Ορισµός Με τον όρο Χρονοσειρές εννοούµε µια σειρά από παρατηρήσεις που παίρνονται σε ορισµένες χρονικές στιγµές ή περιόδους που ισαπέχουν µεταξύ τους. Συµβολίζοντας µε Χi τις n χρονικές στιγµές (έτη, µήνες, µέρες κ.λπ.) και µε Yi τις τιµές των αντίστοιχων παρατηρήσεων, δηµιουργούµε n ζεύγη της µορφής M(Xi,Yi) που µπορούµε να παραστήσουµε στο σύστηµα αξόνων 1 Ανάλυση Χρονοσειρών Ενώνοντας τα σηµείααυτάδηµιουργούµε το χρονοδιάγραµµα, η µελέτη του οποίου µας δίνει µια γενική εικόνα της διαχρονικής εξέλιξης του υπό έρευνα φαινοµένου ή χαρακτηριστικού Την ανάλυση Χρονοσειρών τη χρησιµοποιούµε για να καθορίσουµε µοντέλα που µετατρέπουν πληροφορίες από κανονικά χρονικά διαστήµατα σε στατιστικά µέτρα 2
Γιατί; Γιαναπροβλέψουµε µελλοντικές τιµές Γιαναέχουµε µια καλύτερη κατανόηση του µηχανισµού δηµιουργίας των δεδοµένων Γιατοβέλτιστοέλεγχοτουσυστήµατος 3 Ανάλυση Χρονοσειρών Η χαρακτηριστική ιδιότητα µιας χρονοσειράς είναι ότι τα δεδοµένα δε δηµιουργούνται ανεξάρτητα και η διασπορά (dispersion) τους ποικίλει στο χρόνο Στατιστικές διαδικασίες που υποθέτουν ανεξάρτητα και ταυτόσηµα κατανεµηµένα δεδοµένα αποκλείονται από την ανάλυση χρονοσειρών 4
Παραδείγµατα Χρονοσειρών 5 6
7 8
9 ύο κατηγορίες προσεγγίσεων στην ανάλυση χρονοσειρών Η πρώτη κατηγορία αναπαριστά τη χρονοσειρά µε ένα κινητικό µοντέλο (ανάλυση συνιστωσών) xt = f(t) οι παρατηρήσεις θεωρούνται µια συνάρτηση του χρόνου 10
ύο κατηγορίες προσεγγίσεων στην ανάλυση χρονοσειρών Η δεύτερη κατηγορία αναπαριστά τη χρονοσειρά µε ένα δυναµικό µοντέλο (µοντέλο ARIMA, διαδικασία Box-Jenkins) xt = f(xt-1, xt-2, xt-3, ) οι παρατηρήσεις θεωρούνται ως συναρτήσεις του παρελθόντος τους (και πιθανόν του παρελθόντος και άλλων µετρούµενων ή παρατηρούµενων µεταβλητών 11 Η κλασική διαδικασία: Μοντέλο Συνιστωσών Μακροχρόνια Τάση (Secular Trend) Κυκλική Κύµανση (Cyclical Fluctuation) Περιοδική Εποχιακή µεταβολή (Seasonal Variation) Ακανόνιστη µεταβολή (Irregular Variation) Στην πράξη οι χρονοσειρές παρουσιάζουν µία ή περισσότερες από τις παραπάνω συνιστώσες 12
Μακροχρόνια Τάση (Secular Trend) Ητιµή τηςµεταβλητής τείνει να αυξηθεί ή να ελαττωθεί για µεγάλο χρονικό διάστηµα. 13 Κυκλική Κύµανση Cyclical Fluctuation Αυξοµειώσεις της τιµής της µεταβλητής γύρω από µια γραµµή τάσηςσεµια µακροχρόνια περίοδο Στην πράξη τα σηµεία της χρονοσειράς για µια σειρά ετών βρίσκονται κάτω από τη γραµµή τάσης και στη συνέχεια για µια άλλη σειρά ετών πάνω από τη γραµµή τάσης. Ο χρόνος για να έχουµε µια κυκλική αυξοµείωση δεν είναι σταθερός 14
Κυκλική Κύµανση Cyclical Fluctuation 15 Κυκλική Κύµανση Cyclical Fluctuation Η κυκλική κίνηση δεν ακολουθεί κανένα κανονικό µοντέλο αλλά κινείται απρόβλεπτα Γι αυτό το λόγο στην πράξη οι κυκλικές αυξοµειώσεις είναι οι πλέον δύσκολες να αντιµετωπιστούν 16
Περιοδικές µεταβολές Seasonal Variation Έχουµε στις χρονοσειρές που παρουσιάζουν κάποια περιοδικότητα στις χαρακτηριστικές κινήσεις σε ορισµένα χρονικά διαστήµατα Π.χ. µεταβολές στη διάρκεια των εποχών του έτους Ακολουθούν κανονικό µοντέλο και είναι χρήσιµεςγιανακάνουµε προβλέψεις για το µέλλον 17 Περιοδικές µεταβολές Seasonal Variation 18
Ακανόνιστες µεταβολές Irregular Variations Οι µεταβολές που είναι άλλοτε µικρές, άλλοτε µεγάλες, θετικές ή αρνητικές χωρίς καµία κανονικότητα ιακρίνονται σε συµπτωµατικές (οφειλόµενες σε απρόβλεπτα γεγονότα) και τυχαίες 19 Σχέσεις µεταξύ των συνιστωσών Y = T + S + C + I Οι συνιστώσες είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους και εκφράζονται στις µονάδες µέτρησης των αρχικών µονάδων της µεταβλητής Y = T S C I Μόνοητάσηεκφράζεταιστιςµονάδες µέτρησης των αρχικών δεδοµένων. Οι υπόλοιπες συνιστώσες είναι δείκτες 20
Ανάλυση Τάσης Trend Analysis Η µακροχρόνια τάση εκφράζει τη χρονοσειρά για µια εκτεταµένη περίοδο Λόγοι µελέτης: 1. Κατανόηση της ιστορίας της µεταβλητής 2. Πρόβλεψη µελλοντικών τιµών της µεταβλητής 3. Εξάλειψη τάσης από τα αρχικά δεδοµένα χρονοσειράς για να προσδιορίσουµε βραχυπρόθεσµες κινήσεις (S, C) 21 Μέθοδοι προσδιορισµού µακροχρόνιας Τάσης Πολλές και διάφορες! Μέθοδος των των δύο µέσων σηµείων Μέθοδος των κινητών µέσων Μέθοδος της ευθείας ελαχίστων τετραγώνων Μέθοδος της καµπύλης ελαχίστων τετραγώνων 22
Κυκλική Μεταβολή Μία από τις τέσσερις συνιστώσες, η κυκλική µεταβολή είναι αυτή που τείνει να ταλαντώνεται πάνω και κάτω από τη γραµµή τηςµακροχρόνιας τάσης για περιόδους µεγαλύτερες του έτους Η διαδικασία που ακολουθούµε γιανα διαπιστώσουµε την κυκλική µεταβολή ονοµάζεται µέθοδος των καταλοίπων (Residual Method) 23 Κυκλική Μεταβολή Μια χρονοσειρά που αποτελείται από ετήσια δεδοµένα, µόνο η µακροχρόνια τάση, η κυκλική µεταβολή και η ακανόνιστη µεταβολή παίρνονται υπόψη. Ηεποχιακήµεταβολή κάνει ένα πλήρη κύκλο στη διάρκεια ενός έτους και δεν επηρεάζει ένα χρόνο περισσότερο από έναν άλλο 24
Κυκλική Μεταβολή Αφού µπορούµε να περιγράψουµε τη µακροχρόνια τάση χρησιµοποιώντας τη γραµµή τάσης, µπορούµε να αποµονώσουµε ταεναποµείναντα κυκλικά και ακανόνιστα συνθετικά από την τάση. Έτσι συµπεραίνουµε ότι οι κυκλικές συνιστώσες εξηγούν τα περισσότερα από αυτά που µένουν ανεξήγητα από τη συνιστώσα της τάσης 25 Μέθοδος Αν είναι Υi είναι η πραγµατική τιµή καιείναιη εκτιµούµενη τιµή από τη γραµµή τάσης τότε ορίζουµε τη σχετική τάση ως 26
27