παρατηρήσεων αυτών να είναι τουλάχιστον 7 το 6% των παρατηρήσεων αυτών να είναι το πολύ 68 Να βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων αυτών καθώς και να εξετάσετε αν το δείγμα των παρατηρήσεων αυτών είναι ομοιογενές. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Δ Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) = xlnx + κ, x > 0, όπου κ ακέραιος με κ > και την εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (,f() ), η οποία σχηματίζει με τους άξονες, τρίγωνο εμβαδού E, με E < Δ. Να αποδείξετε ότι κ = Μονάδες 5 Δ. Έστω x, x,..., x 50 οι τετμημένες 50 σημείων της (ε) των οποίων οι αντίστοιχες τεταγμένες τους έχουν μέση τιμή y = α) Να αποδείξετε ότι x = 0 (μονάδες ) β) Για τις τετμημένες των παραπάνω σημείων θεωρούμε ότι : Κάθε μία από τις τετμημένες x, x,..., x 0 αυξάνεται κατά, οι επόμενες 5 τετμημένες παραμένουν σταθερές και κάθε μία από τις υπόλοιπες ελαττώνεται κατά λ με λ > 0. Να βρείτε το λ, ώστε η νέα μέση τιμή των τετμημένων να είναι ίση με (μονάδες ) Μονάδες 6 Δ. Αν < α < β < γ < μέση τιμή των τιμών α β γ 7 με α β γ =,τότε να βρείτε το εύρος R και τη f(α),f(β), f(γ),f(), f, όπου f(x) = xlnx +

Δ. Θεωρούμε τον δειγματικό χώρο Ω= t n, n =,,,...,0 : 0 < t < t <... < t0 < < t <... < t0 = με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα, καθώς και τα ενδεχόμενα Α={ t Ω: η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο ( t,f(t) ), να σχηματίζει με τον άξονα xx οξεία γωνία }, { } Β = t Ω : f(t) > f (t) +, όπου f(t) = tlnt + Να βρεθούν οι πιθανότητες: α) να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α (μονάδες ) β) να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα ενδεχόμενα Α και Β (μονάδες )

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία σελ. σχολ. βιβλίου 8. Α. Θεωρία σελ. σχολ. βιβλίου. Α. Θεωρία σελ. σχολ. βιβλίου 87. Α. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Λ. ΘΕΜΑ Β Β. x x x x 0 0 x x Pω lim lim x x x x x x x x x x x x lim lim x x x x x x x x x x lim x x x xx x x x x lim x x x lim x x x x f x xlnx x lnxx lnx lnxx lnx x Άρα fx lnx Pω f ln 0 B. Α Τρόπος : Έστω ω,ω,ω και PP PPω P P P A ω,ω APAP PA Β Τρόπος : PAPAPωP ω Pω Pω ω

Έστω E ω ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 EAP E P A P ω P A P A Από (), () : PA B. 5 PA PωPω Pω Pω Pω 5 PωP ωpωpω Pω 5 Pω Pω 0 PAPωP ω 0 7 PBPωP ω AB ω PABPω P AB BA P AB P BA P A P AB P B P AB A ω,ω 7 7 B ω,ω ΘΕΜΑ Γ ABω Άρα PA B Pω Γ. Οι κλάσεις είναι α,α c, α c,α c, α c, α c, α c, α c α 50 α c α c 50 c 50 c 00 7c 85 85 85 00 7c 70 7c 70 00 7c 70 c 0 Γ. Κλάσεις x i f i [50-60) 55 0, [60-70) 65 0, [70-80) 75 0, [80-90) 85 0, ΣΥΝ. f f f f f f f f f f f f f

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 f Η διάμεσος είναι 75 άρα : f f f f ff f ff f ff 5f f f 0, 5 0 f f 0, f 0, i i i 5 5 x x f 7 55f 65f 75 85 7 55f 65f 5 7 7 55f 65f 5 55f 65f 7 5 55f 65f 5 f f 5 f f 0, f f 0, ff 5 f 0, f ff 0, 0, f f 5, f f 5 f 5, f 0, f 0, 0, f 0, fi Γ. Το σύνολο του νέου δείγματος είναι το 60% του προηγούμενου άρα fi 0,6 0, Άρα f, f, f 0,6 6 55 95 50 00 y55 65 75 6 6 Γ.,5,5,5,5 0,5 0,5 x s x s x s x x s x s x s Τα xi 7 αντιστοιχούν στο,5% άρα x s 7. Τα xi 68 αντιστοιχούν στο 6% άρα xs 68

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 xs7 68 s s 7 s 7 68 s 6 s xs68 x 68s s x 68 x 70, CV x 70 5 0, άρα το δείγμα είναι ομοιογενές ΘΕΜΑ Δ Δ. f(x) lnx f() f() κ εφ :yffx y κ x yx κ xx :y0xκ A κ,0 yy: x0 y κ B 0,κ E κ κ κ κ κ κ κ κ, κ Z Δ. x, x,..., x 5 y (α) Για κ (β) εφ :yx δηλαδή yi xi yxx x 0 0 5 50 0 5 50 xi xi xi λ xi 0 xi xi 5λ i i i6 i i i6 x x 50 50 50 50 xi 60 5λ xi i i 6 5λ 6 5λ x x 50 50 5 50 5 50 6 5λ 5λ 50 0 λ 5 50 50 5 75 Δ. fx0lnx x Για x, έχουμε f γνησίως αύξουσα άρα αβ γf f α f β f γ f fx f x 0 +

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Ξέρουμε ότι: f 0 και f 0 Η f παρουσιάζει ελάχιστο για x το f 0 άρα f xf 0 οπότε 0f f αf βf γf οπότε: R f f f αf βf γf f α ln α β ln β γ ln γ y 5 5 α β γ ln 7 α β γ 8 ln 8 5 5 5 5 5 f t εφω 0f t 0 t A t,..., t Δ. Πρέπει Άρα 0 t,t 0 άρα B t, t..., t f t f t tlntlntlnt t 0 (α) PA 9 0 0 A B t,..., t (β) 9 9 PAB 0 ln t t 0 + + + + 5