ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ενότητα #5: Ασαφής Συλλογισμός Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Κανόνες συμπεράσματος (Ταυτολογίες που χρησιμοποιούνται για να παραχθούν επαγωγικά συμπεράσματα) Γενικευμένοι κανόνες συμπεράσματος (Θεμελιώδεις αρχές της ασαφούς λογικής) Συνθετικός κανόνας συμπεράσματος (Τρόπος υπολογισμού της συνάρτησης συμμετοχής του συμπεράσματος που προκύπτει από τους γενικευμένους κανόνες) Εφαρμογή των γενικευμένων κανόνων (GMP και GMT) για έναν κανόνα με ένα αίτιο και max-min σύνθεση Εφαρμογή του γενικευμένου κανόνα GMP για έναν κανόνα με πολλαπλά αίτια και max-min σύνθεση Γραφική αναπαράσταση των κανόνων GMP και GMT 4
Περιεχόμενα ενότητας Κανόνες συμπεράσματος (Ταυτολογίες που χρησιμοποιούνται για να παραχθούν επαγωγικά συμπεράσματα) Γενικευμένοι κανόνες συμπεράσματος (Θεμελιώδεις αρχές της ασαφούς λογικής) Συνθετικός κανόνας συμπεράσματος (Τρόπος υπολογισμού της συνάρτησης συμμετοχής του συμπεράσματος που προκύπτει από τους γενικευμένους κανόνες) Εφαρμογή των γενικευμένων κανόνων (GMP και GMT) για έναν κανόνα με ένα αίτιο και max-min σύνθεση Εφαρμογή του γενικευμένου κανόνα GMP για έναν κανόνα με πολλαπλά αίτια και max-min σύνθεση Γραφική αναπαράσταση των κανόνων GMP και GMT Ασκήσεις 5
Ασαφής λογική και Ασαφής συλλογισμός Η ασαφής λογική μας παρέχει τη μεθοδολογία αφενός για την αναπαράσταση της ανθρώπινης γνώσης με ασαφείς κανόνες και αφετέρου τους γενικευμένους κανόνες συμπεράσματος για ασαφή συλλογισμό (fuzzy reasoning). Ο ασαφής συλλογισμός γνωστός και ως προσεγγιστικός συλλογισμός (approximate reasoning) είναι μια τεχνική που έχει τη δυνατότητα να λαμβάνει αποφάσεις από ελλιπή στοιχεία όπως κάνει ο άνθρωπος. 6
Κανόνες Συμπεράσματος
Κανόνες Συμπεράσματος (1) Η διαδικασία της απόδειξης στην κλασσική λογική βασίζεται κυρίως στις παρακάτω βασικές ταυτολογίες. Κανόνας του Θέτειν (Modus Pones: MP) Ταυτολογία: (p (p q)) q Δεδομένο: Κανόνας: Συμπέρασμα: x είναι Α ΕΑΝ x είναι Α ΤΟΤΕ y είναι Β y είναι Β Για να βγάλει συμπέρασμα ο κανόνας MP θα πρέπει το δεδομένο να ταυτίζεται με την υπόθεση του κανόνα. Εφαρμόζεται σε έμπειρα συστήματα βασισμένα σε κανόνες. 8
Κανόνες Συμπεράσματος (2) Κανόνας του Αναιρείν (Modus Tollens: ΜΤ) Ταυτολογία: (qq (pp qq)) pp Δεδομένο: Κανόνας: Συμπέρασμα: x δεν είναι Β ΕΑΝ x είναι Α ΤΟΤΕ y είναι Β x είναι Α 9
Κανόνες Συμπεράσματος (3) Κανόνας Υποθετικού Συλλογισμού (Hypothetical Syllogism: HS) Ταυτολογία: ((pp qq) (qq rr)) (pp rr) Κανόνας 1: Κανόνας 2: Συμπέρασμα: ΕΑΝ x είναι Α ΤΟΤΕ y είναι Β ΕΑΝ y είναι B ΤΟΤΕ z είναι C ΕΑΝ x είναι Α ΤΟΤΕ z είναι C 10
Γενικευμένοι Κανόνες συμπεράσματος
Γενικευμένοι Κανόνες συμπεράσματος - Γενικά Στην ασαφή λογική οι προτάσεις p, q και r είναι ασαφείς προτάσεις που αναπαρίστανται με ασαφή σύνολα. Η γενίκευση των παραπάνω κανόνων συλλογισμού δημιουργεί κανόνες που μπορούν να λειτουργήσουν σε ασαφές περιβάλλον. Οι γενικευμένοι κανόνες GMP, GMT και GHS αποτελούν τις θεμελιώδεις αρχές της ασαφούς λογικής. 12
Γενικευμένοι Κανόνες συμπεράσματος (1) Γενικευμένος κανόνας του Θέτειν (Generalized Modus Pones: GMP) Δεδομένο: Κανόνας: Συμπέρασμα: x είναι Α ΕΑΝ x είναι Α ΤΟΤΕ y είναι Β y είναι Β 13
Γενικευμένοι Κανόνες συμπεράσματος (2) Γενικευμένος κανόνας του αναιρείν (Generalized Modus Tollens: GMT) Δεδομένο: Κανόνας: Συμπέρασμα: y είναι Β ΕΑΝ x είναι Α ΤΟΤΕ y είναι Β x είναι Α 14
Γενικευμένοι Κανόνες συμπεράσματος (3) Γενικευμένος υποθετικός συλλογισμός (Generalized Hypothetical Syllogism: GHS) Κανόνας 1: Κανόνας 2: Συμπέρασμα: ΕΑΝ x είναι Α ΤΟΤΕ y είναι Β ΕΑΝ y είναι B ΤΟΤΕ z είναι C ΕΑΝ x είναι Α ΤΟΤΕ z είναι C 15
Συνθετικός Κανόνας Συμπεράσματος
Συνθετικός Κανόνας Συμπεράσματος (1) Το ερώτημα που προκύπτει είναι: Πώς καθορίζονται οι συναρτήσεις συμμετοχής των συμπερασμάτων των κανόνων; Η απάντηση στην ερώτηση αυτή είναι: Ο Συνθετικός Κανόνας Συμπεράσματος (Compositional Rule of Interference: CRI) 17
Συνθετικός Κανόνας Συμπεράσματος (Compositional Rule of Interference: CRI) (2) Ο συνθετικός κανόνας συμπεράσματος αποτελεί μια γενίκευση της διαδικασίας που φαίνεται στο Σχήμα 1. Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση y=f(c) μας δίνει τη σχέση ανάμεσα στο x και στο y. Όταν έχουμε ως δεδομένο το x=a τότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το αποτέλεσμα είναι το y=b=f(a). 18
Συνθετικός Κανόνας Συμπεράσματος (Compositional Rule of Interference: CRI) (3) Μια επέκταση της παραπάνω διαδικασίας είναι να υποθέσουμε ότι το a είναι ένα διάστημα και η f(x) μια intervalvalued function όπως φαίνεται στο Σχήμα 2. Έχοντας ως δεδομένο ένα διάστημα a δημιουργούμε με κυλινδρική επέκταση του a ένα κυλινδρικό σύνολο a c και βρίσκουμε την τομή T του κυλινδρικού συνόλου με την καμπύλη της intervalvalued function. Τότε προβάλλοντας την τομή T πάνω στο V λαμβάνουμε το διάστημα b. y V Προβολή b Τομή Τ a y=f(x) Κυλινδρική επέκταση a c x U 19
Συνθετικός Κανόνας Συμπεράσματος (Compositional Rule of Interference: CRI) (4) Γενίκευση: Υποθέτουμε ότι το διάστημα a είναι ένα ασαφές σύνολο Α και η interval-valued function είναι μια ασαφής σχέση R στο Καρτεσιανό χώρο U V, όπως φαίνεται γραφικά στο Σχήμα 3. Εφαρμόζουμε κυλινδρική επέκταση στο ασαφές σύνολο Α προκύπτει το κυλινδρικό σύνολο Α c και λαμβάνοντας την τομή με την ασαφή σχέση R παίρνουμε το ασαφές σύνολο Α cc RR. Η προβολή του Α cc RR πάνω στον άξονα y μας δίνει το ασαφές σύνολο Β. y V Προβολή B GMT A R c A GMP Κυλινδρική επέκταση A Ασαφής σχέση R c x U 20
Παρατηρήσεις (1) Λόγω της κυλινδρικής επέκτασης έχουμε μμ AAAcc xx, yy = μμ ΑΑΑ (xx) Η ασαφής σχέση R έχει προκύψει εφαρμόζοντας έναν από τους έξι κανόνες συνεπαγωγής (DR, L, G, Z, MM, MP). Η συνάρτηση συμμετοχής της τομής του συνόλου της κυλινδρικής επέκτασης και της ασαφούς σχέσης δίνεται από τη σχέση: μμ ΑΑ cc RR(xx, yy) = tt_cccccccccccc[μμ ΑΑ (xx), μμ RR (xx, yy)] 21
Παρατηρήσεις (2) Η προβολή του συνόλου ΑΑΑ cc RR πάνω στο U και yy VV είναι ένα ασαφές σύνολο B με συνάρτηση συμμετοχής: ή μμ ΒΒ (yy) = sup{tt nnnnnnnn[μμ ΑΑ (xx), μμ RR (xx, yy)]} xx UU μμ ΒΒ (yy) = prrrrrrrrrrrrrrrrrr{tt nnnnnnnn[μμ ΑΑ (xx), μμ RR (xx, yy)]} yy VV ή sup-star σύνθεση όπου «*» είναι ο τελεστής t-norm μμ ΒΒ (yy) = sup{μμ ΑΑ (xx) μμ RR (xx, yy)} xx UU η τελευταία σχέση αποτελεί τη βασική σχέση του συνθετικού κανόνα συμπεράσματος. 22
Τύποι των γενικευμένων κανόνων συμπεράσματος Οι εκφράσεις στων κανόνων (Γενικευμένος κανόνας του Θέτειν (GMP), Γενικευμένος κανόνας του αναιρείν (GMT) και Γενικευμένος υποθετικός συλλογισμός (GHS)) που υπολογίζουν τη συνάρτηση συμμετοχής του συμπεράσματος ενός κανόνα είναι οι παρακάτω: GMP: GMT: GHS: μμ ΒΒ (yy) = sup{tt nnnnnnnn[μμ ΑΑ (xx), μμ AA BB (xx, yy)]} xx UU μμ AA (yy) = sup{tt nnnnnnnn[μμ BB (yy), μμ AA BB (xx, yy)]} yy VV μμ AA CC (xx, zz) = sup{tt nnnnnnnn[μμ AA BB (xx, yy), μμ BB CC (yy, zz)]} yy VV 23
Εφαρμογή των κανόνων GMP και GMT για έναν κανόνα με ένα αίτιο και max-min σύνθεση
Εφαρμογή των κανόνων GMP και GMT για έναν κανόνα με ένα αίτιο και max-min σύνθεση (1) Ας θεωρήσουμε έναν κανόνα με ένα αίτιο και ένα συμπέρασμα. Οι μορφές των GMPκαι GMT που ακολουθούν χρησιμοποιούν Mamdani-min συνεπαγωγή και το κλασικό max-min συνθετικό κανόνα εξαιτίας της ευρείας εφαρμοσιμότητας και της εύκολης γραφικής αναπαράστασης. GMP: μμ ΒΒ (yy) = sup xx UU {tt nnnnnnnn[μμ ΑΑ (xx), μμ AA BB (xx, yy)]} = xx [μμ ΑΑ (xx) μμ AA BB (xx, yy)] = xx [μμ ΑΑ (xx) (μμ ΑΑ (xx) μμ BB (yy))] = xx [(μμ ΑΑ (xx) (μμ ΑΑ (xx)) μμ BB (yy)] = [ (μμ xx ΑΑ (xx) μμ ΑΑ (xx))] μμ BB (yy) = [ ( μμ xx ΑΑ (xx) μμ ΑΑ (xx))] μμ BB (yy) ww = ww μμ BB (yy) 25
Εφαρμογή των κανόνων GMP και GMT για έναν κανόνα με ένα αίτιο και max-min σύνθεση (2) GMT: μμ ΑΑ (xx) = sup yy VV {tt nnnnnnnn[μμ BB (xx), μμ AA BB (xx, yy)]} = yy [μμ BB (yy) μμ AA BB (xx, yy)] = yy [μμ BB (yy) (μμ ΑΑ (xx) μμ BB (yy))] = yy [(μμ BB (yy) (μμ BB (yy)) μμ AA (xx)] = [ (μμ xx BB (yy) μμ BB (yy))] μμ ΑΑ (xx) = [ (μμ xx BB (yy) μμ BB (yy) ] μμ AA (xx) ww = ww μμ AA (xx) 26
Παράδειγμα Έστω U={x 1, x 2, x 3 } και V={y 1, y 2, y 3, y 4 } τα υπερσύνολα αναφοράς. Δίνεται ο ασαφής κανόνας «Εάν x είναι Α Τότε y είναι B». Δίνονται τα σύνολα Α={0.1/x 1 +1.0/x 2 +0.9/X 3 } και Β={0.2/y 1 +0.6/y 2 +0.8/y 3 +1/y 4 }. 1. Έστω το γεγονός Α = {0.3/x1+0.6/x2+0.7/x3}. Να υπολογιστεί το ασαφές σύνολο Β χρησιμοποιώντας τον κανόνα GMP, ως t-norm τον τελεστή min και για ασαφή συνεπαγωγή την Mamdani-min. 2. Έστω το γεγονός Β ={0.1/y 1 +0.8/y 2 +0.6/y 3 +0.5/y 4 }. Να υπολογιστεί το ασαφές σύνολο Α χρησιμοποιώντας τον κανόνα GMT,ως t-norm τον τελεστή min και για ασαφή συνεπαγωγή την Mamdani-min. 27
Λύση (1) Α = {0.1/x 1 +1.0/x 2 +0.9/x 3 }, Β = {0.2/y 1 +0.6/y 2 +0.8/y 3 +1/y 4 } Η ασαφής σχέση RR: AA BB των δύο συνόλων φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα. Η ασαφής σχέση σε μορφή πίνακα: yy 0.1 0.1 0.1 RR = xx 0.2 0.6 0.8 0.2 0.6 0.8 0.1 1.0 0.9 28
Λύση (2) yy 0.1 0.1 0.1 RR = xx 0.2 0.6 0.8 0.2 0.6 0.8 Έστω Α ={0.3/x1+0.6/x2+0.7/x3}.Ο υπολογισμός του Β με το συνθετικό κανόνα συμπεράσματος υπολογίζεται με δύο τρόπους. 1 ος τρόπος υπολογισμού: 0.1 1.0 0.9 ΒΒΒ = ΑΑΑ RR={0.2/y 1 +0.6/y 2 +0.7/y 3 +0.7/y 4 } 29
Λύση (3) 2 ος τρόπος υπολογισμού: RR = A C = AA 0.3 0.3 0.3 CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC eeeeeeeeeeeeeeeeee = 0.6 0.6 0.6 0.7 0.7 0.7 0.3 0.3 0.3 A C RR IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII = 0.6 0.6 0.6 0.7 0.7 0.7 0.1 0.1 0.1 0.1 = 0.2 0.6 0.6 0.6 0.2 0.6 0.7 0.7 0.3 0.6 0.7 0.3 0.1 0.1 0.1 0.6 0.2 0.6 0.8 0.7 0.2 0.6 0.8 0.1 1.0 0.9 ΒΒ = RR PPPPPPPPPPPPPPPPPPPP yy = 0.2 yy 1 0.6 yy 2 0.7 yy 3 0.7 yy 4 30
Λύση (4) RR = ΒΒ C RR IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII 0.1 0.8 0.6 = 0.1 0.8 0.6 0.1 0.8 0.6 0.1 0.1 0.1 = 0.2 0.6 0.6 0.2 0.6 0.6 0.5 0.1 0.1 0.1 0.5 0.2 0.6 0.8 0.5 0.2 0.6 0.8 0.1 0.6 0.5 0.1 1.0 0.9 A C IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII = RR = 0.1 xx 1 + 0.6 xx 2 + 0.6 xx 3 31
GMP (1) μμ ΒΒ (yy) = sup{tt nnnnnnnn[μμ ΑΑ (xx), μμ AA BB (xx, yy)]} xx UU = [μμ χχ ΑΑ (xx) μμ AA BB (xx, yy)] = χχ μμ ΑΑ (xx) μμ AA (xx) μμ BB (yy) = xx [(μμ ΑΑ (xx) (μμ ΑΑ (xx)) μμ BB (yy)] = [ χχ (μμ ΑΑ (xx) μμ AA (xx)) ] μμ BB (yy) = [ xx (μμ ΑΑ (xx) (μμ ΑΑ (xx))] ww =ww μμ BB (yy) μμ BB (yy) 32
GMP (2) 1 µ ( x A ) 0.9 ( ) 0.7 w=0.7 0.7 0.7 0.6 0.3 0.6 µ B y 0.8 1 0.7 0.7 0.1 0.2 x 1 x 2 x 3 x y 1 y 2 y 3 y 4 y A ={0.3/x1+0.6/x2+0.7/x3} Β ={0.2/y1+0.6/y2+0.7/y3+0.7/y4} 33
GMT (1) μμ ΑΑ (xx) = sup{tt nnnnnnnn[μμ BB (xx), μμ AA BB (xx, yy)]} yy VV = [μμ yy BB (yy) μμ AA BB (xx, yy)] = yy [μμ BB (yy) (μμ ΑΑ (xx) μμ BB (yy))] = yy [(μμ BB (yy) (μμ BB (yy)) μμ AA (xx)] = [ (μμ xx BB (yy) μμ BB (yy))] μμ ΑΑ (xx) = [ (μμ xx BB (yy) μμ BB (yy) ] μμ AA (xx) ww = ww μμ AA (xx) 34
GMT (2) Α ={0.1/x1+0.6/x2+0.6/x3} B ={1.0/y1+0.8/y2+0.6/y3+0.5/y4} 35
Εφαρμογή του κανόνα GMP για έναν κανόνα με πολλαπλά αίτια και max-min σύνθεση (1) Ας θεωρήσουμε έναν κανόνα με δύο αίτια και ένα συμπέρασμα. Η μορφή του GMP που ακολουθεί χρησιμοποιεί Mamdani-min συνεπαγωγή και το κλασσικό max-min συνθετικό κανόνα εξαιτίας της ευρείας εφαρμοσιμότητας και της εύκολης γραφικής αναπαράστασης. Το πρόβλημα για το GMP εκφράζεται ως εξής: Δεδομένο: x είναι Α και y είναι Β Κανόνας: ΕΑΝ x είναι Α και y είναι Β ΤΟΤΕ z είναι C Συμπέρασμα: z είναι C 36
Εφαρμογή του κανόνα GMP για έναν κανόνα με πολλαπλά αίτια και max-min σύνθεση (2) Ο κανόνας μπορεί να εκφραστεί ως μια ασαφής σχέση του τύπου AA BB CC. Ο συνθετικός κανόνας συμπεράσματος μας δίνει CC = (ΑΑ ΒΒ ) (ΑΑ ΒΒ CC) GMP: μμ CC (zz) = sup {tt nnnnnnnn[μμ AA BB (xx, yy), μμ AA BB CC (xx, yy, zz)]} xx UU,yy VV = [μμ AA BB (xx, yy)] [μμ AA BB (xx, yy) μμ CC (zz)] = xx,yy [μμ AA (xx) μμ BB (yy)] [μμ AA (xx) μμ BB (yy) μμ CC (zz)] = xx,yy {[(μμ AA (xx) μμ BB (yy) μμ AA (xx) μμ ΒΒ (yy)]} μμ CC (zz) { [(μμ xx AA (xx) μμ AA (xx)]} { μμ yy BB (yy) μμ ΒΒ (yy)]} μμ CC (zz) ww 1 ww 2 = (ww 1 ww 2 ) μμ CC (zz) = ww μμ CC (zz) 37
Βαθμός Συμβατότητας Εκπλήρωσης του κανόνα Τα w 1 και w 2 είναι τα μέγιστα των συναρτήσεων συμμετοχής των ΑΑ ΑΑΑ και ΒΒ ΒΒΒ αντίστοιχα. Το w 1 ή το w 2 δηλώνουν το βαθμό συμβατότητας ή ομοιότητας μεταξύ των δύο ασαφών συνόλων Α και Α. Η σύνθετη ασαφής πρόταση του αιτίου του κανόνα χρησιμοποιεί τον τελεστή min και έτσι το ww = ww 1 ww 2 ονομάζεται βαθμός εκπλήρωσης του κανόνα ή βαθμός πυροδότησης του κανόνα. 38
Εφαρμογή του κανόνα GMP για έναν κανόνα με πολλαπλά αίτια και max-min σύνθεση (3) Η συνάρτηση συμμετοχής του συμπεράσματος C θα είναι η συνάρτηση συμμετοχής του C ψαλιδισμένη από το βαθμό συμμετοχής w και πάνω. Οι γαλάζιες συναρτήσεις συμμετοχής είναι τα δεδομένα και οι σκούρες συναρτήσεις συμμετοχής είναι τα αίτια και το αποτέλεσμα του κανόνα. Εάν x είναι A και y είναι B Τότε z είναι C µ ( x ) µ ( y ) µ ( z ) A A A w B B C w 1 A w 2 C C x y z Εάν x είναι A και y είναι B Τότε z είναι C 39
Ασκήσεις
Ασκήσεις (1) 1. Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο του πίνακα αλήθεια για να αποδείξετε ότι οι κανόνες συμπεράσματος MP, MT και HS είναι ταυτολογίες. 41
Ασκήσεις (2) 2. Έστω U={x1,x2,x3} και V={y1, y2} τα υπερσύνολα αναφοράς. Δίνεται ο ασαφής κανόνας «Εάν x είναι Α Τότε y είναι B». Δίνονται τα σύνολα Α={0.5/x1+1.0/x2+0.6/x3} και B={1.0/y1+0.4/y2}. Έστω το γεγονός Α ={0.6/x1+0.9/x2+0.7/x3}. Να υπολογιστεί το ασαφές σύνολο Β χρησιμοποιώντας τους κανόνες συνεπαγωγής: a) Dienes-Rescher b) Lukasiewicz c) Zadeh d) Mamdani product e) Mamdani min 42
Ασκήσεις (3) 3. Να επαναληφθεί η άσκηση 2 με Α={0.6/x1+1.0/x2+0.9/x3}, B={0.6/y1+1/y2} και A ={0.5/x1+0.9/x2+1/x3}. 43
Ασκήσεις (4) 4. Έστω U, V, A και B είναι τα ίδια με την άσκηση 2. Δίνεται το γεγονός B ={0.9/y1+0.7/y2} και χρησιμοποιώντας το GMT να υπολογίσουμε το A. Η ασαφής σχέση AA BB ερμηνεύεται με βάση τις συνεπαγωγές: a) Lukasiewicz b) Mamdani product. 5. Έστω U={2,3,4} και V={5,6,7,8,9} τα υπερσύνολα αναφοράς. Δένεται ο ασαφής κανόνας «Εάν x είναι Α Τότε y είναι Β». Τα ασαφή σύνολα Α και Β είναι: Α={0.5/2+1.0/3+0.5/4}, Β={0.33/5+0.67/6+1.0/7+0.67/8+0.33/9}. Η είσοδος στο κανόνα είναι το μονοσύνολο Α ={1.0/4}. Χρησιμοποιώντας το Mamdani-min ως τελεστή συνεπαγωγής και τον κανόνα GMP να βρεθεί το ασαφές σύνολο B. 44
Ασκήσεις (5) 6. Έστω U={1,2,3,4} και V={5,6,7} τα υπερσύνολα αναφοράς. Δίνονται τα σύνολα: μεγάλο={0.1/1+0.3/2+0.5/3+1/4}, μικρό={1/1+0.5/2+0.3/3+0.1/4} και μεσαίο={0.2/1+0.8/2+1.0/3+0.1/4} για την μεταβλητή x. Δίνονται τα σύνολα μεγάλο={0.1/5+0.7/6+1.0/7}, μικρό={1/5+0.5/6+0.1/7} και μεσαίο ={0.2/5+1.0/6+0.1/7} για τη μεταβλητή y. Θεωρούμε μια βάση γνώσης με τρείς κανόνες: R 1 : Εάν x είναι μικρό Τότε y είναι μικρό R 2 : Εάν x είναι μεσαίο Τότε y είναι μεσαίο R 3 : Εάν x είναι μεγάλο Τότε y είναι μεγάλο 45
Ασκήσεις (6) a) Να βρεθούν οι σχεσιακοί πίνακες R1,R2, R3 των τριών κανόνων. b) Να υπολογιστεί η ολική μήτρα R της βάσης των κανόνων με τον κανόνα Mamdani (RR = RR 1 R 2 RR 3 ) και του Zadeh (RR = R 1 R 2 RR 3 ) 46
Τέλος Ενότητας