ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ VALUE AT RISK

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ VALUE AT RISK ΣΕ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΠΡΟΪΟΝΤΑ ΚΥΡΙΑΚΗ ΕΣΕΡΙ ΟΥ ιατριβή υποβληθείσα προς µερική εκπλήρωση των απαραιτήτων προϋποθέσεων για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού ιπλώµατος Ειδίκευσης Αθήνα Ιανουάριος, 00

Εγκρίνουµε τη διατριβή τής ΚΥΡΙΑΚΗΣ ΕΣΕΡΙ ΟΥ ΙΩΑΝΝΗΣ ΒΡΟΝΤΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΗΛΙΑΣ ΤΖΑΒΑΛΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΤΥΛΙΑΝΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ 8--00

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα Επίκουρο Καθηγητή του Τµήµατος Στατιστικής του Οικονοµικού Πανεπιστηµίου Αθηνών, κ. Ιωάννη Βρόντο για τη βοήθεια και τη σωστή καθοδήγηση που µου προσέφερε καθ όλη τη διάρκεια εγγραφής της πτυχιακής µου εργασίας.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελίδα ΠΕΡΙΛΗΨΗ 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΟΥ VALUE AT RISK. Εισαγωγή 8. Κίνδυνος και τύποι κινδύνου 9 3. Μέτρα Κινδύνου 0 4. Ορισµός του Value a Risk 5. Σύντοµη Ιστορία του Value a Risk 3 6. Ιδιότητες του Value a Risk 4 7. Χαρακτηριστικά του Value a Risk 5 8. Χαρακτηριστικά των χρηµατοοικονοµικών σειρών 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΕΘΟ ΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΟΥ VALUE AT RISK. Πλήρως Παραµετρικό υπόδειγµα: Locaion Scale 9. Μέθοδος Ισοδύναµα Σταθµισµένης ιακύµανσης- Συνδιακύµανσης & Εκθετικά Σταθµισµένου Κινητού Μέσου 0 3. Μοντέλα Ετεροσκεδαστικότητας 3. ARCH (Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy) 3. GARCH (Generalized Auoregressive Heeroskedasiciy Model) 4 3.3 GARCH-Normal 4 3.4 GARCH-T 5 3.5 GARCH-GED 6 3.6 GARCH- Sable Processes 6 3.7 EGARCH 8 3.8 TGARCH 9 4. Πλήρως Παραµετρικό Υπόδειγµα: υναµική Ανατροφοδότηση (Fully Parameric Dynamic Feedback) 30 4. MixN-GARCH 3 5. VaR για long και shor θέσεις εµπορικών συναλλαγών 3 5. Μοντέλα του VaR 33 3

5. RiskMerics 33 5.3 Normal APARCH 34 5.4 Suden APARCH 35 5.5 Skewed Suden APARCH 35 6. Markov-swiching model 37 7. Mέθοδοι υπολογισµού του VaR 40 7. Μέθοδος διακύµανσης-συνδιακύµανσης (variance-covariance) 40 7.. Εφαρµογή της µεθόδου dela normal 4 7. Μέθοδος Ιστορικής προσοµοίωσης (Hisorical Simulaion) 43 7.3 Mone Carlo προσοµοίωση 48 8. Θεωρία των Ακραίων Τιµών (Exreme Value Theory) 5 9. Μέθοδοι Εκτίµησης 56 9. Μέθοδος Μεγίστης Πιθανοφάνειας (Maximum Likelihood Approach) 56 9. Μέθοδος της Οιονεί-Μεγίστης Πιθανοφάνειας (quasi-maximum likelihood approach) 57 9.3 Bayesian µεθοδολογία 59 9.4 Μέθοδος της Boosrap δειγµατοληψίας 60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΩΝ. Έλεγχος Υπόθεσης (Hypohesis Tesing) 64. Τρέχων Ρυθµιστικό Πλαίσιο (Curren Regulaory Framework) 65 3. Η Στατιστική δοµή των VaR Backess 66 4. Έλεγχος Ακρίβειας του VaR 69 4. Έλεγχος µη-δεσµευµένης κάλυψης 69 4. Έλεγχος Ανεξαρτησίας 7 4.3 Από κοινού έλεγχος της µη-δεσµευµένης κάλυψης και της ανεξαρτησίας (Join Tes of Uncondiional Coverage and Independence) 75 4.4 Έλεγχος σε Πολλαπλά Επίπεδα-α του VaR (Tess Based on Muliple VaR Levels-α) 76 4.5 Συνάρτηση Απώλειας (Loss funcion) 79 5. εσµευµένοι Περιορισµοί Ροπών (Condiional Momen Resricions) 80 4

5. Μεθοδολογία 8 5. Έλεγχος Εξειδίκευσης του VaR (VaR Specificaion Tesing) 84 5.3 Nonnesed VaR Σύγκριση 84 5.4 Συνδυασµός του VaR 86 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ VALUE AT RISK. Περιγραφή των δεδοµένων 88. GARCH(,)-Normal µε σταθερό µέσο 93. GARCH (,) Normal µε ARMA (,) 96 3. Εκτίµηση του Value a Risk 0 3. Εκτίµηση του Value a Risk µε το µοντέλο GARCH-Normal µε σταθερό µέσο 0 3. Εκτίµηση του Value a Risk µε το µοντέλο GARCH-Normal µε ARMA(,) 0 4. Επίλογος-Συµπεράσµατα 03 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 05 5

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Οι χρηµατοοικονοµικοί οργανισµοί στην προσπάθεια αντιµετώπισης των κινδύνων της αγοράς στράφηκαν στη δηµιουργία µέτρων κινδύνου. Ένα από τα πιο διαδεδοµένα µέτρα κινδύνου είναι το Value a Risk (VaR). Η εκτίµηση του VaR παίζει καθοριστικό ρόλο στη λήψη αποφάσεων των χρηµατοοικονοµικών οργανισµών, διότι καταφέρνει και συνοψίζει την έκθεση στον κίνδυνο ενός περιουσιακού στοιχείου σε ένα µοναδικό αριθµό. Το VaR, λοιπόν, προβλέπει την απώλεια ενός περιουσιακού στοιχείου µέσα σε προκαθορισµένη χρονική περίοδο και σε δεδοµένο διάστηµα εµπιστοσύνης. Στο πρώτο κεφάλαιο η εργασία έχει ως στόχο την παρουσίαση του VaR. Ξεκινά µε την περιγραφή διαφόρων µέτρων κινδύνου, εστιάζοντας στις ιδιότητες του VaR. Σηµειώνεται η έλλειψη συνοχής που εµφανίζει το VaR και συγκρίνεται µε το Expeced Tail Loss, που αποτελεί συνεπές µέτρο κινδύνου. Επίσης προσδιορίζονται τα χαρακτηριστικά του VaR, όπως είναι ο Χρονικός Ορίζοντας και το ιάστηµα εµπιστοσύνης. ίνεται ιδιαίτερη έµφαση στα χαρακτηριστικά των χρηµατοοικονοµικών σειρών, όπως είναι το volailiy clusering, οι παχιές ουρές, το leverage effec κ.α., που οδηγούν στη µοντελοποίηση του µέσου και της διακύµανσης µε σκοπό την καλύτερη πρόβλεψη του VaR. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται µια σειρά από µεθόδους υπολογισµού του VaR. Ξεκινώντας από ένα πλήρες παραµετρικό υπόδειγµα αντιλαµβανόµαστε ότι η µοντελοποίηση του µέσου και της διακύµανσης µας δίνουν πιο ακριβείς εκτιµήσεις του VaR. Στη συνέχεια, απαριθµούνται µια σειρά από µοντέλα αυτοπαλίνδροµης υπό συνθήκη ετεροσκεδαστικότητας, που προσπαθούν να αντιµετωπίσουν τη µεταβολή της δεσµευµένης διακύµανσης στο χρόνο (volailiy clusering), καθώς και άλλα χαρακτηριστικά των χρηµατοοικονοµικών σειρών. Επίσης, η suden- κατανοµή και η G.E.D. συλλαµβάνουν καλύτερα τις παχιές ουρές της κατανοµής των αποδόσεων από την κανονική κατανοµή. Σε αυτό το κεφάλαιο γίνεται η διάκριση ανάµεσα σε χαρτοφυλάκια που έχουν θέσεις long από αυτά που έχουν θέσεις shor και επικεντρωνόµαστε στο πρόβληµα της ασυµµετρίας της κατανοµής των αποδόσεων, το οποίο αντιµετωπίζεται µε τα Asymmeric Power ARCH 6

µοντέλα. Έπειτα, αναλύονται οι τρείς κυριότερες µέθοδοι υπολογισµού του VaR, η µέθοδος ιακύµανσης-συνδιακύµανσης, η µέθοδος της Ιστορικής Προσοµοίωσης και η Mone Carlo προσοµοίωση. Ακολουθεί µια εναλλακτική πρόταση µοντελοποίησης του VaR, η Θεωρία των Ακραίων Τιµών. Στο τέλος του κεφαλαίου παρουσιάζονται οι κυριότερες µέθοδοι εκτίµησης µοντέλων και διακρίνονται σε δυο κατηγορίες: της Μέγιστης Πιθανοφάνειας και της προσέγγισης κατά Bayes. Στις µεθόδους αξιολόγησης υποδειγµάτων επικεντρώνεται το ενδιαφέρον της εργασίας στο τρίτο κεφάλαιο. Για να πιστοποιήσουµε την ακρίβεια των υποδειγµάτων του VaR στρεφόµαστε σε backesing τεχνικές. Ο προσδιορισµός του κεφαλαίου που πρέπει να διαφυλάσσεται από τις τράπεζες για την αντιµετώπιση κινδύνου της αγοράς θα ήταν αδύνατος χωρίς τη συµβολή αυτών των τεχνικών. Πολυάριθµα τεστ έχουν προταθεί τα τελευταία χρόνια για τη µέτρηση της ακρίβειας του VaR, όπως είναι ο έλεγχος µη δεσµευµένης κάλυψης, ο έλεγχος ανεξαρτησίας κ.α.. Ιδιαίτερη έµφαση δίνεται στη συνάρτηση απώλειας για τη µέτρηση της ακρίβειας του VaR. Στο τέλος του κεφαλαίου οι Chrisoffersen, Hahn και Inoue (999) εφαρµόζουν τη δοµή των δεσµευµένων ροπών για να απαντήσουν σε ερωτήσεις, που αφορούν την καταλληλότητα υποδειγµάτων του VaR, τη σύγκριση µεταξύ λανθασµένων εξειδικεύσεων και το κατά πόσο ο συνδυασµός των εκτιµήσεων θα µπορούσε να οδηγήσει σε µια καλύτερη εκτίµηση. Η εργασία ολοκληρώνεται µε µια εµπειρική εφαρµογή, όπου εκτιµάται το VaR για το δείκτη S&P 500. Αφού προσδιορίσαµε τα χαρακτηριστικά των αποδόσεων της χρηµατοοικονοµικής σειράς, προχωρήσαµε στην εκτίµηση του µοντέλου µε βάση το οποίο θα υπολογίσουµε το VaR. Η µοντελοποίηση της διακύµανσης έπαιξε καθοριστικό ρόλο στην εκτίµηση του VaR. Εξάγουµε κάποια συµπεράσµατα µε βάση τους διαγνωστικούς ελέγχους και εκτιµούµε το VaR για µια περίοδο µπροστά σε διάστηµα εµπιστοσύνης 5% και %. Τέλος, στον επίλογο της εργασίας συνδυάζοντας το εµπειρικό κοµµάτι µε το θεωρητικό οδηγούµαστε σε µια σειρά σηµαντικών συµπερασµάτων που πρέπει να λαµβάνονται υπόψη για τη σωστή εκτίµηση του Value a Risk. 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΟΥ VALUE AT RISK. Εισαγωγή Η µέτρηση κινδύνου αποτελεί ένα από τα σηµαντικότερα πεδία έρευνας των οικονοµικών αναλυτών µετά την τελευταία χρηµατοοικονοµική κρίση, που συνεχίζει να αποτελεί ανασταλτικό παράγοντα στην ανάπτυξη της οικονοµίας. Η χρηµατοοικονοµική κρίση ξεκίνησε µε την τιτλοποίηση στεγαστικών δανείων στην Αµερική και επεκτάθηκε σε ολόκληρο το χρηµατοοικονοµικό σύστηµα. Μια από τις σηµαντικότερες επιπτώσεις της κρίσης ήταν η κατάρρευση της Lehman Brohers, γεγονός που επηρέασε το τραπεζικό σύστηµα σε ολόκληρο τον κόσµο. Η εµπιστοσύνη των επενδυτών κλονίσθηκε, τα χρηµατιστήρια σε όλο τον κόσµο έπεσαν κατακόρυφα, όπως φαίνεται και από τον δείκτη FTSE 00 που σηµείωσε πτώση 65% από το Σεπτέµβρη του 008 έως το Μάρτη του 009. Η Τράπεζα της Αγγλίας, η Κεντρική Τράπεζα των Η.Π.Α., το αµερικάνικο Υπουργείο Οικονοµικών έλαβαν µέτρα για την αποκατάσταση της ρευστότητας στις αγορές, προκειµένου οι τράπεζες να ξεκινήσουν και πάλι τη χορήγηση δανείων και να αποκατασταθεί η εµπιστοσύνη των επενδυτών στις αγορές µετοχών. Τα παραπάνω µέτρα πάρθηκαν µε σκοπό να αποφευχθεί µια βαθιά ύφεση. εν υπάρχει καµία αµφιβολία ότι η οικονοµία αντιµετωπίζει τη χειρότερη κρίση µετά το µεγάλο κραχ του 930. Ο Alan Greespan (former Federal Reserve chairman) χαρακτήρισε την κρίση ως ένα τσουνάµι που συµβαίνει µια φορά στα εκατό χρόνια. Θα πρέπει, όµως, να επισηµάνουµε ότι οι περισσότερες µεγάλες αγορές έχουν περάσει από ύφεση µέσα στις τελευταίες δεκαετίες, γεγονός που δείχνει ότι ο κίνδυνος στις αγορές µετοχών είναι µεγάλος και απρόβλεπτος. Τα τελευταία 40 χρόνια οι χρηµατοοικονοµικοί οργανισµοί έχουν υποστεί σηµαντικές απώλειες λόγω απρόβλεπτων γεγονότων. Ένα από αυτά τα γεγονότα ήταν η απρόβλεπτη και µη αναµενόµενη πτώση κατά 3% που σηµειώθηκε στις τιµές των µετοχών των Η.Π.Α. και οδήγησε σε απώλειες ύψους $ τρις στις 9 Οκτωβρίου 987, ηµέρα ευτέρα (Black Monday). Επίσης, οι τιµές µετοχών του χρηµατιστηρίου της Ιαπωνίας σηµείωσαν 8

σηµαντική πτώση στα τέλη του 989 και ο δείκτης Nikkei µειώθηκε από τις 39,000 µονάδες στις 7,000 µέσα σε 3 χρόνια, γεγονός που οδήγησε την Ιαπωνία σε µια χρηµατοοικονοµική (παρατεταµένη) κρίση. Οι απώλειες του χρηµατιστηρίου εκείνη την περίοδο ήταν $.7 τρισεκατοµµύρια σε κεφάλαιο. Ένα τελευταίο γεγονός που θα πρέπει να αναφέρουµε είναι η τροµοκρατική επίθεση στη Νέα Υόρκη στις Σεπτεµβρίου του 00, που πάγωσε τις οικονοµικές αγορές για 6 ηµέρες και οδήγησε το χρηµατιστήριο των Η.Π.Α. σε απώλειες $.7 τρισεκατοµµυρίων. Τα παραπάνω γεγονότα και πολλά άλλα οδήγησαν στην ανάπτυξη µέτρων κινδύνου και γενικότερα στην ανάπτυξη της διαχείρισης κινδύνου (risk managemen). Οι διαχειριστές κινδύνου, λοιπόν, ασχολούνται µε το σχεδιασµό και την εφαρµογή διαδικασιών που στοχεύουν στην αναγνώριση, στη µέτρηση και διαχείριση κινδύνου.. Κίνδυνος και τύποι κινδύνου Καταρχάς θα πρέπει να ορίσουµε τον κίνδυνο και να δούµε τους τύπους κινδύνου που υπάρχουν. Ο κίνδυνος (risk) προέρχεται από την αστάθεια- µεταβλητότητα των µη αναµενόµενων γεγονότων, που µπορούν να επηρεάσουν είτε την αξία των περιουσιακών στοιχείων, είτε τα κέρδη. Οι χρηµατοοικονοµικοί οργανισµοί εκτίθενται σε διάφορους τύπους κινδύνων. Ένας από αυτούς είναι ο κίνδυνος της αγοράς (marke risk), που ορίζεται ως ο κίνδυνος η αξία της επένδυσης να µειωθεί εξαιτίας ευµετάβλητων παραγόντων της αγοράς. Οι χρηµατοοικονοµικές µεταβλητές που επηρεάζουν τον κίνδυνο της αγοράς είναι: οι τιµές των µετοχών (equiy risk), τα επιτόκια (ineres rae risk), η συναλλαγµατική ισοτιµία (currency risk), οι τιµές των οµοιογενών αγαθών (commodiy risk). Στο σηµείο αυτό θα πρέπει να αναφέρουµε ότι στις αγορές σταθερού εισοδήµατος η διάρκεια (duraion) µετρά την έκθεση του υποκείµενου τίτλου στις µεταβολές των επιτοκίων. Επίσης, στις αγορές µετοχών ο υποκείµενος τίτλος εκτίθεται στο συστηµατικό κίνδυνο ή αλλιώς bea και στις αγορές παραγώγων ο κίνδυνος στον οποίο εκτίθεται ο υποκείµενος τίτλος ονοµάζεται dela. εύτερον ο κίνδυνος της ρευστότητας (liquidiy risk), που διακρίνεται στον κίνδυνο ρευστότητας περιουσιακών στοιχείων (asse liquidiy risk) σύµφωνα µε τον οποίο η συναλλαγή δεν µπορεί να πραγµατοποιηθεί λόγω 9

έλλειψης ρευστότητας στην αγορά και στον κίνδυνο κεφαλαιακής ρευστοποίησης (funding liquidiy risk), ο οποίος αναφέρεται στην αδυναµία τακτοποίησης οφειλών και κατά συνέπεια στην αναγκαία ρευστοποίηση κεφαλαίου. Τρίτον ο πιστωτικός κίνδυνος (credi risk) είναι ο κίνδυνος ζηµιών που προκύπτουν όταν οι αντισυµβαλλόµενοι µιας συµφωνίας (ενός συµβολαίου) δεν τηρούν τους όρους της συµφωνίας. Τέλος ο λειτουργικός κίνδυνος (operaional risk) προέρχεται από τις δραστηριότητες της εταιρείας. Η Βασιλεία ΙΙ ορίζει τον λειτουργικό κίνδυνο ως τον κίνδυνο ζηµιάς που είναι αποτέλεσµα ανεπαρκών και αποτυχηµένων εσωτερικών διαδικασιών. Ο λειτουργικός κίνδυνος µπορεί να οδηγήσει στον κίνδυνο αγοράς ή στον πιστωτικό κίνδυνο. 3. Μέτρα κινδύνου Κάτω από αυτές τις συνθήκες, οι οικονοµικοί αναλυτές στην προσπάθεια τους να αντιµετωπίσουν τη µεταβλητότητα των χρηµατοοικονοµικών προϊόντων έχουν οδηγηθεί σε διάφορα µέτρα κινδύνου. Τυπική απόκλιση (sandard deviaion) Το πρώτο ευρέως διαδεδοµένο και χρήσιµο µέτρο κινδύνου του χαρτοφυλακίου ήταν η Τυπική απόκλιση (sandard deviaion) της αξίας του χαρτοφυλακίου. Παρόλο που είναι συγκριτικά εύκολο στον υπολογισµό, η τυπική απόκλιση δεν είναι ιδανικό µέτρο κινδύνου. Ο κίνδυνος, λοιπόν, µπορεί να µετρηθεί ως µια διασπορά αποτελεσµάτων (risk as dispersion). Όσο πιο επίπεδη η κατανοµή των αποτελεσµάτων, δηλαδή όσο περισσότερο απλωµένες είναι οι τιµές της κατανοµής (περίπτωση υψηλής τυπικής απόκλισης) τόσο µεγαλύτερος ο κίνδυνος. Από την άλλη πλευρά µια χαµηλή τυπική απόκλιση δείχνει ότι οι παρατηρήσεις βρίσκονται πολύ κοντά στο µέσο. Quaniles (ποσοστιαία σηµεία κατανοµής) Ο κίνδυνος στα άκρα της κατανοµής µπορεί να µετρηθεί µε βάση τα quaniles της κατανοµής των αποδόσεων. Τα quaniles, που ονοµάζονται και ποσοστιαία σηµεία (perceniles=εκατοστηµόρια), ορίζονται ως οι τιµές q (cuoff values) της κατανοµής των αποδόσεων που είναι τέτοιες ώστε η 0

περιοχή δεξιά (ή αριστερά) από τα quaniles προσδιορίζει ένα συγκεκριµένο επίπεδο εµπιστοσύνης c. + c = prob( X q) = f ( x) dx = F( q) όπου c είναι το επίπεδο εµπιστοσύνης, X είναι η τυχαία µεταβλητή, q είναι η τιµή quanile, f ( x ) είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κατανοµής και F( x ) είναι η αθροιστική συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (cdf). Εάν η κατανοµή είναι η κανονική τα quaniles µπορούν να βρεθούν από τους στατιστικούς πίνακες. Value a Risk Το VaR είναι ένα ευρέως διαδεδοµένο µέτρο κινδύνου, διότι συνοψίζει σε ένα µοναδικό αριθµό την έκθεση ενός περιουσιακού στοιχείου (ή γενικότερα την έκθεση ενός χρηµατοοικονοµικού ιδρύµατος, τράπεζας) στον κίνδυνο. Σύµφωνα, λοιπόν, µε τον ορισµό του VaR, το VaR δείχνει τις αναµενόµενες απώλειες ενός περιουσιακού στοιχείου ή ενός χαρτοφυλακίου σε συγκεκριµένο χρονικό ορίζοντα (µέρα, εβδοµάδα, µήνα) σε δεδοµένο διάστηµα εµπιστοσύνης. οθείσας της τυχαίας µεταβλητής Χ, το αριστερό quanile (ποσοστιαίο σηµείο της κατανοµής) σε διάστηµα εµπιστοσύνης α ορίζεται ως: q { [ ] } q ( ) inf : a X = x P X x a αντίστοιχα το VaR της µεταβλητής Χ στο α-quanile είναι: VaR ( X ) = q ( X ) a Παρ όλου που το VaR παίζει σηµαντικό ρόλο στη διαχείριση κινδύνου, έχει δεχθεί κριτικές όσον αφορά την έλλειψη συνοχής που εµφανίζει, αλλά και από το γεγονός ότι αγνοεί τις απώλειες πέρα από το επίπεδο του VaR. Expeced Shorfall Το Expeced Shorfall αποτελεί µια εναλλακτική µέθοδο του VaR. Χρησιµοποιείται ευρέως από τους διαχειριστές κινδύνου στην αξιολόγηση του αγοραίου κινδύνου. Ένα από τα σηµαντικά χαρακτηριστικά του µέτρου αυτού είναι ότι δεν επικεντρώνεται σε όλη την κατανοµή αλλά στις ουρές της a

κατανοµής των αποδόσεων. Θα πρέπει να σηµειώσουµε ότι αποτελεί συνεπές µέτρο κινδύνου (coheren measure of risk), σε αντίθεση µε το VaR. Επίσης, ονοµάζεται και Condiional Value a Risk (CVaR) και Expeced Tail loss (ETL). Για τον προσδιορισµό του Expeced Shorfall απαιτείται ο υπολογισµός του quanile. Έτσι, λοιπόν, το Expeced Shorfall ορίζεται ως η αναµενόµενη απώλεια του χαρτοφυλακίου, δοθέντος ότι η απώλεια είναι κάτω από το quanile (το ποσοστιαίο σηµείο της κατανοµής). Με αυτό το µέτρο µπορούµε να γνωρίζουµε όχι µόνο τα quaniles, αλλά και την αναµενόµενη απώλεια κεφαλαίου αν παραβιασθεί το VaR. To Expeced Shorfall ορίζεται ως: { [ ] } ES ( ) inf : ( ) a X = E X A P A > a έστω ότι το X είναι µια συνεχής κατανοµή, το Expeced Shorfall ορίζεται ως εξής: [ ] ES ( X ) = E X X q ( X ) a όπου X είναι η Τυχαία Μεταβλητή, a είναι το επίπεδο εµπιστοσύνης και q ( ) a X είναι το (αριστερό) quanile για επίπεδο εµπιστοσύνης α. a 4. Ορισµός του VaR Το VaR µετρά την αναµενόµενη απώλεια σε αξία ενός περιουσιακού στοιχείου ή χαρτοφυλακίου µέσα σε µια προκαθορισµένη χρονική περίοδο και σε δεδοµένο επίπεδο εµπιστοσύνης. Το VaR είναι ένα στατιστικό µέτρο και το µεγαλύτερο πλεονέκτηµα του είναι ότι συνοψίζει τον κίνδυνο σε έναν µοναδικό και εύκολα κατανοητό αριθµό. Παράδειγµα: αν το VaR ενός περιουσιακού στοιχείου είναι $00 εκατοµµύρια για µια εβδοµάδα σε 95% διάστηµα εµπιστοσύνης, υπάρχει µόνο 5% πιθανότητα η αξία του περιουσιακού στοιχείου να µειωθεί περισσότερο από $00 εκ. µέσα σε εβδοµάδα. Αν και το VaR µπορεί να χρησιµοποιηθεί από οποιοδήποτε οργανισµό ή εταιρεία για τη µέτρηση της έκθεσης στον κίνδυνο, χρησιµοποιείται περισσότερο από τις εµπορικές και επενδυτικές τράπεζες για να µετρήσουν την ενδεχόµενη απώλεια/ζηµιά στην αξία των χαρτοφυλακίων τους από

αντίξοες κινήσεις της αγοράς µέσα σε προκαθορισµένο χρονικό διάστηµα. Η χρήση του VaR από τις τράπεζες αντανακλά το φόβο µιας κρίσης ρευστότητας που µπορεί να οδηγήσει σε απώλεια κεφαλαίου και έξοδο πελατών. 5. Σύντοµη Ιστορία του VaR Τα Μαθηµατικά που αρχικά υπονόησαν το VaR αναπτύχθηκαν στη θεωρία χαρτοφυλακίου του Harry Markowiz και άλλων µαθηµατικών στην προσπάθεια τους να εκτιµήσουν το Άριστο Χαρτοφυλάκιο. Η ανάγκη ρυθµίσεων για την αποφυγή κρίσεων έφεραν το VaR στο προσκήνιο. Η πρώτη ρύθµιση κεφαλαιακής επάρκειας για την τράπεζα θεσπίστηκε µετά το µεγάλο «κραχ» του 930. Τότε ιδρύθηκε η Επιτροπή Ανταλλαγής Τίτλων (Securiies Exchange Commission-SEC) που ανάγκασε τις τράπεζες να δανείζουν έως 000% του κεφαλαίου τους. Στις αρχές του 970 τα παράγωγα και κυµαινόµενα συναλλαγµατικά επιτόκια αύξησαν τον κίνδυνο, µε αποτέλεσµα το απαιτούµενο από τις ρυθµιστικές αρχές ποσό για τη διατήρηση της κεφαλαιακής επάρκειας να αλλάξει. Οι τράπεζες αναγκάστηκαν να αναφέρουν υπολογισµούς για το κεφάλαιο τους σε τριµηνιαίες δηλώσεις που ονοµάστηκαν Financial and Operaing Combined Uniform Single (FOCUS) repors. Στις αρχές του 980 για πρώτη φορά οι ρυθµιστικές αρχές επικαλέσθηκαν το VaR και συνέδεσαν το κεφάλαιο, που οι τράπεζες έπρεπε να κρατούν, µε τις απώλειες που τυχόν θα συνέβαιναν µέσα σε διάστηµα 30 ηµερών σε 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για διαφορετικές κατηγορίες τίτλων. Στο σηµείο αυτό πρέπει να επισηµάνουµε τον ρόλο που έπαιξαν οι Συµφωνίες της Βασιλείας I και II στην κεφαλαιακή επάρκεια των τραπεζών. Σύµφωνα µε τη Βασιλεία I (Basel I Accord-998) oι τράπεζες υποχρεούνται να διατηρούν κεφάλαιο για να διασφαλιστούν έναντι του πιστωτικού κινδύνου. Το 004 η Βασιλεία II τροποποιεί τις µέχρι τότε ρυθµίσεις, λαµβάνοντας υπόψη της τις αλλαγές που έχουν γίνει στο χρηµατοοικονοµικό σύστηµα. Μέχρι τις αρχές του 990 πολλοί χρηµατοοικονοµικοί οργανισµοί είχαν αναπτύξει µέτρα του VaR. Στην περίοδο 990-993 ακλούθησαν µεγάλες απώλειες λόγω της χρήσης παραγώγων αλλά και λόγω της µόχλευσης. Η 3

σηµαντικότερη απώλεια ήταν η πτώση της βρετανικής επενδυτικής τράπεζας Barings, αποτέλεσµα µη ελεγχόµενων εµπορικών συναλλαγών στο δείκτη Nikkei µε Συµβόλαια Μελλοντικής Εκπλήρωσης (fuures) και µε παράγωγα (opions) από τον Nick Leeson. Το 995 η J.P. Morgan επέτρεψε σε όλους τους οργανισµούς και εταιρείες την πρόσβαση στα στοιχεία διακύµανσης και συνδιακύµανσης πολλών τίτλων και διαφορετικών περιουσιακών στοιχείων. Έδωσε τον τίτλο Riskmerics σε αυτή την υπηρεσία και χρησιµοποίησε τον όρο VaR για να περιγράψει το µέτρο κινδύνου που εκτιµούσε από τα διαθέσιµα στοιχεία. Η J.P. Morgan µε αυτόν τον τρόπο παρακίνησε εταιρείες να ασχοληθούν µε µέτρα κινδύνου και προκάλεσε το ενδιαφέρον των ακαδηµαϊκών. Τις τελευταίες δεκαετίες το VaR αποτελεί το σηµαντικότερο µέτρο κινδύνου για χρηµατοοικονοµικές και µη χρηµατοοικονοµικές υπηρεσίες. 6. Ιδιότητες του VaR (properies) Υπάρχουν κάποιες ιδιότητες που πρέπει να ικανοποιεί ένα µέτρο κινδύνου για να είναι συνεπές (coheren measure of risk). i. Mονοτονικότητα (monooniciy): Εάν W W τότε ρ(w ) ρ(w ), δηλαδή αν το χαρτοφυλάκιο έχει συστηµατικά µικρότερες αποδόσεις από το χαρτοφυλάκιο, τότε ο κίνδυνος του είναι µεγαλύτερος από τον κίνδυνο του. ii. Translaion Invariance: Ρ(W+k)=ρ(W)-k, δηλαδή προσθέτοντας µετρητά (χρηµατικό ποσό ίσο µε k) σε ένα χαρτοφυλάκιο µειώνει τον κίνδυνο του χαρτοφυλακίου κατά k. iii. Οµοιογένεια (Homogeneiy): ρ(bw)=bρ(w): Αυξάνοντας το µέγεθος του χαρτοφυλακίου κατά b ο κίνδυνος του χαρτοφυλακίου θα πρέπει να κλιµακώνεται κατά b. iv. Συναθροιστικότητα (Subaddiiviy): ρ(w +W ) ρ(w )+ ρ(w ): Συγχωνεύοντας χαρτοφυλάκια δεν αυξάνεται ο κίνδυνος. Το µέτρο κινδύνου που βασίζεται στο ποσοστιαίο σηµείο (quanilebased VaR measure) αποτυγχάνει να ικανοποιήσει την ιδιότητα της 4

συναθροιστικότητας. Πράγµατι, αυτό συµβαίνει στην περίπτωση που ο επενδυτής έχει λάβει αντίθετη θέση απέναντι σε υποκείµενα προϊόντα, δηλαδή έχει πουλήσει περιουσιακά στοιχεία χωρίς να τα κατέχει (shor selling). Σε αυτή την περίπτωση οι αναµενόµενες απώλειες του επενδυτή (καθώς και τα αναµενόµενα κέρδη) είναι πολύ µεγαλύτερες από το VaR. Αντίθετα το Expeced Tail Loss ικανοποιεί τις παραπάνω ιδιότητες και αποτελεί συνεπές (coheren) µέτρο κινδύνου. 7. Χαρακτηριστικά του VaR: Χρονικός Ορίζοντας του VaR (VaR Horizon): Ο χρονικός ορίζοντας προσδιορίζεται από το πώς συµπεριφέρονται/κατανέµονται οι παράγοντες κινδύνου και από τη σύνθεση του χαρτοφυλακίου (µόχλευση ρευστότητα). Η επέκταση από το χρονικό ορίζοντα µιας ηµέρας σε µεγαλύτερο χρονικό ορίζοντα προϋποθέτει ότι οι αποδόσεις (reurns) κατανέµονται ανεξάρτητα και ισόνοµα. Αν ισχύει η παραπάνω προϋπόθεση η µεταβλητότητα της µιας ηµέρας µπορεί να µετατραπεί σε µεταβλητότητα πολλών ηµερών πολλαπλασιάζοντας µε τη ρίζα του χρόνου Τ. VaR( Tdays) = VaR( day) T Θα πρέπει, επίσης να υποθέσουµε ότι η κατανοµή των αποδόσεων µιας ηµέρας δεν αλλάζει σε µεγαλύτερους χρονικούς ορίζοντες. Στην απόφαση χρονικού ορίζοντα πρέπει να λάβουµε υπόψη µας και την περίοδο ρευστοποίησης. Οι εµπορικές τράπεζες επιλέγουν χρονικό ορίζοντα µιας ηµέρας λόγω της ρευστότητας και των γρήγορων αλλαγών στα χαρτοφυλάκια τους. Αντίθετα οι επενδυτικές τράπεζες επενδύουν σε λιγότερο ρευστοποιήσιµα περιουσιακά στοιχεία (pension funds), γι αυτό και επιλέγουν χρονικό ορίζοντα ενός µήνα. Σύµφωνα µε µια άλλη ερµηνεία ο χρονικός ορίζοντας αντιπροσωπεύει το χρονικό διάστηµα που απαιτείται για να αντισταθµιστούν οι κίνδυνοι της αγοράς. Μια άλλη άποψη είναι ότι ο ορίζοντας αντιστοιχεί στην περίοδο στην οποία το χαρτοφυλάκιο παραµένει σταθερό. Σε γενικές γραµµές όσο πιο σύντοµος ο χρονικός ορίζοντας τόσο καλύτερη είναι η εκτίµηση του VaR. 5

ιάστηµα εµπιστοσύνης (confidence level): Το ιάστηµα Εµπιστοσύνης είναι η πιθανότητα ότι η απώλεια δεν είναι µεγαλύτερη από την πρόβλεψη του VaR. Όσο πιο υψηλό είναι το επίπεδο εµπιστοσύνης τόσο καλύτερο είναι το µέτρο του VaR. Αλλά η επιλογή του διαστήµατος εµπιστοσύνης εξαρτάται από το σκοπό της χρήσης του VaR. Αν το VaR χρησιµοποιείται για να προσδιορισθεί το ποσό της κεφαλαιακής επάρκειας των τραπεζών, τότε προτιµάται ένα υψηλό διάστηµα εµπιστοσύνης. Όταν όµως ο διαχειριστής κινδύνου επιθυµεί να εξετάσει την ακρίβεια του VaR µέσω στατιστικών ελέγχων, τότε θα πρέπει να επιλέξει ένα επίπεδο εµπιστοσύνης που δεν είναι πολύ υψηλό π.χ. 95% - 99%. Αυτό συµβαίνει γιατί σε ένα υψηλό επίπεδο εµπιστοσύνης (π.χ. 99,99%) ο διαχειριστής κινδύνου δεν µπορεί να ελέγξει πόσες φορές οι απώλειες/ζηµιές ξεπέρασαν το VaR (losses exceeding VaR), διότι η υπέρβαση του VaR θα ήταν σπάνια σε ένα πολύ υψηλό επίπεδο εµπιστοσύνης. Σε γενικές γραµµές οι εκτιµήσεις του VaR υπολογίζονται σε διαστήµατα εµπιστοσύνης που ποικίλλουν µεταξύ 95% και 99,9%. Για παράδειγµα η J.P. Morgan χρησιµοποιεί 95% διάστηµα εµπιστοσύνης. Θα πρέπει να σηµειώσουµε, όµως, ότι η Επιτροπή της Βασιλείας συνιστά 99% διάστηµα εµπιστοσύνης. Κατανοµή των χρηµατοοικονοµικών σειρών: Στο σηµείο αυτό θα πρέπει να αναφέρουµε ότι οι αποδόσεις χρηµατοοικονοµικών σειρών (τιµές µετοχών, αποδόσεις χαρτοφυλακίου) παρουσιάζουν αυτοσυσχέτιση µεταξύ τους, δηλαδή τα δεδοµένα επηρεάζουν το ένα το άλλο, καθώς και συσχέτιση µε προηγούµενα σφάλµατα. Στις χρηµατοοικονοµικές σειρές τις µεγάλες αποδόσεις ακολουθούν ακόµη µεγαλύτερες αποδόσεις και τις µικρές αποδόσεις ακολουθούν ακόµη µικρότερες αποδόσεις. Οι τιµές µιας σειράς που προέρχονται από τυχαία κατανοµή πιθανότητας είναι τιµές στοχαστικής διαδικασίας. Σε αυτή την περίπτωση πρέπει να µοντελοποιήσουµε το µέσο και τη διακύµανση της σειράς µε βάση τα χαρακτηριστικών διαθέσιµων τιµών. Οι Campbell, Lo και MacKinlay (997, p.48) υποστήριξαν ότι είναι ασυνεπές και στατιστικά αναποτελεσµατικό να χρησιµοποιούνται µέτρα µεταβλητότητας που στηρίζονται στην υπόθεση της σταθερής διακύµανσης για µια περίοδο, όπου οι χρηµατοοικονοµικές σειρές εναλλάσσουν την υψηλή διακύµανση µε τη χαµηλή. Η µοντελοποίηση του µέσου και της διακύµανσης επιτυγχάνεται από 6

µια σειρά υποδειγµάτων που έχουν εξελιχθεί στο χρόνο, ώστε να συλλαµβάνουν όλα τα χαρακτηριστικά των χρηµατοοικονοµικών σειρών. 8. Χαρακτηριστικά χρηµατοοικονοµικών σειρών: ) Volailiy clusering phenomenon Η διακύµανση µιας χρηµατοοικονοµικής σειράς µεταβάλλεται στο χρόνο. Την περίοδο υψηλής διακύµανσης ακολουθεί περίοδος χαµηλής διακύµανσης. Το φαινόµενο αυτό αντιµετωπίζεται µε τη µοντελοποίηση της υπό συνθήκη διακύµανσης. ) Παχιές ουρές των κατανοµών (fa ails) Οι ακραίες τιµές µιας χρηµατοοικονοµικής σειράς (οι µικρές και µεγάλες τιµές της κατανοµής) έχουν µεγαλύτερη πιθανότητα εµφάνισης. Οι κατανοµές των χρηµατοοικονοµικών σειρών ονοµάζονται λεπτόκυρτες, αφού εµφανίζουν κύρτωση > 3. Οι κατανοµές χρηµατοοικονοµικών σειρών αποκλίνουν από την κανονική κατανοµή, όπου η κύρτωση = 3. Άρα για να µην χάνουµε πληροφορία στα άκρα της κατανοµής οι παχιές ουρές αντιπροσωπεύονται καλύτερα από κατανοµές όπως η -suden ή η Generalized Error disribuion. 3) Leverage effec Το leverage effec εκφράζει την αρνητική συσχέτιση που υπάρχει ανάµεσα στην απόδοση της παρούσας περιόδου και τη µελλοντική διακύµανση. Μια πτώση της τιµής της µετοχής σήµερα δηµιουργεί µεγαλύτερη ανασφάλεια για την αυριανή πορεία της µετοχής. Το leverage effec δεν συλλαµβάνεται από όλα τα µοντέλα ετεροσκεδαστικότητας, αλλά από το EGARCH κ.α.. 4) Non rading days Οι χρηµατοοικονοµικές σειρές εµφανίζουν µεγαλύτερη διακύµανση την επόµενη ηµέρα των non-rading days και αυτό διότι συσσωρεύεται περισσότερη πληροφορία ύστερα από Σαββατοκύριακα, αργίες, γιορτές, µε αποτέλεσµα η πληροφορία να διαχέεται πολύ πιο γρήγορα όταν έρχεται στην επιφάνεια. 5) Co-movemens in volailiy 7

Η διακύµανση των χρηµατοοικονοµικών σειρών κινείται προς την ίδια κατεύθυνση. (π.χ. Αύξηση του Γενικού είκτη στην Αµερική οδηγεί σε αύξηση του Γ.. στην Ευρώπη). Τα παραπάνω χαρακτηριστικά χρηµατοοικονοµικών σειρών προσπαθούν να συλλάβουν τα µοντέλα ετεροσκεδαστικότητας και να δώσουν όσο το δυνατό καλύτερη εκτίµηση του Value a Risk. 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΕΘΟ ΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΟΥ VAR To VaR είναι στατιστικό µέτρο κινδύνου, το οποίο προέρχεται από όλη τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Οι µέθοδοι υπολογισµού του VaR διακρίνονται κυρίως σε κατηγορίες: στις µη παραµετρικές και παραµετρικές µεθόδους υπολογισµού. Οι µη παραµετρικές µέθοδοι υπολογισµού δεν κάνουν καµία υπόθεση σχετικά µε το σχήµα κατανοµής των αποδόσεων. Έτσι, λοιπόν, το VaR προέρχεται από τον υπολογισµό του ποσοστηµορίου (quanile) της πραγµατικής εµπειρικής κατανοµής σε δεδοµένο διάστηµα εµπιστοσύνης. Όσον αφορά τη δεύτερη κατηγορία των παραµετρικών µεθόδων το VaR προέρχεται απευθείας από την τυπική απόκλιση του χαρτοφυλακίου. Γενικότερα η µέθοδος ονοµάζεται παραµετρική, επειδή συµπεριλαµβάνει εκτιµητές παραµέτρων, όπως είναι η τυπική απόκλιση. Οι παραµετρικές µέθοδοι δίνουν πιο ακριβείς εκτιµήσεις του VaR, σύµφωνα µε έρευνες. Παραµετρικά υποδείγµατα. Πλήρως Παραµετρικό Υπόδειγµα: Locaion Scale Σύµφωνα µε τους Kueser, Minik, Paolella (006) παραµετρικά υποδείγµατα της κατηγορίας θέσης-κλίµακας (locaion-scale) βασίζονται στην υπόθεση ότι οι αποδόσεις ανήκουν στην οικογένεια κλίµακας-θέσης των κατανοµών πιθανότητας της µορφής: r = µ + ε = µ + σ z όπου η θέση (locaion) µ και η κλίµακα (scale) σ είναι F µετρήσιµοι iid παράµετροι. Το z f (.) είναι µια µηδενικής θέσης (zero-locaion) µοναδιαίας z κλίµακας (uni scale) πυκνότητα πιθανότητα που έχει επιπρόσθετους παραµέτρους (όπως οι παράµετροι βαθµών ελευθερίας στη suden- κατανοµή). Τα µοντέλα ετεροσκεδαστικότητας ARCH (Auoregressive Condiional Heeroskedasic) και GARCH (Generalized ARCH) υπέθεσαν ότι το z 9

κατανέµεται µε βάση την κανονική κατανοµή, το οποίο αποδείχθηκε ανεπαρκές. Έτσι, λοιπόν, η αντικατάσταση της κανονικής κατανοµής από κατανοµές που προσπαθούν να συλλάβουν τις παχιές ουρές (fa ails) ήταν αναµενόµενη. Η πρόβλεψη του VaR h περιόδους µπροστά βασίζεται στην πληροφορία που διαθέτουµε έως το χρόνο και είναι: ( + h λ ) VaR + h = µ + σ + hq ( z) όπου το Qλ ( z) είναι το λ-quanile που υπονοείται από την f Z. Οι προσεγγίσεις διαφέρουν, καθώς µπορούµε να εξειδικεύσουµε τη δεσµευµένη θέση µ + h, τη δεσµευµένη κλίµακα σ + h και την πυκνότητα f Z. Μη δεσµευµένα παραµετρικά µοντέλα θέτουν µ µ και σ σ, υποθέτοντας ότι οι αποδόσεις είναι ισόνοµα και ανεξάρτητα κατανεµηµένες (iid) µε ( ) πυκνότητα σ f σ ( r µ ) Z. εσµευµένα Οµοσκεδαστικά Παραµετρικά µοντέλα επιτρέπουν δεσµευµένο µέσο που αλλάζει στο χρόνο, µε τη χρήση ενός ARMA(p,q) µοντέλου που παρουσιάζεται ως: p µ = a + a r + b ε 0 i i j j i= j= q µε σ σ, =,..., T Επίσης, χρησιµοποιούνται δεσµευµένα ετεροσκεδαστικά παραµετρικά µοντέλα που επιτρέπουν στην παράµετρο κλίµακας να είναι µια συνάρτηση παλιών πληροφοριών. Το πιο δηµοφιλές από αυτά τα µοντέλα είναι το υπόδειγµα του GARCH, το οποίο θα αναλύσουµε παρακάτω.. Μέθοδος Ίσης Σταθµισµένης ιακύµανσης-συνδιακύµανσης & Εκθετικά Σταθµισµένου Κινητού Μέσου Στο σηµείο αυτό θα παρουσιάσουµε παραµετρικά µοντέλα που αποτελούν προσεγγίσεις διακυµάνσεων-συνδιακυµάνσεων που υποθέτουν κανονικότητα και σειριακή ανεξαρτησία. 0

Η µέθοδος της ίσης σταθµισµένης διακύµανσης-συνδιακύµανσης (equally weighed variance-covariance mehod) τοποθετεί το ίδιο βάρος σε κάθε παρατήρηση, δηλαδή θεωρεί ότι κάθε παρατήρηση είναι εξίσου σηµαντική µε τις υπόλοιπες. Από την άλλη πλευρά η µέθοδος του εκθετικά σταθµισµένου κινητού µέσου (exponenially weighed variance-covariance mehod) θεωρεί πιο σηµαντικές τις πρόσφατες παρατηρήσεις. Οι Bredin και Hyde (00) ορίζουν ως R τη µήτρα των αποδόσεων και ως Σ τη µήτρα διακυµάνσεων-συνδιακυµάνσεων των αποδόσεων R για τα µοντέλα. Επίσης, ορίζουν ως δ ένα διάνυσµα ευαισθησίας, το οποίο µετρά την ευαισθησία του χαρτοφυλακίου σε αλλαγές των παραγόντων κινδύνου. Τότε η αλλαγή σε αξία του χαρτοφυλακίου έχει την εξής µορφή: και υπολογίζοντας το VaR έχουµε: ( 0, Σ ) P N δ δ ( ) VaR = Z a δ Σ δ όπου Ζ ( α) είναι το α ποσοστιαίο σηµείο της τυπικής κανονικής κατανοµής. Και οι δύο µέθοδοι εκτιµούν τη µήτρα διακυµάνσεων-συνδιακυµάνσεων. Σύµφωνα µε την πρώτη προσέγγιση της ίσης σταθµισµένης διακύµανσηςσυνδιακύµανσης η εκτίµηση της µήτρας έχει την παρακάτω µορφή: T + s s s= 0 Σ $ = R R T Όταν η µήτρα διακύµανσης-συνδιακύµανσης αλλάζει µέσα στο χρόνο, οι σχετικά παλιές παρατηρήσεις πρέπει να αγνοηθούν και να δοθεί περισσότερη έµφαση στα πρόσφατα στοιχεία. H δεύτερη προσέγγιση του εκθετικά σταθµισµένου κινητού µέσου ορίζει ένα παράγοντα λ, γνωστό ως παράγοντα στάθµισης decay facor που δίνει µεγαλύτερη σηµασία στις πρόσφατες παρατηρήσεις όταν υπολογίζει τη µήτρα διακύµανσης-συνδιακύµανσης. Όσο πιο µικρή η τιµή του παράγοντα στάθµισης λ, τόσο µεγαλύτερο είναι το βάρος που τοποθετείται σε πρόσφατα στοιχεία. Άρα µε τη δεύτερη προσέγγιση του εκθετικά σταθµισµένου κινητού µέσου η εκτίµηση της µήτρας διακύµανσης-συνδιακύµανσης ορίζεται ως:

T s ' + λ R sr s s= 0 Σ $ = ( λ) Αν και η δεύτερη προσέγγιση συλλαµβάνει το φαινόµενο του volailiy clusering, τα υποδείγµατα της γενικευµένης αυτοπαλίνδροµης δεσµευµένης ετεροσκεδαστικότητας συλλαµβάνουν περισσότερα χαρακτηριστικά των αποδόσεων. 3. Μοντέλα Ετεροσκεδαστικότητας Τα µοντέλα του VaR βασίζονται σε στατιστικές κατανοµές. Η δεσµευµένη κατανοµή των αποδόσεων και η εκτίµηση της τυπικής απόκλισης παίζουν καθοριστικό ρόλο στην εκτίµηση του VaR, αν λάβουµε υπόψη µας ότι ο υπολογισµός του VaR απαιτεί την εκτίµηση του quanile της κατανοµής των αποδόσεων, δηλαδή το ποσοστιαίο σηµείο p% (percenile) της κατανοµής των αποδόσεων. Για αυτό το λόγο η σωστή πρόβλεψη της διακύµανσης καθορίζει ακριβείς εκτιµήσεις του VaR. 3. ARCH (Auoregressive Condiional heeroskedasiciy) To µοντέλο ARCH (Engle 98) µοντελοποιεί τη διακύµανση του διαταρακτικού όρου, ώστε να είναι συνάρτηση των τετραγώνων των διαταρακτικών όρων προηγούµενων χρονικών περιόδων. Έστω µια χρηµατοοικονοµική σειρά [ Y ] = ( Φ ) E y ε : είναι τα σφάλµατα T ( ) y = Ε y Φ + ε : είναι η δεσµευµένη µέση τιµή της Y Φ : informaion se: είναι η πληροφορία µέχρι τη χρονική στιγµή - Ο υπό συνθήκη µέσος υπολογίζεται ως k-h order auoregressive process AR(k) ( ) E y I c c y 0 i i i= k = +

Έστω ε είναι τα κατάλοιπα των αποδόσεων και υποθέτουµε ότι ε = zσ, όπου z iid είναι µια σειρά Τυχαίων Μεταβλητών, που κατανέµονται κανονικά µε µέσο ίσο µε µηδέν και διακύµανση ίση µε ένα. Η υπό συνθήκη διακύµανση του ε είναι σ. Ο Engle εισήγαγε το ARCH(q) µοντέλο και εξέφρασε τη δεσµευµένη διακύµανση ως: σ q = a0 + aiε i i= Για να είναι η δεσµευµένη διακύµανση θετική πρέπει: a > και a 0 για i=,ž,q 0 0 i Άρα το µοντέλο συλλαµβάνει το φαινόµενο του volailiy clusering. Έστω το µοντέλο ARCH() που είναι πιο απλή µορφή του ARCH(q): σ = a + a 0 ε Σύµφωνα µε απόδειξη του Engle παίρνοντας τη ροπή δεύτερης τάξης: E ( ) a 0 ε = a για να είναι στάσιµη η διακύµανση πρέπει: a < Παίρνοντας τη ροπή τέταρτης τάξης: για να ισχύει πρέπει: a < 3 E ( ε ) 3a a 4 0 = ( a) 3a Η κύρτωση k της µη δεσµευµένης κατανοµής του ε είναι: 0 4 Ε 4 4 E a 3a 0 ( ε ) ( ε ) 3a a ( a ) 3a 3( a ) µ k = = = = > 3 σ a εφόσον η κύρτωση είναι µεγαλύτερη του 3, το ARCH() συλλαµβάνει το φαινόµενο των fa ails. 3

Συµπερασµατικά το µοντέλο ARCH συλλαµβάνει το φαινόµενο του volailiy clusering, της κύρτωσης, των παχιών ουρών, το φαινόµενο non rading days, αλλά δεν συλλαµβάνει το leverage effec. 3. GARCH (Generalized Auoregressive Heeroskedasiciy model) O Bollerslev (986) πρότεινε γενίκευση του µοντέλου ARCH και οδηγήθηκε στο GARCH(p,q): q p = a0 + ai i + bj j i= j= σ ε σ όπου a 0 > 0, a 0 για i =,..., q και b 0 για j =,..., p i j q p Για να είναι η µη δεσµευµένη διακύµανσησ = α0 ai bj στάσιµη i= j= διαδικασία θα πρέπει να ισχύει ο περιορισµός: q p a + b < i i= j= j Το µοντέλο GARCH επιτυχώς συλλαµβάνει το φαινόµενο του volailiy clusering,των παχιών ουρών (fa ails) και της κύρτωσης, αφού αποδεικνύεται ότι η κύρτωση είναι k>3. 3.3 GARCH-N Στην προσπάθεια µας να µοντελοποιήσουµε τη διακύµανση χρησιµοποιούµε το υπόδειγµα GARCH (,) και για τη µοντελοποίηση του µέσου µια AR() εξειδίκευση υποθέτοντας ότι τα υπό συνθήκη σφάλµατα κατανέµονται µε βάση την κανονική κατανοµή (normal disribuion) r = a + a r + ε όπου: =,..., N 0 ε Φ N 0, ( σ ) σ = a + aε + bσ 0 4

Οι περιορισµοί που πρέπει να ισχύουν είναι α <, όσον αφορά το µέσο και a0, a, b 0,όσον αφορά τη διακύµανση, για να διασφαλίσουµε ότι a b σ > 0 και + < για να έχουµε στάσιµη διακύµανση (saionary variance). Το ( 0, ) N σ δείχνει την Gaussian κατανοµή µε µέσο ίσο µε µηδέν και διακύµανση σ. Το I δείχνει την ιστορία των χρονολογικών σειρών έως το χρόνο -. Το τυπικό GARCH µοντέλο που βασίζεται στην κανονική κατανοµή συλλαµβάνει αρκετά «τυποποιηµένα» χαρακτηριστικά (sylized facs) των χρηµατοοικονοµικών σειρών, δηλαδή των αποδόσεων των περιουσιακών στοιχείων, όπως είναι η ετεροσκεδαστικότητα, το φαινόµενο του volailiy clusering και η υπερβάλλουσα κύρτωση (excess kurosis). 3.4 GARCH-T Για να συλλάβουµε καλύτερα τα «τυποποιηµένα» χαρακτηριστικά της κατανοµής των αποδόσεων, κυρίως τις παχιές ουρές και την υπερβάλλουσα κύρτωση µπορούµε να αντικαταστήσουµε την κανονική κατανοµή των αποδόσεων µε τη Suden- κατανοµή. Θα πρέπει να επισηµάνουµε ότι ο Bollerslev (987) παρουσίασε την προέκταση του GARCH µοντέλου, στο οποίο η µη δεσµευµένη κατανοµή του διαταρακτικού όρου ε ( ε = z σ ) ακολουθεί κατανοµή µε πιο παχιές ουρές από την κανονική. Έτσι, λοιπόν, ο Bollerslev πρότεινε ως κατανοµή της σειράς z την τυποποιηµένη suden- κατανοµή µε ν > βαθµούς ελευθερίας και πυκνότητα που δίνεται στην παρακάτω σχέση: x v όπου ( ) 0 (( ν ) ) ( ν ) π ( ν ) v+ Γ + z D( z; ν ) = + Γ v Γ ν = e x dx είναι η συνάρτηση γάµµα και ν είναι η παράµετρος που καθορίζει την κύρτωση της δεσµευµένης κατανοµής. Όταν το ν παίρνει µεγάλες τιµές η πυκνότητα της -suden κατανοµής συγκλίνει µε αυτή της κανονικής. 5

Η πλήρης εξειδίκευση του AR(), GARCH(,) µοντέλου είναι: r = a + a r + ε =,..., N 0 ε ( σ ) Φ T ν 0, σ = a + aε + bσ 0 όπου το T ν δηλώνει τη Suden- κατανοµή µε µέσο ίσο µε µηδέν και διακύµανση σ και ν βαθµούς ελευθερίας. Άρα το µοντέλο GARCH-T καλύπτει και αυτό τις παχιές ουρές της δεσµευµένης κατανοµής αποδόσεων. 3.5 GARCH-GED O Nelson (99) πρότεινε τη χρήση της Generalized Error Disribuion µε πυκνότητα: ( ; ν ) D z ν exp 0.5 = ν ( z λ ) ( + ν ) Γ( ν ) λ ν > 0 όπου το ν είναι η παράµετρος που περιγράφει τις παχιές ουρές και το ( ) ( ) λ ν 3ν ν = Γ Γ. Όταν ν= η κατανοµή της σειράς z είναι κανονική. Για ν< η κατανοµή της σειράς z έχει πιο παχιές ουρές από την κανονική κατανοµή, ενώ για ν> η κατανοµή της σειράς z έχει πιο λεπτές ουρές από την κανονική κατανοµή. Έτσι, λοιπόν, µετά τη Suden- κατανοµή προτάθηκε η GED για να συλλάβει και αυτή το φαινόµενο των παχιών ουρών καλυτέρα από την κανονική κατανοµή. 3.6 GARCH-Sable Processes Η Sable Pareian κατανοµή είναι πιο πρόσφατη και σύµφωνα µε τους Minik και Paolella (003) προτάθηκε γιατί περιγράφει εξίσου καλά µε τη Suden- κατανοµή τις παχιές ουρές της κατανοµής. Επίσης η Sable Pareian κατανοµή συλλαµβάνει την ασυµµετρία, µια ελκυστική ιδιότητα στις 6

χρηµατοοικονοµικές εφαρµογές που δεν συλλαµβάνεται από τη Suden- κατανοµή. Έστω ότι η σειρά y είναι η sable Pareian power GARCH process ή εν δ συντοµία S GARCH ( r s),, α β process, εάν: y = µ + σ z, z S α, β ( 0,) iid και r s δ δ δ = 0 + i y i + j j i= j= σ θ θ µ ϕ σ όπου το S α, β ( 0,) δείχνει την τυπική ασύµµετρη sable Pareian κατανοµή, µε σταθερό δείκτη α, παράµετρο ασυµµετρίας β [,], µηδενική παράµετρο θέσης και µοναδιαία παράµετρο κλίµακας. Η sable Pareian κατανοµή (Minik & Rachev 000) έχει την εξής µορφή: ix e dh x ( ) exp a a πα σ iβsign( ) an i, + δ αν α = exp σ + iβ sign( ) ln + iδ, αν α = π Όπου α (0, ] είναι ο σταθερός δείκτης β [,] είναι η παράµετρος ασυµµετρίας δ R είναι η παράµετρος shif Αυτή είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση της sable Pareian κατανοµής και το H δείχνει τη συνάρτηση κατανοµής που αντιστοιχεί στο S α, β ( δ, σ ). Η πυκνότητα είναι συµµετρική για β=0 και ασύµµετρη προς τα δεξιά (αριστερά) για β>0 (β<0). Ο σταθερός δείκτης α, που γενικότερα υποθέτει τιµές στο διάστηµα (0,] καθορίζει το πάχος των ουρών της κατανοµής. Καθώς το α προσεγγίζει το, οι ουρές γίνονται λεπτότερες. Για α= η sable Pareian κατανοµή συµπίπτει µε την κανονική κατανοµή. Για α< το ε δεν κατέχει στιγµές της τάξης α ή υψηλότερες. 7

Οι Minik, Paolella και Rachev (00) πρότειναν περιορισµούς, δ σύµφωνα µε τους οποίους η S GARCH ( r s),, α β διαδικασία έχει αυστηρώς µοναδική στάσιµη λύση. Οι περιορισµοί είναι οι εξής: < a, 0 < δ < α, σ >, σ 0 για i =,..., r όπου r, d 0 για j =,..., s και s 0. Το 0 0 i volailiy persisence ορίζεται ως: j S α, β 0, ώστε V για Z ( ) S V : = E Z δ θ + ϕ r s i j i= j= s Εάν οι περιορισµοί < a και 0 < δ < α ισχύουν, τότε αυτοί δείχνουν ότι: δ δ λ τ τ Ψ όπου τ β ( απ ) δ δ,, : ( α α β δ = Ε Ζ = Γ + α, β ) cos arcan α, β δ α α, : = an και α β Ψ δ = πδ Γ( δ ) cos, όταν δ π, όταν δ = Οι περιορισµοί < a και 0 < δ < α ικανοποιούνται και για σειρές µε µεγαλύτερη µεταβλητότητα, όπως είναι οι δείκτες τιµών µετοχών. 3.7 EGARCH Με σκοπό να συλλάβουν την ασυµµετρία στα διαθέσιµα στοιχεία ένα άλλο µοντέλο παρουσιάστηκε από το Nelson το 99, το εκθετικό (exponenial) GARCH. ln ε σ ε σ q p ( i i σ ) ( = a0 + ai + γ i + bj ln σ j) i= i i j= Η µοντελοποίηση του λογαρίθµου της διακύµανσης επιτρέπει θετικές και αρνητικές παραµέτρους, αφού η διακύµανση παραµένει πάντα θετική. Έτσι είναι ευκολότερη η πρόβλεψη του EGARCH χωρίς την επιβολή περιορισµών. Επίσης, η παράµετρος γ i επιτρέπει την ασυµµετρία. Αν το γ i = 0, τότε µια θετική απόδοση σήµερα ε > 0 δε θα έχει καµία επίδραση στη διακύµανση, 8

όπως και µια αρνητική απόδοση σήµερα ε < 0 δεν θα έχει καµία επίδραση στη διακύµανση. Το leverage effec ισχύει όταν το γ i είναι µικρότερο του µηδενός και στατιστικά σηµαντικό. Έτσι µια χαµηλή απόδοση σήµεραε < 0 αυξάνει την αυριανή διακύµανση, δεδοµένου ότι γ ι < 0 και στατιστικά σηµαντικό. Αν το γ i δεν είναι στατιστικά σηµαντικό δεν υπάρχει η ασύµµετρη σχέση µεταξύ της τωρινής απόδοσης και της µελλοντικής διακύµανσης (leverage effec). 3.8 TGARCH Το µοντέλο Threshold GARCH ανήκει στα ευρέως διαδεδοµένα και χρήσιµα µοντέλα ετεροσκεδαστικότητας και έχει την εξής µορφή: q p = a0 + ai i + d + bj j i= j= σ ε γ ε σ όπου d = εάν ε < 0 και d = 0 αλλιώς Το µοντέλο προσδίδει διαφορετικούς συντελεστές στη διακύµανση στις περιπτώσεις που οι αποδόσεις των µετοχών αυξάνονται ή µειώνονται. Οι περιορισµοί του υποδείγµατος είναι: a >, a 0, b 0, 0 0 0 i j q γ > και α ( γ ) + + b < i i= j= p j Το µοντέλο µπορεί να συλλάβει τη µη συµµετρική επίδραση, σύµφωνα µε την οποία τα άσχηµα νέα έχουν διαφορετική επίδραση στην πρόβλεψη της µελλοντικής διακύµανσης από τα καλά νέα. Αν ε < 0 τότε d = και γ > 0 τότε η µελλοντική διακύµανση αυξάνεται. Ενώ αν ε > 0 δεν έχει καµία επίδραση στη διακύµανση, αφού d = 0. Άρα το µοντέλο συλλαµβάνει το φαινόµενο του volailiy clusering, τις παχιές ουρές (fa ails), καθώς και το leverage effec. 9

4. Πλήρως Παραµετρικό Υπόδειγµα: υναµική Ανατροφοδότηση (Fully Parameric: Dynamic Feedback) Τα µοντέλα ARCH και GARCH, κάτω από την υπόθεση της δεσµευµένης κανονικότητας για τις σειρές των αποδόσεων δεν µπορούν να εξηγήσουν επαρκώς την κύρτωση των χρηµατοοικονοµικών σειρών. Όπως είδαµε στη βιβλιογραφία προτάθηκαν δεσµευµένες κατανοµές µε παχιές ουρές (Suden-, Generalized Error Disribuion). Παρόλα αυτά πολλοί συγγραφείς πρότειναν την ανάµειξη κανονικών κατανοµών για να συλλάβουν καλύτερα την κύρτωση και τις παχιές ουρές. Σύµφωνα µε εµπειρικές αναλύσεις τα Mixure Normal GARCH µοντέλα παρέχουν µια κατανοµή που ταιριάζει στα δεδοµένα περισσότερο από άλλα µοντέλα τύπου GARCH. Ο συνδυασµός ενός υποδείγµατος τύπου GARCH µε µια ανάµειξη κανονικών κατανοµών επιτρέπει τη δυναµική ανατροφοδότηση (dynamic feedback) µεταξύ των κανονικών συστατικών στοιχείων (normal componens). Πολλοί ήταν οι συγγραφείς που έδειξαν εµπειρικά ότι η ανάµειξη κανονικών κατανοµών µπορεί να ταιριάξει µε τη µη δεσµευµένη κατανοµή των αποδόσεων των περιουσιακών στοιχείων πολύ καλά. Αρκετοί τρόποι χρήσης της υπόθεσης της ανάµειξης κανονικών κατανοµών µε υποδείγµατα τύπου GARCH έχουν θεωρηθεί. Συγκεκριµένα δυο υποδείγµατα είναι σωστά θεµελιωµένα και πιο δηµοφιλή, ένα από αυτά είναι των Haas, Minik, Paolella (004) και το δεύτερο είναι των Bai, Russel, Tiao (003) που θα αναλύσουµε παρακάτω. Οι Kueser, Minik, Paolella (006) περιγράφουν το πρώτο υπόδειγµα, στο οποίο η χρονολογική σειρά των διαταρακτικών όρων { } ε (όπου ε = σz) παράγεται από µια σειρά n-παραγόντων ανάµειξης κανονικών κατανοµών µε GARCH(r,s) υποδείγµατα (που ονοµάζεται MixN-GARCH), εάν η δεσµευµένη κατανοµή του { ε } είναι µια ανάµειξη κανονικών κατανοµών n-παραγόντων (n-componens) µε µέσο ίσο µε µηδέν. όπου ω = ω,..., ωn, µ = µ,..., µ n, ε Φ MN( ω, µ, σ ) ανάµειξης κανονικών κατανοµών δίνεται από: σ,..., = σ σ n και η πυκνότητα της 30

( n ; ω, µ, σ ) = ω ϕ ( ; µ, σ ) f y y MN j j j j= ω µε όπου ϕ είναι µια κανονική συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, ( 0,) n ω j = j = και για να εξασφαλίσουµε ότι ο µέσος είναι µηδέν: n = ( ). Η µ ω ω µ n j= j n j σ δίνεται από ένα υπόδειγµα τύπου GARCH: j r ( ) ( ) σ = γ + γ ε + Ψ σ 0 i i j j i= j= όπου γ = ( γ, γ,..., γ ) ', i = 0,..., r είναι διανύσµατα διαστάσεων n και i i i in Ψ j, j =,..., s είναι n n µήτρες. Σύµφωνα µε τους Haas, Minik, Paolella (004) ο περιορισµός στις µήτρες Ψ j να είναι διαγώνιες συµβάλλει στη δηµιουργία ενός φειδωλού µοντέλου, αλλά µε µικρή απώλεια στην ποιότητα (δηλαδή στο ταίριασµα στα δεδοµένα) και στην προβλεπτική ικανότητα. s 4. MixN-GARCH Οι Giannikis, Vronos και Dellaporas (008) παρουσιάζουν στο άρθρο τους µια ακόµη σύντοµη εκδοχή των µοντέλων Mixure Normal GARCH. Το MixN- GARCH µοντέλο που προτάθηκε από τους Bai, Russel, Tiao (003) και αναλύθηκε ακόµη περισσότερο από τους Ausin και Galeano (007) έχει την παρακάτω µορφή: y = µ + ε, όπου =,..., όπου µ είναι ο δεσµευµένος µέσος της διαδικασίας, ε είναι ο διαταρακτικός όρος που δίνεται από τη σχέση ε = σz, όπου σ είναι η δεσµευµένη διακύµανση της σειράς y δοθείσας της προηγούµενης πληροφόρησης ( y, y,...) Φ = και το N z είναι µια Τυχαία Μεταβλητή που κατανέµεται µε µηδενικό µέσο και µοναδιαία διακύµανση. Οι Bai, Russel, Tiao (003) και αργότερα οι Ausin και Galeano (007) χρησιµοποίησαν ένα σταθερό µέσο για τη διαδικασία της παρατήρησης ( m = 0και µ) και µια ανάµειξη δυο κανονικών 3

κατανοµών για τη σειρά z µαζί µε µια GARCH εξειδίκευση για τη δεσµευµένη διακύµανση κατανοµών: σ. Συγκεκριµένα αυτοί πρότειναν την ακόλουθη ανάµειξη z ( 0, ) N h µε πιθανότητα ρ Ν 0, h µε πιθανότητα ρ λ όπου 0 λ ( ) < < και h = ρ + ( ρ) / λ έτσι ώστε το ( ) var z =. Η σειρά z παράγεται από µια κανονική κατανοµή µε διακύµανση h µε πιθανότητα ρ ή από µια κανονική κατανοµή µε διακύµανση h λ µε πιθανότητα ρ. Αυτό το µοντέλο επιτρέπει τη δεσµευµένη µη κανονικότητα και εξηγεί την λεπτοκύρτωση που παρατηρείται στις χρηµατοοικονοµικές σειρές. Η κύρτωση της z δίνεται από k z ( ρ) ρ( ( λ) ) ( ρ + ( ρ)( λ) ) 3 = 5. VaR για long και shor θέσεις εµπορικών συναλλαγών Τα περισσότερα µοντέλα στη βιβλιογραφία επικεντρώνονται στον υπολογισµό του VaR για αρνητικές αποδόσεις. Στην πραγµατικότητα υποθέτουµε ότι οι διαχειριστές χαρτοφυλακίων (raders) έχουν θέση long στις εµπορικές συναλλαγές τους, δηλαδή αγοράζουν το περιουσιακό στοιχείο που γίνεται αντικείµενο διαπραγµάτευσης και ανησυχούν για την πτώση της τιµής του περιουσιακού στοιχείου. Σε αυτή την περίπτωση ο κίνδυνος προέρχεται από την πτώση της τιµής του περιουσιακού στοιχείου, γι αυτό και επικεντρωνόµαστε στις αρνητικές αποδόσεις, στην αριστερή πλευρά της κατανοµής. Στην περίπτωση, όµως που ο επενδυτής έχει λάβει αντίθετη θέση απέναντι στο υποκείµενο προϊόν, δηλαδή έχει πουλήσει ένα περιουσιακό στοιχείο χωρίς να το κατέχει (shor selling), τότε έχει ζηµίες όταν η τιµή του περιουσιακού στοιχείου ανέβει. Ο κίνδυνος, λοιπόν, προέρχεται από την αύξηση της τιµής του περιουσιακού στοιχείου, καθώς ο επενδυτής θα πρέπει 3

να αγοράσει το περιουσιακό στοιχείο σε υψηλότερη τιµή από την τιµή στην οποία το πούλησε. Άρα, σε αυτό το σηµείο εστιάζουµε στις θετικές αποδόσεις, δηλαδή στη δεξιά πλευρά της κατανοµής των αποδόσεων για να υπολογίσουµε το VaR. Επειδή η κατανοµή των αποδόσεων των περιουσιακών στοιχείων (µετοχές και δείκτες µετοχών) είναι συχνά ασύµµετρη, οι Gio και Lauren (003) δείχνουν ότι τα παραµετρικά µοντέλα του VaR που ανήκουν στην κατηγορία των RiskΜerics και ARCH µοντέλων δυσκολεύονται να µοντελοποιήσουν µε ακρίβεια τις αριστερές και δεξιές ουρές της κατανοµής των αποδόσεων. Για να απαλύνουν το πρόβληµα οι Gio και Lauren (003) πρότειναν τα Asymmeric Power ARCH (APARCH) µοντέλα και κυρίως εισήγαγαν πρώτοι το µονοµεταβλητό skewed suden APARCH µοντέλο. Οι Gio και Lauren (003) σύγκριναν την απόδοση του νέου µοντέλου µε τις αποδόσεις των RiskMerics, normal και Suden APARCH µοντέλων και έδειξαν ότι το καινούργιο µοντέλο παρουσιάζει βελτιώσεις στην πρόβλεψη του VaR για µια µέρα πάνω σε δείκτες µετοχών για long και shor θέσεις χαρτοφυλακίου. 5. Μοντέλα του VAR Έστω µια σειρά καθηµερινών αποδόσεων r µε =,..., T. Επειδή είναι γνωστό ότι οι καθηµερινές αποδόσεις παρουσιάζουν σειριακή αυτοσυσχέτιση οι Gio και Lauren (003) ταιριάζουν ένα AR(n) υπόδειγµα στη σειρά r. όπου ( ) ( )( ) Φ L r µ = ε n Φ L = ϕ L... ϕ L είναι ένα AR πολυώνυµο n τάξης. Οµοίως ο n δεσµευµένος µέσος του n r είναι ίσος µε µ + ϕ j ( r j µ ) j=. Στη συνέχεια δίνονται αρκετές εξειδικεύσεις για τη δεσµευµένη διακύµανση του διαταρακτικού όρου ε. 5. RiskMerics 33

Το βασικό µοντέλο RiskMerics στην πιο απλή του µορφή είναι αντίστοιχο µε το normal Inegraed GARCH µοντέλο, όπου η αυτοπαλίνδροµη παράµετρος ορίζεται ως µια προκαθορισµένη τιµή λ και η παράµετρος του ε είναι ίση µε λ. Στο υπόδειγµα RiskMerics για καθηµερινά στοιχεία µε λ = 0.94 έχουµε: όπου z είναι ( 0,) ε = σ z iidn και η διακύµανση σ ορίζεται ως: ( ) σ = λ ε + λσ Οι επενδυτές που έχουν long θέση ενδιαφέρονται να εκτιµήσουν το VaR όταν παρατηρούνται αρνητικές αποδόσεις. Ενώ οι επενδυτές που έχουν shor θέση σηµειώνουν ζηµιές όταν οι τιµές των µετοχών αυξάνονται. Έτσι, έχουµε τη long πλευρά του VaR και τη shor πλευρά του VaR. Το πόσο καλά ένα µοντέλο προβλέπει το long VaR σχετίζεται µε την ικανότητα του να µοντελοποιεί τις µεγάλες αρνητικές αποδόσεις. Ενώ το πόσο καλά προβλέπει το shor VaR σχετίζεται µε την ικανότητα του να λαµβάνει υπόψη του µεγάλες θετικές αποδόσεις. Στο RiskMerics µοντέλο το VaR που υπολογίζεται για µια περίοδο µπροστά στο χρόνο - για long θέση χαρτοφυλακίου δίνεται από τη σχέση: µ + zaσ. Για shor θέση χαρτοφυλακίου το VaR είναι ίσο µε µ + z aσ, όπου z a είναι το α ποσοστιαίο σηµείο της κανονικής κατανοµής και z a είναι το α ποσοστιαίο σηµείο της κατανοµής. 5.3 Normal APARCH To normal APARCH είναι µια επέκταση του µοντέλου GARCH του Bollerslev (986). Είναι ένα ευλύγιστο µοντέλο τύπου ARCH. Σύµφωνα µε τους Gio και Lauren (003) τo APARCH(,) είναι: ( a ) δ δ δ n σ = ω + α ε ε + βσ (.) όπου ω, α, α, β και δ είναι επιπρόσθετοι παράµετροι που πρέπει να n εκτιµηθούν. Το δ ( δ > 0) παίζει σηµαντικό ρόλο στο µετασχηµατισµό του σ, 34

ενώ το a n ( < a n < ) αντανακλά το leverage effec. Μια θετική (αντίστοιχα αρνητική) τιµή του a n σηµαίνει ότι παρελθούσες αρνητικές (αντίστοιχα θετικές) αποδόσεις έχουν βαθύτερη επίδραση στην τρέχουσα δεσµευµένη διακύµανση από ότι παρελθούσες θετικές αποδόσεις. Στο normal APARCH µοντέλο ο υπολογισµός του VaR γίνεται όπως και στο RiskMerics µοντέλο, εκτός από τον υπολογισµό της δεσµευµένης τυπικής απόκλισης σ που δίνεται στην παραπάνω εξίσωση (και υπολογίζεται µε τη Μέθοδο Μεγίστης Πιθανοφάνειας). 5.4 Suden APARCH Προηγούµενες εµπειρικές µελέτες πάνω στο VaR έχουν δείξει ότι τα µοντέλα που βασίζονται στην κανονική κατανοµή συνήθως δεν µπορούν να συλλάβουν τις παχιές ουρές στην κατανοµή των αποδόσεων. Έτσι, λοιπόν, παρουσιάστηκε η Suden APARCH (ή ST APARCH): ε = σ z iid όπου z ( 0,, v) και το σ ορίζεται όπως στην εξίσωση (.). Στο µοντέλο Suden APARCH, το VaR για long και shor θέσεις δίνεται από τις σχέσεις: µ + s, σ και µ + s, νσ αντίστοιχα, όπου s α, ν είναι το α a v a quanile (ποσοστιαίο σηµείο) σε α% για την (τυποποιηµένη) Suden κατανοµή µε εκτιµηµένο αριθµό βαθµών ελευθερίας v και s a, v είναι το α quanile σε α% για την ίδια κατανοµή. Σηµείωση: z = για την κανονική κατανοµή και s = s για τη Suden κατανοµή. a, v a, v a z a 5.5 Skewed Suden APARCH Σύµφωνα µε τους Gio και Lauren (003) οι Fernandez και Seel (998) πρότειναν την επέκταση της Suden κατανοµής προσθέτοντας µια παράµετρο ασυµµετρίας (skewness parameer) για να συλλάβουν την υπερβάλλουσα κύρτωση και ασυµµετρία, που εµφανίζουν οι χρηµατοοικονοµικές σειρές. Οι Lamber και Lauren (00) εξέφρασαν ξανά 35