Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Θέμα Α. Αν α>0 με α, τότε για οποιουσδήποτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log (θ θ ) log θ log θ Μονάδες 8 α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.,5 μονάδα /ερώτημα α) Aν α, β, γ διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου τότε β =αγ Σ Λ β) Το γινόμενο δύο πολυωνύμων ιδίου βαθμού είναι πάντα πολυώνυμο διπλασίου βαθμού Σ Λ γ) Το άθροισμα ν όρων αριθμητικής προόδου δίνεται από ν τον τύπο S ν = [α (ν )ω]. Σ Λ δ) Η συνάρτηση f(x)=3ημ(x) έχει περίοδο Τ= π Σ Λ Γ. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x) logln(x ) είναι το: α. (, + ) β. (, + ) γ. (,] δ. (,+ ) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Μονάδες 5 0 Γ. Η παράσταση Α= llog6 log ισούται με: 3 α. β. log3 γ. log 6 δ. 3 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Μονάδες 6 Θέμα β π Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) 3 ημ(3x) και g(x) α συν(βx ). 6 Η g(x) έχει μέγιστη τιμή το και τέμνει τον άξονα y y στο. Α. Να βρείτε τους α,βr, ώστε η γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) και g(x) να μην έχουν κοινά σημεία. Μονάδες 8 Β. Για α και β= 3 να κάνετε την γραφική παράσταση των συναρτήσεων f(x) και g(x) και με την βοήθεια του σχήματος να βρείτε την εξίσωση της κοινής τους εφαπτομένης. Μονάδες 7 Γ. Να βρείτε τα σημεία τομής της συνάρτησης f (x) με την ευθεία 3π π π 5π π y4ημ ( ) σφ ( ) ημ ( ), στο διάστημα, π 6 4 4 4.
Ποια η απόσταση μεταξύ των σημείων με την μικρότερη και μεγαλύτερη τετμημένη; Μονάδες 0 Θέμα 3 Δίνονται τα πολυώνυμα : Ρ(x) = (3lnλ-3) με θ λ > 0 τρίτου βαθμού με παράγοντα το x+ και Q(x) = (3-lnβ) με β > 0 και γ > 0. Α. Nα υπολογίσετε τις τιμές των λ,θ και να βρεθεί το Ρ(x). Mονάδες 6 Β. Άν τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα, να υπολογίσετε τις τιμές των πραγματικών αριθμών β και γ. Mονάδες 5 Γ. Άν η διαίρεση του πολυωνύμου Ρ(x) : x-ημφ, φ αφήνει υπόλοιπο υ= α. Να υπολογίσετε τις τιμές του φ. Mονάδες 6 β. Για φ. Να υπολογίσετε το πηλίκο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) : x-ημφ και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. Mονάδες 3 Δ. Να βρείτε τα διαστήματα του t στα οποία η γραφική παράσταση του Ρ(- βρίσκεται κάτω απο τον άξονα x x. Mονάδες 5 Θέμα 4 Δίνεται η συνάρτηση : F(x) = ln( 4 - Α. Nα βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης F(x). Mονάδες 5 Β. Έστω οι αριθμοί κ = t, λ = F(t), μ = ln6 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. α. Να υπολογίσετε τις τιμές του t. Μονάδες 7 β. Αν ο αριθμός κ είναι ο δεύτερος όρος της αριθμητικής προόδου, να βρείτε ποιος όρος της προόδου ισούται με 5ln + ln3. Mονάδες 6 Γ. Nα λυθεί η εξίσωση = ln, για x ln. Mονάδες 7 Ευχόμαστε Επιτυχία!
Απαντήσεις Διαγωνίσματος Θέμα Α. σελ. 36 σχολικού Β. α Σ, β Σ, γ Λ, δ Λ Γ. α (Πρέπει x >0x> και ln(x )>0x >x>) 0 0 Γ. β ( llog 6 log log0 log log 3log 3 3 log 0 log3 (log 0 log3) log3) Θέμα Α. β Max g(x) = α (). Η C g τέμνει τον y y στο 6, β π άρα g(0) α συν( ) α. 6 () β β β 3 β 3 ή β= 3. 6 6 π Για α και β= 3 f (x) 3 ημ(3x) και g(x) συν( 3x ) π f(x) g(x) 3ημ(3x) συν( 3x ) 3ημ(3x) ημ( 3x) π 64ημ3x ημ3x 5ημx 5 ημx ημx ημ π π π x κπ η x κπ π κπ, κ π Για α και β=3 f (x) 3 ημ(3x) και g(x) συν(3x ) π f(x) g(x) 3ημ(3x) συν(3x ) 3 ημ(3x) ημ(3x) 6 4ημ3x ημ3x ημx 5 αδύνατη. Άρα α και β= 3. π π Β. f (x) 3 ημ(3x) Max=5 Min= T ω 3 π g(x) συν( 3x ) ημ( 3x) ημ(3x) 3
π π Max= Min=0 T ω 3 Άρα η κοινή εφαπτομένη όπως φαίνεται στο σχήμα είναι η ευθεία y=. 7 y 6 f(x) 5 4 3 0 x g(x) - - -3 Γ. f (x) 3ημ3x 9 ημ3x 4ημ 3x 3π π π 3 3π π 3 ημ( ) συν ημ ( ) 6 6 6 4 π π π σφ( ) σφ σφ ( ) 4 4 4 5π 6π π π π π ημ( ) ημ ημ(4π ) ημ( ) ημ ( ) 4 4 4 4 4 3π π π 5π 3 Άρα y4ημ ( ) σφ ( ) 4ημ ( ) 4 4 4 6 4 4 4 Τελικά y = 4 Λύνουμε την εξίσωση f (x)=y9ημ3x 4ημ 3x =4 4ημ 3x ημ3x 5 0 () θέτουμε ημ3x=t, t[,] Άρα η () γίνεται: 4t 8 t+5=0 Δ 44 80 64 και t, t 0 απορ. και t δεκτή. 8 8 π π π ημ3x ημ3x ημ 3x κπ ή 3x κπ π 6 6 6 π 5π x κπ ή x κπ, κ. 3 8 3 8 4
π π 7 7 0 κπ π κ κ k. Άρα κ= 4 3 8 4 3 8 36 3 8 7 7 π 3π Για κ= x π 3 8 8 π 5π 5 3 3 78 κπ π κ κ k. Άρα κ=0, 4 3 8 4 3 8 36 3 8 7 7 5π π 5π 7π Για κ=0 x και για κ= x. 8 3 8 8 5π 3π 7π Οι ρίζες κατά αύξουσα σειρά:,, 8 8 8 Τα τρία σημεία τομής της f (x) με την ευθεία y=4 είναι: 5π 3π 7π Α,4,Β,4,Γ,4 8 8 8 7π 5π π π (ΑΓ)= 8 8 8 3 Ας δούμε την λύση και γραφικά: 6 y 5 4 Α Β Γ 3 0 x - - -3-4 5
Θέμα 3 Α. Επειδή το πολυώνυμο Ρ(x) είναι τρίτου βαθμού πρέπει : 3lnλ-3 = 0, με λ>0 3lnλ = 3 lnλ = lnλ = lne ( lnx είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση άρα -) λ = e δεκτή αφού λ>0. Επειδή το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x+ πρέπει : Ρ(-) = 0. Όμως : Ρ(-) = - + + ημθ 0 = - + ημθ ημθ = ημθ = ημ θ = Άρα : θ = Όμως θ οπότε: 0 Οπότε :Ρ(x) = + Β. Αφού Ρ(x) = Q(x) πρέπει: 3 lnβ = με β > 0 όμως άρα κ = 0 και θ =. lnβ = lnβ =lne ( lnx είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση άρα - ). β = e δεκτή. = με γ > 0 Άρα: Ρ(x) = Q(x) γ = δεκτή. Γ. Ισχύει ότι: υ = Ρ (ημφ). Όμως : Οπότε: = = ( - ) = - - + = 0 ) ( ημφ = - ή = αδύνατη. 6
ημφ = ημ( - ) φ = φ οπότε: 0 < κ με άρα κ = και φ = Για την άλλη λύση έχουμε: 0 < με άρα κ = 0 και φ = Επομένως : υ = = 0. Εκτελούμε τη διαίρεση των πολυωνύμων: x + - - 3x +3-3x-3 0 Eπομένως, το πηλίκο της διαίρεσης είναι: π(x) = Και η ταυτότητα της διαίρεσης είναι: x+)( ). Β τρόπος με σχήμα Ηοrner 0 3 - άρα το πηλίκο της διαίρεσης είναι: - -3 π(x) =, κ.λ.π - 3 0 7
Δ. Για να βρίσκεται η γραφική παράσταση του Ρ(- κάτω απο τον άξονα x x Πρέπει: Ρ(- < 0 - ( θέτω = ω, ω > 0) > 0 (πιθανές ακέραιες ρίζες: Απο σχήμα Horner έχουμε: 0-3 3 3 0 (ω-)( ) > 0 - + ω- - + + + Γινόμενο - + Βρίσκουμε τις ρίζες των παρενθέσεων : ω- = 0 ω = και 0, Δ < 0. Για το πρόσημο: Το τριώνυμο α = > 0 και Δ < 0 είναι παντού ομόσημο του α. Άρα ω > > > ( e t είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση άρα -) t > 0 Eπομένως στο ( 0, + ) η γραφική παράσταση του Ρ(- βρίσκεται κάτω απο τον άξονα x x. Θέμα 4 Α. Για να ορίζεται η συνάρτηση πρέπει: 4 - > 0 < 4 < ln < ln xlne < ln x < ln. Άρα ( - B. α. κ, λ, μ διαδοχικοί όροι Α.Π λ = κ + μ. ln( 4 - = t + ln6 ln( - ln = t ln( = t ( = 8
6-6 + = 6 + 6-6 = 0 (διαιρώ με 4 κατά μέλη) 3 + 4-4= 0 ( θέτω = ω, ω > 0) 3. Δ = 64 > 0 ρίζες: απορρίπτεται, =. Γυρίζω στην αντικατάσταση: λ = ln( 4 - = ln(4 -. = t = ln δεκτή αφού t < ln β. Βρίσκουμε την διαφορά ω της Α.Π και τον : ω = λ κ ω = ln ) ln +ln3 ω = ln8 ln3 ln +ln3 ω = 3ln ln3 ln +ln3 ω = ln+ ln3 = ln6. Για ν = στον τύπο: ln( = ln+ ln3 ln4 ln9 = ln+ ln3 ln ln3 = ln+ ln3 ln 3ln3 = ln ( Oπότε: 5ln + ln3 = ln 3ln3 + (v-) (ln+ ln3) 4ln + 4ln3 = (v-) ln6 ln6 + ln8 = (v-) ln6 ln (6 = (v-) ln6 (6 4 ln6 = (v-) ln6 ν- = 4 ν = 5.Άρα ο α 5 = 5ln + ln3. Γ. = ln = ln περιόρισμοί: > 0 x < ln () (lnx γνησίως αύξουσα συνάρτηση ) 9
xlne x ().Aπό () και (): x ln. Υψώνουμε και τα δυο μέλη στο τετράγωνο οπότε: l = ] l = 4 l = ( ) = 0 = 0 (lnx γνησίως αύξουσα = συνάρτηση άρα -) = αδύνατή αφού. = x = ln δεκτή αφού x ln. Β τρόπος = ln ( 4 - θέτω ln ( 4 - = y oπότε Περιόρισμός: y υψώνουμε και τα δυο μέλη στο τετράγωνο οπότε: y = 4y = y ( 4 y) = 0 y = 0 ή y = 4. Γυρίζω στην αντικατάσταση: = 0. Όμοια. 0