HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 17: Φίλτρα (II)

Transcript

1 HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 17: Φίλτρα (II)

2 Φίλτρα Bu*erworth, Chebyshev και ελλειπτικά φίλτρα Είναι οι πιο δημοφιλείς τεχνικές σχεδιασμού φίλτρων συνεχούς χρόνου (Appendix B Oppenheim) Υπάρχουν αναλυτικές εκφράσεις και για τις 3 κατηγορίες Ιδιότητες: Bu^erworth μονοτονική απόκριση συχνοτήτων στις ζώνες διέλευσης και αποκοπής, maximally flat in passband Chebyshev Type I: συμμετρική κυμάτωση (ripple) στη διέλευσης, μονοτονική απόκριση στη αποκοπής Type II: μονοτονική απόκριση στη διέλευσης, συμμετρική κυμάτωση στη αποκοπής Ellippc - συμμετρική κυμάτωση στις ζώνες διέλευσης και αποκοπής Ο σχεδιασμός φίλτρων ΔΧ Bu^erworth, Chebyshev, Ellippc με βάση αυτά τα αντίστοιχα φίλτρα ΣΧ και το διγραμμικό μετασχηματισμό έχει επίσης χρησιμοποιηθεί σε ευρεία κλίμακα Εντολές στο Matlab που υλοποιούν τέτοια φίλτρα: bu^er, bu^ord, cheby1, cheby2, cheby1ord, cheby2ord, ellip, ellipord 2

3 Φίλτρα Bu*erworth, Chebyshev και ελλειπτικά φίλτρα Παραδείγματα Butterworth Chebyshev Elliptic 3

4 Φίλτρα - Παράδειγμα Σχεδιασμός με μέθοδο impulse invariance Βαθυπερατό φίλτρο Bu^erworth προ- διαγραφές o Passband: 0-0.2π, κέρδος - 1 με 0 db, stopband: πάνω από 0.3π, εξασθένηση τουλάχιστον 15 db, άρα: διέλευσης µεταβατική αποκοπής Βήμα 1 o Μετασχηματισμός προδιαγραφών σε συνεχή χρόνο Μπορούμε να υποθέσουμε Τ d =1 άρα (Ω=ω/Τ d ): Βήμα 2 o Το φίλτρο Bu^erworth συνεχούς χρόνου έχει μέτρο: o Πρέπει: o Αρα: 4 (1) Ν ακέραιος, άρα Ν=6. Μπορούμε να αλλάξουμε και την τιμή του Ωc. Πχ αντικαθιστώντας Ν=6 στην (1) παίρνουμε Ωc= Για αυτή την τιμή μάλιστα υπερβαίνουμε τις προδιαγραφές στη αποκοπής

5 Φίλτρα - Παράδειγμα Βήμα 3 o Προσδιορισμός πόλων - το κέρδος του φίλτρου συνεχούς χρόνου έχει 12 πόλους (2Ν=12) καθώς Για s=jω: Επομένως οι πόλοι ικανοποιούν την: διέλευσης µεταβατική αποκοπής Οι ποσότητες s/jω c είναι 2Ν- οστές ρίζες του - 1: Οι πόλοι βρίσκονται σε έναν κύκλο με ακτίνα Ωc(=0.7032) και απέχουν π/6 μεταξύ τους. Οι πόλοι του κέρδους προκύπτουν σε ζευγάρια από την συνάρτηση μεταφοράς συνεχούς χρόνου, δηλ αν το s k είναι πόλος της Η(s) τότε και το s k είναι πόλος της Η(s). Πως επιλέγουμε τους πόλους της H(s)? Για να είναι αιτιατό και ευσταθές το σύστημα H(s) πρέπει όλοι οι πόλοι του να είναι στο αριστερό ημιεπίπεδο, άρα: 5

6 Φίλτρα - Παράδειγμα Βήμα 4 o Προσδιορισμός της συνάρτησης μεταφοράς H(s) Πλέον γνωρίζουμε τους πόλους, άρα: o Πως μπορούμε να προσδιορίσουμε το Κ 0? Θέτοντας H c (0)=1 παίρνουμε: διέλευσης µεταβατική αποκοπής Ομως Αρα: o Τελικά λοιπόν: 6

7 Φίλτρα - Παράδειγμα Βήμα 5 o o Προσδιορισμός της συνάρτησης μεταφοράς H(z) Impulse invariance (μετά από ανάλυση σε μερικά κλάσματα): διέλευσης µεταβατική αποκοπής 7 Το τελικό φίλτρο ΔΧ πληροί τις προδιαγραφές, άρα το φίλτρο συνεχούς χρόνου είναι αρκούντως περιορισμένου εύρους ς, οπότε έχουμε μικρό ποσοστό αναδίπλωσης Η μέθοδος impulse invariance είναι κατάλληλη μόνο για φίλτρα με περιορισμένο εύρος ς (πχ βαθυπερατά). Για υψιπερατά η ζωνοφρακτικά φίλτρα χρειάζεται να φιλτράρουμε κατάλληλα!

8 Διγραμμικός μετασχηματισμός (bilinear transformaoon) Ο διγραμμικός μετασχηματισμός αναπαριστά αλγεβρικά την μεταβλητή s στη μεταβλητή z έτσι ώστε ολόκληρος ο άξονας jω του επιπέδου s να αντιστοιχεί σε μια περιστροφή του μοναδιαίου κύκλου στο επίπεδο z, δηλ: Ο (μη γραμμικός) μετασχηματισμός που το επιτυγχάνει είναι: Η παράμετρος δειγματοληψίας T d δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα (καθώς πηγαίνουμε από προδιαγραφές ΔΧ σε ΣΧ και πάλι πίσω σε ΔΧ). Ο αντίστροφος μετασχηματισμός είναι: Για έχουμε: Αν σ<0, z <1 για κάθε Ω Αν σ>0, z >1 για κάθε Ω Αρα ευσταθή αιτιατά φίλτρα ΣΧ παραμένουν ευσταθή και αιτιατά σε ΔΧ. Για s=jω, άρα z =1 για κάθε Ω και ο άξονας Ω αναπαριστάται στο μοναδιαίο κύκλο. 8 Ισοδύναμα:

9 Διγραμμικός μετασχηματισμός (bilinear transformaoon) Ποια είναι η σχέση μεταξύ Ω και ω? Αρα: Τελικά: 9 Αποφεύγουμε την αναδίπλωση, αλλά έχουμε μη γραμμικό μετασχηματισμό της συχνότητας!

10 Διγραμμικός μετασχηματισμός (bilinear transformaoon) Θα πρέπει η μορφή της απόκρισης συχνοτήτων να είναι τέτοια ώστε να μην έχουμε σημαντικές παραμορφώσεις από αυτόν το μετασχηματισμό φίλτρα με τμηματικά σταθερή απόκριση (π.χ. βαθυπερατά, υψιπερατά, ζωνοπερατά κλπ) Ο διγραμμικός μετασχηματισμός παραμορφώνει τη φάση Δεν μπορούμε να πάρουμε φίλτρο ΔΧ με γραμμική φάση από ένα φίλτρο ΣΧ με γραμμική φάση 10

11 Παράδειγμα Φίλτρο Bu*erworth Εστω το φίλτρο με τις προδιαγραφές του προηγούμενου παραδείγματος σε ΔΧ: Θα σχεδιάσουμε φίλτρο Bu^erworth με διγραμμικό μετασχηματισμό Βήμα 1: Προδιαγραφές σε συνεχή χρόνο Βήμα 2 - Διαλέγουμε T d =1. Εχουμε μονοτονική απόκριση συχνοτήτων άρα πρέπει: Απόκριση συχνοτήτων: Λύνοντας ως προς Ω,Ν: Ν ακέραιος: 11

12 Παράδειγμα Φίλτρο Bu*erworth Βήμα 3: Εύρεση πόλων Οπως και πριν είναι 2Ν και προκύπτουν από τις 2Ν- οστές ρίζες της μονάδας, και έχουμε ακτίνα Διαλέγουμε τους 6 πόλους στο αριστερό ημιεπίπεδο Βήμα 4: Συνάρτηση μεταφοράς ΣΧ Αρα: Βήμα 5: Συνάρτηση μεταφοράς ΔΧ Διγραμμικός μετ/σμος 12

13 Παράδειγμα Φίλτρο Bu*erworth Η απόκριση συχνοτήτων πέφτει πολύ πιο γρήγορα λόγω του μη γραμμικού μετασχηματισμού συχνότητας (έχουμε αντιστοιχήσει το ω=π στο Ω=άπειρο!) 13