Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- Κεφάλαιο ο -Εισαγωγικά. Γενικά Εισαγωγικά Σήµατα γενικά είναι µεταβλητές που µεταφέρουν κάποια πληροφορία Χαρακτηριστικά σήµατα είναι :! Φωνή! Μουσική! Βιοϊατρικα (εγκεφαλογραφήµατα κλπ)! Σεισµικά Ανάλογα µε την περίπτωση σε άλλες περιπτώσεις θέλουµε ενίσχυση η/και εξαγωγή της πληροφορίας ενώ σε άλλες θέλουµε εξασθένηση ή/και απόρριψη. Η διάκριση µεταξύ χρήσιµης και άχρηστης πληροφορίας εξαρτάται από την συγκεκριµµένη περίπτωση. Η επεξεργαστές των σηµάτων είναι είτε αναλογικοί είτε ψηφιακοί. Τα σήµατα που συναντάµε στη φύση είναι αναλογικά δηλ. η τιµή τους µεταβάλλεται συνεχως στο χρόνο και στο πλάτος µέγεθος. Αυτά τα σήµατα επεξεργάζονται µε ηλεκτρικά κυκλώµατα που αποτελούνται από ενεργά (tranitor κλπ) και παθητικά (R,L,C) στοιχεία. Αυτοί είναι αναλογικοί επεξεργαστές και κλασσικό παράδειγµα αποτελεί ο δέκτης ραδιοφώνου ή τηλεόρασης. Εάν όµως η επεξεργασία των γίνει µε ψηφιακά κυκλώµατα δηλαδή αθροιστές, πολλαπλασιαστές, καταχωρητές κλπ. Τότε µιλάµε για ψηφιακούς επεξεργαστές. Στην περίπτωση όµως αυτή τα σήµατα πρέπει να µετατραπούν σε µορφή κατάλληλη για ψηφιακο υλικό. Η µορφή αυτή είναι το ψηφιακό σήµα και το βασικό στοιχείο του είναι ότι παίρνει διακριτές και πεπερασµένες τιµές σε συγκεκριµµένες και όχι ολες τις στιγµές του χρόνου. Εποµένως µπορεί να παρασταθεί µε δυαδικούς αριθµούς (binary number bit). Οι ψηφιακές λειτουργίες µπορούν να κατηγοριοποιηθούν σε δύο κλάσεις: Ανάλυση σήµατος και φιλτράρισµα σήµατος Στην ανάλυση γίνεται µέτρηση των διαφόρων ιδιοτήτων του σήµατος. Μερικές εφαρµογές είναι φασµατική ανάλυση
Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- Κεφάλαιο ο -Εισαγωγικά αναγνώριση οµιλίας εύρεση χαρακτηριστικών καρδιογραφήµατος κλπ Στο φιλτράρισµα γίνεται τροποποίηση του σήµατος, όπως ενίσχυση ή εξασθένιση διαφόρων συχνοτήτων. Χαρακτηριστικές εφαρµογές είναι: καταστολή θορύβου διαχωρισµός φασµατικών ζωνών απαλλαγή από παρεµβολές κλπ Ο Ψηφιακός επεξεργαστής (Digital Signal Proceor DSP) περιλαµβάνει διάφορα στάδια που σχηµατικά µπορούν να παρασταθούν στο επόµενο διάγραµµα (σχήµα.) Αναλογικό σήµα Prefilter ADC DSP DAC Potfilter Αναλογικό σήµα Σχήµα. Ένα πλήρες σύστηµα Ψηφιακής επεξεργασίας σήµατος Στο σχήµα αυτό:! Prefilter υποδηλώνεται µία διαδικασία αντιαλλοιωσης που γίνεται µε ένα βαθυπερατό αναλογικό φίλτρο.! ADC analog to digital converter, µετατρέπει το αναλογικό σήµα σε ψηφιακό! DSP είναι η καρδιά του ψηφιακού επεξεργαστή, και µπορεί να είναι ένας επεξεργαστής γενικής χρήσεως ή ψηφιακό υλικό κλπ.! DAC Digital to analog convertor, Eκτελεί την αντίστροφη διαδικασία από τον ADC και αναπαράγει από το ψηφιακό σήµα ένα σηµα συνεχούς χρόνου που συνήθως έχει µία "κλιµακωτή µορφή" και που στη συνέχεια θα γίνει ένα αναλογικό σήµα.! Potfilter Αυτό το αναλογικό φίλτρο "λειαίνει" το σήµα εισόδου και από την κλιµακωτή µορφή που είχε γίνεται ένα κανονικό αναλογικό σήµα Η δοµή του ψηφιακού επεξεργαστή φαίνεται ότι είναι αρκετά πολύπλοκη. Αντίστοιχα ένας αναλογικός επεξεργαστής θα περιελαµβανε ένα µόνο τµήµα και εποµένως είναι πολύ απλούστερος. Η χρησιµοποίηση όµως ψηφιακής τεχνολογίας επεξεργαστών ενδείκνυται και έχει επικρατήσει για τους εξής λόγους:
Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- Κεφάλαιο ο -Εισαγωγικά 3! Συστήµατα που χρησιµοποιούν ψηφιακούς επεξεργαστές αναπτύσονται µε λογισµικό που "τρέχει" σε ένα υπολογιστή γενικής χρήσεως. Εποµένως δεν χρειάζεται ειδικό ψηφιακό υλικό ψηφιακά κυκλώµατα.! Οι πράξεις στους ψηφιακούς επεξεργαστές είναι προσθέσεις και πολλαπλασιασµοί και για τον λόγο αυτό η διαδιακασία είναι εξαιρετικά ευσταθής. Πχ. δεν επηρεάζεται από την θερµοκρασία ή την ανοχή των στοιχείων.! Οι ψηφιακές λειτουργίες µπορούν να τροποποιηθούν σε πραγµατικό χρόνο χωρίς να απαιτείται µεταβολή των στοιχείων κλπ.! Το κόστος των ψηφιακών επεξεργαστών είναι εξαιρετικά χαµηλό λόγω της τεχνολογίας ολοκλήρωσης υψηλής κλίµακας (VLSI) Πέρα των ανωτέρω πλεονεκτηµάτων οι ψηφιακοί επεξεργαστές έχουν ένα βασικό µειονέκτηµα: την χαµηλή ταχύτητα εκτέλεσης των πράξεων ειδικά σε σήµατα υψηλής συχνότητας. Τα στάδια που περιγράφονται στο παραπάνω σχήµα. εκτός (αυτού που αναφέρεται στο DSP) θα µας απασχολήσουν στη συνέχεια του κεφαλαίου αυτού. Ιδιαίτερη προσοχή θα δοθεί στη διαδικασία δειγµατοληψίας και ανακατασκευής του (αναλογικού) σήµατος. Το τµήµα που αναφέρεται στο DSP θα µας απασχολήσει ουσιαστικά στο υπόλοιπο τµήµα του βιβλίου αυτού.. ειγµατοληψία Η δειγµατοληψία του αναλογικού σήµατος αποτελεί το πρώτο και το ουσιαστικώτερο βήµα στην διαδικασία της ψηφιοποίησης. Στο σχ.. η διαδικασία αυτή εµπεριέχεται στο τµήµα ΑDC. Θα δούµε στο σηµείο αυτό την διαδικασία της δειγµατοληψίας και τις συνέπειες που έχει στο αναλογικό σήµα. Η µελέτη θα γίνει µε τον µετασχηµατισµό Fourier όπως ορίσθηκε για αναλογικά σήµατα και συνδέει τον αναλογικό µε τον ψηφιακό χώρο. ΕΝ θα αναφερθούµε στα επόµενα κεφάλαια πάλι στον µετασχ. Fourier για αναλογικά σήµατα και κάθε αναφορά στο πεδίο των συχνοτήτων θα σχετίζεται µε το διακριτό µετασχηµατισµό Fourier όπως θα ορισθεί στο κεφ.3 (DTFT) και που είναι βέβαια συµβατός µε τα προηγούµενα Ενα αναλογικό σήµα x(t) µετατρέπεται στο δειγµατοληπτηµένο x * (t) άν πολλαπλασιαστεί µε µία παλµοσειρά δ (t) (Σχήµα.).
Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- Κεφάλαιο ο -Εισαγωγικά 4 δ (t) x(t) x*(t)=x(t). δ (t) Σχήµα. Η πράξη της δειγµατοληψίας Θεωρούµε συνήθως ότι η παλµοσειρά αποτελείται απο παλµούς πολύ µικρού πλάτους ώστε να θεωρούνται συναρτήσεις δ(t). + k=_ δ (t) = δ(t - kt ) (.) δ T T (α) (β) Χ(jΩ) Α Χ (jω) Α/Τ Ω Ø Ω Ø Ω Ø Ω Ω (γ) (δ) Σχήµα.3 ειγµατοληψία: Το σήµα x(t) έχει φάσµα X(jΩ) (γ). Oταν δειγµατοληπτηθεί από την δ (α), γίνεται το σήµα x * (t) (β) και έχει φάσµα Χ * (jω) (δ) που είναι άπειρες επαναλήψεις του αρχικού φάσµατος. Η παλµοσειρά αυτή φαίνεται στο σχήµα.3α. Για το σήµα x * (t) ισχύει: x * (t)=x(t) δ (t) Εποµένως: + + * x (t) = x(t) δ(t - kt ) = x(t) δ(t - kt ) = x(kt ) δ(t - kt ) - - + - (.)
Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- Κεφάλαιο ο -Εισαγωγικά 5 Η σχέση αυτή δειχνει ότι το δειγµατοληπτηµένο σήµα x * (t) έχει τιµή µόνο τις χρονικές τιµές kt. Το σήµα x * (t) δεικνύεται στο σχήµα.3β Ας δούµε στη συνέχεια τι γίνεται στο πεδίο των συχνοτήτων µε τα δύο αυτά σήµατα: * * X (jω) = I{x (t)} = I{x(t)δ (t)} = I{x(t) + - Ck I{x(t)e jkωt + }= - - C e Ck X(jΩ - jk Ω) k jωkt } = (.3) όπου X(jΩ)=I{ x(t)} και Ω =π/τ Η τελευταία αυτή σχέση δείχνει ότι το δειγµατοληπτηµένο σήµα x * (t) έχει ένα φάσµα που παρουσιάζει επαναληπτικότητα. ηλαδή εάν το x(t) έχει φάσµα πλάτους όπως αυτό του σχ..3γ τότε το x * (t) έχει το φάσµα πλατους του σχήµατος.3δ περιέχει δηλαδή εκτός από την βασική ζώνη συχνοτήτων (k=) και ένα άπειρο πλήθος ζωνών µε περίοδο ω και πλάτος ανάλογο του C k που στην περίπτωση της δ είναι ίσον προς /Τ. Εάν η δειγµατοληψία δεν γίνεται µε την δ (t) αλλά µε µια παλµοσειρά πεπερασµένου πλάτους τότε το πλάτος αυτό των ζωνών έχει µία έξασθένηση της µορφής ηµ x/x. Η παραπάνω σχέση (.3) φέρεται µε την ονοµασία σχέση αλλοίωσης (aliaing formula), και ερµηνεύει όλα τα φαινόµενα που παρατηρούνται στη διαδικασία δειγµατοληψίας. Η σχέση (.3) είναι πολύ βασική στη σύνδεση του αναλογικού µε το ψηφιακό σήµα. Ουσιαστικά ο µεσχηµατισµός Fourier στα ψηφιακά σήµατα (ΚΕΦ.3-DTFT) παρότι εισάγεται αξιωµατικά είναι απόλυτα συµβατός µε την σχέση αυτή που προέρχεται από τον αναλογικό µετασχ. Fourier. Αξίζει εποµένως να προτρέξουµε λίγο και να δούµε τις συνέπειες της δειγµατοληψίας σε "ψηφιακή βάση" (DTFT) Καταρχάς η αναλογική συχνότητα Ω που µετρειται σε rad/ec και η ψηφιακή ω που µετρείται σε rad/ample συνδέονται µε την (προφανή) σχέση: Ω=ω/Τ (.4) H σχέση (.3) χρησιµοποιώντας και την (.4) γίνεται: X(e jω ω π ) = X[j( k)] T T Τ (.5) k= Ας σηµειωθεί ότι στο α µέλος ο µετασχ. Fourier είναι στο ψηφιακό χώρο (και το ω είναι σε rad/ample) ενώ στο β µέλος είναι στον αναλογικό χώρο (ω /Τ # rad/ec) Εάν περιορίσουµε την συχνότητα στην περιοχή π/τ <ω/τ <π/τ #
Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- Κεφάλαιο ο -Εισαγωγικά 6 X(e jω ) = T X(j ω Τ ) (.6) Η τελευταία αυτή σχέση εκφράζει το θεώρηµα δειγµατοληψίας στο χώρο της συχνότητας για σήµατα περιορισµένου εύρους συχνοτήτων (band limited ignal). Συµπερασµατικά το θεώρηµα δειγµατοληψίας λέγει: Ένα αναλογικό σήµα x a (t) µε περιορισµένο φάσµα εύρους F o µπορεί να ανακατασκευασθεί από τα δείγµατά του x(n)=x a (nt ) εάν η συχνότητα δειγµατοληψίας F = /T είναι διπλάσια του εύρους F o, F >F o (.7) Σε κάθε άλλη περίπτωση υπάρχει αλλοίωση του φάσµατος (aliaing) και το σήµα δεν µπορεί να ανακατασκευασθεί. H συχνότητα F / ονοµάζεται συχνότης Nyquit και το διάστηµα [-F /, F /] διάστηµα Nyquit Αντίστροφα όταν ένα σήµα x a (t) δειγµατοληπτείται η µεγαλύτερη συχνότητα που παραµένει αναλλοίωτη είναι F / Hz (ω=π). H αρχή της δειγµατοληψίας αναφέρεται και σαν θεώρηµα Shannon. Παράδειγµα X(jΩ) (α) 3 4 5 8 6 3 4 5 8 6 (β) 3 4 5 6 8 6 (γ) 3 4 5 8 6 #f (khz) (δ) Σχήµα. 4 Το αποτέλεσµα της δειγµατοληψίας στο φάσµα του σήµατος. Το σήµα έχει µέγιστη συχνότητα f m =3kHz και δειγµατοληπτείται µε f =8kHz. Στην γ γραµµή η αλληλεπικάλυψη των φασµάτων είναι οριακή. Ενώ στην δ έχουµε αλλοίωση διότι f m.> f / Στο Matlab η συχνότητα F / είναι η κανονικοποιηµένη συχνότητα δηλ =.
Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- Κεφάλαιο ο -Εισαγωγικά 7 Πίνακας Τυπικές συχνότητες δειγµατοληψίας για συνήθη σήµατα ΤΥΠΟΣ ΣΗΜΑΤΟΣ ΜΕΓΙΣΤΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Γεωφυσικά 5Hz khz Bιοϊατρικά khz khz Μηχανικά khz 4kHz Φωνή 4kHz 8kHz Ηχος (audio) khz 4kHz Eικόνα (video) 4MHz 8MHz ειγµατοληψία και ασάφεια Η υπο-δειγµατοληψία µπορεί να ερµηνευτεί και σαν αιτία ασάφειας στη διαδικασία ανακατασκευής του αναλογικού σήµατος από το ψηφιακό. ηλ. στα σηµεία x(n) του ψηφιακού σήµατος δεν αντιστοιχεί ένα µονο αναλογικό x a (t) αλλά πολλά εφόσον η µεγαλύτερη επιτρεπόµενη συχνότητα είναι F o >F /.5 x(n) x x.5 -->n -.5 - -.5 3 4 5 6 7 Σχήµα. 5 Το σήµα x έχει συχνότητα 5πλάσια του x. Παρόλα αυτά το σήµα x(n) αντιστοιχεί και στα δύο σήµατα. Η δειγµατοληψία που έχει γίνει για το x ικανοποιεί το θεώρηµα δειγµατοληψίας και αναπαριστά σωστά το σήµα x. Για το x όµως δεν ικανοποιείται και δεν µπορεί σε καµµία περίπτωση να θεωρηθεί σωστή δειγµατοληψία. Αυτή είναι και η αιτία της ασάφειας. Φίλτρο περιορισµού συχνοτήτων φίλτρο αντιαλλοίωσης. Συνέπεια των παραπάνω είναι η ανάγκη χρησιµοποίησης ενός βαθυπερατού αναλογικού φίλτρου πρίν από την διαδικασία δειγµατοληψίας για τον περιορισµό των συχνοτήτων του αναλογικού σήµατος. Στο σχήµα. αυτό αποτελεί ουσιαστικά την πρώτη βαθµίδα και πρίν από τον ADC.
Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- Κεφάλαιο ο -Εισαγωγικά 8 Παράδειγµα Το βαθυπερατό φίλτρο RC του σχήµατος αποτελεί το φίλτρο αντιαλλοίωσης στην είσοδο ενός συστήµατος DSP. Ζητείται η τιµή της συχνότητας δειγµατοληψίας f εάν η επιτρεπτή άλλοίωση (σφάλµα) είναι %. kω Aναλογικό σήµα kω.8µf S/H ιακριτό σήµα H x b x a f c = f a f khz H απόκριση συχνότητας του φίλτρου είναι : H(f ) = όπου η συχνότητα αποκοπής είναι f c =/πrc=khz [ + (f / f ) ] / c To φάσµα αυτό θα επαναλαµβάνεται λόγω της δειγµατοληψίας κάθε f khz. Στη συχνότητα f c =khz η ενίσχυση είναι x b =.77(του µεγίστου), εποµένως η ενίσχυση x a =.77 x.=.44 και η συχνότητα f a υπολογίζεται ως:.44 = #f a =4.4kHz [ + (f / ] / a ) Αρα f (ελάχιστη) = f c +f a = 4.4+ = 43.4kHz.3 Κβάντιση Μετά τη διαδικασία της δειγµατοληψίας που περιγράψαµε προηγουµένως ακολουθεί η διαδικασία κβάντισης του σήµατος. προκειµένου το σήµα να πάρει την ψηφιακή του µορφή. Στη διαδικασία κβάντισης υπεισέρχεται ένα σφάλµα που είναι συνάρτηση του αριθµού των bit του ADC και προσεγγίζεται µε το ½ του LSB (λιγώτερο σηµαντικού ψηφίου) ή ισοδύναµα το ½ της στάθµης κβάντισης.
Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- Κεφάλαιο ο -Εισαγωγικά 9 Παράδειγµα 7 6 5 4 3 τιµή : 3 4 7 6 4 5 σφάλµα: -. -.3 -.4 -.3. -. -.45 Σχήµα. 6 Στο παραπάνω σχήµα έχουµε 3 = 8 στάθµες κβάντισης. Το βήµα έχει τιµή = που µπορεί να αντιστοιχεί σε κάποια τιµή πχ. τάσεως. V. Όταν η τιµή του σήµατος εµπίπτει στο µεταξύ διάστηµα των σταθµών ('εντονες γραµµές στο σχήµα) τότε λαµβάνει την τιµή της στάθµης (-7). Το σφάλµα µπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό αλλά πάντα στο διάστηµα [.5,.5]. Για ένα ADC µε Β αριθµό δυαδικών ψηφίων ο αριθµός των σταθµών κβάντισης είναι Β και το διάστηµα µεταξύ των σταθµών αυτών, δηλαδή το βήµα κβάντισης q ισούται µε q= V/( B -) V/ B όπου V είναι το εύρος τιµών του ADC. Το µέγιστο σφάλµα κβάντισης δηλ. στρογγυλοποίησης είναι q/=v/ B+ Γιά ένα ηµιτονικό σήµα εισόδου πλάτους Α που έχει δηλ διακύµανση peak-to-peak A το βήµα κβάντισης είναι: q=a/ B Στη περίπτωση αυτή το σφάλµα κβάντισης (για κάθε δείγµα e ) είναι τυχαίος αριθµός που έχει οµοιόµορφη κατανοµή (uniform) στο διάστηµα q/, q/ µε µηδενική µέση τιµή. Η ισχύς θορύβου σ e ( διακύµανση) είναι: σ e =q / (.8) σ e = q / q / q P (e)e de = q / q e de = q /
Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- Κεφάλαιο ο -Εισαγωγικά Aν προχωρήσουµε ένα βήµα ακόµα και υπολογίσουµε το λόγο σήµατος προς θόρυβο SNR λαµβάνουµε (σε db): A SNR=log q / B 3 = log = 6.B +.76dB (.9) ηλαδή ο SNR αυξάνει 6dB ανά bit.! Στο φίλτρο αντιαλλοίωσης ένα όριο για την εξασθένηση στην ζώνη αποκοπής (topband) τίθεται από τον θόρυβο κβάντισης. Η ενίσχυση Α min είναι: A min µ έ γιστη RMS τιµ ή εισ ό δου V = = " θό ρυβος κβ ά ντισης " σ Εάν εκφράσουµε τα V και σ σαν συνάρτηση του βήµατος κβάντισης έχουµε: Α min = B q / B+ q / 3 =.5 A A min διέλευση Βαθυπερατό φίλτρο αποκοπή Το φίλτρο αντιαλλοίωσης και ο ΑDC ουσιαστικά ολοκληρώνουν την διαδικασία της µετατροπής του αναλογικού σήµατος σε ψηφιακό και εποµένως την καταλληλότητα για επεξεργασία από τον ψηφιακό επεξεργαστή (DSP). Στη συνέχεια θα µελετήσουµε την διαδικασία µετατροπής του ψηφιακού σήµατος σε αναλογικό µετα την επεξεργασία του από τον DSP..4 Μετατροπή ψηφιακού σήµατος σε αναλογικό (ανακατασκευή) Η διαδικασία µετατροπής του σήµατος από ψηφιακό σε αναλογικό αποτελεί το τελευταίο στάδιο επεξεργασίας, και δεν είναι πάντα υποχρεωτικό. Στο σχήµα. η διαδικασία αυτή περιλαµβάνεται στη βαθµίδα DAC (digital to analog converter) που µπορεί να θεωρηθει σαν η αντίστροφη διαδικασία του ADC. Στο σχήµα.7 περιγράφεται η µετατροπή του ψηφιακού σήµατος σε αναλογικό. Περιλαµβάνει το βασικό βήµα της δειγµατοληψίας και κράτησης (ample and hold) που δεικνύεται στο µεσαίο διάγραµµα και έχει µια κλιµακωτή µορφή. Φέρεται µε την ονοµασία " κράτηση µηδενικής τάξεως" (zero order hold) και είναι ουσιαστικά ένας τρόπος interpolation. Στο τελαυταίο διάγραµµα του σχήµατος.7 δεικνύεται η
Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- Κεφάλαιο ο -Εισαγωγικά ανάγκη εξοµάλυνσης της µε ένα βαθυπερατό αναλογικό φίλτρο που στο διάγραµµα. αποτελεί το τελευταίο στάδιο του συστήµατος. Μία ακριβέστερη µελέτη της ανακατασκευής του αναλογικού σήµατος από το ψηφιακό περιγράφεται ως εξής: υαδικός κώδικας 5 έξοδος DAC 3 4 5 6 7 8 9 n--> 5 3 4 5 6 7 8 9 έξοδος αναλογ. φίλτρου 5 3 4 5 6 7 8 9 Σχήµα. 7 Mετατροπή ψηφιακού σήµατος σε αναλογικό. Στο επάνω διάγραµµα δεικνύεται το ψηφιακό σήµα και ο δυαδικός κώδικας. Στο µεσαίο διάγραµµα είναι το σήµα που προκύπτει από το κύκλωµα ample and hold, και µάλιστα µηδενικής τάξεως (zero order hold). Στο τελευταίο διάγραµµα φαίνεται η έξοδος µετά την εξοµάλυνση από το αναλογικό βαθυπερατό φίλτρο. t-->. Για να είναι δυνατή η ανακατασκευή πρέπει να ισχύει το θεώρηµα δειγµατοληψίας και το φασµατικό περιεχόµενο του σήµατος πρέπει να βρίσκεται µεταξύ F / και - F / (ζώνη Nyquit).. Aπο το επαναλαµβανόµενο φάσµα του ψηφιακού σήµατος πρέπει να επιλεγεί µόνο η βασική µπάντα συχνοτήτων που επιτυγχάνεται µε ένα ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο συχνότητας αποκοπής F /. Αυτό δεικνύεται στο επόµενο σχήµα.8 που προέρχεται από το σχήµα.4. Το έντονο ορθογώνιο δεικνύει την επιθυµητή απόκριση του ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου που έχει συχνότητα αποκοπής 4kHz.
Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- Κεφάλαιο ο -Εισαγωγικά X(jΩ) 3 4 5 8 6 (α) 3 4 5 8 6 (β) Σχήµα.8 Για να ανακατασκευασθεί το αναλογικό σήµα (α) πρέπει από το αντίστοιχο στο (β) να επιλεγεί µόνο η βασική ζώνη. Αυτό επιτυγχάνεται µε το ιδανικό φίλτρο που έχει συχνότητα αποκοπής 4kHz. 3. Η µαθηµατική έκφραση της πράξεως αυτής δίνεται από τον ακόλουθο τύπο 3. ηµ [( π / Τ)(t nt)] x a (t) = x(n) (.) n= ( π / Τ)(t nt) H σχέση αυτή ουσιαστικά δηλώνει ότι η ανακατασκευή του σήµατος είναι δυνατή αν δίνονται όλα τα σηµεία x(n) του ψηφιακού σήµατος και αφού διαµορφωθούν για κάθε t από τις συναρτήσεις inc(x) όπου x=π/τ(t-nt). Προφανώς η διαδικασία αυτή είναι µη αιτιατή και δεν γίνεται σε πραγµατικό χρόνο. Η διαδικασία που περιεγράφει στην αρχή της παραγράφου αυτού και εδείχθη στο σχήµα.7 είναι υλοποιήσιµη και βασίζεται στην δειγµατοληψία (και κράτηση) µηδενικής τάξεως (zero order hold- ΖΟΗ). Η τιµή του αναλογικού σήµατος προέρχεται από την τιµή του ψηφιακού και είναι: x a (t)=x(n) για nt t (n+) T (.) Η πράξη αυτή είναι ουσιαστικά διαδικασία βαθυπερατού φιλτραρίσµατος και το σήµα εξόδου έχει την κλιµακωτή µορφή που εδείχθη στο σχήµα.7 και όπου φαίνεται η ανάγκη του βαθυπερατού φίλτρου για να "λειάνει τις γωνίες" ή ακριβέστερα να φιλτράρει τις ψηλές συχνότητες.. Βεβαίως και άλλοι τύποι βαθυπερατών φίλτρων µπορούν να χρησιµοποιηθούν όπως "κράτηση πρώτης τάξεως" (firt order hold) κλπ. Ολες οι διαδικασίες αυτές είναι διαδικασίες interpolation. 3 Η απόδειξη γίνεται µε χρήση του DTFT (διακριτου Μετασχ. Fourier). Βλέπε πχ."digital Signal Proeing" by A. Oppenheim and R Shcafer, Prentice Hall, New Jerey, 975
Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- Κεφάλαιο ο -Εισαγωγικά 3 H διαδικασία ΖΟΗ περιγράφεται εκτενέστερα στο σχήµα.9 όπου ένα ψηφιακό σήµα y(n) µετατρέπεται στο αναλογικό κλιµακωτό ŷ (t) µετα από διαδικασία κράτησης µηδενικής τάξεως (ZOH). y(n) Y(ω) n ω ŷ(t) Ŷ( ω) ηµx/x t ω Σχήµα.9 To ψηφιακό σήµα y(n) µετατρέπεται µέσω του ΖΟΗ στο αναλογικό ŷ (t) το οποίο έχει επίσης υψηλές συχνότητες, όπως φαίνεται από τα αντίστοιχα φάσµατα, παρότι εµφανιζεται η εξασθένιση ηµx/x. Στη συνέχεια θα γίνει µία εξήγηση της µορφής του φάσµατος Ŷ( ω ). To σήµα ŷ(t) είναι ŷ (t) = n= Στο πεδίο των συχνοτήτων (Μετασχ. Laplace) γίνεται: y (n)[u(t nt) u(t ( + )T] (.) T T e nt e T / in ωτ / Ŷ() = y(n)e T Y() = e Y() (.3) T n= T ωτ / Aπό την τελευταία αυτή σχέση (.3) φαίνεται ότι η αναλογική έξοδος Υ() έχει "διαµορφωθεί" µε τον παράγοντα ηµx/x οπου x=ωτ/