ΛΟΓΙΣΜΟΣ ) Ποι είνι η ρχική ή πράγουσ; Τι σχέση έχει µε την f. Έστω f µι συνάρτηση ορισµένη σ έν διάστηµ. Αρχική ή πράγουσ της f στο θ ονοµάζετι κάθε συνάρτηση F που είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει F () f() γι κάθε. ) Έχουν όλες οι συνρτήσεις πράγουσ; Αποδεικνύετι ότι κάθε συνεχής συνάρτηση σ έν διάστηµ έχει πράγουσ σ υτό. ( εν θ δούµε την πόδειξη όµως θ µάθουµε πρκάτω την µορφή της). ) Υπάρχει µι πράγουσ γι κάθε συνάρτηση ή περισσότερες; Σύµφων µε το θεώρηµ που κολουθεί υπάρχουν άπειρες. Θεώρηµ: Έστω f ορισµένη στο. Αν F είνι µι πράγουσ της f στο τότε ) όλες οι συνρτήσεις της µορφής G() F()+c, c είνι πράγουσες της f στο κι ) κάθε άλλη πράγουσ G της f στο έχει την µορφή G() F()+c, c. Απόδειξη: ) έχουµε G () (F()+c) F () f() γι κάθε άρ η G είνι πράγουσ της f. ) Έστω ότι η f έχει γι πράγουσες τις F, G τότε F () f(), G () f() άρ F () G () άρ υπάρχει στθερά c τέτοι ώστε G() F()+c. 4) Τι είνι το όριστο ολοκλήρωµ; Πως συµολίζετι; Το όριστο ολοκλήρωµ της f στο είνι το σύνολο όλων των πργουσών της. Συµολίζετι µε f()d (κι διάζετι ολοκλήρωµ εφ του ντε χ). Σύµφων λοιπόν µε τον ορισµό του ισχύουν: f ()d F() + c, F πράγουσ της f, c (στθερά ολοκλήρωσης) ή f ()d f () + c, f ()d F() + c f ( (!) ( ) ( ) ) 5) Ποιες ιδιότητες έχει το όριστο ολοκλήρωµ; Αν f, g είνι συνρτήσεις µε πράγουσ στο τότε ) λf ()d λf ()d, λ ( ) ) f () + g() d f ()d + g() d, Ππχρήστου Απόστολος www.praisgroup.gr
d λf ()d + µ κι γενικά ( λf () + µ g() ) g() d 6) Πως υπολογίζουµε το όριστο ολοκλήρωµ; Ο υπολογισµός ενός όριστου ολοκληρώµτος είνι δυσκολότερος της πργώγισης όµως υπάρχουν κάποιοι τρόποι υπολογισµού όπως: η εύρεση πράγουσς µετά πό προσεκτική πρτήρηση, η µέθοδος ολοκλήρωσης κτά πράγοντες, η µέθοδος της ντικτάστσης, η µέθοδος των πλών κλσµάτων, κ.. 7) Υπάρχουν κάποι σικά ολοκληρώµτ όπως κι στις πργώγους; Νι, ο πίνκς που κολουθεί. od c,c R d + c,c R ln + c,c R + d + c +,, c e d e + c, c d + c,c ln ηµ d συν + c, c συνd ηµ + c, c d εφ + c συν, c σφ + c ηµ, c Ο πρκάτω πίνκς είνι ποτέλεσµ σύνθετης πργώγισης κι θ µς οηθήσει ρκετά στον υπολογισµό του ολοκληρώµτος µε εύρεση πράγουσς. + f () f () f ()d + c, - c + f () d ln f () + c f (),c f () f () e f ()d e + c, c f () () f ()d + c ln, c, 0 Ππχρήστου Απόστολος www.praisgroup.gr
ηµ f () f ()d συνf () + c, c συνf () f ()d ηµ f () + c, c f () d σφf () + c ηµ f (), c f () d εφf () + c συν f (), c 8) Πως µπορεί ν εφρµοστεί ο πρπάνω πίνκς στον υπολογισµό ενός ολοκληρώµτος; Σύµφων µε την ιδιότητ της γρµµικότητς του όριστου ολοκληρώµτος (λέπε ερ.5) µπορούµε ν δισπάσουµε έν ολοκλήρωµ σε µέρη των οποίων γνωρίζουµε το ολοκλήρωµ ή εύκολ µπορούµε ν το ρούµε. Επειδή πό κάθε ολοκλήρωµ θ προκύπτει κι µι στθερά τις ντικθιστούµε µε µί. ( 8 )d 8 d π.χ. ηµ + ηµ + d d 8 συν + ln d 8συν + ln + c 9) Πως µπορεί ν ρεθεί το όριστο ολοκλήρωµ µε την οήθει της πράγουσς; Με µεγάλη προσοχή ελέγχουµε ν η συνάρτηση που ρίσκετι κάτω πό το ολοκλήρωµ έχει προκύει πό γνωστή πργώγιση. ( ) ( ) ηµ + συν d ηµ + ηµ d ηµ d ηµ + c π.χ. ( ) ( ) + + + + e d e ( + ) d ( e ) d e + Σχόλιο: Είνι σωτήριος τρόπος σε κάποιες περιπτώσεις λλά χρειάζετι εξάσκηση στο ν λέπουµε. c Ππχρήστου Απόστολος www.praisgroup.gr
0) Πως υπολογίζουµε µε την πργοντική ολοκλήρωση έν όριστο ολοκλήρωµ; Από την πργώγιση γινοµένου προκύπτει ο τύπος f ()g ()d f () g() f () g() d ο οποίος µς οηθάει ν περάσουµε σε άλλο ολοκλήρωµ ευκολότερο του ρχικού ή κόµ µετά πό συνεχόµενες εφρµογές του πάλι στο ρχικό οπότε κι θέτουµε µε Ι κι λύνουµε την εξίσωση ως προς Ι. ) Πότε εφρµόζετι η πργοντική ολοκλήρωση; Κτ ρχήν θ πρέπει η συνάρτηση που ρίσκετι κάτω πό το ολοκλήρωµ ν είνι γινόµενο συνρτήσεων κι η µί πό υτές ν µπορεί ν ντικτστθεί πό την πράγωγο της πράγουσς της. Σε κάποιες περιπτώσεις (όπως π.χ. ln d ) νγκζόµστε το το οποίο είνι πράγοντς κάθε συνάρτησης ν το γράουµε ως κι έτσι ν ξεκινήσει η διδικσί. δηλ. ln d ln d ln (ln ) d ln d d ln ln + c. Οι µορφές που συνήθως επιλέγουµε γι πργοντική ολοκλήρωση είνι σε γινόµενο πολυωνύµου επί εκθετική -//- -//- επί τριγωνοµηρική ηµιτόνου συνηµιτόνου -//- -//- επί λογριθµική -//- εκθετικής επί τριγωνοµηρική ηµιτόνου συνηµιτόνου. π.χ. ) ( + )e d ( + )(e ) d ( + ) e e ( + ) d ( + )e e ( + )d ( + )e (e ) ( + ) d ( + )e [e ( + ) e ( + ) d] ( + )e e ( + ) + e d ( + )e e ( + ) + e + c e ( + ) + c ηµ ηµ d (!) ) e d (e ) d e ηµ e συνd e ηµ (e ) συν e ηµ (e συν + e ηµ d) e d e ηµ e συν e ηµ ηµ d άρ ΘΕΤΩ e ηµ d I 4 Ππχρήστου Απόστολος www.praisgroup.gr
Ι e ηµ e συν I Ι e ηµ e συν Ι e ( ηµ συν) + c ) Πως υπολογίζουµε µε την µέθοδο της ντικτάστσης έν ολοκλήρωµ; Η µέθοδος της ντικτάστσης στηρίζετι στον τύπο ( g() ) g ()d f (u)du F(u) + c F( g() ) f + c, c ν ug() κι dug ()d κι στηρίζετι στον κνόν πργώγισης σύνθετης συνάρτησης. ) Πότε εφρµόζετι η µέθοδος της ντικτάστσης; Κι µε την µέθοδο υτή προσπθούµε ν περάσουµε σε ευκολότερο ολοκλήρωµ. Κάποιες γενικές + οδηγίες είνι ότι γι ολοκληρώµτ της µορφής ηµ ( + ) d, συν( + ) d, e d, + d θέτουµε +u κι θέτουµε f (e π.χ. d du, γι ολοκληρώµτ της µορφής ηµ u (τριγωνοµηρική ντικτάστση) ενώ γι ολοκληρώµτ της µορφής )d θέτουµε e u + u u + i) e d e du e + c e + ΘΕΤΩ + u άρ ( c du du + ) δηλ. du d d d (!) η µορφή d du δεν είνι κλάσµ, λλά εδώ το σκεπτόµστε σν ν ήτν κλάσµ. (Κνονικά πρόκειτι γι το διφορικό της συνάρτησης κι η διδικσί πρέπει ν είνι διφόριση κι όχι πργώγιση). d Ππχρήστου Απόστολος www.praisgroup.gr 5
4) Πως υπολογίζουµε ολοκληρώµτ ρητών συνρτήσεων. Αρχικά ελέγχουµε ν ο ριθµητής είνι η πράγωγος του πρνοµστή οπότε κι υπολογίζετι µε φυσικό λογάριθµο. Αν όχι κι ο ριθµητής είνι µεγλύτερου ή ίσου θµού πό τον πρνοµστή εκτελούµε διίρεση πολυωνύµων κι στον ριθµητή γράφουµε την τυτότητ της διίρεσης ώστε ν χωριστεί το ρχικό ολοκλήρωµ σε πλούστερ ολοκληρώµτ. Σε περίπτωση που το νέο κλάσµ που θ προκύει δεν υπολογίζετι µε λογάριθµο δοκιµάζουµε την νάλυση σε πλά κλάσµτ µε την προϋπόθεση ότι ο πρνοµστής πργοντοποιείτι, δηλ. έν ολοκλήρωµ της µορφής κ + λ d µε Α Β 4γ>0 κι ρίζες ρ, ρ γίνετι + + γ + d όπου Α, Β ρ ρ κτάλληλοι πργµτικοί ριθµοί ώστε κ + λ + + γ ( Α ρ + ) ( (!) Σε περίπτωση που < 0 πιτείτι τριγωνοµετρική ντικτάστση λλά υτό είνι θέµ εκτός ύλης. π.χ. ( + + )( ) + (5 + 6) Ι d d d + + + + + + + + + 4 ( )d + + d + + () ΒΟΗΘ. ΠΡΑΞΕΙΣ + 0 + 0 + + ( Β ρ. ) + + )( ) 5 + 6 d 4 + 0 + + 9 + 6 5 + 6 ( + + )( ) + (5 + 6), + + ( + )( + ) Ανζητούµε Α, Β ώστε ν ισχύει: 5 + 6 Α Β Ε. Κ. Π. + + + + + 5 + 6 Α( + ) + Β( + ) 5 + 6 ( Α + Β) + Α + Β A+ B 5 A 4... A B 6 Έτσι πό την () έχουµε: + B 4 Ι ( )d + d + d + 4ln + + ln + + + + c 5) Πως υπολογίζοντι τ τριγωνοµηρικά ολοκληρώµτ; 6 Ππχρήστου Απόστολος www.praisgroup.gr
Κτ ρχήν δοκιµάζουµε ν εφρµόζετι µι ή περισσότερες πό τις γενικές µεθόδους ολοκλήρωσης κι ν υτό δεν είνι δυντό προχωράµε σε ντικτάστση µερών σύµφων µε τους τύπους της τριγωνοµετρίς κι ν δεν προκύπτει άµεσ το ολοκλήρωµ προσπθούµε κι πάλι στην νέ µορφή µε τις γενικές µεθόδους. π.χ. d ηµ ΘΕΤΩ ηµ ηµ d ηµ d ηµ d συν du u συν u ηµ d du Α Β + du u + u du + du u + u ln u + ln+ u + c Α + u ΒΟΗΘ. ΠΡΑΞΕΙΣ Β + u u ( + u) Α + ( u) Β ln συν + ln+ συν + c ( Α Β)u + Α + Β 0 u + Α-Β0 + Α+Β Α Α Β 6) Υπάρχουν άλλοι τρόποι ολοκλήρωσης; Πράγµτι υπάρχουν κι άλλοι κι µάλιστ ρκετά περίπλοκοι. Πρέπει δε ν γνωρίζουµε ότι υπάρχουν κι ολοκληρώµτ που δεν µπορούν ν υπολογιστούν. Ωστόσο γι εµάς µί µόνο περίπτωση µπορεί κόµ ν προκύει. Ο υπολογισµός µέσ πό νδροµική σχέση. π.χ. Ππχρήστου Απόστολος www.praisgroup.gr 7
ν+ ν Ιν d, ν IN +, + + ν ρεθεί η σχέση Ιν+Iν+ ; κι ν υπολογιστούν τ ολοκληρώµτ Ιν + Ιν + ν+ + + ν+ ν+ + d + d d ν+ ( ν+ + ( + + ) + ) d ν+ + ν+ d ν+ + + d ν+ + c, ν + ν IN ( + ) Ι0 c + + πρτηρώ ότι γι ν0 d d ln+ + όµως Ι κι γι ν 0+ 0 + 0 + Ι + c + Ι άρ (το οποίο δεν θ κτφέρω µε διίρεση κι πλά κλάσµτ) Ι + ln( + ) + c + c Ι ln( + ) + (c c ) ln ( + ) + c 7) Τι είνι το ορισµένο ολοκλήρωµ; Η έννοι του ορισµένου ολοκληρώµτος έρχετι πό τον Αρχιµήδη στην προσπάθει του ν υπολογίσει εµδόν επίπεδου χωρίου το οποίο δεν προέκυπτε πό άθροισµ εµδών γνωστών σχηµάτων. Πολλούς ιώνες ργότερ ο Riemann προσέγγισε το εµδόν µε έν πρόµοιο τρόπο στηριζό- µενος στην ιδέ του Αρχιµήδη. Έστω λοιπόν ότι έχουµε µι συνεχή συνάρτηση f στο [, ]. Χωρίζουµε το [, ] σε ν ισοµήκη υποδιστήµτ µήκους ν 8 Ππχρήστου Απόστολος www.praisgroup.gr
f(ξ ) κ o o ξ ξ... ν ξ κ...ξν κι µετά επιλέγουµε υθίρετ πό έν ξ κ [ κ-, κ ] κι σχηµτίζουµε το άθροισµ S ν f(ξ ) + f(ξ ) + + f(ξ κ ) +.. + f(ξ ν ) το οποίο συµολίζετι f ( ξ ) (άθροισµ Riemann). S ν ν κ Ορισµένο ολοκλήρωµ θ ονοµάζουµε το ν im f ( ξ κ ) ν + κ κ κι θ συµολίζουµε µε f ()d. 8) Τι γνωρίζουµε γι την συνάρτηση F() f ()d ; Σύµφων µε το θεώρηµ που κολουθεί γι κάθε συνεχή συνάρτηση f ορισµένη σ έν διάστηµ η συνάρτηση F() f ()d,, είνι µι πράγουσ της f στο. Πρτήρηση: η F() ως πράγουσ της f θ ικνοποιεί τις σχέσεις g() F () f ()d f ( g() ) g (), γι κάθε. F () f ()d f () ή 9) Με ποιο τρόπο συνδέετι το ορισµένο ολοκλήρωµ µε το Αόριστο κι πως το υπολογίζουµε; Ο υπολογισµός ενός ορισµένου ολοκληρώµτος µε τον ορισµό είνι µι δύσκολη διδικσί κι την ποφεύγουµε. Όµως ο υπολογισµός του ορισµένου µπορεί ν γίνει πολύ εύκολ µέσ πό το ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ. ΘΕΩΡΗΜΑ (Θ.Ο.Λ.). Έστω f µι συνεχής συνάρτηση στο [, ]. Αν G είνι µι πράγουσ της f στο [, ] τότε f ()d G( ) G( ). Ππχρήστου Απόστολος www.praisgroup.gr 9
ΑΠΟ ΕΙΞΗ. Επειδή η f είνι συνεχής στο [, ] η F() [, ]. Όµως κι η G είνι µι πράγουσ της f στο [, ] άρ θ υπάρχει c. G() F() + c G() f ()d + c () f ()d είνι µι πράγουσ της f στο γι ή () G( ) f ()d + c G() c G( ) f ()d + G( ) γι ή () G( ) f ()d + c f ()d G( ) G( ) 7 π.χ. d 0) Πως εφρµόζοντι οι σικοί τρόποι ολοκλήρωσης (πργοντική ντικτάστση) κι ποιες άλλες ιδιότητες ισχύουν γι το ορισµένο ολοκλήρωµ; i) Η πργοντική ολοκλήρωση γίνετι: f ()g ()d [ f () g() ] όπου f, g συνεχείς στο [, ]. ii) Η ντικτάστση γίνετι f ( g() ) g ()d f ()g() d u u f (u)du όπου f, g συνεχείς κι u g(), du g ()d, u g(), u g() iii) Οι ιδιότητες του ορισµένου είνι οι εξής: ((!) f συνεχής στο κι,,γ ) ) f ()d 0 ) f ()d f () d γ) ( λ f () + µ g() ) d λ f ()d + µ g()d 0 Ππχρήστου Απόστολος www.praisgroup.gr
δ) f ()d f ()d + γ f () d γ ε) Αν f() 0 γι κάθε [, ] κι η f δεν είνι πντού 0 στο διάστηµ υτό τότε f ()d > 0. ) Πως υπολογίζετι το εµδόν ενός χωρίου Ω; Πρέπει ν γνωρίζουµε ότι ν η f συνεχής στο [, ] κι f() 0, [, ] τότε το εµδόν του χωρίου Ω που ορίζετι πό την γρφική πράστση της f τις ευθείες, κι τον άξον είνι το η ) f() 0 f ()d. Σύµφων µε τ πρπάνω µπορούµε ν δικρίνουµε τις εξής περιπτώσεις. c f Ω Ε( Ω) f () d, O η ) f() 0 Ππχρήστου Απόστολος www.praisgroup.gr
c -f Ω O Ω Ε Ω) Ε( Ω ) ( f ()d f () d c f η ) f() g() 0 ή (f()-g() 0) c f Ω O c g Ε Ω) Ε Ε ( f ()d g()d ( f () g() ) d Ππχρήστου Απόστολος www.praisgroup.gr
4 η ) f()+c c f Ω Ω O g()+c O c g f() g() µετφέρουµε κι τις συνρτήσεις κτά c µονάδες προς τ πάνω. Εποµένως Ε( Ω) [( f () + c) ( g() + c) ] d ( f () g() ) d 5 η ) Η διφορά f()-g() δεν διτηρεί πρόσηµο στο [, ] Ω Ω Ω c f c g Ε(Ω) Ε(Ω )+Ε(Ω )+Ε(Ω ) γ ( () g() ) d + ( g() f ()) d + ( δ f f() g() ) d γ δ O γ δ ή πιο σύντοµ f () g()d ΣΧΟΛΙΑ: Ππχρήστου Απόστολος www.praisgroup.gr
+ + O - - των εµδών των χωρίων που ρίσκοντι πάνω πό τον µείον το άθροισµ των εµδών των χωρίων που ρίσκοντι κάτω πό τον. Έτσι το ορισµένο ολοκλήρωµ συµπερίνουµε ότι δεν είνι πάντοτε θετικός ριθµός. ( εκτός κι ν φορά εµδόν) ) Το ορισµένο ολοκλήρωµ επίσης προσδιορίζει έργο. ) το f ()d Είνι ίσο µε το άθροισµ 4 Ππχρήστου Απόστολος www.praisgroup.gr