Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές κίνησης των σωµατιδίων του ρευστού, δηλαδή όλες τις καµπύλες του επιπέδου τέτοιες ώστε η ταχύτητα σε κάθε σηµείο αυτών να ταυτίζεται µε τις τιµές Fr ηλαδή ψάχνουµε τις λύσεις (ως προς r ) της εξίσωσης dr d v () = =F r (), = x, r Για παράδειγµα, αν η ταχύτητα του ρευστού σε κάθε σηµείο του επιπέδου τη χρονική στιγµή περιγράφεται από το διανυσµατικό πεδίο ταχυτήτων τότε έχουµε v: : v r = +x j, dr x = v () = =F( r () ) ( x (), () ) = ( (), x() ) d = x Το παραπάνω είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγµα δηµιουργίας ενός συστήµατος δε Ενηµερωτικά αναφέρουµε ότι κάθε τροχιά (δηλ καµπύλη) που ικανοποιεί το παραπάνω σύστηµα δε καλείται διανυσµατική ή δυναµική γραµµή του πεδίου Λύνοντας το σύστηµα και σχεδιάζοντας τις τροχιές παίρνουµε µια εποπτική παράσταση του πεδίου µέσω των δυναµικών γραµµών του Aς δούµε τώρα έναν άλλο τρόπο σχηµατισµού ενός συστήµατος δε Θεωρούµε τη γραµµική δε 7

Θέτουµε + 3 + = = =, 3 = οπότε η παραπάνω δε γράφεται σαν ένα γραµµικό σύστηµα δε µε παραγώγους µόνον ης τάξης ως εξής: = = 3, 3 = 33 + + ή πιο συνοπτικά υπό µορφή πίνακα δηλ = +, 3 3 3 Y =A Y +B Αυτή είναι µια γενικότερη παρατήρηση που µπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Mια δε τάξης µπορεί πάντα να αντικατασταθεί µε ένα σύστηµα δε που να έχει µόνον παραγώγους ης τάξης των αγνώστων συναρτήσεων Ισχύει και το αντίστροφο Ετσι στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την επίλυση συστηµάτων δε ης τάξης Ορισµός 4 Ένα σύστηµα δε ης τάξης περιγράφεται από το πλήθος δε της µορφής 8

(,,,, ) = f, (4) = f(,,,, ) όπου f,, f είναι γνωστές συναρτήσεις + µεταβλητών που εξαρτώνται εν γένει από κάποιες (ή και όλες) τις παραµέτρους,,,, και,,, είναι το πλήθος άγνωστες πραγµατικές συναρτήσεις Η (4) καλείται κανονική µορφή του συστήµατος δε Όταν το πλήθος των εξισώσεων ισούται µε το πλήθος των αγνώστων συναρτήσεων λέµε ότι το σύστηµα είναι καλά ορισµένο Ορισµός 4 Καλούµε λύση του συστήµατος δε (4) ένα σύνολο συναρτήσεων =,, = που επαληθεύουν την (4) για κάθε σε κάποιο διάστηµα I της πραγµατικής ευθείας Ορισµός 43 Καλούµε γενική λύση του συστήµατος δε (4) κάθε λύση της µορφής = φ(, c,, c), = φ(, c,, c) όπου c,, c είναι αυθαίρετες πραγµατικές σταθερές Μερική λύση της (4) καλείται κάθε οικογένεια το πλήθος συναρτήσεων,, που επαληθεύει την (4) και προκύπτει από τη γενική λύση για συγκεκριµένη επιλογή των σταθερών c, c Ορισµός 44 Καλούµε πρόβληµα αρχικών τιµών για το σύστηµα δε (4) την εύρεση µιας λύσης =,, = της (4) που ταυτόχρονα ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες = (4) = ( ) για κάποιο I, όπου I είναι ένα διάστηµα της πραγµατικής ευθείας και,, είναι δοθέντες πραγµατικοί αριθµοί, 9

Σηµειώνουµε εδώ ότι ισχύει το ανάλογο του Θεωρήµατος (βλέπε Κεφ ) για την ύπαρξη και µοναδικότητα του προβλήµατος αρχικών τιµών (4): Θεώρηµα 4 Εστω το πρόβληµα αρχικών τιµών (4), δηλ (,,,, ) = f = f = ( ) (,,,, ) = ( ) Αν οι συναρτήσεις,, f f f και, j =,, είναι συνεχείς σ ένα,,,, όπου,, είναι δοθέντες πραγµατικοί αριθµοί, τότε το πρόβληµα αρχικών τιµών έχει µοναδική λύση =,, = για κάθε σε κατάλληλη περιοχή του σηµείου ορθογώνιο Τ κέντρου Yπάρχουν δυο βασικές κατηγορίες συστηµάτων δε ης τάξης: τα γραµµικά και τα µη γραµµικά j Ορισµός 45 Ενα σύστηµα διαφορικών εξισώσεων ης καλείται γραµµικό αν είναι της µορφής τάξης = a + + a + b, (43) = a () + + a() + b() όπου οι a (, j =,, ) και b (,, ) j = είναι γνωστές πραγµατικές συναρτήσεις Προφανώς, ένα γραµµικό σύστηµα δε µπορεί να γραφεί υπό µορφή πινάκων ως Y =A Y +B,

όπου Y() = είναι ο πίνακας στήλη των αγνώστων () a a συναρτήσεων, Y () =, A() = είναι ο () a () a() (πραγµατικός) πίνακας των συντελεστών των αγνώστων b και B() = είναι ο πίνακας στήλη των σταθερών όρων Aν b () B= ( είναι ο µηδενικός πίνακας), δηλ Y =A Y, τότε µιλούµε για οµογενές γραµµικό σύστηµα δε, αλλιώς µιλούµε για µη οµογενές Σηµείωση (α) Στο εξής µε έντονα γράµµατα θα συµβολίζουµε διανύσµατα ή πίνακες Αν A () a a = am () am() είναι οποιοσδήποτε πίνακας µε στοιχεία παραγωγίσιµες a, στο εξής θα θεωρούµε ότι η παράγωγος του A συναρτήσεις j υπολογίζεται παραγωγίζοντας κάθε στοιχείο a Οµοίως αν οι a j a () a () A () = a m () a m () είναι συνεχείς συναρτήσεις, τότε j του A, δηλ

A () a d a d d = am () d am() d (β) Αν ένα σύστηµα διαφορικών εξισώσεων ης τάξης δεν είναι της µορφής (43), τότε µιλούµε για ένα µη γραµµικό σύστηµα δε Ορισµός 36 Αν ο πίνακας A είναι σταθερός, δηλαδή ισχύει a () = a, I, j όπου a j είναι πραγµατικές σταθερές, τότε το σύστηµα j Y =A Y + B καλείται γραµµικό µε σταθερούς συντελεστές, διαφορετικά καλείται γραµµικό µε µεταβλητούς συντελεστές Για µη γραµµικά συστήµατα δε, δεν υπάρχουν γενικές µέθοδοι επίλυσης και τα εξετάζουµε κατά περίπτωση Ακόµη όµως και στην περίπτωση των γραµµικών συστηµάτων δε (µε µεταβλητούς συντελεστές) τα πράγµατα δεν είναι απλά Κι αυτό διότι όπως είδαµε παραπάνω ένα γραµµικό σύστηµα διαφορικών εξισώσεων είναι ισοδύναµο µε µια συνήθη δε τάξης για την επίλυση της οποίας όπως ήδη είδαµε στο Κεφάλαιο 3 χρειάζεται να γνωρίζουµε ένα θεµελιώδες σύνολο λύσεων της Στο εξής ασχολούµαστε αποκλειστικά µε γραµµικά συστήµατα δε 4 Μέθοδοι επίλυσης 4 Η µέθοδος απαλοιφής Η µέθοδος απαλοιφής βασίζεται στη µετατροπή ενός συστήµατος δε µε άγνωστες συναρτήσεις σε µια δε τάξης και στην επίλυση αυτής αντί του συστήµατος Όταν το πλήθος των εξισώσεων είναι µικρό πχ ή 3 είναι µια σχετικά εύκολη µέθοδος επίλυσης

Παράδειγµα Να λυθεί το σύστηµα δε x = 7x 6 = x + + e Παραγωγίζουµε τη η εξίσωση και έχουµε = x + + e Στη συνέχεια αντικαθιστούµε την τιµή της x από την η εξίσωση και παίρνουµε 7 6 = x + + e = 84x 7+ e Λύνουµε τη η εξίσωση του συστήµατος ως προς x και έχουµε e = x+ + e x= και αντικαθιστούµε στην πιο πάνω εξίσωση Ετσι έχουµε e = 84x 7+ e = 84 7+ e και µετά από πράξεις παίρνουµε 3 + = 8e, δηλ µια µη οµογενή γραµµική δε ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές Η γενική λύση αυτής (βλ Κεφ 3) είναι Τότε = ce + c e + e 8 e 9ce 8ce + 7e + 63e x = = x + x= Παράδειγµα Να λυθεί το σύστηµα δε x + 3x = e Λύνουµε την η εξίσωση ως προς και αντικαθιστούµε στην η εξίσωση Ετσι παίρνουµε 3

x x x x e x x x e 3 + = + = Παραγωγίζουµε την τελευταία και έχουµε x x + x = e και αντικαθιστούµε την τιµή του από την η συστήµατος Ετσι παίρνουµε εξίσωση του x x x x x e x x x x e + = + = Η γενική λύση της τελευταίας είναι e x= ce + cσυν+ c3ηµ + 5 Στη συνέχεια έχουµε e = x x = ce + c( ηµ συν) c3( συν+ ηµ ) 5 e = ce c( συν+ ηµ ) c3( ηµ συν ) 5 Παράδειγµα Να λυθεί το σύστηµα δε x = + z = x + z z = x + Παραγωγίζουµε την η εξίσωση και αντικαθιστούµε σ αυτή τις τιµές των και z από τη η και 3 η εξίσωση αντιστοίχως Ετσι παίρνουµε x = + z = x+ z + x+ = x+ + z = x+ x Η γενική λύση της x = x+ x (γραµµική ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές) είναι: x = ce + ce Tότε 4

= x+ z = ce + c e + z = ce + c e + z = ce + c e + x+ = 3c e, η οποία είναι µη οµογενής ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές και γενική λύση = ce + c3e Τότε z = + z = ce + c e + c e z= ce + c e c e 3 3 4 Επίλυση µε χρήση θεµελιώδους πίνακα Εστω A a () και = [ b() ] = j B είναι δυο και πίνακες αντιστοίχως µε στοιχεία πραγµατικές συναρτήσεις και Y =A Y +B (44) είναι ένα µη οµογενές γραµµικό σύστηµα δε Τότε το Θεώρηµα 4 ύπαρξης και µοναδικότητας γίνεται Θεώρηµα 4 Εστω το πρόβληµα αρχικών τιµών Y = Y( ) Y =A Y +B, T όπου = [,, ] Αν τα στοιχεία j b (, j =,, ) των πινάκων A και T Y ( A είναι ο ανάστροφος του πίνακα A ) είναι δοθέν διάνυσµα στήλη του a και A αντιστοίχως είναι συνεχείς συναρτήσεις σε κάποιο διάστηµα I της πραγµατικής ευθείας που περιέχει το, τότε το πρόβληµα αρχικών τιµών έχει µοναδική λύση =,, = για κάθε I Στο εξής πάντα θα θεωρούµε ότι οι συναρτήσεις aj b (, j,, ) και = είναι συνεχείς σε κάποιο διάστηµα της πραγµατικής ευθείας εκτός αν κάτι άλλο δηλώνεται Για την εύρεση της γενικής λύσης της (44) ισχύει το ακόλουθο 5

Θεώρηµα 43 Η γενική λύση του µη οµογενούς συστήµατος (44) ισούται µε το άθροισµα της γενικής λύσης του οµογενούς Y =A Y και µιας οποιασδήποτε µερικής συστήµατος λύσης της (44) Απόδ Όπως στο Κεφάλαιο 3, ενότητα 3 Κατά συνέπεια, η εύρεση της γενικής λύσης της (44) ανάγεται στην εύρεση της γενικής λύσης του οµογενούς συστήµατος Y =A Y και στην εύρεση µιας µερικής λύσης της (44) Αρχικά ασχολούµαστε µε την εύρεση της γενικής λύσης του Y =A Y οµογενούς συστήµατος 3 Οµογενή συστήµατα Ορισµός 46 Κάθε απεικόνιση της µορφής ( ) ϕ ϕ φ: I : φ= φ =,,, όπου ϕ,, : ϕ I είναι πραγµατικές συναρτήσεις καλείται διανυσµατική συνάρτηση µιας µεταβλητής Ορισµός 47 Θα λέµε ότι οι διανυσµατικές συναρτήσεις,, ορισµένες σ ένα διάστηµα I της πραγµατικής ευθείας είναι γραµµικά εξαρτηµένες στο I, αν υπάρχουν σταθερές c,, c όχι όλες ίσες µε µηδέν έτσι ώστε cφ + + cφ = I φ φ Σε αντίθετη περίπτωση θα λέµε ότι οι ανεξάρτητες στο I φ,, φ είναι γραµµικά Εστω 6

( ) ϕ,, ϕ φ = φ = ( ) () ϕ (),, ϕ () Τότε, ένα χρήσιµο κριτήριο γραµµικής εξάρτησης/ανεξαρτησίας φ φ µας δίνει η ακόλουθη: των,, Πρόταση 4 Εστω φ,, φ είναι διανυσµατικές συναρτήσεις όπως παραπάνω Αν η ορίζουσα Wrosk W ( ) φ,, φ σ ένα τουλάχιστον σηµείο πραγµατικής ευθείας, τότε οι φ,, στο I Απόδ Εύκολη ( ) ϕ ( ) ϕ = ϕ ( ) ϕ ( ) I, όπου I είναι διάστηµα I της φ είναι γραµµικά ανεξάρτητες Πόρισµα 4 Αν οι διανυσµατικές συναρτήσεις γραµµικά εξαρτηµένες στο I, τότε φ,, φ είναι Απόδ Αµεση () ϕ W = = I φ,, φ ϕ ϕ Ορισµός 48 Αν φ,, () ϕ () οµογενούς συστήµατος φ είναι γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις του Y =A Y, τότε ο πίνακας Φ = φ,, φ µε στήλες τις διανυσµατικές συναρτήσεις φ,, φ λέµε ότι αποτελεί ένα θεµελιώδη πίνακα του οµογενούς συστήµατος 7

Θεώρηµα 44 Αν Φ () είναι ένας θεµελιώδης πίνακας του οµογενούς συστήµατος Y =A Y, τότε η γενική λύση του οµογενούς συστήµατος δίνεται από τη σχέση όπου ( c c ) Y = Φ C, C=,, είναι αυθαίρετο διάνυσµα στήλη του Απόδ Είναι εύκολο να δούµε ότι η = οµογενούς δε Y =A Y Αντίστροφα, έστω Y Φ C είναι λύση της Y είναι µια λύση του προβλήµατος αρχικών τιµών (4) για κάποιο I και δοθέντες πραγµατικούς αριθµούς,, Τότε σχηµατίζουµε το γραµµικό σύστηµα το οποίο έχει µοναδική λύση ( ) ( ) Y =Y = Φ C ( ) - C=Φ Y, διότι ο Φ () είναι θεµελιώδης πίνακας Ετσι η - Φ Φ Y είναι λύση του προβλήµατος αρχικών τιµών, οπότε θα ισχύει ταυτοτικά - Y Φ Φ ( ) Y λόγω του θεωρήµατος 43 ύπαρξης και µοναδικότητας Το παραπάνω θεώρηµα µας παρέχει τη γενική λύση του οµογενούς συστήµατος Y =A Y υπό την προϋπόθεση ότι είναι γνωστές γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις του Υπάρχουν όµως πάντα δυο γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις του οµογενούς συστήµατος; Και αν ναι πως τις βρίσκουµε; Η απάντηση στο πρώτο ερώτηµα είναι θετική όπως φαίνεται στην ακόλουθη: 8

Πρόταση 4 Για το οµογενές σύστηµα Y =A Y, υπάρχουν πάντα γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις του σε διάστηµα I της πραγµατικής ευθείας υστυχώς η Πρόταση 4 δεν µας δείχνει τον τρόπο µε τον οποίο θα µπορέσουµε να βρούµε ένα θεµελιώδη πίνακα το οποίο είναι και το µεγαλύτερο πρόβληµα στη µελέτη γραµµικών συστηµάτων µε µεταβλητούς συντελεστές 4 Μη οµογενή συστήµατα Η µέθοδος µεταβολής των σταθερών (Lagrage) Ας ασχοληθούµε τώρα µε την εύρεση µιας µερικής λύσης του µη οµογενούς συστήµατος (44) Για το σκοπό αυτό θα εφαρµόσουµε τη µέθοδο µεταβολής των σταθερών Απαραίτητη προϋπόθεση είναι να γνωρίζουµε ένα θεµελιώδη πίνακα Φ () του οµογενούς συστήµατος Y =A Y σε κάποιο διάστηµα I της πραγµατικής ευθείας Εστω λοιπόν Y = Φ C είναι η γενική λύση του οµογενούς συστήµατος Υποθέτουµε πως C=C και προσπαθούµε να προσδιορίσουµε το διάνυσµα στήλη C ώστε η = Y Φ C να είναι µια µερική λύση του συστήµατος (44) Παραγωγίζοντας έχουµε = + Y Φ C Φ C Αντικαθιστούµε στην (44) και παίρνουµε + = + Φ C Φ C A Φ C B Φ C + Φ C = Φ C + B - Φ C B C = Φ B = 9

- () () C = Φ B d (46) Αρα η - = Y Φ Φ B d είναι µια µερική λύση του µη οµογενούς συστήµατος (44) 43 Eιδική περίπτωση: Γραµµικά συστήµατα δε µε σταθερούς συντελεστές Mέθοδος πινάκων (Euler) Στην περίπτωση αυτή τα πράγµατα είναι πιο απλά Προφανώς ισχύει η γενική θεωρία που αναπτύξαµε προηγουµένως, αλλά τώρα µπορούµε να υπολογίσουµε πιο εύκολα τη γενική λύση του οµογενούς συστήµατος Y =A Y Υπενθυµίζουµε ότι στην περίπτωση αυτή ο A είναι σταθερός πίνακας Ας ξεκινήσουµε πρώτα µε το οµογενές σύστηµα Y =A Y Εφόσον αυτό είναι ισοδύναµο µε µια οµογενή γραµµική δε τάξης µε σταθερούς συντελεστές είναι λογικό ν αναρωτηθούµε αν Y =A Y της µορφής υπάρχουν λύσεις της εξίσωσης = e λ Y C, όπου λ και C σταθερό µη µηδενικό διάνυσµα στήλη Τότε έχουµε Πρόταση 43 Αν C είναι ένα ιδιοδιάνυσµα του πίνακα A που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ, τότε η Y = C e λ είναι µια λύση του οµογενούς συστήµατος δε Y =A Y Απόδ Με τις παραπάνω προϋποθέσεις, αντικαθιστούµε την = e λ Y =A Y και παίρνουµε: Y C στην λe e λ e e λ e λ e λ λ λ λ λ λ C =A C C =A C C = C 3

Mελετούµε τώρα τις ακόλουθες περιπτώσεις: Eστω ότι ο πίνακας A έχει το πλήθος πραγµατικές και διακεκριµένες ιδιοτιµές λ,, λ Τότε είναι γνωστό από τη γραµµική άλγεβρα ότι σ αυτές τις ιδιοτιµές αντιστοιχούν γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα στήλες ξ,, ξ Οι λύσεις,, ξ e λ ξ e λ είναι γραµµικά ανεξάρτητες και ο πίνακας,, e λ e λ Φ = ξ ξ είναι ένας θεµελιώδης πίνακας του οµογενούς συστήµατος Eστω ότι ο πίνακας A έχει µια πραγµατική ιδιοτιµή λ αλγεβρικής πολλαπλότητας ν Αν η αλγεβρική και η γεωµετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής λ ταυτίζονται, τότε στην ιδιοτιµή λ αντιστοιχούν ν το πλήθος γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα τα οποία βρίσκουµε µε τη συνήθη διαδικασία Αν η αλγεβρική πολλαπλότητα είναι µικρότερη της γεωµετρικής, τότε δεν µπορούµε να βρούµε ν γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις της µορφής ξ e λ Πάντα όµως υπάρχει µια λύση της µορφής ξ e λ Αναζητούµε µια δεύτερη γραµµικά ανεξάρτητα λύση της µορφής ( η + σ ) e λ όπου η, σ άγνωστα διανύσµατα στήλες τα οποία προσδιορίζουµε µε αντικατάσταση στην οµογενή δε Y =A Y Αν χρειαζόµαστε και τρίτη γραµµικά ανεξάρτητη λύση την αναζητούµε στη µορφή ( + ) w η + σ e λ, όπου η, σ, w άγνωστα διανύσµατα στήλες τα οποία προσδιορίζουµε µε αντικατάσταση στην οµογενή δε Y =A Y κλπ 3

Αν έχουµε µιγαδική ιδιοτιµή λ + µ (οπότε θα έχουµε και τη συζυγή της λ µ διότι ο A είναι πραγµατικός πίνακας) τότε σ αυτήν αντιστοιχεί ένα ιδιοδιάνυσµα u+ v και στην λ µ αντιστοιχεί το u v Ετσι οι ( u+ v ) e ( λ + µ ) και ( u v ) e ( λ µ ) είναι (µιγαδικές) λύσεις της οµογενούς δε Λόγω γραµµικότητας τόσο το πραγµατικό όσο και το φανταστικό µέρος των παραπάνω λ ( uσυν ( µ ) v ηµ ( µ )) και e uηµ ( µ ) + v συν ( µ ) λ e είναι δυο πραγµατικές και γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις της οµογενούς δε Αν οι µιγαδικές ρίζες έχουν πολλαπλότητα µεγαλύτερη του εργαζόµαστε όπως πριν Στην περίπτωση µη οµογενούς συστήµατος δε µε σταθερούς συντελεστές, βρίσκουµε τη γενική λύση του οµογενούς συστήµατος όπως παραπάνω και µια µερική λύση του µη οµογενούς συστήµατος µε τη µέθοδο µεταβολής των σταθερών ή προσδιοριστέων συντελεστών Σηµείωση Ας θεωρήσουµε το οµογενές σύστηµα Y =A Y Η µορφή αυτή µας θυµίζει τη µορφή οµογενούς γραµµικής εξίσωσης ης τάξης = a (βλέπε ο κεφ) της οποίας η γενική = ce Κατ αναλογία, είναι λογικό ν αναρωτηθούµε a λύση είναι αν υπάρχουν λύσεις της εξίσωσης A = e Y =A Y της µορφής Y C (47) Τι νόηµα έχει όµως τώρα η ποσότητα e A ; Αν λάβουµε υπόψη τον εκθετικό πίνακα e A που ορίζεται µέσω της σειράς τότε A A A e = I+ A+ + + +,! e A A A = I + A + + + +! 3

Από τα παραπάνω είναι εύκολο να διαπιστώσουµε ότι A e = A A e, οπότε οι στήλες του e A είναι λύσεις της οµογενούς δε Y =A Y και µάλιστα είναι γραµµικά ανεξάρτητες διότι ο e A A είναι αντιστρέψιµος µε A (αφού e A e = e A A A A e e = e = I ) Αρα ο πίνακας είναι θεµελιώδης πίνακας του οµογενούς συστήµατος Y =A Y και συνεπώς η γενική λύση του οµογενούς συστήµατος είναι e A A e Y = C υστυχώς ο είναι δύσκολο να βρεθεί απ τον ορισµό του εκτός k περιπτώσεων όπου A =O k Επίσης, αν ο A είναι διαγώνιος πίνακας µε στοιχεία a στην κύρια διαγώνιο, τότε ο e A είναι επίσης διαγώνιος πίνακας της µορφής e A a e = a e e A Τέλος αν ο είναι διαγωνοποιήσιµος, οπότε υπάρχει διαγώνιος πίνακας D µε στοιχεία της κυρίας διαγωνίου τις ιδιοτιµές του πίνακα A και αντιστρέψιµος πίνακας U µε στήλες τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα του A έτσι ώστε - A=U D U, τότε αντικαθιστώντας στον ορισµό του ότι e A = U e D U - e A είναι εύκολο να δούµε Στην περίπτωση αυτή µπορούµε άµεσα να υπολογίσουµε τη γενική λύση και του µη οµογενούς συστήµατος από τη σχέση Y =A Y + B 33

(βλέπε (46)) () = A A -A () = A -A () Y e C+ e e B d e C+ e B d Παράδειγµα Nα λυθεί το σύστηµα δε x = x+ = 4x + 3 Εχουµε ένα οµογενές γραµµικό σύστηµα δε το οποίο γράφεται σε µορφή πίνακα ως εξής x x = 4 3 Θα υπολογίσουµε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα A = 4 3 Υπενθυµίζουµε ότι οι ιδιοτιµές του πίνακα A είναι οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου του: De λ A λ I = = λ = 5 η λ = 4 3 λ Eστω ( x, ) είναι ένα ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ = 5 Τότε x x 4x= 5 x 4 3 = = 4x= Αρα οι λύσεις του συστήµατος είναι ( x, ) = ( x,x) = x(, ), x και το διάνυσµα ξ = (, ) είναι µια βάση του χώρου των ιδιοδιανυσµάτων Για την ιδιοτιµή λ = έχουµε x x = x x 4 3 = = = x 34

Αρα οι λύσεις του συστήµατος είναι ( x, ) = ( x, x) = x(, ), x και το διάνυσµα ξ = (, ) είναι είναι µια βάση του χώρου των ιδιοδιανυσµάτων Εφόσον οι ιδιοτιµές είναι διακεκριµένες από τη θεωρία γνωρίζουµε ότι οι λύσεις λ 5 ξe = e λ ξ e = e είναι δυο γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις του οµογενούς συστήµατος Αρα η γενική λύση του οµογενούς συστήµατος είναι η x = ce + ce 5 Παράδειγµα Υπολογίστε τις λύσεις του οµογενούς συστήµατος x x = z z Λύση: Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα A είναι το De 3 ( λ ) = λ = 3λ λ 3 λ A I λ Oι ιδιοτιµές του A είναι οι ρίζες του πολυωνύµου 3 3λ λ δηλαδή De A λ I 3 = λ = ( διπλη), λ = 3 Τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στις ιδιοτιµές λ =, λ = 3 υπολογίζονται από τη λύση του συστήµατος A u= λ u αντικαθιστώντας την τιµή του λ µε τη συγκεκριµένη ιδιοτιµή που βρήκαµε Πιο συγκεκριµένα: 35

Για λ = έχουµε ξ A ξ= λ ξ ( A I ) ξ= Ο ξ = 3 33 ξ 3 ξ ξ ξ3 = ξ+ ξ + ξ3 = ξ ξ ξ3 = ξ + ξ + ξ = Θέτουµε ξ = c = σταθερα και ξ3 = d = σταθερα οπότε η λύση του συστήµατος είναι όλα τα διανύσµατα ξ = ( ξ, ξ, ξ3) των οποίων οι συντεταγµένες είναι της µορφής ( ξ, ξ, ξ ) ( c d, c, d) c(,,) d(,,) ξ = = + = + 3 Τα παραπάνω είναι ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή λ = και όπως φαίνεται στην προκειµένη περίπτωση ορίζουν ένα ξ, ξ =,,,,, ηλαδή η { } διδιάστατο χώρο µε βάση { } αλγεβρική και η γεωµετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής λ = ταυτίζονται Εκλέγουµε τη βάση αυτή ως αντιπρόσωπο και λέµε ότι στην ιδιοτιµή λ = αντιστοιχεί η βάση ιδιοδιανυσµάτων,,,,, { } Για λ = 3 έχουµε ξ A ξ= λ ξ ( A 3 I ) ξ= Ο ξ = 33 ξ 3 ξ + ξ + ξ = ξ = ξ 3 3 ξ+ ξ ξ3 = ξ = ξ3 ξ ξ + ξ3 = Εποµένως η λύση του αρχικού συστήµατος είναι όλα τα ξ = ξ, ξ, ξ των οποίων οι συντεταγµένες διανύσµατα ικανοποιούν τη σχέση 3 36

ξ, ξ, ξ = ξ, ξ, ξ = ξ,,, ξ 3 3 3 3 3 3 Τα ιδιοδιανύσµατα αυτά ορίζουν ένα µονοδιάστατο χώρο µε βάση ξ =,, Τελικά { } το διάνυσµα { } 3 { } { ξ ξ} ξ λ = ( διπλη ), =,,,,, λ = =,, Τότε η γενική λύση του οµογενούς συστήµατος είναι η 3 x c+ c c3e ce ce c3e = + + = c+ c3e z c + c3e Παράδειγµα Υπολογίστε τις λύσεις του µη οµογενούς συστήµατος x x = + + z 4 z e Λύση: Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα A είναι το De λ A I 3 4 λ ( λ ) = λ = ( λ ) ( λ 3) Oι ιδιοτιµές του πίνακα Α είναι οι ρίζες της εξίσωσης Για λ = έχουµε: De A λ I3 = λ = ( διπλη ), λ = 3 x x = = z =, 4 z z z = 37

xz,, = x,, = x,,, x ιαπιστώνουµε ότι ενώ η αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής λ = είναι ίση µε, εν τούτοις η γεωµετρική της πολλαπλότητα είναι ίση µε Προφανώς µια λύση του συστήµατος είναι η Άρα = λ ξ e e Ψάχνουµε τώρα µια δεύτερη γραµµικά ανεξάρτητη λύση της µορφής ( σ+ η ) e, όπου ( σ, σ, σ ) T ( η, η, η ) σ= 3,η= 3 είναι διανύσµατα στήλες διάστασης 3 που πρέπει να προσδιορίσουµε Αντικαθιστούµε τη λύση αυτή στο οµογενές σύστηµα και παίρνουµε ( σ+ η) + η = A ( σ+ η ) e e e ( σ η σ) e ( η η ) e + + = A A O ( ) T σ+ η A σ= O A I3 σ=η A I3 σ=η η A η= O A I3 η= O η= x,, A I3 η = O υπονοεί ότι το η είναι ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ = και άρα είναι της µορφής η= ( x,,) όπως δείξαµε παραπάνω Λύνουµε τώρα ως προς σ την εξίσωση διότι η η εξίσωση ( ) σ x σ = x A I σ 3 σ=η = σ = x σ 3 σ3 = x Επιλέγουµε (,, ) σ= και ορίζουµε τη λύση 38

( ) e ξe = ( σ+ η ) e = + e = µια δεύτερη λύση του συστήµατος γραµµικά ανεξάρτητη της Για λ = 3 έχουµε: x x x= c = 3 = c, 4 z z z = c Άρα ξ e xz,, = cc,, c = c,,, c Μια τρίτη λύση του συστήµατος είναι η λ3 3 ξ e 3 = e Αρα η γενική λύση του οµογενούς συστήµατος είναι η 3 x e ce + c e + c3e 3 3 c e c c 3 = + + e = c+ c3e 3 z c c3e Προφανώς ένας θεµελιώδης πίνακας της οµογενούς δε είναι ο e e 3 3 Φ () = e 3 e Για να βρούµε µια µερική λύση του µη οµογενούς συστήµατος εφαρµόζουµε τη µέθοδο µεταβολής των σταθερών Εστω Φ () C µια µερική λύση της µη οµογενούς Τότε 39

+ e e 3 3 - C () = Φ () B () = 3 3 + 3 3 e e e 3 3 + e + e e + e + e 4 e = e + 4+ 3 3 ( e + ) e 3 3 - - Αρα C = Φ B d και η () Φ B Φ d είναι µια µερική λύση της µη οµογενούς δε, οπότε η γενική λύση προκύπτει από το άθροισµα της γενικής λύσης της οµογενούς και της µερικής λύσης της µη οµογενούς Παράδειγµα Αν Φ () είναι ένας θεµελιώδης πίνακας λύσεων του οµογενούς συστήµατος () = Υ λύση του συστήµατος Υ () = Υ Α Εχουµε Υ Α, δείξτε ότι ο Φ () είναι Φ() Φ () = I Φ () Φ () + Φ() Φ () = O () () () () A Φ Φ + Φ Φ = O A+ Φ() Φ () = O () () + = () A Φ Φ A Φ = A Φ () Παράδειγµα Να αναχθεί σε σύστηµα διαφορικών εξισώσεων και να λυθεί η δε x dx+ x d= Θέτουµε dx d x = x = d 4

Ετσι παίρνουµε το σύστηµα dx = d x d = d x Η η εξίσωση είναι χωριζοµένων µεταβλητών µε γενικό ολοκλήρωµα dx x = d τοξεφ x = + c x = ηµ + c Η η εξίσωση είναι γραµµική και έχουµε = x= ηµ + c = ce + ηµ + c + συν + c Εφόσον = τοξεφx c έχουµε τοξηµ x c ce x συν τοξηµ x = + + Παράδειγµα Εστω δυο βαρέλια µε αλατόνερο το καθένα, έχουν αλάτι το πρώτο και αλάτι το δεύτερο Τότε αρχίζει να µπαίνει νερό στο ο βαρέλι µε ρυθµό /m ενώ ταυτόχρονα καλά ανακατεµένο µείγµα ρέει από το ο στο ο βαρέλι µε ρυθµό /m και καλά ανακατεµένο µείγµα από το ο βαρέλι ρέει προς τα έξη επίσης µε ρυθµό /m Ποια είναι η ποσότητα αλατιού που υπάρχει στο κάθε βαρέλι κάθε χρονική στιγµή; Εστω x = x και = είναι η ποσότητα αλατιού στο ο και ο βαρέλι αντίστοιχα To αλατόνερο (οµοιόµορφα κατανενηµένο) στο ο βαρέλι έχει % αλάτι και 8% νερό Αρα στη µονάδα του χρόνου αφού µπαίνει στο ο βαρέλι µόνον νερό και µετακινείται στο ο βαρέλι ίση ποσότητα αλατόνερου χάνεται το % αλατιού από την ποσότητα του αλατόνερου που µετακινείται στο ο βαρέλι Αρα αφού ο ρυθµός ροής στο ο βαρέλι είναι /m θα έχουµε x () = x() 4

Στο ο βαρέλι εισέρχεται αλατόνερο από το ο και ταυτόχρονα εξέρχεται από το ο µε τον ίδιο ρυθµό, άρα () = x() () Εχουµε λοιπόν το πρόβληµα αρχικών τιµών x () = x() x( ) =, () () () ( ) = = x Η λύση αυτού είναι η x= e = + e 5 /5 /5 Ασκήσεις Να λυθούν τα συστήµατα δε x = x+ = 9x + Απ x= ce + c e = 3ce 3c e 4 4 + z = x =, z = z( ) = Απ = e z = e w = w = w+ + z =, ( ) = w z ηµ x + = z( ) = Απ w= συν x+ ηµ x = συν x ηµ x z = u + v= u v = e Απ u= ce e + c + c ce e 3 = + Υπολογίστε ένα θεµελιώδη πίνακα του οµογενούς Υ () = Α Υ, αν συστήµατος 4

Α= 4 Απ 3 e e Φ () = 3 e e 7 6 Α= Απ 3e e Φ () = 4e 3e 5 Α= 3 5συν ( ) 5ηµ ( ) 3e Απ Φ () = ( συν ( ) + ηµ ( ) ) ( συν ( ) ηµ ( ) ) συν ( ) ηµ ( ) e 3 e + e Α= Απ Φ () = e e 43