HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 18/02/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Προτασιακός Λογισµός (συνέχεια...) Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 2/18/2016 1 1 2/18/2016 2 2 Τι είδαµε µέχρι τώρα Προτάσεις (ατοµικές, σύνθετες) Τελεστές (not, and, or, xor, εάν...τότε) Πίνακες αληθείας Ταυτολογίες / αντιφάσεις Ισοδυναµία προτάσεων (µε βάση τους πίνακες αληθείας) Πάλι πίσω στη φυσική γλώσσα αν στην καθοµιλουµένη πούµε: (1) αν έρθει η Μαρία, θα πάω στο πάρτυ µάλλον εννοούµε (2) Θα πάω στο πάρτυ αν και µόνο ανη Μαρία πάει στο πάρτυ Τι νόηµα έχει στον προτ. λογ. η παρακάτω πρόταση; έρθει η Μαρία θα πάω στο πάρτυ Αν έρθει η Μαρία, τότε θα πάω στο πάρτυ. Η πρόταση αυτή όµως δεν µας λέει τι θα γίνει αν δεν έρθειη Μαρία στο πάρτυ Η (2) έχει άλλο νόηµα: Αν έρθει η Μαρία θα πάω στο πάρτυ αλλά και ταυτόχρονα, αν δεν έρθει η Μαρία, δεν θα πάω στο πάρτυ Εποµένως, για να αποδώσουµε το νόηµα της (2), χρειαζόµαστε ένα τελεστή διαφορετικό από τον («εάν τότε») 2/18/2016 3 3 2/18/2016 4 4 1

Τελεστής «αν και µόνο αν» Ας δούµε... Η πρόταση p qείναι αληθής αν η pκαι η qέχουν την ίδια τιµή αληθείας. Η p qδενσηµαίνει ότι η pκαι η qείναι αληθείς. Η p qδενσηµαίνει ότι ηµία από αυτές είναι η αιτία της άλλης Σηµειώστε ότι αυτός ο πίνακας αληθείας είναι η άρνηση της αποκλειστικής διάζευξης ηλαδή, p q (p q) p q p q F F T F T F T F F T T T...την αλήθεια της p q, όπου 1. p= Η Κρήτη βρίσκεται στην Ελλάδα q= 2+2 =4 ΑΛΗΘΗΣ 2. p= Η Κρήτη δεν βρίσκεται στην Ελλάδα q= 2+2 =5 ΑΛΗΘΗΣ 3. p= Η Κρήτη βρίσκεται στην Ελλάδα q= Το Τόκυο βρίσκεται στην Ελλάδα ΨΕΥ ΗΣ 2/18/2016 5 5 2/18/2016 6 6 Η διαφορά µεταξύ και Έστω σύνθετες προτάσεις P και Q. Η πρόταση P Q είναι µία σύνθετη πρόταση. Η πρόταση P Q σηµαίνει ότι η πρόταση P Q είναι ταυτολογία. H P Q είναι µία πρόταση για µία πρόταση Αντίστοιχη είναι και η διαφορά µεταξύ του τελεστή και της λογικής συνεπαγωγής Η διαφορά µεταξύ και Η P Qλέει αν η Pκαι η Q έχουντην ίδια τιµή αληθείας. Η P Q λέει ότι καµία εκχώρηση τιµών αληθείας στις P και Q δεν µπορεί να κάνει την P Qψευδή Εποµένως, η P Qµπορεί µόνο να ισχύει µεταξύ επιλεγµένων σύνθετων προτάσεων Pκαι Q.... Με άλλα λόγια, η P Q έχει την έννοια ότι Η P Qείναι ταυτολογία για οποιαδήποτε εκχώρηση τιµών στις ατοµικές προτάσεις που συνθέτουν τις P, Q. 2/18/2016 7 7 2/18/2016 8 8 2

Σχετικά µε την πρόταση p q Για µία πρόταση της µορφής p q: Ηαντίστροφήτης είναι: q p Η αντιθετική της είναι: p q Η αντιστροφοαντίθετή της είναι: q p Είναι κάποια από αυτές ισοδύναµη µε την p q; Απόδειξη της ισοδυναµίας της p q και της αντιστροφοαντίθετήςτης, χρησιµοποιώντας πίνακες αληθείας: p q q p p q q p p q q p F F T T T T T T F T F T T F F T T F T F F T T F T T F F T T T T 2/18/2016 9 9 2/18/2016 10 10 Ας δούµε ένα παράδειγµα Επίσης: p q q p p q q p p q q p F F T T T T T T F T F T T F F T T F T F F T T F T T F F T T T T Εποµένως, η αντίστροφη και η αντιθετική µιας πρότασης, είναι λογικά ισοδύναµες µεταξύ τους Έστω p = το τρίγωνο Τ είναι ισόπλευρο Έστω q = το τρίγωνο Τ είναι ισοσκελές p q: Αν το Τ είναι ισόπλευρο, τότε είναι και ισοσκελές q p:αν το Τδεν είναι ισοσκελές, τότε δεν είναι ισόπλευρο q p: Αν το Τ είναι ισοσκελές, τότε είναι και ισόπλευρο p q:αν το Τδεν είναι ισόπλευρο, τότε δεν είναι και ισοσκελές 2/18/2016 11 11 2/18/2016 12 12 3

Ανασκόπηση των τελεστών Είδαµε τον τελεστή άρνησης και πέντε δυαδικούς τελεστές: Για να σκεφτούµε τώρα... Τελικά, πόσοιδυαδικοί τελεστές µπορούν να οριστούν; p q p p q p q p q p q p q F F T F F F T T F T T F T T T F T F F F T T F F T T F T T F T T 2/18/2016 13 13 2/18/2016 14 14 Για να σκεφτούµε τώρα... Ανασκόπηση των τελεστών Κάθε γραµµή του πίνακα αληθείας µπορεί να είναι T ή F, εποµένως µπορούµε να έχουµε 2x2x2x2=16 δυαδικούς τελεστές p q Τελεστής F F? F T? T F? T T? p q F F F T F T F T F T F T F T F T F T F T F F T T F F T T F F T T F F T T T F F F F F T T T T F F F F T T T T T T F F F F F F F F T T T T T T T T 2/18/2016 15 15 2/18/2016 16 16 4

p q p τελεστής q F F T F T F T F T T Παράδειγµα F F Παράδειγµα p q p τελεστής q σύγκριση µε: p q F F T F F T F T T F F T T T F T Όνοµα: NOR 2/18/2016 17 17 2/18/2016 18 18 Ανασκόπηση των τελεστών Όλοι οι τελεστές µπορούν να γραφούν ισοδύναµα µε χρήση µόνο των τελεστών άρνησης και σύζευξης. Πως µπορούµε να το δείξουµε αυτό; Έχουµε ήδη δείξει ότι έχοντας την άρνηση και την σύζευξη, µπορούµε να εκφράσουµε την διάζευξη. p q ( p q) Εποµένως, χρησιµοποιώντας αυτούς τους τρεις πλέον τελεστές, µπορούµε να «εκφράσουµε» τον κάθε πίνακα αληθείας πως;;; Ανασκόπηση των τελεστών περιγράφοντας τον πίνακα αληθείας του τελεστή. Π.χ., για τον τελεστή Ζ : p q p Z q F F F F T T T F F T T T p Ζ q ( p q) (p q) 2/18/2016 19 19 2/18/2016 20 20 5

Η γλώσσα του προτασιακού λογισµού ορισµένη πιό τυπικά Ατοµικές προτάσεις: p 1, p 2, p 3,.. Προτάσεις: Όλες οι ατοµικές προτάσεις είναι προτάσεις Για κάθε έκφρασηα, αν ηαείναι πρόταση, τότε η α είναι επίσης πρόταση Για κάθε έκφρασηακαιβ, εάνοι α,βείναι προτάσεις, και εάν ο Lείναι κάποιος δυαδικός τελεστής, τότε και η (α L β) είναι πρόταση Η γλώσσα του προτασιακού λογισµού ορισµένη πιό τυπικά Ποιές από τις παρακάτω εκφράσεις είναι προτάσεις σύµφωνα µε τον τυπικό αυτό ορισµό; p 1 p 2 (p 1 p 2 ) (p 9 p 8 ) (p 1 p 2 p 3 ) (p 1 (p 2 p 3 )) ΟΧΙ ΝΑΙ ΝΑΙ ΟΧΙ ΝΑΙ 2/18/2016 21 21 2/18/2016 22 22 Απλοποιώντας τα πράγµατα... Σύµβαση 1:οι εξωτερικές παρενθέσεις µπορούν να παραλειφθούν: Η γλώσσα του προτασιακού λογισµού ορισµένη πιό τυπικά Ποιές από τις παρακάτω είναι προτάσεις, όταν χρησιµοποιούµε αυτές τις δύο συµβάσεις; Σύµβαση 2:η προσεταιριστικότηταµας επιτρέπει να παραλείψουµε κι άλλες παρενθέσεις, π.χ. οι p 1 p 2 p 3 και p 1 p 2 p 3 είναι πλέον προτάσεις p 1 p 2 (p 1 p 2 ) (p 9 p 8 ) (p 1 p 2 p 3 ) (p 1 (p 2 p 3 )) ΝΑΙ ΝΑΙ ΝΑΙ ΟΧΙ ΝΑΙ 2/18/2016 23 23 2/18/2016 24 24 6

Μερικοί εναλλακτικοί συµβολισµοί Όνοµα: not and or xor implies iff : Άλγεβρα Boole: p pq + C/C++/Java (λέξεις):! &&!= == C/C++/Java (bitwise): ~ & ^ Λογικές πύλες: Ένα πρόβληµα Ο Κώστας βρίσκεται σε µία χώρα που κατοικείται από δύο τύπους ανθρώπων, κάποιους που λένε πάντα την αλήθεια, και κάποιους που λένε πάντα ψέµατα. Θέλει να φτάσει στην πρωτεύουσα της χώρας, αλλά, φτάνοντας σε κάποια διασταύρωση, είναι σε δίλληµα για το εάν θα πρέπει να πάει δεξιά ή αριστερά. Για καλή του τύχη, βλέπει δύο ανθρώπους και αποφασίζει να τους ρωτήσει τι να κάνει. Αυτοί, θέλοντας να τον ταλαιπωρήσουν λίγο, του δίνουν τις εξής απαντήσεις: 2/18/2016 25 25 2/18/2016 26 26 Ένα πρόβληµα A: Η πρωτεύουσα είναι στο βουνό ή ο δρόµος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα B: Η πρωτεύουσα είναι στο βουνό και ο δρόµος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα Τότε ο Α λέει: Α: O B λέει ψέµατα! Ο Β ξαναπαίρνει το λόγο και λέει: Β: Αν η πρωτεύουσα είναι στο βουνό τότε ο δρόµος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα Ο Κώστας σηµειώνει κάτι σε ένα κοµµάτι χαρτί και αποφασίζει τελικά να πάρει τον αριστερό δρόµο ΕΚΑΝΕ ΚΑΛΑ;;;;; Ένα πρόβληµα A: Η πρωτεύουσα είναι στο βουνό ή ο δρόµος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα B: Η πρωτεύουσα είναι στο βουνό και ο δρόµος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα Α: O B λέει ψέµατα! Β: Αν η πρωτεύουσα είναι στο βουνό τότεο δρόµος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα 2/18/2016 27 27 2/18/2016 28 28 7

και η λύση του και η λύση του Έστω p = Η πρωτεύουσα είναι στο βουνό Έστω q= O δρόµος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα Έστω r= O Β λέει ψέµατα p q A:p q B:q p B:p q F F F F T F T T F T T F T F F T T T T T Ξέρουµε ότι όλοι οι κάτοικοι αυτής της χώρας, και εποµένως και ο Β λέει πάντα αλήθεια ή πάντα ψέµατα p q A:p q B:q p B:p q F F F F T F T T F T T F T F F T T T T T 2/18/2016 29 29 2/18/2016 30 30 και η λύση του και η λύση του Ο Β λέει πάντα την αλήθεια ή λέει πάντα ψέµατα Ο Β λέει πάντα την αλήθεια ή λέει πάντα ψέµατα p q A:p q B:q p B:p q F F F F T F T T F T T F T F F T T T T T p q A:p q B:q p B:p q F F F F T F T T F T T F T F F T T T T T 2/18/2016 31 31 2/18/2016 32 32 8

και η λύση του και η λύση του Ο Α φαίνεται να λέει πάντα την αλήθεια p q A:p q B:q p B:p q F F F F T F T T F T T F T F F T T T T T Ο Α φαίνεται να λέει πάντα την αλήθεια εποµένως η πρόταση του Α r= O B λέει ψέµατα! είναι αληθής!!! p q A:p q B:q p B:p q F F F F T F T T F T T F T F F T T T T T 2/18/2016 33 33 2/18/2016 34 34 και η λύση του Άρα, p αληθής, q ψευδής δηλ. η πρόταση q= Oδρόµος στα δεξιά οδηγεί στην πρωτεύουσα είναι ψευδής, κι εποµένως ο Κώστας έκανε καλά που έστριψε αριστερά! p q A:p q B:q p B:p q F F F F T F T T F T T F T F F T T T T T Έχουµε µάθει για: Τελεστές προτασιακού λογισµού Συµβολισµούς Γλωσσικά ανάλογα Πίνακες αληθείας Λογική ισοδυναµία Θα µάθουµε ακόµα: Περισσότερα για λογικές ισοδυναµίες. Πως να τις αποδεικνύουµε 2/18/2016 35 35 2/18/2016 36 36 9

Νόµοι ισοδυναµίας Παρόµοιοι µε τις ταυτότητες στην άλγεβρα Πρότυπα που µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να ταιριάξουµε ένα τµήµα µιάς άλλης πρότασης ΣΥΝΤΜΗΣΕΙΣ: T τυχαία ταυτολογία F τυχαία αντίφαση Νόµοι ισοδυναµίας - παραδείγµατα Ουδέτερο στοιχείο: p T p p F p Απορροφητικό στοιχείο: p T T p F F p p p p p p ιπλή άρνηση: p p Αντιµεταθετική: p q q p p q q p Προσεταιριστική: (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) 2/18/2016 37 37 2/18/2016 38 38 Κι άλλοι νόµοι ισοδυναµίας Επιµεριστική: p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) De Morgan s: (p q) p q (p q) p q Ταυτολογία/αντίφαση: p p T p p F Augustus De Morgan (1806-1871) Εναλλακτικοί ορισµοί τελεστών µέσω ισοδυναµιών Μερικές ισοδυναµίες µπορούν να θεωρηθούν ως ορισµοί ενός τελεστή βάση άλλων: XOR: Εάν...τότε: p q (p q) (p q) p q (p q) (q p) p q p q Αν και µόνο αν: p q (p q) (q p) p q (p q) 2/18/2016 39 39 2/18/2016 40 40 10

Χρήση ισοδυναµιών: Παράδειγµα (1) Χρησιµοποιείστε ισοδυναµίες για να αποδείξετε ότι: ( r s) s r. ( r s) Χρήση ισοδυναµιών: Παράδειγµα (1) [De Morgan] r s [ ιπλή άρνηση] r s [Αντιµεταθετική] s r. 2/18/2016 41 41 2/18/2016 42 42 Χρήση ισοδυναµιών: Παράδειγµα (2) Χρησιµοποιείστε ισοδυναµίες για να αποδείξετε ότι: (p q) (p r) p q r. (p q) (p r) [Χρήση του ορισµού του ] (p q) (p r) [Χρήση του ορισµού της ] (p q) ((p r) (p r)) [DeMorgan] ( p q) ((p r) (p r)) συνεχίζεται... 2/18/2016 43 43 παράδειγµα, συνεχίζεται... ( p q) ((p r) (p r)) [ αντιµεταθ.] (q p) ((p r) (p r)) [ προσεταιρ.] q ( p ((p r) (p r))) [επιµεριστική] q ((( p (p r)) ( p (p r))) [προσεταιρ.] q ((( p p) r) ( p (p r))) [ταυτολογία] q ((T r) ( p (p r))) [απορ. στοιχείο] q (T ( p (p r))) [ουδέτερο στοιχείο] q ( p (p r)) συνεχίζεται... 2/18/2016 44 44 11

Τέλος παραδείγµατος q ( p (p r)) [DeMorgan] q ( p ( p r)) q (( p p) r) [p p p] [Προσεταιριστική] q ( p r) (q p) r p q r Ο.Ε.. (όπερ έδει δείξαι το οποίο έπρεπε να δείξουµε...) [Προσεταιριστική] [Αντιµεταθετική] Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τον προτασιακό λογισµό για να αποδείξουµε την αλήθεια συγκεκριµένων προτάσεων Έστω οι υποθέσεις: Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει Εάν χιονίζει τότε έχουµε ατυχήµατα εν έχουµε ατυχήµατα Τότε µπορώ να οδηγηθώ στο συµπέρασµα εν έχει κρύο Πως; 2/18/2016 45 45 2/18/2016 46 46 K= Έχει κρύο X= Xιονίζει A= Έχουµε ατυχήµατα Οι υποθέσεις: Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει Εάν χιονίζει τότε έχουµε ατυχήµατα εν έχουµε ατυχήµατα Το συµπέρασµα: εν έχει κρύο K= Έχει κρύο X= Xιονίζει A= Έχουµε ατυχήµατα Οι υποθέσεις: Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει Κ Χ Εάν χιονίζει τότε έχουµε ατυχήµατα εν έχουµε ατυχήµατα Το συµπέρασµα: εν έχει κρύο 2/18/2016 47 47 2/18/2016 48 48 12

K= Έχει κρύο X= Xιονίζει A= Έχουµε ατυχήµατα Οι υποθέσεις: Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει Κ Χ Εάν χιονίζει τότε έχουµε ατυχήµατα Χ Α εν έχουµε ατυχήµατα Το συµπέρασµα: εν έχει κρύο K= Έχει κρύο X= Xιονίζει A= Έχουµε ατυχήµατα Οι υποθέσεις: Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει Κ Χ Εάν χιονίζει τότε έχουµε ατυχήµατα Χ Α εν έχουµε ατυχήµατα Α Το συµπέρασµα: εν έχει κρύο 2/18/2016 49 49 2/18/2016 50 50 K= Έχει κρύο X= Xιονίζει A= Έχουµε ατυχήµατα Οι υποθέσεις: Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει Κ Χ Εάν χιονίζει τότε έχουµε ατυχήµατα Χ Α εν έχουµε ατυχήµατα Α Το συµπέρασµα: εν έχει κρύο K Με αυτά τα δεδοµένα, αρκεί να δείξουµε ότι : ((Κ Χ) (Χ Α) Α) Κ 2/18/2016 51 51 2/18/2016 52 52 13

και µε βάση αυτά που λέγαµε νωρίτερα, αρκεί να δείξουµε ότι στον προτασιακό λογισµό η πρόταση: ((Κ Χ) (Χ Α) Α) Κ αποτελεί ταυτολογία! Μπορούµε να το κάνουµε είτε µε πίνακα αληθείας, είτε χρησιµοποιώντας λογικές ισοδυναµίες Θα επιχειρήσουµε το 2 ο Απόδειξη ((Κ Χ) (Χ Α) Α) Κ ((Κ Χ) ( Χ Α) Α) Κ ((Κ Χ) ( Α ( Χ Α)) Κ ((Κ Χ) (( Α Χ) ( Α Α)) Κ ((Κ Χ) (( Α Χ) F) Κ ((Κ Χ) ( Α Χ)) Κ (( Κ Χ) ( Α Χ)) Κ (( Κ ( Α Χ)) (Χ ( Α Χ))) Κ (( Κ Α Χ) (Χ Α Χ)) Κ (( Κ Α Χ) F) Κ ( Κ Α Χ) Κ 2/18/2016 53 53 2/18/2016 54 54 Απόδειξη ( Κ Α Χ) Κ ( Κ Α Χ) Κ K A X Κ (K Κ) (A X) T (A X) T [Ο.Ε..] Απόδειξη µε άλλο τρόπο Αλλιώς 1. εν έχουµε ατυχήµατα (δεδοµένο) 2. Εάν χιονίζει έχουµε ατυχήµατα (δεδοµένο) ΕΠΟΜΕΝΩΣ Εάν δεν έχουµε ατυχήµατα δεν χιονίζει (αντιστροφοαντίθετητης 2) 3. ΕΠΟΜΕΝΩΣ δεν χιονίζει 4. Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει (δεδοµένο) ΕΠΟΜΕΝΩΣ Εάν δεν χιονίζει δεν έχει κρύο (αντιστροφοαντίθετη της 4) 5. ΕΠΟΜΕΝΩΣ εν έχει κρύο [Ο.Ε..] 2/18/2016 55 55 2/18/2016 56 56 14