ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 22 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Transcript

1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία σχολικό σελ.8 Α. Θεωρία σχολικό σελ.4 Α. Θεωρία σχολικό σελ.87 Α4. α. Λάθος β. Σωστό γ. Λάθος δ. Λάθος ε. Λάθος ΘΕΜΑ Β B. Είναι, P x x x x x x x x lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x 4

2 Άρα P 4. H συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη για κάθε x 0με παράγωγο, x x x f ( x) ln x (ln x) ln x ln x (ln x ) x Επομένως ο ρυθμός μεταβολής της f(x) για x= είναι το f () (0 ). P. Άρα Β. Από τον αξιωματικό ορισμό ισχύει ότι, P( A) P( ) P( ) 4 7 P( B) P( ) P( ) 4 Επίσης είναι, A, Ισχύει ότι P( ) P( A) P( A) () Ισχύει επίσης ότι, A,,, 4 Άρα, P( A) P( ) P( A) P, οπότε P( A) P( ) P( A) P( A) () 4 4 Από τις () και () ισχύει P( A). 4 B. Έχουμε, P( A) P( A) P( A) P( ) P( ) P( ) P( ) Άρα, Όμως 4 P( ) P( ) P( ) P( 4) P( ) 0 P( ) 4 Συνεπώς P( ).

3 Έχουμε, AB BA ( ) ( ) ( ) ( ) P A B B A P A B P B A P A P A B P B P A B P( A) P( B) P( A B) Το ενδεχόμενο A B Οπότε,, άρα P( A B) P( ). P A B B A P( ) P( 4) P( ) P( ) P( ) P( ) P( 4) 0 A,,,. Επίσης είναι, 4 Ά Επομένως, P( A B) P( ) ΘΕΜΑ Γ Γ. Ισχύει ότι, 0 c 0 4 c c 0 Γ. Επειδή σε κάθε κλάση οι παρατηρήσεις είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες ισχύει ότι f στα διαστήματα [70,7] και [7,80] ανήκει το των παρατηρήσεων. Η διάμεσος είναι η τιμή για την οποία το πολύ 0% των παρατηρήσεων είναι μικρότερες από αυτήν και το πολύ 0% των παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες από την τιμή αυτή. f Συνεπώς είναι f4 0, () Αλλά δίνεται f4 f () Επομένως η () μέσω της () γίνεται f f 0, f 4 f f f 0, Άρα από τη σχέση () προκύπτει f4 (0, ) 0, 4.

4 Επίσης έχουμε, x 74 x f x f x f x f 74 f 6 f f 6 f f f () Είναι επίσης f f f f4 f f f f f f 0, 0,6 και άρα f f 0, 6 (4). Λύνουμε το σύστημα των () και (4) και παίρνουμε f 0, και f4 0,4 Έτσι ο πίνακας συμπληρώνεται ως εξής. Κλάσεις Κεντρικές Τιμές Σχετική συχνότητα x i f i [0,60) 0, [60,70) 6 0, [70,80) 7 0, [80,90) 8 0,4 Σύνολο - Γ. Για την μέση τιμή έχουμε, x v x v x v x f v x f v x f v x f x f x f x v v v f v f v f v f f f, 9, ,6 0,6 6 Γ4. Το,% των παρατηρήσεων ισούται με 00 9 %

5 Επειδή το,% των παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες ή ίσες του x προκύπτει x =74 (). Το 6% των παρατηρήσεων είναι ίσο με % είναι μικρότερες ή ίσες του x s. άρα το 6% των παρατηρήσεων Οπότε x s =68 () Λύνοντας το σύστημα των (), () προκύπτει x 70 και s. Ο συντελεστής μεταβολής ισούται με ομοιογενές. ΘΕΜΑ Δ CV s. Άρα το δείγμα είναι x 70 0 Δ. Η f παραγωγίσιμη για κάθε x 0 f κ και f. Τότε η εξίσωση εφαπτομένης της C f στο f x x ln x x ln x ln x και με,f είναι η: ε : y f f x y κ x y x κ Τέμνει τον x x όταν y 0 x κ Τέμνει τον y y όταν x 0 y κ E xa yb κ κ κ Θέλουμε Ε κ 4 κ κ κ κ Δ. α. Άρα για κ = είναι η f x x ln x και η (ε) : y x x y Οι τιμές x i προκύπτουν από τις y i αν προσθέσουμε c. Τότε από βασική εφαρμογή έχουμε: x y c x x 0 κ κ x x... x x 00 x x... x0 0 x x... x 00 () β. 0 0 x x... x0 x 0 x x... x0 x... x x 0... x0 x 0 0 x x... x x... x x λ... x λ x x... x 0 0 x... x x x λ 0 x x... x 60 λ 0

6 λ 60 0 λ 0 λ λ Δ. f x ln x f x 0 ln x x f x 0 ln x x x 0 f x 0 + f x Άρα η f παρουσιάζει ελάχιστη τιμή στο x0 με f 0 Άρα για κάθε x Af το f x f 0. f x Τα α,β, γ,, με α β γ f α f β f γ f f α f β f γ f Όμως f 0 άρα: 0 f α f β f γ f f f α f β f γ f Τότε R f f ln 0 δηλαδή R x xi f f α f β f γ f i 0 αln α βlnβ γln γ ln α β γ ln α lnβ ln γ 6 ln α α β β γ γ 8 ln Άρα x

7 ˆω 90 Δ4. ˆ f t εφω f t 0 ln t 0 εφωˆ 0 ln t t άρα A t,t,...,t 0 f t f t t ln t ln t t ln t ln t 0 ln t t 0 Άρα Γ 0 t 0,, Επομένως B t,t,...,t α) x 0 t 0 + ln t 0 + Γινόμενο N(A) 0 P(A) N(Ω) 0 β) PA B N A B 9 N(Ω) 0

8

9

10