ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 15780 ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΑΘΗΝΑ Δδά Διδάκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών Επιτημών, Σολή Μηανικών Μεταλλείων Μεταλλουργών Κωνταντίνος Λουπαάκης, Λέκτορας ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών Επιτημών, Σολή Μηανικών Μεταλλείων Μεταλλουργών Διαφάνειες Διαλέξεων Κωνταντίνου Λουπαάκη
Βαικές Έννοιες της Μηανικής Συνεούς Μέου
Οριμός Η Μηανική του Συνεούς Μέου είναι ο κλάδος της μηανικής που αολείται λί με τις τάεις που αναπτύονται τα τερεά, υγρά και αέρια, καθώς επίης και με τις παραμορφώεις ή την ροή αυτών των υλικών. Ο όρος ' υνεές ς' αναφέρεται φρ την υπόθεη ότι παραλείποντας την 'δομή' των υλικών μπορούμε να τα παρατήουμε με ένα υνεές μέο ωρίς κενά. Tα εδάφη ή οι βράοι, μπορεί να μην έουν τόο μεγάλη πυκνότητα τη δομή τους αλλά μπορούν να θεωρηθούν και αυτά ως υνεές μέον εάν υγκριθεί η κλίμακα της δομής τους ως προς την έκταη της γεωμετρίας του προβλήματος που εξετάζουμε.
Στις περιότερες περιπτώεις της μηανικής του υνεούς γίνονται δυο ακόμη παραδοές, ότι το υλικό είναι ομοιογενές και ιότροπο. Συνέεια. Ένα υλικό είναι υνεές εάν γεμίζει απόλυτα τον ώρο που καταλαμβάνει, ωρίς να αφήνει πόρους ή κενό ώρο και εάν, επιπλέον, οι ιδιότητές δό του περιγράφονται από υνεείς υναρτήεις. Ομοιογένεια. Ένα ώμα είναι ομοιογενές όταν έει τις ίδιες ιδιότητες ε όλα τα ημεία του. Ιοτροπία. Ένα ώμα είναι ιότροπο ως προς κάποιες ιδιότητες όταν αυτές οι ιδιότητες είναι ίδιες ε όλες τις διευθύνεις. Είναι δυνατόν να έουμε ένα υνεές ώμα ωρίς να είναι ομογενές ή ιότροπο, ή να έουμε ένα ώμα υνεές και ομογενές ωρίς να είναι ιότροπο.
Βαθμωτά και διανυματικά μεγέθη Βαθμωτό ή μονόμετρο ονομάζεται το μέγεθος το οποίο περιγράφεται πλήρως αναφέροντας έναν και μόνο αριθμό, που τον ονομάζουμε μέτρο. Το μέτρο είναι ανεξάρτητο από το ύτημα αναφοράς, π.. η θερμοκραία, ρ, η πυκνότητα ενός υνεούς ώματος κ.ά. Το διάνυματικό ονομάζεται το μέγεθος το οποίο έει μέτρο, διεύθυνη και φορά (κατεύθυνη) και εξαρτάτε από το ύτημα αναφοράς, π.. η ταύτητα, ηδύναμη.
Τανυτές Τα βαθµωτά και τα διανυματικά μεγέθη είναι δυο ειδικές περιπτώεις μιας πιο γενικής έννοιας, που ονοµάζεται τανυτής τάξεως n. Ο προδιοριµός των τανυτών ε οποιοδήποτε ύτηµα υντεταγμένων τριών διατάεων απαιτεί 3 n αριθµούς, µ που ονοµάζονται υνιτώες του τανυτή. Τα βαθµωτά µεγέθηείναι ί τανυτέςμηδενικής τάξεως (0) µε μια υνιτώα, τα διανύµατα είναι τανυτές πρώτης (1) τάξεως µε 3 υνιτώες και οι τάεις είναι τανυτές δεύτερης () τάξης με εννέα υνιτώες. Αντίτοια ένας τανυτής τρίτης τάξης έει 7 υνιτώες και τέταρτης τάξης έει 81 υνιτώες.
Οι τάεις που ενεργούν ε ένα ημείο Ο ενός τριδιάτατου ώματος ορίζονται από 9 υνιτώες, 3 για κάθε έδρα που διέρεται το ημείο και ορίζεται από το ύτημα αναφοράς.
Κύριες Τάεις Επίπεδο Κύριων Τάεων Κύριες τάεις είναι οι τάεις που ενεργούν κάθετα ε ένα επίπεδο και δεν αναπτύουν διατμητικές τάεις. Αντίτοια, επίπεδο κύριων τάεων είναι το επίπεδο το οποίο οι δρώες τάεις δεν αναπτύουν διατμητικές τάεις.
Ανάλυη των Τάεων Οι δυνάμεις που ακούνται ε ένα ώμα διακρίνονται ε εξωτερικές οι οποίες δρούν το ύνορό του ή τη μάζα του λόγω πεδίου, και ε εωτερικές οι οποίες αναπτύονται ε τμήμα του ώματος κατά την υπόθεη αποκοπής του από το υπόλοιπο ώμα. Οι εξωτερικές δυνάμεις διακρίνονται ε μαζικές και ε επιφανειακές. Οι μαζικές δυνάμεις ενεργούν εξ αποτάεως και κατανέμονται τον όγκο του ώματος. Η ανάπτυξη αυτών των δυνάμεων οφείλεται την παρουία άλλων ωμάτων ή ε αίτια που γενικά ονομάζονται πεδία. Στα προβλήματα της Γεωτενικής Μηανικής οι μαζικές δυνάμεις λόγω βαρύτητας παίζουν ημαντικό ρόλο καθώς το ίδιο βάρος των γαιών ή βράων αποτελεί την κύρια φόρτιη που δέονται τα Γεωτενικά έργα. Στις μαζικές δυνάμεις περιλαμβάνονται ακόμα οι δυνάμεις που αναπτύονται εξ αδρανείας κατά την ταλάντωη λόγω ειμού, καθώς επίης και η φυγόκεντρος δύναμη που αναπτύεται τη μάζα ενός περιτρεφόμενου ώματος.
Οι επιφανειακές δυνάμεις ενεργούν το ώμα εξ επαφής με άλλα ώματα και είναι κατανεμημένες ε τμήματα του υνόρου τους εκφραζόμενες αν δυνάμεις ανά μονάδα εμβαδού. Οι εωτερικές δυνάμεις προκύπτουν από την θεώρηη υποθετικής τομής ενός ώματος ε δυο τμήματα και οφείλονται τις μαζικές και επιφανειακές δυνάμεις που ακούνται το αρικό ώμα. Οι τάεις που ενεργούν ε τρία ορθογώνια επίπεδα διερόμενα από ημείο Ο
Προήμανη των Τάεων Οι θετικές φορές των τάεων είναι ίδιες με τις θετικές φορές των αντίτοιων αξόνων. Αυτήή η προήμανη υνεπάγεται ότι οι θετικές ορθές τάεις ακούν εφελκυμό. Έτι προκύπτει ο κανόνας προήμανης των τάεων ύμφωνα με τον οποίο οι εφελκύτηκες τάεις είναι θετικές ενώ οι θλιπτικές τάεις είναι αρνητικές. Οι διατμητικές τάεις, μη έοντας κάποιο φυικό νόημα η φορά τους, προημαίνονται κατά μαθηματικά ύμφωνο τρόπο με τις ορθές τάεις όπως αναφέρθηκε πιο πάνω.
Προήμανη των Τάεων την Γεωτενική Μηανική Στη Γεωτενική Μηανική το είδος των τάεων που κυριαρεί είναι οι θλιπτικές τάεις. Για να μην προκύπτουν αρνητικά προημαμένες τάεις την ορίζονται ως θετικές οι ορθές τάεις που είναι θλιπτικές. Η προήμανη των διατμητικών τάεων προαρμόζεται ανάλογα. Προκύπτει λοιπόν, ως κανόνας προήμανης, ότι: ``Στην Γεωτενική Μηανική οι τάεις που ενεργούν τις θετικές έδρες του κύβου έουν φορά αντίθετη της θετικής φοράς των αντίτοιων αξόνων του`` υτήματος αναφοράς``.
Κύκλοι MOHR Ο γερμανός Otto Mohr μέω των ομώνυμων κύκλων έδωε την δυνατότητα γραφικής απεικόνιης των τάεων. Μέω των κύκλων Mohr δύνεται η δυνατότητα να προδιοριτούν οι τάεις που αναπτύονται ε ένα επίπεδο οποιουδήποτε υτήματος αναφοράς όταν οι ακούμενες εξωτερικές τάεις ανήκουν ε διαφορετικό ύτημα.
Γεωμετρικά Στοιεία Κύκλων Mohr Κέντρο κύκλου Mohr κεντρο + = Κέντρο κύκλου Mohr Ακτίνα κύκλου Mohr ί τ να ακτ + = + ± + Κύριες τάεις 1, +τ ± =
Με τη άραξη του κύκλου προδιορίζονται τα ημεία τομής του κύκλου και του άξονα των. Τα δύο ημεία τομής παριτούν τις δύο κύριες τάεις, δηλαδή τις ορθές τάεις τις διευθύνεις των οποίων οι διατμητικές τάεις είναι ίεςμε0. Οι επίκεντρες γωνίες που ορίζονται μεταξύ διαμέτρων του κύκλου Mohr είναι διπλάιες των γωνιών που ηματίζονται μεταξύ των διευθύνεων τις οποίες αντιτοιούν.
Στροφή Αξόνων Στροφή Αξόνων θ τ θ sin cos x + + + = θ τ θ sin cos + = θ τ θ τ cos sin + =
Άκηη 1
Άκηη
Άκηη η3
Άκηη 4