Θέµα: Μεγιστοποίηση χρησιµότητας και επιλογή

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ι Φροντιστήριο 3 Θέµα: Μεγιστοποίηση χρησιµότητας και επιλογή Γενική σηµείωση: Οι λύσεις των ασκήσεων του βιβλίου γίνονται µε τρόπο ώστε να κατανοηθεί καλύτερα η θεωρία. Οι περισσότερες µπορεί να λυθούν σε δύο γραµµές µε πιο απλό τρόπο. Μπορείτε να θεωρήσετε σαν άσκηση δευτέρου επίπέδου να λύσετε τις ασκήσεις αυτές πιο απλά. Στις εξετάσεις δεν χρειάζεται να είστε το ίδιο διεξοδικοί. Άσκηση 4.1 Κεφάλαιο 4 Nicholson Ο µικρός Παύλος παίρνει καθηµερινά χαρτζιλίκι από την µητέρα του 1 ευρώ για να φαει στην καντίνα του σχολείου τσιπς () και σάντουιτς (). Η συνάρτηση χρησιµότητας του Παύλου δίνεται από την σχέση (, ) = ). α. Αν το ένα πακετάκι τσιπς κάνει 0,10 ευρώ και το σάντουιτς 0,5 ευρώ πως πρέπει να ξοδέψει ο Παύλος το χαρτζιλίκι του για να µεγιστοποιήσει την χρησιµότητά του; β. Αν αυξηθεί η τιµή των τσιπς σε 0,4 ευρώ πόσο πρέπει η µητέρα του Παύλου να του αυξήσει το χαρτζιλίκι για να µην µειωθεί η χρησιµότητά του; Πόσα τσιπς και σάντουιτς θα καταναλώσει τώρα; Λύση α. Από την συνθήκες µεγιστοποίησης πρώτης τάξεως προκύπτει: ma (, ), ma _ = (, ) λ( I ),, λ I =

0 = λ = = λ = λ 0 = = = λ = I = 0 λ Ο Ο.Λ.Υ είναι, δηλαδή, ίσος µε τον λόγο των τιµών. Από την συνάρτηση χρησιµότητας υπολογίζω τις πρώτες παραγώγους των Τ και. Άρα ο Ο.Λ.Υ είναι 1 = = τον οποίον εξισώνω µε τον λόγο των τιµών και προ- 1 κύπτει: = = = 1 1 = = 1 1 1 1 = = 1 1 1 1 = = Από τον εισοδηµατικό περιορισµό έχω: I = = I Αντικαθιστώντας την προηγούµενη εξίσωση προκύπτει: I = I I= = I I = = = Και αντικαθιστώντας τα αριθµητικά δεδοµένα της άσκησης έχω. I 1 = = = 5 0,1 I 1 = = = 0,5 Οι παραπάνω εξισώσεις είναι και οι ατοµικές συναρτήσεις ζήτησης κάθε αγαθού. Παρατηρείστε ότι η συνάρτηση χρησιµότητας είναι ειδική περίπτωση obb-douglas µε α=β=0,5. Παρατηρείστε επίσης ότι το άτοµο δαπανά το ίδιο (το µισό) τµήµα του εισοδήµατος για κάθε αγαθό. Παρατηρείστε επίσης ότι η συνάρτηση ζήτησης εξαρτάται εν προκειµένω µόνο από το εισόδηµα και την τιµή του αγαθού αλλά όχι από την τιµή του άλλου αγαθού.

Ερώτηση: Θα µπορούσε αυτό το αποτέλεσµα να τα εξάγετε παρατηρώντας µόνο την συνάρτηση χρησιµότητας, τις τιµές και το εισόδηµα ; (Θυµηθείτε το νόηµα των α και β στην obb-douglas) Γραφική παράσταση. Ας δοκιµάσουµε τώρα να παραστήσουµε γραφικά την λύση. Πρώτη παρατήρηση: Η συνάρτηση (, ) της καµπύλης αδιαφορίας για επίπεδο χρησιµότητας = µας οδηγεί στην γραφική παράσταση = = =. Άρα, η καµπύλη αδιαφορίας θα είναι µια υπερβολή. Ας δούµε τον εισοδηµατικό περιορισµό. Εφόσον Ι=1 και η τιµή του είναι 0,5, το άτοµο µπορεί να αγοράσει το πολύ 4 µονάδες. Εφόσον η τιµή του Τ είναι 0,1 το άτοµο µπορεί να αγοράσει το πολύ 10 µονάδες Τ. Άρα, ο εισοδηµατικός περιορισµός είναι το ευθύγραµµο τµήµα που συνδέει το 4 στον άξονα των µε το 10 στον άξονα των Τ. Ο λόγος των τιµών 0,10 4 = = 0, 4 = που είναι (µε αρνητικό πρόσηµο) η κλίση της γραµµής του 0, 5 10 εισοδηµατικού περιορισµού. Επιβεβαιώσατε ότι στο σηµείο Τ=5, = o Ο.Λ.Υ είναι = = 0, 4 = 5

β. Αν η µητέρα του Παύλου δεν του αύξανε το χαρτζιλίκι, από την συνάρτηση ζήτησης θα εί- I 1 χαµε ότι η κατανάλωση του σε Τ θα ήταν τώρα = = = 1,5 (Η κατανάλωση 0,4 του θα παρέµενε η ίδια). Αλλά αυτό θα µείωνε την χρησιµότητά του από = = 5 = 10 σε = = 1,5 =,5. Προκειµένου να βρούµε το νέο εισόδηµα που πρέπει να έχει ώστε η χρησιµότητά του να παραµείνει στο επίπεδο = = 5 = 10 υπολογίζουµε την έµµεση συνάρτηση χρησιµότητας (Η συνάρτηση αυτή µας δίνει την χρησιµότητα συναρτήσει του εισοδήµατος και των τιµών. είχνει το επίπεδο της µεγαλύτερης δυνατής χρησιµότητας για τον συγκεκριµένο συνδυασµό τιµών και εισοδήµατος. Βεβαιωθείτε ότι έχετε αντιληφθεί την έννοια). Από τις συναρτήσεις ζήτησης γνωρίζουµε ότι τα Τ και που µεγιστοποιούν την χρησιµότητα µε δεδοµένες τις τιµές και το εισόδηµα είναι I I * =, * = Άρα η έµµεση συνάρτηση χρησιµότητας είναι I I I V(,, I) = ( *, *) = * * = = Για να παραµείνει η χρησιµότητα ίδια για την νέα τιµή του Τ, πρέπει να αλλάξει αντίστοιχα και το εισόδηµα. Άρα, I I I I V = = = I = I Και αντικαθιστώντας τα αριθµητικά δεδοµένα έχουµε 0, 4 I = I = 1 = Άρα, η µητέρα του Παύλου πρέπει να του αυξήσει το χαρτζιλίκι 0,1 κατά ένα ευρώ. Από τις συναρτήσεις ζήτησης προκύπτει ότι I = = =,5 και 0,4 I = = = 4 0,5 Προσέξτε την νέα γραφική παράσταση. Όπως φαίνεται στον άξονα των το εισόδηµα είναι διπλάσιο (φαίνεται και στον άξονα των Τ αλλά πρέπει να υπολογίσετε την νέα τιµή). Η

κλίση του νέου εισοδηµατικού περιορισµού είναι διαφορετική ( -8/5 από 4/10)αλλά και οι δύο περιορισµοί εφάπτονται της ίδιας καµπύλης αδιαφορίας όπου = 10. (Ερώτηση: Πως θα κατασκευάζατε την Hicks-ιανή καµπύλη ζήτησης του Τ;) Στο παρακάτω διάγραµµα έχω σχεδιάσει την Marshall-ιανή (ΑΓ) και Hicks-ιανή (ΑΒ) κα- µπύλη ζήτησης του µικρού Παύλου. Οι εξισώσεις που έχω χρησιµοποιήσει είναι I M H = και ( ) * ( * I ) = αντίστοιχα, όπου ο αστερίσκος δείχνει τα αρχικά 4 µεγέθη πάνω στα οποία έχει υπολογιστεί η και Hicks-ιανή καµπύλη ζήτησης. Μπορείτε να τις βγάλετε εσείς; Προσέξτε τα σηµεία Α,Β και Γ πως αντιστοιχούν στις απαντήσεις της άσκησης)

[Σηµείωση: Οι γραφικές παραστάσεις είναι κατασκευασµένες µε πραγµατικά δεδοµένα χρησιµοποιώντας το πρόγραµµα Microsoft Ecel. οκιµάστε να κατασκευάσετε αντίστοιχα σχήµατα µε το πρόγραµµα αυτό (ή κάποιο άλλο ανάλογο) και παρατηρείστε τις αλλαγές στα διαγράµµατα] Άσκηση 4. α. Μια νεαρή οινολόγος έχει 300 ευρώ να ξοδέψει για την κάβα της ανάµεσα σε δύο κρασιά: ένα ακριβό γαλλικό ( W ) που στοιχίζει 0 ευρώ το µπουκάλι και ένα πιο φτηνό ( W ) ντόπιο που στοιχίζει 4 ευρώ το µπουκάλι. Αν η συνάρτηση χρησιµότητάς της δίνεται από 3 1 3 τον τύπο W (, W) = W W πόσα µπουκάλια θα αγοράσει από κάθε κρασί; β. Αν η τιµή του γαλλικού κρασιού πέσει στα 10 ευρώ πώς θα αλλάξουν οι αποφάσεις της; Λύση α. Από τις συνθήκες µεγιστοποίησης εξισώνουµε τον ΟΛΥ µε τον λόγο των τιµών =. Υπολογίζουµε τις πρώτες παραγώγους από την συνάρτηση χρησιµότητάς: 1 1 = W W = W W =, = W W = 3 3 3 3W 3 1 3 3 1 1 3 3 1 3 1 W 3 W W = = Από αυτήν και την = προκύπτει ότι 1 W 3 W W = = W = W W Από τον εισοδηµατικό περιορισµό προκύπτει ότι 1 I = W W W = ( I W ) Εξισώνοντας τις δύο τελευταίες εξισώσεις 1 W = ( I W) = W I W = W έχουµε 1 I I = 3W W = 3 Αντικαθιστώντας σε µία από τις προηγούµενες εξισώσεις έχουµε

W I = Αντικαθιστώντας τα αριθµητικά δεδοµένα προκύπτει: 3 W Παρατηρείστε ότι I 300 = = = 10 και W 3 3 0 W I 1 I 1 300 = = = 5 3 3 4 1 =, =. Στην συνάρτηση obb-douglas τα ποσοστά 3 I 3 W που δαπανώνται για την κατανάλωση κάθε αγαθού δίνονται από τους συντελεστές α και β (αν αβ=1). Προφανώς θα µπορούσατε να χρησιµοποιήσετε κατευθείαν αυτό το θεώρηµα τόσο σε αυτή όσο και στην προηγούµενη άσκηση. β. W I 300 = = = 0 = και W 3 3 10 1 I 1 300 = = = 5 Παρατηρείστε ότι η κατα- 3 3 4 νάλωση του φτηνού κρασιού παρέµεινε η ίδια. Το γεγονός ότι το ακριβό κρασί έγινε πιο φτηνό επιτρέπει να αυξηθεί αντιστρόφως ανάλογα µε την τιµή η κατανάλωση του. Θυµηθείτε την έννοια της ελαστικότητας ζήτησης e την συνάρτηση ζήτησης του γαλλικού κρασιού: W, W, 3 3 και υπολογίστε την για I W I = e = = 1 W I 3 Άσκηση 4.3 α. Ο µεγιστάνας J.P ( χιουµοριστική αναφορά του Nicholson στον J.P. Morgan). τα βράδια καπνίζει πούρα () και πίνει κονιάκ (B) σύµφωνα µε την συνάρτηση χρησιµότητας B (, ) 0 18B 3B = Πόσα πούρα καπνίζει και πόσα ποτήρια κονιάκ πίνει κάθε βράδυ. Το κόστος τους δεν τον νοιάζει. β. Αργότερα ο γιατρός του απαγορεύει το άθροισµα των πούρων και του κονιάκ να ξεπερνά τα 5. Ποια θα είναι τώρα η κατανάλωσή του;

Λύση α. Προσέξτε καταρχήν την συνάρτηση χρησιµότητας B (, ) 0 18B 3B B = = 0, = 18 6 = 0 > 0, = 18> 0 B Παρατηρείστε ότι ο J.P. δεν είναι ακόρεστος, µετά από 10 πούρα και 3 κονιάκ η χρησιµότητά του µειώνεται, άρα θα καπνίσει µέχρι του σηµείου που θα µεγιστοποιήσει την χρησι- µότητά του χωρίς περιορισµούς. ( = = 0, > 0, > 0 ) Οι συνθήκες αυτές µας δίνουν ότι B BB ma B (, ) B, = 0 = 0 = 10 B = 18 6B= 0 B= 3 B και βεβαιώνουν ότι πληρούνται οι συνθήκες δευτέρας τάξεως. B β. Τώρα έχουµε περιορισµό όχι εισοδηµατικό αλλά ιατρικό. Σχηµατίζουµε την συνάρτηση Lagrange. _ = B B= B B B (, ) λ(5 ) 0 18 3 λ(5 ) Η µεγιστοποίησή της απαιτεί = λ = 0 λ = 0 = λ = 18 6B λ = 0 B B = 5 B= 0 λ Από τις συνθήκες αυτές προκύπτει ότι λ = 0 = 18 6B = 1 3B 1 3B = 5 B B = 1 = 4 5 B= 0 = 5 B Προσέξτε την µείωση της χρησιµότητας του J.P. από

(10,3) = 0 10 10 18 3 3 3 = 00 100 54 7 = 17 σε (4,1) = 0 4 4 18 1 3 1 = 80 16 18 3= 79 Άσκηση 4.4 α. Ο κ. Παράξενος (Odde Ball στο αγγλικό κείµενο, παράξενος επειδή δεν έχει οµαλή συνάρτηση χρησιµότητας) έχει συνάρτηση χρησιµότητας ως προς τα αγαθά Χ και Υ =. Αν οι τιµές των Χ και Υ είναι P = 3ευρώ και P = 4 ευρώ µεγιστοποιείστε την χρησιµότητα του αν το εισόδηµά του είναι 50 ευρώ. β. Σχεδιάστε την καµπύλη αδιαφορίας του κ. Παράξενου στο σηµείο επαφής µε τον εισοδηµατικό περιορισµό. Τι µας δείχνει για την συµπεριφορά του κ. Παράξενου; Είναι πράγ- µατι το σηµείο επαφής το πραγµατικό µέγιστο της χρησιµότητάς του; Λύση. Ας λύσουµε πρώτα το δεύτερο σκέλος της άσκησης για να καταλάβουµε το πρώτο. Η καµπύλη αδιαφορίας εκφρασµένη ως Υ(Χ) προκύπτει ως εξής = = = = Αν κάνετε την γραφική της απεικόνιση θα δείτε ότι ενώ οι καµπύλες έχουν αρνητική κλίση, η κοιλότητά τους είναι ανάποδη από εκείνη των συνηθισµένων καµπυλών αδιαφορίας.

Αν προχωρούσαµε παραδοσιακά εξισώνοντας το ΟΛΥ µε τον λόγο των τιµών θα είχαµε: 1 1 1 = = ( ) = ( ) =, = P ΟΛΥ = = = = P Αν προχωρήσω τις πράξεις και εκφράσω το Υ συναρτήσει του Χ από τον εισοδηµατικό περιορισµό έχω P P P I P = = = P = PI P P P P P PI PI =, = P P P P Αν αντικαταστήσω τις τιµές αυτές στην συνάρτηση χρησιµότητας έχω ( ) ( ) ( ) P P I = = = = P P P P P P PI PI P I P I I P P P P Παρατηρείστε όµως ότι στα άκρα του εισοδηµατικού περιορισµού έχω ma I =, P ma I =. Αν αντικαταστήσω τις τιµές αυτές στην συνάρτηση χρησιµότητας έχω P ma I I ma I (,0) = 0 =, (0, ) =. Παρατηρείστε ότι και οι δύο αυ- P P P τές τιµές της είναι µεγαλύτερες από την στο σηµείο επαφής. (Εφόσον, ma P < P P P I P < P P > P P P I, το ίδιο και για ). Σε ποιο σηµείο η χρησιµότητα θα είναι µεγαλύτερη εξαρτάται από το εάν > P ή όχι. Εν προκειµένω I 50 I 50 P = < P = = = 3 > = P = 4 ma ma 3 4 (,0) (0, ) P

. Προσθέτω τώρα τον εισοδηµατικό περιορισµό στο διάγραµµα Παρατηρείστε τις 3 καµπύλες αδιαφορίας: Η πρώτη εφάπτεται του εισοδηµατικού περιορισµού και οι άλλες δύο διέρχονται από τα άκρα του. Μόνον η τελευταία αυτή που διέρχεται από το σηµείο που όλο το εισόδηµα δαπανάται στο Χ µεγιστοποιεί την χρησιµότητά του ατόµου. Παρατηρείστε επίσης ότι το σηµείο επαφής είναι το σηµείο που έχει την µικρότερη χρησιµότητα πάνω στον εισοδηµατικό περιορισµό. (Οι συνθήκες πρώτης τάξεως των µεγίστων και ελαχίστων είναι οι ίδιες). Ερώτηση: Τι θα συνέβαινε αν P = P;;; Μπορείτε να σχεδιάσετε την καµπύλη ζήτησης του Χ µε δεδοµένη την τιµή του Υ και το εισόδηµα;!!!!!εξόχως προαιρετικό!!!! Συνθήκες Kuhn-ucker. [Βλέπε Avinash K. Diit (1990): Otimization in Economic heor, nd edition, Oford niversit Press κεφάλαιο 3 και arl P. imon & Lawrence Blume (1994): Mathematics for Economists, Norton κεφάλαιο 18] Ένας τρόπος να βεβαιωθούµε για την µεγιστοποίηση είναι να χρησιµοποιήσουµε τις συνθήκες Kuhn-ucker. _ Αν = (, ) λ( I P P) η συνάρτηση Lagrange, τότε οι συνθήκες αυτές δηλώνουν ότι

= λp 0, 0, = 0 = λp 0, 0, = 0 = I P P 0, λ 0, λ = 0 λ λ Οι συνθήκες αυτές πρακτικά σηµαίνουν ότι οι περιορισµοί (ο εισοδηµατικός ή η µη αρνητικότητα των Χ και Υ) µπορεί να είναι δεσµευτικοί, µπορεί και όχι. Αν ένας περιορισµός δεν είναι δεσµευτικός τότε ο αντίστοιχος πολλαπλασιαστής (το λ) είναι µηδενικός. (Πράγµατι αν ο εισοδηµατικός περιορισµός δεν δεσµεύει, η οριακή χρησιµότητα του εισοδήµατος είναι µηδενική). Αν = λp 0 3 = 8περιπτώσεις (Αν Χ=0 και 0 0 ή αν Υ>0 και = 0 τότε = 0. Εν προκειµένω έχουµε να εξετάσουµε ή αν Χ>0 και = 0 (µία δυάδα), αν Υ=0 και (άλλη δυάδα), αν I P P > 0 και λ=0, ή I P P = 0 και λ>0 (τρίτη δυάδα)) ιερευνούµε την µεγιστοποιητέα συνάρτηση σε κάθε περίπτωση - αποκλείοντας κάποιες περιπτώσεις µε οικονοµικό ή µαθηµατικό σκεπτικό- και καταλήγουµε στο αποτέλεσµα που µεγιστοποιεί την συνάρτησή µας. Περί προσήµων Όταν µια ευθεία που δίνεται από την γενική = α β εξίσωση έχει αρνητική κλίση, τότε β < 0. Γενικότερα, όταν µια καµπύλη = f( ) έχει αρνητική κλίση τότε η πρώτη παρά- d γωγός της είναι αρνητική f < 0. Η τιµή της πρώτης παραγώγου µπορεί να φανεί d από την γωνία που σχηµατίζει η ευθεία που εφάπτεται στην καµπύλη στο σηµείο που παίρνουµε την παράγωγο µε τον άξονα των χ. Είναι ειδικότερα η τιµή της τριγωνοµετρικής εφαπτοµένης της γωνίας αυτής (µε αρνητικό πρόσηµο). Για να κατανοήσετε αυτό θυµηθείτε df ( ) f ( h) f ( ) τον τύπο της παραγώγου lim d h 0 h Άρα στην περίπτωση του εισοδηµατικού περιορισµού = = I Η κλίση του είναι < 0 I Στην περίπτωση της καµπύλης αδιαφορίας η οποία έχει αρνητική κλίση ισχύει 0 d d <

Η κλίση της εφαπτοµένης σε κάθε σηµείο είναι λοιπόν αρνητική. Γνωρίζουµε όµως d d = 0 = d d 0 d = < Η κλίση λοιπόν είναι αρνητική. [Ουσιαστικά η καµπύλη αδιαφορίας είναι αρνητική επειδή οι πρώτες παράγωγοι της χρησιµότητας ως προς τα αγαθά είναι θετικές.] Στο σηµείο επαφής του εισοδηµατικού περιορισµού µε την καµπύλη αδιαφορίας οι δύο ευ- θείες-άρα και οι κλίσεις τους συµπίπτουν. Άρα: = = Αυτό προκύπτει και από την αλγεβρική µεγιστοποίηση (συνθήκες πρώτης τάξεως της συνάρ- τησης Lagrange) λ = λ = 0 = Ο λόγος ορίζεται ως ΟΛΥ και είναι θετικός. Αυτό που πρέπει να θυµάστε είναι ότι (όταν πληρούνται οι συνθήκες δευτέρας τάξεως) η µεγιστοποίηση απαιτεί =ΟΛΥ=