ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ορίζω: Ορίζω: ηµω= y ρ. x x

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ [1].Τυολόγιο τριγωνοµετρίς (Ενλήψεις). Τριγωνοµετρικοί ριθµοί σε ορθογώνιο τρίγωνο ένντι Γ Α β υοτείνουσ γ ροσκείµενη Ορίζω: β. Τριγωνοµετρικοί ριθµοί σε σύστηµ συντετγµένων ηµβ= β ένντι κάθετη υοτείνουσ συνβ= γ ροσκείµενη κάθετη υοτείνουσ εφβ= γ β ένντι κάθετη ροσκείµενη κάθετη γ σφβ= β ροσκείµενη κάθετη ένντι κάθετη Σε έν σύστηµ O τοοθετώ µί γωνί ω έτσι ώστε ο άξονς O ν είνι η ρχική λευρά της γωνίς. Η άλλη λευρά της λέγετι τελική λευρά της ω. Έστω Μ(,) σηµείο τυχίο της τελικής λευράς της ω ου έχει ό το Ο όστση ρ. Β ψ M(,) ρ Ορίζω: ηµω= ρ συνω= ρ O εφω= ( 0) σφω= ( 0) γ. Προσντολισµός γωνίς Στο κρτεσινό σύστηµ ορίζετι θετική κι ρνητική γωνί νάλογ ν η τελική λευρά της κινείτι ντίθετ ό την κίνηση των δεικτών του ρολογιού ή κτά τη φορά της κίνησής τους. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 41050413-6973306167

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1.χ. O ω θετική O ρνητική δ. Γωνίες µεγλύτερες των 360 ο Αν η τελική λευρά της γωνίς συµληρώσει µι εριστροφή (360 ο ) κι εριστρφεί ειλέον κτά γωνί ω, τότε η γωνί είνι µεγλύτερη ό 360 ο. Είνι φ =360 ο + ω. Γενικά γι κ εριστροφές (θετικές ή ρνητικές) σχηµτίζοντι οι γωνίες φ =κ.360 ο + ω, κ Ζ. Γι υτές ισχύει: ηµ(κ.360 ο +ω)=ηµω συν(κ.360 ο +ω)=συνω εφ(κ.360 ο +ω)=εφω σφ(κ.360 ο +ω)=σφω ε. Τριγωνοµετρικός κύκλος (ορισµός) Αυτός έχει: - Κέντρο την ρχή των ξόνων O. - Ακτίν ίση µε την µονάδ (ρ=1) - Φορά θετική την ντίθετη της κίνησης των δεικτών του ρολογιού - Ε υτού τοοθετούντι γωνίες ρος υολογισµό των τριγωνοµετρικών των ριθµών. Ισχύουν: -1 ηµ 1-1 συν 1 Η Ο Ε ξ. ηµιτόνων Ο ω Σ ξ. συνεφτοµένων ξ. συνηµιτόνων ξ. εφτοµένων στ. Το κτίνιο κι η µοίρ είνι µονάδες µέτρησης γωνιών Συµβολισµός: 1 rad, 1 ο (µοίρ) Σχέση rad κι ο (µοίρς) Έστω γωνί µ ο κι rad. Ισχύει η σχέση: µ =. 180 ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 41050413-6973306167

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ζ. Πίνκς γνωστών τριγωνοµετρικών ριθµών Γωνί ω Τριγωνοµετρικοί ριθµοί σε µοίρες σε rad ηµω συνω εφω σφω 0 ο 0 0 1 0-30 ο /6 1/ 3 / 3 /3 3 45 ο /4 / / 1 1 60 ο /3 3 / 1/ 3 3 /3 90 ο / 1 0-0 180 ο 0-1 0-70 ο 3/ -1 0-0 360 ο 0 1 0 - η. Τριγωνοµετρικές τυτότητες ηµ ω+συν ω=1 ηµω εφω= συνω εφω.σφω=1 συν 1 ω= 1+ εφ ω σφω= συνω ηµω ηµ εφ ω ω= 1+ εφ ω θ. Ανγωγή στο 1 ο τετρτηµόριο 1. Γωνίες ντίθετες: Γι τις γωνίες ω κι -ω ισχύουν: ηµ(-ω)=-ηµω συν(-ω)=συνω εφ(-ω)=-εφω σφ(-ω)=-σφω. Γωνίες µε άθροισµ ( ω κι - ω ): ηµ( -ω)=συνω συν( -ω)=ηµω εφ( -ω)=σφω σφ( -ω)=εφω 3. Γωνίες µε διφορά ( ω κι + ω ): ηµ( +ω)=συνω συν( +ω)=-ηµω εφ( +ω)=-σφω σφ( +ω)=-εφω 4. Γωνίες µε άθροισµ ( ω κι - ω ): ηµ( -ω)=ηµω συν( -ω)=-συνω εφ( -ω)=-εφω σφ( -ω)=-σφω 5. Γωνίες µε διφορά ( ω κι + ω ): ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 41050413-6973306167

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ηµ( +ω)=-ηµω συν( +ω)=-συνω 6. Γωνίες µε διφορά ( ω κι + ω ): ηµ( +ω)=-ηµω συν( +ω)=-συνω εφ( +ω)=εφω σφ( +ω)=σφω εφ( +ω)=εφω σφ( +ω)=σφω 3 7. Γωνίες µε άθροισµ ( ω 3 κι -ω ): 3 3 ηµ( -ω)=-συνω εφ( -ω)=σφω 3 3 συν( +ω)=-ηµω σφ( -ω)=εφω 3 8. Γωνίες µε διφορά ( ω 3 κι + ω ): 3 3 ηµ( +ω)=-συνω εφ( +ω)=-σφω 3 3 συν( +ω)=ηµω σφ( +ω)=-εφω Σηµείωση: Γι ιο εύκολη οµνηµόνευση των σχέσεων υτών ισχύουν οι εξής κνόνες:. Ότν έχω 90 ο ή 70 ο ο τριγωνοµετρικός ριθµός λλάζει. Έτσι το ηµ γίνετι συν, η εφ γίνετι σφ κι ντίστροφ. β. Ότν έχω 180 ο ή 0 ο ή 360 ο ο τριγωνοµετρικός ριθµός δεν λλάζει. γ. Γι ν βρω το ρόσηµο εξετάζω σε οιο τετρτηµόριο τελειώνει η γωνί ου θέλω ν νάγω στο τετρτηµόριο. []. Οι τριγωνοµετρικές συνρτήσεις Ορισµός: Η συνάρτηση f µε εδίο ορισµού το Α ΙR λέγετι ΠΕΡΙΟ ΙΚΗ, ν υάρχει ργµτικός ριθµός Τ>0, τέτοιος, ώστε γι κάθε A, ν ισχύει:. +T, -T A β. f(+t)=f(-t)=f() O T λέγετι ΠΕΡΙΟ ΟΣ της f. Σηµείωση: Ο έλεγχος ως ρος την εριοδικότητ µίς συνάρτησης θ γίνετι εδώ εµειρικά ό τη γρφική της ράστση..χ. f(-t)=f()=f(+t) f -T +T T ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 41050413-6973306167

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Η συνάρτηση f()=ηµ / Α=IR - Είνι εριοδική µε ερίοδο Τ= γιτί ισχύει ηµ(-)=ηµ(+)=ηµ. - Είνι εριττή γιτί: ηµ(-)=ηµ. - Πίνκς µετβολών: 3 ηµ 1-1 ma min - Γρφική ράστση 1-3 - - T= β. Η συνάρτηση f()=συν / Α=IR - Είνι εριοδική µε ερίοδο Τ= γιτί συν(-)=συν(+)=συν. - Είνι άρτι γιτί: συν(-)=συν. - Πίνκς µετβολών: συν - -1 Ο 3 0 3 1-1 ma 1 min ma - Γρφική ράστση 1-3 - - 3-1 ηµ γ. Η συνάρτηση f()=εφ=, συν T= συν - Είνι εριοδική µε ερίοδο Τ= γιτί εφ(+)=εφ(-)=-εφ. - Είνι εριττή γιτί: εφ(-)=-εφ. - Ο ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 41050413-6973306167

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Η γρφική της ράστση έχει σύµτωτες ευθείες = κι =- κι ερνάει ό την ρχή των ξόνων Ο(0,0) γιτί εφ0=0. - Γρφική ράστση Ο Σχόλιο Γενικά σε µι συνάρτηση της µορφής f()=ρηµω, όου ρ,ω>0: i) το ρ είνι η µέγιστη τιµή της κι το ρ η ελάχιστη τιµή της. ii) το ω κθορίζει την ερίοδο της συνάρτησης ου είνι ίση µε Τ=. ω Τ ίδι συµεράσµτ ισχύουν κι γι τη συνάρτηση της µορφής f()=ρσυνω. Είσης σε µι συνάρτηση της µορφής f()=κ+ρηµβ, η µέγιστη τιµή της είνι κ+ρ κι η ελάχιστη κ-ρ. Η ερίοδός της είνι Τ=. ω [3]. Λύση βσικών τριγωνοµετρικών εξισώσεων ηµ = ηµ = ηµθ = κ+ θ, κ Ζ 1 1, θ [,], = κ+ θ συν= συν = συνθ = κ+ θ, κ Ζ 1 1, θ [,], = κ θ εφ = εφ = εφθ = κ+ θ, κ Ζ ΙR θ [, ], σφ = σφ = σφθ = κ+ θ, κ Ζ ΙR θ [, ], ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 41050413-6973306167

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Πρδείγµτ τριγωνοµετρικών εξισώσεων: 1. Ν λυθεί η εξίσωση: ηµ Λύση Έχω ηµ 3 + =ηµ + 6 4 3 3 + =ηµ + =κ++ (1) κι 6 6 4 + 4 3 + =κ+-(+ ) () κ Ζ 6 4 7 (1) =-κ-, κ Ζ 1 κ () = +, κ Ζ 3 36.. Ν λυθεί η εξίσωση: συν 5 =ηµ. συν συν Λύση 5 =ηµ 3 + 3 5-3 =κ+ 6 + 3 + 3 5- =κ- 3 (1) = 4κ 4 + 9 7 4κ () =, κ Ζ 11, κ Ζ Λύση συν (1) κ Ζ () κ Ζ 3 3 6 5 =συν συν 6 5 = 3 3. Ν λυθεί στο [0,] η εξίσωση εφ(- )= 3. 6 Λύση εφ(- )= 3 εφ( κ )=εφ - =κ+ = +, κ Ζ 6 6 3 6 3 4 5 4. Ν λυθεί η εξίσωση σφ =σφ Λύση σφ = 5 =σφ + 8 κ 3 +, κ Ζ 7 8 5 +. 8 =κ++ 8 -- 5 =- +κ+ 8 ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 41050413-6973306167

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 [4]. Τριγωνοµετρικοί ριθµοί θροίσµτος κι διφοράς γωνιών συν(-β)=συν συνβ+ηµ ηµβ (1) συν(+β)=συν συνβ-ηµ ηµβ () ηµ(+β)=ηµ συνβ+συν ηµβ (3) ηµ(-β)=ηµ συνβ-συν ηµβ (4) εφ+ εφβ εφ(+β)= 1 εφ εφβ (5) Αόδειξη (1) Χωρίς όδειξη. () συν(+β)=συν(-(-β))=συνσυν(-β)+ηµην(-β)=συνσυνβ-ηµηµβ. (3) ηµ(+β)=συν -(+β) =συν - -β = συν - συνβ+ηµ - ηµβ=ηµ συνβ+συν ηµβ. (4) ηµ(-β)=ηµ(+(-β))=ηµσυν(-β)+συνηµ(-β)=ηµσυνβ-συνηµβ. (5) εφ(+β)= ηµσυνβ συνηµβ + ηµ(+ β) ηµσυνβ+ συνηµβ συνσυνβ συνσυνβ εφ+ εφβ = = = = συν(+ β) συνσυνβ-ηµηµβ συνσυνβ ηµηµβ 1-εφεφβ συνσυνβ συνσυνβ [ ιιρώ τους όρους του κλάσµτος µε συνσυνβ 0] Όµοι οδεικνύοντι οι τύοι: εφ εφβ εφ(-β)=,σφ(+β)= σφσφφβ-1 1+ εφεφβ σφβ+ σφ,σφ(-β)= σφσφφβ+1 σφβ σφ [5]. Τριγωνοµετρικοί ριθµοί της γωνίς. ηµ=ηµ συν β. συν=συν -ηµ =συν -1=1-ηµ εφ γ. εφ= 1-εφ Αοδείξεις. ηµ=ηµ(+)=ηµσυν+συνηµ=ηµσυν β. συν=συν(+)=συνσυν-ηµηµ=συν -ηµ =συν -(1-συν )=συν -1= =(1-ηµ )-ηµ =1-ηµ εφ+ εφ εφ γ. εφ=εφ(+)= = 1-εφεφ 1-εφ [6]. Τύοι ό-τετργωνισµού ) ηµ = 1-συν, β) συν = 1 + συν, γ) εφ = 1-συν 1+ συν ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 41050413-6973306167

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αοδείξεις 1-συν ) Ισχύει ότι: συν=1-ηµ ηµ =1-συν ηµ =. 1+συν β) Είσης: συν=συν -1 1+συν=συν συ =. 1-συν ηµ 1-συν γ) Τέλος: εφ = = / =. συν 1+συν 1+συν / [7]. Μετσχηµτισµός γινοµένου σε άθροισµ ή διφορά. ηµσυνβ=ηµ(+β)+ηµ(-β) β. συνσυνβ=συν(-β)+συν(+β) γ. ηµηµβ=συν(-β)-συν(+β) Αοδείξεις Πίρνω το δεύτερο µέλος κι εφρµόζω τους τύους θροίσµτος ή διφοράς. Έτσι κτλήγω στο ρώτο µέλος. Π.χ. γι την (): ηµ(+β)+ηµ(-β)= ηµσυνβ+συνηµβ+ηµσυνβ-συνηµβ=ηµσυνβ+ηµσυνβ=ηµσυνβ. [8]. Μετσχηµτισµός θροισµάτων κι διφορών σε γινόµεν A+ B A B ηµα+ηµβ=ηµ συν A B A+ B ηµα-ηµβ=ηµ συν A+ B A B συνασυνβ=συν συν A B A+ B συνα-συνβ=ηµ ηµ [9]. Η συνάρτηση f()=ηµ+βσυν Θεώρηµ Αν,β 0, τότε γι κάθε IR ισχύει: ηµ+βσυν=ρηµ(+φ), όου ρ= + β κι συνφ = ηµφ = β ρ ρ Αόδειξη ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 41050413-6973306167

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 M(,β) ρ O β φ Έστω φ γωνί µε τελική λευρά την ΟΜ. Τότε: συνφ = = ρσυνφ ρ ρ=(ομ)= + β κι β ηµφ = β = ρηµφ ρ Άρ: ηµ+βσυν=ρσυνφηµ+ρηµφσυν=ρ(συνφηµ +ηµφσυν)==ρηµ(+φ) Άρ ηµ+βσυν=ρηµ(+φ) [10]. Νόµος ηµιτόνων Θεώρηµ Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: εριγεγρµµένου κύκλου. ηµα β γ = = = R, όου R η κτίν του ηµβ ηµγ Αόδειξη Στον εριγεγρµµένο κύκλο φέρω διάµετρο ΒΟ, οότε το τρίγωνο ΓΒ είνι ορθογώνιο γιτί βίνει σε ηµικύκλιο. Ακόµ Α γ β είνι = Α γιτί βίνουν στο ίδιο τόξο. Στο τρίγωνο Β Γ έχω: ηµ = Β ηµ = R =Rηµ ) ( = A RηµΑ R= ηµα Β Ο Γ β γ Όµοι βρίσκω ότι =R κι =R ηµβ ηµγ Εοµένως ηµα = β ηµβ = γ ηµγ = R [11]. Νόµος συνηµιτόνων Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: =β +γ -βγσυνα ή β =γ + -γσυνβ ή γ = +β -βσυνγ Αόδειξη Έστω τρίγωνο ΑΒΓ όου η ΑΒ βρίσκετι άνω στον άξον Ο όως στο σχήµ. Ισχύει: συνα= β Γ(,) κι ηµα= β ή =βσυνα κι =βηµα (1) Τ Β(γ,0) κι Γ(,) έχουν όστση µετξύ τους: =(ΒΓ)= ( ) + ( 0). Οότε λόγω της (1): =(-γ) +(-0) =(βσυνα-γ) +(βηµα) =β συν Α+γ - βγσυνα+β ηµ Α=β (συν Α+ηµ Α)+γ -βγσυνα= β O=Α γ B(γ,0) ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 41050413-6973306167

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 =β.1+γ -βγσυνα. Άρ: =β +γ -βγσυνα Όµοι οδεικνύοντι κι οι άλλες. Σχόλι Είλυση τριγώνου ονοµάζετι το ρόβληµ κτά το οοίο ζητείτι ο υολογισµός γνώστων κυρίων στοιχείων ενός τριγώνου, ότν δίνοντι ερκή στοιχεί του. Το ρόβληµ λύνετι µε χρήση των νόµων ηµιτόνου κι συνηµιτόνου. Θ χρησιµοοιώ νόµο ηµιτόνων ότν δίνοντι:. Μί λευρά κι δύο γωνίες του. β. ύο λευρές κι µί µη εριεχόµενη γωνί. Θ χρησιµοοιώ νόµο συνηµιτόνων ότν:. ίνοντι δύο λευρές κι η εριεχόµενη γωνί. β. ίνοντι κι οι τρεις λευρές κι ζητούντι οι γωνίες του γράφοντς τον νόµο συνηµιτόνων ως εξής: συνα= β + γ βγ συνβ= γ + β γ συνγ= + β γ β Τριγωνοµετρικές συνρτήσεις Ασκήσεις 1. Ν σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµ ξόνων τις γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων: ) f()=ηµ, g()=-ηµ, h()=ηµ-. 1 1 1 β) f()= συν, g()= - συν, h()= συν+ 1. γ) f()=συν, g()=συν + 3, h()= συν - 3. δ) f()=εφ, g()=-εφ, h()=-εφ-1.. ίνετι η συνάρτηση: f()= 1 ηµ. ) Ν ροσδιορίσετε την ερίοδό της κι το σύνολο τιµών της. β) Ν σχεδιάσετε την γρφική της ράστση σε λάτος µίς εριόδου. 3. ίνετι η συνάρτηση: f()=ηµ +β,,β R. 5 ) Ν υολογίσετε τους ριθµούς κι β ν η γρφική της ράστση 5 διέρχετι ό τ σηµεί Α(10, 6) κι Β,1. 6 β) Γι τις τιµές υτές των κι β ν βρείτε τ κρόττ της f κι την ερίοδό της. Ποι είνι η µονοτονί της f στο διάστηµ [0, 10]; ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 41050413-6973306167

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 5 4. ίνετι η συνάρτηση:f()=ηµ - +συν(3+)ηµ - -συν(-)+1. ) Ν λοοιήσετε τον τύο της f. β) Ν σχεδιάσετε την γρφική ράστση της συνάρτησης g()= f(). συν συν 5. ίνετι η συνάρτηση: f()= +. 1-ηµ 1+ ηµ ) Ν λοοιήσετε τον τύο της f. 1 f() β) Ν σχεδιάσετε την γρφική ράστση της συνάρτησης g()= f() σε λάτος µίς εριόδου. 6. Αν < 1 < <, ν συγκριθούν οι ριθµοί: ) ηµ 1-1 - κι ηµ, β) εφ κι εφ. 7. ίνετι η συνάρτηση f()= ηµ + -3. 3 ) Ν υολογίσετε τον ριθµό ώστε η µέγιστη τιµή της f ν είνι 1. β) Ν σχεδιάσετε την γρφική της ράστση σε λάτος µίς εριόδου. Τριγωνοµετρικές εξισώσεις 8. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ) 4συν -3=0 β) ηµ -1=0 γ) (ηµ+1)(1- συν)(6-3συν)=0. 9. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ) συν3+ =0 β) εφ - = 3 3 10. Ν λυθεί η εξίσωση 4συν + =1. 3 1 γ) σφ = 1. 3 3 11. Ν λυθεί στο διάστηµ, η εξίσωση συν + =ηµ. 4 1. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ) ηµ (+)+3συν + -=0. β) ηµ -3συν =- γ) 3σφ -3+ 3σφ+ 3 =0 δ) συν +( 3-1)ηµ=1-3 1 ε) + 3εφ=1 συν ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 41050413-6973306167

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 13. Ν λυθεί η εξίσωση εφ=- ηµ, στο διάστηµ [0, ]. 14. Ν λυθεί η εξίσωση ηµ -συν= 4 1 ν είνι γνωστό ότι ο ριθµός 3 είνι µί λύση της. 15. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ) ηµ -ηµσυν-συν =0 β) συν + 3ηµ+1=0 γ) εφ+ 3σφ=1+ 3 δ) συν(ηµ+συν)=1 16. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ) 3ηµ+συν= 3 β) ηµ+ 3συν= γ) 3ηµ-συν=1 4 17. ίνετι η συνάρτηση f()=εφ+βσφ-,,β R. 3 ) Ν υολογίσετε τους ριθµούς κι β ώστε η γρφική ράστση της f ν 5 τέµνει τον άξον χ χ στ σηµεί µε τετµηµένες 1 =. 6 κι = 3 β) Ν βρείτε τις τιµές του γι τις οοίες το σηµείο Μ(, +β) νήκει στη γρφική ράστση της f, όου κι β οι ριθµοί του ερωτήµτος ). Τριγωνοµετρικοί ριθµοί θροίσµτος γωνιών 18. Υολογίστε την τιµή των ρστάσεων: ) συν 1 συν 4 -ηµ 1 ηµ 4 β) συν170 ο συν50 ο +ηµ170 ο ηµ50 ο γ) ηµ110 ο ηµ70 ο -συν110 ο συν70 ο 7 7 δ) συν συν +ηµ ηµ 1 1 1 1 6 ε) συν + συν 6 19. Ν οδειχθούν οι σχέσεις: 4 ) ηµ + συν β) συν 4 + +συν 4 4 3 γ) ηµ + +ηµ 3 -ηµ +συν + ηµ + 6 6 + ηµ 4 4 = συν = 3συν δ) συν -συν =ηµσυν 4 εφ εφ ε) = εφ 1+ εφεφ + 4 =συν(-) ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 41050413-6973306167

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 εφ + + εφ 3 6 στ) = σφ 1 εφ + εφ 3 6 ηµ(+ β) ζ) = εφ+ εφβ συν(+ β) + συν( -β) ηµ( β) ηµηµβ ηµ(β γ) ηµβηµγ ηµ(γ ) ηµγηµ η) + + = 0 ι) ηµ( β) = σφβ-σφ ηµηµβ ηµ(+ β) θ) = εφ+ εφβ συνσυνβ 0. Ν οδείξετε ότι: ηµ(+β) ηµ(-β) ) =εφ -εφβ συν συνβ ηµ(-β) β) =σφβ-σφ συν(-β)-συν(+β) ηµ(+β)-ηµ(-β) γ) =εφβ συν(+β)+συν(-β) συνηµβ-ηµ(+β) δ) =σφβ-σφ συνσυνβ-συν(+β) 1. Ν οδείξετε ότι: ) εφ -εφβ =εφ(+β) εφ(-β) 1-εφ εφβ β) σφ σφ -1 =σφ3 σφ σφ -σφ. Ν οδείξετε ότι: ) ηµ(+β)ηµ(-β)=ηµ -ηµ β β) συν(+β)συν(-β)=1-ηµ -ηµ β 4 1 3. ίνετι ηµ=, συνβ=-, 0<< κι <β<. Ν υολογιστούν τ ηµ(+β) 5 13 κι συν(-β). 4. είξτε ότι το κλάσµ Α= ηµ(+ ) -ηµ( συν(β - ) -συν(β ), είνι νεξάρτητο του. + ) 5. Ν οδείξετε ότι η ράστση Α=συν -συνσυνσυν(-)+συν (-) είνι στθερή. 6. Αν ηµ+συνβ=κ κι συν+ηµβ=λ, ν υολογίσετε το ηµ(+β). 7. Aν συν(+β)=συνσυνβ, ν οδείξετε ότι: ηµ (+β)=(ηµ+ηµβ). +1 8. Αν, β 0, µε εφ= κι εφβ=, -1 ν οδείξετε ότι: -β=. 4 ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 41050413-6973306167

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 5 9. Αν +β=, ν οδείξετε ότι: 4 ) (1+εφ)(1+εφβ)= β) (1+σφ)(1+σφβ)=σφσφβ. 30. Αν +β=135 ο, ν οδείξετε ότι: (1-εφ)(1-εφβ)=. 31. Αν +β+γ=0, ν οδείξετε ότι: ) εφ+εφβ+εφγ=εφεφβεφγ. β) σφσφβ+σφβσφγ+σφγσφ=1 3. Αν +β+γ=, ν οδείξετε ότι: εφεφβ+εφβεφγ+εφγεφ=1. 33. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i. ηµ=ηµ ii. ηµ=συν iii. εφ+εφ + =- iv. συν=ηµ + 6 3 + 6 34. Ν λυθεί η εξίσωση: εφ(45 ο -)-εφ(45 ο +)=- 3. 35. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ν οδείξετε ότι: εφα+εφβ+εφγ=εφαεφβεφγ. 36. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ν οδείξετε ότι: 4 Α Β Γ Α Β Γ σφ +σφ +σφ =σφ σφ σφ 37. ) Αν Α, Β, Γ είνι γωνίες τριγώνου ν οδείξετε ότι: ηµ Α+ηµ Β+ηµ Γ-συνΑσυνΒσυνΓ=. β) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ηµ Α+ηµ Β+ηµ Γ=, ν οδείξετε ότι το τρίγωνο είνι ορθογώνιο. 38. ) Ν οδείξετε την τυτότητ: ηµ(+β)ηµ(-β)=ηµ -ηµ β β) Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ν οδείξετε ότι: ηµαηµ(β-γ)+ηµβηµ(γ-α)+ηµγηµ(α-β)=0. 39. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: (1-σφΓ)[1+σφ(45 ο -Β)]=, ν οδείξετε ότι το τρίγωνο υτό είνι ορθογώνιο. Τριγωνοµετρικοί ριθµοί του. 40. Ν οδειχθούν οι ισότητες: ηµ. = εφ 1+ συν γ. εφ(45 ο συν -)= 1+ ηµ 4 ε. συν -ηµ 4 συν+ ηµ συν ηµ ζ. = εφ συν -ηµ συν+ ηµ ηµ β. = σφ 1 συν δ. εφ+σφβ= ηµ 1-εφ (45 ) =ηµ στ. = ηµ ο 1+ εφ (45 ) 1-συν + ηµ η. = εφ 1+ συν + ηµ ο ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 41050413-6973306167

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 θ. ηµεφ+συν = ι. ηµ 3 συν+συν 3 ηµ= 1 ηµ 41. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i. συν-ηµ-1=0 ii. ηµ-συν+ηµ-1=0 iii. συν+συν 3 =0 iv. συν-ηµ =0 v. συν -1=συν vi. -συν =4ηµ 4. είξτε ότι: 1+ εφ+ εφ εφ i. = εφ+ σφ iii. συν4=8συν 4 +1 ii. 3 4συν+ συν4 3+ 4συν+ συν4 = 4 εφ 43. είξτε ότι: ηµ+ ηµ i. = εφ συν+ συν+ 1 ii. εφ 4 = 1-ηµ 1+ ηµ 44. είξτε ότι: ηµ-ηµ ) =εφ β) 1+συν+ηµ =1+εφ 1-συν+συν 1+συν 0 1-εφ (45 -) γ) 0 =ηµ 1+εφ (45 -) συν 1+ηµ δ) = εφ(45 0 -)+συν 1-ηµ ηµ-ηµ ε) =εφ ζ) 1-συν4+ηµ4 =εφ ηµ+ηµ 1+συν4+ηµ4 ηµ4 συν συν η) =εφ 1+συν4 1+συν 1+συν θ) συν+ηµ συν-ηµ σφ+1 συν - =εφ ι) = συν-ηµ συν+ηµ σφ-1 1-ηµ κ) συν (+β)+συν εφ εφ(+) (-β)=1+συνσυνβ λ) + εφ 1+εφ 1-εφ 45. Ν οδείξετε ότι: ηµ =. 1+ηµ (1+εφ)(1+σφ) ηµ +ηµ 46. Ν οδείξετε ότι: =εφ. 1+συν +συν 1-συν 47. Ν οδείξετε ότι: εφ + εφ- =. 6 6 1+συν ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 41050413-6973306167

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 48. Αν (, ] ν οδειχθεί ότι: (1+συν)+συν=0 3 49. Γι τη γωνί ισχείει:5συν-14συν-7=0. είξτε ότι: συν=-. Aν ειλέον 5 3 ισχείει a, ν υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς ριθµούς ηµ,συν κι εφ. 50. είξτε ότι: i. συν 4 +συν 4 8 3 = 8 8 4 ii. ηµ 4 +ηµ 4 8 3 3 = 8 4 51. Ν οδειχθεί ότι: συνω= ηµω. Κτόιν δείξτε ότι: ηµω 16συν.συν.συν4.συν8= ηµ16. ηµ 5. Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) 1+συν-6ηµ =0 β) 3συν -ηµ -ηµ=0 γ) 3ηµ +συν + 3ηµ=1 δ) συν4=-συν 53. Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) ηµ 3 + συν 5 = ηµ 4 β) ηµ + + συν + = 1+συν 6 3 54. Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) ηµ+συν=0 β) συν+3ηµ= γ) εφ=ηµ, (, ). δ) 3+εφ.εφ=0, ( 0, ). ε) ηµ=εφ στ) συν=ηµ 1 + ζ) συν+3συν-4=0. η) ηµ +3συν=0 θ) ηµ=(συν-ηµ) ι) ηµ.σφ+ηµ =4ηµ, [ 0, ). Τριγωνοµετρικοί µετσχηµτισµοί 55. είξτε ότι: συν3 συν5. = εφ ηµ3+ ηµ5 ηµ+ ηµ3+ ηµ5+ ηµ7 γ. = εφ4 συν+ συν3+ συν5+ συν7 ηµηµ+ ηµηµ4+ ηµηµ7 ε. = εφ5 ηµσυν ηµσυν5 ηµσυν8 + + ηµ+ ηµ3+ ηµ5 β. = εφ3 συν+ συν3+ συν5 ηµηµ+ ηµ3ηµ6 δ. = εφ5 ηµσυν + ηµ3συν6 ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 41050413-6973306167

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 56. Ν λυθούν οι εξισώσεις:. ηµ3-ηµ=συν β. συν5-συν=ηµ3 γ. ηµ3+ηµ6+ηµ9=0 δ. συν=ηµ4+ηµ6+συν8, [0,] ε. συν3συν5-συνσυν7=0 στ. εφ+εφ4=εφ3 57. είξτε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει:. συνα+συνβ+συνγ=1+4ηµ Α ηµ Β ηµ Γ β. ηµα-ηµβ+ηµγ=4συνα συνβ συνγ γ. συνα+συνβ+συνγ=-1-4συνα συνβ συνγ δ. ηµ Α+ηµ Β+ηµ Γ=+συνΑ συνβ συνγ ε. συν Α+συν Β+συν Γ=1-συνΑ συνβ συνγ στ. ηµ4α+ηµ4β+ηµ4γ=-4ηµα ηµβ ηµγ ζ. ηµα + ηµβ+ ηµγ ηµα + ηµβ+ ηµγ Α Β Γ = 8ηµ ηµ ηµ 58. Ν λυθούν οι εξισώσεις:. 3ηµ4+συν4= 3 β. 3ηµ-συν= γ. συν-ηµ=1 δ. ηµ+ 6συν+=0 Νόµος ηµιτόνων 59. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είνι =8, γ=0 κι Γ=13 ο. Ν βρεθούν οι γωνίες Α κι Β. 60. Ν βρεθούν οι γωνίες Β κι Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ, ν είνι =1, β=1+ 3 κι Α =15 ο. 61. Ν δειχθεί ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: +β +γ =4R (ηµ Α+ηµ Β+ηµ Γ). 6. Όµοι: (ηµβ-ηµγ)+β(ηµγ-ηµα)+γ(ηµα-ηµβ)=0 63. Όµοι: ηµα+βηµβ+γηµγ= + β + γ R. Νόµος συνηµιτόνων 64. Ν ειλυθεί τρίγωνο ΑΒΓ, ου έχει =3, β=17 κι γ=38. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 41050413-6973306167

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 65. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει σχέση =βσυνγ, ν δειχθεί ότι το τρίγωνο είνι ισοσκελές. 66. Ν ειλυθεί τρίγωνο ΑΒΓ κι β= 6, γ= 34 κι Α =45 ο. 67. Σε κάθε τρίγωνο ν οδειχθεί ότι ισχύει β=συνγ+γσυνα. 68. Όµοι: βσυνγ-γσυνγ= β γ. 69. Όµοι: βγσυνα+γσυνβ+βσυνγ= +β +γ. Γενικές σκήσεις σε τρίγωνο 70. Σε κάθε τρίγωνο ν δειχθεί ότι ισχύει: βσυνβ+γσυνγ=συν(β-γ). 71. Όµοι η σχέση: γ β + + γ β - = εφα εφβ. 7. Όµοι η σχέση: ηµ(β-γ)-βηµ(γ-α)+γηµ(α-β)=0. 73. Όµοι η σχέση: β -γ Α συν Β -Γ = ηµ. 74. Όµοι η σχέση: β+ γ ηµ Α = Β -Γ συν. 75. Όµοι η σχέση: β γ β+ γ Β -Γ Α = εφ εφ. 76. Σε κάθε τρίγωνο ν δειχθεί ότι ισχύει: Α Β Γ Α Β Γ ηµ + ηµ + ηµ 1= 4ηµ ηµ ηµ 4 4 4 Α Β Γ συνα+συνβ+συνγ= - 1+ 4συν συν συν ηµ Α+ηµ Β-ηµ Γ=ηµΑηµΒηµΓ συν Α+συν Β-συν Γ=1-ηµΑηµΒηµΓ ηµ4α+ηµ4β+ηµ4γ=4ηµαηµβηµγ ηµ4α+συν4β+συν4γ=-1+4συνασυνβσυνγ εφα+εφ4β+εφγ=εφαεφβεφγ σφασφβ+σφβσφγ+σφγσφα=1 77. Αν Β, Γ οι οξείες γωνίες σε ορθογώνιο τρίγωνο. είξτε ότι: Β Γ Β Γ. ηµβ+ηµγ= συν β. ηµβ-ηµγ= ηµ γ. ηµ Β-ηµ Β Γ Γ=ηµ Β Γ συν =ηµ(β-γ). ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 41050413-6973306167

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Αν <<β<, 4. Αν <<β<, 4 3. Αν <<β<, 4 4. Αν <<β<, 4 Ερωτήσεις τύου «ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ» τότε ηµ<ηµβ. Σ Λ τότε συν<συνβ. Σ Λ τότε ηµ>ηνβ Σ Λ τότε συν -β >συν -. Σ Λ 4 4 5. Η συνάρτηση f()=5-3ηµ ίρνει τη µέγιστη τιµή της ότν = κ+,κ Z. Σ Λ 6. Η βσική ερίοδος της συνάρτησης f()=συν είνι Τ=. Σ Λ 7. Το εδίο τιµών της συνάρτησης f()=ηµ3-3 είνι το [-5,-1]. Σ Λ 8. Η εξίσωση ηµ= έχει µί τουλάχιστον ρίζ γι κάθε R. Σ Λ 9. Η εξίσωση εφ= έχει µί τουλάχιστον ρίζ γι κάθε R. Σ Λ 10. Οι εξισώσεις εφ=1 κι σφ=1 είνι ισοδύνµες. Σ Λ 11. Οι εξισώσεις ηµ-συν=0 κι εφ=1 είνι ισοδύνµες. Σ Λ 1. H εξίσωση συν=0 έχει κριβώς µί λύση στο διάστηµ [0, ]. Σ Λ 13. Ισχύει συν55 ο συν5 ο -ηµ55 ο ηµ5 ο = 1. Σ Λ 14. Ισχύει συν(+β)=συν+συνβ, γι κάθε,β R. Σ Λ 15. Ισχύει συν50 ο συν40 ο =ηµ50 ο ηµ40 ο Σ Λ 16. Υάρχει τρίγωνο ΑΒΓ ώστε ν ισχύει:συν(α+β)=συνασυνβ. Σ Λ 17. Υάρχει τρίγωνο ΑΒΓ ώστε ν ισχύει:ηµ(α-β)=ηµασυνβ+ηµασυνβ. Σ Λ 18. εν υάρχει τρίγωνο ΑΒΓ ώστε ν ισχύει: συν(α-β)=συνασυνβ-ηµαηµβ. Σ 19. συν50 συν0 +ηµ50 ηµ0 =. Σ Λ ο ο εφ5 -εφ50 0. Ισχύει ότι ο ο =-1. 1+εφ50 εφ5 Σ Λ 1. Ισχύει ότι ηµ(-β)συνβ+ηµβσυν(-β)=ηµ. Σ Λ ο ο ο ο 3 Λ ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 41050413-6973306167

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Γι κάθε γωνί R ισχύει συν =συν+ηµ. Σ Λ 3. Γι κάθε γωνί R ισχύει (ηµ+συν) =1+ηµ. Σ Λ 4. Γι κάθε γωνί R ισχύει (ηµ-συν) =1+συν. Σ Λ ηµ 1 3 5. Αν [0, ] κι =, τότε = ή =. 1+συν 4 4 Σ Λ 6. Iσχύει συν =1+συν γι κάθε γωνί. Σ Λ 7. Ισχύει ηµ =1+ηµ γι κάθε γωνί. Σ Λ βγ 8. Αν ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο τότε ηµβ=. Σ Λ 9. Γι κάθε R ισχύει ηµσυν= 1 ηµ. Σ Λ 30. Ισχύει ότι (1-εφ 10 ο )εφ0 ο =εφ10 ο. Σ Λ ****************** Ερωτήσεις ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ. 1. Η συνάρτηση f()=ηµ(-) έχει ερίοδο Τ=: Α:, Β:, Γ: /, :4, Ε: Άλλη.. Η συνάρτηση f()=3συν έχει ερίοδο Τ=: Α:, Β:, Γ: /, :4, Ε: Άλλη. 3. Η συνάρτηση f()=-εφ +1 έχει: Α: µέγιστο το, Β: ελάχιστο το, Γ: µέγιστο το 1, : δεν έχει κρόττ. 4. Η συνάρτηση f()=ηµ+1, έχει εδίο τιµών το: Α: [1, 3], Β: [-1, 3], Γ: [-1, 1], : R, Ε: [0, + ). 5. Η µέγιστη τιµή της συνάρτησης f()=3ηµ +003 είνι: 3 Α: 000, Β: 006, Γ: 1996, :3. Ε: Άλλη. 6. H συνάρτηση f()=ηµ είνι γνησίως ύξουσ στο διάστηµ: 3 Α: 0,, Β: 0,, 4 Γ:,, 4 :,. 7. Η εξίσωση ηµ+συν=0 είνι ισοδύνµη µε την εξίσωση: Α: εφ=1, B: ηµ +συν =0, Γ: εφ=-1, : εφ=σφ. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 41050413-6973306167

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 8. H συνάρτηση f()= ορίζετι στο σύνολο: ηµ-1 Α: R- κ+,κ Z, Β: R κ+,κ Z, Γ: R, 6 3 5 : R κ+, κ+, κ Z. 6 6 9. Η ράστση ηµ3 ο συν37 ο +συν3 ο ηµ37 ο είνι ίση µε: Α: 1, Β: 3, Γ: 3, : - 3, Ε: 0. 10. Αν Α+Β+Γ=, τότε η ράστση ηµαηµβ-συνασυνβ ισούτι µε: Α: ηµγ, Β: συνγ, Γ: -ηµγ, : -συνγ, Ε: 0. 11. Η ράστση Α= ηµ - συν + +ηµ + συν - 4 4 4 4 ισούτι µε: Α: Α: 0, Β:, Γ: -1, : 1, Ε: -. 15 15 1. Η τιµή της ράστσης Α= συν συν -ηµ ηµ είνι ίση µε: 16 16 16 16 Α: 1, Β: -1, Γ:0 : 1, Ε: - 1. 13. Η ράστση συν10 ο συν0 ο +συν(-80) ο ηµ(-0) ο ισούτι µε: Α: 1, Β: συν60 ο, Γ: ηµ70 ο, : 3, Ε: 1. 14. Οι εφ κι εφβ είνι ρίζες της εξίσωσης 4-3-5=0. Τότε η εφ(+β) είνι: Α: 1, Β:, Γ: 1, 3 : - 1, 3 Ε: 0. 15. Η ράστση Α: -1, Β: ο ο εφ5 +εφ0 ο ο 1-εφ5εφ0 είνι ίση µε: 3, Γ :, : 3, Ε : 1. 3 16. Η εφ105 ο είνι ίση µε: Α: 1+ 3, Β: 3+ 1, 3 1 Γ: 3 1, 3+ 1 : 1 3, Ε: Άλλο. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 41050413-6973306167

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙA 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 17. Αν εφ= κι εφβ=ψ, τότε η εφ(+β) είνι ίση µε: -ψ Α:, Β: +ψ, Γ: ψ-1, : ψ+1, 1+ψ 1-ψ +ψ -ψ ψ. Ε: ( +ψ ) 18. Αν εφ(+z)= κι εφ(z-ψ)=β, τότε η εφ(+ψ) είνι ίση µε: Α: +β, 1-β Β: -β, 1+β Γ: β+1, -β : β+1, +β Ε: 1. 19. Η ράστση συν 45 - είνι ίση µε: Α: 1-ηµ, Β: 1+συν, Γ: 1+ηµ, : συν-1, Ε: 1-συν. ο 0. Η ράστση συν 40 ο -ηµ 140 ο ισούτι µε: Α: συν10 ο, Β: συν 80 ο, Γ: συν80 ο, : ηµ80 ο, Ε: ηµ10 0. 1 1 1. Αν, β 0, κι εφ=, εφβ=, τότε το +β ισούτι µε: 4 7 3 Α:, Β: 0, Γ:, :, Ε: 3. 4 4. Η ράστση συν-συν είνι ίση µε: Α: 0, Β: -1, Γ: 1, : 1, Ε: - 1. 3. Μί λύση της εξίσωσης συν -συν= 3 είνι η : 4 Α: =, Β:=0, Γ: =, :=, Ε:=. 3 6 4 1+ηµθ 4. Αν 0<θ<, η ράστση είνι ίση µε: 1-ηµθ θ θ θ εφ 1-εφ 1+εφ Α: θ, Β: εφ, Γ:, :, Ε: εφ θ. θ θ θ 1+εφ 1+εφ 1-εφ 5. Η ράστση (ηµ,5 ο -συν,5 ο ) είνι ίση µε: Α:, Β:, Γ:, :, Ε: +. **************** *********** ***** * ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 41050413-6973306167