Συνθεση Οδηγουσών Συναρτήσεων RLCM

Κεφάλαιο 7 Συνθεση Οδηγουσών Συναρτήσεων RLCM 7. Απόσπαση πόλων Ας υποθέσουµε ότι µια οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης Z() ενός κυκλώµατος RLCM, η οποία όπως είδαµε στο κεφάλαιο 2 είναι Θετική Πραγµατική (ΘΠ), µπορεί να γραφτεί ως άθροισµα δύο όρων δηλ. Z()=Z () + Z 2 () Η Z() µπορεί τότε να υλοποιηθεί ως εν σειρά σύνδεση των δύο επιµέρους όρων Z () και Z 2 (), όπως στο σχήµα 7.α. ΣΧΗΜΑ 7. Το αρχικό κύκλωµα µε αντίσταση Z(), είναι ισοδύναµο ως προς τους ακροδέκτες του µε την σύνδεση σε σειρά των Z () και Z 2 (). Αντίστοιχη κατάσταση ισοδυναµίας δείχνει και το σχήµα 7.β γιά την περίπτωση που η οδηγούσα συνάρτηση είναι αγωγιµότητα, που την θεωρούµε ως άθροισµα Y()=Y ()+Y 2 () και την υλοποιούµε ως παράλληλη σύνδεση των Υ () και Υ 2 (). Μιά τέτοια διάσπαση της οδηγούσας συνάρτησης ερµηνεύεται ως απόσπαση του τµήµατος Z () από την Z() (ή της Y () από την Y() ) γιά να παραµείνει η Z 2 ()=Z()-Z () ή Y 2 ()=Y()-Y (), η οποία ονοµάζεται αποµένουσα. Η σύνθεση ενός κυκλώµατος από µια οδηγούσα ΘΠ συνάρτηση Z() ή Y() στηρίζεται κατά κύριο λόγο στην διαδοχική απόσπαση πραγµατοποιήσιµων ΘΠ τµηµάτων της, κατά τέτοιο τρόπο που η αποµένουσες να είναι και αυτές ΘΠ και εποµένως πραγµατοποιήσιµες. Οι πόλοι της αρχικής οδηγούσας συνάρτησης επιλέγονται ως τα σηµεία αναφοράς των αποσπάσεων αυτών, όπως θα δόύµε στη συνέχεια. 7.. Απόσπαση πόλου στο µηδέν ( =0) Στην περίπτωση που η προς σύνθεση ΘΠ συνάρτηση έχει πόλο γιά =0, είναι της µορφής F()' N() D() ' a n n a n& n &...a a 0 ' a n n a n& n&...a a 0 b m m b m& m&...b (b m m& b m& m&2...b ) λείπει δηλ. ο σταθερός όρος b 0 στον παρονοµαστή. Φυσικά η διαφορά τάξης αριθµητή και παρονοµαστή n και m είναι το πολύ ίση µε την µονάδα, αφού η F() είναι ΘΠ. Η F() µπορεί λοιπόν να αναλυθεί ως εξής F()' k 0 δ n& n&...δ b m m& b m& m&2...b 'F ()F 2 () όπου k 0 είναι το υπόλοιπο του πόλου =0, που δίνεται από την σχέση: 7 -

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ k 0 ' F() '0 ή k 0 ' N(0) d d D() /0 '0 σύµφωνα µε την θεωρία της ανάλυσης ρητής συνάρτησης σε µερικά κλάσµατα (βλέπε κεφάλαιο 2). Φυσικά η αποµένουσα συνάρτηση θα είναι F 2 () ' F() & k 0 Eίναι προφανές ότι ο βαθµός του αριθµητή του F 2 () θα είναι κατά ένα βαθµό µικρότερος από τον βαθµό του F(). Επίσης k 0 >0 αφού η F() είναι ΘΠ και τα υπόλοιπα των πόλων της στον jω-άξονα είναι θετικά (βλέπε ορισµό ΙΙ ΘΠ). Η F ()=k 0 / είναι λοιπόν ΘΠ. Θετική πραγµατική είναι επίσης και η αποµένουσα συνάρτηση F 2 () γιατί:. Οι πόλοι της είναι οι πόλοι της F(), πλην του =0 που αποσπάστηκε, άρα βρίσκονται στο αριστερό ηµιεπίπεδο και τον jω-άξονα. 2. Τα υπόλοιπα στους πόλους αυτούς είναι τα υπόλοιπα στους ίδιους πόλους της F(), άρα θετικά. 3. Re[F 2 (jω)]'re[f(jω)]!re k 0 αφού η F(jω) είναι ΘΠ. jω 'Re[F(jω)]$0 Στην περίπτωση λοιπόν που η F() έχει πόλο για =0, κατορθώσαµε να την διασπάσουµε σε δύο θετικά πραγµατικά µέρη, από τα οποία το ένα αντιστοιχεί στον πόλο =0 και το άλλο, η αποµένουσα F 2 (), έχει όλους τους υπόλοιπους, πλήν του =0, πόλους της F(). Αν η F() είναι οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης Z(), τότε η απόσπαση του πόλου στο =0 αντιστοιχεί στην απόσπαση ενός πυκνωτή τιµής C=/k 0 σύµφωνα µε το σχήµα 7.2α. ΣΧΗΜΑ 7.2 Αν η F() είναι οδηγούσα συνάρτηση αγωγιµότητας Y(), τότε η απόσπαση του πόλου στο =0 αντιστοιχεί στην απόσπαση ενός πηνίου τιµής L=/k 0 σύµφωνα µε το σχήµα 7.2β. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 7. Η ρητή συνάρτηση F()' 2 3 3 2 2 3 2 2 2 ' k 0 F 2 () F()' 2 3 3 2 2 3 2 2 2 όπου και εποµένως F 2 ()'F()& k 0 ' 2 3 3 2 2 3 2 2 2 & 2 έχει πόλο =0 και µπορεί να εκφραστεί ως k 0 'F() '0 ' 2 3 3 2 2 2 22 '...' () 2 /0 '0 ' 2 Αν η F() είναι οδηγούσα συνάρτηση αντίσταση Ζ() = F() τότε η Z() µπορεί να συντεθεί ως ένας πυκνωτής µε C=2 στη σειρά µε ένα µονόθυρο µε οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης Ζ 2 ()=F 2 (). 7-2

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΘΕΣΗ Ο ΗΓΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ RLCM Απόσπαση πόλου =0 από την Z() Αν η F() είναι οδηγούσα συνάρτηση αγωγιµότητος Υ() = F() τότε η Υ() µπορεί να συντεθεί ως ένας επαγωγέας µε L=2 παράλληλα µε ένα µονόθυρο µε οδηγούσα συνάρτηση αγωγιµότητος Υ 2 ()=F 2 (). Απόσπαση πόλου =0 από την Y() 7..2 Απόσπαση πόλου στο άπειρο ( =4) Στην περίπτωση που η προς σύνθεση ΘΠ οδηγούσα συνάρτηση F() έχει πόλο γιά = 4, είναι της µορφής F() ' N() D() ' a n n a n& n&...a a 0 b m m b m& m&...b b 0 µε n>m. Επειδή όµως η F() είναι ΘΠ, όταν έχει πόλο στο άπειρο µπορεί µόνον να ισχύει n = m +, δηλ. η τάξη του αριθµητή είναι κατά µια µονάδα µεγαλύτερη αυτής του παρονοµαστή. Η F() µπορεί εποµένως να αναλυθεί ως εξής: F() ' k 4 c m m... c c 0 b m m b m& m&... b b 0 ' F () F 2 () όπου το k 4 είναι k 4 ' a n και ο αριθµητής του F 2 () είναι το µερικό υπόλοιπο της διαίρεσης N()/D(). Το b m k 4 µπορεί επίσης να θεωρηθεί ότι είναι το υπόλοιπο του πόλου = 4, που δίνεται από την σχέση: k 4 ' lim F() 64 σύµφωνα µε την θεωρία της ανάλυσης ρητής συνάρτησης σε µερικά κλάσµατα του Heaviide. Φυσικά η αποµένουσα συνάρτηση θα είναι: F 2 ()'F()&k 4 Είναι προφανές ότι η τάξη του αριθµητή του F 2 () θα είναι ίση µε m (τάξη του παρονοµαστή της F()) και η αποµένουσα συνάρτηση θα αποτελείται από δύο πολυώνυµα τάξης m. Επίσης k 4 >0 αφού η F() είναι ΘΠ και τα υπόλοιπα των πόλων του jω-άξονα είναι θετικά (βλέπε ορισµό ΙΙ ΘΠ). Η F ()=k 4 είναι λοιπόν ΘΠ. Θετική πραγµατική είναι επίσης και η αποµένουσα συνάρτηση F 2 () γιατί:. Οι πόλοι της είναι οι πόλοι της F(), πλην του =4 που αποσπάστηκε, άρα βρίσκονται στο αριστερό ηµιεπίπεδο και τον jω-άξονα. 2. Τα υπόλοιπα στους πόλους αυτούς είναι τα υπόλοιπα στους ίδιους πόλους της F() άρα θετικά. 3. Re[F 2 (jω)] ' Re[F(jω)] & Re[jk 4 ω] ' Re[F(jω)] $ 0 Κατορθώσαµε εποµένως να διασπάσουµε την ΘΠ συνάρτηση F(), που είχε πόλο στο άπειρο, σε δύο θετικά πραγµατικά µέρη από τα οποία το ένα αντιστοιχεί στον πόλο = 4 και το άλλο, η αποµένουσα F 2 (), έχει τους υπόλοιπους, πλήν του =4, πόλους της F(). Αν η F() είναι οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης Z(), τότε η απόσπαση του πόλου στο =4 αντιστοιχεί στην απόσπαση ενός πηνίου τιµής L=k 4 σύµφωνα µε το σχήµα 7.3α. Αν η F() είναι οδηγούσα συνάρτηση 7-3

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ αγωγιµότητας Y(), τότε η απόσπαση του πόλου στο =4 αντιστοιχεί στην απόσπαση ενός πυκνωτή τιµής C=k 4 σύµφωνα µε το σχήµα 7.3β. ΣΧΗΜΑ 7.3 ΕΦΑΡΜΟΓΗ 7.2 Η ρητή συνάρτηση F()' 3 2 2 2 έχει πόλο =4 (αφού η τάξη του αριθµητή είναι µεγαλύτερη από 2 αυτή του παρονοµαστή) και µπορεί να εκφραστεί ως F()' 3 2 2 2 2 'k 4 F 2 () όπου k 4 ' a n b m ' και εποµένως F 2 ()'F()&k 4 ' 3 2 2 2 () &'...' 2 2 Αν η F() είναι οδηγούσα συνάρτηση αντίσταση Ζ() = F() τότε η Z() µπορεί να συντεθεί ως ένας επαγωγέας µε L= στη σειρά µε ένα µονόθυρο µε οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης Ζ 2 ()=F 2 (). Αν η F() είναι οδηγούσα συνάρτηση αγωγιµότητος Υ() = F() τότε η Υ() µπορεί να συντεθεί ως ένας πυκνωτής µε C= παράλληλα µε ένα µονόθυρο µε οδηγούσα συνάρτηση αγωγιµότητος Υ 2 ()=F 2 (). 7..3 Απόσπαση φανταστικού ζεύγους πόλων =±jω Στην περίπτωση που η ΘΠ οδηγούσα συνάρτηση F() έχει ένα συζυγές ζεύγος φανταστικών πόλων γιά = ±jω στον jω-άξονα, τότε είναι της µορφής: N() F() ' ' ( 2 ω 2 )D 2 () N() ( jω )( & jω )D 2 () που µπορεί να αναλυθεί σε µερικά κλάσµατα µε την µέθοδο των υπολοίπων ως εξής: k F() ' k & N 2 () & jω jω D 2 () 7-4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΘΕΣΗ Ο ΗΓΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ RLCM όπου τα υπόλοιπα k και k - είναι ίσα και πραγµατικά αφού η F() είναι ΘΠ (βλέπε συνθήκη iii στον ορισµό ΙΙ των ΘΠ συναρτήσεων στο κεφάλαιο 2). Ο υπολογισµός των ίσων και πραγµατικών υπολοίπων γίνεται από τον τύπο του Heaviide: k ' k & ' ( & jω )F() ' jω ' ( jω )F() '&jω και εποµένως F() ' 2k 2 ω 2 N 2 () D 2 () ' F () F 2 () Η F () ' 2k είναι ΘΠ γιατί είναι ρητή συνάρτηση, το πραγµατικό µέρος της της F(jω) είναι µηδενικό 2 ω 2 και έχει πόλους στο κλειστό αριστερό -ηµιεπίπεδο. Γιά την F 2 () έχουµε: N() 2k F 2 () '! ' N() & 2k D 2 ( 2 ω 2 )D 2 () 2 ω 2 ( 2 ω 2 )D 2 για την οποία παρατηρούµε ότι: I. ο αριθµητής της F 2 () έχει κοινό παράγοντα το 2 ω 2, ο οποίος απλοποιείται µε τον ίδιο παράγοντα του παρονοµαστή γιατί αν αυτό δεν συνέβαινε, η F 2 () θα εξακολουθούσε να έχει πόλο για = ±jω, πράγµα άτοπο αφού ο πόλος αυτός έχει αποσπαστεί. Ο παρονοµαστής δηλ. της F 2 () είναι µετά την απλοποίηση ίσος µε το D 2 () II. Η αποµένουσα F 2 () είναι ΘΠ αφού:. εν εισήχθησαν νέοι πόλοι στην F 2 (), η οποία διατηρεί στον παρονοµαστή της D 2 () τους υπόλοιπους πόλους της F() 2. Τα υπόλοιπα στους πόλους του jω-άξονα δεν πειράχτηκαν. 3. Re[F 2 (jω)]=re[f(jω)] αφού Re[F (jω)]=0 και µε την απόσπαση δεν αφαιρέθηκε πργµατικό µέρος από την F(). Αν η F() παριστάνει οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης Z(), η απόσπαση του φανταστικού ζεύγους πόλων αντιστοιχεί στην απόσπαση ενός παράλληλου συντονιζόµενου κυκλώµατος όπως φαίνεται στο σχήµα 7.4α. Αν η F() παριστάνει οδηγούσα συνάρτηση αγωγιµότητος Y(), η απόσπαση του φανταστικού ζεύγους πόλων αντιστοιχεί στην απόσπαση ενός συντονιζόµενου κυκλώµατος σειράς όπως φαίνεται στο σχήµα 7.4β. Και στις δύο περιπτώσεις τα υπόλοιπα των πόλων k µαζί µε την συχνότητα ω του πόλου, καθορίζουν τις τιµές των στοιχείων των συντονιζόµενων κυκλωµάτων, έτσι που να συντονίζονται στην συχνότητα του πόλου ω. ΣΧΗΜΑ 7.4 ΕΦΑΡΜΟΓΗ 7.3 Η ρητή συνάρτηση F()' 4 3 3 3 2 3 ( 2 )( 2 ) έχει πόλους γιά = ±j και µπορεί εποµένως να εκφραστεί ως 7-5

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ F()' 4 3 3 3 2 3 ( 2 )( 2 ) ' 2k 2 F 2 () όπου k '(&j@)f() 'j@ ' 4 3 3 3 2 3 '...' (j@)( /0 2 ) 'j@ και εποµένως η αποµένουσα F 2 () θα είναι: F 2 ()'F()& 2k 2 ' 4 3 3 3 2 3 ( 2 )( 2 ) & 2 2 '...' () 2 Αν η F() είναι οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης Ζ() = F() τότε η Z() µπορεί να συντεθεί ως ένα παράλληλο συντονιζόµενο κύκλωµα µε L=2 και C=0.5, στη σειρά µε ένα µονόθυρο µε οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης Ζ 2 ()=F 2 (). Αν η F() είναι οδηγούσα συνάρτηση αγωγιµότητος Υ() = F() τότε η Υ() µπορεί να συντεθεί ως ένα συντονιζόµενο κύκλωµα σειράς µε L= 0.5 και C=2, παράλληλα µε ένα µονόθυρο µε οδηγούσα συνάρτηση αγωγιµότητος Υ 2 ()=F 2 (). 7..4 Μερική απόσπαση πόλου Στις αποσπάσεις πόλων που παρουσιάστηκαν µέχρι στιγµής, αποσπάται από το ανάπτυγµα της οδηγούσας συνάρτησης F() σε µερικά κλάσµατα το µέρος εκείνο που περιέχει τον ή τους αποσπόµενους πόλους του jω-άξονα (=0, =4 ή =±jω ). Τον αποσπόµενο όρο παριστάνουµε µε F () ώστε η αποµένουσα συνάρτηση να είναι F 2 ()=F()-F (). Κατά την µερική απόσπαση πόλου, αφαιρούµε κλάσµα kf () της F () από την F() οπότε η αποµένουσα συνάρτηση F 2 () είναι F 2 ()=F()-kF (). Αποδεικνύεται ότι η αποµένουσα συνάρτηση µετά την µερική απόσπαση πόλου (ή ζεύγους πόλων) είναι ΘΠ και διατηρεί τους πόλους της αρχικής µε διαφορετικά όµως µηδενικά. Γιά τον λόγο αυτό, η µερική απόσπαση πόλου λέγεται και µετατόπιση των µηδενικών (zero hift). ΕΦΑΡΜΟΓΗ 7.4 Η ρητή ΘΠ συνάρτηση F()' 3 2 2 2 έχει πόλο =4 (αφού η τάξη του αριθµητή είναι µεγαλύτερη από 2 αυτή του παρονοµαστή) και µπορεί να εκφραστεί ως F()' 3 2 2 2, όπου 2 'k 4 F 2 () k 4 ' a n ' b m Η πλήρης απόσπαση του πόλου γιά =4 έγινε στην εφαρµογή 7.2: F 2 ()'F()&k 4 ' 3 2 2 2 () &'...' 2 2 Η µερική απόσπαση του πόλου µπορεί να γίνει αν αντί γιά k 4 χρησιµοποιήσουµε π.χ 0.5 k 4 οπότε η αποµένουσα θα είναι: 7-6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΘΕΣΗ Ο ΗΓΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ RLCM F 2 ()'F()& 2 k 4 ' 3 2 2 2 2 & 2 '...' 2 ( 2 33) 2 Αν η F() είναι οδηγούσα συνάρτηση αντίστασηw Ζ() = F() τότε η Z() µπορεί να συντεθεί ως ένας επαγωγέας µε L=/2 στη σειρά µε ένα µονόθυρο µε οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης Ζ 2 ()=F 2 (). Αν η F() είναι οδηγούσα συνάρτηση αγωγιµότητος Υ() = F() τότε η Υ() µπορεί να συντεθεί ως ένας πυκνωτής µε C=/2 παράλληλα µε ένα µονόθυρο µε οδηγούσα συνάρτηση αγωγιµότητος Υ 2 ()=F 2 (). Σηµειώνεται ότι η F 2 () είναι της ίδιας µορφής µε την F() αλλά µε µετατοπισµένα µηδενικά '0 και '& 3 ως προς αυτά της F() που είχε 2 ±j 3 '0 και '&±j 2 7..5 Απόσπαση σταθεράς Οι οδηγούσες συναρτήσεις F(), ως ΘΠ συναρτήσεις έχουν πραγµατικό µέρος Re{F(jω)]$0 γιά κάθε ω πραγµατικό. Αν το πραγµατικό µέρος Re{F(jω)] δεν µηδενίζεται πουθενά αλλά έχει µιά ελάχιστη πεπερασµένη τιµή F ΜΙΝ γιά µια τιµή ω της συχνότητας ω, όπως γιά παράδειγµα στο σχήµα 7.5α, τότε µπορούµε να αφαιρέσουµε από την F() µια σταθερά F ο #F ΜΙΝ και η αποµένουσα F 2 ()=F()-F ο να είναι ΘΠ. ΣΧΗΜΑ 7.5α Αν η F() είναι οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης, η απόσπαση της F ΜΙΝ αντιστοιχεί µε την απόσπαση ενός αντιστάτη αντίστασης R=F ΜΙΝ και η F() υλοποιείται ως εν σειρά σύνδεση του αντιστάτη αυτού µε την αποµένουσα συνάρτηση F()-R (σχήµα 7.5β). ΣΧΗΜΑ 7.5β Αν η F() είναι οδηγoύσα συνάρτηση αγωγιµότητας, η απόσπαση της F ΜΙΝ αντιστοιχεί µε την απόσπαση ενός αντιστάτη αγωγιµότητας G=F ΜΙΝ και η F() µπορεί να υλοποιηθεί ως παράλληλη σύνδεση της αγωγιµότητας αυτής µε την αποµένουσα συνάρτηση F()-G (Σχήµα 7.5γ). Φυσικά γιά να γίνει απόσπαση σταθεράς πρέπει πρώτα να ελεγχθεί η ύπαρξη της ελάχιστης τιµής F min ώστε να καθοριστεί η µέγιστη τιµή της F min, η οποία µπορεί να αποσπαστεί. 7.2 Ελάχιστες ΘΠ Συναρτήσεις Παρουσιάσαµε τις αποσπάσεις των πόλων γιά =0, =4 και =±jω από µιά οδηγούσα συνάρτηση. Με την διαδικασία αυτή γίνεται απόσπαση όλων των πόλων που βρίσκονται πάνω στον jω-άξονα µε αποτέλεσµα, η αποµένουσα συνάρτηση µετά από όλες τις αποσπάσεις, να µην έχει πόλους στον jω-άξονα. Αν αποσπά- 7-7

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ σουµε και όλους τους πόλους του jω-άξονα από την, τότε θα προκύψει µια αποµένουσα F α (jω), η F() οποία δεν θα έχει ούτε πόλους ούτε µηδενικά πάνω στον jω-άξονα. Αν η F α (jω) ή η αντίστροφή της F a (jω) έχει σε µια συχνότητα ω ελάχιστο πραγµατικό µέρος, αυτό µπορεί να αποσπαστεί έτσι που να προκύπτει µια αποµένουσα της οποίας το πραγµατικό µέρος µηδενίζεται για ω και επιπροσθέτως δεν έχει πόλους ή µηδενικά στον jω-άξονα..τέτοιες συναρτήσεις, χωρίς πόλους και µηδενικά στον jω-άξονα και µε µια συχνότητα ω στην οποία µηδενίζεται το πραγµατικό τους µέρος, ονοµάζονται ελάχιστες ΘΠ, είναι θεµελιώδους σηµασίας γιά την σύνθεση κυκλωµάτων και ορίστηκαν γιά πρώτη φορά από τον Bode. ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΘΠ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Μια ρητή ΘΠ συνάρτηση F() ορίζεται ως ελάχιστη ΘΠ τότε και µόνο τότε αν: i) εν έχει πόλους ή µηδενικά στον jω-άξονα είναι δηλ. ο αριθµητής και ο παρονοµαστής αυστηρά Hurwitz πολυώνυµα. ii) Εχει πεπερασµένες θετικές τιµές γιά =0 και =4 iii) Το Re[F(jω)]=0 γιά µια τουλάχιστον τιµή ω 0 γιά την οποία Im[F(jω 0 )] να είναι µη µηδενικό. Από µια ελάχιστη ΘΠ συνάρτηση και από την αντίστροφή της, δεν είναι δυνατή η απόσπαση πόλων του jω-άξονα και σταθεράς και στην ιδιότητα αυτή οφείλεται και η ονοµασία. Η ελαχιστοποίηση εποµένως µιάς ΘΠ συνάρτησης έγκειται στην απόσπαση όλων των πόλων του jω-άξονα της ίδιας και της αντίστροφής της ώστε να ικανοποιηθεί ο όρος i του ορισµού καθώς και της µέγιστης δυνατής σταθεράς ώστε να ικανοποιηθεί ο όρος (iii) του ορισµού. Με την απόσπαση των πόλων γιά =0 και =4, ικανοποιείται αυτόµατα και ο όρος (ii) του ορισµού. Την µεθοδολογία αυτή ακολουθούµε γενικά γιά την σύνθεση µιας ΘΠ οδηγούσας συνάρτησης έως ότου καταλήξουµε σε ελάχιστη ΘΠ αποµένουσα συνάρτηση, όπως θα δούµε στο επόµενο εξαντλητικό παράδειγµα. Σηµειώνεται ότι µπορεί κανείς να αρχίσει την απόσπαση πόλων του jω-άξονα από την F(), να συνεχίσει µε απόσπαση πόλων του jω-άξονα της και µετά να επανέλθει στην F(). Οπως θα δούµε, F() την σειρά επιβάλλουν οι σχέσεις που προκύπτουν. Φυσικά µε την απόσπαση των πόλων της F() και της F() ουσιαστικά συνθέτουµε το κύκλωµα έως ότου φτάσουµε σε µια αποµένουσα που είναι ελάχιστη ΘΠ. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 7.5 Να ελαχιστοποιηθεί και συντεθεί η παρακάτω οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης: Z()' N() D() ' 8 3 7 2 6 98 5 95 4 95 3 95 2 68 ( 2 4)( 4 7 3 8 2 0) Στην εφαρµογή 2.32 του κεφαλαίου 2, έχει ελεγχθεί η Z() και έχει βρεθεί ότι είναι ΘΠ. Αν ο έλεγχος ΘΠ δεν γίνει και η Z() δεν είναι ΘΠ, τότε σε κάποιο στάδιο της ελαχιστοποίησης-σύνθεσης θα προκύψει ένα µη πραγµατοποιήσιµο µε RLCM κυκλώµατα στοιχείο, π.χ. ένας αρνητικός πυκνωτής. Η δεδοµένη πάντως συνάρτηση Z() έχει εµφανείς πόλους στον jω-άξονα γιά =0, =±j2 καθώς και γιά =4, αφού ο αριθµητής είναι µεγαλύτερης τάξης από τον παρονοµαστή. Η ύπαρξη και µόνον των πόλων αυτών στον jω-άξονα υποδεικνύει ότι η Z() δεν είναι ελάχιστη. Αποσπώντας τους προαναφερθέντες πόλους του jω-άξονα η εναποµένουσα συνάρτηση ίσως να είναι ελάχιστη. Ας τους αποσπάσουµε.. Απόσπαση του πόλου γιά =4 Z()=k 4 +Z 2 (), k 4 = και εποµένως Z 2 ()=Z()-. Κάνοντας την αφαίρεση βρίσκουµε ότι Z 2 () ' N () D() ' 6 7 9 6 60 5 62 4 55 3 9 2 68 ( 2 4)( 4 7 3 8 2 0) η οποία εξακολουθεί να έχει τον ίδιο παρονοµαστή µε την Z() όχι όµως και πόλο γιά =4 αφού αυτός αποσπάστηκε. Η απόσπαση αυτή αντιστοιχεί στην υλοποίηση µε την απόσπαση ενός πηνίου επαγωγής L = 7-8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΘΕΣΗ Ο ΗΓΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ RLCM το οποίο συνδέεται στη σειρά µε την αποµένουσα Z 2 () όπως φαίνεται στο σχήµα 7.6α ΣΧΗΜΑ 7.6α 2. Απόσπαση του πόλου γιά =0 Η Z 2 () έχει ακόµα τον πόλο =0 που µπορούµε να αποσπάσουµε κατά τα γνωστά: Z 2 () ' k 0 Z 3 (), k 0 'Z() '0 ' 2 Z 3 () ' Z 2 ()& 2 ' 6 6 7 5 46 4 38 3 79 2 2536 ( 2 4)( 4 7 3 8 2 0) Η απόσπαση του πόλου γιά =0 αντιστοιχεί στην σύνθεση µε την απόσπαση ενός πυκνωτή τιµής C =0.5, που συνδέεται στη σειρά µε την αποµένουσα Z 3 () σύµφωνα µε το σχήµα 7.6β. Σχήµα 7.6β Η αποµένουσα Z 3 () δεν έχει φυσικά τον πόλο στο 0 αλλά διατηρεί τους υπόλοιπους πόλους της Z 2 () µεταξύ των οποίων και γιά ±j2 που θα αποσπαστούν στη συνέχεια κατά τα γνωστά. 3. Απόσπαση ζεύγους πόλων γιά =±j2 Σύµφωνα µε αναπτύχθηκαν µέχρι τώρα, το φανταστικό συζυγές ζεύγος πόλων =±j2 µπορεί να αποσπαστεί ως εξής 2k Z 3 () ' 2 4 Z 4 () µε k ' ( & j2)z 3 () ' 'j2 2 και Z 4 ()'Z 3 ()& 2 4 ' 6 6 6 5 39 4 30 3 69 2 2436 ( 2 4)( 4 7 3 8 2 0) όπου ο αριθµητής περιέχει τον όρο 2 +4, όπως µπορεί εύκολα να εξακριβωθεί από την διαίρεσή του µε τον όρο αυτό, η οποία θα αφήσει µηδενικό υπόλοιπο. Ετσι, ο όρος 2 +4 του αριθµητή θα απλοποιηθεί µε τον παρονοµαστή γιά να πάρουµε: Z 4 () ' 6 4 6 3 5 2 6 9 4 7 3 8 2 0 Η παραπάνω απόσπαση του συζυγούς φανταστικού ζεύγους πόλων ερµηνεύεται κατά τα γνωστά ως απόσπαση ενός παράλληλου συντονιζόµενου κυκλώµατος µε L 2 =0.25 και C 2 =. Το παράλληλο αυτό συντονιζόµενο κύκλωµα εµφανίζεται φυσικά στη σειρά µε την αποµένουσα συνάρτηση Z 4 (), όπως στο σχήµα 7.6γ. ΣΧΗΜΑ 7.6γ Η Z 4 () µετά την απόσπαση των εµφανών πόλων της στον jω-άξονα, ίσως είναι ελάχιστη ΘΠ. Αν ήταν 7-9

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ελάχιστη θα έπρεπε τόσο οι πόλοι όσο και τα µηδενικά της να βρίσκονται στο ανοιχτό αριστερό -ηµιεπίπεδο (όχι στον jω-άξονα), πράγµα που σηµαίνει ότι τόσο ο αριθµητής όσο και ο παρονοµαστής θα έπρεπε να είναι αυστηρά Hurwitz πολυώνυµα. Εφαρµόζοντας το κριτήριο Routh γιά τον παρονοµαστή βρίσκουµε: 4 8 2 ' 7 3 0 7.0652 0.7355 8.9348 Αφού ο παρονοµαστής είναι 4ης τάξης πολυώνυµο και έχουµε 4 θετικά µερικά υπόλοιπα, είναι αυστηρά Hurwitz. Το κριτήριο Routh γιά τον 4ης τάξης αριθµητή δίνει: 6 4 5 2 9 6 3 ' 9( 2 ) 6( 2 ) ' 2 3 που τελειώνει πρόωρα χωρίς να δώσει 4 µερικά πηλίκα θετικά µη µηδενικά. Αυτό σηµαίνει ότι ο αριθµητής δεν είναι αυστηρά Hurwitz. Κατά τα γνωστά, ο όρος 2 + θα είναι κοινός παράγων του αριθµητή της Z 4 (). Πράγµατι: Z 4 () ' ( 2 )(6 2 69) 4 7 3 8 2 0 από την οποία γίνεται πλέον σαφές ότι η Z 4 () έχει φανταστικό ζεύγος µηδενικών γιά =±j και εποµένως δεν είναι ελάχιστη. ΣΧΗΜΑ 7.6δ Η Y 4 ()' θα έχει εποµένως πόλο γιά =±j, ο οποίος µπορεί να αποσπαστεί. Z 4 () 4. Απόσπαση πόλων =±j από την Y 4 ()' Z 4 () Y 4 () ' 2k 2 Y 5 () µε k'(&j)y 4 () ' &63j 'j &26j ' 2 και Y 5 ()'Y 4 ()& 2 ' 4 3 2 2 ( 2 )(6 2 69) ' 2 6 2 69 που ερµηνεύεται κατά τα γνωστά όπως στο σχήµα 7.6ε µε C 3 = και L 3 =. ΣΧΗΜΑ 7.6ε Φτάσαµε λοιπόν σε ελάχιστη ΘΠ συνάρτηση; Η Y 5 () δεν έχει πόλους ή µηδενικά στον jω-άξονα. Το ίδιο και η αντίστροφή της Z 5 ()=/Y 5 (). Μήπως όµως µπορούµε να αποσπάσουµε σταθερά από την Z 5 (); (Η 7-0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΘΕΣΗ Ο ΗΓΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ RLCM χρήση της Z 5 () αντί της Y 5 () δεν επιβάλλεται από πουθενά αλλά γίνεται απλά γιά εξοικείωση). Γιά να απαντήσουµε στο ερώτηµα αυτό, πρέπει να µελετήσουµε το πραγµατικό µέρος της Z 5 (jω) και αν έχει ελάχιστη τιµή R min >0, να αποσπάσουµε µια σταθερά (αντίσταση) R=R min. Το πραγµατικό µέρος είναι: Re[Z 5 (jω)] ' Re 9 & 6ω2 j6ω & ω 2 jω ' 6ω4 & 9ω 2 9 ω 4 & ω 2 Το παραπάνω πραγµατικό µέρος είναι µονίµως θετικό (γιατί;). Ας δούµε λοιπόν αν υπάρχει ελάχιστη τιµή του πραγµατικού µέρους. Γιά να γίνει αυτό πρέπει να µελετήσουµε την παράγωγο της συνάρτησης Re[Z 5 (jω)]: d dω 2Re Z 5 (jω) ' 3ω4 &6ω 2 ' 3ω2 (ω 2 &2) (ω 4 &ω 2 ) 2 (ω 4 &ω 2 ) 2 Η παραπάνω παράγωγος µηδενίζεται γιά ω=0 και ω 2 =2, τιµές στις οποίες θα υπάρχουν ακρότατα (µέγιστο ή ελάχιστο). Ελέγχοντας και την 2η παράγωγο πιστοποιούµε ότι γιά ω=0 υπάρχει µέγιστο του πραγµατικού µέρους ενώ γιά ω' 2 υπάρχει ελάχιστο. Στις τιµές αυτές ω'0 και ω' 2 το πραγµατικό µέρος της Z 5 (jω) γίνεται αντίστοιχα 9 και 5 ενώ όταν το ω τείνει στο άπειρο, το πραγµατικό µέρος τείνει στο 6. Με τις ακραίες αυτές τιµές, είναι δυνατή η σχεδίαση της γραφικής παράστασης της Re[Z 5 (jω)] όπως έχουµε κάνει στο σχήµα 7.7. ΣΧΗΜΑ 7.7 Γίνεται σαφές ότι το πραγµατικό µέρος έχει ελάχιστη τιµή R min =5, πράγµα που σηµαίνει ότι µπορούµε να αποσπάσουµε την σταθερά R=5 ώστε το πραγµατικό µέρος της αποµένουσας να µηδενίζεται γιά ω 2 =2. Μετά την απόσπαση της αντίστασης R=5, αποµένει η Z 6 ()'Z 5 ()&5' 2 4 2 Η απόσπαση της σταθεράςr=5 από την Ζ 5 () υλοποιείται στο σχήµα 7.8. ΣΧΗΜΑ 7.8 H Z 6 () δεν έχει πόλους ούτε µηδενικά στον jω-άξονα, το πραγµατικό της µέρος µηδενίζεται γιά µια τιµή ω ' 2 και έχει πεπερασµένες τιµές γιά =0 και =4, και εποµένως είναι ελάχιστη θετική πραγµατική.φτάνοντας σε ελάχιστη ΘΠ συνάρτηση, δεν είναι δυνατή η συνέχιση της σύνθεσης µε αποσπάσεις πόλων στον jωάξονα και στη συνέχεια παρουσιάζεται µια από τις ειδικές µεθόδους, η µέθοδος Brune, που εφαρµόζονται για την σύνθεση ελαχίστων ΘΠ οδηγουσών συναρτήσεων. 7 -

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ 7.3 Σύνθεση ελαχίστων ΘΠ οδηγουσών συναρτήσεων µε την µέθοδο Brune Οπως ήδη αναφέρθηκε η µέθοδος Brune χρησιµοποιείται για την σύνθεση κυκλωµάτων RLCM απο µια ελάχιστη ΘΠ συνάρτηση αντίστασης η αγωγιµότητος. Εστω λοιπόν η Ζ(), ελάχιστη οδηγούσα συνάρτηση, που για =jω, το Re[Ζ(jω )]=0, όπως απαιτεί ο ορισµός των ελαχίστων συναρτήσεων. Τότε Ζ(jω ) = jx όπου Χ =Im[Z(jω )], δηλ. πραγµατικός αριθµός αφού το ω είναι ορισµένο. Σε περίπτωση που δίνεται η Y() η µέθοδος Brune αρχίζει απο την Ζ()=/Y(). Η συνέχεια της µεθόδου είναι λίγο διαφορετική για Χ >0 η Χ <0 και για το λόγο αυτό θα εξετάσουµε τις δυό περιπτώσεις ξεχωριστά. 7.3.. Περίπτωση Χ <0 Στην περίπτωση αυτή η Ζ(jω )=jχ προσοµοιάζει προς ένα αρνητικό επαγωγέα επαγωγής L =X /ω <0 (σχήµα 7.9). ΣΧΗΜΑ 7.9 Φανταζόµαστε λοιπόν την Ζ() ως µια σύνδεση σειράς του αρνητικού επαγωγέα L και µιας αντίστασης Ζ 2 () δηλ. Z() ' X ω Z 2 () Y Z 2 () ' Z() & X ω Η Z 2 (), αφού προκύπτει από την Z() µε την προσθήκη µόνον φανταστικού µέρους, διατηρεί το πραγµατικό µέρος της ΘΠ συνάρτησης Z(), που είναι µονίµως θετικό και µηδενίζεται γιά = ± jω Z 2 (jω ) ' Z(jω ) & j X ω ω ' jx &jx ' 0 Η Ζ 2 () έχει εποµένως µηδενικό για =±jω. Επιπροσθέτως είναι ΘΠ ως άθροισµα δύο ΘΠ και έχει πόλο για =4 λόγω του όρου X /ω. Μπορούµε λοιπόν να κάνουµε δύο αποσπάσεις πόλων:. Απόσπαση του =±jω απο αγωγιµότητα Y 2 ()=/Z 2 (), που θα δώσει ένα συντονισµένο κύκλωµα σειράς παράλληλα µε την αποµένουσα Y 4 () που έχει µηδενικό για =4. 2. Απόσπαση του πόλου =4 απο την Ζ 4 ()=/Y 4 () Αποσπώντας το συζυγές ζεύγος πόλων =±jω βρίσκουµε Y 2 () ' Z 2 () ' 2k Y 2 ω 2 4 () όπου k το θετικό υπόλοιπο στον πόλο =+jω η =-jω. Η Y 4 () έχει παρονοµαστή µειωµένης κατά 2 τάξης έναντι του παρονοµαστού της Y 2 () και αφού η Ζ 2 () έχει πόλο για =4, η Υ 2 () και Y 4 () έχουν µηδενικό στην θέση αυτή. Η ερµηνεία της αποσπάσεως του ζεύγους πόλων στο =±jω δίνεται στο σχήµα 7.0γ. ΣΧΗΜΑ 7.0γ Βλέποντας τώρα την Ζ 4 ()=/Y 4 () µε πόλο =4, µπορούµε κατα τα γνωστά να τον αποσπάσουµε αποσπώντας ένα πηνίο. Η απόσπαση στηρίζεται στη σχέση: 7-2

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΘΕΣΗ Ο ΗΓΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ RLCM Z Ζ 4 ()=k 4 `+`Ζ 6 () όπου k 4 ' 4 () 'L 3 >0 /0 64 Η αποµένουσα Ζ 6 () = Ζ 4 ()-k 4 είναι κατά τα γνωστά ΘΠ συνάρτηση. Η απόσπαση του πόλου =4 αντιστοιχεί στο σχήµα 7.0δ ΣΧΗΜΑ 7.0δ Απο το σχήµα 7.0δ υπολογίζεται η Z() ως: Z() ' L L 2 C 2 L 3 Z 6 () Η Ζ 6 () δεν έχει πόλο για =4 (αφού έχει αποσπασθεί) και εποµένως για 6 4, η ποσότητα C 2 6 0 για την Ζ() έχουµε: Z(64) 6 L ' L L 2 L L 3 L 2 L 3 L 2 L 3 L 2 L 3 Η Ζ() έχει αρχικά υποτεθεί ότι είναι ελάχιστη ΘΠ εποµένως έχει πεπερασµένη τιµή γιά =4, που σηµαίνει ότι στην παραπάνω έκφραση του ορίου θα πρέπει L L 2 L L 3 L 2 L 3 '0 (αν αυτό δεν ισχύει τότε το όριο δεν θα είναι πεπερασµένο, αφού η ποσότητα πολλαπλασιάζεται µε ). Το L 3 είναι θετικό αφού έχει προκύψει από απόσπαση πόλου ΘΠ συνάρτησης γιά =4 και από την παραπάνω σχέση βρίσκουµε ότι L 3 '& L L 2 L L 2 >0 6 L L 2 >0 Επίσης γιά το θετικό L 2 βρίσκουµε ότι L 2 '& L L 3 >0 6 L L 3 >0 L L 3 Η τελική Ζ 6 () µπορεί να είναι ελαχίστη οπότε η συνέχεια της σύνθεσης γίνεται µε την ίδια µέθοδο. Αν δεν είναι ελαχίστη, την κάνουµε ελαχίστη µε αποσπάσεις πόλων στον jω-άξονα και τυχόν σταθεράς και προχωρούµε. Στο κύκλωµα του σχήµατος 7.0δ, το οποίο επαναλαµβάνουµε στο 7.0ε, εµφανίζεται ένας αρνητικός επαγωγέας L, ο οποίος δεν είναι φυσικά πραγµατοποιήσιµος µε κυκλώµατα RLCM. Αν όµως χρησιµοποιηθεί η ισοδυναµία των κυκλωµάτων του σχήµατος 7.0ε (βλέπε εφαρµογή 8.5 στο κεφάλαιο 8), τότε το κύκλωµα µε τον µετασχηµατιστή είναι πραγµατοποιήσιµο µόνον εάν L p >0, L >0 και k' M #. L L p και ΣΧΗΜΑ 7.0ε 7-3

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Φυσικά L = L 2 +L 3 >0 αφου L 2 >0 και L 3 >0. Παραπάνω επίσης αποδείξαµε ότι L +L 2 >0 και εποµένως και L p >0. Αντικαθιστώντας στην έκφραση του συντελεστή ζεύξης k τις τιµές L p 'L L 2 L 'L 2 L 3 και M'L 2 βρίσκουµε: k' M L p L ' L 2 ' (L L 2 )(L 2 L 3 ) L 2 L L 2 L L 3 L 2 L 3 L 2 2 ' L 2 L 2 ' Eποµένως το κύκλωµα του σχήµατος 7.0ε µε τον µετασχηµατιστή είναι πραγµατοποιήσιµο. Σηµειώνεται ότι ιδανικοί µετασχηµατιστές µε συντελεστή ζεύξης k= υπάρχουν στην πράξη και λειτουργούν αξιόπιστα ακόµα και σε αρκετά υψηλές συχνότητες. Η διαδικασία σύνθεσης µέχρι την Ζ 6 () ονοµάζεται κύκλος Brune και οδηγεί στο κύκλωµα Brune µε τον µετασχηµατιστή (σχ. 7.) όπου η Ζ 6 () έχει αριθµητή και παρονοµαστή µε τάξη µειωµένη κατά 2 σε σχέση µε την Z(). ΣΧΗΜΑ 7. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 7.6 Επανερχόµασατε στην ελάχιστη ΘΠ συνάρτηση Z() ' 2 4, που καταλήξαµε στην τελευταία 2 εφαρµογή. Θα εφαρµόσουµε την µέθοδο Brune για την πραγµατοποίησή της. Το Re[Z(jω)] µηδενίζεται για τις τιµές ω ' 2 και ω 2 '& 2. Η Z() για το την συχνότητα ω γίνεται Z(jω ) '&j 2 δηλ. X '& 2<0 Κατά τα προαναφερθέντα αποσπούµε απο την Ζ() ένα αρνητικό πηνίο επαγωγής L =- οπότε η αποµένουσα Ζ 2 () είναι Z 2 () ' Z() ' 3 2 2 24, που έχει εκ κατασκευής µηδενικό για =±jω και 2 πόλο =4. ΣΧΗΜΑ 7.2 Εποµένως µπορούµε να αποσπάσουµε απο την Y 2 ()=/Z 2 () το συζυγές ζεύγος φανταστικών πόλων ως εξής: 7-4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΘΕΣΗ Ο ΗΓΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ RLCM Y 2 () ' 2k 2 2 Y 3 () µε k ' ( j 2)Z() '&j 2 '...' 4 Y Y 3 () ' Y 2 () & 0.5 2 2 ' 2( 2) Η Y 2 () είναι λοιπόν ένα συντονισµένο κύκλωµα σειράς (µε L= 2 και C=/4 ) παράλληλα µε µε την Ζ 3 =2+4 (σχ.7.2β) που υλοποιείται στο σχήµα 7.2γ και ισοδύναµα αυτό του 7.2δ. 7.3.2 Περίπτωση Χ >0 Στη συχνότητα ω, στην οποία µηδενίζεται το Re[Z (jω)], έχουµε ότι Ζ(jω )=jim[z(jω )] =jx. Φυσικά φαίνεται αυτονόητο ότι η ίδια διαδικασία που ακολουθήθηκε στην προηγούµενη περίπτωση µπορεί να ακολουθηθεί και στην περίπτωση X >0. Αν όµως θεωρήσουµε ένα πηνίο L =(X /ω )>0 εν σειρά µε την αποµένουσα Ζ 2 () = Ζ () - L, δεν ξέρουµε και δεν µπορούµε να εξασφαλίσουµε ότι αυτή θα είναι ΘΠ. Ετσι στρεφόµαστε πρός την Y()=/Z (), που είναι ελάχιστη ΘΠ αφού η Ζ() είναι ελάχιστη ΘΠ και για =jω Y(jω ) ' Re[Z(jω )] jim[z(jω )] ' '&j jx X Αυτό σηµαίνει ότι για =jω η Y () φαίνεται ως ένας αρνητικός πυκνωτής C '&, που είναι συνδεµέω X νος παράλληλα µε µια αγωγιµότητα Y 2 () η οποία είναι µηδέν για jω=±jω, όπως φαίνεται στο σχήµα 7.3α. ΣΧΗΜΑ 7.3α Η αγωγιµότηττα αυτή είναι φυσικά ίση µε Y 2 ()'Y()&C 'Y() (X >0) ω X και είναι ΘΠ ως άθροισµα ΘΠ συναρτήσεων. Η Y 2 () έχει µηδενικά για =±jω και πόλο γιά =4. Tα µηδενικά µπορούν να αποσπαστούν ως πόλοι της Z 2 ()=/Y 2 () κατά τα γνωστά δηλ.: Z 2 () ' Y 2 () ' 2k Z 2 ω 2 4 () όπως φαίνεται στο σχήµα 7.3β, όπου φυσικά τα L 2 και C 2 είναι θετικές ποσότητες αφού k >0 ως υπόλοιπο πόλου της ΘΠ Ζ 2 () στον jω-άξονα. ΣΧΗΜΑ 7.3β Επειδή η Y 2 () είχε πόλο στο =4, η Z 2 () και η Z 4 () θα έχουν µηδενικό γιά =4 που φυσικά µπορεί να αποσπαστεί ως πόλος της Y 4 () κατά τα γνωστά δηλ. Y 4 ()=k 4 +Y 6 () όπου k 4 θετικό αφού είναι υπόλοιπο σε πόλο της Y 4 () η οποία είναι ΘΠ. Αυτό αντιστοιχεί στο σχήµα 7.3γ στον πυκνωτή C 3 = k 4 > 0. 7-5

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Η αποµένουσα Υ 6 () = Υ 4 ()-k 4 είναι κατά τα γνωστά ΘΠ συνάρτηση. Απο το σχήµα 7.3γ βρίσκουµε: Y () ' C C 2 C 3 Y 6 () L 2 Y (64) 6 C ΣΧΗΜΑ 7.3γ Η Υ 6 () δεν έχει πόλο για =4 (αφού έχει αποσπασθεί) και εποµένως αφού για 6 4, η ποσότητα για την Y () έχουµε: ' C C 2 C C 3 C 2 C 3 C 2 C 3 C 2 C 3 Η Y () έχει αρχικά υποτεθεί ότι είναι ελάχιστη ΘΠ εποµένως έχει πεπερασµένη τιµή γιά 64, που σηµαίνει ότι στην παραπάνω έκφραση του ορίου θα πρέπει η ποσότητα C C 2 + C C 3 + C 2 C 3 να είναι ίση µε µηδέν (αν δεν είναι τότε το όριο δεν θα είναι πεπερασµένο, αφού η ποσότητα πολλαπλασιάζεται µε ). εποµένως '0 Y C 3 '& C C 2 και C C C 2 C 3 C C 2 '& C C 3 2 C C 3 L 2 6 0 Από την παραπάνω σχέση, επειδή τα C 2 και C 3 είναι θετικά, προκύπτει επίσης ότι C C 2 >0 και C C 3 >0 Το κύκλωµα που προέκυψε στην περίπτωση αυτή (σχήµα 7.3γ), περιλαµβάνει και έναν αρνητικό πυκνωτή C που δεν είναι πραγµατοποιήσιµο στοιχείο. Με την µετατροπή του κυκλώµατος-π σε ισοδύναµο τύπου-τ σύµφωνα µε το εδάφιο 8..7 του Κεφαλαίου 8, προκύπτει το ισοδύναµο τύπου-τ, το οποίο φαίνεται στο σχήµα 7.4β. ΣΧΗΜΑ 7.4 Επειδή εξακολουθεί να υπάρχει αρνητικό στοιχείο (το L 3), τα τρία πηνία σε διάταξη Τ, αντικαθίστανται µε έναν ιδανικό µετασχηµατιστή, σύµφωνα µε το σχήµα 7.5. 7-6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΘΕΣΗ Ο ΗΓΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ RLCM ΣΧΗΜΑ 7.5 Φυσικά στο τελικό κύκλωµα πρέπει: L p >0, L >0, M>0 και ο συντελεστής ζεύξης να είναι: k' M L p L # Κάνοντας χρήση των τιµών που φαίνονται στο σχήµα 7.4 βρίσκουµε: L p ' C 2 C 3 C C 3 L 2 >0 L ' C C 2 C C 3 L 2 >0 M' C 2 C C 3 L 2 k 2 ' M 2 L )2 2 ' L p L (L ) L ) 2 )(L ) 2 L ) 3 ) '...' (αφού C C 2 C 2 C 3 C C 3 '0) Εποµένως και στην περίπτωση αυτή µε X >0, καταλήγουµε στο πραγµατοποιήσιµο κύκλωµα του Brune του σχήµατος µετά από κάθε κύκλο Brune. Τελικό συµπέρασµα Μια ΘΠ συνάρτηση µπορεί µε διαδοχικές αποσπάσεις των πόλων και των µηδενικών του jω-άξονα να συντεθεί έως ότου φτάσουµε σε µια αποµένουσα ΘΠ συνάρτηση, η οποία δεν θα έχει πλέον πόλους και µηδενικά στον jω-άξονα. Αν η ελάχιστη τιµή του πραγµατικού µέρους της αποµένουσας αυτής συνάρτησης για =jω έχει µια ελάχιστη τιµή στην συχνότητα ω, την αποσπούµε και η αποµένουσα είναι ελάχιστη ΘΠ. Αποδείξαµε στη συνέχεια ότι µια ελάχιστη ΘΠ συνάρτηση και µπορεί να συντεθεί ως οδηγούσα συνάρτηση κυκλώµατος RLCM µε την µέθοδο Brune. Εποµένως συνολικά αποδείξαµε ότι κάθε θετική πραγµατική συνάρτηση µπορεί να πραγµατοποιηθεί ως οδηγούσα συνάρτηση κυκλώµατος RLCM. Σηµειώνεται ότι η µέθοδος Brune δεν είναι η µοναδική που συνθέτει µια οποιαδήποτε ελάχιστη ΘΠ συνάρτηση. Ενδεικτικά αναφέρεται και η µέθοδος Bott-Duffin, η οποία δεν εµπλέκει µετασχηµατιστές οδηγεί όµως σε πολύ πιό πολύπλοκα κυκλώµατα RLC. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 7.7 Η οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης Z() Z()' 4 2 22 2 2 είναι ελάχιστη ΘΠ και το πραγµατικό µέρος της Re[Z(jω)] µηδενίζεται γιά ω =, συχνότητα στην οποία το Im[Z(jω )]=Χ =2. Επειδή το Χ =2 είναι θετικό, θα συνθέσουµε την 7-7

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Y()' 2 2 4 2 22 γιά την οποία φυσικά ισχύει ότι Y(jω )'&j X και µπορεί να συντεθεί όπως στο παρακάτω σχήµα Η αγωγιµότητα Y 2 () είναι φυσικά ίση µε Y 2 ()'Y()&C 'Y() 2 ' 2 3 2 2 22 4 2 22 και είναι ΘΠ ως άθροισµα ΘΠ συναρτήσεων. Η Y 2 () έχει εκ κατασκευής µηδενικά για =±jω =±j (ελέγξτε το!) και πόλο γιά =4 αφού ο αριθµητής είναι µεγαλύτερης τάξης από τον παρονοµαστή. Εποµένως η 4 Z 2 ()' 2 22 2 3 2 2 22 έχει πόλους γιά =±jω =±j που µπορούν να αποσπαστούν κατά τα γνωστά δηλ.: Z 2 () ' 2k Z 2 ω 2 4 () µε k '(&j)z 2 ()* 'j '...' 2 όπως φαίνεται στο επόµενο σχήµα µε Z 4 ()'Z 2 ()& 2 '..' Επειδή η Y 2 () είχε πόλο στο =4, η Y 4 () =/Ζ 4 () = + τον διατηρεί και µπορεί να αποσπαστεί κατά τα γνωστά δηλ. Y 4 ()=k 4 +Y 6 () όπου k 4 = και Y 6 ()=. Αυτό αντιστοιχεί στο επόµενο σχήµα στον πυκνωτή C 3 =. Το κύκλωµα αυτό είναι ισοδύναµο µε το παρακάτω τύπου-π το οποίο έχει ακόµα ένα αρνητικό στοιχείο, που απορροφάται αν χρησιµοποιήσουµε για το Τ των επαγωγέων το ισοδύναµο µε µετασχηµατιστή, που φαίνεται παρακάτω. 7-8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΘΕΣΗ Ο ΗΓΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ RLCM µε L p ' C 2 C 3 C C 3 L 2 '4 L ' C C 2 C C 3 L 2 ' M' C 2 C C 3 L 2 '2 7.4 Σύνθεση κυκλωµάτων LC Τα χωρίς απώλειες (lole) κυκλώµατα που αποτελούνται µόνο από επαγωγείς και πυκνωτές ονοµάζονται κυκλώµατα LC. Τα κυκλώµατα LC αποτελούν µια πολύ ενδιαφέρουσα και χρήσιµη κατηγορία κυκλωµάτων και προτιµώνται στη σύνθεση τόσο γιά την απουσία απωλειών όσο και γιά την ευκολία σχεδίασης τους σε σύγκριση µε άλλα κυκλώµατα. 7.4. Ιδιότητες των συναρτήσεων LC ΣΧΗΜΑ 7.6 Η οδηγούσα συνάρτηση Z() ενός LC µονοθύρου και φυσικά η αντίστροφός της Y()=/Z() είναι ρητές ΘΠ συναρτήσεις αφού η κατηγορία αυτή κυκλωµάτων εντάσσεται στην γενικότερη των RLCM, γιά την οποία απεδείχθη ότι οι οδηγούσες συναρτήσεις είναι ΘΠ. Οι γενικές σχέσεις.3 και.4 του κεφαλαίου, που δίνουν τις οδηγούσες συναρτήσεις, γίνονται στην περίπτωση των LC κυκλωµάτων: V Z() ' 0 () V M I () 2 0 () Y() ' 0 () ( M V () 2 ( 0 () αφού F 0 ()=0 λόγω της απουσίας αντιστάσεων. Αξίζει να υπενθυµίσουµε ότι αν και οι ποσότητες Ι () 2, V () 2, V 0 και M 0 είναι συναρτήσεις του, έχουν πάντα πραγµατικές τιµές µη αρνητικές γιά κάθε πραγµατικό ή µιγαδικό. Βάσει αυτής της παρατήρησης, αν η Z() έχει ένα µηδενικό γιά = 0, τότε V 0 ( 0 ) 0 M 0 ( 0 ) ' 0 Y 2 0 '& V 0 ( 0 ) 0 M 0 ( 0 ) που είναι αρνητική πραγµατική ποσότητα. Αυτό σηµαίνει ότι τα µηδενικά της Z() είναι φανταστικά συζυγή V ζεύγη της µορφής 0 ' ± j 0 ( 0 ) χωρίς δηλ. πραγµατικό µέρος και βρίσκονται πάνω στον jω- M 0 ( 0 ) ' ± jω 0 άξονα. Φυσικά, µηδενικά =0 και =4 µπορούν να παρουσιαστούν αλλά θα είναι απλά, αφού η Z() είναι ΘΠ. Απλά επίσης πρέπει να είναι και τα φανταστικά ζεύγη µηδενικών 0 =±jω 0. Είναι προφανές ότι και οι πόλοι της Z() θα είναι ή συζυγή φανταστικά ζεύγη p =±jω p πολλαπλότητος, ή απλοί πόλοι στο =0 ή =4, αφού οι πόλοι της Z() είναι µηδενικά της Y()=/Z(). Μπορούµε λοιπόν να πούµε ότι ο αριθµητής N() και ο παρονοµαστής D() οδηγούσας συνάρτησης αντίστασης ή αγωγιµότητας κυκλώµατος LC είναι της µορφής 7-9

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ F()'(jω )(&jω )(jω 2 )(&jω 2 )...(jω n )(&jω n ) '( 2 ω 2 )( 2 ω 2 2 )...( 2 ω 2 n ) όπου ο παράγοντας µπορεί να υπάρχει ή όχι δηλώνοντας ρίζα =0 (πόλος ή µηδενικό =0, ανάλογα αν πρόκειται γιά παρονοµαστή D() ή αριθµητή N()). Η παρουσία επίσης του κάνει το αντίστοιχο πολυώνυµο περιττό ενώ χωρίς το το πολυώνυµο είναι άρτιο. Από την γενική µορφή του Z() γιά =jω, δηλ. ωm Z(jω) ' j 0 I (jω) & V 0 2 ω I (jω) 2 συµπεραίνουµε ότι η Z(jω) είναι καθαρά φανταστική ποσότητα µε Re[Z(jω)]=0 γιά κάθε ω. Από την γενική µορφή των πολυωνύµων του αριθµητή και του παρονοµαστή µπορούµε εποµένως να πούµε ότι δεν µπορούν και τα δύο να είναι άρτια ή και τα δύο περιττά γιατί τότε το Z(jω) θα ήταν πραγµατικό, ενώ σύµφωνα µε τα παραπάνω πρέπει να είναι φανταστικό. Εποµένως στις οδηγούσες συναρτήσεις-lc, ή θα έχουµε άρτιο αριθµητή και περιττό παρονοµαστή ή περιττό αριθµητή και άρτιο παρονοµαστή. Αυτό οδηγεί στο συµπέρασµα ότι η διαφορά των βαθµών των πολυωνύµων του αριθµητή και παρονοµαστή είναι ακριβώς ίση µε την µονάδα. Τελικά οι δύο πιθανές µορφές µιας οδηγούσας συνάρτησης LC είναι: F LC () ' ( 2 ω 2 z )( 2 ω 2 z2 )( 2 ω 2 z3 )... ( 2 ω 2 zn ) ( 2 ω 2 p )( 2 ω 2 p2 )( 2 ω 2 p3 )... ( 2 ω 2 pn ) ή F LC () ' ( 2 ω 2 z )( 2 ω 2 z2 )( 2 ω 2 z3 )... ( 2 ω 2 zn ) ( 2 ω 2 p )( 2 ω 2 p2 )( 2 ω 2 p3 )... ( 2 ω 2 pn ) από τις οποίες µπορούµε να βγάλουµε το συµπέρασµα ότι οι οδηγούσες συναρτήσεις LC είναι περιττές συναρτήσεις δηλ. F LC (-)=-F LC (). Οι οδηγούσες συναρτήσεις λοιπόν των κυκλωµάτων LC µπορούν να έχουν πόλους µόνον της µορφής =0 =4 και =±jω p, οπότε η ανάλυσή τους σε µερικά κλάσµατα είναι F LC () ' k 4 k 0 k k 2 k... n 2 ω 2 p 2 ω 2 p2 2 ω 2 pn όπου k 4 και k 0 τα υπόλοιπα στους πόλους =4 και =0 αντίστοιχα και k, k 2,... k n τα διπλάσια των υπολοίπων στους φανταστικούς πόλους. Προφανώς γιά =jω οι οδηγούσες συναρτήσεις LC έχουν µηδενικό πραγµατικό µέρος, όπως εξάλλου αναµένεται αφού είναι όπως αναλύθηκε παραπάνω, περιττές: F LC (jω) ' j k 4 ω & k 0 ω k ω k 2 ω k... n ω ' jx(ω) ω 2 p &ω2 ω 2 p2 &ω2 ω 2 pn &ω2 Η ποσότητα X(ω) ορίζεται ως η αντίδραση του κυκλώµατος αν η F LC () είναι οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης Ζ LC () ή ως επιδεκτικότητα αν η F LC () είναι οδηγούσα συνάρτηση αγωγιµότητος Υ LC () και συµβολίζεται συνήθως µε Β(ω). Παίρνοντας την παράγωγο της αντίδρασης X(ω) ως προς ω, βρίσκουµε: dx(ω) dω ' k 4 k 0 ω k (ω 2 p ω2 )... $ 0 γιά ω < 4 2 (ω 2 p &ω2 ) 2 και dx(ω) dω 6 k 4 >0 όταν ω 64 Εποµένως η Χ(ω) είναι µονοτονικά αύξουσα συνάρτηση πράγµα που αποκαλύπτει, όσον αφορά τους πόλους και τα µηδενικά της, ότι αυτά εναλλάσσονται πάνω στον jω-άξονα δηλ. υπάρχει πάντα ένα µηδενικό (πόλος) ανάµεσα σε δύο πόλους (µηδενικά). Την γενική εικόνα της αντίδρασης Χ(ω) και της επιδεκτικότητας Β(ω) δίνει το σχήµα 7.7α ενώ στο 7.7β και 7.7γ φαίνεται πως παραβιάζεται η συνθήκη της θετικότητος της παραγώγου (και εποµένως η µονοτονικότητα της Χ(ω)) όταν φανταστούµε δύο συνεχόµενα µηδενικά ή πόλους. 7-20

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΘΕΣΗ Ο ΗΓΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ RLCM ΣΧΗΜΑ 7.7 ΠΙΝΑΚΑΣ Ι ΙΟΤΗΤΩΝ Ο ΗΓΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ LC. Οι οδηγούσες συναρτήσεις κυκλωµάτων LC είναι περιττές ΘΠ συναρτήσεις του και εκφράζονται ως λόγοι δύο πολυωνύµων, ενός πλήρους αρτίου και ενός πλήρους περιττού µε θετικούς συντελεστές. 2. Ο βαθµός αριθµητή και παρονοµαστή διαφέρουν ακριβώς κατά. 3. Η οδηγούσες συναρτήσεις κυκλωµάτων LC έχουν πόλους και µηδενικά µόνον πάνω στον jω-άξονα. Γιά =0 και γιά =4 έχουν όπωσδήποτε απλό πόλο ή µηδενικό. 4. Οι πόλοι και τα µηδενικά των οδηγουσών συναρτήσεων LC εναλλάσσονται πάνω στον jω-άξονα. Οι παραπάνω ιδιότητες αποτελούν αναγκαίες µόνον συνθήκες γιά να είναι µιά ρητή ΘΠ συνάρτηση οδηγούσα συνάρτηση LC. Αν δηλ. µιά συνάρτηση δεν ικανοποιεί έναν από τους παραπάνω όρους, δεν είναι οδηγούσα συνάρτηση LC. 7.4.2 Η µέθοδος Foter Οι οδηγούσες συναρτήσεις κυκλωµάτων LC αναλύονται σε µερικά κλάσµατα όπως φαίνεται παρακάτω: Z LC () ' k 4 k 0 k k 2 k... n 2 ω 2 p 2 ω 2 p2 2 ω 2 pn ή Y LC () ' k 4 k 0 k k 2 k... n 2 ω 2 p 2 ω 2 p2 2 ω 2 pn όπου όλα τα υπόλοιπα k των πόλων είναι µη αρνητικά αφού οι οδηγούσες συναρτήσεις είναι ΘΠ. Η αναλυµένη σε µερικά κλάσµατα οδηγούσα συνάρτηση υπαγορεύει και έναν τρόπο σύνθεσης υλοποιώντας κάθε µερικό κλάσµα χωριστά όπως φαίνεται στο σχήµα 7.8. ΣΧΗΜΑ 7.8 7-2

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Φυσικά η µέθοδος αυτή δεν είναι τίποτα το διαφορετικό από διαδοχικές αποσπάσεις των πόλων της οδηγούσας συνάρτησης, που είναι όλοι πάνω στον jω-άξονα. Η µέθοδος αυτή σύνθεσης ονοµάζεται µέθοδος Foter και οδηγεί σε κανονικά κυκλώµατα δηλ. κυκλώµατα µε τόσα στοιχεία L και C όση είναι η τάξη της οδηγούσας συνάρτησης. Κάθε απόσπαση πόλου ελαττώνει τον βαθµό της αποµένουσας κατά αν ο αποσπόµενος πόλος είναι στο 0 ή το 4, ή κατά 2 αν πρόκειται γιά συζυγές φανταστικό ζεύγος πόλων. Παρακάτω δίνουµε ένα παράδειγµα σύνθεσης µε την µέθοδο Foter. ΕΦΑΡΜΟΓΗ.8 Z()' k ' 2 Z() ' /0 3 2 '& 6 Το κύκλωµα φαίνεται στο σχήµα 7.9α. ( 2 4) 2( 2 )( 2 9) ' k 2 k 2 2 9 k 2 ' 2 9 Z() /0 2 '&9 3 4 Να συντεθεί κύκλωµα LC µε αντίσταση εισόδου Z() ' 2 4 20 2 8 Η µέθοδος Foter στηρίζεται στην ανάπτυξη της Z() σε µερικά κλάσµατα στους πόλους της όπως εκτέθηκε παραπάνω. Γιά να την αναλύσουµε όµως σε µερικά κλάσµατα, χρειαζόµαστε τις ρίζες του παρονοµαστή, δηλ. τους πόλους. Λύνοντας την σχετική δευτεροβάθµια ως προς το 2 εξίσωση, βρίσκουµε ότι οι πόλοι είναι =±j και =±j3. Ετσι η Z() µπορεί να γραφτεί και να αναλυθεί, ως εξής: 3 ' 5 6 Y Z()' 6 5 2 6 2 9 Αν συνθέσουµε την Y(), τότε έχουµε: ΣΧΗΜΑ 7.9 Y()' 2 4 20 2 8 ' 2( 2 )( 2 9) 3 4 ( 2 4) Y() k 4 ' / 0 Y Y()'k 4 k 0 k 0 'Y() '0 '4.5 k ' '4'2 2 4 Y() /0 2 '&4 k 2 4 '7.5 και εποµένως Y() ' 2 4.5 7.5 2 4 Το κυκλωµα που αντιστοιχεί στην παραπάνω σχέση, φαίνεται στο σχήµα 7.9β. 7.4.3 Οι µέθοδοι Cauer Οι µέθοδοι Cauer στηρίζεται στην απόσπαση πόλων =0 ή =4 από την οδηγούσα συνάρτηση LC την οποία όµως βλέπουµε διαδοχικά την µια ως αντίσταση και την άλλη ως αγωγιµότητα. Ετσι προκύπτουν κλάδοι σειράς και παράλληλοι κλάδοι σχηµατίζοντας κλιµακωτό (ladder) κύκλωµα όπως φαίνεται στο σχήµα 7.20. 7-22

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΘΕΣΗ Ο ΗΓΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ RLCM ΣΧΗΜΑ 7.20 Σύνθεση Cauer ( ιαδοχική απόσπαση πόλων γιά =4) Η σύνθεση Cauer ή πρώτη πραγµατοποίηση Cauer, ή στηρίζεται στην απόσπαση πόλων γιά =4. Ετσι αν η Z () έχει πόλο στο άπειρο (τάξη αριθµητή µεγαλύτερη από την τάξη του παρονοµαστή), µπορεί να αποσπαστεί δίνοντας έναν επαγωγέα µε L=k 4 στη σειρά µε την αποµένουσα Z 2 (): Z () = k 4 + Z 2 () (σχήµα 7.2β) Το k 4 είναι ο λόγος του συντελεστή µεγαλύτερης τάξης του αριθµητή προς τον συντελεστή µεγαλύτερης τάξης του παρονοµαστή. Aν η Z () δεν έχει πόλο στο άπειρο, επειδή η τάξη του αριθµητή είναι µικρότερη από την τάξη του παρονοµαστή, τον πόλο στο άπειρο θα έχει η Y () η οποία θα έχει το µεγαλύτερης τάξης πολυώνυµο στον αριθµητή. Ο πόλος αυτός γιά =4 thw Y () µπορεί να αποσπαστεί δίνοντας έναν πυκνωτή παράλληλα µε την αποµένουσα Y 2 (), η οποία εξακολουθεί να είναι LC.: Y ()=k 4 +Y 2 () (σχήµα 7.2α) Η διαδικασία αυτή επαναλαµβάνεται αποσπώντας κάθε φορά τον πόλο =4 από την κατάλληλη συνάρτηση αντίστασης ή αγωγιµότητος, έως ότου δεν υπάρχει πλέον αποµένουσα συνάρτηση για να συντεθεί. ΣΧΗΜΑ 7.2 H σύνθεση Cauer, όπως παρουσιάστηκε µε τις διαδοχικές αποσπάσεις πόλων στο άπειρο, ισοδυναµεί µε την ανάλυση της οδηγούσας συνάρτησης µε την µεγαλύτερη τάξη στον αριθµητή σε συνεχές κλάσµα µε την διαίρεση του Ευκλείδη. Το συνεχές κλάσµα είναι της µορφής: Z()'k 4 'Z k 24 Y 2 k 34 Z k 44... 3 Y 4... ή Y()'k 4 'Y k 24 Z 2 k 34 Y 3 k 44... Z 4... 7-23

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Σύνθεση Cauer 2 ( ιαδοχική απόσπαση πόλων γιά =0) Η σύνθεση Cauer 2 βασίζεται στην απόσπαση πόλων στο =0 από διαδοχικές συναρτήσεις Z() ή Y(). Βάσει των ιδιοτήτων των LC οδηγουσών συναρτήσεων, υπάρχει πάντα πόλος ή µηδενικό γιά =0. Αν η προς σύνθεση συνάρτηση έχει πόλο γιά =0, αρχίζουµε µε αυτήν. Αν δεν έχει, οπότε θα έχει µηδενικό γιά =0, αρχίζουµε από την αντίστροφή της. Αν π.χ. η Z() έχει πόλο γιά =0, τότε Z() ' k 0 Z 2 () (πυκνωτής C' k 0 στη σειρά µε τηνζ 2 ()) Αν όµως η Z() έχει µηδενικό γιά =0, τότε η Y() θα έχει πόλο γιά =0 που µπορεί να αποσπαστεί ως Y() ' k 0 Y 2 () (επαγωγέας L' k 0 παράλληλα στην Υ 2 ()) Η διαδικασία µπορεί να συνεχιστεί και τελικά οδηγεί σε κλιµακωτό κύκλωµα της µορφής του σχήµατος 7.22. ΣΧΗΜΑ 7.22 Η σύνθεση Cauer 2, µε συνεχή απόσπαση πόλων στο =0, οδηγεί σε µιά ανάλυση σε συνεχές κλάσµα στο µηδέν της µορφής: Z()' k 0 k 20 k 30 k 40... 'Z Y 2 Z 3 Y 4 Z 5... ΕΦΑΡΜΟΓΗ.9 Να συντεθεί κατά Cauer και Cauer 2 η παρακάτω συνάρτηση LC Z()' 6 5 20 3 0 6 4 7 2 2 Η Z() έχει πόλο γιά =4, ο οποίος αποσπόµενος δίνει την Z 2 () ως εξής: Z 2 ()'Z()&k 4 όπου k 4 ' 6 6 ' και εποµένως Z 2 ()' 3 3 8 6 4 7 2 2 Η απόσπαση του πόλου =4 από την Z() σηµαίνει την απόσπαση ενός επαγωγέα L =k 4 = που εµφανίζεται στη σειρά µε την Z 2 (). Η Z 2 () δεν έχει πλέον πόλο γιά =4 αλλά τον έχει η Y 2 (), Υ 2 ()' 6 4 7 2 2 3 3 8 από την οποία µπορεί να αποσπαστεί γιά να δώσει την Y 3 () ως εξής: 7-24

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΝΘΕΣΗ Ο ΗΓΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ RLCM Y 2 ()'k 4 Y 3 () όπου k 4 ' 6 3 '2 6Y 3 ()'Y 2 ()&2' 2 2 3 3 8 Η απόσπαση του πόλου από την Y 2 () σηµαίνει την απόσπαση ενός πυκνωτή που εµφανίζεται παράλληλα µε την Υ 3 (), η οποία δεν έχει πλέον πόλο γιά =4. Τον πόλο αυτό τον έχει πλέον η Ζ 3 ()' Y 3 () ' 3 3 8 2 2 O πόλος αυτός στο άπειρο µπορεί να αποσπαστεί από την Z 3 () και να δώσει την Z 4 (). Z 3 ()'k 4 Z 4 () όπου k 4 ' 3 '3 Z 4 ()'Z 2 3 ()&3' 2 2 Η Z 4 () δεν έχει πλέον πόλο γιά =4 αλλά τον έχει η Y 4 () Y 4 ()' Z 4 () ' 2 2 2 Ο πόλος αυτός της Y 4 () γιά =4 αν αποσπαστεί δίνει την Y 5 (): Y 4 ()'k 4 Y 5 () όπου k 4 ' 2 6 Y 5 ()'Y 4 ()& 2 ' Η παραπάνω διαδικασία αντιστοιχεί στο σχήµα 7.23 που δίνει την σύνθεση Cauer της δοθείσης οδηγούσας συνάρτησης LC. ΣΧΗΜΑ 7.23 Η σύνθεση Cauer απλοποιείται σηµαντικά µε διαδοχικές διαιρέσεις που οδηγούν στο συνεχές κλάσµα Z() ' ' Z 2 Y 2 3 Z 3 0.5 Y 4 Z 5 απ' όπου είναι σαφής η παραγωγή του κυκλώµατος του σχ. 7.23. Γιά την πραγµατοποίηση Cauer 2 χρειαζόµαστε πόλο στο =0 για να αρχίσουµε. Τον πόλο αυτό τον διαθέτει η Y() ' Z() ' 6 4 7 2 2 6 5 20 3 0 Η απόσπαση του πόλου =0 από την Y() γίνεται ως εξής: Y() ' k 0 Y A2 () k 0 ' Y() ' 0 ' 5 Η απόσπαση εµφανίζει έναν επαγωγέα µε L=/k 0 =5 παράλληλα προς την Y A2 () η οποία είναι: Y A2 () ' Y() & 5 ' 29 3 65 5(6 4 20 2 0) Η Y A2 () δεν έχει πλέον πόλο στο µηδέν, τον έχει όµως η Ζ A2 (), από την οποία και τον αποσπούµε. Απόσπαση πόλου =0 από την Z A2 ()=/Y A2 () 7-25

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Z A3 () ' Z A2 () & k 0 k 0 ' Z 2 () ' 0 ' 0 3 Η απόσπαση αυτή δίνει έναν πυκνωτή C=3/0 στη σειρά µε την αποµένουσα Z Α3 (). Γιά την αποµένουσα Z Α3 () έχουµε: Z Α3 () ' Z Α2 () & 0 3 ' 5(78 3 202 3(29 2 65) Η Z Α3 () δεν έχει πόλο =0, αλλά η Y Α3 ()=/Z Α3 () έχει και τον αποσπούµε:: Y Α4 () ' Y Α3 () & k 02 k 02 ' Y Α3 () ' 0 ' 69 202 δηλαδή επαγωγέας L=202/69 παράλληλα µε την Y Α4 (), οπότε η αποµένουσα Y Α4 () είναι: Y Α4 () ' Y Α3 () & 69 202 ' 0244 00(78 2 202) Απόσπαση πόλου =0 από την Z Α4 ()=/Y Α4 (): Z Α5 () ' Z Α4 () & k 03 k 03 ' Z Α4 () ' 0 ' 9.9605 δηλ. αποσπάται πυκνωτής C=/9.9605 και αποµένει στη σειρά Z Α5 ()=7.69036 δηλ. επαγωγέας L=7.69036. Η παραπάνω διαδικασία αντιστοιχεί στο σχήµα 7.24. ΣΧΗΜΑ 7.24 Η διαδικασία µπορεί να συντοµευτεί αναλύοντας την αρχική Y() σε συνεχές κλάσµα στο µηδέν µε συνεχείς διαιρέσεις ως εξής: δηλαδή Y() ' 5 0 3 69 202 9.9605 Y() ' Y Z 2 Y 3 Z 4 Y 5 7.69036 Από το συνεχές αυτό κλάσµα, µπορούν να αναγνωριστούν οι επιµέρους κλάδοι του σχήµατος 7.24. 7-26