ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ενότητα #1: Ποιοτικά Χαρακτηριστικά Συστημάτων Κλειστού Βρόχου Δημήτριος Δημογιαννόπουλος Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί Ενότητας Η έννοια του ελέγχου συστήματος Απαιτήσεις ελέγχου Έννοια και υλοποίηση Συνδεσμολογίες για έλεγχο συστημάτων: Πλεονεκτήματα και Μειονεκτήματα 4
Περιεχόμενα Ενότητας - 1 Εισαγωγή Τυπικοί τρόποι ελέγχου Συστημάτων Τρόπος υλοποίησης διαδικασίας ελέγχου Συνδεσμολογία Ανοικτού Βρόχου (Open Loop) Πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα Συνδεσμολογία Κλειστού Βρόχου (Closed Loop) Πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα 5
Περιεχόμενα Ενότητας - 2 Απαιτήσεις ελέγχου Απόρριψη διαταραχής Ευαισθησία σε μεταβολές παραμέτρων Ανοικτός βρόχος Κλειστός βρόχος Ταχύτητα απόκρισης του ελεγχόμενου συστήματος 6
Εισαγωγή - 1 Έλεγχος συστήματος με συνάρτηση μεταφοράς G(s), σήμα εισόδου U(s) και εξόδου Y(s) στο πεδίο Laplace* (Σχ. 1): Σχ.1: Τυπική αναπαράσταση συστήματος με μπλοκ διάγραμμα 7
Εισαγωγή - 2 Έλεγχος συστήματος με συνάρτηση μεταφοράς G(s), σήμα εισόδου U(s) και εξόδου Y(s) στο πεδίο Laplace* (Σχ. 1): Σχ.1: Τυπική αναπαράσταση συστήματος με μπλοκ διάγραμμα «Ποιο σήμα εισόδου u(t) παράγει απόκριση y(t) που ικανοποιεί κάποιες συγκεκριμένες απαιτήσεις μας;». * Σήματα/μεγέθη στο πεδίο Laplace συμβολίζονται με κεφαλαία και δέχονται όρισμα s, ενώ οι αντίστοιχες ποσότητες στο πεδίο του χρόνου συμβολίζονται με μικρά και δέχονται όρισμα t. 8
Εισαγωγή - 3 Προφανώς ο καθορισμός του σήματος εισόδου u(t) προϋποθέτει: α) Γνώση της τυπικής συμπεριφοράς του G(s) προς έλεγχο. 9
Εισαγωγή - 4 Προφανώς ο καθορισμός του σήματος εισόδου u(t) προϋποθέτει: α) Γνώση της τυπικής συμπεριφοράς του G(s) προς έλεγχο. β) Πληροφόρηση για το πως επηρεάζεται η λειτουργία του G(s) από τις δεδομένες συνθήκες (διαταραχές που εμφανίζονται λόγω αλληλεπίδρασης με το περιβάλλον, βλάβες του συστήματος κλπ) 10
Εισαγωγή - 5 Προφανώς ο καθορισμός του σήματος εισόδου u(t) προϋποθέτει: α) Γνώση της τυπικής συμπεριφοράς του G(s) προς έλεγχο. β) Πληροφόρηση για το πως επηρεάζεται η λειτουργία του G(s) από τις δεδομένες συνθήκες (διαταραχές που εμφανίζονται λόγω αλληλεπίδρασης με το περιβάλλον, βλάβες του συστήματος κλπ) γ) Υπολογισμό του σήματος κάθε χρονική στιγμή στη βάση των παραπάνω για ικανοποίηση των απαιτήσεων. 11
Τυπικοί Τρόποι Ελέγχου Συστημάτων - 1 Οι απαιτήσεις για την απόκριση συστήματος G(s) υπαγορεύονται μέσω σήματος r(t), που αποτελεί υπόδειγμα για την απόκριση y(t) του συστήματος: «Θέλω η απόκριση y(t) να συμπεριφέρεται όπως το υπόδειγμα r(t)» 12
Τυπικοί Τρόποι Ελέγχου Συστημάτων - 2 Οι απαιτήσεις για την απόκριση συστήματος G(s) υπαγορεύονται μέσω σήματος r(t), που αποτελεί υπόδειγμα για την απόκριση y(t) του συστήματος: «Θέλω η απόκριση y(t) να συμπεριφέρεται όπως το υπόδειγμα r(t)» Η εντολή αυτή μεταφράζεται σε σήμα ελέγχου u(t) μέσω ενός συγκεκριμένου υποσυστήματος (μπλοκ) που ονομάζεται ελεγκτής. 13
Τυπικοί Τρόποι Ελέγχου Συστημάτων - 3 Οι απαιτήσεις για την απόκριση συστήματος G(s) υπαγορεύονται μέσω σήματος r(t), που αποτελεί υπόδειγμα για την απόκριση y(t) του συστήματος: «Θέλω η απόκριση y(t) να συμπεριφέρεται όπως το υπόδειγμα r(t)» Η εντολή αυτή μεταφράζεται σε σήμα ελέγχου u(t) μέσω ενός συγκεκριμένου υποσυστήματος (μπλοκ) που ονομάζεται ελεγκτής. 14
Τυπικοί Τρόποι Ελέγχου Συστημάτων - 4 Ο ελεγκτής χρησιμοποιεί: Τη γνώση (α) του συστήματος G(s) και Την πληροφόρηση (β) για την αλληλεπίδραση του συστήματος με το περιβάλλον του, ώστε να κάνει Υπολογισμό (γ) του σήματος ελέγχου u(t) στην είσοδο του G(s). 15
Τυπικοί Τρόποι Ελέγχου Συστημάτων - 5 Οι απαιτήσεις για την απόκριση συστήματος G(s) υπαγορεύονται μέσω σήματος r(t), που αποτελεί υπόδειγμα για την απόκριση y(t) του συστήματος: «Θέλω η απόκριση y(t) να συμπεριφέρεται όπως το υπόδειγμα r(t)» Η εντολή αυτή μεταφράζεται σε σήμα ελέγχου u(t) μέσω ενός συγκεκριμένου υποσυστήματος (μπλοκ) που ονομάζεται ελεγκτής. Ο ελεγκτής χρησιμοποιεί τη γνώση (α) του συστήματος G(s) και την πληροφόρηση (β) για την αλληλεπίδραση του συστήματος με το περιβάλλον του, ώστε να κάνει Υπολογισμό (γ) του σήματος ελέγχου u(t) στην είσοδο του G(s). Πως υλοποιείται η παραπάνω διαδικασία; 16
Πως Υλοποιείται η Παραπάνω Διαδικασία; - 1 1) Συνδεσμολογία Ανοικτού Βρόχου (Open Loop) Σχήμα 2: Σχήμα ελέγχου ανοικτού βρόχου Ελεγκτής με συνάρτηση μεταφοράς C(s) σχεδιασμένη με βάση τη γνώση της αντίστοιχης συνάρτησης του συστήματος G(s). 17
Πως Υλοποιείται η Παραπάνω Διαδικασία; - 2 1) Συνδεσμολογία Ανοικτού Βρόχου (Open Loop): Σχήμα 2: Σχήμα ελέγχου ανοικτού βρόχου Ελεγκτής με συνάρτηση μεταφοράς C(s) σχεδιασμένη με βάση τη γνώση της αντίστοιχης συνάρτησης του συστήματος G(s). Ο ελεγκτής ΔΕΝ διαθέτει πληροφόρηση για την απόκριση του συστήματος y(t), λόγω της διαταραχής D(s) από το περιβάλλον. 18
Συνδεσμολογία Ανοικτού Βρόχου (Open Loop) Πλεονεκτήματα: Ευκολία κατασκευής - χρήσης (+) Επαρκής απόδοση όταν δεν υπάρχουν αστάθμητοι παράγοντες (διαταραχές) (+) Μειονεκτήματα: Ελαττωμένη απόδοση σε συνθήκες εξωτερικών διαταραχών (-) 19
Συνδεσμολογία Κλειστού Βρόχου (Closed Loop) Τρόπος Υλοποίησης - 1 2) Συνδεσμολογία Κλειστού Βρόχου (Closed Loop): Σχήμα 3: Σχήμα ελέγχου κλειστού βρόχου. 20
Συνδεσμολογία Κλειστού Βρόχου (Closed Loop) Τρόπος Υλοποίησης - 2 2) Συνδεσμολογία Κλειστού Βρόχου (Closed Loop): Σχήμα 3: Σχήμα ελέγχου κλειστού βρόχου. Συνάρτηση μεταφοράς C(s) ελεγκτή υπολογισμένη με βάση τη γνώση της αντίστοιχης συνάρτησης του συστήματος G(s). 21
Συνδεσμολογία Κλειστού Βρόχου (Closed Loop) Τρόπος Υλοποίησης - 3 2) Συνδεσμολογία Κλειστού Βρόχου (Closed Loop): Σχήμα 3: Σχήμα ελέγχου κλειστού βρόχου. Συνάρτηση μεταφοράς C(s) ελεγκτή υπολογισμένη με βάση τη γνώση της αντίστοιχης συνάρτησης του συστήματος G(s). Ο ελεγκτής έχει πληροφόρηση για την απόκριση του συστήματος y(t), και λόγω διαταραχής D(s) που προκύπτει από το περιβάλλον. 22
Συνδεσμολογία Κλειστού Βρόχου (Closed Loop) Τρόπος Υλοποίησης - 4 2) Συνδεσμολογία Κλειστού Βρόχου (Closed Loop): Σχήμα 3: Σχήμα ελέγχου κλειστού βρόχου. Συνάρτηση μεταφοράς C(s) ελεγκτή υπολογισμένη με βάση τη γνώση της αντίστοιχης συνάρτησης του συστήματος G(s). Ο ελεγκτής έχει πληροφόρηση για την απόκριση του συστήματος y(t), και λόγω διαταραχής D(s) που προκύπτει από το περιβάλλον. Ο ελεγκτής υπολογίζει το σήμα ελέγχου u(t) ώστε η απόκριση y(t) να προσεγγίσει το υπόδειγμα r(t). 23
Συνδεσμολογία Κλειστού Βρόχου (Closed Loop) Πλεονεκτήματα: Αυξημένη απόδοση ακόμα και σε συνθήκες εξωτερικών διαταραχών (+) Μειονεκτήματα: Απαίτηση εμπεριστατωμένης μελέτης για κατασκευή - χρήση σχήματος ελέγχου (-) Συμπέρασμα: Με κλειστό βρόχο μεγαλύτερη ευελιξία και δυνατότητα ρύθμισης του συστήματος ελέγχου άρα καλύτερη απόδοση. 24
Γενικές Απαιτήσεις Ελέγχου - 1 Οι γενικές απαιτήσεις ελέγχου έχουν να κάνουν με: 1. Την απόρριψη διαταραχών της λειτουργίας του συστήματος λόγω θορύβου, μεταβολών σε παραμέτρους του σαν επακόλουθο βλάβης φυσικής φθοράς, ή 25
Γενικές Απαιτήσεις Ελέγχου - 2 Οι γενικές απαιτήσεις ελέγχου έχουν να κάνουν με: 1. Την απόρριψη διαταραχών της λειτουργίας του συστήματος λόγω θορύβου, μεταβολών σε παραμέτρους του σαν επακόλουθο βλάβης φυσικής φθοράς, 2. Την ταχύτητα της απόκρισης y(t) υπό σήμα (υπόδειγμα) r(t), ή 26
Γενικές Απαιτήσεις Ελέγχου - 3 Οι γενικές απαιτήσεις ελέγχου έχουν να κάνουν με: 1. Την απόρριψη διαταραχών της λειτουργίας του συστήματος λόγω θορύβου, μεταβολών σε παραμέτρους του σαν επακόλουθο βλάβης ή φυσικής φθοράς, 2. Την ταχύτητα της απόκρισης y(t) υπό σήμα (υπόδειγμα) r(t), 3. Την ακρίβεια προσέγγισης του σήματος r(t) από την απόκριση y(t) στη μόνιμη κατάσταση όταν τα μεταβατικά φαινόμενα (κατά τις αρχικές στιγμές της απόκρισης) έχουν εκλείψει, 27
Γενικές Απαιτήσεις Ελέγχου - 4 Οι γενικές απαιτήσεις ελέγχου έχουν να κάνουν με: 1. Την απόρριψη διαταραχών της λειτουργίας του συστήματος λόγω θορύβου, μεταβολών σε παραμέτρους του σαν επακόλουθο βλάβης φυσικής φθοράς, 2. Την ταχύτητα της απόκρισης y(t) υπό σήμα (υπόδειγμα) r(t), 3. Την ακρίβεια προσέγγισης του σήματος r(t) από την απόκριση y(t) στη μόνιμη κατάσταση όταν τα μεταβατικά φαινόμενα (κατά τις αρχικές στιγμές της απόκρισης) έχουν εκλείψει, 4. Την ευστάθεια του ελεγχόμενου συστήματος, η οποία είναι εσωτερική ιδιότητα του συστήματος και άρα ανεξάρτητη της μορφής του σήματος r(t). ή 28
Γενικές Απαιτήσεις Ελέγχου - 5 Οι γενικές απαιτήσεις ελέγχου έχουν να κάνουν με: 1. Την απόρριψη διαταραχών της λειτουργίας του συστήματος λόγω θορύβου, μεταβολών σε παραμέτρους του σαν επακόλουθο βλάβης φυσικής φθοράς, 2. Την ταχύτητα της απόκρισης y(t) υπό σήμα (υπόδειγμα) r(t), 3. Την ακρίβεια προσέγγισης του σήματος r(t) από την απόκριση y(t) στη μόνιμη κατάσταση όταν τα μεταβατικά φαινόμενα (κατά τις αρχικές στιγμές της απόκρισης) έχουν εκλείψει, 4. Την ευστάθεια του ελεγχόμενου συστήματος, η οποία είναι εσωτερική ιδιότητα του συστήματος και άρα ανεξάρτητη της μορφής του σήματος r(t). Για καθεμία από τις απαιτήσεις αυτές, συγκρίνουμε τη λειτουργία των δύο κατηγοριών βρόχων (ανοικτού και κλειστού): ή 29
Απόρριψη Διαταραχής - Ευαισθησία σε Μεταβολές Παραμέτρων - Ανοικτός Βρόχος Η απόκριση (στο πεδίο Laplace) Y(s) υπό την ύπαρξη διαταραχής θα δίδεται ως: Άρα: Y(s) = C(s) G(s) R(s) + D(s) (1) Η διαταραχή D(s) μεταφέρεται αυτούσια στην απόκριση Y(s), Δυνατότητα παρέμβασης μέσω του ελεγκτή C(s) ΔΕΝ υπάρχει. 30
Απόρριψη Διαταραχής - Ευαισθησία σε Μεταβολές Παραμέτρων - Κλειστός Βρόχος - 1 R(s) - + Ε(s) C(s) U(s) Σήμα Σήμα Ελεγκτής Σήμα Σύστημα Σήμα Σήμα Υποδείγματος Σφάλματος Ελέγχου Διαταραχής Απόκρισης G(s) D(s) + Y(s) Η(s) Μετρητής/Μετατροπέας Απόκρισης (Φυσ. Μέγεθος σε Ηλεκτρικό Σήμα) Θεωρήσατε για ευκολία H(s)=1. Η απόκριση (στο πεδίο Laplace) Y(s) υπό την ύπαρξη διαταραχής θα δίδεται ως: Y(s) = E(s) C(s) G(s) + D(s) = = R(s) C(s) G(s) -Y(s) C(s) G(s) + D(s) 31
Απόρριψη Διαταραχής - Ευαισθησία σε Μεταβολές Παραμέτρων - Κλειστός Βρόχος - 2 οπότε, λύνοντας ως προς Y(s), λαμβάνουμε: Άρα: C(s) G(s) 1 Y(s) = R(s) + D(s) 1+ C(s) G(s) 1+ C(s) G(s) Η επίδραση της διαταραχής D(s) ΔΕΝ μεταφέρεται αυτούσια στην έξοδο αλλά επηρεάζεται από την συνάρτηση μεταφοράς του ελεγκτή C(s). Με κατάλληλη επιλογή του C(s) επιτυγχάνεται μείωση της επίδρασης του D(s) στην απόκριση Y(s) παράλληλα με έλεγχο του συστήματος. (2) 32
Έλεγχος Λειτουργίας Συνδεσμολογίας Ελέγχου - 1 Εξέταση των χαρακτηριστικών λειτουργίας των συνδεσμολογιών ελέγχου σε περίπτωση μεταβολής (βλάβη/ φυσική φθορά) παραμέτρων του συστήματος G(s) ή του ελεγκτή C(s). 33
Έλεγχος Λειτουργίας Συνδεσμολογίας Ελέγχου - 2 Εξέταση των χαρακτηριστικών λειτουργίας των συνδεσμολογιών ελέγχου σε περίπτωση μεταβολής (βλάβη/ φυσική φθορά) παραμέτρων του συστήματος G(s) ή του ελεγκτή C(s). Υποθέσατε: Ότι C(s)= Kp (δηλαδή ότι έχουμε ελεγκτή αναλογίας που είναι και η απλούστερη μορφή ελέγχου), ότι δεν υπάρχει εξωτερική διαταραχή, αλλά και ότι η τιμή του Kp μπορεί να μεταβληθεί λόγω (ανεπιθύμητης πλην υπαρκτής) φθοράς του κυκλώματος. 34
Έλεγχος Λειτουργίας Συνδεσμολογίας Ελέγχου Ανοικτού Βρόχου - 1 Για τη συνδεσμολογία ανοικτού βρόχου θα είναι: Σχήμα ελέγχου ανοικτού βρόχου. Y(s) = Kp G(s) R(s) = G0(s) R(s) Η συνάρτηση μεταφοράς του σχήματος ελέγχου είναι: G 0 (s)=kp G(s), (3) 35
Έλεγχος Λειτουργίας Συνδεσμολογίας Ελέγχου Ανοικτού Βρόχου - 2 Οπότε και η μεταβλητότητά της σε αλλαγές του Kp, είναι: (s) Kp G 0 0 = = G(s) G (s) Kp (4) Άρα: Η ευαισθησία της G 0 (s) σε μεταβολές του Kp είναι αντιστρόφως ανάλογη του μεγέθους του Kp. 36
Έλεγχος Λειτουργίας Συνδεσμολογίας Ελέγχου Κλειστού Βρόχου - 1 Για τη συνδεσμολογία κλειστού βρόχου, θα έχουμε: Σχήμα ελέγχου κλειστού βρόχου, για ευκολία H(s)=1 C(s) G(s) Y(s) = R(s) = G 0 (s) R(s) 1+ C(s) G(s) (5) 37
Έλεγχος Λειτουργίας Συνδεσμολογίας Ελέγχου Κλειστού Βρόχου - 2 Τότε η μεταβλητότητα της G 0 (s) σε αλλαγές του Kp, είναι: Άρα: 2 [ + Kp G(s) ] Kp G(s) G(s) G (s) = = 2 2 [ 1+ Kp G(s) ] [ 1+ Kp G(s) ] Kp [ 1+ Kp G(s) ] G 0(s) G(s) 1 0 = Kp Η ευαισθησία της G 0 (s) σε μεταβολές του Kp είναι αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου του μεγέθους του Kp. Έτσι για δεδομένο Kp η ευαισθησία σε αλλαγές του ανοικτού βρόχου είναι μεγαλύτερη σε ανοικτό παρά σε κλειστό βρόχο. (6) 38
Ταχύτητα Απόκρισης του Ελεγχόμενου Συστήματος - 1 Έστω ότι το σύστημα G(s) που πρόκειται να ελεγχθεί είναι ένα απλό πρωτοβάθμιο σύστημα: K m G(s) = (7) τ m s + 1 με ελεγκτή C(s)=Kp. 39
Ταχύτητα Απόκρισης του Ελεγχόμενου Συστήματος - 2 Έστω ότι το σύστημα G(s) που πρόκειται να ελεγχθεί είναι ένα απλό πρωτοβάθμιο σύστημα: K m G(s) = (7) τ m s + 1 με ελεγκτή C(s)=Kp. Θυμηθείτε ότι: Η ταχύτητα απόκρισης του συστήματος εξαρτάται από το μέγεθος της χρονικής σταθεράς τ m που χαρακτηρίζει την συνάρτηση μεταφοράς του σχήματος ελέγχου. 40
Ταχύτητα Απόκρισης του Ελεγχόμενου Συστήματος - 3 Έστω ότι το σύστημα G(s) που πρόκειται να ελεγχθεί είναι ένα απλό πρωτοβάθμιο σύστημα: K m G(s) = (7) τ m s + 1 με ελεγκτή C(s)=Kp. Θυμηθείτε ότι: Η ταχύτητα απόκρισης του συστήματος εξαρτάται από το μέγεθος της χρονικής σταθεράς τ m που χαρακτηρίζει την συνάρτηση μεταφοράς του σχήματος ελέγχου. Σε ανοικτό βρόχο η συνάρτηση μεταφοράς βρίσκεται εύκολα ως: Kp K m G 0 (s) = (8) τ m s + 1 Οπότε και παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει αλλαγή στη χρονική σταθερά σε σχέση με το απλό σύστημα G(s). 41
Ταχύτητα Απόκρισης του Ελεγχόμενου Συστήματος - 4 Αντίθετα, η συνάρτηση μεταφοράς σε κλειστό βρόχο θα είναι: G 0 C(s) G(s) (s) = 1+ C(s) G(s) Kp [K m /(τ m s + 1)] = 1+ Kp [K /(τ s + 1)] m m Kp K m /(1 + Kp K m ) = [τ /(1 + Kp K )] s + 1 m m (9) Η χρονική σταθερά στην περίπτωση κλειστού βρόχου είναι ίση με [τ m /(1+ Kp K m )] δηλαδή σημαντικά μικρότερη από την αντίστοιχη του ανοικτού βρόχου. Άρα: Η συνδεσμολογία κλειστού βρόχου μπορεί να επιτύχει γρηγορότερη απόκριση στην περίπτωση που εξετάζουμε. 42
Τέλος Ενότητας