1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε 1, ε. ii) άθε σηµείο που ισαπέχει από τις ε 1, ε ανήκει στην ε. ε 1 ε ε 5. Το βαρύκεντρο τριγώνου Οι διάµεσοι κάθε τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σηµείο Θ, που λέγεται κέντρο βάρους του τριγώνου. Ιδιότητα : Θ = Θ Ζ Θ Θ = 3 Θ = 1 3
6. Το ορθόκεντρο τριγώνου Οι φορείς των υψών κάθε τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σηµείο Η, που λέγεται ορθόκεντρο του τριγώνου. Ιδιότητα : Οι κορυφές τριγώνου και το ορθόκεντρό του αποτελούν ορθοκεντρική τετράδα, δηλαδή καθένα τους είναι ορθόκεντρο του τριγώνου που ορίζεται από τα άλλα. Π.χ Το είναι ορθόκεντρο του τριγώνου Η. Η 7. Τρ. ορθογώνιο στο και διάµεσος = 8. ν διάµεσος τριγώνου και = τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο., 9. Προσοχή Στο ορθογώνιο τρίγωνο, όταν φέρνουµε τη διάµεσο που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα, έχουµε δύο ισοσκελή τρίγωνα 10. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ισχύει η ισοδυναµία : = 30 ο = 30 0
3 ΣΗΣΙΣ 1. ίνεται τρίγωνο και σηµείο Ι της έτσι ώστε µέσο της διαµέσου, δείξτε ότι Έστω το µέσο της. Φέρουµε τη. Ι= 1 // 1 Ι =. ν είναι το Ι = 1 και = 1 Ι = 1 Ι Στο τρίγωνο, το είναι µέσο του και το Ι µέσο του, άρα Ι = // 1 (1) πίσης µέσου του και µέσο του = // 1 πό τις (1) και () Ι = // 1 (). Οι γωνίες και ενός τετραπλεύρου είναι ορθές. ν και Λ είναι τα µέσα των και αντίστοιχα, δείξτε ότι Λ. Φέρουµε τα τµήµατα Λ και Λ. Στα ορθογώνια τρίγωνα και, οι Λ και Λ είναι διάµεσοι στην υποτείνουσα, Λ άρα Λ = = Λ Το τρίγωνο λοιπόν Λ είναι ισοσκελές, άρα η διάµεσός του Λ είναι και ύψος του. Οπότε Λ
3. Έστω παραλληλόγραµµο µε =. ν είναι το µέσο της, δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Έστω το µέσο της = // παρ/µµο = Όµως από την υπόθεση είναι = =, άρα θα είναι και =. Στο τρίγωνο λοιπόν η διάµεσος του είναι ίση µε το µισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί, άρα ɵ = 90 ο. ν η απόσταση του κέντρου ενός ρόµβου από µία πλευρά του είναι ίση µε το 1 της πλευράς, να βρείτε τις γωνίες του ρόµβου. Έστω Ο η απόσταση του κέντρου Ο από την και το µέσο της. Στο ορθογώνιο τρίγωνο Ο, η Ο είναι διάµεσος 1 Ο στην υποτείνουσα, άρα Ο =. Ο αι επειδή Ο =, θα είναι Ο = Στο ορθογώνιο τρίγωνο Ο η κάθετη πλευρά του Ο είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας, άρα 1= 30 ο Άρα, στο ισοσκελές τρίγωνο Ο, κάθε µία από τις άλλες γωνίες του θα είναι 75 ο, δηλαδή Ο = 75 ο ποµένως = 150 ο = και άρα = 30 ο = ɵ
5 5. Έστω,, Ζ τα µέσα των πλευρών,, τριγώνου. ν οι και Ζ τέµνονται στο Ρ και οι Ζ, τέµνονται στο, δείξτε ότι φού Ζ µέσο του και µέσο του, θα είναι Ζ = // (1) Άρα Ζ = // και Ζ = //, οπότε τα τετράπλευρα Ζ και Ζ είναι παραλληλόγραµµα. Συνεπώς Ρ µέσο του Ζ και µέσο του, Ζ οπότε, από το τρίγωνο Ζ θα έχουµε Ρ =// πό τις (1) και () συµπεραίνουµε ότι Ρ = // Ζ () Ρ Ρ = // 6. πό την κορυφή τετραπλεύρου φέρνουµε προς το ίδιο µέρος της στο οποίο βρίσκεται η την = //. ν και Ν είναι τα µέσα των και, δείξτε ότι =//Ν. Φέρουµε τις, φού = //, το είναι παρ/µµο. ποµένως το µέσο της είναι το κέντρο του, δηλαδή είναι µέσο και του. Στο τρίγωνο, το είναι µέσο του και M N το Ν µέσο του, άρα Ν= // = // Ν
6 7. Σε τετράπλευρο, τα, Ζ, Η, Θ είναι µέσα των πλευρών,,, αντίστοιχα και τα, Λ µέσα των,. Να δείξτε ότι το τετράπλευρο Η Λ και το Ζ Θ Λ είναι παραλληλόγραµµα και ότι οι ευθείες Η, ΖΘ, Λ συντρέχουν. Στο τρίγωνο, τα Η και είναι µέσα των και άρα Η=// (1) Οµοίως στο τρίγωνο είναι Λ = // () πό τις (1) και () έχουµε ότι Η = // Λ οπότε το ΗΛ είναι παραλληλόγραµµο. Οµοίως αποδεικνύεται ότι και το ΖΛΘ είναι παραλληλόγραµµο Τα παραπάνω παραλληλόγραµµα έχουν κοινή διαγώνιο το τµήµα Λ και οι άλλες διαγώνιές τους είναι τα τµήµατα Η και ΖΘ, εποµένως τα τµήµατα Η και ΖΘ, διέρχονται από το µέσο του Λ, δηλαδή τα Η, ΖΘ, Λ συντρέχουν.
7 8. πό την κορυφή τριγώνου φέρνουµε κάθετη στην εξωτερική διχοτόµο της γωνίας, η οποία τέµνει την διχοτόµο αυτή στο και την προέκταση της στο. ν είναι το µέσο της, δείξτε ότι + i) = +, ii) =, iii) = i) Στο τρίγωνο, το είναι διχοτόµος και ύψος, άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Οπότε = και το θα είναι µέσο του. ποµένως = + = + ii) φού µέσο του και µέσο του, + έχουµε = // και λόγω του (i), = iii) πειδή //, είναι = ɵ 1 (1) Η γωνία του τριγώνου είναι εξωτερική στο τρίγωνο. Άρα = ɵ 1 + και επειδή = ɵ 1 λόγω του ισοσκελούς τριγώνου, έχουµε = ɵ 1 και λόγω της (1), = =
8 9. ν οι διαγώνιες ενός τετραπλεύρου είναι κάθετες τότε τα µέσα των πλευρών του είναι κορυφές ορθογωνίου, ενώ αν οι διαγώνιες είναι ίσες τότε τα µέσα των πλευρών του είναι κορυφές ρόµβου. Τι συµβαίνει όταν οι διαγώνιες είναι κάθετες και ίσες ; Ως γνωστόν το ΛΡ είναι παραλληλόγραµµο., Ρ µέσα των, Ρ = // (1) (), Λ µέσα των, Λ = // Ρ Έστω ότι πό τις (1), () Ρ Λ, εποµένως το παραλληλόγραµµο ΛΡ είναι ορθογώνιο Έστω = πό τις (1), () Ρ = Λ, εποµένως το παραλληλόγραµµο ΛΡ είναι ρόµβος. Όταν και = τότε το ΛΡ είναι ορθογώνιο και ρόµβος δηλαδή τετράγωνο. Λ 10. Προεκτείνουµε το ύψος τριγώνου κατά τµήµα =. ν είναι το µέσο του τµήµατος, να δείξετε ότι η κάθετη από το στην και η κάθετη από το στην τέµνονται σε σηµείο της. Έστω και Ρ. πειδή µέσο του και µέσο του, θα είναι // και αφού, θα είναι και. Στο τρίγωνο το είναι ένα ύψος και οι, Ρ είναι οι φορείς των δύο άλλων υψών, εποµένως οι, Ρ και θα διέρχονται από το ίδιο σηµείο Η της Ρ Η