1 6.6 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ ΘΕΩΡΙΑ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα : Είναι τα ποσά για τα οποία ισχύει το παρακάτω. Όταν πολλαπλασιάζεται ή διαιρείται η τιµή του ενός µε έναν αριθµό να διαιρείται αντίστοιχα πολλαπλασιάζεται η τιµή του άλλου µε τον ίδιο αριθµό. Σχέση αντιστρόφως αναλόγων ποσών Τα αντιστρόφως ανάλογα ποσά έχουν γινόµενο αντιστοίχων τιµών πάντοτε το ίδιο. ηλαδή για δύο οποιεσδήποτε αντίστοιχες τιµές και y ισχύει y = α 3. Μία ειδική περίπτωση: Αν α = 1 δηλαδή αν y = 1 τα και y είναι αντίστροφοι αριθµοί. 4. Γραφική παράσταση σχέσης αντιστρόφως αναλόγων ποσών Τα σηµεία που αντιστοιχούν στα ζεύγη τιµών (, y) δύο αντιστρόφως αναλόγων ποσών βρίσκονται σε µία καµπύλη γραµµή που την λέµε υπερβολή. 5. Υπερβολή και ηµιάξονες : Η υπερβολή δεν τέµνει τους ηµιόξονες των και y διότι οι συντεταγµένες των σηµείων της δεν παίρνουν ποτέ την τιµή 0. ΣΧΟΛΙΑ Τρόποι ελέγχου αν δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα α) Εξετάζουµε αν µεταβάλλονται αντίστροφα. ηλαδή όταν πολλαπλασιάζεται ή διαιρείται η τιµή του ενός µε έναν αριθµό, να διαιρείται ή πολλαπλασιάζεται και η τιµή του άλλου µε τον ίδιο αριθµό. β) Εξετάζουµε αν τα ποσά συνδέονται µε σχέση της µορφής y = α, δηλαδή αν το γινόµενο όλων των αντιστοίχων τιµών είναι το ίδιο. Μία ισοδυναµία : Η σχέση y= α 0 είναι ισοδύναµη µε την y = α
2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις µε Σ αν είναι σωστές και µε Λ αν είναι λανθασµένες. α) Τα ποσά και y για τα οποία ισχύει y = 3 είναι αντιστρόφως ανάλογα Σ β) Τα ποσά και y για τα οποία ισχύει : y = 2 είναι αντιστρόφως ανάλογα Λ γ) Η υπερβολή τέµνει τον ηµιάξονα των τετµηµένων Λ δ) Αν τα ποσά και y είναι αντιστρόφως ανάλογα, τότε οι αριθµοί και y είναι αντίστροφοι Λ ε) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά όταν τριπλασιαστεί το ένα θα διπλασιαστεί το άλλο Λ Απάντηση α) Αφού y = 3, είναι y = 3, άρα τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, οπότε η πρόταση είναι σωστή β) Από τη θεωρία προκύπτει ότι η πρόταση είναι λανθασµένη. γ) Λάθος, η υπερβολή δεν τέµνει τους ηµιάξονες. δ) Λάθος. Για να είναι οι αριθµοί αντίστροφοι πρέπει να ισχύει y = 1 ε) Λάθος διότι όταν τριπλασιαστεί το ένα θα υποτριπλασιαστεί το άλλο Τα ποσά και y του διπλανού πίνακα είναι αντιστρόφως ανάλογα α) Να συµπληρώσετε τον πίνακα β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της σχέσης που συνδέει τα και y. α) Ισχύει y = 6, οπότε για = 2 θα είναι 2y = 6 άρα y = 6 : 2 = 3 για = 3 θα είναι 3y = 6 άρα y = 6 : 3 = 2 για y = 1,5 θα είναι 1,5 = 6 άρα = 6 : 1,5 = 4 για y = 1 θα είναι 1 = 6 άρα = 6 : 1 = 6 Συµπληρωµένος ο πίνακας φαίνεται παραπάνω. Τα στοιχεία που λείπουν είναι τα κόκκινα β) Η γραφική παράσταση φαίνεται δίπλα Θεωρία 2 1 2 3 4 6 y 6 3 2 1,5 1 και είναι η κόκκινη γραµµή y 6 5 4 3 2 1 Ο 1 2 3 4 5 6 Θεωρία 4
3 3. 6 εργάτες τελειώνουν ένα έργο σε 4 ηµέρες, 8 εργάτες της ίδιας απόδοσης σε πόσες ηµέρες θα τελειώσουν το ίδιο έργο; Τα ποσά, εργάτες χρόνος εργασίας είναι αντιστρόφως ανάλογα. Αν οι 8 εργάτες τελειώσουν το έργο σε ηµέρες, τότε µε βάση τον πίνακα έχουµε 6 4 = 8 άρα 24 = 8 οπότε = 3 ηλαδή οι 8 εργάτες θα τελειώσουν το έργο σε 3 ηµέρες. Αριθµός εργατών 6 8 Χρόνος εργασίας 4 4. Τα ποσά A και Β των διπλανών πινάκων είναι αντιστρόφως ανάλογα να υπολογίσετε το. Α 3 21 A 7 49 Β 5 Β 2,1 Για τον πρώτο πίνακα ισχύει 3 5 = 21 άρα 15 = 21 = 15:21 15 5 = = 21 7 Για τον δεύτερο πίνακα ισχύει 49 2,1 = 7 άρα 102,9 = 7 = 102,9:7 =14,7 5. Ένα αυτοκίνητο κινούµενο µε ταχύτητα 80 km/h διανύει µία απόσταση σε 4ώρες. Σε πόσες ώρες θα διανύσει την ίδια απόσταση αν η ταχύτητά του γίνει 125 km/h; Τα ποσά, ταχύτητα χρόνος είναι αντιστρόφως ανάλογα Αν µε ταχύτητα 125 km / h διανύσει την απόσταση σε ώρες, τότε µε βάση τον πίνακα Ταχύτητα 80 125 έχουµε 80 4 = 125 άρα 320 = 125 Χρόνος 4 = 320 : 125 = 2,56 ηλαδή µε ταχύτητα 125 km / h θα διανύσει την απόσταση σε 2,56 ώρες 6. ύο ορθογώνια έχουν το ίδιο εµβαδόν και το ένα έχει διαστάσεις 4cm και 5cm. Να βρείτε τις διαστάσεις του άλλου, αν ξέρετε ότι είναι φυσικοί αριθµοί και ότι τα ορθογώνια είναι διαφορετικά. Το κάθε ορθογώνιο έχει εµβαδόν Ε = 4 5 = 20 cm 2 Αν και y είναι οι διαστάσεις του δεύτερου ορθογωνίου τότε y = 20. Το µοναδικό όµως ζεύγος φυσικών αριθµών που είναι διαφορετικό από το 4, 5 µε γινόµενο 20 είναι το 2, 10. Εποµένως οι διαστάσεις του δεύτερου ορθογωνίου είναι 2cm και 10cm.
4 7. Σε βουστάσιο µε 100 αγελάδες χρειάζονται 3 τόνοι τροφών για 15 ηµέρες. Αν αυξηθούν οι αγελάδες κατά 25, µε 2,5 τόνους τροφές πόσες ηµέρες θα περάσουν; Πρώτα θα βρούµε πόσες ηµέρες θα περάσουν οι 100 αγελάδες µε τους 2,5 τόνους τροφών. Είναι φανερό ότι τα ποσά : ποσότητα τροφών ηµέρες διατροφής είναι ανάλογα. Έστω ότι οι 100 αγελάδες µε τους 2,5 τόνους τροφών θα περάσουν ηµέρες. Από την υπόθεση προκύπτει ο πίνακας Ποσότητα τροφών 3 2,5 Ηµέρες διατροφής 15 Από τον πίνακα έχουµε 3 2,5 = 15 άρα 3 =2,5 15 3 = 37,5 =37,5 : 3 = 12,5 Συνεπώς οι 100 αγελάδες µε 2,5 τόνους τροφών θα περάσουν 12,5 ηµέρες. Αν τώρα υποθέσουµε ότι οι 125 αγελάδες µε τους 2,5 τόνους τροφών περάνε ηµέρες, προκύπτει ο πίνακας Αριθµός αγελάδων 100 125 Ηµέρες διατροφής 12,5 Είναι φανερό ότι τα ποσά : αριθµός αγελάδων ηµέρες διατροφής είναι αντιστρόφως ανάλογα. Εποµένως 100 12,5 = 125 άρα 1250 = 125 = 1250 : 125 = 10 ηλαδή οι 125 αγελάδες µε 2,5 τόνους τροφών θα περάσουν 10 ηµέρες. 8. 12 εργάτες εκτελούν ένα έργο σε 20 ηµέρες. Ύστερα από 5 ηµέρες από τότε που άρχισε το έργο, αποχώρησαν 2 εργάτες. Να βρείτε σε πόσες ηµέρες οι υπόλοιποι εργάτες θα τελειώσουν το έργο. Αφού πριν την αποχώρηση πέρασαν πέντε µέρες, οι δώδεκα εργάτες αν συνέχιζαν θα τέλειωναν το έργο σε 20 5 = 15 ηµέρες. Οι εργάτες που απέµειναν είναι 10 και έστω ότι θα τελειώσουν το έργο σε ηµέρες. Τότε έχουµε τον πίνακα Αριθµός εργατών 12 10 Ηµέρες εργασίας 15 Επειδή τα ποσά αριθµός εργατών ηµέρες εργασίας είναι αντιστρόφως ανάλογα, από τον πίνακα προκύπτει 12 15 = 10 άρα 180 = 10 = 18 ηλαδή οι 10 εργάτες θα τελειώσουν το έργο σε 18 ηµέρες µετά την αποχώρηση. των 2 εργατών
5 9. Ένα αυτοκίνητο, όταν τρέχει µε ταχύτητα 60 km / h, διανύει µία απόσταση µεταξύ δύο πόλεων σε 4 ώρες και 15 λεπτά. Κατά την επιστροφή, λόγω βλάβης καθυστέρησε να ξεκινήσει 55 λεπτά. Να βρείτε µε τι ταχύτητα πρέπει να τρέχει στην επιστροφή ώστε να επιστρέψει την προγραµµατισµένη ώρα. 4 ώρες και 15 λεπτά = 240 + 15 = 255 λεπτά Λόγω της καθυστέρησης η απόσταση κατά την επιστροφή θα πρέπει να καλυφθεί σε 255 55 = 200 λεπτά. Έστω ότι κινούµενο το αυτοκίνητο για 200 λεπτά µε ταχύτητα km / h θα επιστρέψει την προγραµµατισµένη ώρα. Έχουµε τον πίνακα Ταχύτητα 60 Χρόνος ταξιδιού 255 200 Επειδή τα ποσά ταχύτητα χρόνος είναι αντιστρόφως ανάλογα, από τον πίνακα έχουµε 60 255 = 200 άρα 15300 = 200 = 76,5 Συνεπώς το αµάξι πρέπει να τρέχει µε ταχύτητα 76,5 km / h 10. εξαµενή γεµίζει από 6 βρύσες της ίδιας παροχής σε 10 ώρες. Πόσες βρύσες τις ίδιας παροχής πρέπει να προστεθούν για να γεµίσει η δεξαµενή σε 3 ώρες; Έστω ότι η δεξαµενή θα γεµίσει σε 3 ώρες από βρύσες Με βάση την υπόθεση έχουµε τον πίνακα Αριθµός βρυσών 6 ιάρκεια γεµίσµατος 10 3 Είναι φανερό ότι τα ποσά αριθµός βρυσών διάρκεια γεµίσµατος είναι αντιστρόφως ανάλογα Οπότε 6 10 = 3 άρα 60 =3 = 60 : 3 = 20 ηλαδή η δεξαµενή γεµίζει σε 3 ώρες από 20 βρύσες. Εποµένως θα πρέπει να προστεθούν άλλες 14 βρύσες.