Αριθμητική Ολοκλήρωση με τις μεθόδους Τραπεζίου/Smpso Φίλιππος Δογάνης Δρ. Χημικός Μηχανικός ΕΜΠ
Μια πρώτη προσέγγιση Ο χώρος χωρίζεται σε διαστήματα: {... } Prtto P Ορίζουµε : { } { } m m : M m : Ε λάχιστο L, P m Μ έγιστο U, P M
Μια πρώτη προσέγγιση Ε λάχιστο L, P m Μ έγιστο U, P M L U Εκτίµηση του ολοκληρώµατος U L Σϕάλµα
Παράδειγμα d Τ µ ήµατα P,,,, τέσσερα ίσα διαστήµατα 9 m, m, m, m 6 6 9 M, M, M, M 6 6 για,,,
Παράδειγμα Ε λάχιστο L, P m 9 L, P 6 6 6 Μ έγιστο U, P M 9 U, P 6 6 6 Εκτίµηση του ολοκληρώµατος 6 6 Σ ϕάλµα < 6 6 8 5
Αριθμητική ολοκλήρωση Γενικά : d α Μέθοδοι Newto-Cotes Ισαπέχοντα σηµεία στην περιοχή ολοκλήρωσης Χρήση πολυωνύµων παρεµβολής Μέθοδοι Guss Μη ισαπέχοντα σηµεία στην περιοχή ολοκλήρωσης α - Ολοκλήρωση κατά τµήµατα Προσαρµοζόµενη ολοκλήρωση
7 Μέθοδοι Newto- Cotes Μέθοδος Τραπεζίου Πολυώνυμο πρώτης τάξης Μέθοδος Smpso Πολυώνυμο δεύτερης τάξης d d d d
Αριθμητική ολοκλήρωση Μέθοδοι Newto- Cotes Πολυώνυµα παρεµβολής Lgrge d L, k k k k L,, d L d P, Οπότε: µε: L P,
Αριθμητική ολοκλήρωση Μέθοδος Τραπεζίου Πολυώνυµο παρεµβολής Lgrge P P [ ] [ ] d d d d Οπότε: α
Μέθοδος Τραπεζίου Ε µβαδόν
Μέθοδος Τραπεζίου d I d I
Μέθοδος Τραπεζίου Για ένα διάστημα d I d d I
Μέθοδος Τραπεζίου Για πολλά διαστήματα Ε µβαδ ν ό Το διάστηµα [,] επιµερίζεται σε τµήµατα... d άθροισµα των εµβαδών των τραπεζίων
Μέθοδος Τραπεζίου Γενική και ειδική μορφή Αν το διάστηµα επιµερίζεται σε τµήµατα όχι απαραίτητα ίσα... d Ειδική περίπτωση ίσα διαστήµατα or ll d [ ]
Παράδειγμα Δίνεται πίνακας με την ταχύτητα ενός αντικειμένου. Tme s.... Velocty m/s. Εκτιμήστε την απόσταση που διανύθηκε το χρονικό διάστημα [,]. Απόσταση ολοκλήρωμα της ταχύτητας Απόσταση V t dt 5
Παράδειγμα Το διάστηµα επιµερίζεται σε υποδιαστήµατα Τα σηµεία είναι:,,, Μέθοδος τραπεζ ίου { } Χρόνος s.... Ταχύτητα m/s T Απόσταση 9. 6
Υπολογισμός του σφάλματος Μέθοδος Τραπεζίου Πόσα ίσα διαστήµατα απαιτούνται ώστε να υπολογιστεί το s d µε ακρίβεια 5ου δεκαδικού ψηφίου; π 7
Υπολογισμός του σφάλματος Μέθοδος Τραπεζίου Θεωρητικά Υπόθεση: '' συνεχής στο [,] ίσα διαστήµατα πλάτους Θεώρηµα: Εάν η τραπεζοειδής µέθοδος χρησιµοποιηθεί για την προσέγγιση του d τότε: '' Error ξ ό που ξ [,] Error m '' [, ] 8
Παράδειγμα π s d, να βρεθεί ώστε error Error m '' [, ] π; ; ' cos ; '' s π '' Error 5 5 6 π 5 9
Παράδειγμα..5..5.....8.7 Χρησιµοποιήστε την µέθοδο τραπεζίου για να υπολογίσετε το: d T, P Ειδική περίπτωση : για κάθε, T, P
Παράδειγμα..5..5.....8.7 d.5 5.9...8..7
Αριθμητική ολοκλήρωση Μέθοδος Smpso Πολυώνυµο παρεµβολής Lgrge P P [ ] d d d d Οπότε: α
Μέθοδος Smpso / Προσέγγιση της συνάρτησης με παραβολή [ ] c c c c d L
Μέθοδος Smpso /8 Προσέγγιση της συνάρτησης με πολυώνυμο d c 8 c [ ] c c c L
Παράδειγμα :Μέθοδοι Smpso Υπολογίστε το ολοκλήρωμα: Μέθοδοι Smpso / Μέθοδοι Smpso /8 e d [ ] I e d ε 8 e e 8. 56.96 8. 57.96% 56.96 8 I e d 8 / [ 9.89 55.9 9.8 ] 689.9 8 56.96 689.9 ε.7% 56.96
Κανόνας Τραπεζίου με διαφορετικό αριθμό διαστημάτων Δυο διαστήματα Τρία διαστήματα 7 7 6 6 5 5 5 7 9 5 7 Τέσσερα διαστήματα 5 7 9 5 7 Πολλά διαστήματα 6 6 5 5 5 7 9 5 5 7 9 5
Μέθοδος τραπεζίου με πολλά διαστήματα d d d [ ] [ ]! [ ] [!! ]!! d
Μέθοδος τραπεζίου με πολλά και άνισα διαστήματα Υπολογισμός του ολοκληρώματος,,.5,.5 I e d I d d d.5 [ ] [ ] [ ].5 [.5 ].5 [ ] [ ] [ e.5 ] 6 6 7 e e e e.5 [ ] 7 8.5e e 597.58 ε.5%.5 d
Μέθοδος Smpso με πολλά διαστήματα... - -
Μέθοδος Smpso με πολλά διαστήματα Υπολογίστε το ολοκλήρωμα:, I e d I [ ] [ ] 8 e e 8. ε 57.96%, I 567.975 [ ] [ e e e e ] 6 8 ε 8.7%
Μέθοδος Smpso με πολλά και άνισα διαστήματα Υπολογίστε το ολοκλήρωμα:.5,.5 I d.5 5. I d [.5 ] e [.5 ].5 ε.76% d [.5 ] [.5 ] 6 6 7 8 e e e e e
Εφαρμογή στην Χημική Μηχανική Καθώς μελετήθηκε μια κυψέλη καυσίμου, καταστρώθηκε ένα ηλεκτροχημικό μοντέλο για το ρεύμα οξυγόνου- μεθανόλης. Μια απλοποιημένη μορφή του μηχανισμού κατανάλωσης του οξυγόνου δίνεται παρακάτω: T # 6.7.5 7 & % d $.6 '. Ζητείται να υπολογιστεί ο χρόνος που απαιτείται για την κατανάλωση του 5% της αρχικής ποσότητας. 6 m με την μέθοδο Smpso σε διαστήματα.. Βρείτε το πραγματικό σφάλμα για το ερώτημα.
Εφαρμογή στην Χημική Μηχανική T odd eve 6. 6.6 6 6.6..55 6.7.5.6 7 6
Εφαρμογή στην Χημική Μηχανική 6. 6 7 6 6.7..5..58 6.6. 6 6 6..55.675 6 7 6 6.7.675.5.675.799 6.6.675 6 6 6.675.55.95 6 7 6 6.7.95.5.95 6.89.6.95 6 6 6.95.55.765 6 7 6 6.7.765.5.765.95 6.6.765 6.6 6 7 6 6.7.6.5.6. 6.6.6
Εφαρμογή στην Χημική Μηχανική T odd 6.6 eve. 6 [..6 ] 6 6.6.6.6 6 6 6 6..675 6 6 6.765.95.6.58.799.95.89. 6 6. eve odd 6.6 96.987 sec
Εφαρμογή στην Χημική Μηχανική Υπολογίζοντας επακριβώς το ολοκλήρωμα έχουμε: T.6 6 6.7.5.6 6. 7 d 95 sec οπότε το σφάλμα είναι: E t True Vlue Appromte Vlue 95-96.987 -.988
Εφαρμογή στην Χημική Μηχανική και σαν ποσοστό της ακριβούς τιμής του ολοκληρώματος είναι: Error.988 95.%
Αριθμητική ολοκλήρωση Υπολογισμός σφαλμάτων Ποσοστιαίο σφάλµα Μεθ. Τραπεζίου Πραγµατικό σφάλµα Εκτιµούµενο σφάλµα Μεθ. Smpso Αριθµός Υποδιαστηµάτων