ΦΩΤΙΟΣ ΚΑΣΟΛΗΣ PhD Εφαρμοσμένων Μαθηματικών MSc Μαθηματικής Φυσικής ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ Κβαντομηχανικής ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 216
Ε Ν Ο Τ Η Τ Α 1 Στοιχεία συναρτησιακής ανάλυσης Βασικοί ορισμοί Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών Τα στοιχεία του συνόλου C των μιγαδικών αριθμών είναι οι αριθμοί της μορφής z = x + iy, όπου x, y R και i 2 = 1. Ο πραγματικός αριθμός x ονομάζεται πραγματικό μέρος του z και γράφουμε x = Re(z), ενώ ο πραγματικός αριθμός y ονομάζεται φανταστικό μέρος του z και γράφουμε y = Im(z). Επιπλέον, ο μιγαδικός αριθμός z = x iy ονομάζεται συζυγής μιγαδικός του z και έχουμε zz = (x + iy)(x iy) = x 2 + y 2 = z 2 = z 2, όπου : C R είναι η απεικόνιση του μέτρου ενός μιγαδικού αριθμού. Κάθε μιγαδικός αριθμός z = x + iy μπορεί να παρασταθεί στο καρτεσιανό επίπεδο με το διάνυσμα OM, όπου O(, ) και M(x, y). Με εφαρμογή του πολικού μετασχηματισμού x = z cos θ, y = z sin θ και χρήση της ταυτότητας του Euler e iθ = cos θ + i sin θ, όπου θ R, παίρνουμε z = x + iy = z (cos θ + i sin θ) = z e iθ και z = x iy = z (cos θ i sin θ) = z (cos ( θ) + i sin ( θ)) = z e iθ. = Δοθέντος πραγματικού αριθμού >, οι συναρτήσεις u n : R C με τύπους u n (x) = 1 2 e ik nx x R, n =, ±1, ±2,... περιγράφουν επίπεδα κύματα κυματάριθμου k n = nπ/. Κάθε u n είναι περιοδική με περίοδο 2, δηλαδή u n (x + 2) = u n (x) για κάθε x R. Λόγω της περιοδικότητας, περιορίζουμε τη μελέτη των u n σε ένα διάστημα μήκους 2, για παράδειγμα, στο [, +]. = Κάθε πεπερασμένο άθροισμα (γραμμικός συνδυασμός, επαλληλία, υπέρθεση) επίπεδων κυμάτων της μορφής N ψ(x) = c n u n (x), n= N c n C, x [, +], ορίζει μία ομαλή στο [, +] συνάρτηση ψ, για την οποία ψ( ) = ψ(+). Το παραπάνω άθροισμα ονομάζεται άθροισμα Fourier. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 1
Τετραγωνικά ολοκληρώσιμες συναρτήσεις = Μία συνάρτηση ψ : [a, b] C ονομάζεται τετραγωνικά ολοκληρώσιμη στο διάστημα [a, b] και γράφουμε ψ 2 ([a, b]), αν b a ψ(x)ψ(x)dx = b a ψ(x) 2 dx < +, όπου ψ(x) = ψ(x) είναι ο συζυγής μιγαδικός του ψ(x) C. Αν η ψ είναι ορισμένη και τετραγωνικά ολοκληρώσιμη στο R = (, + ), τότε λαμβάνουμε τα όρια του παραπάνω ολοκληρώματος καθώς a και b + και γράφουμε ψ 2 (R). k Παράδειγμα Έστω η συνάρτηση ϕ : R R C με τύπο ϕ(x, t) = e a( m ħ x2 +it), όπου m,ħ, a >. Δεδομένου t = t ορίζουμε ψ(x) = ϕ(x, t ). Η συνάρτηση ψ γράφεται ψ(x, t) = e a m ħ x2 e iat, και παρατηρούμε ότι ψ(x) = e a m ħ x2, δηλαδή + ψ(x) 2 dx = + e 2am ħ x2 dx = πħ 2am < + και ως εκ τούτου, η ψ είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη στο R. Το ολοκλήρωμα Θέτουμε I = I 2 = + ( + + e ax2 dx, όπου a > e ax2 dx και υψώνουμε στο τετράγωνο, ώστε e ax2 dx) 2 = ( + ) ( + ) e ax2 dx e ax2 dx. Με αλλαγή της μεταβλητής ολοκλήρωσης, ενός εκ των δύο τελευταίων ολοκληρωμάτων, από x σε y παίρνουμε I 2 = ( + ) ( + ) e ax2 dx e ay2 dy = + + e a(x2 +y 2) dxdy. Θέτουμε r 2 = x 2 + y 2 και εισάγουμε την Ιακωβιανή διόρθωση rdrdθ, ώστε I 2 = 2π + re ar2 drdθ. 2 ΦΩΤΙΟΣ ΚΑΣΟΛΗΣ
Υπολογίζουμε το εσωτερικό ολοκλήρωμα με την αντικατάσταση u = ar 2, από την οποία παίρνουμε du = 2ardr rdr = 1 du και u + καθώς 2a r +. Ως εκ των άνω, + re ar2 dr = 1 2a lim l + l e u du = 1 2a lim ( e l + e ) = 1 l + 2a. Τελικά, για το ολοκλήρωμα I έχουμε 2π I 2 1 = 2a dθ = π π a I = a, όπου I >, αφού e ax2 > για κάθε x R. Ασυνεχής συνάρτηση του 2 ([, +]) Μία τετραγωνικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση δεν είναι απαραίτητα συνεχής. Για παράδειγμα η χαρακτηριστική συνάρτηση χ : R {, 1} με τύπο { 1, αν x 1, χ(x) =, αν x > 1, δεν είναι συνεχής στο +1 και στο 1, αλλά είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη σε κάθε διάστημα της μορφής [, +]. = Έστω ότι προσεγγίζουμε μία ασυνεχή και τετραγωνικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση ψ με το άθροισμα Fourier. Το άθροισμα Fourier είναι ομαλή συνάρτηση και ως εκ τούτου, προσπαθούμε να προσεγγίσουμε μία ασυνεχή συνάρτηση με μία συνάρτηση που είναι απείρως παραγωγίσιμη. Κοντά στα σημεία ασυνέχειας της ψ, το άθροισμα Fourier εμφανίζει ταλαντώσεις, των οποίων το πλάτος δεν ελαττώνεται με προσθήκη περισσότερων όρων. Το φαινόμενο αυτό είναι γνωστό ως φαινόμενο Gibbs. Τελικά, λέμε ότι το άθροισμα Fourier δε συγκλίνει στην ψ σημειακά, αλλά ασθενώς. Διανυσματικοί χώροι Ο διανυσματικός χώρος (C n, +, ) Ένα διάνυσμα v C n μπορεί να γραφεί v = (v 1,..., v n ), v i C. Ο χώρος C n συνοδεύεται από τις κλειστές (αφού έχουν τιμές στον C n ) απεικονίσεις + : C n C n C n, : C C n C n, οι οποίες ορίζουν την πρόσθεση v + w και τον πολλαπλασιασμό με βαθμωτό α v, ώστε για κάθε α, β C και ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 3
κάθε v, w C n έχουμε (α v + β w) i = αv i + βw i i {1,..., n}. Η απεικόνιση (, ) : C n C n C με τύπο n ( v, w) = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n = v i w i, v, w C n, ονομάζεται εσωτερικό γινόμενο και είναι αντιγραμμική ως προς το πρώτο όρισμα και γραμμική ως προς το δεύτερο, δηλαδή (α v 1 + β v 2, w) = α( v 1, w) + β( v 2, w), α, β C, v 1, v 2, w C n, ( v, α w 1 + β w 2 ) = α( v, w 1 ) + β( v, w 2 ), α, β C, v, w 1, w 2 C n. Ορίζουμε την απεικόνιση : C n R με τύπο v = ( n ) 1/2 ( v, v) = v i 2, v C n, i=1 ώστε να μετράμε την απόσταση d( v, w) = v w των στοιχείων του C n. Για κάθε v, w C n ισχύει η ανισότητα Cauchy-Schwarz, ( v, w) v w, όπου η ισότητα αληθεύει, αν και μόνο v = α w, όπου α C. = Το σύνολο 2 ([a, b]) των τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων είναι διανυσματικός χώρος. Οι γραμμικοί συνδυασμοί των συναρτήσεων/διανυσμάτων ψ και ϕ του 2 ([a, b]) ορίζονται σημειακά, δηλαδή i=1 (αψ + βϕ)(x) = αψ(x) + βψ(x) x [a, b], και άμεσα προκύπτει ότι κάθε γραμμικός συνδυασμός τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση, δηλαδή ο 2 ([a, b]) εφοδιασμένος με τις συνήθεις πράξεις είναι κλειστός. Χώροι εσωτερικού γινομένου = Αν ψ, ϕ 2 ([a, b]), τότε η απεικόνιση : 2 ([a, b]) 2 ([a, b]) C με τύπο ψ ϕ = b a ψ(x)ϕ(x)dx 4 ΦΩΤΙΟΣ ΚΑΣΟΛΗΣ
ονομάζεται εσωτερικό γινόμενο του χώρου 2 ([a, b]) των τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων. Αποδεικνύεται ότι i. ψ ϕ = ϕ ψ για κάθε ψ, ϕ 2 ([a, b]), ii. ψ 1 + ψ 2 ϕ = ψ 1 ϕ + ψ 2 ϕ για κάθε ψ 1, ψ 2, ϕ 2 ([a, b]), iii. αψ ϕ = α ψ ϕ και ψ αϕ = α ψ ϕ για κάθε ψ, ϕ 2 ([a, b]) και κάθε α C, iv. ψ ψ για κάθε ψ 2 ([a, b]) και ψ ψ =, αν και μόνο αν ψ(x) = σχεδόν παντού. = Αν ψ 2 ([a, b]), τότε η απεικόνιση : 2 ([a, b]) R με τύπο ψ = ( b ψ ψ = ψ(x) 2 dx a ) 1/2 λαμβάνει πεπερασμένη τιμή, δηλαδή ψ < +, και ονομάζεται στάθμη ή νόρμα του χώρου 2 ([a, b]) των τετραγωνικά ολοκληρώσιμων στο [a, b] συναρτήσεων. = Έστω μία μη μηδενική, τετραγωνικά ολοκληρώσιμη στο [a, b] συνάρτηση ψ, δηλαδή ψ < +. Ορίζουμε την κανονικοποιημένη συνάρτηση ψ θέτοντας ψ(x) = ψ(x) ψ = ψ(x), ώστε ψ = ψ ψ ψ(x) ψ = ψ ψ = 1. = Έστω ψ, ϕ δύο τετραγωνικά ολοκληρώσιμες στο [a, b] συναρτήσεις. Οι ψ, ϕ ονομάζονται ορθογώνιες μεταξύ τους και γράφουμε ψ ϕ, αν ψ ϕ =. Επιπλέον, οι ορθογώνιες συναρτήσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες, δηλαδή από την εξίσωση αψ + βϕ = έπεται α = β =. = Έστω {ψ n n =, ±1, ±2,...} ένα σύνολο τετραγωνικά ολοκληρώσιμων στο [a, b] συναρτήσεων. Αν για κάθε n, m {, ±1, ±2,...} έχουμε { 1, αν n = m, ψ n ψ m = δ n,m =, αν n m, τότε το σύνολο {ψ n n =, ±1, ±2,...} ονομάζεται ορθοκανονικό. = Ένα ορθοκανονικό σύνολο {ϕ n n = 1, 2,...} τετραγωνικά ολοκληρώσιμων στο [a, b] συναρτήσεων καλείται Hamel βάση του 2 ([a, b]), αν τον παράγει, δηλαδή αν κάθε στοιχείο ψ 2 ([a, b]) γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων ϕ n, ψ = n c n ϕ n, c n = ϕ n ψ, όπου οι c n C ονομάζονται συνιστώσες της συνάρτησης ψ. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 5
Ο 2 ([a, b]) ως χώρος Hilbert Ο χώρος 2 ([a, b]) των τετραγωνικά ολοκληρώσιμων στο [a, b] συναρτήσεων είναι πλήρης μετρικός χώρος εφοδιασμένος με εσωτερικό γινόμενο, δηλαδή κάθε ακολουθία (ψ n ), για την οποία ψ n ψ m καθώς n, m + (ακολουθία Cauchy), είναι συγκλίνουσα στον 2 ([a, b]), δηλαδή συγκλίνει σε στοιχείο ψ 2 ([a, b]) ως προς τη μετρική που επάγεται από το εσωτερικό γινόμενο, ψ n ψ καθώς n +. Ως πλήρης μετρικός χώρος εφοδιασμένος με εσωτερικό γινόμενο ο 2 ([a, b]) είναι χώρος Hilbert. k Παράδειγμα Έστω η συνάρτηση ψ : [, +] R, με τύπο ψ(x) = A sin nπx, όπου, A > και n {1, 2,...}. Αν η ψ είναι κανονικοποιημένη συνάρτηση, τότε ψ = 1, δηλαδή ψ 2 = 1 + ϕ(x) 2 dx = 1 A 2 + A 2 = 1 A = 1. Η σταθερά A ονομάζεται σταθερά κανονικοποίησης. sin 2 nπx dx = 1 + Το ολοκλήρωμα sin 2 nπx dx, όπου > και n N {} Το ολοκλήρωμα αυτό υπολογίζεται με χρήση της ταυτότητας αποτετραγωνισμού Έχουμε + sin 2 nπx = 1 ( 1 cos 2nπx ). 2 sin 2 nπx + dx = 1 + 2 dx 1 2nπx cos 2 dx = ( sin 2nπx ) + =. 4nπ 6 ΦΩΤΙΟΣ ΚΑΣΟΛΗΣ
k Παράδειγμα 2nπx i Έστω το σύνολο {ψ n n Z}, όπου ψ n : [, ] C με τύπο ψ k (x) = e και >. Για κάθε n, m Z έχουμε ψ n ψ m = ψ n (x)ψ m (x)dx = e i 2nπx e i 2mπx dx = e i 2(n m)πx dx. Παρατηρούμε ότι αν n = m, τότε ψ n ψ n = ψ n = και ως εκ τούτου, μπορούμε να κατασκευάσουμε τις κανονικοποιημένες συναρτήσεις με τύπους ψ n (x) = ψ n (x)/. Επιπλέον, αν n m, τότε ψ n ψ m = i 2(n m)π Τελικά, έχουμε e i 2(n m)πx ) (e i 2(n m)π 1 ψ n ψ m = δ n,m ψ n ψ m i dx = 2(n m)π = δ n,m i = 2(n m)π ) (e i 2(n m)πx = ( ) e i2(n m)π 1 =. ψn ψm = δ n,m ψ n ψ m = δ n,m και ως εκ τούτου, το σύνολο { ψ n n Z} είναι ορθοκανονικό. k Παράδειγμα Αν οι συναρτήσεις ψ, ϕ είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμες στο R, τότε ο γραμμικός συνδυασμός u = αψ+βϕ είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη στο R συνάρτηση για κάθε α, β C. Για να αποδείξουμε ότι η u είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη στο R πρέπει να δείξουμε ότι u 2 < +. Έχουμε u 2 = αψ + βϕ 2 = αψ + βϕ αψ + βϕ = α 2 ψ 2 + αβ ψ ϕ + βα ϕ ψ + β 2 ϕ 2. Παρατηρούμε ότι αβ ψ ϕ + βα ϕ ψ = αβ ψ ϕ + αβ ψ ϕ = 2Re(αβ ψ ϕ ) 2 α β ψ ϕ και ως εκ τούτου, παίρνουμε u 2 α 2 ψ 2 + 2 α β ψ ϕ + β 2 ϕ 2. Επιπλέον, με χρήση της ανισότητας Cauchy-Schwarz, ψ ϕ ψ ϕ, ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 7
συμπεραίνουμε ότι u 2 α 2 ψ 2 + 2 α ψ β ϕ + β 2 ϕ 2 = ( α ψ + β ϕ ) 2 < + αφού α, β R και ψ, ϕ R. Ως εκ των άνω, u 2 < + u u < + δηλαδή είναι u 2 (R). + u(x) 2 dx < +, Γραμμικοί τελεστές = Έστω V, W διανυσματικοί χώροι επί του σώματος C των μιγαδικών αριθμών. Κάθε απεικόνιση T : V W ονομάζεται τελεστής και γράφουμε T (v) = w, όπου v V και w W. Μας ενδιαφέρει η περίπτωση V = W = 2 ([a, b]) και ως εκ τούτου, αν ψ, ϕ 2 ([a, b]), τότε T (ψ) = ϕ 2 ([a, b]). = Ένας τελεστής T : 2 ([a, b]) 2 ([a, b]) ονομάζεται γραμμικός, αν T (αψ + βϕ) = α T (ψ) + β T (ϕ) ψ, ϕ 2 ([a, b]), α, β C. Αν ένας τελεστής T είναι γραμμικός, τότε αντί T (ϕ) γράφουμε T ϕ ή T ϕ. = Το σύνολο των γραμμικών τελεστών T : 2 ([a, b]) 2 ([a, b]) συμβολίζεται ([a, b]) και αν δε δηλώνεται διαφορετικά, κάθε τελεστής του κειμένου είναι στοιχείο του ([a, b]) ή κατάλληλου υποσυνόλου αυτού. = Έστω δύο τελεστές Ŝ, T. i. Οι τελεστές Ŝ, T ονομάζονται ίσοι και γράφουμε Ŝ = T, αν και μόνο αν Ŝψ = T ψ για κάθε ψ 2 ([a, b]). ii. Ο τελεστής Ŝ + T, για τον οποίο (Ŝ + T )ψ = Ŝψ + T ψ, όπου ψ 2 ([a, b]), ονομάζεται άθροισμα των τελεστών Ŝ, T. iii. Ο τελεστής Ŝ T ορίζεται ως η σύνθεση Ŝ T, δηλαδή (Ŝ T )ψ = Ŝ( T (ψ)), όπου ψ 2 ([a, b]), και ονομάζεται γινόμενο των τελεστών Ŝ, T. iv. Αν Ŝ T ψ = Îψ = ψ για κάθε ψ 2 ([a, b]), όπου Î ο ταυτοτικός τελεστής, τότε ο Ŝ καλείται αντίστροφος του T (και ο T αντίστροφος του Ŝ) και γράφουμε Ŝ = T 1. 8 ΦΩΤΙΟΣ ΚΑΣΟΛΗΣ
= Το γινόμενο δύο τελεστών Ŝ, T δε μετατίθεται, δηλαδή Ŝ T T Ŝ και ως εκ τούτου, ορίζουμε το γραμμικό τελεστή [Ŝ, T ] = Ŝ T T Ŝ, ο οποίος ονομάζεται μεταθέτης. Αποδεικνύεται ότι i. [Ŝ, T ] + [ T, Ŝ] =, ii. [ R, [Ŝ, T ]] = [Ŝ, [ T, R]] + [ T, [ R, Ŝ]], iii. [ R, Ŝ T ] = Ŝ[ R, T ] + [ R, Ŝ] T. Φραγμένοι τελεστές Ένας τελεστής T ονομάζεται φραγμένος, αν υπάρχει πραγματικός αριθμός c >, ώστε T ψ c ψ ψ 2 ([a, b]). Η μικρότερη τέτοια σταθερά ορίζεται ως στάθμη του τελεστή T και γράφουμε T = sup { T } ψ ψ ψ 2 ([a, b]) {}. Σημειώνουμε ότι το supremum είναι μη αρνητικός αριθμός, αφού λαμβάνεται επί μη κενού και άνω φραγμένου συνόλου πραγματικών αριθμών. Παρατηρούμε ότι παρά τη χρήση κοινού συμβολισμού, η απεικόνιση : 2 ([a, b]) R που ορίστηκε ως στάθμη του 2 ([a, b]) είναι διαφορετική από την απεικόνιση : ([a, b]) R, αφού τα πεδία ορισμού αυτών δεν ταυτίζονται. Στο πλαίσιο της κβαντικής μηχανικής, οι σημαντικότεροι τελεστές είναι ο τελεστής θέσης ψ xψ, o τελεστής παραγώγισης ψ ψ και ο τελεστής aplace ψ ψ = n 2 ψ/ x 2 n. Οι τελεστές αυτοί δεν είναι φραγμένοι στα υποσύνολα του 2 ([a, b]), στα οποία ορίζονται. k Παράδειγμα Έστω ο τελεστής d/dx : 2 ([, 1]) C 1 ([, 1]) 2 ([, 1]) και η ακολουθία (ψ n ), όπου ψ n (x) = x n. Έχουμε dx n ( 1 1/2 dx = n 2 x dx) 2n 2 = n 2n 1 > n 2n + 1 = n x n, ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 9
δηλαδή dx n dx x n + καθώς n + και δεν υπάρχει σταθερά c >, ώστε (x n ) c x n. Ως εκ τούτου, ο d/dx δεν είναι φραγμένος ως προς τις επιλεγμένες στάθμες. Τελεστικά προβλήματα ιδιοτιμών - Φασματική θεωρία = Έστω ϕ, ψ 2 ([a, b]) και ο φραγμένος, γραμμικός τελεστής T. Ο τελεστής T, ο οποίος εξασφαλίζει την αλήθεια της εξίσωσης ϕ T ψ = T ϕ ψ b a ϕ(x)( T ψ)(x)dx = b a ( T ϕ)(x)ψ(x)dx καλείται συζυγής ή συναφής του T. Αν α, β C, τότε για τους τελεστές Ŝ, T αποδεικνύεται ότι i. ( T ) = T, ii. (αŝ + β T ) = αŝ + β T, iii. (Ŝ T ) = T Ŝ. Επιπλέον, ο T είναι μοναδικά ορισμένος, φραγμένος και γραμμικός τελεστής και ισχύει T = T. = Αν T = T, τότε ϕ T ψ = T ϕ ψ, όπου ϕ, ψ 2 ([a, b]), και ο T ονομάζεται ερμιτιανός, ενώ αν T = T, τότε ονομάζεται ανθερμιτιανός. Το πεδίο ορισμού των T, T Έστω T ένας φραγμένος, γραμμικός τελεστής με πεδίο ορισμού D( T ) και T o συζυγής αυτού. Κάθε ψ D( T ) είναι στοιχείο του πεδίου ορισμού D( T ) του T και T ψ = T ψ ψ D( T ) D( T ). Από τα παραπάνω δεν έπεται ότι οι τελεστές T, T είναι ίσοι, αφού μπορεί D( T ) D( T ) και ως εκ τούτου, ο T είναι μία επέκταση του T. Στην περίπτωση αυτή, ο T ονομάζεται συμμετρικός, ενώ αν D( T ) = D( T ), τότε ο T ονομάζεται ερμιτιανός. 1 ΦΩΤΙΟΣ ΚΑΣΟΛΗΣ
k Παράδειγμα Έστω ο τελεστής T με τύπο T ψ = iψ για κάθε ψ D( T ) = {ψ 2 ([, 1]) ψ 2 ([, 1]), ψ() = ψ(1) = }, δηλαδή η ψ είναι (ασθενώς) παραγωγίσιμη με τετραγωνικά ολοκληρώσιμη παράγωγο και ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες Dirichlet ψ() = ψ(1) =. Έχουμε ϕ T ψ = ϕ iψ = i ( ) 1 i ϕ(x)ψ(x) + i 1 1 (ϕ(x)) ψ(x)dx = iϕ ψ = T ϕ ψ. ϕ(x)ψ (x)dx = 1 Ο υπολογισμός αληθεύει για κάθε ψ D( T ) και κάθε iϕ (x)ψ(x)dx = ϕ D( T ) = {ψ 2 ([, 1]) ψ 2 ([, 1])}. Η συνοριακή συνθήκη που ικανοποιεί η ψ είναι αρκετή για το μηδενισμό του συνοριακού όρου, χωρίς να υπάρχει ανάγκη επιβολής επιπλέον συνθηκών στη ϕ. Το πεδίο ορισμού D( T ) είναι γνήσιο υπερσύνολο του D( T ) και ως εκ τούτου, ο T είναι συμμετρικός, αλλά όχι ερμιτιανός. = Έστω ένας τελεστής T. Ένα πρόβλημα T ψ n = α n ψ n, όπου ψ n 2 ([a, b]) και α n C, ονομάζεται πρόβλημα ιδιοτιμών. Η λύση ενός προβλήματος ιδιοτιμών είναι το σύνολο {ψ n } των λεγόμενων ιδιοσυναρτήσεων του T και το σύνολο σ( T ) = {α n } των αντίστοιχων ιδιοτιμών. Το σύνολο σ( T ) ονομάζεται φάσμα του T. Σημειώνουμε ότι η λύση ενός προβλήματος ιδιοτιμών δεν είναι μονοσήμαντα ορισμένη, αφού αν το ζεύγος ψ, α είναι λύση αυτού, τότε T (cψ) = c T ψ = cαψ = α(cψ) c C και ως εκ τούτου, τα ζεύγη cψ, α είναι επίσης λύσεις του προβλήματος ιδιοτιμών. k Παράδειγμα Δύο τελεστές Ŝ, T ονομάζονται όμοιοι, αν υπάρχει αντιστρέψιμος τελεστής R, ώστε T = R 1 Ŝ R. Αν ο τελεστής T ικανοποιεί το πρόβλημα ιδιοτιμών T ψ = αψ, τότε R 1 Ŝ Rψ = αψ R R 1 Ŝ Rψ = α Rψ ÎŜ( Rψ) = α( Rψ) Ŝ( Rψ) = α( Rψ), δηλαδή οι όμοιοι τελεστές έχουν ίδιο σύνολο ιδιοτιμών, σ( T ) = σ(ŝ), και ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 11
ιδιοσυναρτήσεις ψ και Rψ, όπου R ο τελεστής ομοιότητας. k Παράδειγμα Οι ιδιοτιμές ενός ερμιτιανού τελεστή T είναι πραγματικοί αριθμοί. Αν ο T ικανοποιεί το πρόβλημα ιδιοτιμών T ψ = αψ, τότε ψ T ψ = T ψ ψ ψ αψ = αψ ψ α ψ ψ = α ψ ψ. Επιπλέον, αν ψ, τότε ψ ψ = και ως εκ τούτου, α = α Re(α) + iim(α) = Re(α) iim(α) Im(α) =, δηλαδή a = Re(α) R. = Αν σε κάθε ιδιοτιμή α n ενός ερμιτιανού τελεστή T αντιστοιχεί ένα σύνολο γραμμικά εξαρτημένων ιδιοσυναρτήσεων ψ n, τότε λέμε ότι το φάσμα σ( T ) δεν παρουσιάζει εκφυλισμό. Στην περίπτωση αυτή, το σύνολο {ψ n } των ιδιοσυναρτήσεων του T είναι ορθογώνιο. k Παράδειγμα Έστω ψ n, ψ m, όπου ψ n ψ m, δύο ιδιοσυναρτήσεις ενός τελεστή T, του οποίου το φάσμα είναι μη εκφυλισμένο. Με χρήση του ορισμού των ερμιτιανών τελεστών και του προβλήματος ιδιοτιμών T ψ n = α n ψ n παίρνουμε ψ n T ψ m = T ψ n ψ m ψ n α m ψ m = α n ψ n ψ m α m ψ n ψ m = α n ψ n ψ m (α m α n ) ψ n ψ m =. Αλλά είναι α n α m και ως εκ τούτου, ψ n ψ m =, δηλαδή ψ n ψ m, όταν n m. = Αν το φάσμα ενός ερμιτιανού τελεστή T δεν παρουσιάζει εκφυλισμό, τότε κάθε συνάρτηση ψ 2 (R) μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των ορθογώνιων ιδιοσυναρτήσεων {ψ n } του T, δηλαδή ψ = c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 + + c l ψ l, όπου c n C για κάθε n. Αποδεικνύεται ότι για κάθε n έχουμε i. ψ n ψ = c n, ii. ψ ψ = c 1 2 + c 2 2 + + c l 2 και iii. ψ T ψ = α 1 c 1 2 + α 2 c 2 2 + + α l c l 2, όπου {α n } το σύνολο των ιδιοτιμών του T, 12 ΦΩΤΙΟΣ ΚΑΣΟΛΗΣ
όπου θεωρήσαμε ότι κάθε ψ n είναι κανονικοποιημένη, δηλαδή ψ n ψ n = 1. = Ως μέση τιμή T ενός ερμιτιανού γραμμικού τελεστή T ως προς μία τετραγωνικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση ψ ορίζουμε τον πραγματικό αριθμό T = ψ T ψ ψ ψ R. k Παράδειγμα Έστω οι τελεστές z, Ĥ = α 2 z, όπου α C. Αν ο z ικανοποιεί το πρόβλημα ιδιοτιμών z Φ n = nħφ n, όπου n Z και Φ n (φ) = e inφ / 2π, τότε z z Φ n = nħ z Φ n 2 zφ n = n 2 ħ 2 Φ n α 2 zφ n = αn 2 ħ 2 Φ n ĤΦ n = αn 2 ħ 2 Φ n. Η μέση τιμή του τελεστή Ĥ ως προς τη συνάρτηση ψ = 2Φ 1 Φ + (1 2i)Φ 1. είναι ψ Ĥψ Ĥ = = α 1 c 1 2 + α 2 c 2 2 + + α l c l 2 ψ ψ c 1 2 + c 2 2 + + c l 2, όπου {a n } = {αn 2 ħ 2 } το σύνολο των ιδιοτιμών του Ĥ και {c n} το σύνολο των συνιστωσών της ψ, δηλαδή Ĥ = α( 1)2 ħ 2 2 2 + α 2 ħ 2 1 2 + α1 2 ħ 2 1 2i 2 2 2 + 1 2 + 1 2i 2 = 9αħ2 1. Συμπάγεια Στο εκπαιδευτικό πλαίσιο ενός μαθήματος κβαντικής μηχανικής, έχουμε θυσιάσει ένα μεγάλο μέρος μαθηματικής αυστηρότητας και ακρίβειας. Μεταξύ άλλων, η έννοια της συμπάγειας ενός γραμμικού τελεστή είναι πρωταρχικής σημασίας. Υπενθυμίζουμε ότι σύμφωνα με το θέωρημα Bolzano-Weierstraß κάθε φραγμένη ακολουθία του R έχει συγκλίνουσα υπακολουθία. Το αποτέλεσμα αυτό γενικεύεται σε κάθε σταθμικό χώρο πεπερασμένης διάστασης. Ένας γραμμικός τελεστής T ορισμένος σε χώρο Hilbert H ονομάζεται συμπαγής, αν για κάθε φραγμένη ακολουθία (ψ n ) του H, η ακολουθία ( T ψ n ) έχει συγκλίνουσα υπακολουθία. Σημαντικό παράδειγμα συμπαγών τελεστών ορισμένων στον 2 ([a, b]) είναι ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 13
οι ολοκληρωτικοί τελεστές T της μορφής ( T ψ)(x) = b a K(x, y)ψ(y)dy, όπου a, b R και K συνεχής στο [a, b] [a, b] απεικόνιση. Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης παραπέμπεται στο πρώτο και στο δεύτερο κεφάλαιο του βιβλίου με τίτλο inear Integral Equations, Rainer Kress (Springer, 21) και πιο συγκεκριμένα, στον ορισμό της ισοσυνέχειας και στο θεώρημα Arzelà- Ascoli (σελ. 1, Θεώρημα 1.18). ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αποδείξετε ότι αν για κάθε n οι αριθμοί c n και c n είναι συζυγείς μιγαδικοί, τότε το άθροισμα Fourier είναι πραγματικός αριθμός. 2. Έστω ο γραμμικός συνδυασμός f(x) = e ik 1x + e ik 2x, k 1, k 2 R. Να βρείτε την περίοδο του μέτρου f(x). Ποια συνθήκη πρέπει να ικανοποιούν οι αριθμοί k 1, k 2, ώστε να είναι περιοδική η f. 3. Να αποδείξετε ότι το σύνολο {u n n =, ±1, ±2,...} είναι ορθοκανονικό, δηλαδή οι συναρτήσεις u n έχουν την ιδιότητα + { 1, αν n = m, u n (x)u m (x)dx = δ n,m =, αν n m. 4. Να αποδείξετε την ανισότητα Cauchy-Schwarz για το χώρο (C n, +, ). 5. Να αποδείξετε ότι το σύνολο C ([, 1]) των συνεχών στο [, 1] συναρτήσεων, εφοδιασμένο με τις συνήθεις πράξεις, είναι διανυσματικός χώρος. 6. Να αποδείξετε ότι αν δύο τετραγωνικά ολοκληρώσιμες στο [a, b] συναρτήσεις ψ, ϕ είναι ορθογώνιες, τότε είναι γραμμικά ανεξάρτητες. 14 ΦΩΤΙΟΣ ΚΑΣΟΛΗΣ
7. Να αποδείξετε ότι αν το σύνολο {ϕ n } είναι Hamel βάση του 2 ([a, b]), τότε οι συνιστώσες μίας συνάρτησης ψ 2 ([a, b]) είναι c n = ϕ n ψ. 8. Δοθείσας Hamel βάσης {ϕ n n = 1, 2,...} του 2 ([a, b]), να αποδείξετε ότι η ακολουθία (c n ) των συνιστωσών μίας τετραγωνικά ολοκληρώσιμης συνάρτησης ψ είναι τετραγωνικά αθροίσιμη, δηλαδή n c n 2 < +. 9. Να αποδείξετε ότι κάθε ψ, ϕ 2 ([a, b]) εξασφαλίζουν την αλήθεια του κανόνα του παραλληλόγραμμου, δηλαδή ψ + ϕ 2 + ψ ϕ 2 = 2( ψ 2 + ϕ 2 ). 1. Να αποδείξετε ότι οι τελεστές Ŝ = sin x d dx d sin x, T dx = cos x του χώρου των παραγωγίσιμων συναρτήσεων είναι ίσοι. 11. Έστω οι τελεστές Ŝ, T. Να εξετάσετε αν (Ŝ + T ) 2 = ( T + Ŝ)2 και αν (Ŝ + T ) 2 = Ŝ2 + T 2 + 2Ŝ T. 12. Έστω ο τελεστής μετάθεσης τ a με τύπο ( τ a ψ)(x) = ψ(x+a). Να αποδείξετε ότι τ a = e a d dx. 13. Να αποδείξετε τις ταυτότητες του μεταθέτη που αναφέρθηκαν παραπάνω, με χρήση του ορισμού. 14. Να αποδείξετε τις ιδιότητες του συζυγούς τελεστή που αναφέρθηκαν παραπάνω, με χρήση του ορισμού. 15. Να αποδείξετε ότι ο μοναδιακός τελεστής Û, δηλαδή ο τελεστής για τον οποίο Û Û = Î, απεικονίζει κανονικοποιημένες συναρτήσεις σε κανονικοποιημένες συναρτήσεις. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 15
16. Αν Ŝ, T, είναι ερμιτιανοί τελεστές, να εξετάσετε αν ο R = [Ŝ, T ]/(2i) είναι ερμιτιανός. 17. Έστω ο τελεστής T. Να αποδείξετε ότι οι τελεστές R = ( T + T )/2, Ŝ = i( T T )/2 είναι ερμιτιανοί και να βρείτε ικανή και αναγκαία συνθήκη, ώστε να μετατίθενται. 18. Αν ο τελεστής T είναι ερμιτιανός, τότε να αποδείξετε ότι ο τελεστής e i T είναι μοναδιακός. 19. Να εξετάσετε ποιες από τις συναρτήσεις με τύπους e x, x 3, sin x + cos x είναι ιδιοσυναρτήσεις του τελεστή d 2 /dx 2. 2. Να υπολογίσετε τις ιδιοτιμές του τελεστή T, για τον οποίο T n = Î, n N. 21. Αν ο τελεστής T ικανοποιεί το πρόβλημα T ψ = αψ, τότε να λύσετε το πρόβλημα ιδιοτιμών του τελεστή e T. 22. Έστω ο τελεστής ομοτιμίας P με τύπο ( P ψ)(x) = ψ( x). Να αποδείξετε ότι ο P είναι ερμιτιανός και μοναδιακός και να λύσετε το πρόβλημα ιδιοτιμών αυτού. 23. Αν ψ = l n=1 c nψ n, τότε να αποδείξετε τις εκφράσεις που αναφέρθηκαν παραπάνω. 24. Να λύσετε το πρόβλημα ιδιοτιμών του τελεστή z = iħd/dφ, όπου φ η πολική γωνία, και να κανονικοποιήσετε τις ιδιοσυναρτήσεις Φ n. 16 ΦΩΤΙΟΣ ΚΑΣΟΛΗΣ