Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Σχετικά έγγραφα
Κατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός συγκρίσεων π

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Ενότητα 11: Περιορισμοί της Αλγοριθμικής Ισχύος

Κλάσεις Πολυπλοκότητας

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

NP-πληρότητα. Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα. Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Παύλος Εφραιμίδης V1.1,

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες κάνουμε συχνά υποθέσεις. Οταν δείξουμε ότι μια υπόθεση είναι αλη

Αλγοριθμικές Τεχνικές

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

Υποθέσεις - Θεωρήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 1ο Μάθημα. Η χρυσή τομή. Υποθέσεις - Εικασίες

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 5: ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ-ΑΝΑΓΩΓΗ

Αλγοριθμικές Τεχνικές. Brute Force. Διαίρει και Βασίλευε. Παράδειγμα MergeSort. Παράδειγμα. Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων

Δομές Δεδομένων & Αλγόριθμοι

Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές

Πολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης

11.1 Συναρτήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11: Θεωρία υπολογισµών

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Θεωρία γράφων / γραφήματα. Τι έχουμε δει μέχρι τώρα. Υπογράφημα. 24 -Γράφοι

HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Θεωρία γράφων/ γραφήματα. Τι έχουμε δει μέχρι τώρα. Ισομορφισμός γράφων: Μία σχέση ισοδυναμίας μεταξύ γράφων.

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ

Δυναμικός Προγραμματισμός

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Κλάση NP, NP-Complete Προβλήματα

Δυναμικός Προγραμματισμός

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Φροντιστήριο 11 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

4η Γραπτή Ασκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 7 Φεβρουαρίου 2017 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Ασκηση 7 Φεβρουαρίου / 38

4η Γραπτή Ασκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 3/2/2019 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Ασκηση 3/2/ / 37

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι έχουµε δει µέχρι τώρα. Υπογράφηµα Γράφοι

ILP-Feasibility conp

Περιεχόμενα. Εισαγωγή του επιμελητή, Γιάννης Σταματίου 15 Πρόλογος 17 Εισαγωγή 23. Μέρος I. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Κεφάλαιο 1. Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα. Έκδοση 1.4, 30/10/2014. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Chapter 9: NP-Complete Problems

HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Θεωρία γράφων/ γραφήματα. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά. Συνεκτικότητα. 25 -Γράφοι

υναμικός Προγραμματισμός

υναμικός Προγραμματισμός

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή

max c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός

viii 20 Δένδρα van Emde Boas 543

Β Ομάδα Ασκήσεων "Λογικού Προγραμματισμού" Ακαδημαϊκού Έτους

HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά. Θεωρία γράφων / γραφήματα. 25 -Γράφοι. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

Αλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση

Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών

για NP-Δύσκολα Προβλήματα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 18: Χρονική και Χωρική Πολυπλοκότητα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισμού

Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα

Αλγόριθµοι. Παράδειγµα. ιαίρει και Βασίλευε. Παράδειγµα MergeSort. Τεχνικές Σχεδιασµού Αλγορίθµων

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα

Το Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή - The Travelling Salesman Problem

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Δυναμικός Προγραμματισμός

Επίλυση προβλημάτων με αναζήτηση

Γραμμικός Προγραμματισμός

Διωνυµικοί Συντελεστές. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Δυναµικός Προγραµµατισµός 1

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός

Γράφοι: κατευθυνόμενοι και μη

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

υναμικός Προγραμματισμός

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου

Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού

Ασυμπτωτικός Συμβολισμός

Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων

Εξαντλητική Απαρίθµηση

HY380 Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Hard Problems

4.3 Ορθότητα και Πληρότητα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Παραλλαγές του Προβλήματος Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης και το Πρόβλημα Αναθέσεων Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Μοντελοποίηση προβληµάτων

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.0 ( ) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Κεφάλαιο 5 Ανάλυση Αλγορίθμων

Η μέθοδος Simplex. Χρήστος Γκόγκος. Χειμερινό Εξάμηνο ΤΕΙ Ηπείρου

Transcript:

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 9 P vs NP 1 / 13

Δυσκολία επίλυσης υπολογιστικών προβλημάτων Κάποια προβλήματα είναι εύκολα να λυθούν με την χρήση υπολογιστών ενώ κάποια άλλα είναι δύσκολα Εύκολα προβλήματα (tractable): Υπάρχει ή μπορεί να βρεθεί αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου που να τα επιλύει Δύσκολα προβλήματα (intractable): Προβλήματα στα οποία δεν έχει βρεθεί αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου για την επίλυσή τους 2 / 13

Παραδείγματα εύκολων προβλημάτων Ταξινόμηση μιας λίστας αριθμών Αναζήτηση μιας λέξης σε ένα κείμενο Πρόβλημα εύρεσης της συντομότερης διαδρομής σε ένα γράφο Πρόβλημα εύρεσης του ελάχιστου συνεκτικού δένδρου σε ένα γράφο 3 / 13

Παραδείγματα δύσκολων προβλημάτων Πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή Παραγοντοποίηση σε πρώτους αριθμούς ενός μεγάλου ακεραίου Χρονοπρογραμματισμός προσωπικού 4 / 13

Κατηγορίες πολυπλοκότητας προβλημάτων Τα προβλήματα απόφασης μπορούν να κατηγοριοποιηθούν σε διαφορετικές ομάδες με συγκρίσιμες πολυπλοκότητες που ονομάζονται κλάσεις πολυπλοκότητας Οι βασικές κλάσεις πολυπλοκότητας είναι P: Είναι το σύνολο των προβλημάτων απόφασης που μπορούν να επιλυθούν σε πολυωνυμικό χρόνο NP: Είναι το σύνολο των προβλημάτων απόφασης στα οποία μια προτεινόμενη λύση μπορεί να επαληθευτεί ότι αποτελεί λύση σε πολυωνυμικό χρόνο Δηλαδή αν έχουμε τη λύση μπορούμε να επαληθεύσουμε σε πολυωνυμικό χρόνο ότι όντως αποτελεί λύση 5 / 13

P και NP προβλήματα Παράδειγμα ενός NP προβλήματος Έστω ότι πρέπει να επιλέξετε 100 από τους 400 φοιτητές ενός Πανεπιστημίου οποίοι θα εισαχθούν στην εστία Ωστόσο θα πρέπει να ληφθεί υπόψη μια λίστα από ζεύγη μη συμβατών μεταξύ τους ατόμων Στην τελική λύση που θα παρουσιάσετε δεν θα πρέπει να υπάρχουν άτομα που σχηματίζουν κάποιο από τα απαγορευμένα ζευγάρια Για ένα NP πρόβλημα ισχύει ότι: Είναι εύκολο να ελεγχθεί αν μια προτεινόμενη λύση είναι εφικτή Δεν είναι εύκολο να παραχθεί λύση από το μηδέν Ο αριθμός των πιθανών λύσεων του προβλήματος είναι C(400, 100) = 400! 100!300! http://wwwclaymathorg/millenium-problems/p-vs-np-problem 6 / 13

NP complete προβλήματα) Ένα πρόβλημα απόφασης είναι NP Cοmplete αν: 1 Ανήκει στην κλάση προβλημάτων NP 2 Κάθε πρόβλημα στην κλάση προβλημάτων NP μπορεί να μετασχηματιστεί με έναν πολυωνυμικό αλγόριθμο σε αυτό (polynomial reducible) CNF - satisfiability problem Δίνεται μια λογική έκφραση η οποία αναπαρίσταται σε μορφή Conjunctive Normal Form και ζητείται να βρεθεί αν υπάρχει είσοδος τιμών που να την κάνει Αληθή (x 1 x 2 x 3 )&(x 1 x 2 x 3 )&( x 1 x 2 x 4 ) 7 / 13

Το ερώτημα P?= NP Το ερώτημα P?= NP αφορά το αν όλα τα NP προβλήματα είναι στην πραγματικότητα P προβλήματα Η απάντηση στο ερώτημα αυτό είναι άγνωστη προς το παρόν Σε περίπτωση που ισχύει ότι P=NP αυτό θα είχε δραματικές επιπτώσεις στην ταχύτητα με την οποία μπορούν να λυθούν δύσκολα σημαντικά προβλήματα Η πλειονότητα των επιστημόνων εκτιμά ότι P NP 8 / 13

Το πρόβλημα του σακιδίου (Knapsack) Έστω ότι έχετε να επιλέξετε από ένα αριθμό αντικειμένων εκείνα τα οποία θα πάρετε μαζί σας Κάθε αντικείμενο έχει βάρος και αξία Το πρόβλημα του σακιδίου έχει να κάνει με την επιλογή του συνόλου εκείνου των αντικειμένων που θα έχουν συνολικά την υψηλότερη αξία και δεν θα υπερβαίνουν το βάρος που μπορείτε να αντέξετε κουβαλώντας το σακίδιο 9 / 13

Το πρόβλημα της διαμέρισης (Partition) Δεδομένων n θετικών αριθμών να βρεθεί αν υπάρχει διαμερισμός τους σε δύο ξένα υποσύνολα που να έχουν το ίδιο άθροισμα 10 / 13

Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή (Traveling Salesman Problem) Ένας πωλητής θέλει να επισκεφτεί όλες τις πόλεις μιας περιοχής και να επιστρέψει στη πόλη από την οποία ξεκίνησε Ζητείται η διαδρομή που πρέπει να ακολουθήσει έτσι ώστε να διανύσει την μικρότερη δυνατή απόσταση 11 / 13

Το πρόβλημα χρωματισμού γράφου (Graph Coloring) Δίνεται ένας γράφος Ζητείται ο χρωματισμός του έτσι ώστε να μην υπάρχουν 2 γειτονικές κορυφές που να έχουν το ίδιο χρώμα 12 / 13

Το πρόβλημα του Ακέραιου Γραμμικού Προγραμματισμού Ένα πρόβλημα ακέραιου γραμμικού προγραμματισμού αφορά γραμμικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών και ζητά την εύρεση της βέλτιστης λύσης για μια συνάρτηση στόχο υπό την παρουσία κάποιων περιορισμών Ορισμένες από τις μεταβλητές μπορούν να λάβουν μόνο ακέραιες τιμές 13 / 13