ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΣΥΝΑΡΜΟΓΗΣ ΓΙΑ ΧΡΗΣΗ ΣΤΗΝ Ο ΟΠΟΙΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗ ΣΙ ΗΡΟ ΡΟΜΙΚΗ

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΣΥΝΑΡΜΟΓΗΣ ΓΙΑ ΧΡΗΣΗ ΣΤΗΝ Ο ΟΠΟΙΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗ ΣΙ ΗΡΟ ΡΟΜΙΚΗ Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός Συνεργάτης Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Λέξεις κλειδιά : Σχεδιασµός, Χάραξη, Καµπύλη Συναρµογής, Κυβική Παραβολή ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η επιλογή των κατάλληλων καµπυλών συναρµογής είναι ένας σηµαντικός παράγων για τη διασφάλιση σωστών οδικών και σιδηροδροµικών χαράξεων. Η χρήση των ηλεκτρονικών υπολογιστών αλλάζει τα δεδοµένα και τα κριτήρια επιλογής της κατάλληλης καµπύλης. Στην παρούσα εργασία γίνεται µια συγκριτική παρουσίαση των χρησιµοποιούµενων, στην οδοποιία και στη σιδηροδροµική, καµπυλών συναρµογής. Αξιολογούνται η κλωθοειδής, δύο µορφές της κυβικής παραβολής και µια νέα καµπύλη συναρµογής, που ονοµάσαµε Συµµετρικά Προβαλλόµενη Καµπύλη Συναρµογής. Περιγράφεται συνοπτικά ο τρόπος υπολογισµού των σχετικών µεγεθών και στη συνέχεια δίνονται πίνακες που βοηθούν στην κατανόηση των µεταξύ τους διαφορών και στην οριοθέτηση των περιοχών χρησιµοποίησής τους. Στους σχετικούς πίνακες παρουσιάζονται, για διάφορες τιµές, η εξέλιξη χαρακτηριστικών µεγεθών όλων των καµπυλών. 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η επιλογή των κατάλληλων καµπυλών συναρµογής είναι ένας σηµαντικός παράγων για τη διασφάλιση σωστών οδικών και σιδηροδροµικών χαράξεων. Το είδος των καµπυλών που χρησιµοποιούνται θεωρείται ένα λυµένο από παλιά ζήτηµα (Kasper 195). Οι καθιερωµένες καµπύλες και οι σχέσεις µεταξύ των αντίστοιχων µεγεθών δεν αποτελούν σήµερα αντικείµενο αξιολόγησης ως προς την ακρίβειά τους και ως προς τη σκοπιµότητα χρήσης τους. Όµως η χρήση των ηλεκτρονικών υπολογιστών αλλάζει τα δεδοµένα και τα κριτήρια επιλογής της κατάλληλης καµπύλης. Η προτίµηση µιας καµπύλης έναντι µιας άλλης µε µόνο κριτήριο την απλότητα των υπολογισµών πρέπει να επανεξεταστεί. Όλες οι καµπύλες είναι το ίδιο απλές όταν οι υπολογισµοί γίνονται από ένα πρόγραµµα. Το σηµαντικό είναι ο µελετητής να ξέρει τα περιθώρια σφάλµατος των υπολογισµών στις διάφορες περιοχές χρησιµοποίησης των καµπυλών αυτών. Στην παρούσα εργασία γίνεται µια συγκριτική παρουσίαση των χρησιµοποιούµενων, στην οδοποιία και στη σιδηροδροµική, καµπυλών συναρµογής. Συγκρίνονται η κλωθοειδής µε δύο εναλλακτικές µορφές της κυβικής παραβολής καθώς επίσης και µε µια νέα καµπύλη συναρµογής, που δανείζεται στοιχεία και µεθόδους υπολογισµού από την κλωθοειδή και την κυβική παραβολή, και που ονοµάστηκε Συµµετρικά Προβαλλόµενη Καµπύλη Συναρµογής. Περιγράφεται συνοπτικά ο τρόπος υπολογισµού των σχετικών µεγεθών και στη συνέχεια δίνονται πίνακες που βοηθούν στην κατανόηση των µεταξύ τους διαφορών και στην οριοθέτηση των περιοχών χρησιµοποίησής τους. Στους σχετικούς πίνακες παρουσιάζονται, για διάφορες τιµές, η o Πανελλήνιο Συνέδριο Οδοποιίας, Βόλος, 18-0 Μαΐου 005 1

εξέλιξη χαρακτηριστικών µεγεθών όλων των καµπυλών. Επίσης παρουσιάζονται τα πλεονεκτήµατα της νέας καµπύλης και ιδιαίτερα η συµµετρία που τη χαρακτηρίζει, η οποία απλοποιεί τον έλεγχο της χάραξης και στην οποία συµµετρία οφείλει και το όνοµά της. Τέλος αξιολογούνται όλες οι καµπύλες ως προς τη δυνατότητα χρήσης τους για τη συναρµογή οµόρροπων διαδοχικών κυκλικών τόξων µε διαφορετικές ακτίνες. ΚΛΩΘΟΕΙ ΗΣ ΚΑΙ ΚΥΒΙΚΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗ Σ αυτή την παράγραφο θα αναφερθούµε στις οµοιότητες και στις διαφορές µεταξύ της κλωθοειδούς και της κυβικής παραβολής. Γνωρίζουµε ότι η κλωθοειδής έχει την ιδιότητα της γραµµικής µεταβολής της καµπυλότητάς της σε σχέση µε το µήκος της. Αυτό εκφράζεται και από τη σχέση: RL = A (1) που είναι η εξίσωση της κλωθοειδούς (Γιώτης 1990) και δείχνει ότι σε οποιοδήποτε σηµείο της, το γινόµενο της απόστασής της από την αρχή (L) επί την ακτίνα καµπυλότητας σε εκείνη τη θέση (R) είναι σταθερό και ίσο µε το τετράγωνο της παραµέτρου (A) που την χαρακτηρίζει. Στη διαδικασία επίλυσης της σχέσης (1) προκύπτει ότι η γωνία εκτροπής τ (Σχ. 1) δίνεται από τη σχέση: l τ = () A και οι συντεταγµένες οποιουδήποτε σηµείου της, που απέχει απόσταση l από την αρχή της (Lamm 1999) από τις παρακάτω: 5 9 1 l l l = l + + () 8 1 0A 56A 59900A 7 11 l l l y = + () 6 10 6A 6A 0A Χρησιµοποιώντας µόνο τους πρώτους όρους των σχέσεων () και () προκύπτει µία προσέγγιση της κλωθοειδούς που ονοµάζεται κυβική παραβολή και εκφράζεται από τη σχέση: y = (5) 6A η οποία είναι περισσότερο γνωστή µε την παρακάτω µορφή: y = (6) 6R όπου R είναι η ακτίνα του κύκλου που συναρµόζει στο τέλος της κυβικής παραβολής µήκους L και Χ η προβολή της στον άξονα. Να σηµειωθεί ότι συνηθίζεται η χρήση της σχέσης (6) αντί της (5), γιατί στην κυβική παραβολή δεν ορίζεται µέγεθος ανάλογο της παραµέτρου Α της κλωθοειδούς. Από τις σχέσεις (5), (6) µπορούµε να υπολογίσουµε τη γωνία τ για την περίπτωση της κυβικής παραβολής χρησιµοποιώντας τη σχέση: o Πανελλήνιο Συνέδριο Οδοποιίας, Βόλος, 18-0 Μαΐου 005

Σχήµα 1. Καµπύλη συναρµογής dy tanτ = = = (7) d A R Το µήκος L της κυβικής παραβολής θεωρείται ότι είναι ίσο µε την προβολή του Χ στον άξονα. Αυτή είναι µια προσέγγιση που τις περισσότερες φορές είναι ικανοποιητική. Για τον υπολογισµό του πραγµατικού µήκους L πάνω στην κυβική παραβολή (Προφυλλίδης 199, Πυργίδης 199) χρησιµοποιείται η σχέση: 1 L= 1 + (8) 10 R Αυτή προκύπτει ακολουθώντας την πιο κάτω διαδικασία. Από το Σχήµα 1 προκύπτει: d dl = (9) cosτ που µε τη χρήση της: 1 cos και της (7) γίνεται: 1 tan τ τ = + (10) dl = 1+ d (11) A o Πανελλήνιο Συνέδριο Οδοποιίας, Βόλος, 18-0 Μαΐου 005

Αναλύοντάς την σε σειρά Tailor έχουµε την: 8 dl = 1+ +.. d 8 18 8 (1) A A που ολοκληρώνοντας την προκύπτει για το τελικό µήκος της κυβικής παραβολής (=) η σχέση: 1 1 L= 1 + +. 10 R 7 R. (1) η οποία, αν θεωρηθούν σηµαντικοί µόνο οι δύο πρώτοι όροι της, συµπίπτει µε τη σχέση (8). ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΥΒΙΚΗΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ Η κυβική παραβολή σαν µια πολύ απλή σχέση χρησιµοποιήθηκε σαν τόξο συναρµογής στην Σιδηροδροµική και χρησιµοποιείται και σήµερα µε δύο διαφορετικές µορφές. Η ίδια σχέση µε την (6) µπορεί να προκύψει ξεκινώντας από τη γενική εξίσωση της κυβικής παραβολής: y = k (1) Θεωρώντας ότι το µήκος της καµπύλης είναι κατά προσέγγιση ίσο µε την τετµηµένη και η δεύτερη παράγωγος της καµπύλης ισούται µε την καµπυλότητα (Esveld 001) εφαρµόζεται οριακή συνθήκη σε απόσταση L από την αρχή της (µε αντίστοιχη προβολή Χ). Προκύπτει ότι για να συναρµόζει η κυβική παραβολή µε κύκλο ακτίνας R πρέπει η καµπυλότητά της σε εκείνη τη θέση να είναι ίδια µε αυτή του κύκλου, όπως φαίνεται στην παρακάτω σχέση: d y d = 1 = 6k = R 1 k = 6R (15) από την οποία προκύπτει η τιµή του k, που αν τεθεί στην (1) προκύπτει η (6). Η σχέση αυτή δίνει την τεταγµένη y οποιουδήποτε σηµείου της κυβικής παραβολής συναρτήσει της προβολής του στον άξονα και προκύπτει κάνοντας την παραδοχή =L, η οποία για µικρά σε σχέση µε την ακτίνα R είναι αποδεκτή. Για µεγαλύτερα µήκη (L>R/.5) προτείνεται (Προφυλλίδης 199, Πυργίδης 199) η χρήση µιας διαφορετικής µορφής της κυβικής παραβολής, η οποία περιγράφεται από την εξίσωση: y = 1+ 6R R / (16) όπου Χ η προβολή όλης της καµπύλης στον άξονα. Αυτή προκύπτει χωρίς τις παραδοχές που έγιναν για την απλή κυβική παραβολή και µπορεί να λειτουργήσει σωστά σαν καµπύλη συναρµογής για µεγάλες τιµές του λόγου Χ/R. Πιο συγκεκριµένα η δεύτερη παράγωγος οποιασδήποτε συνάρτησης της µορφής y=f() µε τη βοήθεια και του Σχήµατος 1 γράφεται: = τ = τ τ τ = τ τ = τ (17) d y d(tan ) 1 d 1 d 1 1 d d cos d cos cos dl cos R o Πανελλήνιο Συνέδριο Οδοποιίας, Βόλος, 18-0 Μαΐου 005

και εφαρµόζοντας την οριακή συνθήκη στην κυβική παραβολή για το σηµείο (=) προκύπτει: d y 1 1 = 6k = k d Rcos τ = 6R cos τ όπου τ ( = τ = ) (18) = Από τη σχέση (18), που είναι διαφορετική διατύπωση της (15), προκύπτει η παρακάτω µορφή της κυβικής παραβολής: y = R (19) 6 cos τ Η σχέση (19), η οποία γράφεται και µε τη µορφή της (16), δεν στηρίζεται σε καµία παραδοχή και προτείνεται σαν κατάλληλη (Ν.Κ.Ε.Γ. 000) για τόξο συναρµογής µεγάλου µήκους. Αυτή όµως η σχέση εξαρτά την εξέλιξη όλης της καµπύλης από τη γωνία τ στο τέλος της, όπως φαίνεται από τη σχέση (19), ή από το συνολικό µήκος της και από την ακτίνα στην οποία καταλήγει, όπως προκύπτει από την σχέση (16). ηλαδή ενώ η απλή κυβική παραβολή εξαρτάται µόνο από το γινόµενο R, που ουσιαστικά παίζει το ρόλο της παραµέτρου Α της κλωθοειδούς, η κυβική παραβολή των σχέσεων (16), (19) εξαρτάται και χωριστά από τα R και. ΝΕΑ ΚΑΜΠΥΛΗ ΣΥΝΑΡΜΟΓΗΣ Χρησιµοποιώντας τη µεθοδολογία υπολογισµού της κλωθοειδούς θα υπολογιστεί µια άλλη καµπύλη συναρµογής, της οποίας η πρώτη προσέγγιση είναι η απλή κυβική παραβολή, χωρίς όµως την παραδοχή ότι το µήκος L είναι ίσο µε την προβολή του Χ. Χρησιµοποιείται σαν βάση µια σχέση ανάλογη της (1) ορίζοντας µια παράµετρο Α ανάλογη αυτής που χρησιµοποιείται στην κλωθοειδή. Η καµπύλη αυτή θα ονοµάζεται πιο κάτω Συµµετρικά Προβαλλόµενη Καµπύλη Συναρµογής και για συντοµία µε τα αρχικά SPTC (Symmetrically Projected Transition Curve). Η παρακάτω ανάλυση θα βασιστεί στη σχέση: R R A = = (0) όπου R η ακτίνα καµπυλότητας στο τέλος της καµπύλης και Χ η προβολή της στον άξονα. Επίσης µε το δείκτη στην ακτίνα R συµβολίζεται η ακτίνα καµπυλότητας σε ενδιάµεσο σηµείο µε αντίστοιχη προβολή. Αναφερόµενοι στο Σχήµα 1 έχουµε τη σχέση: d = dl cosτ = R dτcosτ (1) η οποία χρησιµοποιώντας τη σχέση (0) µας δίνει την A d = cosτ dτ d = A cosτ dτ () και µε ολοκλήρωση d = A cos τ d τ + C = A sinτ + C () o Πανελλήνιο Συνέδριο Οδοποιίας, Βόλος, 18-0 Μαΐου 005 5

Στην αρχή όµως της καµπύλης συναρµογής έχουµε =0 και τ=0, οπότε η γωνία τ (σε rad) εκφράζεται µε τη σχέση: sin τ = = () A R η οποία είναι ανάλογη της () και της (7) και εκφράζει τη γωνία τ συναρτήσει της προβολής ενδιάµεσου σηµείου της καµπύλης στον άξονα και της παραµέτρου Α ή της ακτίνας καµπυλότητας R σ εκείνο το σηµείο. Για τον υπολογισµό του y για κάθε από το Σχήµα 1 έχουµε τη σχέση: sinτ dy = tanτ d = d 1 sin τ (5) η οποία βάσει της () και µετά από ολοκλήρωση των δύο µελών γίνεται: y = A d (6) 0 1- A Για την επίλυση του ολοκληρώµατος γίνεται ανάλυση σε σειρά Tailor (Eliou 00) και µετά την ολοκλήρωση προκύπτει η σειρά: n ci y = όπου = 0 i + i -1 i c = i ci-1 i A και c = (7) A 0 της οποίας παρατίθενται ενδεικτικά οι τέσσερις πρώτοι όροι: 8 1 1 1 1 y =.. + + + + 8 1 A 56 A 108 A 07 A (8) Για τον υπολογισµό του µήκους πάνω στην καµπύλη ξεκινώντας από τη σχέση (9) και χρησιµοποιώντας την παρακάτω: καταλήγουµε στην cosτ 1 sin τ 1- = = (9) A d l = (0) 0 1- A της οποίας η λύση (Eliou 00) είναι: o Πανελλήνιο Συνέδριο Οδοποιίας, Βόλος, 18-0 Μαΐου 005 6

n bi l = όπου 0 i + 1 i= -1 i b = i bi-1 i A και b = (1) 0 και οι τέσσερις πρώτοι όροι: 6 1 1 5 l = 1 +. + + +. () 10 A A 08 A ενώ για το συνολικό µήκος θα ισχύει: 6 1 1 5 L= 1+ + + +.. () 10 R R 08 R που είναι η σχέση η ανάλογη της (1). 5 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΣΥΝΑΡΜΟΓΗΣ Με τη χρήση των σχέσεων των προηγουµένων παραγράφων υπολογίστηκαν οι καµπύλες συναρµογής, των οποίων τµήµατα φαίνονται στο Σχήµα. Για τη γραφική παράστασή τους χρησιµοποιήθηκε το λογισµικό Anadelta Tessera το οποίο περιλαµβάνει τις συζητούµενες σ αυτή την εργασία καµπύλες. Όλες οι καµπύλες καταλήγουν σε ακτίνα καµπυλότητας R=1000m. Σχήµα. Τµήµατα καµπυλών συναρµογής o Πανελλήνιο Συνέδριο Οδοποιίας, Βόλος, 18-0 Μαΐου 005 7

Σχήµα. Λεπτοµέρεια τελευταίου τµήµατος καµπυλών συναρµογής Η καµπύλη SPTC του Σχήµατος έχει παράµετρο Α=1000m και συνεπώς προβολή Χ=1000m, η κλωθοειδής την ίδια παράµετρο και συνολικό µήκος L=1000m ενώ οι δύο κυβικές παραβολές έχουν προβολή Χ=1000m. Επιλέχθηκε για εµφάνιση µόνο το τελευταίο τµήµα της κάθε καµπύλης, που αντιστοιχεί σε ακτίνα καµπυλότητας R 000, ώστε να αναδειχθούν κάπως οι διαφορές µεταξύ των καµπυλών. Είναι εµφανής η απόκλιση της κυβικής παραβολής µεγάλου µήκους από τις υπόλοιπες. Η απόκλιση αυτή είναι σηµαντική για µεγάλα µήκη. Οι οµοιότητες και οι διαφορές µεταξύ των τριών πρώτων καµπυλών γίνονται περισσότερο εµφανείς στο Σχήµα (ακτίνες R 100m). Από αυτό φαίνεται ότι η συµµετρικά προβαλλόµενη καµπύλη συναρµογής (SPTC) πλησιάζει πάρα πολύ στην κλωθοειδή µε την ίδια παράµετρο. Η διαφορά τους είναι στο µήκος και αυτό οφείλεται στο ότι το µήκος της κλωθοειδούς που είναι L=1000m είναι ίσο µε την προβολή της καµπύλης SPTC. ηλαδή µε τη δεύτερη καµπύλη έχουµε µετάβαση από την ακτίνα R= στην ακτίνα R=1000m σε µήκος µεγαλύτερο κατά 8m. Η απλή κυβική παραβολή αποκλίνει από τις δύο προηγούµενες σε περιοχές µε λόγο /R>0.5 εκεί δηλαδή που έχει προταθεί η αντικατάστασή της από την κυβική παραβολή µεγάλου µήκους. Στους Πίνακες 1-5 που ακολουθούν παρουσιάζονται ορισµένα χαρακτηριστικά µεγέθη των καµπυλών συναρµογής και δίνονται τόσο για την ανάδειξη των διαφορών, που δεν µπορούν να αναδειχθούν µέσα από σχήµατα, όσο και για την επισήµανση των οµοιοτήτων µεταξύ των καµπυλών. Επιπλέον οι Πίνακες µπορούν να χρησιµοποιηθούν για µια γρήγορη εκτίµηση των σχετικών µεγεθών για διάφορους λόγους /R. Παρουσιάζονται µεγέθη για την κλωθοειδή, την κυβική παραβολή, την καµπύλη SPTC µε ακρίβεια (10 όρους της σειράς) και δύο προσεγγίσεις της καµπύλης SPTC µε τρεις και δύο όρους αντίστοιχα. εν περιλαµβάνεται η κυβική παραβολή µεγάλου µήκους, σχέση (16), γιατί αυτή δεν µπορεί να εκφραστεί συναρτήσει µιας παραµέτρου Α. Όλες οι καµπύλες που περιλαµβάνονται στους πίνακες έχουν παράµετρο Α=1000m και καταλήγουν σε ακτίνα R=1000m. Η κλωθοειδής υπολογίζεται σύµφωνα µε τη σχέση () χρησιµοποιώντας σαν τιµή του l αυτή που αντιστοιχεί σε προβολή ίση µε την πρώτη στήλη του Πίνακα. Ο υπολογισµός αυτός γίνεται σύµφωνα µε τη σχέση (). Χρησιµοποιήθηκε η κλωθοειδής µε αυτό τον τρόπο ώστε τα µεγέθη που προκύπτουν να είναι άµεσα συγκρίσιµα µε τα µεγέθη των άλλων καµπυλών. o Πανελλήνιο Συνέδριο Οδοποιίας, Βόλος, 18-0 Μαΐου 005 8

Στον Πίνακα 1 φαίνονται οι τιµές της µετατόπισης Υ για διάφορες τιµές του Χ. Είναι εµφανής η απόκλιση της κυβικής παραβολής από τις υπόλοιπες καµπύλες για µεγάλες τιµές του Χ, λόγους Χ/Α>0.5, καθώς και η συγγένεια της κλωθοειδούς µε την SPTC. Οι δύο τελευταίες στήλες µας δίνουν µια ένδειξη των περιοχών που είναι ικανοποιητική η χρήση των προσεγγιστικών λύσεων της SPTC για απλοποίηση των υπολογισµών, όταν αυτοί δεν γίνονται από υπολογιστή. Πίνακας 1. Μετατόπιση Υ(m) για διάφορες τιµές του Χ. Χ((m) Κλωθοειδής Κυβ. Παραβολή SPTC(10 όροι) SPTC() SPTC() 100 0.167 0.167 0.167 0.167 0.167 00 1. 1. 1. 1. 1. 00.50.500.50.50.50 00 10.68 10.667 10.681 10.681 10.681 500 0.908 0.8 0.90 0.90 0.90 600 6.71 6.000 6.5 6.5 6.50 700 57.976 57.167 57.9 57.9 57.90 800 87. 85. 87.0 87.97 87.06 900 16.91 11.500 16.1 16.105 15.771 1000 177.678 166.667 176.858 176.661 175.595 Στον Πίνακα φαίνονται οι τιµές της γωνίας τ σε µοίρες ενώ στον Πίνακα τα µήκη πάνω στην καµπύλη που αντιστοιχούν στις τιµές του Χ. Τα συµπεράσµατα είναι ανάλογα µε αυτά της προηγουµένης παραγράφου. Πίνακας. Γωνία εκτροπής τ(µοίρες) για διάφορες τιµές του Χ. Χ((m) Κλωθοειδής Κυβ. Παραβολή SPTC(10 όροι) SPTC() SPTC() 100 0.868 0.868 0.868 0.868 0.868 00 1.1601 1.1576 1.1599 1.1599 1.1599 00.5796.57657.57918.57918.57918 00.58955.579.58857.58857.58850 500 7.185 7.150 7.18076 7.18075 7.18010 600 10.8118 10.097 10.6976 10.6965 10.657 700 1.119 1.7660 1.1818 1.18089 1.1607 800 18.709 17.767 18.669 18.65686 18.591 900.0667.0795.8911.85986.6676 1000 0.975 6.56505 0.00000 9.8655 9.5776 Πίνακας. Μήκη καµπυλών συναρµογής L(m) για διάφορες τιµές του Χ. Χ((m) Κλωθοειδής Κυβ. Παραβολή SPTC(10 όροι) SPTC() SPTC() 100 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 00 00.008 00.008 00.008 00.008 00.008 00 00.061 00.061 00.061 00.061 00.061 00 00.57 00.56 00.57 00.57 00.57 500 500.787 500.781 500.786 500.786 500.786 600 601.97 601.9 601.971 601.971 601.970 700 70.1 70.0 70.11 70.10 70.07 800 808.599 808.19 808.56 808.56 808.5 900 915.990 91.76 915.879 915.867 915.771 1000 108.86 105.000 108.057 107.980 107.60 o Πανελλήνιο Συνέδριο Οδοποιίας, Βόλος, 18-0 Μαΐου 005 9

Στον Πίνακα φαίνονται οι τιµές της εκτροπής R (Σχ. ) για τις διάφορες τιµές του Χ. Οι τιµές της εκτροπής της δεύτερης στήλης του Πίνακα προκύπτουν από την προσεγγιστική σχέση: R = () R η οποία είναι η πιο συχνά χρησιµοποιούµενη. Για τις υπόλοιπες στήλες του Πίνακα χρησιµοποιήθηκε η ακριβής σχέση: R= Y - R(1-cos τ ) (5) Είναι εµφανής η απόκλιση της πραγµατικής εκτροπής της κυβικής παραβολής από την προσεγγιστική σχέση () για µεγάλες τιµές του λόγου Χ/Α>0.5. Η χάραξη µε την ταυτόχρονη χρήση της κυβικής παραβολής και της προσεγγιστικής τιµής της εκτροπής µπορεί να οδηγήσει σε υπολογίσιµα σφάλµατα. Πίνακας. Εκτροπή R(m) για διάφορες τιµές του Χ. Χ((m) Προσέγγιση Κλωθοειδής Κυβ. Παραβ. SPTC(10) SPTC() SPTC() 100 0.0167 0.0167 0.0167 0.0167 0.0167 0.0167 00 0. 0. 0.6 0.5 0.5 0.5 00 1.1500 1.19 1.101 1.15 1.15 1.155 00.66667.66606.7086.66850.66850.66870 500 5.08 5.05 5.8909 5.1710 5.171 5.19 600 9.00000 8.98959 9.6887 9.0157 9.005 9.0875 700 1.9167 1.6107 16.1011 1.859 1.90 1.7809 800 1. 1.558 5.865 1.5750 1.61157 1.9711 900 0.7500 0.19768 0.9 0.9898 1.165.56 1000 1.66667 1.9661 61.0986.886.8597 7.17075 Η χρήση της κυβικής παραβολής για λόγους Χ/Α<=0. δεν οδηγεί σε σφάλµατα αλλά και δεν την διαφοροποιεί από τις άλλες καµπύλες όπως προκύπτει από τους Πίνακες 1-. Αυτό σηµαίνει ότι πέραν της απλότητας που την χαρακτηρίζει δεν έχει τίποτα να προσφέρει σε σχέση µε την κλωθοειδή. Η προτεινόµενη καµπύλη SPTC και µε τις προσεγγιστικές µορφές της µπορεί να προσφέρει σωστές λύσεις εκεί που µέχρι τώρα προτιµάται η χρήση της κυβικής παραβολής αντί της κλωθοειδούς. Πίνακας 5. Μετατόπιση (m) για διάφορες τιµές του Χ. Χ((m) Προσέγγιση Κλωθοειδής Κυβ. Παραβ. SPTC(10) SPTC() SPTC() 100 0.0006 0.0001 0.0006 0.00000-0.00005-0.00005 00 0.0000 0.00667 0.01999 0.00000-0.00005-0.0000 00 0.15187 0.0506 0.1516 0.00000-0.00005 0.00018 00 0.6000 0.17 0.669 0.00000-0.0000 0.0001 500 1.951 0.6505 1.905 0.00000 0.0005 0.060 600.86000 1.6178.7500 0.00000 0.0007 0.1158 700 10.507.9096 10.0596 0.00000 0.070 0.57 800 0.8000 6.79180 19.00 0.00000 0.156 1.68 900 6.9056 1.018.9088 0.00000 0.559.097 1000 6.50000 0.576 5.7860 0.00000.0807 9.7871 o Πανελλήνιο Συνέδριο Οδοποιίας, Βόλος, 18-0 Μαΐου 005 10

Σχήµα. Καµπύλη συναρµογής Σχήµα 5. Καµπύλη SPTC Στον Πίνακα 5 φαίνονται οι τιµές του µεγέθους Χ συναρτήσει του Χ. Το µέγεθος Χ (Σχ. ) παριστάνει την απόσταση της προβολής του κέντρου καµπυλότητας στο τέλος της καµπύλης από το µέσο του ευθυγράµµου τµήµατος που ορίζει η προβολή όλης της καµπύλης. Οι δύο προβολές θεωρούνται ως προς τον άξονα Χ. Στην δεύτερη στήλη του Πίνακα δίνεται η τιµή του Χ υπολογισµένη µε βάση την προσεγγιστική σχέση (Esveld 001): R = (6) 16R η οποία ισχύει µόνο για την κυβική παραβολή. Οι ακριβείς τιµές στις επόµενες στήλες υπολογίζονται µε βάση την σχέση: = R sinτ (7) όπου µε δείκτη συµβολίζονται η ακτίνα R και η γωνία τ για το συγκεκριµένο σηµείο της καµπύλης συναρµογής, που η προβολή του απέχει απόσταση Χ από την αρχή της. Αξίζει να σηµειωθεί η καλή προσέγγιση του Χ της απλής κυβικής παραβολής από τη σχέση (6) για τιµές του λόγου Χ/Α<=0.5, όπως φαίνεται από τη σύγκριση της δεύτερης µε την τέταρτη στήλη του Πίνακα 5. Το πιο αξιοσηµείωτο όµως στοιχείο του Πίνακα είναι η ιδιότητα της καµπύλης SPTC να έχει πάντοτε µηδενικό Χ. Κοιτάζοντας τη σχέση () και το Σχήµα 5 αυτή η ιδιότητα εξηγείται εύκολα, παραµένει όµως µια ιδιότητα ιδιαίτερα χρήσιµη στην απλοποίηση της χάραξης, ένα επιπλέον στοιχείο για την προτίµηση της καµπύλης SPTC σε σχέση µε την απλή κυβική παραβολή. o Πανελλήνιο Συνέδριο Οδοποιίας, Βόλος, 18-0 Μαΐου 005 11

6 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Συγκρίνοντας την απλή κυβική παραβολή µε την κλωθοειδή προκύπτει ότι για λόγους Χ/Α<=0. οι δύο καµπύλες δεν έχουν αξιοσηµείωτες διαφορές. Αυτό σηµαίνει ότι, πέραν της απλότητας που την χαρακτηρίζει, η κυβική παραβολή δεν έχει τίποτα να προσφέρει σε σχέση µε την κλωθοειδή. Επιπλέον η χρησιµοποίησή της για λόγους Χ/Α>0.5, σε συνδυασµό µε τον προσεγγιστικό τρόπο υπολογισµού της εκτροπής R, µπορεί να οδηγήσει σε σφάλµατα χάραξης. Σε κάθε περίπτωση πρέπει να είναι γνωστά τα όρια µέσα στα οποία η κάθε καµπύλη συναρµογής είναι χρησιµοποιήσιµη. Η κυβική παραβολή µεγάλου µήκους δεν θα µπορούσε, συµπεριλαµβανόµενη στους πίνακες, να συγκριθεί µε ίσους όρους µε τις άλλες τρεις καµπύλες. Ενώ η απλή κυβική παραβολή µπορεί να θεωρηθεί ότι χαρακτηρίζεται από µία παράµετρο της µορφής A=RΧ, η εναλλακτική µορφή που προτείνεται για τη βελτίωσή της δεν µπορεί να εκφραστεί συναρτήσει µιας τέτοιας παραµέτρου. ηλαδή δύο καµπύλες αυτής της µορφής µε ίδια αρχή, ίδιο γινόµενο RΧ και διαφορετικό µήκος δεν θα ταυτίζονται κατά το µήκος της µικρότερης. Για ιστορικούς και µόνο λόγους, σε σιδηροδροµικές κυρίως χαράξεις, προτιµάται η χρήση της κυβικής παραβολής αντί της κλωθοειδούς. Αν η επιλογή µιας καµπύλης της µορφής y=f() είναι προτιµότερη για λόγους συνήθειας, τότε η προτεινόµενη σ αυτή την εργασία καµπύλη SPTC µπορεί να προσφέρει λύσεις πολύ πιο ακριβείς από ότι η κυβική παραβολή. Επιπλέον η συµµετρία που τη χαρακτηρίζει, στην οποία οφείλει το όνοµά της, επιτρέπει την απλοποίηση, την ακρίβεια αλλά και τον έλεγχο της χάραξης. Τέλος διαθέτοντας την ίδια ακρίβεια µε την κλωθοειδή µπορεί να χρησιµοποιηθεί και αυτή για τη συναρµογή δύο διαδοχικών οµόρροπων κυκλικών τόξων διαφορετικών ακτίνων. 7 ΑΝΑΦΟΡΕΣ Eliou, N.E., Kaliabetsos, G. D. (00). A New, Simple and Accurate Transition Curve Type, for use in Road and Railway Alignment Design. Journal of Transportation Engineering., Manuscript Number: TE/00/0198. Esveld, C. (001). Modern Railway Track, nd Ed., T.U. Delft, The Netherlands. Kasper, H., Schuerba, W., and Lorenz, H. (195). The Clothoid as an Element of Horizontal Alignment, F. Dummlers, Publishing House, Bonn, Germany Lamm, R., Psarianos, B., and Mailaender, T. (1999). Highway Design and Traffic Safety Engineering Handbook. McGraw-Hill, New York. Γιώτης, Α., Κανελλαϊδης, Γ., Μαλέρδος, Γ. (1990). Γεωµετρικός Σχεδιασµός των Οδών. Αθήνα: Συµεών. Ν.Κ.Ε.Γ. (000). Νέος Κανονισµός Επιδοµής Γραµµής. ΦΕΚ. Β 1156/19-9-000. Προφυλλίδης, Β. (199). Σιδηροδροµική, Τόµος Α. Ξάνθη: Εταιρία Αξιοποίησης και ιαχείρισης Περιουσίας.Π.Θ. Πυργίδης, Χ. (199). Σχεδιασµός και Κατασκευή Σιδηροδροµικής Υποδοµής. Θεσσαλονίκη: Υπηρεσία ηµοσιευµάτων Α.Π.Θ. o Πανελλήνιο Συνέδριο Οδοποιίας, Βόλος, 18-0 Μαΐου 005 1