Επί υλικού σηµείου µάζας m ενεργεί κεντρική δύ, η οποία ακολουθεί τον νόµο:

Επί υλικού σηµείου µάζας m ενεργεί κεντρική δύ ναµη F, η οποία ακολουθεί τον νόµο: F = ke r r όπου k θετική σταθερή ποσότητα και r το διάνυσµα θέσεως του υλι κού σηµείου ως πρός το κέντρο Ο, από το οποίο εκπορεύεται η δύνα µη. Εάν την χρονική στιγµή t= το υλικό σηµείο ηρεµεί σε απόσταση α από το Ο, να εκφράσετε την ταχύτητά του σε συνάρτηση µε την απόστασή του r από το κέντρο Ο. ΛΥΣΗ: Επειδή η δύναµη F είναι κεντρική είναι ταυτόχρονα και συντηρητι κή, δηλαδή απορρέει από συνάρτηση δυναµικής ενέργειας U(r) η οποία ικανο ποιεί την σχέση: (α) F = - du(r) dr ( ) ke r r = - du(r) dr du(r) = -ke r rdr = - k er d(r ) () Ολοκληρώνοντας την () έχουµε: U(r) = - k er + C () Σχήµα όπου C σταθερά ολοκλήρωσης. Εξάλλου υπό την επίδραση της F το υλικό ση µείο θα εκτελεί ευθύγραµµη κίνηση αποµακρυνόµενο της αρχικής του θέσεως Α, στην διάρκεια της οποίας η µηχανική του ενέργεια θα διατηρείται σταθερή, δηλαδή θα ισχύει: K A + U A = K M + U M - k e + C = mv - k er + C

mv v = = k er k m er ( ) ( - e ) v = k - e m er ( - e ) µε r α όπου v η ταχύτητά του στην θέση Μ( r ). Εάν r είναι το µοναδιαίο διάνυσµα της επιβατικής ακτίνας r του υλικού σηµείου ως προς το κέντρο Ο της δύναµης, τότε η διανυσµατική έκφραση της ταχύτητας θα έχει την µορφή: v = k ( - e ) / m er r P.M. fysikos µορφής: F = f(r) r Ένα υλικό σηµείο δέχεται κεντρική δύναµη της όπου f(r) µια συνάρτηση της απόστασης r του υλικού σηµείου απο το κέντρο Ο από το οποίο εκπορεύεται η δύναµη και r το διάνυσµα θέσεως του σηµείου ως προς το Ο. i) Να δείξετε την σχέση: ( F ) = r df(r) dr + 3f(r) ii) Ποια η µορφή της συνάρτησης f(r), όταν η απόκλιση της δύναµης είναι µηδενική; Ποιο νόµο ακολουθεί η δύναµη στην περίπτωση αυτή; ΛΥΣΗ: i) Για την απόκλιση της δύναµης ισχύει; ( F ) = [ f(r) r ] = f(r)( r ) + [ r f(r)] () Εάν x, y, z είναι οι καρτεσιανές συντεταγµένες του υλικού σηµείου, πάνω στο οποίο ενεργεί η δύναµη F, ως προς το ορθογώνιο σύστηµα Οxyz, τότε το διάνυσµα θέσεως r του υλικού σηµείου εκφράζεται µε την σχέση: r = x i + y j + z k ( r ) = #x #x + #y #y + #z #z = 3 () όπου i, j, k τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx, Oy, Οz αντιστοίχως. Ακόµη από τον ορισµό της κλίσεως της µονόµετρης συνάρτησης f(r) έχουµε την σχέση:

f(r) = df(r) r dr r (3) Συνδυάζοντας τις (), () και (3) παίρνουµε: ( F # ) = 3f(r) + r df(r) $ dr r r ( ( F ) = 3f(r) + df(r) dr r r ( F ) = 3f(r) + r df(r) dr (4) ii) Θα αναζητήσουµε την συνάρτηση f(r) που ικανοποιεί την σχέση: ( F ) = Τότε η (4) γράφεται: = 3f(r) + r df(r) dr r df(r) dr df(r) dr = -3f(r) = -3 f(r) r (5) Ολοκληρώνοντας την (5) παίρνουµε: ln f(r) = -3lnr + lnc ln f(r) = ln(cr -3 ) f(r) = C/r 3 (6) όπου C σταθερά ολοκλήρωσης. Άρα η δύναµη F στην περίπτωση αυτή ακολου θεί τον νόµο: F = C r 3 r = C r r όπου r το µοναδιαίο διάνυσµα της επίβατικής ακτίνας r. Παρατηρούµε ότι η F είναι µια ελκτική ή απωστική κεντρική δύναµη, που ακολουθεί τον νόµο του αντιστρόφου τετραγώνου της απόστασης από το κέντρο της. P.M. fysikos Σωµατίδιο µάζας m βρίσκεται σε µονοδιάστατο δυ ναµικό πεδίο, εντός του οποίου η δυναµική ενέργεια του σωµατιδίου εξαρτάται από την µεταβλητή x, σύµφωνα µε την σχέση: U(x) = U ( - #bx) όπου U, b σταθερές και θετικές ποσότητες. i) Να βρείτε την ταχύτητα του σωµατιδίου σε συνάρτηση µε το x, γνωρίζοντας ότι η ταχύτητά του στην θέση x= είναι v.

ii) Ποια είναι η περίοδος της ταλάντωσης µικρού πλάτους που θα εκτελέσει το σωµατίδιο, γύρω από την θέση ισορροπίας του; ΛΥΣΗ: i) Εάν F (x) είναι η συνισταµένη δύναµη επί του σωµατιδίου, η σχε τιζόµενη µε την δυναµική του ενέργεια, τότε για την αλγεβρική της τιµή θα ισχύει η σχέση: F(x) = - du(x) dx = - d [ dx U ( - #bx)] = -U b$µbx () Eφαρµόζοντας για το σωµατίδιο τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα έχου µε για την αλγεβρική τιµή της επιτάχυνσής του a (x) την σχέση: a(x)= F(x) m () a(x)= -U bµbx m () Εξάλλου η αλγεβρική τιµή v(x) της ταχύτητας του σωµατιδίου, θα προκύψει από την σχέση: a(x)= dv(x) dt () dv(x) dt = -U bµbx m dv(x) = -U bµbx m dt = -U bµbx m dx v(x) v(x)dv(x) = -U bµbx m dx dv (x) = -U µbx m d(bx) (3) Ολοκληρώνοντας την σχέση (3) παίρνουµε: v (x) = U #bx m + C (4) Η σταθερά ολοκλήρωσης C θα βρεθεί από την συνθήκη ότι, στην θέση x= είναι v=v, οπότε η (4) δίνει: v = U m + C C = v - U m Έτσι η (4) παίρνει την µορφή: v (x) = v - U m ( - #bx ) v(x) = v - U m ( - #bx ) (5) ii) Θεωρώντας την γραφική παράσταση (σχ. ) της συνάρτησης:

U(x) = U ( - #bx) παρατηρούµε ότι στις θέσεις x=k(π/b), όπου k θετικός και άρτιος ακέραιος, η δυναµική ενέργεια παρουσιάζει τοπικά ελάχιστα που σηµαίνει ότι στις θέσεις Σχήµα αυτές το σωµατίδιο ισορροπεί ευσταθώς. Εάν το σωµατίδιο βρίσκεται ακίνητο σε µια τέτοια θέση λ.χ. στην θέση x= και αποµακρυνθεί λίγο από την θέση αυτή, τότε για την F(x) θα έχουµε: F(x) = -U bµbx -U b#bx -U b x F(x) -Dx µε D U b (6) H σχέση (6) εγγυάται ότι το σωµατίδιο θα εκτελέσει γύρω από την θέση αυτή γραµµική αρµονική ταλάντωση, µε σταθερά ταλάντωσης D =U b, της οποίας η περίοδος Τ είναι: T = m D (6) T = m U b = b m U P.M. fysikos Ένας λεπτός και οµογενής κυκλικός δακτύλιος µάζας M και ακτίνας R, κρατείται ακίνητος. Ένα µικρό σφαιρίδιο µά ζας m, αφήνεται σ ένα σηµείο της ευθείας που διέρχεται από το κέν τρο του δακτυλίου και είναι κάθετος στο επίπεδό του. i) Nα βρείτε την βαρυτική έλξη που δέχεται το σφαιρίδιο από τον δακ τύλιο, σε συνάρτηση µε την απόστασή του x από το κέντρο του δακ τυλίου. ii) Nα βρείτε σε ποιές θέσεις του σφαιριδίου η βαρυτική έλξη γίνεται

µέγιστη. Δίνεται η παγκόσµια σταθερά G της βαρύτητας. ΛYΣH: i) Θεωρούµε δύο στοιχειώδη τµήµατα του δακτυλίου, συµµετρικά ως πρός το κέντρο του K. Aυτά προκαλούν στο σφαιρίδιο τις στοιχειώδεις βαρυτι κές έλξεις d f και d f, οι οποίες είναι ίσες κατά µέτρο, η δε συνισταµένη τους d F έχει φορέα την διχοτόµο της γωνίας των d f καί d f, δηλαδή την ευθεία AK. Eπειδή ο δακτύλιος µπορεί να διαµεριστεί σε µεγάλο πλήθος συµµετρικών Σχήµα 3 στοιχειωδών µαζών, η συνολική βαρυτική του δράση πάνω στo σφαιρίδιο θα έχει φορέα την ευθεία AK και φορά από το σφαιρίδιο πρός το κέντρο K του δακτυλίου. Γιά να υπολογίσουµε το µέτρο της βαρυτικής έλξης F, θεωρούµε την βαρυτική δυναµική ενέργεια U του σφαιριδίου γιά την οποία ισχύει η σχέση: U = (du) = -Gm dm/r = - (Gm /r) (dm) ( ) U = - Gm M r ( ) ( ) Gm = - M (x + R ) ( ) / () H αλγεβρική τιµή F της δύναµης F, είναι ίση µε την αρνητική παράγωγο της U ως πρόςτην αλγεβρική τιµή x του διανύσµατος θέσεως x του σφαιριδίου, ως πρός το κέντρο K του δακτυλίου, δηλαδή ισχύει: F = - du $ () # dx F = - Gm M x(x + R ) -/ = -Gm Mx x + R (x + R ) Tο µέτρο της F είναι ίσο µε την απόλυτη τιµή της F, δηλαδή: 3/ () F = F = Gm Mx (x + R ) 3/ (3) ii) Eάν φ είναι η γωνία που σχηµατίζει η AK µε την τυχαία ευθεία που ενώνει το σφαιρίδιο µε ένα σηµείο του δακτυλίου, τότε θα έχουµε:

x = Rεφφ και x + R = R ( + εφ φ) οπότε η σχέση (3) γράφεται: F = Gm MR# (R # + R ) = Gm M # 3/ R ( # + ) = Gm M $µ# /# 3/ R (/#) 3 F = Gm M R µ #$ = Gm M R (µ ) / (#$ ) Όµως ισχύει συν φ+ηµ φ=, οπότε το γινόµενο (συν φ) (ηµ φ) / γίνεται µέγισ το όταν: # $ = µ $ / µ #$ = # = Eποµένως οι θέσεις του σφαιριδίου γιά τις οποίες το µέτρο της F γίνεται µέγι στο βρίσκονται πάνω στον φορέα της F, εκατέρωθεν του κέντρου K σε απόσ ταση R/ από αυτό. P.M. fysikos Δίνεται µία οµογενής λεπτή πλάκα απεριόριστης έκτασης, της οποίας η µάζα ανά µονάδα επιφάνειας (επιφανειακή πυκνότητα) είναι σ. Nα δείξετε ότι το βαρυτικό πεδίο που δηµιουργεί η πλάκα εκατέρωθεν αυτής είναι οµογενές και να βρείτε την έντασή του. Δίνεται η παγκόσµια σταθερά G της βαρύτητας. ΛYΣH: Θεωρούµε ένα τυχαίο σηµείο A πάνω από την πλάκα σε απόσταση x από αυτήν και έστω O η προβολή του στο επίπεδο της πλάκας. Θεωρούµε τώρα επί της πλάκας ένα δακτύλιο κέντρου K, ακτίνας R καί µικρού εύρους dr. Eπί του δακτυλίου αυτού είναι εντοπισµένη µια στοιχειώδης µάζα dm=πrσ dr, η οποία δηµιουργεί στο σηµείο A µία στοιχειώδη ένταση d g, µε φορά από το A Σχήµα 4 πρός το K το δε µέτρο της, συµφωνα µε το προηγούµενο θέµα, δίνεται από την σχέση:

dg = G(RdR)x (x + R ) 3 / () Όµως η πλάκα µπορεί να διαµεριστεί σε άπειρο πλήθος οµόκεντρων στοιχειω δών δακτυλίων, οπότε η ένταση g του βαρυτικού της πεδίου στο σηµείο A θα έχει φορέα κάθετο στην πλάκα, φορά από το σηµείο πρός την πλάκα, το δε µέτρο της θα προκύπτει µε ολοκλήρωση της σχέσεως () και µε όρια ολοκλήρω σης R= και R +. Έτσι θα έχουµε: + g = (dg) () +# G(R x)dr d(x g = $ + R ) = G x (x + R ) $ 3 / (x + R ) 3 / +# g = -G x # x + R $ + g = -G x x + # + G x x + = G δηλαδή το βαρυτικό πεδίο της πλάκας εκατέρωθεν αυτής είναι οµογενές µε µέτρο έντασης Gπσ P.M. fysikos Ένα σώµα εκτοξεύεται οριζόντια από ένα σηµείο της επιφάνειας της Γης µε ταχύτητα µέτρου v = g R, όπου R η ακ τίνα της Γης και g η ένταση του βαρυτικού της πεδίου στην επιφά νειά της. i) Nα βρείτε την µορφή της τροχιάς του σώµατος και να γράψετε την εξίσωση της σε πολικές συντεταγµένες µε πόλο το κέντρο της Γης. ii) Nα βρείτε το µέτρο της ταχύτητας του σώµατος την στιγµή που η επιβατική του ακτίνα σχηµατίζει γωνία π/ µε την επιβατική ακτίνα της θέσεως εκτόξευσής του. iii) Nα βρείτε την ακτίνα καµπυλότητας της τροχιάς του σώµατος στην θέση εκτοξευσής του. H Γη θα θεωρηθεί οµογενής και ακίνητη, χωρίς ατµόσφαιρα. ΛYΣH: i) Eπειδή η ταχύτητα εκτόξευσης v του σώµατος στο σύστηµα αναφο ράς της Γης έχει µέτρο v = g R το σώµα θα διαφύγει οριακά από το βαρυτι κό πεδίο της Γης διαγράφοντας παραβολική τροχιά, της οποίας η εστία ταυτί ζεται µε το κέντρο της Γής, η δε κορυφή της µε το σηµείο εκτόξευσης A του σώµατος, αφού η ταχύτητα v είναι οριζόντια. Eάν (ε) είναι η διευθετούσα ευθεία της παραβολής, τότε η απόσταση MM του τυχαίου σηµείου M της τρο χιάς του σώµατος από την (ε) θα είναι ίση µε την απόστασή του r απο το κέντρο O της Γης, δηλαδή θα ισχύει:

MM = r NA = r OA - ON = r OA - rσυνφ = r OA = r( + συνφ) () Σχήµα 5 όπου φ η γωνία που σχηµατίζει η επιβατική ακτίνα r του σηµείου M µε το στα θερό διάνυσµα OA, µε φ<π. Όµως η απόσταση της (ε) από την εστία O της παραβολής είναι ίση µε R, οπότε η () γράφεται: R = r( + #$) r = R/( + #$) () H σχέση () αποτελεί την εξίσωση της παραβολικής τροχιάς του σώµατος σε πο λικές συντεταγµένες, µε πόλο το κέντρο O της Γης. H σχέση () εφαρµοζόµενη την στιγµή που η επιβατική O του σώµατος σχηµατίζει γωνία π/ µε την αρχική επιβατική του ακτίνα OA δίνει: r = R/[ + #$( / )] = R (3) όπου r Γ η απόσταση του σώµατος από το κέντρο της Γης εκείνη την στιγµή. Eξάλλου, κατά την κίνηση του σώµατος από την θέση A στην θέση Γ η µηχανι κή του ενέργεια στο σύστηµα αναφοράς της Γης διατηρείται σταθερή, δηλαδή ισχύει: mv - GM m R = mv - GM m (3) R v - GM R =v - GM R g R - g R = v - g R v = g R v = g R (4) ii) Στο σηµείο εκτόξευσης A του σώµατος το βάρος του m g είναι κάθετο στην ταχύτητά του v, οπότε αποτελεί για το σώµα στην θέση αυτή κεντροµόλο δύ ναµη, δηλαδή ισχύει: mg = mv /R R = v / g (5) όπου R A η ακτίνα καµπυλότητας της παραβολικής τροχιάς του σώµατος στο ση µείο A. Eπειδή v =g R η σχέση (5) γράφεται:

R = g R/ g = R P.M. fysikos Ένα υλικό σηµείο µάζας m δέχεται την επίδραση κεντρικής δύναµης F (r) της µορφής: F (r)=- µm r + 3 $ # r r όπου µ, α θετικές σταθερές ποσότητες r η επιβατική ακτίνα του υλικού σηµείου ως προς το κέντρο Ο, από το οποίο εκπορεύεται η δύναµη και r το µοναδιαίο διάνυσµα της r. Εκτοξευόµενο το υλικό σηµείο µε κατάλληλο τρόπο, τίθεται υπό την επίδραση της F (r) σε οµα λή κυκλική κίνηση, µε κέντρο το Ο και ακτίνα α. i) Εάν δεχθούµε κατά σύµβαση µηδενική την µηχανική ενέργεια του υλικού σηµείου να βρεθεί η συνάρτηση U(r) δυναµικής ενέργειας αυτού. ii) Κάποια στιγµή το υλικό σηµείο δέχεται ώθηση οµόρροπη της ταχύτητάς του µε µέτρο = m 3µ. Να βρεθεί η µέγιστη απόσταση του υλικού σηµείου από το κέντρο Ο. ΛΥΣΗ: i) Όταν το υλικό σηµείο κινείται επί κυκλικής τροχιάς κέντρου Ο και ακτίνας α, µε σταθερή κατά µέτρο ταχύτητα, η κεντρική δύναµη F (r) αποτελεί για το υλικό σηµείο κεντροµόλο δύναµη, δηλαδή ισχύει η σχέση: F (r) = mv µ m + 3 $ # = mv 3µ = v v = 3µ () όπου v το σταθερό µέτρο της ταχύτητάς του. Η κινητική ενέργεια Κ του υλι κού σηµείου είναι: K = mv () K = 3mµ () Η δυναµική ενέργεια U του υλικού σηµείου η οφειλόµενη στην κεντρική δύνα µη F (r) προκύπτει από την σχέση: du = -Fdr = µm r + 3 $ # r dr

U = µm r + 3 ( $ # r dr = µm r - 3 $ # r + C (3) όπου C σταθερά ολοκλήρωσης. Όµως για r=α έχουµε δεχθεί ότι: (),(3) U + K = 3mµ + µm - 3 $ # + C = 3mµ - 3mµ + C = C = Άρα η ζητούµενη συνάρτηση δυναµικής ενέργειας του υλικού σηµείου έχει την µορφή: U(r) = µm r - 3 $ # r (4) Σχήµα 6 ii) Αµέσως µετά την ώθηση που θα δεχθεί το σωµατίδιο η ορµή του θα µεταβ ληθεί και σύµφωνα µε το θεώρηµα ώθησης-ορµής θα ισχύει: m v = m v + m v = m v + m v = m v διότι v και = m 3µ = mv Παρατηρούµε ότι αµέσως µετά την δράση της ώθησης η ταχύτητα του σωµατιδί ου θα διπλασιαστεί µε αποτέλεσµα να µεταβληθεί η τροχιά του παραµένοντας όµως επίπεδη. Στην διάρκεια της νέας του κίνησης η σχέση (4) θα ισχύει αφού διατηρείται ο χαρακτήρας της δύναµης F (r) η δε νέα µηχανική ενέργεια του υλικού σηµείου θα παραµείνει σταθερή, αλλά θα είναι διάφορη του µηδενός. Έτσι θα έχουµε την σχέση:

K # +U # =K+U m(v ) - 3mµ +mv # r 3 +µm - $ r ( = mv r 4v - 3µ = v r + v + µ r - 3 () # $ r ( # µ - 3µ = v r + v + µ r - 3 $ r ( (5) όπου v r, v η ακτινική και η εγκάρσια συνιστώσα αντιστοίχως της ταχύτητας v του υλικού σηµείου. Όµως η στροφορµή του υλικού σηµείου δεν µεταβάλ λεται και το µέτρο της είναι: () L = v m mrv = m 3µ v = 3µ /r v = µ 4 /r οπότε η (5) γράφεται: 9µ = v r + µ 4 /r + µr - 4µ 3 /r v r = -µ 4 /r - µr + 4µ 3 /r + 9µ v r = -µ 4 - µr 4 + 4µ 3 r + 9µ r v r = µ(-r 4 + 9 r + 4 3 r - 4 ) (6) Όταν το υλικό σηµείο βρεθεί στην µέγιστη απόσταση r max από το κέντρο Ο θα ισχύει v r =, οπότε η (6) δίνει: 4 r max - 9 r max - 4 3 r max + 4 = (7) Η (7) δέχεται ως ρίζες την r max =α και r max =3α, οπότε το πρώτο µέλος της γράφε ται: (r max - )(r max - 3)(Ar max + Br max + ) = (8) όπου τα Α, Β, Γ θα προκύψουν µε την µέθοδο των προσδιοριστέων συντελε στών. Τελικώς θα έχουµε: (r max - )(r max - 3)(r max + ) = r max = και r max = 3 Προφανώς δεκτή είναι η τιµή r max =3α. P.M. fysikos

Ένα διαστηµόπλοιο µάζας m εκτοξεύεται από την επιφάνεια της Γης µε ταχύτητα v και υπό γωνία βολής φ ως προς το έδαφος. Tο διαστηµόπλοιο διαγράφοντας ελλειπτική τροχιά φθάνει κάποια στιγµή στο ανώτατο σηµείο της A και τότε ενεργοποιείται το σύστηµα προώθησής του, µε αποτέλεσµα αυτό να δορυφόροποιείται σε µικρό χρόνο επί κυκλικής τροχιάς περί την Γη ακτίνας R Γ, όπου R Γ η ακτίνα της Γης. i) Nα δείξετε την σχέση: #$ = 4 - ( v /v ) όπου v η ταχύτητα διαφυγής του διαστηµοπλοίου από το πεδίο βαρύ τητας της Γης. ii) Ποια είναι η µεγαλύτερη τιµή που µπορεί να λάβει το µέτρο της τα χύτητας v και πόση είναι στην περίπτωση αυτή η ώθηση της δύνα µης που θα δορυφοροποιήσει το διαστηµόπλοιο; ΛYΣH: i) Eφαρµόζοντας για το διαστηµόπλοιο το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας για τις θέσεις O και A της ελλειπτικής τροχιάς που διαγ ράφει πριν την δορυφοροποίηση του, παίρνουµε την σχέση: mv - GM m = mv R - GM m R v = v + GM () R όπου M Γ η µάζα της Γης, v η ταχύτητα του διαστηµοπλοίου στην θέση A και G η παγκόσµια σταθερά της βαρύτητας. Eξάλλου, σύµφωνα µε την αρχή διατή ρησης της στροφορµής, έχουµε για τα σηµεία O και A την σχέση: Σχήµα 7 mv R Γ συνφ = mv A R Γ v = v #$/ () Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και () παίρνουµε:

v = v # $ 4 + GM R v - # $ ( * = GM + (3) 4 ) R + Όµως το µέτρο της ταχύτητας διαφυγής ενός σώµατος από το βαρυτικό πεδίο της Γης δίνεται από την σχέση: v = GM /R v = GM /R οπότε η σχέση (3) γράφεται: v - # $ ( 4 ) * = v + 4 - # $ = v v # $ = 4 - v / v #$ = 4 - ( v / v ) (4) ii) H γωνία βολής φ του διαστηµοπλοίου δεσµεύεται µε την σχέση: συνφ # $ (4) 4 - ( v / v ) ( v / v ) 3 v / v 3 v v /3 v max = /3v (5) Σύµφωνα µε το πρόβληµα το σώµα όταν φθάσει στο ανώτατο σηµείο A της ελ λειπτικής τροχιάς του γίνεται δορυφόρος της Γης σε κυκλική τροχιά ακτίνας R Γ, που σηµαίνει ότι η ταχύτητα v που αποκτά αµέσως µετά την δορυφορο ποίησή του είναι οµόρροπη της v και το µέτρο της είναι: v = GM /R = v # / (6) H ώθηση της δύναµης που δέχεται το διαστηµόπλοιο από τον µηχανισµό που το δορυφοροποιεί υπολογίζεται µε βάση το θεώρηµα ώθησης-ορµής, οπότε θα έχου µε την σχέση: m v =m v + = m( v - v ) = m(v - v ) (7) Όµως για την περίπτωση που εξετάζουµε η σχέση () γράφεται: v max = v + GM (5) R v 3 = v + GM # R # v 3 = v + v v = v 6 v = v 6 (8) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (6), (7) και (8) παίρνουµε:

# = m v - v # ( = mv $ 6 - ( $ 6 P.M. fysikos Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον χώρο, το δε δι άνυσµα θέσεώς του r ως προς την αρχή Ο συστήµατος συντεταγµένων Οxyz, περιγράφεται σε συνάρτηση µε τον χρόνo t από την σχέση: r = #$t i + µt j + bt k όπου α, ω, b θετικές και σταθερές ποσότητες και i, j, k τα µοναδι αία διανύσµατα των αξόνων x, y, z αντιστοίχως. i) Αφού σχεδιάσετε κατά προσέγγιση την τροχιά του υλικού σηµείου, να δείξετε ότι η συνισταµένη δύναµη που δέχεται είναι συντηρητική. ii) Να βρείτε την συνάρτηση δυναµικής ενέργειας από την οποία απορρέει η δύναµη. ΛΥΣΗ: i) Από την συνάρτηση που περιγράφει το διάνυσµα θέσεως r του υλικού σηµείου προκύπτει ότι οι συντεταγµένες του x, y, z µεταβάλλονται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε τις σχέσεις: x = ασυνωt, y = αηµωt, z = bt Παρατηρούµε ότι η προβολή του υλικού σηµείου στο επίπεδο Οxy διαγράφει Σχήµα 8 περιφέρεια, κέντρου Ο και ακτίνας α, που σηµαίνει ότι η τροχιά του είναι µια έλικα, της οποίας το βήµα αυξάνεται αφού ο ρυθµός µεταβολής της z- συντε ταγµένης είναι ανάλογος του χρόνου. (σχ. 8). Εάν F είναι η συνισταµένη δύνα

µη που εξασφαλίζει την κίνηση του υλικού σηµείου, τότε σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα θα ισχύει η σχέση: F = m d x i + d d z $ j + k # dt dt dt F = m d (#$t) i + d (µt) d (bt ) * ) j + k ( dt dt dt, + F = m - #$t i - µt j + b k ( ) = m( - x i - y j + b k ) () O στροβιλισµός της F είναι: F ( ) = i j k # /#x # /#y # /#z -$ x -$ y b = i - j + k = δήλαδή η δύναµη F είναι συντηρητική, που σηµαίνει ότι η δύναµη απορρέει από συνάρτηση δυναµικής ενέργειας U(x,ψ,z). ii) Για την συνάρτηση U(x,y,z) ισχύουν οι σχέσεις: F x F y F z = -U /x = -U /y = -U /z $ # $ - m x = -U /x - m y = -U /y b = -U /z # $ () Από την πρώτη εκ των () έχουµε: () U x = m x U = m x + f (y,z) (3) όπου f (y,z) συνάρτηση των µεταβλητών y, z, η οποία πρέπει να προσδιοριστεί. Από την (3) προκύπτει: U y = f (y,z) y () m y = f (y,z) y f (y,z) = m y + f (z) (4) όπου f (z) συνάρτηση µόνο της µεταβλητής z. Από την (4) προκύπτει: U z = f (z) z () - b = df (z) dz f (z) = -bz + C (5) όπου C σταθερά ολοκλήρωσης. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3), (4) και (5) παιρ νουµε:

U = m x + m x - bz + C U = m ( x + y ) - bz + C P.M. fysikos Μικρό δακτυλίδι µάζας m, µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή κατα µήκος σταθερού κατακόρυφου κυκλικού οδηγου ακτίνας R. Κατά την κίνησή του το δακτυλίδι έλκεται από το άκρο Ο µιας οριζόντιας διαµέτρου του οδηγού µε δύναµη F, της οποίας το µέτρο είναι της µορφής F=mf(x), όπου f(x) µια συνάρτηση της απο στάσεως x του δακτυλιδιού από το ελκτικό κέντρο Ο. Την στιγµή t= το δακτυλίδι βρίσκεται στο σηµείο Δ, αντιδιαµετρικό του Ο έχοντας ταχύτητα v. Να προσδιορισθεί η συνάρτηση f(x), ώστε κατά την κίνη ση του δακτυλιδιού το µέτρο της αντίδρασης του κυκλικού οδηγού να διατηρεί σταθερή τιµή ίση µε Ν. Να αµελήσετε το πεδίο βαρύτητας της Γης. ΛΥΣΗ: Εξετάζοντας τον δακτύλιο σε µια τυχαία θέση Δ, όπου η επιβατική του ακτίνα ως προς το ελκτικό κέντρο Ο σχηµατίζει γωνία φ µε την διάµετρο ΟΔ, παρατηρούµε ότι ο δακτύλιος δέχεται την αντίδραση N του οδηγού που έχει ακτινική διεύθυνση λόγω έλλειψης τριβής αναµεσα στο δακτυλίδι και τον οδη γό και την ελκτική δύναµη F, που αναλύεται στην εφαπτοµενική συνιστώσα F e και στην ακτινική συνιστώσα F r. Η συνισταµένη των ακτινικών δυνάµεων Σχήµα 9 αποτελεί για το δακτυλίδι κεντροµόλο δύναµη, που σηµαίνει ότι µπορούµε να γράψουµε την σχέση: F r - N = mv /R F#$ - N = mv /R mf(x)#$ - N = mv /R f(x)#$ - N/ m = R ()

όπου v η γραµµική ταχύτητα και η γωνιακή ταχύτητα του δακτυλιδιού την στιγµή που το εξετάζουµε. Όµως για το µέτρο της ισχύει ω=dθ/dt=dφ/dt, οπότε η () γράφεται: 4 d $ # dt R = f(x)()* - N m Eξάλλου η συνιστώσα F e αποτελεί για το δακτυλίδι επιτρόχια δύναµη, δηλαδή ισχύει η σχέση: () m dv $ # dt = F e m dv $ # = Fµ( = mf(x)µ( dt dv dt = f(x)µ R d dt = f(x)µ# R d dt d $ = f(x)(µ d # dt dt = f(x)µ R (3) Παραγωγίζοντας την () ως προς τον χρόνο παίρνουµε την σχέση: 8R d $ # dt d dt = df(x) d ()* -f(x)+µ dt dt 8R d $ # dt d dt df(x) dx d = ()* -f(x)+µ dx dt dt (3) 8R d dt f(x)µ R df(x) dx d = #$ -f(x)µ dx dt dt 4 d df(x) dx d f(x)µ = #$ -f(x)µ dt dx dt dt (4) Όµως από το ισοσκελές τρίγωνο ΟΚΔ προκύπτει: x = R#$ dx dt οπότε η (4) γράφεται: = -Rµ d dt 4 d df(x) d f(x)µ = -R#$µ dt dx dt 4f(x) = -R#$ df(x) dx -f(x)µ d dt df(x) -f(x) 5f(x) = -x dx

df(x) dx = - 5f(x) x (5) Oλοκληρώνοντας την (5) παίρνουµε την σχέση: lnf(x) = - 5 ln x + lnc f(x) = C/x 5 (6) όπου C σταθερά ολοκλήρωσης, που θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι για t= είναι v=v, µε αποτέλεσµα στην θέση Δ του δακτυλιδιού να µπορούµε να γράψουµε την σχέση: mc (R) - N = mv 5 R C (R) = v 5 R + N m v C = 3R 5 R + N $ # m οπότε η (6) γράφεται: f(x) = v R + N $ # m 3R 5 x 5 P.M. fysikos Μικρό δακτυλίδι µάζας m, µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή κατα µήκος σταθερού κατακόρυφου κυκλικού οδηγου ακτίνας R. Κατά την κίνησή του το δακτυλίδι απωθείται από το κατώ τατο σηµείο Ο του οδηγού µε δύναµη F, της οποίας το µέτρο είναι της µορφής: F = mgr /r όπου r η απόσταση του δακτυλιδιού από το απωστικό κέντρο Ο και g η επιτάχυνση της βαρύτητας. i) Να δείξετε ότι η συνισταµένη της βαρυτικής και της απωστικής δύναµης που δέχεται το δακτυλίδι απορρέει από συνάρτηση δυναµι κής ενέργειας, την οποία και να προσδιορίσετε. ii) Nα βρείτε τις θέσεις ισορροπίας του δακτυλιδιού και να καθορίσε τε το είδος της ισορροπίας του. iii) Την στιγµή t= το δακτυλίδι βρίσκεται στο σηµείο Δ, του οποίου η επιβατική ακτίνα σχηµατίζει γωνία π/ µε την κατακόρυφη διεύ θυνση και έχει ταχύτητα v. Να προσδιορισθεί η v ώστε το δακτυλί δι να φθάσει οριακά στο ανώτατο σηµείο Α του κυκλικού οδηγού.

ΛΥΣΗ: i) Εξετάζοντας το δακτυλίδι σε µια τυχαία θέση Δ διαπιστώνουµε ότι η βαρυτική του δυναµική ενέργεια U ως προς το οριζόντιο επίπεδο που διέρχε ται από το κέντρο Ο του κυκλικού οδηγού είναι: U = -mg(om) = -mgr#$ () όπου φ η γωνία που σχηµατίζει η επιβατική ακτίνα του δακτυλιδιού µε την κατακόρυφη διεύθυνση ΚΟ. Eξάλλου η δύναµη F είναι κεντρική µε κέντρο το κατώτατο σηµείο Ο του οδηγού και ως εκ τούτου είναι συντηρητική δύναµη, Σχήµα που σηµαίνει ότι απορρέει από συνάρτηση δυναµικής ενέργειας U, για την οποία ισχύει η σχέση: F = - du dr mgr = - du r dr du = - mgr dr r () Oλοκληρώνοντας την () παίρνουµε: U = mgr r + C (3) όπου C σταθερά ολοκλήρωσης. Όµως από το ισοσκελές τρίγωνο ΟΚΔ (σχ. ) προκύπτει η σχέση r/=rηµ(φ/), οπότε η (3) γράφεται: U = mgr Rµ ( /) + C = mgr µ ( /) + C (4) H δυναµική ένεργεια U του δακτυλιδιού, η οφειλόµενη στις συντηρητικές δυ νάµεις m g και F είναι: (),(4) U = U + U U = -mgr#$ + mgr µ ($ /) + C (5) ii) Aν υπάρχουν θέσεις ισορροπίας του δακτυλιδιού αυτές θα προκύπτουν από τον µηδενισµό της παραγώγου της συνάρτησης U( φ), δηλαδή από την σχέση:

du d = (5) mgrµ - mgr 4 #$( / ) µ ( /) = µ( / )#$( / ) = #$( / ) 4µ ( /) #($ / ) [ µ 3 ($ /) - /8] = (6) Η σχέση (6) ικανοποιείται για φ=π και φ=π/3 που σηµαίνει ότι το δακτυλίδι ισορροπεί σε δύο οι θέσεις του κυκλικού οδηγού. Για να προσδιορίσουµε το είδος της ισορροπίας θεωρούµε την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης U=U(φ) ως προς φ, οπότε θα έχουµε: d U mgr µ 3 ( /) + µ ( /)#$ ( / ) ) = mgr#$ + ( d 8 µ 4 + (7) ( /) * Για φ=π η (7) δίνει d U/dφ < που σηµαίνει ότι στην θέση αυτή το δακτυλίδι ισορροπεί ασταθώς. Για φ=π/6 η (7) δίνει d U/dφ > που σηµαίνει ότι η θέση αυτή είναι θέση ευσταθούς ισορροπίας του δακτυλιδιού. iii) Κατά την κίνηση του δακτυλιδιού η µηχανική του ενέργεια διατηρείται, αφού οι δυνάµεις m g και F είναι συντηρητικές, ένω η αντίδραση του οδηγού δεν παράγει έργο ως κάθετη στην µετατόπισή του. Αυτό µας επιτρέπει για τις θέσεις Δ και Α του δακτυλιδιού να γράψουµε την σχέση: + U = mv A + U mv A - mgr# $ ( mgr * + ) +µ ($ /8) + C= mv = mv A - mgr#$ + mgr µ($ /) + C mv + mgr µ( /8) = mv A + mgr + mgr όπου v A η ταχύτητα του δακτυλιδιού στην ανώτατη θέση Α του οδηγού. Για να φθάσει το δακτυλίδι οριακά στην θέση Α πρέπει να ισχύει v A = και στην περί πτωση αυτή η (8) γράφεται: (8) mv + mgr µ( /8) + 3mgR # v = gr 3 - $ µ( /8) ( # v = gr 3 - $ µ ( /8) ( P.M. fysikos

Ένα σφαιρίδιο βάλλεται εκ του εδάφους υπό γω νία φ (φ<π/) ως προς αυτό, µε ταχύτητα v. Εάν το σφαιρίδιο δέχε ται από τον ατµοσφαιρικό αέρα αντίσταση A της µορφής A =- v, όπου λ θετικός και σταθερός συντελεστής και v η ταχύτητά του, να βρείτε επί πόσο χρόνο το σφαιρίδιο θα ανέρχεται. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Θεωρούµε το επίπεδο των διανυσµάτων v και g ως επίπεδο των αξό νων Οx, Οy ένος τρισοθογώνιου συστήµατος Οxyz, όπου Ο το σηµείο του εδά φους από το οποίο εκτοξεύεται το σφαιρίδιο. Εφαρµόζοντας για το σφαιρίδιο τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά την διεύθυνση του άξονα Οz, παίρνουµε την σχέση: m dv z dt = v z = Ct () όπου v z η συνιστώσα της ταχύτητας v του σφαιριδίου κατά τον άξονα Οz την στιγµή που το εξετάζουµε. Η σταθερή τιµή της v z θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι για t= είναι v z =, οπότε θα έχουµε v z =, δηλαδή η κίνηση του σφαιριδίου είναι επίπεδη και µάλιστα πραγµατοποιείται στο κατακόρυφο επίπεδο Οxy που καθορίζουν τα διανύσµατα v και g. Εξάλλου εφαρµόζοντας Σχήµα για το σφαιρίδιο τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα κατά την διεύθυνση των αξό νων Οx και Οy παίρνουµε τις σχέσεις: m(dv x /dt) = -v x # m(dv y /dt) = -mg - v y $ dv x/dt = -v x /m # dv y /dt = -(g + v y /m) $ όπου v x, v y οι συνιστώσες της v κατά τους άξονες Οx, Οy αντιστοίχως την θεωρούµενη χρονική στιγµή. Από την πρώτη εκ των σχέσεων (3) έχουµε: (3) dv x v x = - dt m ln v x = - m t + lnc x

ln v x C x = - m t v x = C x e-t /m (4) Η σταθερά ολοκλήρωσης C x θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι, για t= είναι v x =v συνφ, οπότε θα έχουµε C x =v συνφ, µε αποτέλεσµα η (5) να παίρνει την µορφή: v x = v #$ e -t /m (5) Από τη δεύτερη εκ των σχέσεων (3) έχουµε: dv y g + v y /m = -dt d(g + v /m) y g + v y /m = - dt m ln g + v y $ # m = - m t + lnc ln g + v /m y y $ = - t # m C y g + v y m = C y e-t /m (6) H σταθερά ολοκλήρωσης C y θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι, για t= είναι v y =v ηµφ, οπότε η (7) δίνει: g + m v µ# = C y Έτσι η (6) γράφεται: g + v y m = $ g + m v µ# ) e -t /m ( v y m = $ g + m v µ# ) e -t /m - g ( v y = m $ g + m v µ# ) e -t /m - mg ( (7) Το σφαιρίδιο παύει να ανέρχεται την χρονική στιγµή t κατά την οποία ισχύει v y =, δηλαδή την στιγµή αυτή θα ισχύει: = m $ g + m v µ# ) e -t /m - mg ( ge t /m = g + m v µ# t = m ln $ + v µ# ) mg ( P.M. fysikos

Το ένα άκρο Ο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k και φυσικού µήκους L είναι ακλόνητο, ενώ στο άλλο του άκρο έχει στερε ωθεί σφαιρίδιο µάζας m. Το σφαιρίδιο φέρει οπή µέσω της οποίας µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή κατά µήκος λεπτής οριζόντιας ράβδου µεγάλου µήκους, που είναι στερεωµένη, όπως φαίνεται στο σχήµα (). Αρχικά το σύστηµα ισορροπεί µε το ελατήριο να έχει το φυσικό του µήκος και να είναι κατακόρυφο. Δίνουµε στο σφαιρίδιο αρχική ταχύτητα, ώστε το ελατήριο να αποκτήσει µέγιστο µήκος ίσο µε L. i) Nα βρεθεί η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση του σφαιριδίου. ii) Nα δώσετε µια έκφραση του χρόνου που απαιτείται για να ανασ τραφεί η κίνηση του σφαιριδίου. ΛΥΣΗ: i) Το σφαιρίδιο κινούµενο κατά µήκος της ράβδου δέχεται το βάρος του m g, την αντίδραση N της ράβδου της οποίας ο φορέας είναι κατακόρυφος και τέλος την δύναµη F από το τεντωµένο ελατήριο που µόνο η οριζόντια συνι στώσα της F x επηρεάζει την κίνηση του σφαιριδίου. Εφαρµόζοντας για το σφαι ρίδιο τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση: m d x dt = -F x = - Fµ m d x dt x = - k(am - L) AM () όπου ΑΜ το µήκος του ελατηρίου και x η αλγεβρική τιµή του διανύσµατος θέ σεως του σφαιριδίου ως προς την αρχική του θέση Ο, την χρονική στιγµή t που το εξετάζουµε. Όµως για την απόσταση ΑΜ ισχύει AM= L + x οπότε η σχέση () παίρνει την µορφή: m d x dt = - k ( L + x - L) Σχήµα x L + x d x dt = - k m - L # L + x $ x d x dt + k m - L $ # L + x x = ()

H () αποτελεί µια µη γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως, η οποία δεν λύεται µε αναλυτικό τρόπο αλλά µόνο γραφικά µε χρήση υπολογιστή που διαθέτει κατάλληλο µαθηµατικό πρόγραµµα. ii) Eφαρµόζοντας για το σύστηµα σφαιρίδιο-ελατήριο το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας µεταξύ της αρχικής του θέσεως, όπου η ταχύτητα του σφαιριδίου είναι v και το ελατήριο βρίσκεται στο φυσικό του µήκος και της θέ σεώς του την χρονική στιγµή t που η ταχύτητα του σφαιριδίου είναι v, παίρ νουµε την σχέση: mv + = mv + k(am - L) v = v + k ( m AM - L ) (3) Όµως την χρονική στιγµή t * που αναστρέφεται η κίνηση του σφαιριδίου ισχύει v= και ΑΜ=L, όποτε η (3) δίνει: v = + k ( m L - L ) v = kl m (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) έχουµε: kl ( ) kl m = v + k m L +x - L ( ) m = v + k m L + x - L L + x v = - kl m + k m ( L L + x - x ) v = k m ( L L +x - (x + L ) dx$ # dt = k m ( L L +x - (x + L ) dx = L L +x - (x + L ) k m dt Oλοκληρώνοντας την παραπάνω σχέση παιρνουµε τον χρόνο t * αναστροφής του σφαιριδίου, µέσω της σχέσεως: t * = m k x * dx L L +x - (x + L ) όπου x * η απόσταση του σφαιριδίου από το Ο την στιγµή της αναστροφής του, η οποία είναι ίση µε L 3. Το ολοκλήρωµα που εµφανίζεται στο δεύτερο µέλος της (5) είναι ένα ελλειπτικό ολοκλήρωµα που δεν υπολογίζεται αναλυτικά. P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος (3) τα σφαιρίδια Α και Β έχουν την ίδια µάζα και είναι στερεωµένα στις άκρες µιας αβα ρούς ράβδου µήκους L. Αρχικά το σύστηµα κρατείται ακίνητο, ώστε

το σφαιρίδιο Α να εφάπτεται σε λείο κατακόρυφο τοίχο, το σφαιρίδιο Β να εφάπτεται σε λείο οριζόντιο έδαφος και η ράβδος να σχηµατίζει γωνία φ µε την οριζόντια διεύθυνση. Κάποια στιγµή, που θεωρείται ως αρχή µέτρησης του χρόνου, το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο. i) Nα βρεθεί η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση του συστήµατος. ii) Nα δείξετε ότι σε κάποια στιγµή το σφαιρίδιο Α χάνει την επαφή του µε τον κατακόρυφο τοίχο. Μπορούµε να προσδιορίσουµε την στιγ µή αυτή; Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Eξετάζουµε το σύστηµα κατά µια στιγµή που η ράβδος σχηµατίζει γωνία φ µε την οριζόντια διεύθυνση. Το σφαιρίδιο Α δέχεται το βάρος του m g την δύναµη επαφής N του λείου κατακόρυφου τοίχου της οποίας ο φορέας είναι οριζόντιος και τέλος την δύναµη επαφής F από την ράβδο. Το σφαιρίδιο Β δέχεται το βάρος του m g την δύναµη επαφής N του λείου οριζόντιου εδά φους της οποίας ο φορέας είναι κατακόρυφος και τέλος την δύναµη F από την ράβδο. Εξετάζοντας την µηχανική κατάσταση της ράβδου προκύπτει ότι οι δυνά Σχήµα 3 µεις F, F έχουν φορέα την ράβδο, αντίθετη φορά και ίδιο µέτρο (σχ. 3), αφού αυτή θεωρήθηκε αβαρής. Το σφαιρίδιο Α έχει κατακόρυφη κίνηση και το Β οριζόντια κίνηση, σύµφωνα δε µε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα θα έχουµε για τα τα σφαιρίδια αυτά τις σχέσεις: m(d x/dt ) = F x m(d y/dt ) = -mg + F x # m(d x/dt ) = F #$ m(d y/dt ) = -mg + F µ$ ( m(d x/dt ) = F#$ () m(d y/dt ) = -mg + Fµ$ ( όπου F το κοινό µέτρο των δυνάµεων F, F. Απαλοίφοντας το F µεταξύ των () παίρνουµε την σχέση:

m d y dt = -mg + m d x dt µ #$ d x dt µ #$ - d y dt = g () Όµως για την x-συντεταγµένη του σφαιριδίου Β και την y-συντεταγµένη του σφαιριδίου Α έχουµε: x= L#$ y= Lµ$ ( dx / dt= -Lµ (d / dt) dy / dt= L#$ (d / dt) ( d x/dt = -L[µ (d / dt ) - #$ (d / dt) ] d y/dt =L[#$ (d / dt ) - µ (d / dt) ] ( (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (3) παίρνουµε:, - µ d d ). + #$ ( + dt dt* -. / µ #$ - #$ d d ) +µ ( + dt dt* = g L d µ dt ( #$ + #$ ) + = - g * L d µ + #$ ) dt ( #$ + = - g * L d + g #$ = (4) dt L Η (4) αποτελεί την ζητούµενη διαφορική εξίσωση, που περιγράφει την κίνηση του συστήµατος. ii) To σφαιρίδιο Α δεν κινείται κατά τον οριζόντιο άξονα Ox και το γεγονός αυτό µας επιτρέπει να γράψουµε την σχέση: (3) N = F x = F #$ N = F#$ = m(d x/dt ), N = -ml µ d d ). + #$ ( + dt dt* -. / (4), N = -ml - g d$ ). #$ µ$ + #$ ( + L dt* -. / (5) Eφαρµόζοντας εξάλλου για το σύστηµα το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας µεταξύ της αρχικής του θέσεως και της θέσεως όπου οι ταχύτητες των σφαιριδίων Α και Β είναι v, v αντιστοίχως, παίρνουµε την σχέση: mgy = mv / + mgy + mv / g(y - y) = v + v

gl(µ - µ) = v + v (6) όπου y η αρχική απόσταση του σφαιριδίου Α από το επίπεδο αναφοράς της βαρυτικής δυναµικής ενέργειας και y η απόστασή του κατά την στιγµή που εξε τάζουµε το σύστηµα. Όµως για τα µέτρα των ταχυτήτων v, v έχουµε: v = dx $ # dt = Lµ( d( $ # dt και v = dy $ # dt = L()* d* $ # dt οπότε η σχέση (6) γράφεται: # gl(µ - µ) = Lµ d ( $ dt # + L)*+ d ( $ dt d $ # dt = g L ((µ - (µ) (7) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (7) παίρνουµε: N = -ml - g L #$ µ$ + #$ g L (µ$ ) ( - µ$) + * N = mg#$ [µ$ - (µ$ - µ$)] = mg#$ ( 3µ$ - µ$ ) (8) Από την (8) προκύπτει ότι υπάρχει µια θέση του συστήµατος στην οποία η δύνα µη N µηδενίζεται, που σηµαίνει ότι στην θέση αυτή το σφαιρίδιο Α χάνει την επαφή του µε τον κατακόρυφο τοίχο. Η θέση αυτή καθορίζεται από την τιµή θ * της γωνίας θ για την οποία ισχύει: 3µ * - µ = µ * = µ /3 (9) Για να βρούµε την χρονική στιγµή που το σφαιρίδιο Α χάνει την επαφή του µε τον τοίχο επανερχόµαστε στην σχέση (7), από την οποία έχουµε: d dt = g L (µ L - µ) dt = g d µ - µ ) () Ολοκληρώνοντας την () µε όρια ολοκλήρωσης για την γωνία φ τα και φ * έχουµε για τον χρόνο t * την σχέση: t * = L g * d # () µ - µ ) To ολοκλήρωµα του δεύτερου µέρους της () είναι ένα ελλειπτικό ολοκλήρω µα που δεν υπολογίζεται αναλυτικά, µπορεί όµως να υπολογισθεί αριθµητικά

µε κατάλληλο µαθηµατικό πρόγραµµα σε ηλεκτρονικό υπολογιστή. P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος (4) ο δακτύλιος Δ και το σφαιρίδιο Σ συνδέονται µε αβαρές και µη εκτατό νήµα µήκους L. O δακτύλιος θεωρείται µε αµελητέα µάζα και µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή κατά µήκος µιας λεπτής ράβδου µεγάλου µήκους, η οποία είναι στερεωµένη και σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυν ση γωνία π/4. Το σύστηµα έχει τεθεί σε κίνηση στην διάρκεια της οποίας το νήµα είναι τεντωµένο η δε απόσταση r του δακτύλιου από το άκρο Ο της ράβδου µεταβάλλεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση: r = L( + µt) (α) όπου ω θετική και σταθερή ποσότητα. Nα βρεθεί η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την χρονική µεταβολή της γωνίας φ που σχηµατίζει το νήµα µε την κατακόρυφη διεύθυνση. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Eξετάζουµε το σύστηµα κάποια στιγµή t που η απόσταση του δακτύλι ου από το άκρο Ο είναι r και η γωνία που σχηµατίζει το νήµα µε την κατακό ρυφη διεύθυνση είναι φ. Την στιγµή αυτή το σφαιρίδιο Σ δέχεται το βάρος του w και την τάση T του νήµατος που αναλύεται στην κατακόρυφη συνιστώσα T y και την οριζόντια συνιστώσα T x (σχ. 4). Εφαρµόζοντας για το σφαιρίδιο τον Σχήµα 4 δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά την οριζόντια διεύθυνση (άξονας Οx) και την κατακόρυφη διεύθυνση (άξονας Οy) παίρνουµε τις σχέσεις: m(d x/dt ) = -T x m(d y/dt ) = T y - w # m(d x/dt ) = -Tµ m(d y/dt ) = T#$ - mg ( () όπου x, y οι συντεταγµένες του σφαιριδίου την χρονική στιγµή t. Aπαλοίφον τας το Τ µεταξύ των () έχουµε:

m d y dt = -m d y #$ dt µ$ - mg d y dt + d x #$ dt µ$ = -g () Εξάλλου από το σχήµα (4) για τις συντεταγµένες x και y προκύπτουν οι σχέ σεις: x = Lµ + rµ(# / 4) ( x = Lµ + r / ( (3) y = r$(# / 4) -L$ ) y = r / -L#$ )( Παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο t δύο φορές τις σχέσεις (3) παίρνουµε: dx dt d$ = L#$ dt + dy dt = dr d$ +Lµ$ dt dt dr dt ( ( ( ( ) d x # d = -Lµ ( dt $ dt d y # d = L)*+ ( dt $ dt + L)*+ d dt + + Lµ d dt + d r,. dt. - d r.. dt /. (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (4) παίρνουµε: L#$ d$ ( * dt), # + -Lµ d. ( $ dt -. Lµ d dt + L #$ µ L µ d dt + + L+µ$ d $ dt + d dt + µ + L)*+ d dt + d r dt + d r / dt d dt + + #$ ) ( + µ * (µ + #$) d r dt = -g )*+ µ = -g d r dt = -g (µ + #$ ) d r dt + gµ L = (5) Παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο t δύο φορές την δεδοµένη σχέση (α), παίρ νουµε: dr dt = L#$t d r dt = - Lµt

οπότε η (5) γράφεται: d dt - L (#µ + $ )#µt + g#µ L = (6) Η (6) αποτελεί την διαφορική εξίσωση που περιγράφει την µεταβολή της γω νίας φ µε τον χρόνο κατά την κίνηση του συστήµατος. P.M. fysikos