HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 19/04/2016 Συνδυαστική Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 2 Πείραµα Σύνθετο Πείραµα Πείραµα:Οποιαδήποτε διαδικασίαπου µπορεί να οδηγήσει σε ένα αριθµό παρατηρήσιµων αποτελεσµάτων. Παραδείγµατα πειραµάτων και αντίστοιχα ενδεχόµενα αποτελέσµατα: Πείραµα: Ρίψη ενός νοµίσµατος Πιθανά αποτελέσµατα: {Κ, Γ} Πείραµα: Ρίψη ενός ζαριού Πιθανά αποτελέσµατα:{1,2,3,4,5,6} Ένα σύνθετοπείραµα που µπορεί να θεωρηθεί ως η σύνθεση επιµέρους απλούστερων πειραµάτων Πχ., «η ρίψη ενός ζαριού και ενός κέρµατος» είναι ένα σύνθετο πείραµα που µπορεί να θεωρηθεί ότι προκύπτει από την σύνθεση των πειραµάτων «ρίψη ενός ζαριού» και «ρίψη ενός κέρµατος». 3 4 1
Παραδείγµατα Σε ένα διαγωνισµό στον οποίο συµµετέχουν 100 διαγωνιζόµενοι,πόσα διαφορετικά top-10 αποτελέσµατα µπορούν να προκύψουν; Έχουµε µια συλλογή από 100 διαγωνιζόµενους. Το πείραµαείναι η επιλογή 10 από αυτούς. Τα αποτελέσµατά του είναι όλες οι ενδεχόµενες «διαφορετικές» δεκάδες. Εάν ένα password έχει 6-8 γράµµατα ή/καιψηφία, πόσα «διαφορετικά» passwords µπορούµε να κατασκευάσουµε; Έχουµε µια συλλογή από 24 γράµµατα και 10 ψηφία. Το πείραµαείναι η επιλογή 6-8 από αυτά για το σχηµατισµό ενός password. Τα αποτελέσµατάτου είναι όλα τα ενδεχόµενα «διαφορετικά» passwords. Η έννοια της «διαφορετικότητας» είναι κι αυτή, αντικείµενο ορισµού. Συνδυαστική Η µελέτη στρατηγικών προκειµένου να µπορούµε να εκτιµήσουµε το πλήθος των ενδεχόµενων αποτελεσµάτων ενός πειράµατος (απλού ή σύνθετου). 5 6 Που το πάµε Θα προσπαθούµε να «διασπάµε» ένα σύνθετο πείραµα σε απλούστερα. Θα διατυπώσουµε κανόνεςγια το πώς εξαρτάται το πλήθος των αποτελεσµάτων των σύνθετων πειραµάτων από το πλήθος των απλούστερων. Στόχος είναι,για τα απλούστερα πειράµατα, να µπορούµε πολύ εύκολα να προσδιορίσουµε το πλήθος των ενδεχόµενων αποτελεσµάτων τους Θα δούµε µε πόσους τρόπους µπορούµε να εκτελέσουµε µια σειρά από «πρότυπα» πειράµατα ιαίρει και βασίλευε (divide and conquer) Βασική ιδέα Τα ενδεχόµενα αποτελέσµατα ενός οποιουδήποτε πειράµατος σχηµατίζουν σύνολα εποµένως, θα µπορούσαµε να ανατρέξουµε στη θεωρία συνόλων για να βρούµε τα κατάλληλα εργαλεία 7 8 2
Τι (µπορούµε να) ξέρουµε ήδη 1 Εάν A είναι το σύνολο των ενδεχόµενων αποτελεσµάτων του πειράµατος 1, B είναι το σύνολο των ενδεχόµενων αποτελεσµάτων του πειράµατος 2, τότε το σύνθετο πείραµα «εκτέλεσε το πείραµα 1 ή το πείραµα 2» έχει ως ενδεχόµενα αποτελέσµατα την ένωση των ενδεχόµενων αποτελεσµάτων των πειραµάτων 1 και 2. Επίσης, γνωρίζουµε ότι σε αυτή την περίπτωση A B = A + B - Α B Έστω ότι θέλουµε να βρούµε πόσοι από εσάς έχετε βάρος περισσότερο από 70 κιλά ή ύψος περισσότερο από 1.80. Πείραµα 1: διάλεξε κάποιον µε βάρος > 70 κιλά, Ενδεχόµενα αποτελέσµατα:το σύνολο Α που περιλαµβάνει όσους έχουν βάρος > 70 κιλά Πείραµα 2: διάλεξε κάποιον µε ύψος > 1.80 Ενδεχόµενα αποτελέσµατα:το σύνολο Β που αποτελείται από όσους έχουν ύψος > 1.80, τότε το σύνθετο πείραµα έχει ως ενδεχόµενα αποτελέσµατα τα στοιχεία του συνόλου A B, ο πληθικός αριθµός του οποίου είναι A B = A + B - Α B 9 10 2 Έστω ότι ρίχνουµε ένα ζάρι. Θέλουµε να βρούµε πόσα είναι τα δυνατά αποτελέσµατα έτσι ώστε το αποτέλεσµα της ρίψης να είναι περιττός ή πρώτος. Πείραµα 1: Το ζάρι έφερε περιττό αριθµό Ενδεχόµενα αποτελέσµατα: {1, 3, 5} Πείραµα 2: Το ζάρι έφερε πρώτο αριθµό Ενδεχόµενα αποτελέσµατα: {2, 3, 5} τότε το σύνθετο πείραµα έχει πλήθος ενδεχόµενων αποτελεσµάτων {2, 3, 5} {1, 3, 5} = {2, 3, 5} + {1, 3, 5} - {3, 5} = 3+3-2=4. Γνωρίζουµε επίσης ότι αν τα Α και Β είναι ξένα, τότε η τοµή τους είναι το κενό σύνολο και εποµένως A B = A + B 11 12 3
3 Τι (µπορούµε να) ξέρουµε ήδη Έστω ότι ρίχνουµε ένα ζάρι. Θέλουµε να βρούµε πόσα είναι τα δυνατά αποτελέσµατα έτσι ώστε το αποτέλεσµα της ρίψης να είναι µεγαλύτερο του 4 ή µικρότερο του 3. Πείραµα 1: Το ζάρι έφερε αριθµό > 4 Ενδεχόµενα αποτελέσµατα: {5, 6} Πείραµα 2: Το ζάρι έφερε αριθµό < 3 Ενδεχόµενα αποτελέσµατα: {1, 2} τότε το σύνθετο πείραµα έχει πλήθος πιθανών αποτελεσµάτων {5,6} {1, 2} = {5,6} + {1, 2} -0 = 2+2=4. Εάν Aείναι το σύνολο των ενδεχόµενων αποτελεσµάτων του πειράµατος 1, Bτο σύνολο των ενδεχόµενων αποτελεσµάτων του πειράµατος 2, τότε το σύνθετο πείραµα «εκτέλεσε το πείραµα 1 ΚΑΙµετά το πείραµα 2» έχει ως ενδεχόµενα αποτελέσµατα το καρτεσιανό γινόµενο των αποτελεσµάτων των πειραµάτων 1 και 2. Επίσης, γνωρίζουµε ότι σε αυτή την περίπτωση AxB = A B 13 14 3 Κανόνες αθροίσµατος και γινοµένου Έστω ότι ρίχνουµε ένα ζάρι και µετά ένα νόµισµα. Θέλουµε να βρούµε πόσα είναι όλα τα δυνατά αποτελέσµατα που µπορούµε να έχουµε. Πείραµα 1: Ρίψη ζαριού Ενδεχόµενα αποτελέσµατα: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Πείραµα 2:Ρίψη νοµίσµατος, Ενδεχόµενα αποτελέσµατα: {Κ, Γ} τότε το σύνθετο πείραµα έχει πλήθος πιθανών αποτελεσµάτων {1, 2,3, 4, 5,6} x {K, Γ} = 6 2 = 12. Έστω πείραµα 1 µε σύνολο αποτελεσµάτων Α και πείραµα 2 µε σύνολο αποτελεσµάτων Β Κανόνας του αθροίσµατος: Το σύνθετο πείραµα πείραµα 1 Ήπείραµα 2 έχει A B = A + B - Α B ενδεχόµενα αποτελέσµατα Κανόνας του γινοµένου: Το σύνθετο πείραµα πείραµα 1 ΚΑΙπείραµα 2 έχει AxB = A B ενδεχόµενα αποτελέσµατα. 15 16 4
Έστωότιτοόνοµαµίαςµεταβλητήςµπορείναείναιένα γράµµα ή ένα γράµµα ακολουθούµενο από ένα αριθµητικό ψηφίο. Πόσα διαφορετικά ονόµατα µεταβλητών υπάρχουν; Έστω το σύνθετο «πείραµα»δηµιουργίας του ονόµατος µίας µεταβλητής. Μπορούµε να το θεωρήσουµε ως τη σύνθεση δύο πειραµάτων: Πείραµα Α: Σχηµατισµός ονόµατος µεταβλητής µε ένα γράµµα. Πείραµα Β: Σχηµατισµός ονόµατος µεταβλητής µε ένα γράµµα ακολουθούµενο από ένα αριθµητικό ψηφίο. Σύµφωναµετοκανόνατουαθροίσµατος, αν θεωρήσουµε ότι το πείραµα Α έχει Α πιθανά αποτελέσµατα και το πείραµα Β έχει Β πιθανά αποτελέσµατα, τότε υπάρχουν A B = A + B - Α B πιθανάαποτελέσµαταότανγίνεταιτο πείραµα Α ή το πείραµα Β (= το σύνθετο πείραµα). Το πείραµα Α έχει 24 πιθανά αποτελέσµατα (το όνοµα της µεταβλητής µπορεί να είναι οποιοδήποτε από τα 24 γράµµατα). 17 18 ιατύπωση του προβλήµατος Σε κάθε εκτέλεση του πειράµατος Β θα εκτελεστούν ΚΑΙ τα δύο παρακάτω πειράµατα: ΠείραµαΒ 1 :Τοπρώτοσύµβολοτουονόµατοςτης µεταβλητής θα είναι ένα γράµµα. ΠείραµαΒ 2 :Τοδεύτεροσύµβολοτουονόµατοςτης µεταβλητής θα είναι ένα αριθµητικό ψηφίο. Σύµφωνα µε το κανόνα του γινοµένου: Αν θεωρήσουµε ότι το πείραµα B 1 έχει n 1 πιθανά αποτελέσµατα και το πείραµα Β 2 έχει n 2 πιθανά αποτελέσµατα, τότε υπάρχουν n 1 n 2 πιθανά αποτελέσµατα όταν γίνονται και τα δύο αυτά πειράµατα. ιατύπωση του προβλήµατος Τοπείραµα B 1 έχει 24 πιθανάαποτελέσµατα (τοπρώτο σύµβολο του ονόµατος της µεταβλητής µπορεί να είναι οποιοδήποτε από τα 24 γράµµατα). Τοπείραµα B 2 έχει 10 πιθανάαποτελέσµατα (τοδεύτερο σύµβολο του ονόµατος της µεταβλητής µπορεί να είναι οποιοδήποτε από τα 10 ψηφία). Συνεπώς το πείραµα Β έχει 24 10=240 πιθανά αποτελέσµατα. Άρα υπάρχουν 24+240=264 διαφορετικά ονόµατα µεταβλητών που ικανοποιούν τις παραπάνω συνθήκες. Προσέξτε ότι Α B =0 19 20 5
Κι άλλο παράδειγµα Μερικοί υποθετικοί κανόνες σχετικά µε την δηµιουργία passwords: Έστω passwords µε µήκος 2 χαρακτήρες. Κάθε χαρακτήρας µπορεί να είναι ένα από τα γράµµατα a-z, ένα ψηφίο 0-9, ή ένα από τα ακόλουθα 11σύµβολα στίξης ~!@#$%^&*( ) Κάθε password πρέπει να περιλαµβάνει τουλάχιστον ένα ψηφίο ή σύµβολο. Πόσα διαφορετικά passwords µπορούµε να δηµιουργήσουµε µε βάση τους παραπάνω κανόνες; ιατύπωση (Ι) του προβλήµατος Ένα νόµιµο password έχει ένα ψηφίο ή ένα σηµείο στίξης στη θέση 1 ήστη θέση 2. Α = passwords µε ψηφίο ή σύµβολο στη θέση #1και οτιδήποτε στη θέση #2 A = (10+11) (10+11+26) = 21 47 = 987 B = passwords µε ψηφίο ή σύµβολο στη θέση #2και οτιδήποτε στη θέση #1 B = (10+11+26) (10+11) = 47 21 = 987 Α B = passwords µε ψηφίο ή σύµβολο και στις δύο θέσεις Α B = (10+11) (10+11) = 441 Μας ενδιαφέρει να βρούµε το A B = A + B - Α B = 987+987 441 = 1,533 21 22 ιατύπωση (ΙΙ) του προβλήµατος Και τώρα, µερικά ενδιαφέροντα πειράµατα (# passwords µε ψηφίο ή σύµβολο στη θέση #1 και γράµµα στη θέση 2) = (10+11) 26 = 21x26 = 546 ( ουσιαστικά, το Α-Β ) (# passwords µε γράµµα στη θέση 1 και ψηφίο ή σύµβολο στη θέση #2) = 26 (10+11) = 26x21 = 546 ( ουσιαστικά, το Β-Α ) (# passwords µε ψηφίο ή σύµβολο και στις δύο θέσεις)= (10+11) (10+11) = 441 ( ουσιαστικά, το Α B ) Εποµένως, A B = A-Β + B-Α + Α B = 546+546+441 = 1,533 23 Θα διερευνήσουµε το πλήθος ενδεχοµένων αποτελεσµάτων κάποιων «συγκεκριµένων» σύνθετων πειραµάτων. Για τη διερεύνηση αυτή, θα θεωρήσουµε: Ένα σύνολο από n αντικείµενα τοποθετηµένα σε ένα «σακούλι» Την επιλογή k από τα n αντικείµενα Θα µετρήσουµε τα δυνατά αποτελέσµατα, σε σχέση µε: Το πλήθος n των διαθέσιµων αντικειµένων Το πλήθος k των αντικειµένων που επιλέγουµε Κατά πόσον τα n αντικείµενα είναι διαφορετικά µεταξύ τους ή όχι. Το κατά πόσον κάθε φορά που επιλέγουµε ένα από τα αντικείµενα στο σακούλι, αυτό το ξαναρίχνουµε µέσα στο σακούλι ή το αφήνουµε στην άκρη (επανάθεση ή όχι) Κατά πόσον η σειρά µε την οποία επιλέγουµε τα αντικείµενα µας ενδιαφέρει ή όχι. 24 6
Μεταθέσεις Μεταθέσεις 1 η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: n διαθέσιµα αντικείµενα Τα n αντικείµενα είναι διαφορετικά µεταξύ τους. Επιλέγουµε k=n (δηλαδή όλα) τα αντικείµενα Κάθε φορά που επιλέγουµε ένα αντικείµενο, ΕΝ το ξαναρίχνουµε µέσα στο σακούλι (χωρίς επανάθεση) Μας ενδιαφέρει η σειρά µε την οποία επιλέγουµε τα αντικείµενα. Μεπόσουςτρόπουςµπορούµεεκτελέσουµε αυτό το πείραµα; n πειράµατα i-πείραµα : «επέλεξε τo i αντικείµενο» Με βάση τον κανόνα του γινοµένου έχουµε: Γιατην 1ηεπιλογή αντικειµένουέχουµε n ενδεχόµενα, Γιατη 2ηεπιλογή αντικειµένουέχουµε n-1 ενδεχόµενα,, καιγιατην n-οστή επιλογή αντικειµένου έχουµε 1 ενδεχόµενο. Με βάση τον κανόνα του γινοµένου έχουµε: n!= 1 2 3 (n-1) n διαφορετικά ενδεχόµενα. 25 26 Τo n! µεγαλώνει πολύ γρήγορα µε το n Μεταθέσεις n n! 0 1 1 1 2 2 3 6 4 24 5 120 6 720 7 5,040 9 362,880 10 3,628,800 20 2,432,902,008,176,640,000 27 Ορισµός: Μία µετάθεση (permutation) ενός συνόλου S που περιέχει n στοιχεία είναι µία οποιαδήποτε διατεταγµένη n-άδα των στοιχείων του S. Προσέξτε ότι µιλάµε για ένα σύνολο S, κι εποµένως τα στοιχεία του είναι εξ ορισµού διαφορετικά! Εποµένως, το πλήθος των µεταθέσεων ενός συνόλου S που έχει n στοιχεία είναι ίσο µε το πλήθος των διαφορετικών διατεταγµένων n- άδων που µπορούµε να δηµιουργήσουµε. Αυτό είναι ισοδύναµο µε το πρόβληµα της ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ 1 Εποµένως, το πλήθος µεταθέσεων ενός συνόλου n στοιχείων είναι n!= 1 2 3 n 28 7
Έστω ότι κάποιος έχει να διεκπεραιώσει τις εξής εργασίες: {Ε1, Ε2, Ε3, Ε4, Ε5}. Αν δεν υπάρχει καµία χρονική εξάρτηση µεταξύ τους, µε πόσους διαφορετικούς τρόπους µπορεί να το κάνει αυτό; Μας ενδιαφέρει το πλήθος των διαφορετικών µεταθέσεων των n=5 εργασιών. Αυτό είναι n!=5!= 1 2 3 4 5 =120. ιατάξεις 2 η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: n διαθέσιµα αντικείµενα Τα n αντικείµενα είναι διαφορετικά µεταξύ τους. Επιλέγουµε k<=n τα αντικείµενα Κάθε φορά που επιλέγουµε ένα αντικείµενο, ΕΝ το ξαναρίχνουµε µέσα στο σακούλι (χωρίς επανάθεση) Μας ενδιαφέρει η σειρά µε την οποία επιλέγουµε τα αντικείµενα. Μεπόσουςτρόπουςµπορούµεεκτελέσουµε αυτό το πείραµα; (ότι είναι µε κόκκινο είναι η διαφοροποίηση από την ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1) 29 30 ιατάξεις kπειράµατα i-πείραµα : «επέλεξε τo i αντικείµενο» Με βάση τον κανόνα του γινοµένου έχουµε: Γιατην 1ηεπιλογή αντικειµένουέχουµε n ενδεχόµενα, Γιατη 2ηεπιλογή αντικειµένουέχουµε n-1 ενδεχόµενα,, καιγιατην k-οστή επιλογή αντικειµένου έχουµε (n-k+1) ενδεχόµενα. Συνεπώς υπάρχουν P(n, k)=n (n-1) (n-2) (n-k+1) διαφορετικά αποτελέσµατα. Σηµειώνουµε ότι: ιατάξεις P( n, k) = n ( n 1) ( n 2)...( n k+ 1) ( n k) ( n k 1)... 2 1 n! = n ( n 1) ( n 2)... ( n k+ 1) = ( n k ) ( n k 1)... 2 1 ( n k )! Άρατοπλήθοςτων δυνατών αποτελεσµάτων για το σύνθετο πείραµα της ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ 2 είναι: n! P( n, k) = ( n k)! 31 32 8
ιατάξεις Έναισοδύναµοπρόβληµαµε αυτό της ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ 2, είναιαυτότηςδιάταξηςδιακριτώναντικειµένων. Όταν λέµε ότι διατάσουµε k από n διακριτά αντικείµενα εννοούµε ότι επιλέγουµε k από τα n αντικείµενα µε κάποια σειρά. Συνεπώς, υπάρχουν P(n, k) διαφορετικές διατάξεις των k από nαντικειµένων. Μεταθέσειςκαι ιατάξεις Μία µετάθεση nαντικειµένων δεν είναι τίποτε άλλο από µία διάταξη n από n αντικείµενων: Πλήθος διατάξεων n από n αντικειµένων = P(n, n)= n!/(n-n)! = n!/0! = n!/1 = n! = πλήθος µεταθέσεων nαντικειµένων 33 34 Πόσα διαφορετικά top-10 µπορούν να υπάρξουν σε ένα διαγωνισµό τραγουδιού στον οποίο συµµετέχουν 100 τραγούδια αν µας ενδιαφέρει και η σειρά µε την οποία θα καταταχθούν στη 10άδα; Ενδιαφερόµαστε για τις διαφορετικές διατάξεις k=10 από n=100 αντικείµενα. Άρα: 100! 100! 90! 91 92... 100 P(100,10) = = = (100 10)! 90! 90! = 91 92... 100= 6.28 10 19 Μεπόσουςτρόπουςµπορούννακαθίσουν 4 φοιτητέςσε 7 αριθµηµένες θέσεις; Αραγεπρέπει να επιλέξω θέσεις για τους φοιτητές, ή φοιτητές για τις θέσεις; Ποιο είναι τελικά το πείραµα ή τα πειράµατα; 35 36 9
Μεπόσουςτρόπουςµπορούννακαθίσουν 4 φοιτητέςσε 7 αριθµηµένες θέσεις; Πείραµα, εκχώρηση θέσης σε κάποιο φοιτητή Έχω στο «σακούλι» τις 7 θέσεις Πρέπει να βρώ πόσες διαφορετικές 4-άδες µπορώ να επιλέξω Επιλέγω την 1 η θέσηαπότις 7 θέσεις. Επιλέγω την 2 η θέσηαπότιςυπόλοιπες 6 θέσεις. Επιλέγω την 3 η θέσηαπότιςυπόλοιπες 5θέσεις. Επιλέγω την 4 η θέσηαπότιςυπόλοιπες 4θέσεις. Συνεπώς το πλήθος των τρόπων µε το οποίο µπορούν να καθίσουν 4 φοιτητές σε 7 θέσεις είναι 4 5 6 7= 840 = P(7, 4)= 7!/3! : Πόσες συµβολοσειρές µήκους 4 µπορούµε να σχηµατίσουµε από το Ελληνικό αλφάβητο αν απαιτήσουµε οι χαρακτήρες της συµβολοσειράς να είναι διαφορετικοί µεταξύ τους; υνατές διαφορετικές τετράδες (θέσεις στη συµβολοσειρά) από ένα σύνολο 24 αντικειµένων (γράµµατα). Άρα ο συνολικός αριθµός των διαφορετικών συµβολοσειρών µε τέσσερα διαφορετικά γράµµατα είναι P(24,4)=24 23 22 21=255,024. 37 38 Πρόβληµα:Ένας διευθυντής πρέπει να στείλει τρεις από τους δέκα διαθέσιµους υπαλλήλους του σε τρία διαφορετικά τµήµατα, A, B και C. Πόσες επιλογές έχει; υνατές διαφορετικές τριάδες (τοποθετήσεις σε τµήµατα) 10 διαφορετικών αντικειµένων (υπάλληλοι). Άρα οι επιλογές του διεθυντή είναι P(10,3) = 10 9 8 = 720. 39 10