Ενότητα 5 ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΔΥΟ ΕΠΙΠΕΔΩΝ

Ενότητα 5 ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΔΥΟ ΕΠΙΠΕΔΩΝ

Γενικές Γραμμές Χάρτης Karnaugh (K-map) Prime Implicants (πρωταρχικοί όροι) Διαδικασία Απλοποίησης με K-map ΑδιάφοροιΣυνδυασμοίΕισόδων Διεπίπεδες Υλοποιήσεις AND-OR OR-AND NAND-NAND NOR-NOR Βλέπε: Βιβλίο Wakerly Παράγραφοι 4.3.4, 4.3.5, 4.3.6, 4.3.7, 4.3.2. Βιβλίο Mano Παράγραφοι 3., 3.2, 3.3, 3.5, 3.6, 3.7

K-map 2 Μεταβλητών X Y F πίνακας αλήθειας Χ Υ χάρτης Karnaugh F = X Y +XY Αντιστοιχία πίνακα αλήθειας και χάρτη Kaurnaugh

Χάρτης Karnaugh (K-map) 2 Μεταβλητών Χ Υ X Y X Y m m XY XY m 2 m 3 Ο χάρτης αποτελείται από 4 τετράγωνα Κάθε τετράγωνο αντιστοιχεί σε έναν ελαχιστόρο 2 μεταβλητών Κάθε τετράγωνο έχει ακριβώς 2 γειτονικά τετράγωνα Οποιαδήποτε 2 γειτονικά τετράγωνα αντιστοιχούν σε ελαχιστόρους, που διαφέρουν σε μία μόνο μεταβλητή (literal), η οποία εμφανίζεται κανονικά στο ένα τετράγωνο και με το συμπλήρωμά της στο άλλο τετράγωνο

K-map 2 Μεταβλητών Χ Υ X Y XY X Y XY ΝAND : F = XY + X Y + X Y AND : F = XY Άλλη μορφή του πίνακα αλήθειας Νέος τρόπος αναπαράστασης μίας Λογικής Συνάρτησης Κανονική Λ. Σ. : Άθροισμα ελαχιστόρων για F= Συμπληρωματική Λ. Σ. : Άθροισμα ελαχιστόρων για F=

K-map 2 Μεταβλητών X Y X Y Χ Υ XY XY F = X Y + XY = Y (X +X)=Y F = X Y+ XY = Y(X +X)=Y Διαδικασία απλοποίησης σε 2 γειτονικά τετράγωνα, που έχουν την ίδια τιμή ή : Το άθροισμα 2 ελαχιστόρων σε 2 γειτονικά τετράγωνα απλοποιείται σε έναν όρο, που απαρτίζεται από το γινόμενο των μεταβλητών που είναι ίδιες και στους 2 ελαχιστόρους (δηλ. και στα 2 τετράγωνα) Οπτική εφαρμογή της αλγεβρικής απλοποίησης: επιμεριστικός νόμος νόμος συμπληρώματος ουδέτερο στοιχείο

K-map 3 Μεταβλητών Χ ΥΖ X Y Ζ X Y Ζ X YΖ X YΖ X Y Ζ X Y Ζ X YΖ X YΖ m m m 3 m 2 m 4 m 5 m 7 m 6 Ο χάρτης αποτελείται από 8=2 3 τετράγωνα Κάθε τετράγωνο αντιστοιχεί σε έναν ελαχιστόρο 3 μεταβλητών Θεωρούνται γειτονικά και τα ακραία : (m με m 2 ), και (m 4 με m 6 ) Κάθε τετράγωνο έχει ακριβώς 3 γειτονικά τετράγωνα, π.χ. το τετράγωνο του m συνορεύει με τα τετράγωνα των m,m 2,m 4

S A A 2 F K-map 3 Μεταβλητών m m m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m 7 S A A 2 F = S A + SA 2 F = S A + SA 2 m m 4 m 5 Πολυπλέκτης 2 σε m m 3 m 2 m 7 m 6 Αντιστοιχία πίνακα αλήθειας και χάρτη Kaurnaugh Παραδείγματα απλοποίησης σε δύο γειτονικά τετράγωνα

K-map 3 Μεταβλητών Παράδειγμα απλοποίησης σε 2 γειτονικά τετράγωνα ΥΖ Χ F = XΖ + ΥΖ F = Y Z+ X Z X Y Ζ X Y Ζ X YΖ X YΖ X Y Ζ X Y Ζ X YΖ X YΖ Προσοχή: Οι διακεκομμένες ομάδες 2 γειτονικών τετραγώνων, που αντιστοιχούν σε αθροίσματα 2 ελαχιστόρων, δεν λαμβάνονται υπόψη, γιατί αυτοί οι ελαχιστόροι έχουν ήδη καλυφθεί από άλλες ομάδες γειτονικών τετραγώνων. (Σχετίζεται με το θεώρημα της ομοφωνίας)

K-map 3 Μεταβλητών Παράδειγμα απλοποίησης με 4 γειτονικά τετράγωνα ΥΖ Χ F = Ζ F = Z X Y Ζ X Y Ζ X YΖ X YΖ X Y Ζ X Y Ζ X YΖ X YΖ Διαδικασία απλοποίησης σε 4 γειτονικά τετράγωνα: Το άθροισμα 4 ελαχιστόρων σε 4 γειτονικά τετράγωνα απλοποιείται στο γινόμενο των μεταβλητών που είναι ίδιες και στους 4 ελαχιστόρους (δηλ. και στα 4 τετράγωνα)

Χ ΥΖ K-map 3 Μεταβλητών F = Ζ + ΧΥ X Y Ζ X Y Ζ X YΖ X YΖ F = YZ+ X Z X Y Ζ X Y Ζ X YΖ X YΖ Διαδικασία απλοποίησης: Κάθε ομάδα γειτονικών τετραγώνων για να είναι επιτρεπτή πρέπει να έχει ακριβώς 2 κ γειτονικά τετράγωνα, δηλαδή 2, 4, ή 8 γειτονικά τετράγωνα Κάθε ομάδα αντιστοιχεί στο λογικό γινόμενο Ν-κ μεταβλητών (Ν=3) Όλα τα τετράγωνα με για την F(ήμε για την F ) πρέπει να καλυφθούν από μία τουλάχιστον ομάδα, εάν υπάρχουν γειτονικά τετράγωνα με (ή με). Απλοποίηση= Δημιουργία του ελαχίστου αριθμού ομάδων (groups) καθεμιά με τον μέγιστο αριθμό γειτονικών τετραγώνων (πρόβλημα min-max)).

Χ ΥΖ K-map 3 Μεταβλητών X Y Ζ X Y Ζ X YΖ X YΖ F = Ζ + Χ F = X Z X Y Ζ X Y Ζ X YΖ X YΖ Προσοχή: Τα 4 γειτονικά τετράγωνα μπορεί να είναι σε μία σειρά (ή σεμίαστήλη) ή να σχηματίζουν ένα μεγαλύτερο τετράγωνο

Χ ΥΖ X Y Ζ X Y Ζ K-map 3 Μεταβλητών X Y Ζ X Y Ζ X YΖ X YΖ X YΖ X YΖ F = X Y Ζ + X YΖ + X Y Ζ + X YΖ Ηπερίπτωση του domino Κάθε τετράγωνο με τιμή έχει 3 γειτονικά τετράγωνα με τιμή Επομένως δεν υπάρχει δυνατότητα απλοποίησης για υλοποίηση δύο επιπέδων Απλοποίηση γίνεται μόνο με τη χρήση των πυλών ΧOR, όπως θα μάθουμε στην Ενότητα 8

WΧ ΥΖ W X Y Ζ K-map 4 Μεταβλητών W X Y Ζ W X YΖ W X YΖ m m m 3 m 2 W XY Ζ W XY Ζ W XYΖ W XYΖ m 4 m 5 m 7 m 6 WXY Ζ WXY Ζ WXYΖ WXYΖ m 2 m 3 m 5 m 4 WX Y Ζ WX Y Ζ WX YΖ WX YΖ m 8 m 9 m m Ο χάρτης αποτελείται από 6=2 4 τετράγωνα Κάθε τετράγωνο αντιστοιχεί σε έναν ελαχιστόρο 3 μεταβλητών Κάθε τετράγωνο έχει ακριβώς 4 γειτονικά Θεωρούνται γειτονικά και τα ακραία : (m με m 8 ), (m με m 9 ), (m 2 με m ), (m 3 με m ), (m με m 2 ), (m 4 με m 6 ), (m 8 με m ), (m 2 με m 4 )

K-map 4 Μεταβλητών Γενικευμένη διαδικασία απλοποίησης για συναρτήσεις Νμεταβλητών: Το άθροισμα 2 κ ελαχιστόρων σε 2 κ γειτονικά τετράγωνα απλοποιείται στο γινόμενο των (Ν-κ) μεταβλητών που είναι ίδιες και στους 2 κ ελαχιστόρους (δηλ. και στα 2 κ τετράγωνα) WΧ ΥΖ Εφαρμογή κ = 3, Ν=4 F = W F = W

Prime Implicants Prime Implicant (πρωταρχικός όρος) : (ομάδα γειτονικών τετραγώνων μεγίστου μεγέθους, γιαταοποίαησυνάρτησηέχειτην τιμή) Παράδειγμα : Για συναρτήσεις 4 μεταβλητών ορίζονται οι πιο κάτω prime implicants: τετράγωνο γινόμενο 4 μεταβλητών ( ελαχιστόρος) 2 γειτονικά τετράγωνα γινόμενο 3 μεταβλητών 4 γειτονικά τετράγωνα γινόμενο 2 μεταβλητών 8 γειτονικά τετράγωνα μεταβλητή 6 γειτονικά τετράγωνα F =

Διαδικασία Απλοποίησης Ουσιώδης Prime Implicant : Ο prime implicant που περιέχει τουλάχιστον ένα ελαχιστόρο που δεν καλύπτεται από άλλον prime implicant (ομάδα τετραγώνων μεγίστου μεγέθους, που περιλαμβάνει ένα τουλάχιστον απομονωμένο τετράγωνο) Συστηματική διαδικασία απλοποίησης :. Βρίσκουμε όλους τους prime implicants 2. Αρχικά λαμβάνουμε υπόψη τους ουσιώδεις prime implicants 3. Μετά λαμβάνουμε υπόψη και τον ελάχιστο αριθμό από άλλους (μή ουσιώδεις) prime implicants μέχρι να καλυφθούν όλοι οι ελαχιστόροι της συνάρτησης

K-map 4 Μεταβλητών-Απλοποίηση WΧ ΥΖ. Βρίσκουμε όλους τους prime implicants: ΧΖ, WZ, X Y, WX, YZ, X Z Είναι όσοι και οι ομάδες γειτονικών τετραγώνων μεγίστου μεγέθους (στη περίπτωσή μας αυτές οι ομάδες αποτελούνται από 4 τετράγωνα η καθεμία

K-map 4 Μεταβλητών WΧ ΥΖ 2. Ξεχωρίζουμε τους ουσιώδεις prime implicants Οι ουσιώδεις prime implicants περιέχουν τουλάχιστον ένα ελαχιστόρο που δεν καλύπτεται από κανέναν άλλον prime implicant

K-map 4 Μεταβλητών WΧ ΥΖ WΧ ΥΖ F = Χ Ζ + ΧΖ + ΥΖ + WZ F = Χ Ζ + ΧΖ + Χ Υ + WZ Συνδυασμοί απαιτούμενων prime implicants μέχρι να καλυφθούν όλοι οι ελαχιστόροι της συνάρτησης. Όλοι οι πιθανοί συνδυασμοί περιλαμβάνουν τους δύο ουσιώδεις και άλλους δύο μη ουσιώδεις prime implicants

K-map 4 Μεταβλητών WΧ ΥΖ WΧ ΥΖ F = Χ Ζ + ΧΖ + ΥΖ + WΧ F = Χ Ζ + ΧΖ + Χ Υ + WΧ Συνδυασμοί απαιτούμενων prime implicants μέχρι να καλυφθούν όλοι οι ελαχιστόροι της συνάρτησης. Όλοι οι πιθανοί συνδυασμοί περιλαμβάνουν τους δύο ουσιώδεις και άλλους δύο μη ουσιώδεις prime implicants

Απλοποίηση Γινομένων Αθροισμάτων Λαμβάνουμε την απλοποιημένη μορφή της συμπληρωματικής συνάρτησης σε άθροισμα γινομένων εφαρμόζοντας τον K-map για F= Χρησιμοποιούμε το Θεώρημα De Morgan για πολλές μεταβλητές και μετατρέπουμε το άθροισμα γινομένων της συμπληρωματικής συνάρτησης σε γινόμενο αθροισμάτων της κανονικής συνάρτησης

Απλοποίηση Γινομένων Αθροισμάτων Χ ΥΖ F = XΖ + ΥΖ F = Y Z+ X Z X Y Ζ X Y Ζ X Y Ζ X Y Ζ X YΖ X YΖ X YΖ X YΖ F = (Y+Z ) (X+Z) F = (F ) = (Y Z+X Z ) = (Y Z) (X Z ) = (Y+Z ) (X+Z)

Αδιάφοροι Συνδυασμοί Εισόδων Αδιάφοροι συνδυασμοί εισόδων : η συνάρτηση δεν προσδιορίζεται για αυτούς τους συνδυασμούς εισόδων (F = X) με αυθαίρετη επιλογή της τιμής της συνάρτησης (F = ή F = ) για αυτούς τους συνδυασμούς δημιουργούνται prime implicants με περισσότερα τετράγωνα που χρησιμοποιούνται για την παραπέρα απλοποίηση της λογικής συνάρτησης προκύπτουν πιο απλοποιημένες λογικές συναρτήσεις που έχουν την ίδια τιμή μόνο για τους μη αδιάφορους συνδυασμούς εισόδων

Αδιάφοροι Συνδυασμοί Εισόδων WΧ ΥΖ Χ Χ Χ F = W X Z + ΥΖ Χωρίς να λάβουμε υπόψη μας τους αδιάφορους όρους, δηλαδή υποθέτοντας ότι έχουν τη τιμή

Αδιάφοροι Συνδυασμοί Μεταβλητών WΧ ΥΖ X X X F = W X + ΥΖ Υποθέτουμε ότι για κάποιους αδιάφορους όρους η συνάρτηση λαμβάνει την τιμή και για τους υπόλοιπους τη τιμή

Αδιάφοροι Συνδυασμοί Μεταβλητών WΧ ΥΖ X X X F = W Z + ΥΖ Υποθέτουμε ότι για κάποιους άλλους αδιάφορους όρους η συνάρτηση λαμβάνει την τιμή και για τους υπόλοιπους τη τιμή

AND-OR Υλοποιήσεις Είναι οι υλοποιήσεις των λογικών συναρτήσεων σε κανονική ή πρότυπη μορφή αθροίσματος γινομένων F = XΖ + ΥΖ X Z Y Z F Οι υλοποιήσεις θεωρούνται διεπίπεδες ανεξάρτητα από το εάν υπάρχουν αντιστροφείς στις εισόδους

OR-AND Υλοποιήσεις Είναι οι υλοποιήσεις των λογικών συναρτήσεων σε κανονική ή πρότυπη μορφή γινομένου αθροισμάτων Υ Z Χ Z F = (Y+Z ) (X+Z) Οι υλοποιήσεις θεωρούνται διεπίπεδες ανεξάρτητα από το εάν υπάρχουν αντιστροφείς στις εισόδους F

ΝAND-ΝΑΝD Υλοποιήσεις Προκύπτουν από τις AND-OR υλοποιήσεις προσθέτοντας ανάμεσα στις εξόδους της πύλης AND και στις εισόδους της πύλης OR ένα ζεύγος αντιστροφέων (ΝΟΤ-ΝΟΤ) F = XΖ +ΥΖ X Z Y Z F X Z Y Z F X Z Y Z F X Z Y Z F

ΝAND-ΝΑΝD Υλοποιήσεις Προκύπτουν από τις OR-AND υλοποιήσεις προσθέτοντας πριν από τις εισόδους της πύλης OR και μετά από τις εξόδους της πύλης AND ένα ζεύγος αντιστροφέων (ΝΟΤ-ΝΟΤ) F = (Y+Z ) (X+Z) Υ Z Χ Z Υ Z Χ Z Συμπληρωματικές είσοδοι F F Υ Z Χ Z Υ Z Χ Z Υπάρχει και αντιστροφέας στην έξοδο F F

ΝOR-ΝOR Υλοποιήσεις Προκύπτουν από τις OR-AND υλοποιήσεις προσθέτοντας ανάμεσα στις εξόδους της πύλης OR και στις εισόδους της πύλης AND ένα ζεύγος αντιστροφέων (ΝΟΤ-ΝΟΤ) F = (Y+Z ) (X+Z) Υ Z Χ Z F Υ Z Χ Z F Υ Z Χ Z F Υ Z Χ Z F

ΝOR-ΝOR Υλοποιήσεις Προκύπτουν από τις AND-OR υλοποιήσεις προσθέτοντας πριν από τις εισόδους της πύλης AND και μετά από τις εξόδους της πύλης OR ένα ζεύγος αντιστροφέων (ΝΟΤ-ΝΟΤ) F = XΖ +ΥΖ X Z Y Z X Z Y Z Συμπληρωματικές είσοδοι F F X Z Y Z X Z Y Z Υπάρχει και αντιστροφέας στην έξοδο F F

Άσκηση 5. Να σχεδιασθεί το λογικό κύκλωμα ενός συγκριτή μεγέθους δύο ψηφίων Είσοδοι : Α=(Α,Α ) και Β=(Β,Β ) Έξοδοι : F, F 2 και F 3 F =, εάν Α = Β F 2 =, εάν Α < Β F 3 =, εάν Α > Β Να γίνουν οι AND-OR, OR-AND, NAND-NAND και NOR-NOR υλοποιήσεις Α, Β [,,, ]

Πίνακας Αλήθειας της Άσκησης 5. A A Β Β F F 2 F 3 A A Β Β F F 2 F 3

Συνάρτηση F 2 της Άσκησης 5. B B A A B B A A F 2 = A B +A A B +A B B F 2 = B B + A B + A B +A A +A B F 2 = (B +B )(A +B )(A +B )(A +A )(A +B )

ΥΖ WΧ Άσκηση 5.2 Δίδεται ο K-map της συνάρτησης F. Να δοθεί η αντίστοιχη απλοποιημένη μορφή της συνάρτησης F σε άθροισμα γινομένων. Να δοθεί η απλοποιημένη μορφή της συμπληρωματικής συνάρτησης F σε άθροισμα γινομένων, εφαρμόζοντας τον K-map για F=. Να μετατραπεί το άθροισμα γινομένων της συνάρτησης F σε γινόμενο αθροισμάτων της συνάρτησης F. Να δοθούν όλες οι AND-OR, OR-AND, NAND-NAND και NOR-NOR υλοποιήσεις της συνάρτησης F. Εάν υποθέσουμε ότι οι πύλες NAND και NOR, που έχουν τον ίδιο αριθμό εισόδων, έχουν το ίδιο κόστος υλοποίησης και την ίδια καθυστέρηση διάδοσης, που είναι μικρότερα των αντίστοιχων πυλών AND και OR, ποια υλοποίηση έχει το μικρότερο κόστος και τη μικρότερη καθυστέρηση διάδοσης. Υποθέτουμε ότι στην είσοδο είναι διαθέσιμα τα κανονικά και τα συμπληρωματικά δυαδικά σήματα.

Άσκηση 5.3 Να γίνουν οι πολυεπίπεδες ΝAND και NOR υλοποιήσεις της συνάρτησης F της άσκησης 5.2 χρησιμοποιώντας αποκλειστικά πύλες NAND ή NOR δύο εισόδων. Υποθέτουμε ότι στην είσοδο είναι διαθέσιμα μόνο τα κανονικά δυαδικά σήματα. Για την πολυεπίπεδη NAND υλοποίηση βασιζόμαστε στην πολυεπίπεδη AND-OR υλοποίηση με πύλες AND και OR αποκλειστικά 2 εισόδων Για την πολυεπίπεδη NOR υλοποίηση βασιζόμαστε στην πολυεπίπεδη OR-AND υλοποίηση με πύλες AND και OR αποκλειστικά 2 εισόδων Προσοχή στη διασύνδεση πυλών του ιδίου είδους AND ή OR: κατά τη μετατροπή σε NAND ή NOR απαιτείται η χρήση ενός αντιστροφέα ανάμεσα στις πύλες