ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Ερώτηση. Ένα βλήμα μάζας εκτοξεύεται κατακόρφα προς τα πάνω με ταχύτητα 0. Όταν το βλήμα φτάνει στο ψηλότερο σημείο της τροχιάς το εκρήγνται σε τρία κομμάτια. Αμέσως μετά την έκρηξη, η ολική ορμή και των τριών κομματιών είναι α) μηδέν. β) 0. γ) διάφορη το μηδενός και διάφορη το 0. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η α. Επειδή η έκρηξη διαρκεί πολύ μικρό χρόνο, τχόν επίδραση εξωτερικών δνάμεων, όπως εδώ το βάρος, θεωρείται αμελητέα. Σνεπώς στη διάρκεια της έκρηξης η ορμή διατηρείται. Επειδή η κρούση έγινε στο ψηλότερο σημείο, η ταχύτητα το σώματος πριν την έκρηξη είναι μηδέν, άρα και η ορμή το. Σνεπώς από την αρχή διατήρησης της ορμής προκύπτει: p = p = 0. Τελ Αρχ

Ερώτηση. Μια σφαίρα Α μάζας κινούμενη οριζόντια με ταχύτητα μέτρο σγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με άλλη ακίνητη σφαίρα Β ίσης μάζας. Η μεταβολή της ορμής της σφαίρας Α, λόγω της κρούσης, α) έχει ίδια κατεύθνση με την αρχική ορμή και μέτρο. β) έχει αντίθετη κατεύθνση με την αρχική ορμή και μέτρο. γ) έχει αντίθετη κατεύθνση με την αρχική ορμή και μέτρο. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η β. Επειδή οι σφαίρες έχον ίσες μάζες και η κρούση είναι κεντρική ελαστική τα σώματα ανταλλάσσον ταχύτητες. Σνεπώς η τελική ορμή της σφαίρας Α θα είναι μηδέν. Η μεταβολή της ορμής της θα είναι: p= pτελ pαρχ = 0 pαρχ = Από τη σχέση ατή προκύπτει ότι το διάνσμα της μεταβολής της ορμής της σφαίρας Α θα έχει ίδια διεύθνση με την αρχική ορμή και αντίθετη φορά (-). Το μέτρο της θα είναι p=.

Ερώτηση 3. Δύο σώματα με ορμές των οποίων τα μέτρα είναι ίσα ( p = p = p), κινούνται σε διεθύνσεις κάθετες μεταξύ τος και σγκρούονται πλαστικά. Το μέτρο της ορμής το σσσωματώματος μετά την κρούση είναι ίσο με: α) p. β) p. γ) p. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η γ. Για την κρούση ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής, οπότε: p Αρχ = p Τελ. Το μέτρο της ολικής ορμής, p 0, το σστήματος πριν την κρούση είναι po p p p = + =. Άρα p = Τελ p. 3

Ερώτηση 4. Δύο σώματα με ίσες μάζες ( = = ) και ορμές των οποίων τα μέτρα είναι ίσα ( p = p = p), κινούνται σε διεθύνσεις κάθετες μεταξύ τος και σγκρούονται πλαστικά. Αν η κινητική ενέργεια και η ορμή ενός σώματος σνδέονται με τη σχέση p K =, τότε η μείωση της κινητικής ενέργειας το σστήματος είναι ίση με α) β) γ) p. p. p 4. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η β. p p pτελ K = K+ K KΣστ = + () ( + ) Για την κρούση ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής, οπότε: p Αρχ = p Τελ. Το μέτρο της ολικής ορμής, p 0, το σστήματος πριν την κρούση είναι po p p p = + =. Άρα p = Τελ p. Με αντικατάσταση στην () παίρνομε: 4

p p ( p) p K = + K = ( + ) 5

Ερώτηση 5. Ένα σώμα εκτοξεύεται κατακόρφα προς τα κάτω και σγκρούεται ελαστικά με οριζόντιο δάπεδο. Αν η διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα και το μέτρο της ταχύτητας το σώματος ελάχιστα πριν την κρούση, τότε η μεταβολή της ταχύτητάς το, λόγω της κρούσης α) είναι μηδέν. β) έχει κατακόρφη διεύθνση με φορά προς τα πάνω και μέτρο ίσο με. γ) έχει κατακόρφη διεύθνση με φορά προς τα πάνω και μέτρο ίσο με. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η γ. Επειδή η κρούση είναι ελαστική το σώμα θα αναπηδήσει με την ίδια κατά μέτρο ταχύτητα. Σνεπώς, = τ α. Αν ορίσομε θετική φορά προς τα πάνω προκύπτει ότι και το διάνσμα θα έχει θετική φορά, το μέτρο το θα είναι: = = ( ) = τ α 6

Ερώτηση 6. Μια σφαίρα Σ, μάζας μάζας =, σγκρούεται κεντρικά πλαστικά με ακίνητη σφαίρα Σ, =. Στη σφαίρα Σ μετά την κρούση μένει το α) 50% της αρχικής ενέργειάς της. β) 00% της αρχικής ενέργειάς της. γ) 5% της αρχικής ενέργειάς της. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η γ. Με εφαρμογή της διατήρησης της ορμής βρίσκομε την ταχύτητα το σσσωματώματος. = (+ )V, από όπο προκύπτει V = = ( + ) Οπότε η κινητική ενέργεια της σφαίρας Σ μετά την κρούση θα είναι:. V Κ Κ ' = = = 4 4 Όπο Κ η κινητική της ενέργεια πριν την κρούση, Κ = = 4K Σνεπώς το % ποσοστό της ενέργειας πο αντιστοιχεί (μένει) στη μάζα θα είναι: Κ α = = = Κ 4 % 00 00 5% 7

Ερώτηση 7. Ατοκίνητο της τροχαίας κινείται σε εθύ δρόμο με σταθερή ταχύτητα ήχο 0 και έχει ενεργοποιημένη τη σειρήνα το, η οποία παράγει ήχο σχνότητας f. Μοτοσικλετιστής πο προπορεύεται και κινείται με ταχύτητα μέτρο το μισό από ατό της ταχύτητας το ατοκινήτο, ακούει ήχο με σχνότητα f A για την οποία ισχύει f 9 = f. 8 α) A f 0 = f. 8 β) A f = f. 9 γ) A Επιλέξτε τη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η α. Έχομε πηγή πο κατεθύνεται προς παρατηρητή και παρατηρητή πο απομακρύνεται από την πηγή. Άρα ο ήχος πο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής έχει σχνότητα πο δίνεται από τη σχέση: f A = f ήχο ήχο A Με αντικατάσταση ήχο = και 0 0 ήχο A = = παίρνομε: ή χο 9 ή χο ή χο 9 f 0 0 A = f fa = f fa = f ή χο 9 8 ή χο ή χο 0 0 8

Ερώτηση 8. Ένα σώμα Α με ορμή μέτρο p και μάζα σγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με άλλο ακίνητο σώμα Β, ίδιας μάζας με το Α. Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας το σώματος Α είναι ίση με α) μηδέν. β) γ) p. p. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η β. Επειδή η κρούση είναι ελαστική και τα δύο σώματα έχον ίδια μάζα, τα σώματα ανταλλάσον ταχύτητες. Επειδή το σώμα Β είναι αρχικά ακίνητο, το σώμα Α μετά την κρούση θα παραμείνει ακίνητο, κατά σνέπεια η μεταβολή της κινητικής ενέργειας το σώματος Α θα είναι ίση με p K = Kτελ Kαρχ = 0 K = K = 9

Ερώτηση 9. Μια πηγή ήχο πο πλησιάζει προς ακίνητο παρατηρητή εκπέμπει ήχο σχνότητας f πο διαδίδεται με ταχύτητα. Για να αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής σχνότητα διπλάσια από τη σχνότητα πο εκπέμπει η πηγή α) να πλησιάζει τον παρατηρητή με ταχύτητα =. β) να πλησιάζει τον παρατηρητή με ταχύτητα =. γ) να απομακρύνεται από τον παρατηρητή με ταχύτητα =. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. f A Λύση Σωστή απάντηση είναι η β. Ισχύει f A = f () Έχομε πηγή πο κατεθύνεται προς ακίνητο παρατηρητή, άρα ο ήχος πο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής έχει σχνότητα f A = f () Από τις () και () προκύπτει =. 0

Ερώτηση 0. Μια σφαίρα Σ, μάζας μάζας =, σγκρούεται κεντρικά ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Σ, =. Η κινητική ενέργεια της σφαίρας Σ λόγω της κρούσης α) μετατρέπεται σε θερμότητα πο μεταφέρεται στο περιβάλλον. β) μοιράζεται μεταξύ των δύο σφαιρών. γ) μεταφέρεται εξολοκλήρο στη σφαίρα Β Επιλέξτε τη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η γ. Επειδή η κρούση είναι ελαστική διατηρείται η μηχανική ενέργεια και δεν πάρχει μεταφορά θερμότητας στο περιβάλλον. Επειδή τα δύο σώματα έχον ίδια μάζα, λόγω της κρούσης, τα σώματα ανταλλάσον ταχύτητα. Επειδή το σώμα Β είναι αρχικά ακίνητο, το σώμα Α μετά την κρούση θα παραμείνει ακίνητο, κατά σνέπεια, λόγω της διατήρησης της μηχανικής ενέργειας, όλη η κινητική ενέργεια το σώματος Α θα μεταφερθεί στο σώμα Β.

Ερώτηση. Μια ρόδα ατοκινήτο ακτίνας R κλίεται με το κέντρο μάζας της να έχει σταθερή ταχύτητα. Ένα μικρό καρφί μάζας είναι καρφωμένο στην εξωτερική επιφάνεια της ρόδας. Αν θεωρήσομε τις διαστάσεις το καρφιού αμελητέες, τότε η μεταβολή της ορμής το καρφιού, μεταξύ κατώτερης και ανώτερης θέσης α) είναι. β) είναι μηδέν. γ) έχει μέτρο ίσο με. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η γ. Επειδή η ρόδα κλίεται η ταχύτητα το καρφιού όταν περνά από την κατώτερη θέση (όταν είναι σε επαφή με το έδαφος) είναι μηδέν, ενώ όταν το καρφί διέρχεται από το ψηλότερο σημείο της τροχιάς το έχει ταχύτητα. Έτσι, το καρφί στο χαμηλότερο σημείο της τροχιάς το έχει ορμή μέτρο 0 και στο ψηλότερο σημείο έχει ορμή μέτρο p =. Σνεπώς, η μεταβολή της ορμής το μεταξύ των δύο παραπάνω θέσεων θα έχει μέτρο Δp = p p = 0 Δp = και οριζόντια διεύθνση, δηλαδή θα έχει ίδια τελ αρχ κατεύθνση με ατήν της ταχύτητας πο έχει στο ψηλότερο σημείο.

Ερώτηση. Ένα σώμα A μάζας σώμα B μάζας =, το οποίο έχει ταχύτητα σγκρούεται πλαστικά με =. Μετά την κρούση, το σσσωμάτωμα μένει ακίνητο. Ο λόγος των μέτρων των ταχτήτων,, των δύο σωμάτων πριν την κρούση είναι: α). β). γ) 4. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η α. Από την Αρχή Διατήρησης της Ορμής προκύπτει ότι για να είναι η ορμή το σστήματος πριν την κρούση μηδέν πρέπει το δεύτερο σώμα να κινείται και μάλιστα με ορμή αντίθετη από ατήν το σώματος Α. Εφαρμόζομε την Διατήρησης της Ορμής για την κρούση. p p 0 0 πριν = µετά + = = = = 3

Ερώτηση 3. Ένα σώμα A μάζας πλαστικά με σώμα B μάζας =, το οποίο έχει κινητική ενέργεια KA = K, σγκρούεται =. Μετά την κρούση, το σσσωμάτωμα μένει ακίνητο. Η μηχανική ενέργεια πο μετατράπηκε σε θερμότητα κατά τη διάρκεια της κρούσης, είναι ίση με α) 4Κ. β) 3 Κ. γ) 3Κ. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η γ. Αφού το σσσωμάτωμα μένει ακίνητο όλη η κινητική ενέργεια πο είχαν τα σώματα πριν την κρούση μετατρέπεται σε θερμότητα. Q =Κ Α +Κ Β () Από τη διατήρηση της ορμής προκύπτει: p = p + = 0 = 0 = πριν µετά Με αντικατάσταση στη σχέση ()παίρνομε: Q =Κ Α +Κ Β = + Q = + ( ) = + Q = K + K Q = 3K 4

Ερώτηση 4. Ένα σώμα A μάζας κινούμενο με ταχύτητα σγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα Β μάζας. Το σώμα A σνεχίζει μετά την κρούση να κινείται κατά την ίδια φορά με ταχύτητα ίσος με α) 3. β). ' =. Ο λόγος των μαζών των δύο σωμάτων,, είναι γ) 3. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η α. Επειδή η κρούση είναι κεντρική ελαστική και το σώμα Β είναι αρχικά ακίνητο, το σώμα Α μετά την κρούση θα κινηθεί με ταχύτητα πο δίνεται από τη σχέση ' = + Με αντικατάσταση παίρνομε = + = = 3 + Άρα, 3 =. 5

Ερώτηση 5. Δύο σφαίρες A και B, με ίσες μάζες, κινούνται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ίδιες κατεθύνσεις και ταχύτητες πο έχον μέτρα = 0 και = 0, αντίστοιχα. Οι σφαίρες σγκρούονται χωρίς να δημιοργείται σσσωμάτωμα. Αν μετά την κρούση το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας A είναι ' = 5, τότε η κρούση είναι α) ελαστική. β) πλάγια. γ) ανελαστική. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η γ. Επειδή οι σφαίρες κινούνται με ίδιες κατεθύνσεις η κρούση δεν είναι πλάγια. Ισχύει η διατήρηση της ορμής. p ολ(πριν) = p + = ' + ' ολ(μετά) Επειδή = = η σχέση γίνεται + = ' + παίρνομε: ', από όπο με αντικατάσταση ' = 5 Ελέγχομε αν διατηρείται η κινητική ενέργεια το σστήματος, δηλαδή αν ισχύει ' ' + = + ή ' ' + = + Όμως + = 0 + 0 = 500 και + = 5 + 5 = 450 ' ' Άρα, αφού η κινητική ενέργεια δεν διατηρείται η κρούση είναι ελαστική. 6

Ερώτηση 6. Σφαίρα A πο κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα μέτρο και κινητική ενέργεια Κ, σγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με άλλη ακίνητη σφαίρα Β, ίσης μάζας με την Α, πο βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο. Η κινητική ενέργεια το σσσωματώματος μετά την κρούση είναι ίση με α) 0, 5Κ. β) 0,5Κ. γ) 0,75Κ. Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η β. Εφαρμόζομε την αρχή διατήρησης της ορμής για το σύστημα: (+ )V = + 0 V = V = ( + )V Κ Κ σσωμ = = V Κ σσωμ = = Κ σσωμ = 0,5Κ 4 7

Ερώτηση 7. Ένα ακίνητο βλήμα εκρήγνται σε τρία μέρη A, B και Γ. Τα μέρη A και B έχον ορμές πο βρίσκονται σε διεθύνσεις κάθετες μεταξύ τος με μέτρα πο είναι ίσα με: Kg p = p = p = 0. Το μέτρο της ορμής το τρίτο κομματιού είναι: α) Kg 0. β) Kg 0. γ) Kg 0. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η γ. Επειδή η ορμή διατηρείται θα ισχύει p = p 0= p + p + p p = p πριν µετά 3 3 () Από τη σχέση () προκύπτει ότι οι κατεθύνσεις των p 3 και p Το μέτρο της ορμής p είναι: θα είναι αντίθετες. Kg p = p + p = p = p p = 0 Άρα το μέτρο της ορμής το 3 ο κοματιού είναι p3 = 0 Kg 8

Ερώτηση 8. Ένα σώμα αφήνεται να πέσει από ύψος h πάνω από το ελεύθερο άκρο κατακόρφο ιδανικού ελατηρίο σταθεράς K. Η κίνηση το σώματος γίνεται στη διεύθνση το άξονα το ελατηρίο χωρίς τριβές και αντιστάσεις από τον αέρα. Η κίνηση το σώματος για όσο χρονικό διάστημα είναι σε επαφή με το ελατήριο είναι απλή αρμονική ταλάντωση. Η μεταβολή της ορμής p το σώματος από τη στιγμή πο έρχεται σε επαφή με το ελεύθερο άκρο το ελατηρίο και μέχρι να επανέλθει στο ίδιο σημείο έχει μέτρο α) 0. β) p. γ) p. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η γ. Οι δνάμεις πο ασκούνται στο σώμα, σε όλη τη διάρκεια της κίνησής το είναι σντηρητικές (βάρος και δύναμη ελατηρίο), άρα η μηχανική το ενέργεια διατηρείται. Ατό σημαίνει ότι το μέτρο της ταχύτητάς το ελάχιστα πριν και αμέσως μετά την επαφή το με το ελατήριο θα είναι ίδια αφού στην ίδια θέση θα έχει ίδια κινητική και δναμική ενέργεια. Σνεπώς η μεταβολή της ορμής το θα είναι: p= p p µετά πριν Τα διανύσματα έχον ίδια διεύθνση, ορίζομε θετική φορά προς τα πάνω, μετατρέπομε τη διανσματική σχέση σε αλγεβρική και λαμβάνομε πόψη ότι p = p = p µετά πριν Προκύπτει p = p ( p) = p. Η κατεύθνση το διανύσματος p θα είναι κατακόρφη με φορά προς τα πάνω. 9

0

Ερώτηση 9. Ένα σώμα αφήνεται να πέσει από ύψος h πάνω από το ελεύθερο άκρο κατακόρφο ιδανικού ελατηρίο σταθεράς K. Η κίνηση το σώματος γίνεται στη διεύθνση το άξονα το ελατηρίο χωρίς τριβές και αντιστάσεις από τον αέρα. Η κίνηση το σώματος για όσο χρονικό διάστημα είναι σε επαφή με το ελατήριο είναι απλή αρμονική ταλάντωση. Το μέτρο της ταχύτητας το σώματος είναι μέγιστο. α) τη στιγμή πο έρχεται σε επαφή με το ελατήριο. β) στη θέση όπο η σνισταμένη των δνάμεων πο δέχεται είναι μηδέν. γ) στη θέση μέγιστης σσπείρωσης. Λύση Σωστή απάντηση είναι η β. Από τη στιγμή πο το σώμα έρχεται σε επαφή με το ελατήριο εκτός από το βάρος το ασκείται και η δύναμη το ελατηρίο με φορά προς τα πάνω. Παίρνοντας τα θετικά προς τα κάτω ο θεμελιώδης νόμος της Μηχανικής γράφεται: Σ F = α g Fελατ = α g kx = α, όπο x η παραμόρφωση το ελατηρίο. Καθώς το σώμα κατεβαίνει το x μεγαλώνει. Επομένως η επιτάχνση α μικραίνει. Σνεχίζει όμως να αξάνεται η ταχύτητα το σώματος, αλλά με μικρότερο ρθμό. Κάποια στιγμή θα γίνει Σ F= 0, στη θέση ατή η ταχύτητα θα είναι μέγιστη και η επιτάχνση ίση με το μηδέν. Στη σνέχεια, επειδή το x αξάνεται, η kx θα γίνει μεγαλύτερη από το βάρος, η επιτάχνση θα γίνει αρνητική και το σώμα θα αρχίσει να επιβραδύνεται. Άρα το μέτρο της ταχύτητας το σώματος είναι μέγιστο στη θέση πο ισχύει Σ F= 0.

Ερώτηση 0. Μια μπάλα αφήνεται να πέσει κατακόρφα στο έδαφος με ορμή την ίδια κατά μέτρο ταχύτητα. Ο χρόνος πρόσκροσης είναι 0,5. Kg 0 και αναπηδά με Kg Ο μέσος ρθμός μεταβολής της ορμής της μπάλας στη διάρκεια της κρούσης σε έχει μέτρο ίσο με α) 40. β) 0. γ) 0. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η α. Η μπάλα στη διάρκεια της κρούσης δέχεται τις δνάμεις πο φαίνονται στο σχήμα και γι ατό μεταβάλλεται η ορμή της. Η μεταβολή της ορμής θα είναι: p= p p (μετά) Επειδή τα διανύσματα έχον ίδια διεύθνση ορίζομε φορά (θετική προς τα πάνω) και μετατρέπομε τη διανσματική σχέση σε αλγεβρική: Kg Kg p = p ( p) = p = 0 p = 0 (πριν) () Kg 0 p p Kg = = 40 t 0,5 t

Ερώτηση. (Η ερώτηση δόθηκε από τον κ. Παλόγο Αντώνιο) Μια ηχητική πηγή κινείται με σταθερή ταχύτητα προς ακίνητο παρατηρητή. Τα μήκη κύματος πο εκπέμπει η πηγή προς την κατεύθνση το παρατηρητή, πριν και μετά τη διέλεση της από ατόν, διαφέρον μεταξύ τος κατά 0 λ, όπο λ το μήκος κύματος πο εκπέμπει η πηγή όταν είναι ακίνητη. Αν η ταχύτητα διάδοσης το ήχο στον αέρα, ο λόγος είναι α) 5. β) 0. γ) 0. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η γ. Το μήκος κύματος πο εκπέμπει η πηγή προς τον παρατηρητή είναι ίσο με την απόσταση πο ατός «αντιλαμβάνεται» ως μήκος κύματος. Όταν η πηγή πλησιάζει τον παρατηρητή ατός «αντιλαμβάνεται» ως μήκος κύματος την απόσταση λ =λ T, όπο T η περίοδος το ηχητικού κύματος. Α Όταν η πηγή απομακρύνεται από τον παρατηρητή ατός «αντιλαμβάνεται» ως μήκος κύματος την απόσταση λ B =λ+ T. Με αφαίρεση κατά μέλη των δύο σχέσεων προκύπτει: λ λ λ λ λb λ A = ( λ+t) ( λ T) = T = = 0 0 0 f 0 0 0 = = 3

Ερώτηση. (Η ερώτηση δόθηκε από τον κ. Παλόγο Αντώνιο) Ένας παρατηρητής απομακρύνεται από ακίνητη ηχητική πηγή με σταθερή ταχύτητα Α. Η σχνότητα το ήχο πο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι μειωμένη σε σχέση με ατή πο εκπέμπει η πηγή. Το μήκος κύματος λ Α το ήχο πο φτάνει στον παρατηρητή σε σχέση με το μήκος κύματος λ πο εκπέμπει η πηγή είναι α) λ A <λ. β) λ A >λ. γ) λ A =λ. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η γ. Ένας ακίνητος παρατηρητής γράφει τη θεμελιώδη εξίσωση της κματικής ως εξής: =λ () f Ο κινούμενος παρατηρητής γράφει τη θεμελιώδη εξίσωση της κματικής ως εξής: ή χο( Α) =λ f Α A () Όμως: ή χο( Α) A παρατηρητή. =, όπο η ταχύτητα διάδοσης το ήχο για τον ακίνητο fa = f A Με αντικατάσταση στη σχέση () παίρνομε =λ f =λ f =λ f A ή χο( Α) Α A A Α Α Από τη σύγκριση της τελεταίας σχέσης με την () προκύπτει ότι λ Α =λ. 4

Ερώτηση 3. (Η ερώτηση δόθηκε από τον εθελοντή κ. Ποντικό Ηλία) Η κρούση μεταξύ των δύο σφαιρών το σχήματος είναι κεντρική και ελαστική. Οι σφαίρες μετά την κρούση θα κινηθούν όπως στο σχήμα Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστό είναι το σχήμα (α). Για την κρούση ισχύει η διατήρηση της ορμής. Οι σφαίρες το σχήματος της εκφώνησης έχον πριν την κρούση σνολική ορμή p = 3+ p = 5 αρχ αρχ Άρα και η τελική ορμή το σστήματος των σφαιρών πρέπει να είναι pτελ = 5 Στο σχήμα (α) μετά την κρούση οι σφαίρες έχον ορμή 7 pτελ = + pτελ = 5 3 3 Στο σχήμα (β) μετά την κρούση οι σφαίρες έχον ορμή p = 3 p = 5 τελ τελ Στο σχήμα (γ) μετά την κρούση οι σφαίρες έχον ορμή p = 3+ p = 7 τελ τελ Άρα, η διατήρηση της ορμής ικανοποιείται μόνο στα σχήματα (α) και (β). Η κρούση είναι ελαστική. Επομένως θα πρέπει επίσης να διατηρείται και η κινητική ενέργεια το σστήματος. Πριν την κρούση οι σφαίρες έχον κινητική ενέργεια 5

Kαρχ = 3 + Kαρχ = ( ) Στο σχήμα (α) μετά την κρούση οι σφαίρες έχον κινητική ενέργεια: 7 Kτελ = + Kτελ 3 3 = Στο σχήμα (β) μετά την κρούση οι σφαίρες έχον κινητική ενέργεια: ( ) 9 Kτελ = + 3 K τελ = Παρατηρούμε ότι η διατήρηση της ορμής και η διατήρηση της κινητικής ενέργειας ικανοποιούνται μόνο στο σχήμα (α). 6

Ερώτηση 4. Ένα σώμα A μάζας M είναι ακίνητο σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Ένα άλλο σώμα B μάζας, πο κινείται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο σγκρούεται πλαστικά κεντρικά με το σώμα A. Αν μετά την κρούση το σσσωμάτωμα έχει το της κινητικής ενέργειας πο 3 είχε ελάχιστα πριν την κρούση, τότε μεταξύ των μαζών των σωμάτων ισχύει η σχέση α) M 6 =. β) M. = γ) M 3. = Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η β. Δίνεται ότι: (M + )V τελ Kολ V = = = αρχ ολ K 3 3 3(M + ) () Εφαρμόζομε τη Διατήρησης της Ορμής για την κρούση, οπότε παίρνομε: τελ αρχ V pολ = p ολ (M + )V = = M+ () Αφού ψώσομε την () στο τετράγωνο την εξισώνομε με τη (), οπότε προκύπτει: 3(M + ) (M + ) 3 (M + ) = = = M Μ άρα =. 7

Ερώτηση 5. Μεταξύ δύο ακίνητων παρατηρητών B και A κινείται πηγή S με σταθερή ταχύτητα πλησιάζοντας προς τον A. Τα μήκη κύματος πο φτάνον στος παρατηρητές A και B είναι λα και λβ αντίστοιχα. Όταν η πηγή είναι ακίνητη εκπέμπει ήχο μήκος κύματος λ. Το μήκος κύματος λ και τα μήκη κύματος ( λ Α +λβ) α) λ=. λα και λ Β σνδέονται με τη σχέση β) ( λα λβ) λ=. λαλβ γ) λ=. ( λ +λ ) Α Β Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η α. Ο παρατηρητής Α, πο τον πλησιάζει η πηγή, «αντιλαμβάνεται» ως μήκος κύματος την απόσταση λ Α =λ T, όπο T η περίοδος το ηχητικού κύματος. Ο παρατηρητής B, πο απομακρύνεται από ατόν η πηγή, «αντιλαμβάνεται» ως μήκος κύματος την απόσταση λ B =λ+ T. Με πρόσθεση κατά μέλη των δύο σχέσεων προκύπτει ( λ Α +λβ) λ Α +λ Β = λ λ= 8

Ερώτηση 6. Μια μικρή σφαίρα Σ, μάζας, σγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητη μικρή σφαίρα Σ, μάζας. Μετά την κρούση οι σφαίρες κινούνται με αντίθετες κατεθύνσεις και τα μέτρα των ταχτήτων τος και αντίστοιχα σνδέονται με τη σχέση =. Ο λόγος των μαζών των δύο σφαιρών, είναι ίσος με: α). β) 5. γ) 5. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Λύση Σωστή απάντηση είναι η β. Έχομε ελαστική κρούση δύο σωμάτων από τα οποία το ένα αρχικά είναι ακίνητο, οπότε οι ταχύτητές τος μετά την κρούση δίνονται από τις σχέσεις: ' = + ' = + Τα σώματα μετά την κρούση θα κινηθούν στην ίδια διεύθνση αλλά με αντίθετες φορές. Όπως προκύπτει από τις πιο πάνω σχέσεις το σώμα Σ θα έχει ίδια φορά με ατή πο είχε πριν την κρούση το Σ. Σνεπώς για τα μέτρα των ταχτήτων θα ισχύει: ' = ' =. + + Από όπο προκύπτει: + = 4 = 5 = 5 9

ΘΕΜΑ Γ Άσκηση. Ένα σώμα A μάζας = 0kg, κινούμενο με ταχύτητα πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο κατά τη θετική κατεύθνση το άξονα x Ox, σγκρούεται με ακίνητο σώμα Β. Α) Αν η κρούση είναι μετωπική και ελαστική και τα δύο σώματα μετά την κρούση έχον ταχύτητες ίσο μέτρο, να βρείτε: ) τη μάζα το σώματος B. ) την % μεταβολή της κινητικής ενέργειας το σώματος Α. Β) Αν η κρούση των δύο σωμάτων είναι πλαστική και η ταχύτητα το σώματος Α είναι = 4 να πολογίσετε: ) Την κοινή τος ταχύτητα. ) Τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας το σστήματος των δύο σωμάτων, πριν και μετά την κρούση. Λύση α) ) Έχομε ελαστική κρούση δύο σωμάτων πο το ένα αρχικά είναι ακίνητο, οπότε οι ταχύτητες των σωμάτων μετά την κρούση δίνονται από τις σχέσεις: = + = + ( ) ( ) Τα σώματα μετά την κρούση θα κινηθούν στην ίδια διεύθνση, αλλά δεν διεκρινίζεται αν έχον ίδιες ή αντίθετες κατεθύνσεις. Έτσι διακρίνομε δύο περιπτώσεις: i) να κινηθούν με την ίδια φορά: 30

Θέτομε =, δηλαδή = + +, η επίλση της σχέσης δίνει =, πο είναι άτοπο. Άρα τα δύο σώματα δεν μπορεί να κινηθούν με ίδιες φορές, μετά την κρούση. ii) να κινηθούν με αντίθετες φορές: Θέτομε =, δηλαδή = + + = 3 = 30kg, πο είναι το σωστό., η επίλση της σχέσης δίνει: ) Με αντικατάσταση στις σχέσεις () και () τις τιμές των μαζών = 30kg προκύπτει = 0kg και 0kg 30kg = = = + 0kg + 30kg 0kg = = = + 0kg + 30kg Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας το σώματος Α είναι: ( ) Κ = Κ = Κ = Κ = 4 3 K Η εκατοστιαία μεταβολή της κινητικής ενέργειας το σώματος Α πολογίζεται ως εξής: K 3 K 4 a% = 00% = 00% a% = 75% Β) ) Η κοινή ταχύτητα το σσσωματώματος βρίσκεται εφαρμόζοντας τη διατήρηση της ορμής για την κρούση. 0kg 4 / ( ) 0kg 30kg = (+ )V V = = V = + + 3

(+ )V K = Kτελ Kαρχ = (0kg + 30kg) ( / ) 0kg (4 / ) K = K = 60J 3

Άσκηση. (Η άσκηση δόθηκε από τον εθελοντή κ. Παπαδημητρίο Αθανάσιο) Ένα σώμα Σ, μάζας, κινούμενο σε οριζόντιο επίπεδο σγκρούεται με ταχύτητα μέτρο = 5 / κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα Σ, μάζας. Η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα και ο σντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ το επιπέδο και κάθε σώματος είναι µ= 0,5. Αμέσως μετά την κρούση, το σώμα μάζας Σ κινείται αντίρροπα με ταχύτητα μέτρο = 3 /. α) Να προσδιορίσετε το λόγο των μαζών. β) Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας το σώματος μάζας αμέσως μετά την κρούση. γ) Να βρείτε το ποσοστό της κινητικής ενέργειας το σώματος Σ πο μεταβιβάστηκε στο σώμα Σ, λόγω της κρούσης. δ) Να πολογίσετε πόσο θα απέχον τα σώματα όταν σταματήσον. Δίνεται g = 0 /. Λύση α) Η κρούση είναι κεντρική και ελαστική, οπότε οι ταχύτητες των σωμάτων μετά την κρούση θα δίνονται από τις σχέσεις: = + + ( ) = () Με αντικατάσταση, στο S.I., στη σχέση () παίρνομε: 3 = 5 3 3 = 5 5 = 8 = 4 + β) Με αντικατάσταση στη σχέση () παίρνομε: = 5 = 4 + 33

γ) Η κινητική ενέργεια πο μεταφέρθηκε στο σώμα Σ κατά την κρούση είναι ίση με την κινητική ενέργεια πο απέκτησε το σώμα ατό, ακριβώς μετά την κρούση. Έτσι το ποσοστό της κινητικής ενέργειας το σώματος Σ πο μεταβιβάστηκε στο σώμα Σ, λόγω της κρούσης είναι: K 00% K = 00% = 4 ( / ) (5 / ) K 00% 00% = 64% K δ) Μετά την κρούση και λόγω της ύπαρξης των τριβών καθένα από τα δύο σώματα εκτελεί επιβραδνόμενη κίνηση και τελικά σταματά. Εφαρμόζομε το Θ.Μ.Κ.Ε. για κάθε σώμα χωριστά. 0 = Wg+ W N + W T T x = g x =µ ή (3 / ) x = = x = 0,9 µ g 0,5 0 / 34

0 = Wg+ W N + W T T x = g x =µ ή ( / ) x = = x = 0, 4 µ g 0,5 0 / (Τα έργα των βαρών και των κάθετων αντιδράσεων είναι μηδενικά, διότι οι δνάμεις ατές είναι κάθετες στις αντίστοιχες μετατοπίσεις) Η τελική απόσταση μεταξύ των δύο σωμάτων είναι: S = x+ x =, 3 35

Άσκηση 3. Δύο μαθητές παγοδρόμοι Α και Β, με μάζες αντίστοιχα = 40Kg και = 60Kg, κρατούν τις άκρες ενός σχοινιού αμελητέας μάζας. Οι μαθητές στέκονται αρχικά ακίνητοι πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο (παγοδρόμιο) απέχοντας μεταξύ τος L = 0. Κάποια στιγμή οι μαθητές αρχίζον να μαζεύον το σχοινί ασκώντας δύναμη ο ένας στον άλλον, χωρίς να πέσει κανείς από τος δύο. α) Να βρείτε ποια είναι η σχέση μεταξύ των δνάμεων πο ασκεί ο ένας μαθητής στον άλλο μέσω το σχοινιού. β) Να βρείτε τον λόγο των κινητικών ενεργειών πο έχον οι μαθητές ελάχιστα πριν τη στιγμή της σνάντησης. γ) Αν ελάχιστα πριν τη στιγμή της σνάντησης, ο μαθητής Α έχει αποκτήσει ταχύτητα μέτρο =, ποιό θα είναι το μέτρο της ταχύτητας το μαθητή Β; δ) Αν οι μαθητές τη στιγμή της σύγκροσης αγκαλιαστούν και παραμείνον αγκαλιασμένοι ποια θα είναι η κοινή τος ταχύτητα; Λύση α) Οι δνάμεις F και F πο ασκεί ο ένας μαθητής στον άλλο μέσω το σχοινιού είναι εσωτερικές δνάμεις για το σύστημα μαθητές - σχοινί. Κάθε μαθητής ασκεί και δέχεται δύναμη από το σχοινί (δράση αντίδραση). Επειδή το σχοινί είναι μη εκτατό η δύναμη μεταφέρεται από το ένα άκρο το σχοινιού στο άλλο και το μέτρο της είναι σταθερό. Σνεπώς σύμφωνα με τον 3 ο Νόμο το Νεύτωνα οι δνάμεις πο ασκούνται στος μαθητές από το σχοινί θα είναι αντίθετες. (Στο σχήμα παραβλέπονται οι δνάμεις πο ασκούν οι μαθητές στο σχοινί). 36

β) Το σύστημα μαθητές σχοινί είναι ένα μονωμένο σύστημα σωμάτων. Εφαρμόζομε τη διατήρηση της ορμής μεταξύ των δύο θέσεων: p = p p + p = 0 p = p Tελ Αρχ Οι μαθητές ελάχιστα πριν τη σνάντησή τος έχον αντίθετες ορμές και για τα μέτρα των ορμών τος ισχύει: p = p = p () Πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας το β μέλος το τύπο της κινητικής ενέργειας με τη μάζα βρίσκομε τη σχέση πο σνδέει την κινητική ενέργεια με την ορμή: p K = = = () Ο ζητούμενος λόγος των κινητικών ενεργειών είναι: p p K K 60kg K 3 = = = = = K p p K 40kg K γ) Με αντικατάσταση στη σχέση () παίρνομε: 40kg 4 = = = = 60kg 3 δ) Εφαρμόζομε τη διατήρηση της ορμής μεταξύ των θέσεων λίγο πριν σναντηθούν και αμέσως μετά τη σνάντηση. ( ) pαρχ = pτελ = (+ )V από όπο προκύπτει V= = 0 ( + ) 37

Άσκηση 4. Τα σώματα Σ και Σ, αμελητέων διαστάσεων, με μάζες = Kg και = 3Kg αντίστοιχα είναι τοποθετημένα σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το σώμα Σ είναι δεμένο στη N μία άκρη οριζόντιο ιδανικού ελατηρίο σταθεράς k = 00. Η άλλη άκρη το ελατηρίο, είναι ακλόνητα στερεωμένη. Το ελατήριο με τη βοήθεια νήματος είναι σσπειρωμένο κατά 0,, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το σώμα Σ βρίσκεται ακίνητο στο οριζόντιο επίπεδο στη θέση πο αντιστοιχεί στο φσικό μήκος 0 το ελατηρίο. Κάποια χρονική στιγμή κόβομε το νήμα και το σώμα Σ κινούμενο προς τα αριστερά σγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με το σώμα Σ, αν θεωρήσομε τις διαστάσεις των σωμάτων αμελητέες, να πολογίσετε: α) το μέτρο της ταχύτητας το σώματος Σ λίγο πριν την κρούση το με το σώμα Σ. β) το μέτρο της ταχύτητας το σσσωματώματος, αμέσως μετά την κρούση. γ) το ποσό θερμότητας πο μεταφέρθηκε από τα σώματα στο περιβάλλον. δ) το πλάτος ταλάντωσης το σσσωματώματος. Δίνεται π= 3,4. Λύση α) Η κίνηση το σώματος Σ από την στιγμή της ελεθέρωσης μέχρι και ελάχιστα πριν τη σύγκροσή το με το Σ είναι α.α.τ. με πλάτος Α= 0,. Η ταχύτητά το σώματος Σ ελάχιστα πριν την κρούση θα βρεθεί από τη διατήρηση της ενέργειας για την ταλάντωση 38

μεταξύ των δύο θέσεων. Η αρχική το θέση είναι στη μέγιστη απομάκρνση και η τελική θέση είναι η θέση ισορροπίας το. N 00 (0, ) kα k = = = = kg Α β) Εφαρμόζομε τη διατήρηση της Ορμής (Α.Δ.Ο) για την κρούση: = (+ )V, από όπο προκύπτει kg / ( + ) (kg + 3kg) V = = V = 0,5 γ) Με βάση την αρχή διατήρησης της ενέργειας, η θερμότητα ισούται με την μείωση της κινητικής ενέργειας το σστήματος: (+ )V Q = Κ = Q = J 0,5J =,5J δ) Το σσσωμάτωμα θα εκτελέσει αρμονική ταλάντωση με θέση ισορροπίας ίδια με την αρχική. Εφαρμόζομε τη διατήρησης της ενέργειας για τη νέα ταλάντωση μεταξύ της θέσης ισορροπίας και της ακραίας θέσης. ka = A = V = (0,5 ) A = 0, k 00N / (M + )V 0 M + 3kg + kg 0 39

Άσκηση 5. Σώμα Σ, με μάζα = 4Kg, είναι στερεωμένο στη μία άκρη ιδανικού ελατηρίο σταθεράς N k = 500, το άλλο άκρο το οποίο στερεώνεται σε κατακόρφο τοίχο. To σύστημα ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Ένα δεύτερο σώμα Σ, μάζας = Kg κινούμενο οριζόντια με ταχύτητα μέτρο = 0 κατά μήκος το άξονα το ελατηρίο, σγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με το σώμα Σ, όπως στο σχήμα. Το σώμα Σ έχει ενσωματωμένη σειρήνα πο εκπέμπει σνεχώς ήχο σχνότητας f = 700Hz. α) Nα πολογίσετε τη σχνότητα το ήχο πο αντιλαμβάνεται ο ακίνητος παρατηρητής το σχήματος, πριν από την κρούση το σώματος Σ με το σώμα Σ. β) Να πολογίσετε την περίοδο και το πλάτος της ταλάντωσης μετά την κρούση. γ) Να γράψετε την ταχύτητα το σσσωματώματος σε σνάρτηση με το χρόνο. Για την περιγραφή ατή να θεωρήσετε ως αρχή μέτρησης το χρόνο (t = 0) τη στιγμή της κρούσης και ως θετική φορά το άξονα των απομακρύνσεων τη φορά της ταχύτητας το σσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. δ) Αν η σειρήνα δεν καταστρέφεται κατά την κρούση, να βρείτε το πηλίκο της μέγιστης σχνότητας f A,ax προς την ελάχιστη σχνότητα f A,in πο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής, κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης το σσσωματώματος. Δίνονται η ταχύτητα διάδοσης το ήχο στον αέρα 340 g = 0. ηx = και Λύση 40

α) Έχομε πηγή πο απομακρύνεται από ακίνητο παρατηρητή. Η εξίσωση πο περιγράφει τη σχνότητα το ήχο πο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής A είναι f = f, από όπο με αντικατάσταση παίρνομε: + A 340 f A = 700Hz fa = 680Hz. 340 + 0 β) Το σσσωμάτωμα θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο + kg + 4kg π k 500N / 5 T= π = π T= και γωνιακή σχνότητα 5 rad ω= π f = π ω= 0 π Εφαρμόζομε την Αρχή Διατήρησης της Ορμής για την κρούση. kg 0 = = + = = = ( ) (kg 4kg) pπριν pμετ ά ( )V V V + + Η ταχύτητα V= είναι η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης, επειδή η θέση ατή είναι και θέση ισορροπίας της ταλάντωσης. Σνεπώς V = ωα, από όπο με αντικατάσταση παίρνομε: V Α= = Α= 0, ω rad 0 γ) Τη χρονική στιγμή t = 0 το σσσωμάτωμα ξεκινά ταλάντωση από τη θέση ισορροπίας το με θετική ταχύτητα, οπότε η σνάρτηση πο περιγράφει την ταχύτητα το σε σχέση με το χρόνο είναι: = axσνωt = σν 0t (S.I.) δ) Ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται τη μέγιστη σχνότητα όταν το σσσωμάτωμα, με την πηγή, τον πλησιάζει με τη μέγιστη ταχύτητα, δηλαδή με /. 4

340 340 f = f = 700Hz f = 700Hz 340 338 A,ax A,ax Ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται την ελάχιστη σχνότητα όταν το σσσωμάτωμα, με την πηγή, απομακρύνεται από ατόν με την μέγιστη ταχύτητα, δηλαδή με /. 340 340 f = f = 700Hz f = 700Hz 340 34 A,in A,in + + Το ζητούμενο πηλίκο είναι: 340 f 700Hz A,ax fa,ax 34 = 338 = f 340 A,in 700Hz fa,in 338 34 4

Άσκηση 6. Ένα σώμα Σ Α, μάζας = 0Kg, κινείται με ταχύτητα = 4 πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Η διεύθνση της ταχύτητας το σώματος Σ Α τατίζεται με τη διεύθνση το άξονα ενός ιδανικού ελατηρίο το οποίο είναι στερεωμένο, όπως στο σχήμα, σε ακίνητο σώμα Σ Β, μάζας = 30Kg. Το σώμα Σ Α προσπίπτει στο ελεύθερο άκρο το ελατηρίο πο αρχίζει να σσπειρώνεται. α) Να πολογίσετε την ορμή και τη μηχανική ενέργεια το σστήματος πριν την κρούση. β) Να εξηγήσετε γιατί η μέγιστη παραμόρφωση το ελατηρίο σμβαίνει τη στιγμή πο τα δύο σώματα έχον κοινή ταχύτητα. γ) Να πολογίσετε την κοινή ταχύτητα των δύο σωμάτων την στιγμή πο η παραμόρφωση το ελατηρίο θα είναι μέγιστη. δ) Να πολογίσετε τη μέγιστη δναμική ενέργεια πο αποκτά το ελατήριο λόγω της παραμόρφωσης το. Λύση α) Από το σύστημα των δύο σωμάτων και το ελατηρίο πριν την κρούση, ορμή και μηχανική ενέργεια είχε μόνο το Σ Α. 43

p = = 4kg 0 / p = 40kg / αρχ αρχ ( 4 / ) 0kg αρχ αρχ αρχ αρχ αρχ E = K + U = + 0 E = E = 80J β) Από τη στιγμή πο το σώμα Σ Α έρχεται σε επαφή με το ελατήριο, τότε το ελατήριο αρχίζει να σσπειρώνεται. Ατό έχει ως αποτέλεσμα τα σώματα Σ Α και Σ Β να δέχονται δνάμεις από το ελατήριο. Σνεπώς το σώμα Σ Α να επιβραδύνεται και το Σ Β να επιταχύνεται. Όμως για όσο χρόνο η ταχύτητα το Σ Α είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα το Σ Β μειώνεται η απόσταση μεταξύ των σωμάτων (πλησιάζον) και η παραμόρφωση το ελατηρίο μεγαλώνει, σνεπώς αξάνεται και η δναμική ενέργεια λόγω παραμόρφωσης. Κάποια στιγμή οι ταχύτητές τος θα γίνον ίσες, τότε η παραμόρφωση το ελατηρίο θα είναι μέγιστη και φσικά η απόσταση μεταξύ των σωμάτων ελάχιστη. Από τη στιγμή ατή και μετά θα μεγαλώνει η απόσταση των σωμάτων, γιατί η ταχύτητα το Σ Β εξακολοθεί να αξάνεται και το Σ Α εξακολοθεί να μειώνεται. Ατό σνεχίζεται μέχρις ότο το ελατήριο να αποκτήσει το φσικό το σχήμα. Άρα τη στιγμή πο τα δύο σώματα έχον κοινή ταχύτητα το ελατήριο έχει τη μέγιστη παραμόρφωση το. γ) Οι δνάμεις μεταξύ σωμάτων και ελατηρίο είναι εσωτερικές, έτσι σε όλη τη διάρκεια της κρούσης η ορμή το σστήματος διατηρείται. Εφαρμόζομε τη διατήρηση της ορμής για το σύστημα μεταξύ της θέσης πο το σώμα Σ Α πρόκειται να ακομπήσει το ελατήριο και της θέσης πο το ελατήριο έχει ποστεί τη μέγιστη παραμόρφωση. pαρχ 40kg / pαρχ = pτελ p αρχ = (+ )V V = = V =, ( + ) (0kg + 30kg) δ) Το δάπεδο είναι λείο και το ελατήριο ιδανικό, οπότε η μηχανική ενέργεια το σστήματος διατηρείται σε όλη τη διάρκεια το φαινομένο. Εφαρμόζομε τη διατήρηση της μηχανικής ενέργειας για το σύστημα μεταξύ της θέσης πο το σώμα Σ Α πρόκειται να ακομπήσει το ελατήριο και της θέσης πο το ελατήριο έχει ποστεί τη μέγιστη παραμόρφωση. ( + )V = + = + + = + (0kg + 30kg)( / ) Uax = 80J Uax = 60J Eαρχ Eτελ Kαρχ Uαρχ Kτελ Uτελ Kαρχ 0 Uax 44

Άσκηση 7. Τα τρία οχήματα το σχήματος, A, B και Γ κινούνται σε εθύγραμμο ατοκινητόδρομο. Τα μέτρα των ταχτήτων τος είναι = 0, = 30 και 3 = 0 αντίστοιχα, όπως στο σχήμα. Τα οχήματα A και B κινούνται προς την ίδια κατεύθνση και προπορεύεται το όχημα A, ενώ το όχημα Γ έρχεται από την αντίθετη κατεύθνση. Το όχημα B εκπέμπει ήχο σχνότητας f = 930Hz. α) Να πολογίσετε τη σχνότητα το ήχο πο αντιλαμβάνεται ο οδηγός το οχήματος A. β) Να πολογίσετε τη σχνότητα το ήχο πο αντιλαμβάνεται ο οδηγός το οχήματος Γ. γ) τα οχήματα B και Γ διασταρώνονται, οπότε στη σνέχεια απομακρύνεται το ένα από το άλλο, να πολογίσετε τη νέα σχνότητα το ήχο πο αντιλαμβάνεται ο οδηγός το οχήματος Γ. δ) Ο οδηγός το οχήματος Α τη χρονική στιγμή t = 0, ενώ προηγείται το οχήματος Β, πατάει γκάζι και προσδίδει στο όχημά το σταθερή επιτάχνση α= για χρονικό διάστημα 5, παραμένοντας σε όλη τη διάρκεια της επιταχνόμενης κίνησης προπορεόμενος το οχήματος Β. Να σχεδιάσετε το διάγραμμα της σχνότητας πο αντιλαμβάνεται ο οδηγός A σναρτήσει το χρόνο σε αριθμημένος άξονες για το χρονικό διάστημα των 5. Δίνεται η ταχύτητα το ήχο στον αέρα = 340. Οι πράξεις να γίνον με ακρίβεια ενός δεκαδικού ψηφίο. 45

Λύση ± Θα προσαρμόσομε τη σχέση fa = Α f στα δεδομένα κάθε ερωτήματος. Όταν ο παρατηρητής κατεθύνεται προς την πηγή, τότε στον αριθμητή ισχύει το (+), ενώ όταν απομακρύνεται (-). Όταν η πηγή κατεθύνεται προς τον παρατηρητή, τότε στον παρονομαστή ισχύει το (-), ενώ όταν απομακρύνεται το (+). α) Για την περίπτωση το οδηγού Α έχομε: παρατηρητή πο απομακρύνεται από την πηγή με ταχύτητα, και πηγή πο κατεθύνεται προς τον παρατηρητή με ταχύτητα 340 / 0 / f = f = 930Hz f = 960Hz A A 340 / 30 / β) Για την περίπτωση το οδηγού Γ έχομε: παρατηρητή πο κατεθύνεται προς την πηγή με ταχύτητα 3, και πηγή πο κατεθύνεται προς τον παρατηρητή με ταχύτητα + 340 / + 0 / = = = 3 fγ f 930Hz fγ 080Hz 340 / 30 / γ) Στην περίπτωση ατή έχομε: παρατηρητή πο απομακρύνεται από την πηγή με ταχύτητα 3, και πηγή πο απομακρύνεται από τον παρατηρητή με ταχύτητα 340 / 0 / f = f = 930Hz f 804Hz 3 3 3 + 340 / + 30 / 46

δ) Η ταχύτητα το οχήματος Α πο επιταχύνεται δίνεται από τη σχέση: A A ( ) = +αt = 0 + t S.I. µε 0 t 5, Η εξίσωση Doppler για τη σχνότητα το ήχο πο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής Α, ο οποίος απομακρύνεται από την πηγή αλλά η πηγή πλησιάζει προς ατόν, με βάση όσα αναφέρθηκαν παραπάνω για τα πρόσημα, είναι: ( +αt) 340 (0 + t) f = f = f f = 930(S.I.) 340 30 A f = 960 6t (S.I.) με 0 t 5 Τη χρονική στιγμή t = 0 η σχνότητα πο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής Α είναι f = 960Hz, ενώ τη χρονική στιγμή t = 5 η σχνότητα πο αντιλαμβάνεται είναι f = 930Hz. 47

Άσκηση 8. Στο πάνω άκρο κατακόρφο ιδανικού ελατηρίο σταθεράς N k = 400 είναι στερεωμένος δίσκος Α μάζας M = 4Kg. Το κάτω άκρο το ελατηρίο είναι ακλόνητα στερεωμένο στο δάπεδο και ο δίσκος ισορροπεί. Από ύψος h = 0, 5 πάνω από το δίσκο βάλλεται κατακόρφα προς τα κάτω, με αρχική ταχύτητα 0 =, μικρή σφαίρα Β, μάζας = Kg. Η σφαίρα σγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το δίσκο. Μετά την κρούση απομακρύνομε τη σφαίρα ενώ ο δίσκος εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η διάρκεια κρούσης θεωρείται αμελητέα, όπως και οι τριβές και οι αντιστάσεις θεωρούνται αμελητέες. α) Να πολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας το δίσκο και της σφαίρας αμέσως μετά την κρούση. β) Να πολογίσετε το πλάτος ταλάντωσης το δίσκο, αν η σταθερά ταλάντωσης είναι D= k. γ) Να πολογίσετε τον χρόνο στον οποίο θα μηδενιστεί για πρώτη φορά η ταχύτητα το δίσκο. δ) Να βρείτε τον ρθμό μεταβολής της ορμής το δίσκο όταν περνάει από τη θέση ισορροπίας το. Λύση 48

α) Το σώμα Β εκτελεί κατακόρφη κίνηση προς τα κάτω με αρχική ταχύτητα 0. Η μόνη δύναμη πο ασκείται σε ατό είναι το βάρος το και επειδή είναι σντηρητική δύναμη, η μηχανική το ενέργεια διατηρείται. Σνεπώς 0 + gh = = 0 + gh = ( / ) + (0 / ) 0,5 = 3 Η κρούση είναι κεντρική ελαστική με το σώμα Β ακίνητο, οπότε για τις ταχύτητες των σωμάτων μετά την κρούση ισχύον οι σχέσεις: M kg 4kg = = 3 = / + M kg + 4kg kg = = 3 = / + M kg + 4kg Σνεπώς ο δίσκος μετά την κρούση θα κινηθεί κατακόρφα προς τα κάτω με ταχύτητα μέτρο και η σφαίρα θα κινηθεί κατακόρφα προς τα πάνω με ταχύτητα μέτρο. β) Το πλάτος ταλάντωσης θα το βρούμε από την αρχή διατήρησης της ενέργειας για την ταλάντωση. Επειδή ο δίσκος βρίσκεται στη θέση ισορροπίας η ταχύτητα = / πο αποκτά είναι η μέγιστη, σνεπώς η διατήρηση της ενέργειας για την ταλάντωση γράφεται: M DA M 4kg = A = = A = 0, D 400N / γ) Αμέσως μετά την κρούση ο δίσκος βρίσκεται στη θέση ισορροπίας και μέχρι να πάει για πρώτη φορά στη θέση μέγιστης απομάκρνσης, όπο η ταχύτητά το θα είναι μηδέν, Τ απαιτείται χρόνος t = ( ) 4 Όμως η περίοδος ταλάντωσης δίνεται από τη σχέση: M 4kg π T= π = π T= k 400N / 5 Με αντικατάσταση στη σχέση () προκύπτει 49

t = π 0 dp δ) Από τη γενικεμένη μορφή το ο νόμο το Νεύτωνα, Σ F =, προκύπτει ότι ο dt ρθμός μεταβολής της ορμής είναι ίσος με τη σνισταμένη δύναμη. Επειδή στη θέση ισορροπίας ισχύει F 0 Σ =, σνεπάγεται ότι και dp 0 dt =. 50

ΘΕΜΑ Δ Πρόβλημα. Στο πάνω άκρο κατακόρφο ιδανικού ελατηρίο σταθεράς k = 400N / είναι σνδεδεμένος δίσκος μάζας M = 3kg πο ισορροπεί. Το κάτω άκρο το ελατηρίο είναι ακλόνητα στερεωμένο σε δάπεδο. Από ύψος h = 0,8 πάνω από το δίσκο αφήνεται να πέσει ελεύθερα μια σφαίρα μάζας = kg, η οποία σγκρούεται πλαστικά με το δίσκο. α) Να πολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας το σσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. β) Να πολογίσετε το % ποσοστό της κινητικής ενέργειας της σφαίρας, πο έγινε θερμότητα στη διάρκεια της κρούσης. γ) Να αποδείξετε ότι το σσσωμάτωμα θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση και να βρείτε την περίοδο ταλάντωσής το. δ) Να πολογίσετε το πλάτος ταλάντωσής το. Δίνεται η επιτάχνση της βαρύτητας g = 0 και 7 = 4,. 5

Λύση α) Η σφαίρα εκτελεί ελεύθερη πτώση και η μηχανική της ενέργεια διατηρείται. Γράφομε τη διατήρηση της Μηχανικής ενέργειας μεταξύ της θέσης ελεθέρωσης και της θέσης ελάχιστα πριν την κρούση με το δίσκο. Σνεπώς: Ε µηχ, αρχ = Eµηχ, τελ = g h = gh = 0 0,8 = 4. Για την κρούση ισχύει η διατήρηση της ορμής. Γράφομε τη διατήρηση της ορμής μεταξύ των θέσεων ελάχιστα πριν και αμέσως μετά την κρούση. kg 4 = = + = = = M + 3kg + kg pπριν pµετ ά (M )V V V β) Η ενέργεια πο χάθηκε από το σύστημα στη διάρκεια της κρούσης και μεταφέρθηκε στο περιβάλλον, πό μορφή θερμότητας, είναι ίση με τη μείωση της κινητικής ενέργειας: (M + )V kg (4 / ) (3kg + kg) ( / ) Q= Kαρχ Kτελ = Q= Q = 8J J Q = 6J σνεπώς το % ποσοστό θα είναι: 5

Q 6J a% = 00% a% = 00% a% = 75% K 8J αρχ όπο K αρχ η κινητική ενέργεια πριν την κρούση. γ) Μετά την κρούση το σσσωμάτωμα θα ξεκινήσει να ταλαντώνεται γύρω από μια νέα θέση ισορροπίας πο θα είναι χαμηλότερα κατά y από την αρχική θέση. Παίρνομε μια τχαία θέση, πο απέχει y από τη θέση ισορροπίας, σημειώνομε τις δνάμεις και βρίσκομε τη σνισταμένη δύναμη. Σ F= w+ Fελ Ορίζοντας φορά θετική προς τα κάτω παίρνομε: ( ) Σ F = (M + )g - k(y + y + y) Γράφοντας τη σνθήκη ισορροπίας για τη νέα θέση ισορροπίας παίρνομε: Σ F = 0 w + Fελ = 0 (M + )g -k(y + y ) = 0 (M + )g = k(y + y ) () Από το σνδασμό της σχέσης () με τη σχέση () προκύπτει: Σ F = ky Το μείον δηλώνει ότι η σνισταμένη δύναμη έχει τέτοια φορά ώστε να τείνει να επαναφέρει το σώμα στη θέση ισορροπίας το, δηλαδή στη σγκεκριμένη περίπτωση προς τα πάνω. Σνεπώς το σώμα θα κάνει Απλή Αρμονική Ταλάντωση, με σταθερά ταλάντωσης D Η περίοδος ταλάντωσης θα είναι M + 3kg + kg π T= π = π T= k 400N / 5 = k. δ) Το πλάτος ταλάντωσης θα το βρούμε εφαρμόζοντας την διατήρηση της ενέργειας στις ταλαντώσεις. Η μέγιστη δναμική ενέργεια της ταλάντωσης θα είναι ίση με το άθροισμα της κινητικής και δναμικής ενέργειας πο έχει αμέσως μετά την κρούση. Επισημαίνεται ότι αμέσως μετά την κρούση το σσσωμάτωμα βρίσκεται ψηλότερα κατά y από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η απομάκρνση y βρίσκεται από το σνδασμό των σχέσεων πο ισχύον για τις δύο θέσεις ισορροπίας. Για την αρχική θέση ισορροπίας έχομε: 53

Σ F = 0 w + Fελ = 0 Mg - ky = 0 Mg = ky (3) Για τη νέα θέση ισορροπίας ισχύει η σχέση (). Από το σνδασμό των σχέσεων () και (3) παίρνομε: g kg 0 / g = ky y = = y = k 400N / 40 Έτσι η διατήρηση της ενέργειας για την ταλάντωση γράφεται: ka ky (M + )V M + 3kg + kg = + A = y + V = ( ) + ( / ) K 40 400N / 7 A = = 0,3c 40 54

Πρόβλημα. Σώμα Σ, μάζας = = Kg, ισορροπεί δεμένο στην κάτω άκρη κατακόρφο N ελατηρίο σταθεράς k = 900, το οποίο η άλλη άκρη είναι ακλόνητα στερεωμένη σε οροφή. Ένα δεύτερο σώμα Σ μάζας = = Kg, βάλλεται κατακόρφα προς τα πάνω, με ταχύτητα 0 = 6, από σημείο πο βρίσκεται σε απόσταση h =,35 κάτω από το σώμα Σ. Τα δύο σώματα σγκρούονται κεντρικά ελαστικά και στη σνέχεια το σώμα Σ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Να βρείτε: α) το πλάτος της ταλάντωσης το σώματος Σ. β) τη θέση το σώματος Σ τη χρονική στιγμή, πο η κινητική ενέργεια το σώματος Σ γίνεται για η φορά ελάχιστη. γ) το έργο της δύναμης το ελατηρίο καθώς το σώμα Σ κινείται από τη θέση ισορροπίας το μέχρι το ψηλότερο σημείο της τροχιάς το. δ) το μέτρο το ρθμού μεταβολής της ταχύτητας το σώματος Σ, τη στιγμή πο φτάνει στο ψηλότερο σημείο. Οι αντιστάσεις λόγω των τριβών θεωρούνται αμελητέες. Δίνονται η επιτάχνση βαρύτητας g = 0 και π = 0. Λύση 55

α) Το σώμα Σ εκτελεί κατακόρφη κίνηση προς τα πάνω και η μόνη δύναμη πο το ασκείται είναι το βάρος το, άρα η μηχανική το ενέργεια διατηρείται. Γράφομε τη διατήρηση της μηχανικής ενέργειας μεταξύ το σημείο εκτόξεσης και το σημείο ελάχιστα πριν την κρούση. Θεωρούμε επίπεδο μηδενικής δναμικής ενέργειας λόγω βαρτικού πεδίο, εκείνο από το οποίο ξεκινά το σώμα Σ. 0 Ε µηχ, αρχ =Εµηχ, τελ = + gh = ( 0 gh) = (6 / ) (0 / ),35 = 3/ Στη διάρκεια της κρούσης, οι εξωτερικές δνάμεις το σστήματος των δύο σωμάτων, είναι αμελητέες σε σχέση με τις εσωτερικές δνάμεις και κατά σνέπεια ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής. Η κρούση είναι κεντρική ελαστική και τα σώματα έχον ίσες μάζες, άρα ανταλλάσσον ταχύτητες. Σνεπώς η ταχύτητα το Σ μετά την κρούση θα είναι = = 3. Το σώμα Σ θα ξεκινήσει ταλάντωση γύρω από την αρχική θέση ισορροπίας το, άρα η ταχύτητα = 3 πο αποκτά, αποτελεί την μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης. = ax =ω A= 3 () Για την περίοδο της ταλάντωσης ισχύει: kg π π T= π = π T= T= k 900N / 30 5 και π π ω= = rad / ω= 30 rad / T π /5 Με αντικατάσταση στη σχέση () παίρνομε: A = 0, β)το σώμα Σ μετά την κρούση θα αποκτήσει μηδενική ταχύτητα και θα ξεκινήσει ελεύθερη πτώση. Έτσι, η θέση το σε σχέση με το σημείο σύγκροσης κάθε στιγμή θα βρίσκεται από τη σχέση y = gt (), θεωρώντας τη θετική φορά προς τα κάτω. Το σώμα Σ ελαχιστοποιεί την κινητική το ενέργεια για η φορά όταν βρεθεί στην πάνω ακραία θέση. Επειδή ξεκινά από τη θέση ισορροπίας, μέχρι να πάει στη θέση μέγιστης π T απομάκρνσης απαιτείται χρονικό διάστημα t 5 π = = t = 4 4 60 56

Με αντικατάσταση στη σχέση () βρίσκομε: π 60 7 y = 0 ( ) y = γ) Εφαρμόζομε το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας μεταξύ των εξής δύο θέσεων: της θέσης ισορροπίας και το ψηλότερο σημείο της τροχιάς το σώματος K τελ Κ αρχ = WFελ + Ww 0 = WFελ ga WFελ = + ga kg (3 / ) WFελ = + kg (0 / ) 0, WFελ = 3,5J δ) Το μέτρο το ρθμού μεταβολής της ταχύτητας είναι το μέτρο της επιτάχνσης το σώματος στη θέση ατή. Επειδή το σώμα βρίσκεται σε ακραία θέση ατή θα παίρνει τη μέγιστη τιμή της. α=α ax =ωα= (30rad / ) 0, α=α ax = 90 57

Πρόβλημα 3. Στο πάνω άκρο κατακόρφο ιδανικού ελατηρίο σταθεράς k = 80π είναι σνδεδεμένος δίσκος μάζας M = 5kg πο ισορροπεί. Το κάτω άκρο το ελατηρίο είναι ακλόνητα στερεωμένο σε δάπεδο Από ύψος h πέσει ελεύθερα μια σφαίρα μάζας N = 5 πάνω από το δίσκο αφήνεται να = kg, η οποία σγκρούεται μετωπικά με τον δίσκο και η διάρκεια κρούσης είναι αμελητέα. Μετά την κρούση η σφαίρα αναπηδά κατακόρφα και φτάνει σε ύψος h Να πολογίσετε: =, 5 πάνω από την θέση ισορροπίας το δίσκο. α) το μέτρο της ταχύτητας το δίσκο και της σφαίρας αμέσως μετά την κρούση. β) την % μείωση της κινητικής ενέργειας της σφαίρας λόγω της κρούσης. γ) τη θέση το δίσκο τη στιγμή πο η σφαίρα φτάνει στο ύψος h. δ) τη δύναμη επαναφοράς πο ασκείται στο δίσκο σε σχέση με την απομάκρνση από τη θέση ισορροπίας και να τη σχεδιάσετε σε αριθμημένος άξονες. ε) Το μέτρο το ρθμού μεταβολής της δναμικής ενέργειας το ελατηρίο, αμέσως μετά την κρούση. Δίνονται: g = 0 και π = 0. 58

Λύση α) Η σφαίρα εκτελεί ελεύθερη πτώση και η μηχανική της ενέργεια διατηρείται. Γράφομε τη διατήρηση της Μηχανικής ενέργειας μεταξύ της θέσης ελεθέρωσης και της θέσης ελάχιστα πριν την κρούση με το δίσκο. Ε μηχ, πριν την κρούση =Εμηχ, θέση ελεθέρωσης Θεωρούμε επίπεδο μηδενικής δναμικής ενέργειας το σώματος λόγω βαρτικού πεδίο, εκείνο στο οποίο βρίσκεται ο δίσκος πριν την κρούση. = g h = gh = 0 5 = 0 Μετά την κρούση της σφαίρας με το δίσκο ατή κινείται κατακόρφα προς τα πάνω με το βάρος να είναι η μόνη δύναμη πο της ασκείται, άρα η μηχανική της ενέργεια διατηρείται. Γράφομε τη διατήρηση της Μηχανικής ενέργειας μεταξύ της θέσης ελάχιστα μετά την κρούση και της ψηλότερης θέσης πο φτάνει. Θεωρούμε επίπεδο μηδενικής ενέργειας το σώματος στο βαρτικό πεδίο, εκείνο στο οποίο βρίσκεται ο δίσκος πριν την κρούση. ' = gh ' = gh = 0, 5 ' = 5 Γράφομε τη διατήρηση της ορμής το σστήματος δίσκο - σώματος μεταξύ των θέσεων ελάχιστα πριν και ελάχιστα μετά την κρούση. ' + kg 5 / + kg 0 / pπριν = pµετ ά =Μ' ' ' = = ' = 3 Μ 5kg β) Κ Κ Κ a % = 00% = 00% = ( ) 00% Κ Κ πριν πριν µετά πριν (5 / ) a % = ( ) 00% (0 / ) 59

a % = 75% γ) Η ταχύτητα της σφαίρας καθώς ανέρχεται περιγράφεται από τη σχέση: = gt () Στο ψηλότερο σημείο έχομε = 0, οπότε η σχέση () δίνει: 0 = 5 0 t t 0,5 αν αν = Υπολογίζομε την περίοδο της ταλάντωσης το δίσκο: M 5kg T = π = π T = 0,5 k 80 πν/ Άρα τη στιγμή πο η σφαίρα φτάνει στο ύψος h, ο δίσκος έχει εκτελέσει μια πλήρη ταλάντωση, βρίσκεται στη θέση ισορροπίας το και κατεθύνεται προς τα κάτω. δ) Η δύναμη επαναφοράς ενός σώματος πο ταλαντώνεται δεμένο στο άκρο ελατηρίο δίνεται από τη σχέση : Fεπαν = ky µε A y A () Το πλάτος ταλάντωσης βρίσκεται με εφαρμογή της διατήρησης της ενέργειας για την ταλάντωση M ka 5kg 3 = Α= = 3 Α= k 80π N / 4π Άρα η σχέση () γίνεται: 3 3 F = 80 π y (SI) µε επαν y 4π 4π Η γραφική παράσταση φαίνεται στο σχήμα πο ακολοθεί. Για Για 3 y= παίρνομε F 4 = επαν 60 πν π 3 y= παίρνομε F 4 = επαν 60 πν π 60

ε) Ο ρθμός μεταβολής της δναμικής ενέργειας το ελατηρίο στη θέση ατή θα είναι: Uελ Fελ x = = Fελ= ky ' t t (3) Το y δηλώνει την επιμήκνση το ελατηρίο από το φσικό το μήκος. Για τον πολογισμό το γράφομε τη σνθήκη ισορροπίας για το δίσκο. Mg 5kg 0 / W + Fελ = 0 Mg ky = 0 y = = y = k 80π N / 6 Με αντικατάσταση στη σχέση (3) παίρνομε: Uελ N Uελ J = (80 π ) ( ) 3 = 50 t 6 t 6

Πρόβλημα 4. Ένα σώμα μάζας κινούμενο σε οριζόντιο επίπεδο σγκρούεται με ταχύτητα μέτρο 0 = κεντρικά και ελαστικά με σώμα μάζας = 3Kg πο κινείται με ταχύτητα μέτρο = 5 σε αντίθετη κατεύθνση από το. Η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα. Αμέσως μετά την κρούση το σώμα μάζας κινείται με αντίθετη φορά από την αρχική το και με ταχύτητα μέτρο ' = 5. α) Να προσδιορίσετε τη μάζα. β) Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας το σώματος μάζας αμέσως μετά την κρούση. γ) Να βρεθεί το % ποσοστό της μεταβολής της κινητικής ενέργειας το σώματος μάζας σε σχέση με την αρχική κινητική το ενέργεια, λόγω της κρούσης. δ) Να πολογισθεί πόσο θα απέχον τα σώματα όταν σταματήσον. Δίνεται ότι ο σντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ το επιπέδο και κάθε σώματος είναι µ= 0,5. Δίνεται g = 0. Λύση α) Έχομε κεντρική ελαστική κρούση δύο σωμάτων πο είναι και τα δύο σε κίνηση. Εφαρμόζομε τος αντίστοιχος τύπος το σχολικού βιβλίο. = + + + () = + + + () Οι παραπάνω σχέσεις είναι αλγεβρικές, λαμβάνονται δηλαδή πόψη τα πρόσημα των ταχτήτων. Στην περίπτωσή μας έχομε ορίσει θετική φορά προς τα δεξιά, δηλαδή τη φορά της ταχύτητας. Με αριθμητική αντικατάσταση στην σχέση () παίρνομε: 6

= + 5 = 0 + ( 5) ( SI) + + + + 5(+ ) = 0 40 3 = 7 = 7Kg β) Με αριθμητική αντικατάσταση στην σχέση () παίρνομε: 7 3 7 = + = 0 + ( 5) (SI) = 0 0 0 + + γ) = = = = Κ Κ ( τελ) Κ( αρχ) Κ( τελ) a % % % ( )% a % ( )% Κ ( αρχ) Κ( αρχ) Κ( αρχ) (5 / ) a % = ( )% = ( )% a % = 75% (0 / ) Το (-) δηλώνει ότι η ενέργειά το μειώθηκε. δ) Για τη δύναμη της τριβής πο αναπτύσσεται στα δύο σώματα ισχύει: Τ = µν = µ g και Τ = µν = µ g. Παρατηρούμε ότι κατά τη διάρκεια της κίνησης η κινητική ενέργεια το σώματος ελαττώνεται μόνο λόγω το έργο της τριβής. Μέσω το έργο της τριβής αφαιρείται κινητική ενέργεια από τα σώματα και μετατρέπεται σε θερμική, μέχρις ότο όλη η κινητική ενέργεια γίνει θερμική και τα σώματα σταματήσον. Σνεπώς από την αρχή διατήρησης της ενέργειας, έχομε: Για το σώμα μάζας το έργο της τριβής θα είναι ίσο με την κινητική ενέργεια: 63

(5 / ) T d = µ gd = d = = d =,5 µ g 0,5 0 / Ομοίως για το σώμα μάζας το έργο της τριβής θα είναι ίσο με την κινητική ενέργεια: (0 / ) Td = µ gd = d = = d = 40 µ g 0,5 0 / Άρα η μεταξύ τος απόσταση είναι: d = d+ d =,5 + 40 d = 4,5 64

Πρόβλημα 5. Ένα σώμα Σ με μάζα = Kg είναι δεμένο με αβαρές και μη εκτατό νήμα μήκος L =, 8, το οποίο η άλλη άκρη είναι ακλόνητα στερεωμένη, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αρχικά το νήμα είναι οριζόντιο. Αφήνομε ελεύθερο το σώμα Σ να κινηθεί. Το σώμα Σ μόλις το νήμα γίνει κατακόρφο, σγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με σώμα Σ μάζας =, πο είναι ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το σώμα Σ μετά την κρούση σναντά και σγκρούεται με το ελεύθερο άκρο οριζόντιο ιδανικού ελατηρίο σταθεράς k = 00 N /, το οποίο η άλλη άκρη είναι ακλόνητα στερεωμένη, όπως στο σχήμα. Το σώμα Σ σμπιέζει το ελατήριο και στη σνέχεια σναντά εκ νέο το σώμα Σ και σγκρούεται μετωπικά και ελαστικά για δεύτερη φορά με ατό. Να θεωρηθούν οι τριβές και η αντίσταση το αέρα αμελητέες. α) Να βρείτε το μέτρο της τάσης το νήματος ελάχιστα πριν τη σύγκροση το σώματος Σ με το σώμα Σ. β) Να βρείτε τα μέτρα των ταχτήτων των δύο σωμάτων Σ και Σ αμέσως μετά την κρούση. γ) Να βρείτε για πόσο χρόνο θα είναι σε επαφή το σώμα Σ με το ελατήριο. δ) Να βρείτε το μέγιστο ύψος πο θα φτάσει το σώμα Σ πο είναι δεμένο με το νήμα μετά τη δεύτερή το κρούση με το σώμα Σ. Δίνεται η επιτάχνση της βαρύτητας: g = 0. 65