Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. Τα σηµεία και είναι σηµεία του επιπέδου, η είναι ευθεία του. Η τέµνει την Μ στον Μ Ν Ν. Το Ν σαν σηµείο της ανήκει στο, άρα και το Μ σαν σηµείο της Ν ανήκει στο. B. Έστω ε µια ευθεία που ορίζεται ε από ένα σηµείο ενός επιπέδου B και από ένα άλλο σηµείο που βρίσκεται έξω από το. Η ε δεν έχει άλλο κοινό σηµείο µε το παρά µόνο το. ιατί αν είχε και άλλο κοινό σηµείο θα ανήκε στο και συνεπώς το θα ήταν σηµείο του Ρ. 3. α) Επειδή και ασύµβατες το σηµείο δεν θα είναι σηµείο της ευθείας. Εποµένως (, ) ορίζουν ένα επίπεδο. β) Είναι = {} γιατί αν υπήρχε και άλλο κοινό σηµείο εκτός από το, η θα ήταν ευθεία του. Τούτο είναι άτοπο, διότι, ασύµβατες. 34
4. Οι ευθείες Ο 1 Ο και τέµνονται, άρα ορίζουν ένα επίπεδο. Ο κυκλικός δίσκος (Ο 1, R 1 ) έχει µε το επίπεδο, κοινά τα µη συνευθειακά σηµεία,, Ο 1. Όµοια ο κυκλικός δίσκος (Ο, R ) έχει µε το κοινά Ο 1 Ο τα µη συνευθειακά σηµεία Ο,,. Άρα οι κύκλοι (Ο 1, R 1 ) και (Ο, R ) βρίσκονται πάνω στο ίδιο επίπεδο. 5. α) Επειδή το σηµείο δεν βρίσκεται πάνω στην το ζεύγος (, ) ορίζει επίπεδο. Όµοια και το ζεύγος (, ) ορίζει επίπεδο q. β) Τα επίπεδα αυτά δεν ταυτίζονται, γιατί οι ευθείες και είναι ασύµβατες. Άρα τα επίπεδα και q, επειδή έχουν κοινά τα σηµεία B και, τέµνονται κατά την ευθεία. q 6. α) ν η ευθεία ε 3 έτεµνε την t στο σηµείο Ο, αυτό θα ήταν ε 3 O και σηµείο της. Εποµένως οι και θα περνούσαν από το Ο. Τούτο είναι άτοπο, άρα q ε 3 //. Όµοια ε 3 //. β) ν η ε 3 είχε µε το επίπεδο έστω και ένα κοινό σηµείο, αυτό θα ήταν και σηµείο της. Τούτο είναι άτοπο, αφού ε 3 // (βλ. (α) ερώτηµα). 35
7. Τα επίπεδα (Κ,, ) και (Κ,, ) έχουν κοινό το σηµείο Κ. Επίσης τα επίπεδα (Κ,, ) και (Κ,, ) τέµνουν το επίπεδο κατά τις µη παράλληλες ευθείες και αντίστοιχα. Έστω Ε το σηµείο τοµής των,. Το Ε είναι διαφο- Κ Ε A ρετικό από το Κ αφού το Ε ανήκει στο. Το Ε είναι κοινό σηµείο των επιπέδων (Κ,, ) και (Κ,, ). Εποµένως η ζητούµενη τοµή των επιπέδων (Κ,, ) και (Κ,, ) είναι η ευθεία ΚΕ. ε 8. Το Κ ως περίκεντρο του τριγώνου, Ο ισαπέχει από τις κορυφές του δηλαδή Κ = Κ = Κ. Έτσι για τα πλάγια τµήµατα Ο, Ο, Ο (Ο τυχόν σηµείο της ε) ισχύει Ο = Ο = Ο λόγω της ισότητας των Κ ορθογωνίων τριγώνων ΟΚ, ΟΚ, ΟΚ. 36
9. Έστω ΜΚ = λ. πό το ορθογώνιο τρίγωνο ΜΟΚ έχουµε ΟΜ = Κ λ - α κύκλου. Άρα το Μ είναι σηµείο του λ α (Ο, λ - α ). ντιστρόφως: Έστω Μ σηµείο του κύκλου (Ο, λ - α ). Μ Ο Τότε ΟΜ = λ - α οπότε ΜΚ = λ. Άρα το Μ είναι σηµείο του γεωµετρικού τόπου. Έτσι ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είναι ο κύκλος (Ο, λ - α ) επί του επιπέδου. 10. α) πό το ορθογώνιο τρίγωνο Ο έχουµε = Ο + Ο ή = R + 6R = 7R A = R 7 β) Επειδή Ο και Ο από το θεώρηµα τριών καθέτων είναι. Έτσι από το ή ορθογώνιο τρίγωνο έχουµε = + ή = R + 7R = 9R ή = 3R Ο R 37
Κ Κ 11. α) Επειδή είναι = σύµφωνα µε ΚΟ Κ το θεώρηµα του Θαλή έχουµε ότι // Ο. Κ ΚE β) Όµοια, αφού =, έχουµε ΚΟ ΚB Ε // Ο. γ) Επειδή ΚΟ έχουµε ότι ΚΟ Ο και ΚΟ Ο. Άρα ΚΟ και ΚΟ Ε, αφού // Ο και Ε // Ο, οπότε η ΚΟ είναι κάθετη στο επίπεδο (,, Ε). 1. Επειδή το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, Μ µέσο της και ε (,, ) έχουµε ότι Μ = Μ = Μ. ν Κ είναι οποιοδήποτε σηµείο της ε τότε για τα πλάγια προς το επίπεδο (,, ) τµήµατα Κ, Κ, Κ ισχύει Κ = Κ = Κ λόγω της ισότητας των τριγώνων Κ, ΚΜ, ΚΜ. K E Ο ε Κ Μ 38
13. Είναι και Ζ. Τότε, σύµφωνα µε το θεώρηµα τριών καθέτων, έχουµε ότι Ζ. Άρα Ζ, Ζ ύψη των τριγώνων και αντίστοιχα. πό το ορθογώνιο τρίγωνο Ζ έχουµε Ζ = Ζ - Ζ = 100-64 = 36 cm ή Ζ = 6 cm. Εποµένως () () = 1 Ζ = 1 Ζ ή 6 cm 10 cm = 3 5 Ζ 14. α) Είναι x. Επειδή, σύµφωνα µε το θεώρηµα τριών καθέτων, έχουµε x ή. β) Επειδή = 60 άρα = 30 οπότε από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουµε ότι = 6 ή = = 3 cm και = - = 36-9 = 7. πό το ορθογώνιο τρίγωνο έχουµε = + = 7 + 100 = 17 ή = 17 cm 11,6 cm. 60 ε y x 39
15. Έστω Σ το µέσο του και ΜΟ. Τότε κατά το δεύτερο θεώρηµα διαµέσων στο τρίγωνο Μ έχουµε ότι Σ O Μ - Μ = ΣΟ. Έτσι η ισότητα Μ - Μ = λ γράφεται ΣΟ = λ λ ή ΣΟ =. Επειδή τα, είναι δε- M δοµένα το Ο προσδιορίζεται, οπότε το Μ είναι σηµείο του επιπέδου που είναι κάθετο στην στο Ο. λ ντιστρόφως: ια κάθε σηµείο Μ του ισχύει ΣΟ = και λόγω της ισότητας Μ - Μ = ΣΟ προκύπτει ότι Μ - Μ =λ δηλαδή το Μ είναι σηµείο του γεωµετρικού τόπου. Άρα ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είναι το επίπεδο. 16. Θεωρούµε δύο ασύµβατες ευθείες και και ένα σηµείο της. Στο επίπεδο (, ) φέρνουµε την x //. Το επίπεδο (, Ax) περιέχει την και είναι παράλληλο της, αφού // x. Κάθε άλλο επίπεδο q, που περιέχει την και είναι x παράλληλο της περιέχει και την x, αφού το ανήκει στο q και x //. Άρα το q ταυτίζεται µε το (, Ax) και εποµένως ένα µόνο επίπεδο περιέχει την και είναι παράλληλο της. Όµοια ένα µόνο επίπεδο περιέχει την και είναι παράλληλο προς την. 40
17. Έστω σηµείο Σ και οι δύο ασύµβατες ευθείες,. πό το Σ άγονται δύο µόνο ευθείες και ώστε να είναι ορίζουν το επίπεδο (ε, // ε1 και // 1. Οι τεµνόµενες ευθείες ε, ε 1 ) το οποίο είναι παράλληλο προς τις ε ε και, αφού // και // ε. Εκτός 1 του ( ε, 1 ) δεν υπάρχει άλλο επίπεδο το οποίο να περιέχει το Σ και να είναι παράλληλο προς τις ε1,, διότι ένα τέτοιο επίπεδο θα περιείχε τις, ε και εποµένως θα ταυτιζόταν µε το ( ε, ). 1 Σ 18. Στο επίπεδο (, ) θεωρούµε την Ax // και στο (, ) την y //. Τότε το επίπεδο των x, Ay είναι y x παράλληλο προς τις, αφού // x και // y. Έστω ότι και ένα άλλο επίπεδο διέρχεται από το και είναι παράλληλο προς τις και. Τότε στο περιέχονται οι x, y. q ιατί αν π.χ. η x δεν περιεχόταν στο τότε θα υπήρχε ευθεία x του παράλληλη της και από το θα είχαµε δύο παράλληλες προς την τις x, Ax. 41
υτό όµως είναι άτοπο, οπότε οι x, Ay περιέχονται στο που σηµαίνει ότι το ταυτίζεται µε το και άρα ένα µόνο επίπεδο διέρχεται από το και είναι παράλληλο προς τις και. 19. α) Έστω Μ το µέσο της τότε το Θ είναι Θ το σηµείο της διαµέσου Μ µε = ΘΜ και το Θ είναι το σηµείο της διαµέσου Μ µε έχουµε Θ =. Έτσι στο τρίγωνο Μ ΘΜ Θ ΘΜ Θ = οπότε ΘΘ //. ΘΜ β) Η ΘΘ // που είναι η τοµή των επιπέδων (,, ) και (,, ) χωρίς να περιέχεται σε κανένα από αυτά αφού περιέχεται στο (,, Μ). Άρα ΘΘ // (,, ). γ) Όµοια µε το (β), ΘΘ // (,, ). Μ Θ Θ 0. Έστω το ίχνος της πάνω στο επίπεδο. To επίπεδο (, ) έχει µε το κοινό το και άρα τέµνει το κατά ευθεία x. πό το φέρνουµε πάνω στο επίπεδο (, ) την // x η οποία τέµνει την σε σηµείο, αφού και η παράλληλή της x τέµνεται από την. Έτσι η ζητούµενη ευθεία είναι η αφού τέµνει την x B και είναι παράλληλη του γιατί // Bx. Άλλη ευθεία // x από το δεν υπάρχει, διότι τότε θα υπήρχαν από το σηµείο δύο παράλληλες προς τη x. 4
1. α) Επειδή οι ευθείες και είναι αντίστοιχα παράλληλες προς τις ευθείες ΕΖ και ΗΖ του επιπέδου (Ε, Ζ, Η) (γνωστό θεώρηµα επιπεδοµετρίας) και βρίσκονται έξω από αυτό, άρα είναι παράλληλες προς το επίπεδο (Ε, Ζ, Η). β) Ονοµάζουµε Θ το µέσο του ευθύγραµµου τµήµατος και φέρνουµε την ευθεία ΗΘ. Είναι ΗΘ // (ενώνει τα µέσα των, στο τρίγωνο ) και // (Ε, Ζ, Η), άρα η ευθεία ΗΘ βρίσκεται πάνω στο επίπεδο (Ε, Ζ, Η). Θ E H Z Άρα το ευθύγραµµο τµήµα, επειδή δεν βρίσκεται πάνω στο επίπεδο (Ε, Ζ, Η) τέµνεται από αυτό στο µέσο του Θ.. α) πό τα παραλληλόγραµµα, και έχουµε αντίστοιχα // =, // = και // =. Άρα τα τρίγωνα και είναι ίσα. β) Τα επίπεδά τους είναι διαφορετικά και παράλληλα (διαφορετικά εκ κατασκευής, παράλληλα λόγω του (α)). A 43
3. φού το είναι εσωτερικό σηµείο του ευθύγραµµου τµήµατος θα έχουµε = - = 6,5-4 =,5 cm. πό το θεώρηµα του Θαλή έχουµε = = = 10,5 = 4 ή A Άρα = 4 = 4 Έχουµε όµως = 6,5 cm και = 4 cm. q r α) Άρα = 4 ή = 6 cm. 6,5 β) Άρα = 4 ή = 16 cm. 4 44
4. Φέρνουµε τις ευθείες ΜΚ και ΜΝ. Επειδή η ευθεία ΜΚ περνάει από τα µέσα των Ο πλευρών Ο και Ο του τριγώνου Ο θα έχουµε ΜΚ //. Όµοια ΜΝ //. Εποµένως α) Το επίπεδο που ορίζεται από Μ Ν K τα σηµεία Μ, Ν και Κ, όταν τα, και δεν βρίσκονται σε µία ευθεία είναι παράλληλο προς το επίπεδο. Άρα τα σηµεία Μ, Ν και Κ ισαπέχουν από το. β) Η ευθεία που ορίζεται από τα Ο σηµεία Μ, Ν και Κ όταν τα, και βρίσκονται πάνω σε µία ευθεία είναι Μ Ν Κ παράλληλη προς το επίπεδο. Άρα τα σηµεία Μ, Ν και Κ ισαπέχουν από το. 5. α) Είναι (, ) // (, ) αφού δύο τεµνόµενες ευθείες, του επιπέδου (, ) είναι παράλληλες προς τις ευθείες, αντίστοιχα του επιπέδου (, ). β) Όµοια (, ) // (, ). 45
6. α) Επειδή οι γωνίες xoy, περιέχονται στα διαφορετικά επίπεδα, q και έχουν τις πλευρές τους παράλληλες είναι // q ( παράλληλο σε δύο τεµνόµενες ευθείες του q και αντίστροφα). xoy β) Φέρνουµε την ΟΟ και από τα, της xoy φέρνουµε // ΟΟ //. Τα τρίγωνα Ο, Ο έχουν τις πλευρές τους ίσες µία προς µία όπως φαίνεται από τα παραλληλόγραµµα ΟΟ (ΟΟ // = ), q O O B x B y ΟΟ (ΟΟ // = ) και ( // = ). πό την ισότητα των τριγώνων αυτών έχουµε O = O = xoy. y A x K 7. Οι ηµιευθείες Kx, Ky επειδή τέµνονται ορίζουν τη θέση του επιπέδου (x, K, y). Έχουµε // Ε ως τοµές των παραλλήλων επιπέδων και q από το τρίτο επίπεδο (x, K, y). ια τον ίδιο λόγο έχουµε // ΕΖ και // Ζ. Παρατηρούµε ότι τα τρίγωνα και ΕΖ έχουν τις οµόλογες πλευρές τους παράλληλες, οπότε είναι όµοια. Z q E x y Z 46
8. α) πό τα τυχαία σηµεία και αντίστοιχα των ευθειών και φέρνουµε τις κάθετες ευθείες n 1 και n στο επίπεδο. Ονοµάζουµε q και r τα επίπεδα, που ορίζονται αντίστοιχα από τις ευθείες n 1, και n,. Τα επίπεδα αυτά τέµνουν το κατά τις ευθείες και που είναι αντίστοιχα οι προβολές των ευθειών ε1 και πάνω στο. Είναι όµως n 1 // n και // άρα q // r. Εποµένως και οι τοµές τους µε το θα είναι παράλληλες δηλαδή θα 1 έχουµε ε //. β) Στην περίπτωση που οι // ανήκουν σε επίπεδο q, τότε οι προβολές ταυτίζονται σε µια ευθεία. Στην περίπτωση που οι, είναι (n ) 1 Λ q r κάθετες στο επίπεδο, τότε οι προβολές είναι δύο διαφορετικά σηµεία. n 47
ε ε 9. πό το σηµείο της ε που είναι διαφορετικό από τα και φέρνουµε την ευθεία ε. Τότε η ε θα είναι κάθετη και στο q. Έστω 1 και τα σηµεία τοµής της ε αντίστοιχα ω 1 µε τα και q. Επειδή οι ευθείες 1 και είναι παράλληλες θα έχουµε ω = φ (οι ω, φ ανήκουν στο επίπεδο (,, )). φ q 30. Έστω,, και οι προβολές των,, και πάνω στο. Τότε το τετράπλευρο είναι η προβολή του πάνω στο. Επειδή έχουµε // και // συµπεραίνουµε ότι το είναι παραλληλόγραµµο. 48
31. Έστω το ευθύγραµµο τµήµα και Μ το µέσο του. Ονοµάζουµε, και Μ αντίστοιχα τις προβολές των, και Μ πάνω στο. Τότε το Μ είναι σηµείο του ευθύγραµµου τµήµατος που είναι η προβολή του πάνω στο. πό το θεώρηµα Θαλή για τις παράλληλες ευθείες, και ΜΜ που τέµνονται από τις ευθείες και έχουµε: AM M =. Μ Μ Μ Μ Είναι όµως Μ = Μ. Άρα Μ = Μ, δηλαδή Μ µέσο του. 3. = 6 cm BB = 36 cm ν στο επίπεδο φέρουµε την // έχουµε τότε =, = και = - = 38-6 = 1 cm. πό το ορθογώνιο τρίγωνο έχουµε = + = 16 + 1 = 56 + 144 = 400 AB = 0 cm. 49
Ε 33. Έχουµε και ΕΖ. Εποµένως η (τοµή των δύο ρόµβων, ΕΖ) είναι κάθετη στο επίπεδο (ΟΕ) που ορίζουν οι Ο και ΕΖ. Άρα τελικά προκύπτει ότι το επίπεδο αυτό είναι κάθετο στα επίπεδα των δύο ρόµβων. Ζ 34. Έστω x µία ευθεία του γεωµετρικού τόπου. Τότε η Ax είναι ορθογώνια προς την ε. Φέρνουµε την ε ε. Τότε το επίπεδο (, x) είναι κάθετο στην ε αφού ε και ε ορθογώνια προς την x. Άρα η x περιέχεται στο επίπεδο που διέρχεται από το και είναι κάθετο της ε. λλά και κάθε ευθεία που B x A διέρχεται από το και ανήκει στο πλην της είναι ορθογώνια προς την ε αφού ε. Άρα ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είναι το επίπεδο (πλην της ). 50
35. Έστω AB η κοινή κάθετη των ασυµβάτων,. Τότε το επίπεδο (, ), αφού και ορθογώνια της. Οµοίως το (, ). Το αντίστροφο είναι προφανές αφού όταν π.χ. η περιέχεται σε επίπεδο κάθετο της, τότε η είναι ορθογώνια προς όλες τις ευθείες που δεν διέρχονται από το ίχνος της και άρα και προς την. A B q 36. ν από ένα σηµείο του q φέρουµε x // ε, τότε η x θα είναι ευθεία του q αφού ε // q. Επειδή όµως ε και x // ε είναι και x. Άρα είναι q αφού το q περιέχει την x που είναι κάθετη στο. 51