Ενότητα 6 η : Μεταβατική αγωγή Θερμότητας

ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ Διδάσκων: Παπασιώπη Νυμφοδώρα Αναπηρώτρια Καθηγήτρια Ε.Μ.Π. Ενότητα 6 η : Μεταβατική αγωγή ερμότητας

Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Cmmns. Για εκπαιδευτικό υικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.

6. Μεταβατική Αγωγή ερμότητας - Περιεχόμενα 6. Μεταβατική Αγωγή ερμότητας 6.1 Εισαγωγή 6. Σώμα με αμεητέα αντίσταση αγωγής 6.3 Μονοδιάστατη αγωγή σε ημιάπειρο στερεό 6.4 Μονοδιάστατη αγωγή σε μεγάο επίπεδο τοίχο, κύινδρο μεγάου μήκους και σφαίρα (διαγράμματα Hesler και Gröber) 6.5 Πουδιάστατα συστήματα με χρήση της ύσης γινομένου Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας

6. Μεταβατική Αγωγή ερμότητας Στην ενότητα αυτή θα εξετασθούν προβήματα στα οποία η θερμοκρασία ενός σώματος μεταβάεται τόσο με το χρόνο όσο και με τη θέση. Π.χ. Ένα μεταικό αντικείμενο που βγαίνει από φούρνο θερμοκρασίας 800 ο C στη θερμοκρασία περιβάοντος 0 ο C Γενική εξίσωση αγωγής q 1 t q Εξίσωση Pssn 0 Εξίσωση Laplace 0 Εξίσωση Furer 1 t Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-1

6.1 Εισαγωγή (1/) Μονοδιάστατη αγωγή για μεταβατική κατάσταση, χωρίς παραγωγή θερμότητας: θ 1 α θ t Η επίυση αποποιείται με τη χρήση αδιαστατοποιημένων μεταβητών: Αδιάστατη θερμοκρασία: Αδιάστατη απόσταση: θ θ θ θ αt t Αδιάστατος χρόνος: Αδιάστατος συντεεστής μεταφοράς θερμότητας: 0 0 h0 B θ : θερμοκρασία σε χρόνο t=0 θ : θερμοκρασία σε χρόνο t= 0 : ένα χαρακτηριστικό μήκος του σώματος Αριθμός Furer Αριθμός Bt Πίνακας 6.1. Πίνακας αδιαστατοποιημένων μεταβητών Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-

6.1 Εισαγωγή (/) Φυσική σημασία αριθμού Bt: B h 0 / 1/ h R 0 αγ R συν Aντίσταση αγωγής στο εσωτερικό του σώματος Αντίσταση συναγωγής στην επιφάνεια Φυσική σημασία αριθμού Furer t αt 0 0 ρc p (1/ 3 0 0 / t ) Δθ Δθ Ρυθμός με τον οποίο άγεται η θερμότητα 3 μέσα από ένα σώμα όγκου 0 Ρυθμός με τον οποίο αποθηκεύεται 3 η θερμότητα σε ένα σώμα όγκου 0 Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-3

6. Σώμα αμεητέας αντίστασης αγωγής (1/4) Όταν η αντίσταση στην αγωγή είναι πού μικρότερη από την αντίσταση στη συναγωγή μπορεί να θεωρηθεί ότι η θερμοκρασία του σώματος είναι ίδια σε όες τις θέσεις. Δεν μας ενδιαφέρει δη. η κατανομή της θερμοκρασίας ως προς το χώρο αά μόνο ως προς το χρόνο. θ =130 C θ =0 C B h R 0 αγ Rσυν 0.1 θ=130 C θ=100 C θ=80 C θ=60 C t 0 t 1 t t 3 B h R 0 αγ Rσυν 0.1 t 0 t 1 t t 3 Σχήμα 6.1. Αναπαράσταση κατανομής θερμοκρασιών σε διάφορους χρόνους (α) σε σώμα αμεητέας αντίστασης αγωγής, (β) όταν η αντίσταση αγωγής είναι σημαντική σε σύγκριση με την αντίσταση συναγωγής. Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-4

6. Σώμα αμεητέας αντίστασης αγωγής (/4) B h R 0 αγ Rσυν 0.1 0 V A Αντί του διαφορικού ισοζύγιου εφαρμόζεται ένα συνοικό ισοζύγιο ενέργειας για όο το στερεό: Εισροή ενέργειας με συναγωγή Συσσώρευση ενέργειας από την επιφάνεια του στερεού μάζα του στερεού στη ha(θ θ ) dθ mcp dt Εκροή με συναγωγή = Συσσώρευση θ θ θ θ e t / T mcp T ha Σταθερά χρόνου του θερμικού συστήματος Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-5

6. Σώμα αμεητέας αντίστασης αγωγής (3/4) Παράδειγμα 6.1 : έρμανση μεταικών πακών σε φούρνο 0cm 0cm Σχήμα 6.. Σχηματική απεικόνιση για το Παράδειγμα 6.1 Δεδομένα: Σε μονάδα παραγωγής, μπρούτζινες πάκες διαστάσεων 0cm 0cm και πάχους 4cm που έχουν αρχική θερμοκρασία 0 ο C θερμαίνονται περνώντας μέσα από κίβανο που διατηρείται σε θερμοκρασία 500 ο C. Οι πάκες παραμένουν στον κίβανο για 7 επτά. Ιδιότητες του μπρούντζου: =110 W(m C), ρ=8530 kg/m 3, Cp=380 J/kg C, α=33.9 10-6 m /s. Ζητείται Αν ο συντεεστής συνδυασμένης μεταφοράς θερμότητας με συναγωγή και ακτινοβοία είναι h = 10 W/(m C), να βρεθεί η θερμοκρασία επιφάνειας των πακών όταν βγαίνουν από το φούρνο. Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-6

6. Σώμα αμεητέας αντίστασης αγωγής (4/4) Παράδειγμα 6.1 : έρμανση μεταικών πακών σε φούρνο Λύση: α. Εέγχουμε την τιμή του αριθμού Bt: 0cm 0cm Σχήμα 6.. Σχηματική απεικόνιση για το Παράδειγμα 6.1 3 0 B V A 0cm 0cm 4cm 1600cm 0cm 0cm 40cm 4cm 110cm h0 10 W /(m C) 0.0149 m 0.0156 0.1 110 W /(m C) Σώμα αμεητέας αντίστασης 1.49cm β. Βρίσκουμε την τιμή της σταθεράς χρόνου Τ και στη συνέχεια τη θερμοκρασία εξόδου της πάκας σε t=7 mn Ιδιότητες του μπρούντζου: =110 W(m C), ρ=8530 kg/m 3, Cp=380 J/kg C, α=33.9 10-6 m /s. θ θ θ θ T e mcp ha t / T V ρcp A h (8530kg / m ) (380J /(kg (0.0149m) 10 W /(m C) θ (760)/386 1. 088 500 e 0 500 3 e 0.337 C)) 386s θ 338.4 ο C Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-7

6.3 Μονοδιάστατη μεταβατική αγωγή σε ημι-άπειρο σώμα (1/7) Ημι-άπειρο σώμα: σώμα που έχει μία επίπεδη επιφάνεια και εκτείνεται στο άπειρο στις άες διευθύνσεις, π.χ. η γη. εωρούμε ότι ένα σώμα που βρίσκεται αρχικά σε θερμοκρασία θ τοποθετείται σε περιβάον θερμοκρασίας θ. θ, h Πρέπει να επιύσουμε τη διαφορική εξίσωση για τη μεταβατική αγωγή θερμότητας κατά τη διεύθυνση : θ 1 α θ t Σχήμα 6.3. Ημι-άπειρο σώμα. Οριακές συνθήκες t θ (α) Αρχική συνθήκη t 0 0 θ θ θ θ θ θ 1 (β) Συνοριακή συνθήκη Ι t 0 θ θ 1 (γ) Συνοριακή συνθήκη ΙΙ Συναγωγή σε περιβάον σταθερής θερμοκρασίας θ. h(θ s θ t 0 ) dθ d 0 0 θ 1 Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-8 θs s Πίνακας 6.. Πίνακας οριακών συνθηκών

6.3 Μονοδιάστατη μεταβατική αγωγή σε ημι-άπειρο σώμα (/7) θ 1 α θ t θ, h Σχήμα 6.3. Ημι-άπειρο σώμα. erfφ ep(h / ξ θ θ θ θ Φ αt Συνάρτηση σφάματος )(1 erf (Φ ξ)) h ξ erfφ αt π Φ 0 e α ρc p u du Το οοκήρωμα erfφ δεν επιύεται αναυτικά. Έχει προσδιορισθεί με αριθμητικές μεθόδους και δίνεται σε πίνακες Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-9

6.3 Μονοδιάστατη μεταβατική αγωγή σε ημι-άπειρο σώμα (3/7) erfφ ep(h / ξ Δύο τρόποι επίυσης: Α. Χρησιμοποιούμε πίνακες με τιμές της erf )(1 erf (Φ ξ)) B. Χρησιμοποιούμε διαγράμματα Φ αt θ θ θ θ ξ h α ρc p αt Πίνακας 6.3. Συνάρτηση σφάματος erfφ Σχήμα 6.4. Διάγραμμα μεταβοής αδιάστατης θερμοκρασίας συναρτήσει παραμέτρων Φ και ξ για την μεταβατική αγωγή σε ημι-άπειρο σώμα. Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-10

6.3 Μονοδιάστατη μεταβατική αγωγή σε ημι-άπειρο σώμα (4/7) Παράδειγμα 6. : Εάχιστο βάθος τοποθέτησης σωήνων νερού στο έδαφος για αποφυγή παγώματος Έδαφος Σωήνας νερού θ s = -10 C θ = 15 C Σχήμα 6.5. Σχηματική απεικόνιση για το Παράδειγμα 6.. Ιδιότητες του εδάφους: =0.4 W/(m C), α=0.15 10-6 m /s. Δεδομένα: Σε μία περιοχή το έδαφος είναι καυμμένο με χιόνι στους -10 ο C περίπου, για μια συνεχή περίοδο 3 μηνών. Πριν αρχίσει η περίοδος των χιονοπτώσεων η θερμοκρασία του εδάφους μπορεί να θεωρηθεί ομοιόμορφη και ίση με 15 ο C. Μέσες ιδιότητες του εδάφους: =0.4 W/(m C), α=0.15 10-6 m /s. Ζητείται Το εάχιστο βάθος τοποθέτησης των σωήνων στο έδαφος για να αποφευχθεί το πάγωμα του νερού. Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-11

6.3 Μονοδιάστατη μεταβατική αγωγή σε ημι-άπειρο σώμα (5/7) Παράδειγμα 6. : Εάχιστο βάθος τοποθέτησης σωήνων νερού στο έδαφος για αποφυγή παγώματος t = 3 μήνες θ s = -10 C Ζητείται: Έδαφος Σωήνας νερού θ = 15 C Εάχιστο βάθος = Βάθος στο οποίο θ(,t) = 0 ο C μετά από t =3 μήνες Λύση: α. Παράμετρος ξ: Σχήμα 6.5. Σχηματική απεικόνιση για το Παράδειγμα 6.. Σταθερό θ s h ξ Ιδιότητες του εδάφους: =0.4 W/(m C), α=0.15 10-6 m /s. h ξ θ θ θ θ αt Φ αt β. Αδιάστατη θερμοκρασία : θ θ θ θ θ θ θ θ s s 0 ( 10) 15 ( 10) erfφ 10 5 0.4 Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-1

6.3 Μονοδιάστατη μεταβατική αγωγή σε ημι-άπειρο σώμα (6/7) Παράδειγμα 6. : Εάχιστο βάθος τοποθέτησης σωήνων νερού στο έδαφος για αποφυγή παγώματος t = 3 μήνες Έδαφος θ s = -10 C Λύση: γ. Υποογισμός Φ: ξ erfφ 0.4 Σωήνας νερού γ1. Από πίνακα erf θ = 15 C Σχήμα 6.5. Σχηματική απεικόνιση για το Παράδειγμα 6.. erfφ = 0.4 Φ ~ 0.37 Ιδιότητες του εδάφους: =0.4 W/(m C), α=0.15 10-6 m /s. Φ αt θ θ θ θ 0.37 0.1510 6 (m / s) 7.7810 6 (s) 0.74 1.167 ξ h αt Φ αt t (3 m) (30 d / m) (4 h / d) (3600 s / h) t 7.7810 6 s 0.80m Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-13

6.3 Μονοδιάστατη μεταβατική αγωγή σε ημι-άπειρο σώμα (7/7) Παράδειγμα 6. : Εάχιστο βάθος τοποθέτησης σωήνων νερού στο έδαφος για αποφυγή παγώματος t = 3 μήνες Έδαφος θ s = -10 C Λύση: γ. Υποογισμός Φ: ξ erfφ 0.4 t 7.7810 6 s Σωήνας νερού γ. Από διάγραμμα Ιδιότητες του εδάφους: θ = 15 C Σχήμα 6.5. Σχηματική απεικόνιση για το Παράδειγμα 6.. =0.4 W/(m C), α=0.15 10-6 m /s. Φ ~ 0.375 Φ αt θ θ θ θ ξ h αt Φ αt 0.81m Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-14

6.4 Μονοδιάστατη μεταβατική αγωγή σε μεγάο επίπεδο τοίχο, κύινδρο μεγάου μήκους και σφαίρα Διαγράμματα Hesler και Gröber Σχήμα 6.6. Διαγράμματα Hesler και Gröber για (α) μεγάο επίπεδο τοίχο, (β) κύινδρο μεγάου μήκους, (γ) σφαίρα. Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-15

6.4.1 Μονοδιάστατη μεταβατική αγωγή σε μεγάο επίπεδο τοίχο (Hesler) (Hesler) Σχήμα 6.7. Μεταβοή της θερμοκρασίας με τον χρόνο στο επίπεδο συμμετρίας. Σχήμα 6.9. ερμοκρασία σε άες θέσεις σε σχέση με την θερμοκρασία στο επίπεδο συμμετρίας. (Gröber) Σχήμα 6.8. Μεταφερόμενη θερμότητα ως συνάρτηση του χρόνου. Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-16

6.4. Μονοδιάστατη μεταβατική αγωγή σε κύινδρο μεγάου μήκους (Hesler) (Hesler) Σχήμα 6.10. Μεταβοή της θερμοκρασίας με τον χρόνο στον άξονα συμμετρίας. Σχήμα 6.1. ερμοκρασία σε άες θέσεις σε σχέση με την θερμοκρασία στον άξονα συμμετρίας. (Gröber) Σχήμα 6.11. Μεταφερόμενη θερμότητα ως συνάρτηση του χρόνου. Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-17

6.4.3 Μονοδιάστατη μεταβατική αγωγή σε σφαίρα (Hesler) (Hesler) Σχήμα 6.13. Μεταβοή της θερμοκρασίας με τον χρόνο στο κέντρο. Σχήμα 6.15. ερμοκρασία σε άες θέσεις σε σχέση με την θερμοκρασία στο κέντρο. (Gröber) Σχήμα 6.14. Μεταφερόμενη θερμότητα ως συνάρτηση του χρόνου. Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-18

Παράδειγμα 6.3 : Βράσιμο αυγού (1/) θ = 100 ο C Αυγό θ = 5 C h =100 W/(m C) Σχήμα 6.16. Σχηματική απεικόνιση του Παραδείγματος 6.3. Δεδομένα: Ένα αυγό έχει αρχικά θερμοκρασία 5 C. Τοποθετείται σε νερό που βράζει (100 ο C). Ο συντεεστής μεταφοράς θερμότητας με συναγωγή από το νερό προς το αυγό μπορεί να θεωρηθεί ίσος με: h=100 W/(m C) Ζητείται Ο χρόνος που απαιτείται για να φθάσει η θερμοκρασία στο κέντρο του αυγού στους 70 C. Υποθέσεις-προσεγγίσεις: T αυγό μπορεί να θεωρηθεί σφαίρα διαμέτρου περίπου 5cm Το περιεχόμενο του αυγού σε νερό είναι 74%, συνεπώς μπορούμε να θεωρήσουμε ότι έχει θερμικές ιδιότητες αντίστοιχες με του νερού. Βρίσκουμε από πίνακες την αγωγιμότητα και τη διαχυτότητα α του νερού στη μέση θερμοκρασία (θ +θ )/=(5+70)/=35 C : =0.67 W/(m C), α=0.15 10-6 m /s. Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-19

Παράδειγμα 6.3 : Βράσιμο αυγού (/) θ = 100 ο C Λύση: Αυγό θ = 5 C h =100 W/(m C) Σχήμα 6.16. Σχηματική απεικόνιση του Παραδείγματος 6.3. Ιδιότητες αυγού: r =.5 cm =0.67 W/(m C), α=0.15 10-6 m /s. θ θ θ θ 1 αt t B hr r 70 100 30 1 1 0.316 1 0.67 Wm C 5100 95 0. 009 B 1 (100 W m C )(0.05m) t t r α 0.50.05 1.510 6 104s t 17mn Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-0

Παράδειγμα 6.4 : Ψύξη κυινδρικού άξονα μεγάου μήκους (1/3) θ = 00 ο C h =40 W/(m C) Δεδομένα: Κυινδρικός άξονας από ανοξείδωτο χάυβα AISI 304 μεγάου μήκους και με διάμετρο D=10cm βγαίνει από κίβανο με ομοιόμορφη θερμοκρασία 600 C. Ο κύινδρος αφήνεται να ψυχθεί αργά σε θάαμο με θερμοκρασία 00 C με μέσο συντεεστή μεταφοράς θερμότητας h=40 W/(m C) D= 10 cm θ = 600 C Άξονας από ανοξείδωτο χάυβα 304 Σχήμα 6.17. Σχηματική απεικόνιση του Παραδείγματος 6.4. Ζητείται (α) Η θερμοκρασία στο κέντρο του άξονα 45 mn μετά την έναρξη της διαδικασίας ψύξης (β) Το ποσό θερμότητας που έχει μεταφερθεί ανά μονάδα μήκους του άξονα κατά τη διάρκεια των 45 mn. Ιδιότητες: Βρίσκουμε από το σχετικό Πίνακα τις ιδιότητες του ανοξείδωτου χάυβα 304 στην κατάηη θερμοκρασία. Π.χ. στους 600Κ: =19.8 W/(m C), Cp=557 J/(kg C). Με ρ=7900 kg/m 3 υποογίζεται α=/(ρcp)=4.5010-6 m /s. Πίνακας Π.4.1 στα Παραρτήματα του βιβίου Κουμούτσου, Λυγερού «Μεταφορά ερμότητας», 1991 Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-1

Παράδειγμα 6.4 : Ψύξη κυινδρικού άξονα μεγάου μήκους (/3) θ = 00 ο C h =40 W/(m C) Λύση: (α) Η θερμοκρασία στο κέντρο του άξονα σε t =45 mn θ = 600 C D= 10 cm Άξονας από ανοξείδωτο χάυβα 304 Σχήμα 6.17. Σχηματική απεικόνιση του Παραδείγματος 6.4. Ιδιότητες: =19.8 W/(m C), Cp=557 J/(kg C), ρ=7900 kg/m 3 α=/(ρcp)=4.5010-6 m /s θ ο ο θ θ 0.4 θ θ (600 00) 00 0.4 400 00 1 αt t B hr r θ ο 360 C 1 B 1 1 19.8W m C 9.9 1 (40 W m C )(0.05m) αt r (4.510 6 t m / s) (45mn 60s / mn) (0.05m) 4.86 Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-

Παράδειγμα 6.4 : Ψύξη κυινδρικού άξονα μεγάου μήκους (3/3) θ = 00 ο C h =40 W/(m C) θ = 600 C D= 10 cm Λύση: (β) Το ποσό θερμότητας που έχει μεταφερθεί ανά μονάδα μήκους του άξονα σε t =45 mn Σε t : θ=θ για r Q mcp (θ θ ) ma Άξονας από ανοξείδωτο χάυβα 304 Σχήμα 6.17. Σχηματική απεικόνιση του Παραδείγματος 6.4. 3 m ρ V (7900kg / m ) π(0.05m) (1m) 6.05kg Q ma (6.05kg) (557J kg 1 C 1 ) (600 00) C Q ma 1384 kj Ιδιότητες: =19.8 W/(m C), Cp=557 J/(kg C), ρ=7900 kg/m 3 α=/(ρcp)=4.5010-6 m /s Q Q t ma 0.6 Q t 0.6 Q ma 0.6 1384 kj Q t 894 kj hr B 1 9.9 0.101 αt r t 4.86 h αt B t 0.05 Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-3

t z y α Για τα πουδιάστατα συστήματα αποδεικνύεται ότι: Η ύση της πουδιάστατης εξίσωσης: Είναι το γινόμενο των επιμέρους μονοδιάστατων εξισώσεων: t α t y α t z α (z,t) (y,t) (,t) y,z,t) (, Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-4 6.5 Μεταβατική αγωγή σε πουδιάστατα συστήματα (1/4) Κανόνας γινομένου

6.5 Μεταβατική αγωγή σε πουδιάστατα συστήματα (/4) Κανόνας γινομένου 1 ο Παράδειγμα: Μεταβατική αγωγή σε κύινδρο μικρού μήκους Πρόβημα δύο διαστάσεων το οποίο αντιστοιχεί σε δύο μονοδιάστατα προβήματα: (α) μεταβατική αγωγή σε κύινδρο μεγάου μήκος (β) μεταβατική αγωγή σε μεγάο επίπεδο τοίχωμα Σχήμα 6.18. Ένας κύινδρος μικρού μήκους με r 0 και ύψος α είναι η διατομή ενός κυίνδρου μεγάου μήκους με ακτίνα r 0 και ενός επίπεδου τοίχου πάχους α. (r,,t) (r,t) (,t) Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-5

6.5 Μεταβατική αγωγή σε πουδιάστατα συστήματα (3/4) Κανόνας γινομένου ο Παράδειγμα: Μεταβατική αγωγή σε ράβδο ορθογωνικής διατομής ab και μεγάου μήκους Πρόβημα δύο διαστάσεων το οποίο αντιστοιχεί σε δύο μονοδιάστατα προβήματα: (α) μεταβατική αγωγή σε μεγάο επίπεδο τοίχωμα πάχους a (β) μεταβατική αγωγή σε μεγάο επίπεδο τοίχωμα πάχους b Σχήμα 6.19. Το προφί μίας συμπαγούς ράβδου μεγάου μήκους a b είναι η διατομή των δύο επίπεδων τοίχων πάχους a και b. (, y,t) (,t) (y,t) Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-6

6.5 Μεταβατική αγωγή σε πουδιάστατα συστήματα (4/4) Μεταφερόμενη θερμότητα Έχει αποδειχθεί ότι: Για πουδιάστατα γεωμετρικά σχήματα που σχηματίζονται από την τομή μονοδιάστατων γεωμετρικών σχημάτων 1, ή και 3 ισχύουν οι εξισώσεις: Για διδιάστατο σχήμα: Για τριδιάστατο σχήμα: Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-7

Παράδειγμα 6.5 : Ψύξη κυίνδρου μικρού μήκους (1/4) θ = 00 ο C h =40 W/(m C) D = 10 cm θ = 600 C L=15 cm Κύινδρος από ανοξείδωτο χάυβα 304 Σχήμα 6.0. Σχηματική απεικόνιση του Παραδείγματος 6.5. Ιδιότητες: =19.8 W/(m C), Cp=557 J/(kg C), ρ=7900 kg/m 3 α=/(ρcp)=4.5010-6 m /s Δεδομένα: Κύινδρος από ανοξείδωτο χάυβα AISI 304 μήκους 15 cm και διαμέτρου D=10cm βγαίνει από κίβανο με ομοιόμορφη θερμοκρασία 600 C. Ο άξονας αφήνεται να ψυχθεί αργά σε θάαμο με θερμοκρασία 00 C με μέσο συντεεστή μεταφοράς θερμότητας h=40 W/(m C) Ζητείται (α) Η θερμοκρασία στο κέντρο του κυίνδρου 45 mn μετά την έναρξη της διαδικασίας ψύξης (β) Το ποσό θερμότητας που έχει μεταφερθεί κατά τη διάρκεια των 45 mn. Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-8

Παράδειγμα 6.5 : Ψύξη κυίνδρου μικρού μήκους (/4) θ = 00 ο C h =40 W/(m C) D = 10 cm θ = 600 C L=15 cm Κύινδρος από ανοξείδωτο χάυβα 304 Λύση: (α) Η θερμοκρασία στο κέντρο του κυίνδρου σε t =45 mn α1. Για κύινδρο μεγάου μήκους (από Παράδειγμα.0): 1 B hr αt r t 9.9 4.86 κυ θ(0, t) θ (0, t) θ θ 0.4 α. Αντίστοιχα υποογίζεται για μεγάο επίπεδο τοίχο πάχους L= =15 cm: Σχήμα 6.0. Σχηματική απεικόνιση του Παραδείγματος 6.5. Ιδιότητες: =19.8 W/(m C), Cp=557 J/(kg C), ρ=7900 kg/m 3 α=/(ρcp)=4.5010-6 m /s 1 B h αt t 6.6.16 τοιχ Επομένως: ο κυ (0,t) τοιχ(0,t) 0.4 0.8 0. 3 θ(0, t) θ (0, t) θ θ 0.8 θ(0,0, t) θ ο (θ θ ) 00 0.3 (600 00) θ(0,0, t) 38 C Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-9

Παράδειγμα 6.5 : Ψύξη κυίνδρου μικρού μήκους (3/4) θ = 00 ο C h =40 W/(m C) Λύση: (β) Ποσό θερμότητας που έχει μεταφερθεί σε t =45 mn D = 10 cm θ = 600 C L=15 cm Κύινδρος από ανοξείδωτο χάυβα 304 Σχήμα 6.0. Σχηματική απεικόνιση του Παραδείγματος 6.5. Ιδιότητες: =19.8 W/(m C), Cp=557 J/(kg C), ρ=7900 kg/m 3 α=/(ρcp)=4.5010-6 m /s Επομένως: β1. Για κύινδρο μεγάου μήκους (από Παράδειγμα.0): hr B αt r t 1 9.9 4.86 0.101 h αt B t 0.05 Q Q t ma κυ 0.6 β. Αντίστοιχα για μεγάο επίπεδο τοίχο πάχους L= =15 cm: h B αt t 1 6.6.16 0.15 h αt B t 0.05 Q Q t ma κυ 0.3 Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-30

Παράδειγμα 6.5 : Ψύξη κυίνδρου μικρού μήκους (4/4) θ = 00 ο C h =40 W/(m C) D = 10 cm θ = 600 C L=15 cm Κύινδρος από ανοξείδωτο χάυβα 304 Σχήμα 6.0. Σχηματική απεικόνιση του Παραδείγματος 6.5. Q Q Λύση: (β) Ποσό θερμότητας που έχει μεταφερθεί σε t =45 mn ma D Q Q t ma Q Q ma κυ 1 0.6 Q Q ma Q Q t ma κυ 1 0.3 Για το διδιάστατο σχήμα: Q Q Q ma 0.7 D Qma,D 0.6 0.3 1 Q D 1 0.6 0. 7 1493 kj Ιδιότητες: =19.8 W/(m C), Cp=557 J/(kg C), ρ=7900 kg/m 3 α=/(ρcp)=4.5010-6 m /s Q ma, D Q ma, D (9.31 kg) (0.557 kj kg 074 kj 1 C 1 ) (600 00) C 3 m ρv (7900kg / m ) π (0.05m) (0.15m) 9.31kg Q ma, D mc (θ θ ) p Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-31

Παράδειγμα 6.6 : Ψύξη κυίνδρου μικρού μήκους μέθοδος σώματος αμεητέας αντίστασης αγωγής (1/4) θ = 00 ο C h =40 W/(m C) D = 10 cm θ = 600 C L=15 cm Κύινδρος από ανοξείδωτο χάυβα 304 Σχήμα 6.1. Σχηματική απεικόνιση του Παραδείγματος 6.6. Ιδιότητες: =19.8 W/(m C), Cp=557 J/(kg C), ρ=7900 kg/m 3 α=/(ρcp)=4.5010-6 m /s Δεδομένα: Το πρόβημα που παρουσιάζεται στο παράδειγμα 6.5. Ζητείται Να αξιοογηθεί η δυνατότητα εφαρμογής της μεθόδου σώματος αμεητέας αντίστασης αγωγής και να υποογιστούν και πάι: (α) Η θερμοκρασία του κυίνδρου 45 mn μετά την έναρξη της διαδικασίας ψύξης (β) Το ποσό θερμότητας που έχει μεταφερθεί κατά τη διάρκεια των 45 mn. Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-3

Παράδειγμα 6.6 : Ψύξη κυίνδρου μικρού μήκους μέθοδος σώματος αμεητέας αντίστασης αγωγής (/4) θ = 00 ο C h =40 W/(m C) Λύση: D = 10 cm Προϋπόθεση για την εφαρμογή της μεθόδου: θ = 600 C L=15 cm B h 0 0.1 όπου: 0 V A Κύινδρος από ανοξείδωτο χάυβα 304 Σχήμα 6.1. Σχηματική απεικόνιση του Παραδείγματος 6.6. Ιδιότητες: =19.8 W/(m C), Cp=557 J/(kg C), ρ=7900 kg/m 3 α=/(ρcp)=4.5010-6 m /s 0 B V A 3 πr L 1.17810 m πr πr L 0.068 m h 0 3 0 0.01876m 40 W /(m C) 0.01876 m 0.0379 0.1 19.8W /(m C) Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-33

Παράδειγμα 6.6 : Ψύξη κυίνδρου μικρού μήκους μέθοδος σώματος αμεητέας αντίστασης αγωγής (3/4) θ = 00 ο C h =40 W/(m C) D = 10 cm Λύση: B 0.0379 0.1 (α) Η θερμοκρασία του κυίνδρου σε t =45 mn θ = 600 C L=15 cm θ θ θ θ e t / T mcp T ha Κύινδρος από ανοξείδωτο χάυβα 304 Σχήμα 6.1. Σχηματική απεικόνιση του Παραδείγματος 6.6. mcp ha ρvcp ha 3 3 3 (7900kg / m ) (1.17810 m ) (557 J /(kg (40 W /(m C)) (0.068m ) T C)) T 063.5 s Ιδιότητες: =19.8 W/(m C), Cp=557 J/(kg C), ρ=7900 kg/m 3 α=/(ρcp)=4.5010-6 m /s θ θ θ θ ep( θ 0.70 (θ t ) T θ 45mn 60s / mn ep( ) 063.5s ) θ θ 308.1 C ep( 1.31) 0.70 Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-34

Παράδειγμα 6.6 : Ψύξη κυίνδρου μικρού μήκους μέθοδος σώματος αμεητέας αντίστασης αγωγής (4/4) θ = 00 ο C h =40 W/(m C) Λύση: B 0.0379 0.1 D = 10 cm (α) Η θερμοκρασία του κυίνδρου σε t =45 mn θ 308.1 C θ = 600 C L=15 cm (β) Ποσό θερμότητας που έχει μεταφερθεί σε t =45 mn Q mcp (θ θ t ) (5183.6J/ C) (600 308.1) C Κύινδρος από ανοξείδωτο χάυβα 304 Σχήμα 6.1. Σχηματική απεικόνιση του Παραδείγματος 6.6. Ιδιότητες: =19.8 W/(m C), Cp=557 J/(kg C), ρ=7900 kg/m 3 α=/(ρcp)=4.5010-6 m /s Q 1513.3kJ Σύγκριση των δύο επιύσεων Διαγράμματα Hesler-Gröber Προσέγγιση σώματος αμεητέας αντίστασης αγωγής θ Q 38 C 1493 kj 308 C 1513 kj Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά ερμότητας και Μάζας 6-35

Κατάογος Σχημάτων (1/) Σχήμα 6.1. Αναπαράσταση κατανομής θερμοκρασιών σε διάφορους χρόνους (α) σε σώμα αμεητέας αντίστασης αγωγής, (β) όταν η αντίσταση αγωγής είναι σημαντική σε σύγκριση με την αντίσταση συναγωγής, Παπασιώπη Νυμφοδώρα (Προσωπικό αρχείο), Cengel Y.A.: Μεταφορά ερμότητας Μια Πρακτική Προσέγγιση, Εκδόσεις Τζιόα, 005. Σχήμα 6.. Σχηματική απεικόνιση για το Παράδειγμα 6.1., Cengel Y.A.: Μεταφορά ερμότητας Μια Πρακτική Προσέγγιση, Εκδόσεις Τζιόα, 005. Σχήμα 6.3. Ημι-άπειρο σώμα., Παπασιώπη Νυμφοδώρα (Προσωπικό αρχείο). Σχήμα 6.4. Διάγραμμα μεταβοής αδιάστατης θερμοκρασίας συναρτήσει παραμέτρων Φ και ξ για την μεταβατική αγωγή σε ημι-άπειρο σώμα., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 198. Σχήμα 6.5. Σχηματική απεικόνιση για το Παράδειγμα 6.., Παπασιώπη Νυμφοδώρα (Προσωπικό αρχείο). Σχήμα 6.6. Διαγράμματα Hesler και Gröber για (α) μεγάο επίπεδο τοίχο, (β) κύινδρο μεγάου μήκους, (γ) σφαίρα., Cengel Y.A.: Μεταφορά ερμότητας Μια Πρακτική Προσέγγιση, Εκδόσεις Τζιόα, 005. Σχήμα 6.7. Μεταβοή της θερμοκρασίας με τον χρόνο στο επίπεδο συμμετρίας., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 198. Σχήμα 6.8. Μεταφερόμενη θερμότητα ως συνάρτηση του χρόνου., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 198. Σχήμα 6.9. ερμοκρασία σε άες θέσεις σε σχέση με την θερμοκρασία στο επίπεδο συμμετρίας., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 198. Σχήμα 6.10. Μεταβοή της θερμοκρασίας με τον χρόνο στον άξονα συμμετρίας., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 198.

Κατάογος Σχημάτων (/) Σχήμα 6.11. Μεταφερόμενη θερμότητα ως συνάρτηση του χρόνου., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 198. Σχήμα 6.1. ερμοκρασία σε άες θέσεις σε σχέση με την θερμοκρασία στον άξονα συμμετρίας., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 198. Σχήμα 6.13. Μεταβοή της θερμοκρασίας με τον χρόνο στο κέντρο., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 198. Σχήμα 6.14. Μεταφερόμενη θερμότητα ως συνάρτηση του χρόνου., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 198. Σχήμα 6.15. ερμοκρασία σε άες θέσεις σε σχέση με την θερμοκρασία στο κέντρο., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 198. Σχήμα 6.16. Σχηματική απεικόνιση του Παραδείγματος 6.3., Παπασιώπη Νυμφοδώρα (Προσωπικό αρχείο). Σχήμα 6.17. Σχηματική απεικόνιση του Παραδείγματος 6.4., Παπασιώπη Νυμφοδώρα (Προσωπικό αρχείο). Σχήμα 6.18. Ένας κύινδρος μικρού μήκους με r 0 και ύψος α είναι η διατομή ενός κυίνδρου μεγάου μήκους με ακτίνα r 0 και ενός επίπεδου τοίχου πάχους α., Cengel Y.A.: Μεταφορά ερμότητας Μια Πρακτική Προσέγγιση, Εκδόσεις Τζιόα, 005. Σχήμα 6.19. Το προφί μίας συμπαγούς ράβδου μεγάου μήκους a b είναι η διατομή των δύο επίπεδων τοίχων πάχους a και b., Cengel Y.A.: Μεταφορά ερμότητας Μια Πρακτική Προσέγγιση, Εκδόσεις Τζιόα, 005. Σχήμα 6.0. Σχηματική απεικόνιση του Παραδείγματος 6.5., Παπασιώπη Νυμφοδώρα (Προσωπικό αρχείο). Σχήμα 6.1. Σχηματική απεικόνιση του Παραδείγματος 6.6., Παπασιώπη Νυμφοδώρα (Προσωπικό αρχείο).

Κατάογος Πινάκων Πίνακας 6.1. Πίνακας αδιαστατοποιημένων μεταβητών, Παπασιώπη Νυμφοδώρα (Προσωπικό αρχείο). Πίνακας 6.. Πίνακας οριακών συνθηκών, Παπασιώπη Νυμφοδώρα (Προσωπικό αρχείο). Πίνακας 6.3. Συνάρτηση σφάματος erfφ, Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μετααφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 198.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υικό έχει αναπτυχθεί στα παίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υικού. Το έργο υοποιείται στο παίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.