Γραμμική Άλγεβρα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. 171 Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr

Γραμμική Άλγεβρα Κώστας Γλυκός 171 Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ πίνακες & ορίζουσες διανυσματικούς χώρους ευθεία και επίπεδο στο χώρο γραμμικές απεικονίσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr εκδόσεις Καλό πήξιμο / 1 / 0 1 6

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Τα πάντα για την Γραμμική Άλγεβρα Συμμετρικός πίνακας : aij a ji Διαγώνιος πίνακας : a 0, i j Άνω τριγωνικός : a 0, i j Κάτω τριγωνικός : a 0, i j Αντίθετος πίνακας : -Α Ταυτοδύναμος : Ανάστροφος : ' ή ij ij ij Με ιδιότητες : B B B B Πίνακες Έστω πίνακας * με στοιχεία τα οι στήλες του είναι οι γραμμές του Α B ' συμμετρικός 1 1 Ίχνος πίνακα : race()( sum...) a11 aii Με ιδιότητες ίχνους : tr()() k k tr tr()()() B tr tr B tr()() B tr B Ελάσσον ορίζουσα στοιχείου είναι η ορίζουσα των στοιχείων που δεν ανήκουν στη γραμμή ή στήλη του στοιχείου Πρωτεύουσες ή κύριες ελάσσονες είναι οι ελάσσονες των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου Αλγεβρικό συμπλήρωμα στοιχείου aij είναι το γινόμενο 1 i j ά Πίνακας αλγεβρικών συμπληρωμάτων Cείναι ο πίνακας με στοιχεία τα αλγεβρικά συμπληρώματα του στοιχείου Προσαρτημένος ή συζυγής ήdj() είναι ο πίνακας 1 C a ij

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Θετικά ορισμένος πίνακας, π.χ. για τον * όταν a11 a1 a1 a11 a1 a11 0, 0, a1 a a 0 a1 a a1 a a Αρνητικά ορισμένος πίνακας αν τα παραπάνω εναλλάσσονται ξεκινώντας με αρνητικό πρόσημο, δηλαδή a11 a1 a1 a11 a1 a11 0, 0, a1 a a 0 a1 a a1 a a Ημιορισμένος θετικά ή αρνητικά όταν ένα τουλάχιστον είναι 0 Στοιχειώδης μετασχηματισμός γραμμών : του πίνακα Α : Πολλαπλασιάζουμε μία γραμμή του Α με ένα μη μηδενικό στοιχείο ri ari Προσθέτουμε σε μία γραμμή πολλαπλάσιο άλλης γραμμής ri ri arj Εναλλάσσουμε δύο γραμμές ri rj Κλιμακωτός πίνακας αν Το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο σε κάθε μη μηδενική γραμμή είναι το 1 Το πρώτο 1 σε κάθε μη μηδενική γραμμή βρίσκεται στα δεξιά του πρώτου 1 της προηγούμενης γραμμής Οι μη μηδενικές γραμμές βρίσκονται πάνω από τις μηδενικές γραμμές Ανηγμένος κλιμακωτός : αν το πρώτο 1 σε κάθε γραμμή είναι το μοναδικό μη μηδενικό στοιχείο της στήλης που το περιέχει Ηγετικό στοιχείο (pivot) : σε μία μη μηδενική γραμμή το πρώτο από αριστερά προς τα δεξιά μη μηδενικό στοιχείο της Α γραμμοισοδύναμος με Β : αν ο Α προκύπτει από το Β μετά από μία πεπερασμένη ακολουθία στοιχειωδών μετασχηματισμών γραμμών Ιδιότητες οριζουσών : Γραμμή ή στήλη όλα 0 0 Αν αλλάξεις γραμμές ή δύο στήλες Αν πολ/σεις όλα τα στοιχεία γραμμής ή στήλης με λ Μπορείς να πολ/σεις τα στοιχεία μίας γραμμής ή στήλης με οποιοδήποτε αριθμό και να τα προσθέσεις αντίστοιχα σε άλλη γραμμή ή στήλη της ορίζουσας με σκοπό να δημιουργήσεις όσα περισσότερα 0 μπορείς, για τον εύκολο υπολογισμό της v k k Ορίζουσα τριγωνικού άνω ή κάτω πίνακα ισούται με το γινόμενο στοιχείων της διαγωνίου B B 1 1 Αντίστροφος πίνακας dj() 1 1

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Τάξη πίνακα : rank() min m, n ανεξάρτητων γραμμών ή στηλών σε πίνακα διάστασης * Χαρακτηριστική εξίσωση πίνακα ή πολυώνυμο : I 0 m n είναι το σύνολο των γραμμικά Χαρακτηριστικές ρίζες λέγονται οι ρίζες της παραπάνω χαρακτηριστικής εξίσωσης Ιδιοτιμές : οι λύσεις της εξίσωσης I 0 Αλγεβρική πολλαπλότητα ιδιοτιμής : ο αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίστηκε μία ιδιοτιμή Γεωμετρική πολλαπλότητα ιδιοτιμής : η διάσταση του ιδιοχώρου Ιδιοδιανύσματα : όλα τα διανύσματα Χ με ιδιοτιμές λ όπου : I X 0. Προσοχή στις ιδιότητες : Θετικά ορισμένος : όλες οι ιδιοτιμές θετικές Αρνητικά ορισμένος : όλες οι ιδιοτιμές αρνητικές Ημιορισμένος : αν κάποιες ιδιοτιμές είναι 0 Απροσδιόριστος αν έχεις ιδιοτιμές θετικές και αρνητικές Ιδιόχωρος : σύμφωνα με το πλήθος των διαφορετικών ιδιοτιμών θα έχω και το αντίστοιχο πλήθος των ιδιόχωρων. Ο ιδιόχωρος είναι το σύνολο των διανυσμάτων που έχουν την αντίστοιχη μορφή που προέκυψε από τη λύση του I X 0 και αντίστοιχα φτιάχνεις τη βάση του ιδιοχώρου Χαρακτηριστικό διάνυσμα : Αν έχω τετραγωνικό πίνακα nxn με n διακεκριμένες χαρακτηριστικές ρίζες (ιδιοτιμές) τότε τέτοιο διάνυσμα είναι το ιδιοδιάνυσμα που μπορούμε να δημιουργήσουμε Διαγωνοποίηση : βρίσκεις ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα τόσα όσα και οι ιδιοτιμές τότε P D P 1 με P τον πίνακα που έχει στήλες τα ιδιοδιανύσματα και D ο διαγώνιος πίνακας με στοιχεία διαγωνίου τις ιδιοτιμές Προσοχή : δύο διαγωνοποιήσιμοι πίνακες είναι όμοιοι αν έχουν τις ίδιες χαρακτηριστικές τιμές με τις ίδιες πολλαπλότητες Ορθογώνιος πίνακας : ο πίνακας v * v διανύσματα, επιπλέον Λοξά συμμετρικός : Ενελικτικός πίνακας : Συμμετρικός : Αντισυμμετρικός : 1 I οπότε όπου οι γραμμές και οι στήλες είναι ορθογώνια και μοναδιαία I Α όμοιος του Β : αν υπάρχει πίνακας P : P 0, P P B Δύναμη πίνακα : σε διαγωνοποιήσιμο πίνακα : v v 1 P D P Παραγοντοποίηση πίνακα : LU. Φτιάχνουμε το σύνθετο πίνακα : I μετασχηματισμούς καταλήγουμε στον πίνακα και με κατάλληλους P U όπου P είναι πίνακας αντιστρέψιμος κάτω τριγωνικός με διαγώνια στοιχεία μονάδες και ο U είναι γενικά κλιμακωτής μορφής (άνω τριγωνικός : μηδενίζοντας τα στοιχεία κάτω από τη διαγώνιο), οπότε P P L 1 και L κάτω τριγωνικός και Uάνω τριγωνικός Τετραγωνική μορφή πίνακα : ο πραγματικός αριθμός x x, x x, x, x Συμβιβαστό : το σύστημα που έχει τουλάχιστον μία λύση U 1 P U LU αφού 1

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Ασυμβίβαστο : το σύστημα που δεν έχει λύση 1. Αν.. ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 4 0 1 4 B I B B B 1 6,,,,, ; 1 0 0 1 4 1 B C D B B B BD CD DC 5 7 4 1 1 4,, 0, 1 1,,,,,, ; 0 0 0 0 1 5 B C D B B B BD CD DC 0 4 0 0 1 1 4,, 0 0, 1 1,,,,,, ; 4. Αν 5. 4 0 0 1 0 B B B B 0 0 6 1 0 5 0, 0 1 1,,, ; 1 1 C B B 1 0 1 1 1, 1 0 0,,, ; 6. Να αποδείξεις ότι : 7. Να αποδείξεις ότι : 1 5 5 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 6 0 1 0 8. Να υπολογίσεις τον αντίστροφο, αν υπάρχει, για τους πίνακες : 5 4 0 1, B, C 1 1 4 4 0 0 0 1 4 0 0 D 0 0, E 0 0 1, Z 0 1 0 0 1 6 0 1 0 1 0 H 1 0 0 0 0 1 1 9. Να αποδείξεις ότι : 1 1 1 1 1 1, B B, 10. Να υπολογίσεις : a 0 k 1 a 4

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 11. Ν.δ.ο. ο πίνακας Α είναι μηδενοδύναμος τάξης : 1. Να βρεις τους ανάστροφους των πινάκων : 1 1 5 6 1 1 1, B, C 0 1 4 4 1 1 1. Να βρεις ποιος πίνακας είναι συμμετρικός και ποιος αντισυμμετρικός 0 8 1 4 4 1 0, B 8 1, C, D, E 0 5 1 1 1 4 14. Να βρεις ποιος πίνακας είναι άνω, κάτω τριγωνικός, διαγώνιος 15. Αν 16. Αν 8 1 4 4 4 1 0 0 0, B 0 1, C, D, E 0 5 0 1 0 0 1 4 x y 0, να βρεις x,y ώστε να είναι διαγώνιος ο 5 x y 6, να βρεις x,y ώστε να είναι κάτω τριγωνικός ο 17. 1 Να βρεις άνω τριγωνικούς ώστε 0 1 18. Να βρεις πίνακα όπου το τετράγωνό του να είναι διαγώνιος 19. Να υπολογίσεις τις ορίζουσες : 0. Να υπολογίσεις ορίζουσες : 1. Να υπολογίσεις ορίζουσες :. 0 0 1 1 1 1, 1 0, 6 9, 0 4 1 66 4 1 0 0 0 5 1 0 0 x y z z 1 x 1 1 4 0 0 x y z 4 z, 1 1 x 1, 0 0 5 6 4 1 1 1 x 0 0 7 8 1 1 1 x y z y z x z x y Να λύσεις τα συστήματα : μέθοδο Crammer ή Gauss x y 1 x y 5 x y 5,,, x y x y 1 x y 1 0 1... 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0,,... 1... 1 0 0 6 1 1... 0 0 0 0 4 5

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88. 4. 5. x y z x y z x y z y z x 5, x y z 1, x y 5, y z 1 x y z 1 x y z 1 x y z 5 x y z 5 x y z 1 x y z 1, x z 1, x y z 1, x y z 4 x y z 4 x y z 1 5 1 x 0 y 1 0 z 1 6. a 1 x 0 Να βρεις το α ώστε να έχει άπειρες λύσεις : 1 1 a y 0 1 1 z 0 7. Να διερευνήσεις ως προς το πλήθος των λύσεων το σύστημα : a 1 x 0 y 1 0 z 1 8. Να μετατρέψεις σε κλιμακωτή μορφή τους πίνακες : 0 1 4 1 4 5 6 0 0, 0 1, 4 1 6 5 1 6 4 7 5 1 4 0 7 4 1 8 X 8 1 8 X 6 16 1 4 1 9. Να λυθούν με Gauss τα συστήματα : 4 X 14 1 0 6 1 1 0 1 X 0 4 4 0 6

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Τετραγωνική μορφή πινάκων Η τετραγωνική μορφή δύο μεταβλητών x,y ορίζεται ως : a b x ax bxy cy x y z z,όπου Α συμμετρικός πίνακας, δηλαδή οι b c y συντελεστές των τετραγώνων μπαίνουν στη διαγώνιο του πίνακα Α και οι συντελεστές των άλλων ως μισά στις υπόλοιπες θέσεις. Π.χ. f x, y, z x 7y z 4xy xz 6yz : οι συντελεστές 1,7,- θα βρίσκονται στην κύρια διαγώνιο και οι αριθμοί,-1, στις αντίστοιχες θέσεις, το στη θέση a1 a1 γιατί είναι ο 1 1 μισός συντελεστής του xy, 7 1 Θετικά ορισμένη μορφή : αν ο πίνακας Α είναι θετικά ορισμένος (όλες ιδιοτιμές θετικές ή όλοι οι υποπίνακες του Α να έχουν θετική ορίζουσα) Θετικά ημιορισμένη μορφή : αν ο πίνακας Α είναι θετικά ημιορισμένος (όλες ιδιοτιμές θετικές και κάποια 0 ή όλοι οι υποπίνακες του Α να έχουν θετική ορίζουσα και κάποια 0) Αρνητικά ορισμένη μορφή : αν ο πίνακας Α είναι αρνητικά ορισμένος (όλες ιδιοτιμές αρνητικές ή όλοι οι υποπίνακες του Α να έχουν αρνητική ορίζουσα) Αρνητικά ημιορισμένη μορφή : αν ο πίνακας Α είναι αρνητικά ημιορισμένος (όλες ιδιοτιμές αρμητικές και κάποια 0 ή όλοι οι υποπίνακες του Α να έχουν αρνητική ορίζουσα και κάποια 0) Αόριστη μορφή αν στα παραπάνω παίρνει θετικές και αρνητικές τιμές Διαγωνοποίηση Τετραγωνικής μορφής : Μετατρέπεις μία τετραγωνική μορφή σε άθροισμα τετραγώνων χωρίς την εμφάνιση απλών γινομένων μεταξύ των μεταβλητών όπου x x y Dy όπου D είναι ο διαγώνιος πίνακας με τιμές στη διαγώνιο τις ιδιοτιμές του πίνακα Α. D P P όπου P ο πίνακας με στήλες τα ορθομοναδιαία διανύσματα του πίνακα Α Κωνικές τομές και τετραγωνικές μορφές : Όταν έχω τετραγωνική μορφή με το xy μέσα της έχουμε περιστροφή του σχήματος και τα πράγματα περιπλέκονται, οπότε : Παίρνω την τετραγωνική μορφή και βρίσκω τη διαγώνια μορφή της. π.χ. 5x 6xy 5y 8 0 με διαγωνοποίηση θα πάρει τη μορφή x 8y 8 0 όπου εύκολα βλέπουμε ότι είναι έλλειψη με κάποια στροφή. Για να βρω τη στροφή φτιάχνω τον πίνακα P όπου έχει για στήλη τα cos ορθομοναδιαία ιδιοδιανύσματα και εξισώνω τον πίνακα P sin περιστροφής της έλλειψης. Δηλαδή πρακτικά σε κάθε περίπτωση το διάνυσμα των παλαιών μεταβλητών και y το διάνυσμα των νέων μεταβλητών. sin όπου θ η γωνία cos x Py όπου x το 7

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Θέμα : Να βρεθεί η κωνική μορφή : x 10x x x 1 Απάντηση: Θα φτιάξω έναν συμμετρικό πίνακα ώστε 1 1 x 10 x1x x x x άρα x1 1 1 5 x και x 5 1 Υπολογίζω ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα, οπότε : I 0 θα βρεις, 6. Για την ιδιοτιμή -4 θα βρεις ιδιοδιάνυσμα x 1 1 1 4 και για την ιδιοτιμή 6 θα βρεις ιδιοδιάνυσμα 4 0 1 1 x 1 1 οπότε δημιουργείται ο διαγώνιος D και ο πίνακας P τον οποίο τον 0 6 1 1 θέλουμε σε ορθογώνια μορφή. Όμως τυχαίνει τα διανύσματα γραμμές και στήλες να είναι κάθετα άρα μένει να εξασφαλίσω ότι είναι μοναδιαία. Προφανώς 1 P 1 1 1 x Θέτω x Py όπου y οι νέες συντεταγμένες.οπότε η σχέση y 4 0 x x x 1 y P Py 1 y Dy 1 x y 1... 4x 6y 1 0 6 y δηλαδή προκύπτει υπερβολή y x 1 όπου το νέο σύστημα συντεταγμένων έχει την ίδια αρχή 1 1 αξόνων αλλά έχει προκύψει από τη στροφή κατά γωνία θ, όπου P 1 1 Θέμα : Να βρεθεί η κωνική μορφή : x 6x x 5x 4 x 8 x 56 0 Απάντηση: Θα φτιάξω έναν συμμετρικό πίνακα ώστε 5 1 1 1 και η κωνική μορφή γίνεται x x 4 8 x 56 0 5 x1 6x1x 5x x x άρα x1 5 x και x 5 Υπολογίζω ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα, οπότε : I 0 θα βρεις, 8. Για την ιδιοτιμή θα βρεις ιδιοδιάνυσμα x 1 1 1 και για την ιδιοτιμή 8 θα βρεις ιδιοδιάνυσμα 0 1 1 x 1 1 οπότε δημιουργείται ο διαγώνιος D και ο πίνακας P τον οποίο τον 0 8 1 1 8

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 θέλουμε σε ορθογώνια μορφή. Όμως τυχαίνει τα διανύσματα γραμμές και στήλες να είναι κάθετα άρα μένει να εξασφαλίσω ότι είναι μοναδιαία. Προφανώς Θέτω x x 1 P 1 x x Py όπου y οι νέες συντεταγμένες.οπότε η σχέση y 1 1 4 8 x 56 0 y P Py 4 8 Py 56 0... x 8y 16x y 56 0 x 4 y 4 1 οπότε εμφανίζεται έλλειψη δημιουργώντας ταυτότητες : 1 4 x x' Θέτω y z, y, z οπότε προκύπτει η έλλειψη : x ' ' y 1. Άρα η αρχική έχει τη y y' 4 1 μορφή της τελευταίας έλλειψης σε ένα νέο σύστημα αξόνων με αρχή κάποιο νέο σημείο και στροφή κατά γωνία θ. Αρχικά θέσαμε 4 x Py x P z Pz Άρα αρχή του νέου συστήματος βρίσκεται στη θέση σχέση P 1 1 1 1 M 6, 6 και στροφή που προκύπτει από τη Να βρεις το σχήμα και να σχεδιάσεις : 0. 1... 4. 5. x y 4 4 x y 9 4 x y 16 9 x y 16 9 1 1 1 0 x y 0 4 9 x y 6x 0 9

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 6. x y 7. 8. 9. 40. 41. 4. 4. 44. 45. 46. 1 8 9x 4y 6 9x 4y 6 9x 4y 0 9x 4y 0 9x 9y 1 9x 4y 1 9x 4y 1 9x 4y 0 x 1 y 9 4 x y 1 16 9 47. x 4 y 1 48. y 9 x 49. 50. 51. 5. 5. 54. 1 1 4x 16x y 6y 1 0 x y 4x 4y 0 9x 4y 18x 7 x y 10xy 8 x 8 y 0 x y xy x y 6 4 4 0 5x 6xy 5y x 14y 5 0 Διαμέριση πινάκων Θα πρέπει να διαμερίσεις έναν πίνακα ώστε να μπορείς να διατηρήσεις τις πράξεις πινάκων και στα διαμερισμένα μέρη. 6 4 1 1 1 Παράδειγμα : Δίνονται οι πίνακες : 1 6, B 7 προφανώς μπορεί 0 4 7 1 1 5 να εκτελεστεί ο πολλαπλασιασμός και θα προκύψει νέος πίνακας Γ με διάσταση *. Όμως θελει 10

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 προσοχή στη διαμέριση. Οπότε διαμερίζεις τον Α σε στήλες και στήλες, γραμμές και 1 γραμμή και τον Β σε γραμμές και γραμμές, οπότε οι πίνακες είναι συμβατοί για plot πολλαπλασιασμό. 6 4 1 1 1 5 4 * B* E* E BF B 1 6 7 6 G1* D 1* F * GE DF 0 4 7 1 1 1 5 Ορισμοί : Αν πίνακας Α είναι διαμεριστικός με μορφή τριγωνικός block, 11 ονομάζεται διαγώνιος block. 1 0 11 1 0 ονομάζεται κάτω τριγωνικός block, Θεώρημα : Αν πίνακας Α είναι διαμεριστικός με μορφή Θεώρημα : Αν πίνακας Α είναι διαμεριστικός με μορφή 1 1 1 1 11 11 1 1 0 Θεώρημα : Αν πίνακας Α είναι διαμεριστικός με μορφή 0 11 0 ονομάζεται άνω 0 11 1 11 0 1 0 τότε τότε τότε 11 0 0 1 1 11 1 1 11 0 1 1 1 1 11 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 Αν, B 1 0 I 0 1 0 τότε B 1 0 1 1 0 0 1 0 I 0 B 1 I B 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 Να γίνουν μερικά παραδείγματα με αντίστροφους πίνακες σύμφωνα με τα θεωρήματα 0 1 11

ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Ο διανυσματικός χώρος Σε ένα διανυσματικό χώρο ισχύουν τα εξής : Για την πρόσθεση : 1. u vv, u, vv ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ v αποτελείται από όλα τα διανύσματα της μορφής x1 x. v w w v (αντιμεταθετική ιδιότητα). u v w u v w (προσεταιριστική ιδιότητα) 4. Υπάρχει το μηδενικό στοιχείο όπου 0 v v 0 v 5. Για κάθε v υπάρχει το αντίθετό του - v όπου v v 0 Για τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό 6. au V, u V, a 7. Υπάρχει το μοναδιαίο στοιχείο : 1v v 8. k v w v w k kv kw (επιμεριστική ιδιότητα) 9. kl v k lv v Αν, x y καλείται γραμμικός συνδυασμός των, Σε ένα διανυσματικό χώρο ισχύει ότι :, V, x, y x y V Αν V διανυσματικός χώρος τότε διανυσματικός υπόχωρος U : U V :, U, U & a U ή, U, x, y x y U spana a,..., a b x a... x a 1, v 1 1 v v,,..., xv δηλαδή είναι το σύνολο όλων των γραμμικών τους συνδυασμών Γραμμικώς ανεξάρτητα είναι τα διανύσματα όπου : x1a 1... xvav 0 x1... xv 0 Ένα σύνολο διανυσμάτων καλείται βάση ενός διανυσματικού χώρου αν είναι γραμμικώς ανεξάρτητα και κάθε διάνυσμα του χώρου μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός αυτών Μηδενοχώρος (nullspace) : Για ένα πίνακα m* n n ο υπόχωρος N x : X 0. Η διάσταση του χώρου λέγεται μηδενικότητα v(). Καλείται και πυρήνας του πίνακα Α (προσοχή : αν V υπόχωρος που αποτελείται από διανύσματα τα οποία είναι κάθετα δε κάθε διάνυσμα γραμμή του Α τότε ορθογώνιο συμπλήρωμα V N() Χώρος στηλών : Για ένα πίνακα m* n m n ο υπόχωρος R b : X b, X. Καλείται και εικόνα του πίνακα Α. Η διάσταση του χώρου ισούται με την τάξη ή βαθμό του πίνακα : rank() Για τον πίνακα m * n ισχύει : rank()() v n Αν v1, v,..., vs διανύσματα ενός Κ-διανυσματικού χώρου V τότε ο υπόχωρος όλων των γραμμικών συνδυασμών των v1, v,..., vs λέγεται χώρος παραγόμενος από τα διανύσματα v 1, v,..., vs και τον συμβολίζουμε spanv v v Τομή υποχώρων,,,..., s 1 U W είναι υπόχωρος : U W v : v U, v W 1

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Τεχνική : πάρε ένα τυχαίο στοιχείο u U και ένα τυχαίο στοιχείο w W, εξίσωσέ τα και φτιάξε σχέση μεταξύ τους για να μπορέσεις να φτιάξεις βάση και διάσταση. Άθροισμα υποχώρων : Αν U,W είναι δύο υπόχωροι ενός Κ-διανυσματικού χώρου V τότε ο υπόχωρος : U W v : v x y, x U, y W Τεχνική : για να βρεις εύκολα βάση και διάσταση, βρες βάση τουu, βρες βάση του W οπότε ο υπόχωρος U W span... όλων των διανυσμάτων των βάσεων μαζί και ελέγχεις ποια είναι γραμμικά ανεξάρτητα, για να φτιάξεις βάση και διάσταση του αθροίσματος. Προσοχή : dimu W dimu dimw dimu W Αν U W 0 τότε ο διανυσματικός χώρος V U W καλείται ευθύ άθροισμα και dimv dimu dimw Βάση διανυσματικού χώρου V θα λέγεται ένα σύνολο διανυσμάτων : S u u u 1,,..., n 1 αν τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και κάθε διάνυσμα του V γράφεται σαν γραμμικός συνδυασμός των u1, u,..., un Ορθοκανονική βάση : μετατρέπεις μία βάση του χώρου σε μοναδιαία και κάθετα μεταξύ τους διανύσματα Gram Schmidt() ί 1 1 1,..., v 1,..., με τη μέθοδο : ό 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1... Κανονική βάση του : e 1,0,0, e 0,1,0, e 0,0,1 1 Θεώρημα : Έστω V ένας διανυσματικός χώρος με dimv n, τότε Οποιαδήποτε n 1 ή περισσότερα διανύσματα είναι πάντοτε γραμμικά εξαρτημένα Οποιαδήποτε n 1 ή λιγότερα διανύσματα δεν αρκούν για να παράγουν τον χώρο Εάν έχουμε n ακριβώς διανύσματα τότε αυτά αποτελούν βάση του V αρκεί να ισχύει μόνο ένα από τα παρακάτω : Τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα Τα διανύσματα παράγουν το χώρο Οποιαδήποτε k γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα, k n αποτελούν μέρος μιας βάσης του V, δηλαδή μπορούν να συμπληρωθούν σε μία βάση του χώρου 55. Να αποδείξεις ότι a,1, b 1, 1 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ : είναι βάση του a 1,0,0, b 0,1,0, c 0,0,1 είναι βάση του 56. Να αποδείξεις ότι

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 57. Να αποδείξεις ότι 1 0 0 0 0 0 0 E1 E1 E1 E1 0 0 0 0 0 4 4 είναι βάση του M 58. Να βρεις ένα μη μηδενικό ορθογώνιο διάνυσμα στα διανύσματα x i j 7 k, y 5i 9k (υπόδειξη : το εξωτερικό τους γινόμενο είναι κάθετο και στα δύο) Εξωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων x x, y, z, y x, y, z 1 1 1 i j k x y x y z... : 1 1 1 x y z Προσοχή : Το μέτρο του εξωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων εκφράζει το εμβαδό του παραλληλογράμμου που ορίζουν τα δύο διανύσματα. Το μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων,, a b c a b c εκφράζει κατά την απόλυτή του τιμή τον όγκο του παραλληλεπιπέδου που έχει τρεις ακμές με κοινή αρχή τα διανύσματα a,b,c. 59. 60. Να βρεις το x y, x i j k, y 5 j k a 1,,, b,0,1, c 1, 6, 4, να βρεις 61. Να βρεις το υπόχωρο που παράγεται από τα βάση και διάστασή του. 6. Να βρεις τον υπόχωρο που παράγεται από a() x 1 x x,() b x,() x 4c x x x x καθώς και μία βάση του και τη διάστασή του 6. Θεωρούμε τους υποχώρους,, : 0, 1,,, 1, 1,1 U x y z z V span μία βάση και διάσταση των χώρων : U, V, U V, U V 64. Να εξετάσεις αν είναι υπόχωροι του, τα U x y z xyz V x y z xy,, : 1,,, : 0 65. Να εξετάσεις αν είναι υπόχωρος του και διάστασή του, U x, y, z : x y z 0 66. Να εξετάσεις αν είναι υπόχωρος : διάστασή του., να βρεις και να βρεις βάση x y W M : x y, z w και να βρεις βάση και z w «Αξίζει να δεις μία ωραία άσκηση πάνω σε τομή και άθροισμα υποχώρων» Άσκηση σε «τομή και άθροισμα» υπόχωρων Θεωρούμε τους υπόχωρους V, W του R που ορίζονται ως εξής: V x y z R x y z {(,,), 0} και W x y z R x y z {(,,), 0}. i. Να βρείτε μία βάση του V και μία βάση του W. ii. Να βρείτε μία βάση της τομής V W. iii. Να βρείτε τη διάσταση του υποχώρου V W. Λύση : 14

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 V {( x, y,) z R, x y z 0} z x y άρα (,, ) 1, 0, 0,1, οπότε V span 1,0,, 0,1, V x y x y x y και πρέπει να τσεκάρω αν είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Έχω επιλογές : 1 0 1 0 1 0 k1 1,0, k 0,1, 0... k1 k 0 ή 0 1 0 1 0 1 οπότε με 0 0 0 οποιονδήποτε τρόπο θα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα άρα θα αποτελούν βάση, οπότε dimv W {( x, y,) z R, x y z 0} z x y άρα (,, ) 1,0, 1 0,1, οπότε W span 1,0, 1, 0,1, W x y x y x y και πρέπει να τσεκάρω αν είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Έχω επιλογές : 1 0 1 0 1 0 k1 1,0, 1 k 0,1, 0... k1 k 0 ή 0 1 0 1 0 1 οπότε με 1 0 0 0 οποιονδήποτε τρόπο θα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα άρα θα αποτελούν βάση, οπότε dimw V W u U : u V, u W οπότε πρέπει να βρω τα κοινά τους διανύσματα] Παίρνω ένα διάνυσμα από το V ( x, y, x ) y και ένα διάνυσμα από το W ( k, m, k ) m και θα τα εξισώσω για να βρω αν υπάρχουν κοινές λύσεις. Άρα x k x, y, x y k, m, k m y m x y k m k m k m k 0 x V W 0, y, y y 0,1, άρα βάση το διάνυσμα οπότε θα έχω κοινή λύση με μορφή : 0,1, και dimv W 1 Οπότε από τον τύπο V W V W V W V W dim dim dim dim dim V W v wu : v V, ww x, y, z k, m, n : x, y, zv, k, m, n W = x, y, z k, m, n : x, y, z x1,0, y 0,1,, k, m, n k 1,0, 1 m0,1, = x1,0, y 0,1, k 1,0, 1 m0,1, span1,0,, 0,1,, 1,0, 1, 0,1, span1,0,, 0,1,, 1,0, 1 άρα θα πρέπει να τσεκάρω πόσα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα (γνωρίζω ότι θα είναι dim V W k 1, 0, k 0,1, k 1, 0, 1 0... k k k 0 ή από το ). 1 1 15

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 άρα πράγματι θα έχει διάσταση και ο χώρος θα 1 0 1 0 0 1 είναι ο. dim()v : καλείται η διάσταση ενός διανυσματικού χώρου (V) και συμβολίζει τον αριθμό των στοιχείων κάθε βάσης του δ.χ.. Για να βρω τη διάσταση θα πρέπει να πάρω τα διανύσματα της βάσης να τα βάλω ως γραμμές σε έναν πίνακα Α να τον φέρω σε κλιμακωτή μορφή και η βάση θα είναι οι μη μηδενικές γραμμές οπότε το πλήθος των μη μηδενικών γραμμών θα είναι το dim(v) Ο βαθμός ενός πίνακα Α συμβολίζεται με rank() και είναι ο μέγιστος αριθμός ανεξάρτητων στηλών του Α Ο βαθμός ενός πίνακα Α είναι ίσος με την τάξη της μεγαλύτερης μη μηδενικής υποορίζουσάς του Εικόνα ενός πίνακα Α ορίζεται ως εξής : im() : y y x Πυρήνας ενός πίνακα Α ορίζεται ως εξής : ker() : x x 0 67. Να δείξεις ότι το 68. Να δείξεις ότι το 69. Να εξετάσεις αν το,,,,0,,, 4 W x x x x (υπόχωρος) W x x x x (υπόχωρος) W x y z x y z,, : 1 (υπόχωρος) 70. Να εξετάσεις ως γραμμική ανεξαρτησία τα διανύσματα : a 1,0,0, b 0,1,1, c 1,0,1 a 1,,, b 1,1, 1, c,5,5 a 1,,,4, b 0,1, 1,4, c 0,0,0,, d 1,0,0, a 1,, 1,, b 0,1, 1,4, c 0,0,0, 71. Αν είναι γραμμικώς ανεξάρτητα τα a, b, c,ν.δ.ο. το ίδιο ισχύει για τα a b, b c, a c 7. Να εξετάσεις να είναι βάση του :,1, 1,1 7. Να εξετάσεις να είναι βάση του :,1, 4, 74. Να εξετάσεις να είναι βάση του :,1,, 4,0,,, 1, 1 75. Να βρεις βάση και διάσταση του W span 1,,, 1,1,0, 0,1,1 76. Να βρεις βάση και διάσταση του W span 4,,,5, 1,1,0,6,,0,,7, 5,1,6,6 77. Να βρεις βάση και διάσταση του W span 1,,1, 1,1,1, 5,7,5 16

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 1 1 1 0 0 1 4 1 1 0 78. Να βρεις το βαθμό των πινάκων :,,, 1 0 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 0,,, 1 4 4 4 1 1 4 x 1 4 y 14 1 0 z 6 1 1 x 1 y 5 1 z 5 79. Πόσες λύσεις έχουν τα συστήματα με χρήση rank() : 1 1 x 1 y 5 1 z 4 5 1 x 0 y 1 0 z 1 80. Να βρεις rank, null, ά Im, ά Kerf για τους πίνακες : 1 1 1 0 1 1 1 0,, 0 1 4 4 1 0 1 1 1 4 1 4 6 0 5 0 0 7 81. 1, B 0 1 10 Im Im B 8. Να βρεις ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα των πινάκων :, όπου : 0 0 1 1,, 0 1 0 0 0 0 8. 0 0 0 Ομοίως : 0 1, 7 1 6 0 0 1 και 17

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 84. Να βρεις γεωμετρική και αλγεβρική πολλαπλότητα ιδιοτιμών των πινάκων : 1 0 0 4 0 1, 6 4 0 0 85. Ομοίως : 4 4 6 5 86. Να παραγονοποιήσεις στη μορφη LU τους πίνακες : 0 0 7 1 1 1 1 1 8, B 5 1 8 1 1 4 5 0 1 7 8 5 4 87. Να λύσεις τα συστήματα : x 4y z 1 x y z x 10z 5 x y 0, x 5y z 1, x y 4z 1 4x y z 7x 17y 5z 1 4x y 6z 1 88. x y z w 0 x y z 0 Να λύσεις τα συστήματα :, x y w 0 4x y 6z 0 x y z w 0 89. Ευθεία στο χώρο : ευθεία που διέρχεται από σημείο x, y, z 1 1 1 και είναι παράλληλη σε διάνυσμα 1 1 1 a a, b, c ορίζεται το σύνολο των σημείων,, : x x y M x y z y z z (συμμετρική μορφή). a b c x x1 y y1 z z1 Ισοδύναμη είναι η παραμετρική μορφή t x x1 at, y y1 bt, z z1 ct a b c και η διανυσματική μορφή : r() t r1 t a, r1 x1, y1, z1 1 det,, ενώ το εμβαδό det,. Όγκος παραλληλεπιπέδου είναι το απόλυτο της Εμβαδά με βοήθεια διανυσμάτων : Το εμβαδό τριγώνου παραλληλογράμμου ορίζουσας των τριών διανυσμάτων που δημιουργούν το παραλληλεπίπεδο ή V c a b διάνυσμα του ύψους του παραλληλεπιπέδου και a b όπου c το το εξωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων που δημιουργούν τη βάση του παραλληλεπιπέδου. Συμβουλές Για να βρεις ευθεία που διέρχεται από γνωστά σημεία Α,Β : φτιάξε B και κράτα το ένα σημείο 18

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Να βρεις την τομή δύο μη παράλληλων επιπέδων : θα λύσεις το σύστημα των αγνώστων και εξισώσεων άρα θα έχεις άπειρες λύσεις. Θα πάρεις την παραμετρική μορφή της ευθείας Να βρεις τη γωνία δύο ευθειών (μη ασύμβατες) : βρες τη γωνία των παράλληλων διανυσμάτων a1a b1b c1c τους με τύπο : a b c a b c 1 1 1 Δύο ευθείες είναι ασύμβατες (δεν τέμνονται & δεν είναι παράλληλες) : όταν η ορίζουσα του πίνακα είναι διάφορη του μηδέν : x x1 y y1 z z1 a1 b1 c1 a b c Για να βρεις κοινό σημείο επιπέδου και ευθείας : λύνεις σύστημα το επίπεδο και τις δύο εξισώσεις της ευθείας από την συμμετρική της μορφή Γωνία επιπέδου και ευθείας : πάρε το διάνυσμα του επιπέδου, το οποίο όπως γνωρίζεις είναι κάθετο στο επίπεδο και το διάνυσμα της ευθείας, το οποίο όπως γνωρίζεις είναι παράλληλο σ αυτή και υπολόγισε τη γωνία των δύο διανυσμάτων. Το νου σου : η γωνία επιπέδου ευθείας θα είναι η συμπληρωματική της γωνίας που βρήκες Επίπεδο στο χώρο : σημεία μη συνευθειακά,,,,,,,, επίπεδο το οποίο έχει την εξίσωση : επιπέδου των σημείων Α,Β,Γ x y z B x y z C x y z ορίζουν ένα 1 1 1 x x1 y y1 z z1 x x1 y y1 z z1 0 x x1 y y1 z z 1 Συμβουλές Κάθε επίπεδο : μπορεί να πάρει τη μορφή x By Cz D 0, όπου M x, y, z τυχαίο σημείο του όπου u, B, C διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο Για να βρεις επίπεδο που διέρχεται από σημεία πάρε τη μορφή x By Cz D 0 αντικατέστησε τα σημεία και λύσε σύστημα θεωρώντας το D σταθερό αριθμό. v a, b, c είναι κάθετο στο επίπεδο x By Cz D 0 αν το v / / u, B, C,, u, B, C Ένα διάνυσμα Ένα επίπεδο που διέρχεται από σημείο x y z και είναι κάθετο στο εξίσωση : x x B y y C z z Ένα διάνυσμα 1 1 1 v a, b, c v u, B, C 1 1 1 0 είναι παράλληλο στο επίπεδο x By Cz D 0 αν το είναι έχει 19

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Επίπεδο που διέρχεται από x, y, z και είναι παράλληλο σε u, B, C, v a, b, c την εξίσωση : 1 1 1 x x1 y y1 z z1 C 0 a b c Για να εξετάσεις αν δύο επίπεδα είναι παράλληλα ή κάθετα μεταξύ τους αρκεί να ελέγξεις τα αντίστοιχα διανύσματά τους Η δίεδρη γωνία θ μεταξύ δύο επιπέδων προσδιορίζεται από τη σχέση : a a b b c c 1 1 1 a b c a b c 1 1 1 Απόσταση σημείου,, M x y z από επίπεδο x By Cz D 0 : 1 1 1 θα έχει x1 By1 Cz1 D d M, E B C Αξονική δέσμη επιπέδων 1, :(1) 1 0 δηλαδή όλα τα επίπεδα που διέρχονται από την κοινή ευθεία των δύο επιπέδων x B y C z D 0 Σχετική θέση επιπέδων : 1 1 1 1 x B y C z D 0 : ορίζουμε τους πίνακες : x B y C z D 0 1 B1 C1 1 B1 C1 D1 P B C, Q B C D και έχουμε τις παρακάτω περιπτώσεις : B C B C D Αν rank()() P rank Q τότε τα τρία επίπεδα τέμνονται σε ένα σημείο Αν rank() P,() rank Q τότε τα δύο επίπεδα τέμνονται κατά μία ευθεία παράλληλη στο τρίτο επίπεδο Αν rank()() P rank Q τότε τα τρία επίπεδα περνούν από μία ευθεία Αν rank() P 1,() rank Q τότε τα επίπεδα είναι παράλληλα Αν rank()() P 1rank Q τότε τα επίπεδα συμπίπτουν ή λύσε σύστημα με επαυξημένο πίνακα και από τις λύσεις που θα βρεις θα καταλάβεις και τη σχετική θέση 104. Να βρεις την εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από τα σημεία 6,0,0, B0,,0, C 0,0, 1 Υπόδ: πάρε μορφή Αx+Βy+Cz+D=0 και λύσε σύστημα θεωρώντας το D ως αριθμό και στο τέλος διέγραψέ το. Θα βρεις : x+y+6z+6=0 x y z 1 0 105. Να βρεις το σημείο τομής των επιπέδων : x y z 1 0 x y 4z 0 0 Υπόδ: απλά λύσε σύστημα : (10,-,7)

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 106. Να βρεις το σημείο τομής των επιπέδων : x=-t,y=-,z=t άρα παραμετρική μορφή ευθείας 107. Να βρεις το σημείο τομής των επιπέδων : x y z 1 0 x y z 1 0 x y z 0 x y z 1 0 x y z 1 0 x y z 0 Υπόδ: απλά λύσε σύστημα, θα βρεις άπειρες λύσεις : Υπόδ : λύσε σύστημα : αδύνατο 108. Να βρεις το επίπεδο που διέρχεται από τα σημεία 1,,0, B0,1,, / / a 1,1,1 διάνυσμα ΑΒ οπότε βρες το επίπεδο που διέρχεται από σημείο και παράλληλο σε ΑΒ,α 109. Να βρεις επίπεδο που διέρχεται από 1,1,1, / / a 1,,, / / b,, 110. Να δείξεις ότι το διάνυσμα 111. Να βρεις επίπεδο που διέρχεται από 11. Να δείξεις ότι a 1,,1 x y z 10 0,,4, a,, a 1,,1 / / x y 5z 0 11. Να δείξεις ότι τα επίπεδα : 5x y z 6 0 / /10x 4y z 0 114. Να δείξεις ότι τα επίπεδα : x y z 1 0 x y z 5 0 115. Να βρεις τη γωνία των επιπέδων: x y 4 0, x y 0 116. Να βρεις τη γωνία των επιπέδων : x y z 0, x y z 5 0 117. Να βρεις επίπεδο που διέρχεται από 5y+0z+D=0, 118. Να βρεις το επίπεδο που διέρχεται από ΑΒ και // (4,-1,) και θα διέρχεται από Αή Β 119. Να βρεις επίπεδο που θα διέρχεται από Υπόδ: φτιάξε το,,6, / / x 5y 7 0 Υπόδ : θα έχει μορφή : x- 1,,, B,,1, 4x y z 7 0 Υπόδ :άρα θα είναι // 1,,, x y z 0, x y z 5 0 Υπόδ : έστω επίπεδο x+by+cz+d=0 (στην τύχη για D=1) τότε διέρχεται από (1 η σχέση) και (,B,C) κάθετο σε (1,,-1),(,-,1) 10. Να βρεις επίπεδο που περνάει από τομή επιπέδων : x 7y 4z 0,x 5y 4z 11 0 και από το σημείο,1, Υπόδ: Φτιάξε αξονική δέσμη των δύο επιπέδων και μετά περνάει από το σημείο 11. Να βρεις επίπεδο που είναι κάθετο στο 5x y z 0 0 και διέρχεται από την τομή των επιπέδων : x 4y z 1 0, 4x 7y z 4 0 Υπόδ: πάρε την αξονική δέσμη των δύο επιπέδων και βάλε το κάθετο στο 1 ο επίπεδο, θα βρεις το κ 1. Να βρεις την απόσταση των M,,,8x 4y z 8 0 1. Να βρεις την απόσταση των επιπέδων : x y 6z 14 0,x y 6z 7 0 14. Να βρεις επίπεδο που απέχει 4 από M 4,1,, / / 4x 4y 7z 0 15. Να βρεις σημείο Μ του άξονα yy που ισαπέχει από επίπεδα 4x 4y 7z 8 0,8x 9y 7z 7 0 Υπόδ :θεώρησε Μ(0,y,0) 16. Πολλές Άλυτες Ασκήσεις για επίπεδα : σε φυλλάδιο καθηγητή Κεχαγιά 17. Να βρεις την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία : 1,,0, B0,1, Υπόδ :για συμμετρική μορφή πάρε τύπο, για παραμετρική μορφή φτιάξε διάνυσμα ΑΒ 1

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 x 1 y z 18. Να βρεις τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας : υπόδ: κάνε την αναλογία =t 1 19. Να βρεις τις συμμετρικές εξισώσεις της ευθείας με παραμετρική μορφή : x 1 t, y t, z 1 t 10. Να δείξεις ότι είναι συνευθειακά τα σημεία :,,1, B5, 4, 4, C 8,11, 9 x 1 y z 11. Ποιο σημείο της ευθείας : έχει συντεταγμένη z=1 1 1. Ποιο σημείο της ευθείας : x 1 t, y t, z 1 t έχει συντεταγμένη z= 1. Να βρεις τομή των επιπέδων : x y z 4 0, x y z 0 1 5 7 4 1 14. Να αποδείξεις ότι είναι παράλληλες οι ευθείες : x y z, x y z 1 4 6 7 15 7 4 15. Να αποδείξεις ότι είναι κάθετες οι ευθείες : x y z, x y z 4 1 1 1 16. Ποια ευθεία διέρχεται από,4, και είναι // σε ευθεία που διέρχεται από B 1,, 4, C,, 17. Να βρεις γωνία ευθειών : x 1 y z 4 4, x y z 6 6 6 18. Ποια ευθεία διέρχεται από, 1,4 και είναι κάθετη στις ευθείες : x y z 1 1, x y z 4 19. Να βρεις ευθεία που διέρχεται από,, 1, x y z 140. Υπολόγισε απόσταση ευθειών : x 1 t, y 1 t, z t & x t, y 1 t, z 0 141. Να βρεις απόσταση : 1,1,, x 1 t, y 5 t, z t x 1 y 5 z 7 14. Ποιο το σημείο τομής της ευθείας με επίπεδο : x y z 0 1 x y z 5 14. Να δείξεις ότι η ευθεία ανήκει στο επίπεδο : x 8y z 8 0 10 11 7 x 1 y 1 z 144. Να δείξεις ότι είναι παράλληλα :, x y 5 z 0 1 x 1 y z 145. Να δείξεις ότι είναι κάθετα :, x 5 y z 4 0 6 10 4 146. Ποια ευθεία διέρχεται από 1,, και παράλληλη στα επίπεδα : 147. x 4y z 0, x y 6z 4 0 σε φυλλάδιο καθηγητή Κεχαγιά

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Gram Schmidt() ί 1 1,...,,..., 1 v 1 1 ό 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1... Γραμμική απεικόνιση : Έστω V, W δύο πραγματικοί διανυσματικοί χώροι, η απεικόνιση f : V απεικόνιση ή γραμμικός μετασχηματισμός αν : f v1 v f v1 f v f av af v 1 1 W ή f av1 v af v1 f v είναι γραμμική Το υποσύνολο των διανυσμάτων του W τα οποία είναι εικόνες των διανυσμάτων V μέσω της f, είναι ένας διανυσματικός υπόχωρος του W που ονομάζεται εικόνα Im(f) Το υποσύνολο των διανυσμάτων του V για τα οποία f(v)=0 είναι ένας διανυσματικός υπόχωρος του V και ονομάζεται πυρήνας Ker(f) Im f f vw : v V ker f v V : f v 0 LOOK dim() dim()() dim Im f R r a dim ker f N n r a dim Im f dim ker f dimv f :11, f v1 f v v1 v f :" ί ", ww v V : f v w 11& ί ό

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 f :11 ker f 0() N0() r n f ί Im f W dim Im f dimw m r m f :11& ί r m n 0 Ιδότητες γραμμικής απεικόνισης f : V f 0 0 Αν v 1, v,..., vk V W f v f v f v W είναι γραμμικώς εξαρτημένα τότε 1,,..., k είναι γραμμικώς εξαρτημένα (το αντίστροφο δεν ισχύει απαραίτητα) f v1, f v,..., f vk W είναι γραμμικώς ανεξάρτητα τότε v 1, v,..., vk V είναι γραμμικώς ανεξάρτητα (το αντίστροφο δεν ισχύει απαραίτητα) Πίνακας Γραμμικής Απεικόνισης Έστω γραμμική απεικόνιση f : V W και διατεταγμένες βάσεις τους :,,...,, ' ', ',..., B b ' 1 b bn V B b1 b bm W f b1, f b,..., f bn W.Επειδή τα μπορούν να γραφούν σα γραμμικοί συνδυασμοί της βάσης Β. Άρα f b1 a11b1 ' a1b '... am 1bm ' f b a1b1 ' ab '... ambm ' οπότε τοποθετώντας τις συντεταγμένες σε στήλες... f b a b ' a b '... a b ' 1 1n 1 n mn m δημιουργείται ο πίνακας Α (πίνακας γραμμικής απεικόνισης) Μηδενοχώρος του Α : N() : nullspace Αρκεί να υπολογίσεις Αx=0 όπου, * x λύνεις με επαυξημένο πίνακα το σύστημα και ο χώρος δημιουργείται από τις λύσεις του x που θα είναι γνήσιο υποσύνολο του n m n n m Χώρος στηλών : Col() b : x b δηλαδή ο χώρος είναι το σύνολο των διανυσμάτων b που θα είναι γνήσιο υποσύνολο του m Δες το λυμένο παράδειγμα στο τέλος 4

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 148. Να αποδείξεις ότι είναι γραμμικές απεικονίσεις : f :, f x, y x y, y,x f : 4, f x, y, z, w x y z 4 w, x y z w 149. Έστω f : f x, y x y, y,x, να αποδείξεις ότι αποτελεί γραμμική απεικόνιση και να βρεις τον πίνακα τις συνάρτησης ως προς τις κανονικές βάσεις του, f : V W, B b1, b, b V, B ' b1 ', b ', b ', b4 ' W,αν f b1 b ' b ', f b b1 ' b ' b ', f b b ' b4 ', να βρεις τον πίνακα της απεικόνισης ως προς τις βάσεις Β,Β. Αν a b b f a ; 150. Έστω γραμμική απεικόνιση 151. Έστω f : να βρεις : 1 4 γραμμική απεικόνιση f x, y, z y z, x y,x 5 y z,x y z Πίνακα Α της απεικόνισης ως προς τις κανονικές βάσεις Να βρεις τις διαστάσεις και βάσεις των Kerf,Im f Είναι επί; 1-1;, f V W B b b b V B b b b b W,αν 15. Έστω γραμμική απεικόνιση :, 1,,, ' 1 ', ', ', 4 ' f b1 b1 ' b ', f b b1 ' b ', f b b1 ' b ' b ', να βρεις τον πίνακα της απεικόνισης ως προς τις βάσεις Β,Β. a b b f a ; και Αν 1 να βρεις Kerf,Im f x x y x x y 15. Αν γραμμικές απεικονίσεις : f y, g g f ; y z y x z 154. Αν γραμμική απεικόνιση f : 4 1 1,,0, 4, 0, 1, f e f e f e 0,0,0,0 f x, y, z ; 5

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 155. Έστω a 1,1,0, b 1,0,1, c 0,1,1 γραμμική απεικόνιση 156. Έστω 157. Έστω 158. Έστω 159. Έστω f f f : : : f : f a 1, 0,0 f b f c,1 f x, y, z ;, ν.δ.ο. αποτελούν βάση του απεικόνιση f x, y x y, x y, y f 1,, γραμμική απεικόνιση, ν.δ.ο. είναι γραμμική f 0,1 1,4(,) f; x y 1 1 γραμμική απεικόνιση. Αν επιπλέον έχεις f x, y x y, x y f,( f,) x; y x x x x z f, f :, f y, g y y z γραμμικές απεικονίσεις, να βρεις y z z f g, f, f 5g 160. Έστω 161. 16. 16. f : x x x y f :, g :, f y, g f g, g f ; y z y x z απεικόνιση K er f,im f f : f x, y x y, ν.δ.ο. είναι γραμμική και να βρεις βάση και διάσταση απεικόνιση f x, y x y, x y, y διάσταση K er f, Im f f : 4 απεικόνιση f x, y, z, w x y, y z, z x βάση και διάσταση K er f,im f 164. 165. 166., ν.δ.ο. είναι γραμμική και να βρεις βάση και, ν.δ.ο. είναι γραμμική και να βρεις 1 1 f : M M, N απεικόνιση N, ν.δ.ο. είναι γραμμική και να βρεις βάση και διάσταση K er f,im f 1 f : απεικόνιση X X, 1 1, ν.δ.ο. είναι γραμμική και να βρεις βάση και 5 5 διάσταση K er f, Im f. Είναι 1-1 και επί; f : απεικόνιση f x, y, z x y z,x y 4z βρεις βάση και διάσταση K er f,im f 167. Για τη γραμμική απεικόνιση, ν.δ.ο. είναι γραμμική και να f : απεικόνιση Υπόδειξη : γράψε το διάνυσμα [8,-5] ως γραμμικό συνδυασμό των [1,-1] και [,-1] για να μπορέσεις να βρεις την απεικόνιση 6

168. τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 f f f 1, 1 1,, 1 f :, 1 0,1, 8, 5 ; απεικόνιση f X x z, x y z,x y z βρεις βάση και διάσταση K er f,im f, ν.δ.ο. είναι γραμμική και να 1 0 169. Για τον πίνακα 0 0 να επαληθεύσεις θεώρημα Cayley-Hamilton και ν.δ.ο. 0 1 1 1 5 I 170. Cayley Hamilton ό, ώ... ό 1 1 1... 1 1 1 Πίνακας αλλαγής συντεταγμένων από βάση σε βάση Αν έχω βάσεις του ίδιου διανυσματικού χώρου V, έστω βάσεις : D d, d, F f, f Αν δίνεται η σχέση 1 τότε 1 1 f1 d1 d τότε φτιάχνεις πίνακα αλλαγής συντεταγμένων από τη βάση F σε D ως f d 5d 1 εξής PD F 5 και αν ζητηθεί ο πίνακας αλλαγής βάσης από D σε F τότε 1 1 1 5 d1 5 f1 f PF D P DF 5 1 δηλαδή : d f1 f d1 f1 f Αν δίνεται η σχέση τότε φτιάχνεις πίνακα αλλαγής συντεταγμένων από τη βάση D σε F ως d f f 1 1 1 εξής PF D 1 και αν ζητηθεί ο πίνακας αλλαγής βάσης από F σε D τότε P 1 1 1 1 1 P 1 1 1 δηλαδή : DF F D f d d 1 1 f d d 1 Το νου σου στους πίνακες οι στήλες είναι οι γραμμές των συστημάτων 7

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Να θυμάσαι : όταν δίνεται η συνάρτηση f ( x, y,)( z y, z x, y 5 x y, z x ) y z τότε παρατηρώ ότι f τρόπους για να υπολογίσεις τον πίνακα Α. : 4 οπότε δημιουργείται πίνακας γραμμικής απεικόνισης 4* 1 ος τρόπος : βρίσκεις τις εικόνες των διανυσμάτων της κανονικής βάσης του βάζεις ως στήλες του πίνακα Α. ος τρόπος : αναλύεις τον τύπο της συνάρτησης οπότε δημιουργείς τον πίνακα Α, βάζοντας τα διανύσματα του. Έχεις και τα αποτελέσματα τα f ( x, y,)( z y, z x, y 5 x y, z x ) y z, x(0,1,, )(, y 1, 5, )(1, 0,1, z ) 4 ως στήλες του Α Για το ker(f) : Λύνω f(x)=0 ή Αx=0,οπότε λύνεις το σύστημα που δημιουργείται με επαυξημένο 1 1 1 1 πίνακα.στο συγκεκριμένο θα βρεις άπειρες λύσεις ( x, y,)( z, z,)( z, z,1) z οπότε η βάση του ker(f) είναι το διάνυσμα ( 1, 1,1) με dim ker(f)=1. o dim θα μπορούσα να το βρω ως εξής : Από τον πίνακα Α βρίσκω την τάξη του οπότε dim ker(f)= n rank()=-=1 (θυμίζω έχεις 4* οπότε m=4,n= και rank()= αφού θα μείνουν μη μηδενικές γραμμές ) Για το Im(f) : Αφού βρεις τον πίνακα Α, ελέγχεις πόσες γραμμικά ανεξάρτητες στήλες έχει (rank). 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1... οπότε έχεις rank()=, dim Im(f)= και βάση 5 1 5 1 0 0 0 0 0 0 τα πρώτα διανύσματα του πίνακα Α : (0,1,,),(, 1, 5,). (θυμίζω dim im(f)=rank()) Προσοχή : η συνάρτηση είναι 1-1 : αν rank()=n, εδώ rank()=,n= Επί : αν rank()=m, εδώ rank()=,m=4 Col(Α) : Αx=b: χώρος στηλών: έχει τις pivot στήλες του πίνακα Α ή 0 1 x 1 1 0 * y b b y z, x y, x 5 y z, x y z 5 1 z 4 0 1 x 1 1 0 * 0,, 5, 0 5 1 z N() : null space : x=0 y y z x y x y z x y z 8

ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 y z 0 x y 0 x 5y z 0 x y z 0 x y 0 τότε λύνω με επαυξημένο πίνακα και καταλήγεις σε οπότε έχεις y z 0 ( x, y,)( z,,) y y y 1,1, y με βάση το (1,1,) και διάσταση 1. άπειρες λύσεις της μορφής Row() : θα έχει για βάση τις pivot γραμμές του πίνακα Α και βρίσκεις και διάσταση Θεωρητικά θέματα και όχι μόνο Σε πίνακα 5* το rank min m,() n rank οπότε αν ο πίνακας είναι πίνακας Α κάποιου γραμμικού μετασχηματισμού f τότε είναι λογικό να προκύψουν τα συμπεράσματα : επειδή :11() rank n τότε θα μπορούσε να είναι 1-1. Επειδή :() ί rank 5 m τότε δεν υπάρχει περίπτωση να είναι επί Λογικό συμπέρασμα : ένας γραμμικός μετασχηματισμός είναι 1-1 και επί τότε ο πίνακας Α θα είναι τετραγωνικός (λογικό αφού θα πρέπει : rank() m n Ένα σύστημα ομογενές είναι πάντα συμβιβαστό : πολύ λογικό αφού το ομογενές έχει πάντα λύση τη μηδενική και η απορία μας είναι αν έχει και άλλες, δηλαδή άπειρες. Το σύστημα X B είναι πάντα συμβιβαστό ; Απ : όχι, θα είναι αν 0 οπότε θα έχει μοναδική λύση και στην περίπτωση που 0 τότε ίσως αδύνατο, ίσως άπειρες (κάνε διερεύνηση με επαυξημένο) (προσοχή το παραπάνω σχόλιο ισχύει για σύστημα με ίδιο αριθμό εξισώσεων και αγνώστων - τετραγωνικός πίνακας) Το σύστημα X 0 αν έχει 0 τότε έχει μοναδική λύση τη μηδενική ενώ αν ισούται με 0 τότε έχει άπειρες(προσοχή το παραπάνω σχόλιο ισχύει για σύστημα με ίδιο αριθμό εξισώσεων και αγνώστων - τετραγωνικός πίνακας) Για το σύστημα x y 5z 0 X 0 x y z 0 x y z 0 μπορώ να σκεφτώ τα εξής : Πίνακας * ( εξισώσεις, άγνωστοι) Συμβιβαστό σύστημα γιατί σίγουρη λύση η μηδενική x 0, y 0, z 0 Το λύνω για να δω αν έχει και άπειρες λύσεις Αν 0 τότε έχω μοναδική λύση τη μηδενική Αν 0 τότε έχει άπειρες και αξίζει να τις βρω με επαυξημένο Αν rank τότε μοναδική λύση τη μηδενική Αν rank τότε έχει άπειρες λύσεις Αν rank τότε έχει άπειρες λύσεις και επειδή dim 9 rank Null n τότε dim() Null 1 άρα θα έχεις μία ελεύθερη μεταβλητή δηλαδή z και θα βρεις τα x,y συναρτήσει της z Αν rank 1τότε έχει άπειρες λύσεις και επειδή dim rank Null n τότε dim() Null άρα θα έχεις δύο ελεύθερες μεταβλητές δηλαδή y, z και θα βρεις τη μεταβλητή x συναρτήσει των y,z

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Για το σύστημα Πίνακας * x y 5z 1 X B x y z μπορώ να σκεφτώ τα εξής : x y z 5 ( εξισώσεις, άγνωστοι) Αν 0 τότε έχω μοναδική λύση την x Dx, y Dy, z Dz D D D Αν 0 τότε είναι αδύνατο ή έχει άπειρες και αξίζει να το εξετάσω με επαυξημένο Αν rank τότε μοναδική λύση τη μηδενική Αν rank τότε αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις ΤΟ ΝΟΥ ΣΟΥ : αν θέλεις να λύσεις με ένα τρόπο κατευθείαν τα συστήματα X B, X C, X D, 0 τότε κάνεις έναν επαυξημένο και στο τέλος μετά την κάθετη γραμμή βάζεις ταυτόχρονα τις στήλες B,C,D και λύνεις Αν ένας πίνακας δεν είναι κλιμακωτός τότε δε θα είναι ανηγμένος κλιμακωτός (το αντίστροφο δεν ισχύει) Για να υπάρχει ο αντίστροφος ενός πίνακα Α τότε Ο πίνακας είναι τετραγωνικός 0 τότε μπορείς να σκεφτείς τα εξής : Αν au bv cw 0 a b c 0 τότε είναι γραμμικώς ανεξάρτητα και αφού είναι αποτελούν Δίνονται διανύσματα : u 1,,, v,1,0, w 1,1,1 βάση του Αν φτιάξω πίνακα Αν φτιάξω πίνακα 1 1 0,() rank,() pivot 1 1 1 1 1 0,() rank1,(1 ) ή ή pivot 1 1 1 τότε γραμμικώς ανεξάρτητα τότε γραμμικώς εξαρτημένα και από τα pivot θα καταλάβω τα γραμμικώς ανεξάρτητα Αν ο πίνακας χρειάζεται για το σύστημα X 0 τότε αν rank= το σύστημα έχει μοναδική λύση τη μηδενική αλλιώς άπειρες. 0

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Αν διανύσματα u, v τότε το 0,0,0 spanu, v αφού 0 ku lv Για το spanu, v Το spanu, v μπορώ να σκεφτώ τα εξής : είναι ένας υπόχωρος άρα και ένας διανυσματικός χώρος Τα διανύσματα 0, u, v είναι γραμμικώς εξαρτημένα αφού 0 ku lv Αν ένα διάνυσμα w παράγεται από τα u, v τότε w ku lv Αν ένα διάνυσμα w παράγεται από τα u, v τότε παράγεται και από τα u, v, s αφού w ku lv ku lv 0s Αν τα u, v είναι γραμμικώς ανεξάρτητα τότε θα αποτελούν βάση με διάσταση Αν τα u, v είναι γραμμικώς εξαρτημένα τότε βάση θεωρώ το ένα από τα δύο με διάσταση 1 Αν τα u, v είναι γραμμικώς ανεξάρτητα τότε θα αποτελούν βάση με διάσταση του υποχώρου αλλά και βάση του χώρου Αν τα u, v είναι γραμμικώς ανεξάρτητα τότε θα αποτελούν βάση με διάσταση του υποχώρου αλλά δε θα είναι βάση του χώρου κανονικής βάσης του άλλη βάση του. Όμως αν τα συμπληρώσω με ένα από τα διανύσματα της (και είναι γραμμικώς ανεξάρτητα) τότε θα μπορούν να αποτελούν μία Δίνεται σύστημα X B,() rank τότε μπορώ να σκεφτώ τα εξής : rank() pivot Αν * τότε με pivot θα έχει μοναδική λύση Αν 5* τότε με pivot θα έχει μοναδική λύση αφού έχει 5 εξισώσεις με αγνώστους και βρίσκεις ανεξάρτητες μεταβλητές Αν *5 τότε με pivot θα έχει άπειρες λύσεις αφού έχει εξισώσεις με 5 αγνώστους και βρίσκεις ανεξάρτητες μεταβλητές άρα ελεύθερες x y z Να λυθεί το σύστημα x y z 5 τότε μπορείς να σκεφτείς τα εξής : x z 8 Το λύνω με ορίζουσες και πήζω σε περιπτώσεις (οι ορίζουσες αξίζουν σε παραμετρικό σύστημα : x y z x y z 5 για να λάβεις υπόψη όλα τα πιθανά σενάρια για το α) x az 8 1

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Κάνω επαυξημένο και καταλήγω σε λύση εύκολα 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Από επαυξημένο θα έχω : 1 1 5 0 1 1 0 1 1 0 8 0 1 1 1 1 1 0 1 1/ 1/ οπότε : Rank()= dim()() Null 1 n rank άρα μία ελεύθερη μεταβλητή και ανεξάρτητες pivot Άπειρες λύσεις 1 0 / 8 / 0 1 1/ 1/ οπότε 8 1 1 x, y, z z, z, z Σκέψεις για σύστημα X 0, 5*6 Έχω 5 εξισώσεις με 6 αγνώστους Επειδή ομογενές σίγουρη λύση η μηδενική Αν rank(α)=5 τότε μοναδική λύση η μηδενική Αν rank()<5 τότε έχει άπειρες Αν rank()= τότε θα έχει ανεξάρτητες και ελεύθερες δηλαδή θα βρω άπειρες όπου θα ανήκουν στο σύνολο των πραγματικών αριθμών και θα βρω τις Σκέψεις για σύστημα X 0, 5*6 το οποίο έχει και άλλες λύσεις εκτός της μηδενικής οι οποίες είναι πολλαπλάσια μίας μη μηδενικής λύσης Θα έχει σίγουρη λύση τη μηδενική Αφού έχει και άλλες λύσεις θα έχει άπειρες λύσεις Αφού οι άπειρες λύσεις είναι πολλαπλάσια μίας λύσης τότε dim() Null 1() dim() rank 5 n Null Αφού rank()=5 τότε έχει 5 ηγετικά στοιχεία Τότε οποιοδήποτε σύστημα της μορφής X B με rank()=5 θα έχει μοναδική λύση Δίνεται πίνακας 6 5 4 μπορείς να βρεις τα εξής : 4 6 9 5 9 4 1

τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Για το rank() αρχίζω και μηδενίζω τις γραμμές προς τα κάτω : 6 5 1 / 1 5 / 4 0 0 1 1/ 1/... οπότε έχω pivot 4 6 9 5 9 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 Στον πίνακα 4*5 έχω 4*5 m 4, n 5,() pivot rank dim()() Null n rank Επιπλέον βλέπω pivot άρα η βάση για col() είναι τα διανύσματα στήλες του Α που βρίσκονται τα στοιχεία pivot, δηλαδή 1 η, η,4 η στήλη του Α αποτελούν τη βάση με διάσταση Επιπλέον βλέπω pivot άρα η βάση για row() είναι τα διανύσματα γραμμές του Α που βρίσκονται τα στοιχεία pivot, δηλαδή 1 η, η, η γραμμή του Α αποτελούν τη βάση με διάσταση Για να βρεις τη βάση του Null() λύνεις X 0, οπότε συνεχίζεις από εκεί που σταμάτησες με το rank και συνεχίζεις κανονικά τον επαυξημένο απλά θα χρειαστούν αλλαγές στη θέση των στηλών 1 / 1 5 / 1 0 0 / 9 / 0 0 1 1/ 1/ 0 1 0 0 4 / και οι άγνωστοι από x,y,z,w,k :... 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 οπότε καταλήγω σε άπειρες λύσεις : με σειρά αγνώστων x,z,w,y,k και θα έχω : 9 4 x, y, z, w, k y k, y, k, k, k 9 4,1,0,0,0 y,0,,,1 k άρα βρήκα τη βάση και έχει διάσταση όπως το περίμενα