Διακριτές Κατανομές Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Διακριτές Κατανομές τεχνικές 4 άλυτες ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglyos.gr 3 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο
Τα πάντα για την διακριτή μεταβλητή Κατανομή Poisson Στη τυχαία μεταβλητή Poisson αυτό που είναι δεδομένο είναι ο χρόνος ή ο χώρος των συμβάντων. Παραδείγματα τυχαίων μεταβλητών Poisson είναι τα παρακάτω : Το πλήθος των αυτοκινήτων που καταφθάνουν σε ένα σταθμό σε μια ώρα (δεδομένος χρόνος) Το πλήθος των ελαττωμάτων σε ένα τόπι υφάσματος (δεδομένος χώρος) Το πλήθος των τροχαίων ατυχημάτων σε ένα χιλιόμετρο αυτοκινητόδρομου σε μια ημέρα (δεδομένος χώρος και χρόνος) Ένα πείραμα τύχης Poisson έχει τα παρακάτω χαρακτηριστικά : Ο αριθμός των επιτυχιών που μπορούν να συμβούν σε ένα διάστημα είναι ανεξάρτητος από τον αριθμό των επιτυχιών σε οποιοδήποτε άλλο διάστημα Η πιθανότητα επιτυχίας είναι η ίδια για κάθε διάστημα ίσου μήκους Η πιθανότητα επιτυχίας σε ένα διάστημα είναι ανάλογη προς το μήκος του διαστήματος Αν το μήκος του διαστήματος μειώνεται, η πιθανότητα περισσότερων από μια επιτυχίες πλησιάζει στο μηδέν Μια τυχαία μεταβλητή Poisson έχει ως τιμή το πλήθος των επιτυχιών σε συγκεκριμένο χρονικό διάστημα ή σε συγκεκριμένο χώρο σε ένα πείραμα Poisson Η πιθανότητα που έχει μία μεταβλητή Poisson να πάρει την τιμή είναι : P e, όπου λ :! αριθμητικός μέσος των επιτυχιών στο χρονικό διάστημα και στον τόπο του πειράματος. Ιδιότητες : 1 1 1 0 P X 0 P X P X P X P X P X P X 1
Διωνυμική Κατανομή Η Διωνυμική κατανομή είναι το αποτέλεσμα ενός διωνυμικού πειράματος τύχης που έχει τα παρακάτω χαρακτηριστικά : Το διωνυμικό πείραμα αποτελείται από ένα πεπερασμένο αριθμό δοκιμών. Ο αριθμός αυτός συμβολίζεται ως n. Σε κάθε δοκιμή υπάρχουν δύο αποτελέσματα που χαρακτηρίζονται ως <<επιτυχία>> και <<αποτυχία>>. Η πιθανότητα της επιτυχίας σε κάθε δοκιμή συμβολίζεται ως p και η πιθανότητα της αποτυχίας ισούται q=ι-p Οι δοκιμές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους δηλαδή το αποτέλεσμα μιας δοκιμής δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα οποιασδήποτε άλλης Η διωνυμική τυχαία μεταβλητή έχει ως τιμή το πλήθος των επιτυχιών σε ένα διωνυμικο πείραμα. Έτσι,μπορεί να πάρει τις τιμές 0,1,,,n και κατά συνέπεια είναι διακριτή μεταβλητή. Σε αντίθεση με τη τυχαία μεταβλητή poisson, στη διωνυμικη τυχαία μεταβλητή,αυτό που είναι δεδομένο δεν είναι ο χρόνος ή ο χώρος των συμβάντων αλλά το πλήθος των δοκιμών του πειράματος Σε ένα διωνυμικό πείραμα με πιθανότητα επιτυχίας p, η πιθανότητα χ επιτυχιών σε η P n p q 1 δοκιμές είναι ίση με : Αν Χ τυχαία μεταβλητή (διακριτή) με πυκνότητα πιθανότητας f() και συνάρτηση κατανομής F() F()()() P X f t t για διακριτή Μέση τιμή του Χ : E()() f κ-ροπή του Χ ως προς την αρχή : m f () με m1 E(), m E κ-κεντρική ροπή του Χ : () με () f Διασπορά του Χ : ()() 1 Var Var E m m E E a b ae(),() b Var a b a Var Με ιδιότητες
Κατανομή Σύμβολο Τύπος P() Μέσος διασπορά Παρ 1 Bernoulli Β(1,p) n p q p pq q=1-p Δυωνυμική B(n,p) n n p q np npq q=1-p 3 Γεωμετρική 1 pq 4 Υπεργεωμετρική m n r 5 Poisson P(λ) e! q p mr m n q p mnr() m n r m n 1 m n q=1-p λ λ λ>0 Η Διωνυμική κατανομή υπολογίζει την πιθανότητα εμφάνισης χ αριθμό επιτυχιών σε η δοκιμές. Σε κάθε δοκιμή έχουμε δύο πιθανά αποτελέσματα : επιτυχία p και αποτυχία q με p+q=1 Η Poisson εκφράζει τον αριθμό των τυχαίων γεγονότων στη μονάδα του χρόνου (λ : ο μέσος όρος των τυχαίων γεγονότων στη μονάδα του χρόνου) Η Γεωμετρική υπολογίζει την πιθανότητα να εκτελεστεί πολλές φορές ν και να έχω χ δοκιμές μέχρι την εμφάνιση της πρώτης επιτυχίας. Αν B( n,), p p 0., n 0(), P np Ασκήσεις στις τυχαίες διακριτές μεταβλητές 3 1. Να βρεις το κ ώστε η πιθανότητα p(), 1,,3,4 να είναι συνάρτηση πιθανότητας, να βρεις κατανομή πιθανότητας και μαθηματική ελπίδα. Έστω διακριτή τ.μ. Χ με τιμές 0 και 1. Αν Ε(χ)=0,6, ποια η κατανομή πιθανότητά της και V (), m3 ; 3. Να βρεις την αθροιστική κατανομή, P( 0),() V όταν Χ 15 0 5 P(X) 0. 0.3 0.5 4. Από κάλπη με 3 αριθμημένες σφαίρες 1,,3 επιλέγουμε με επανάθεση. Αν η τ.μ. Χ δίνει το άθροισμα των ενδείξεων, να βρεις συνάρτηση πυθανότητας, κατανομή, E(),() Var 5. Ρίχνουμε ένα κανονικό τετράεδρο με έδρες 1,,3,4,4. Αν η τ.μ. Χ δίνει την απόλυτη διαφορά των ενδείξεων των βάσεων, να βρεις τη συνάρτηση πιθανότητας 6. Αν τ.μ. Χ έχει κατανομή την παρακάτω, να βρεις την κατανομή της Y,(),() E Y V Y Χ -1 0 1 3
P(X) 1/8 /8 3/8 /8 7. Η τ.μ. Χ δίνει τις εβδομαδιαίες πωλήσεις τεμαχίων προιόντος με κατανομή. Αν το κέρδος σε ευρώ ακολουθεί την Y X 190, να βρεις το αναμενόμενο κέρδος και τη διακύμανσή του Χ 100 00 300 400 P(X) 0, 0,4 0,3 0,1 8. Δίνεται η αθροιστική κατανομή, να βρεις την πιθανότητα η Χ να πάρει θετικές τιμές Χ -1 0 1 3 4 F(X) 0,15 0,35 0,65 0,85 0,95 1 9. Η διακριτή τιμή της τ.μ. Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας p(), 1,,..., n, κ>0, να βρεις το κ, τη μέση τιμή και τη διακύμανση 10. Ρίχνεις δύο ζάρια, να βρεις τη συνάρτηση πιθανότητας για τη Χ:δίνει το άθροισμα των ενδείξεων των ζαριών και της Y:δίνει την απόλυτη διαφορά των ενδείξεων 11. Αν τ.μ. Χ με συνάρτηση πιθανότητας. Να βρεις τη μέση τιμή και τη διακύμανση των Y, Q 5 3, W Χ 0 1 3 P(X) 0,5 0,1 0,3 0,1 V ( 3) :( E 3) 7, E 17 1. Να υπολογίσεις το Ασκήσεις στις θεωρητικές διακριτές μεταβλητές 13. Το 0% των προιόντων μιας μηχανής είναι ελαττωματικά. Να βρεις την πιθανότητα σε 6 προιόντα τα 5 τουλάχιστο να είναι ελαττωματικά. Ποια η πιθανότητα να βρεις το πολύ 3 ελαττωματικά, αν ήδη βρέθηκε τουλάχιστον 1 ελαττωματικό 14. Σε ερωτηματολόγιο υπάρχουν 10 ερωτήσεις και σε κάθε ερώτημα δίνονται 4 απαντήσεις εκ των οποίων μόνο μία είναι σωστή. Κάποιος φοιτητής απαντά στην τύχη, ποια η πιθανότητα να απαντήσεις : 6 ερωτήσεις, τουλάχιστο 5 ερωτήσεις, το πολύ 3 ερωτήσεις. Ποιος είναι ο αναμενόμενος αριθμός; 15. Το αποχετευτικό σύστημα μιας πόλης έχει σχεδιαστεί ώστε κατά μέσο όρο στα 50 χρόνια μία φορά να πλημμυρίζει η πόλη. Να βρεις την πιθανότητα σε 10 χρόναι να πλημμυρίσει τουλάχιστο 1 χρονιά. Να βρεις την πιθανότητα σε 10 χρόνια να πλημμυρίσει τουλάχιστο χρονιές αν γνωρίζεις ότι έχει πλημμυρίσει τουλάχιστο 1 χρονιά 16. Αν B( n,),() p E3,() ( V 5) ; P 17. Η πιθανότητα να γίνει ατύχημα σε μία μέρα είναι p.η πιθανότητα σε 10 μέρες να συμβεί ατύχημα 5 μέρες είναι εξαπλάσια της πιθανότητας να συμβεί 4 μέρες ατύχημα.να βρεις την πιθανότητα σε 8 μέρες να γίνει ατύχημα σε τουλάχιστο 1 μέρα. Να βρεις την πιθανότητα το πολύ φορές. 18. Σε νοσοκομείο ο αριθμός των θανάτων σε ένα μήνα είναι κατά μέσο όρο λ. Αν η πιθανότητα να συμβεί μέσα στο μήνα το πολύ ένας θάνατος είναι διπλάσια της πιθανότητας να συμβούν θάνατοι, να βρεις την πιθανότητα να μη συμβεί θάνατος σε ένα μήνα. Ποια η πιθανότητα να συμβούν το πολύ θάνατοι στο διάστημα μηνών 4
19. Το 40% των υποψηφίων αποτυγχάνουν σε ένα μάθημα. Ποια η πιθανότητα από 6 φοιτητές να υπάρχουν αποτυχόντες. Πόσοι αναμένεται να αποτύχουν ; 0. Σε ένα κατάστημα μπαίνουν κατά μέσο όρο 4 πελάτες το λεπτό. Ποια η πιθανότητα να μπουν το επόμενο λεπτό το πολύ 3 πελάτες αν ξέρουμε ότι θα μπει τουλάχιστον ένας ; Ποια η πιθανότητα το επόμενο 5λεπτο να μπουν 0 πελάτες; 1. Σε τμήμα ποιοτικού ελέγχου βρίσκονται κατά μέσο όρο 3 χαλασμένα τεμάχια την ημέρα. Ποια η πιθανότητα να βρεις τουλάχιστο ένα χαλασμένο σήμερα ; Ποια η πιθανότητα το επόμενο πενθήμερο να μην εμφανιστούν χαλασμένα τεμάχια. Ποια η πιθανότητα σε ένα πενθήμερο να υπάρξουν μέρες που δεν εμφανίζεται χαλασμένο τεμάχιο ;. Σε μία μικρή πόλη γεννιούνται κατά μέσο όρο 3 παιδιά το μήνα. Ποια η πιθανότητα το Δεκ να γεννηθούν 4 παιδιά. Ποια η πιθανότητα το διάστημα ΙΑΝ & ΦΕΒ να γεννηθούν 4 παιδιά; 3. Σε 36 ημέρες σε ένα νησί ήρθαν συνολικά 90 πλοία, ποια η πιθανότητα αύριο να έρθει 1 το πολύ πλοίο; Ποια η πιθανότητα το επόμενο διήμερο να έρθουν συνολικά 3 πλοία; 4. Ο αριθμός των σελίδων χωρίς ορθογραφικό λάθος είναι ίσος με τον αριθμό των σελίδων που είχαν λάθη. Αν ο αριθμός των λαθών ακολουθεί την Poisson με λ λάθη κατά μέσο όρο, να βρεις το λ και την πιθανότητα μία σελίδα να έχει 4 λάθη. Ποιος ο μέσος αριθμός λαθών κατά σελίδα και η διακύμανσή τους; 5. Εργοστάσιο έχει μηχανές Α και Β. Η Α παράγει το 60% και η Β το 40% με 3% και 5% το αντίστοιχο ποσοστό ελαττωματικών προιόντων. Να βρεις την πιθανότητα ένα προιόν να είναι ελαττωματικό. Αν ελέγξεις 100 προιόνταποια η πιθανότητα να βρεις 4 ελαττωματικά; Ασκήσεις σε Poisson 6. Το πλήθος των ατυχημάτων σε μια πολυσύχναστη διασταύρωση είναι μια τυχαία μεταβλητή Poisson με μέσο μ=3,5 ατυχήματα ανά εβδομάδα. Να υπολογίσετε την πιθανότητα των εξής ενδεχομένων : Να μη συμβεί κανένα ατύχημα στη διάρκεια μιας εβδομάδας Να συμβούν 5 ή περισσότερα ατυχήματα σε μια εβδομάδα Να συμβεί ένα ατύχημα σήμερα 7. Οι επισκέψεις σε μια ιστοσελίδα είναι αρκετά σπάνιες και συμβαίνουν τυχαία και ανεξάρτητα με μέση συχνότητα 4 ανά εβδομάδα Ποια είναι η πιθανότητα να δεχτεί η ιστοσελίδα 10 ή περισσότερες επισκέψεις στη διάρκεια μιας εβδομάδας Ποια είναι η πιθανότητα να δεχτεί η ιστοσελίδα 0 ή περισσότερες επισκέψεις στη διάρκεια δυο εβδομάδων 8. Οι ληστείες των τραπεζών που συμβαίνουν σε μια Αμερικανική μεγαλούπολη αποτελούν μια τυχαία μεταβλητή Poisson με μέσο.5 ληστείες ανά ημέρα. Να υπολογίσετε την πιθανότητα των εξής ενδεχομένων : Να συμβούν τρεις ή περισσότερες ληστείες την ίδια ημέρα Να συμβούν από 10 μέχρι και 15 ληστείες στη διάρκεια τεσσάρων ημερών 9. Τα αυτοκίνητα που φτάνουν σε ένα πρατήριο καυσίμων ακολουθούν μια κατανομή Poisson με μέση συχνότητα 5 αυτοκίνητα την ώρα. Ποια η πιθανότητα να φτάσει την επόμενη ώρα μόνο ένα αυτοκίνητο 5
30. Ποια είναι η πιθανότητα να φτάσουν περισσότερα από 0 αυτοκίνητα στις επόμενες 3 ώρες; 31. Ο αριθμός των χρηστών μιας αυτόματης ταμειακής μηχανής σε μια τράπεζα είναι μια κατανομή poisson με μέσο 1,5 χρηστές ανά 5 λεπτά. να υπολογίσετε την πιθανότητα των εξής ενδεχομένων : Κανένας χρήστης στα επόμενα 5 λεπτά Πέντε ή λιγότεροι χρήστες στα επόμενα 15 λεπτά Τρεις ή περισσότεροι χρήστες στα επόμενα 10 λεπτά Ασκήσεις σε Διακριτή 3. Μια πινακίδα στις αντλίες βενζίνης μιας αλυσίδας πρατηρίων υπενθυμίζει στους πελάτες να ελέγξουν τη στάθμη του λαδιού στα αυτοκίνητα τους. Υποστηρίζοντας ότι ένα στα πέντε αυτοκίνητα χρειάζεται να συμπληρώσει λάδια. Αν αυτό είναι αλήθεια να υπολογίσετε την πιθανότητα : Ένα από τα επόμενα τέσσερα αυτοκίνητα να χρειαστεί να συμπληρώσει λάδια Δύο από τα επόμενα οκτώ αυτοκίνητα να χρειαστεί να συμπληρώσουν λάδια Δέκα από τα επόμενα σαράντα αυτοκίνητα να χρειαστεί να συμπληρώσουν λάδια 33. Το γνωστότερο απορρυπαντικό πλυντηρίου πιάτων έχει μερίδιο αγοράς 30%. Αν ένα πολυκατάστημα καταγράψει τις επιλογές 5 πελατών που αγόρασαν απορρυπαντικό πλυντηρίου πιάτων, ποια είναι η πιθανότητα να αγόρασαν το παραπάνω απορρυπαντικό δέκα ή λιγότεροι; 34. Ένας φοιτητής που σύντομα ολοκληρώνει τις σπουδές του στην ειδικότητα της λογιστικής, υπολογίζει ότι με βάση τους βαθμούς του και τη πρακτική εξάσκηση που έχει κάνει έχει πιθανότητα 70% να δεχθεί μια προσφορά εργασίας από κάθε επιχείρηση στην οποία θα στείλει το βιογραφικό του. Αν στείλει το βιογραφικό του σε 4 μόνο επιχειρήσεις ποια είναι η πιθανότητα να μην δεχθεί καμία προσφορά εργασίας ; 35. Στις ΗΠΑ οι εκλογείς που δεν ψηφίζουν ούτε το Δημοκρατικό ούτε το Ρεπουμπλικανικό κόμμα ονομάζονται Ανεξάρτητοι και υπολογίζεται ότι αποτελούν περίπου το 10% του εκλογικού σώματος. Αν επιλέξουμε τυχαία 5 εκλογείς : Ποια είναι η πιθανότητα, κανείς από τους 5 να μην είναι Ανεξάρτητος; Ποια είναι η πιθανότητα, λιγότεροι από τους 5 να μην είναι Ανεξάρτητοι ; Ποια είναι η πιθανότητα, περισσότεροι από να είναι Ανεξάρτητοι; 36. Σύμφωνα με μια έρευνα της Αμερικανικής Ακαδημίας Κοσμητικής Οδοντιατρικής, το 75% των ενηλίκων πιστεύει ότι ένα μη ελκυστικό χαμόγελο βλάπτει την επαγγελματική τους σταδιοδρομία. Αν επιλέξουμε τυχαία 5 ενηλίκους, ποια είναι η πιθανότητα 15 τουλάχιστον από αυτούς να συμφωνεί με αυτή τη γνώμη ; 6
Ασκήσεις σε πολυμεταβλητές κατανομές Διδιάστατες κατανομές και pi 1 Αν συνάρτηση πιθανότητας με pi P i, y y Περιθώριες κατανομές ως προς χ : p P() p, ως προς Υ : p P() y y p X,y ανεξάρτητες : p p p, i, i i Μέση τιμή του χ : E() i pi i pi i i i Μέση τιμή του y : E() y y pi y p Μέση τιμή y : E() y i y pi i Συνδυακύμανση : cov(,)()()() y E y E E y Συντελεστής συσχέτισης : (,) y cov(,) y Ιδιότητες του cov, y : cov a1 b1, a b y b1 b cov, y cov a1 b1, a b y b1 b cov, y a b, a b y 1 1 i y οπότε b b a1 b1 a b y 1 y i i 37. Θεωρείστε το πείραμα τύχης ρίχνουμε τετράεδρα με πλευρές τους αριθμούς 1,,3,4. Φτιάχνουμε την Χ:απόλυτη διαφορά των δύο αποτελεσμάτων. Υ: 0 αν το άθροισμα των αποτελεσμάτων είναι διαιρετό διά και 1 αν όχι. Να γίνει η από κοινού συνάρτηση πιθανότητας των δύο τ.μ. 38. Θεωρείστε το πείραμα τύχης : ρίχνουμε ζάρια. Υπολογίστε την Χ : μέγιστη τιμή μεταξύ των αποτελεσμάτων, Υ:0 αν το αποτέλεσμα του δεύτερου ζαριού είναι περιττό και 1 αν το αποτέλεσμα του δεύτερου ζαριού είναι άρτιο. Να βρεις την συνάρτηση πιθανότητας 39. Για τις ανεξάρτητες τ.μ. Χ,Υ είναι γνωστό : E() 5, E 34,() E 6(), Y 3 V E 10 XY ; 40. Δίνεται η από κοινού πιθανότητα των τ.μ. Χ και Υ με Χ τα εισοδήματα και Υ τα έξοδα. Να βρεις αν είναι ανεξάρτητες, της δεσμευμένες πιθανότητες 5 / 7, 6 / 4 P P, συντελεστή συσχέτισης, μέση τιμή και Y διακύμανση του Χ,Υ Χ/Υ 4 5 6 6 0, 0 0, 7 0,1 0, 0,3 7
41. Δίνεται η από κοινού συνάρτηση πιθανότητας, να βρεις το α, περιθώριες, αν είναι ανεξάρτητες, 4. P( 1, y ), P 1, y,(),(),()cov( E E y E,),( y,) y p y με : Χ Υ: 1 3-1 1/6 0 1/5 0 1/18 1/9 /15 1 1/11 α 0 8