ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΕΠΙ ΤΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΕΠΙ ΤΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ Κατωτέρω παρατίθενται ορισμένες παρατηρήσεις επί των υπολογιστικών προγραμμάτων. Οι παρατηρήσεις αυτές αποσκοπούν στην βαθύτερη κατανόηση και εφαρμογή των προγραμμάτων. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ OΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1. simpson Κανόνας Simpson για ολοκλήρωση Στην εφαρμογή αυτή ο αριθμός των υποδιαιρέσεων Δx πρέπει να είναι ο ίδιος με τον αριθμό Ν στον οποίο δίνονται οι τιμές της συναρτήσεως μειωμένος κατά μία μονάδα. Είναι προφανές ότι όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός Ν τόσο καλύτερη η προσέγγιση του ολοκληρώματος.. trapez Τραπεζοειδής κανόνας για ολοκλήρωση Στην εφαρμογή αυτή ο αριθμός των τραπεζοειδών πρέπει να είναι ο ίδιος με τον αριθμό Ν στον οποίο δίνονται οι τιμές της συναρτήσεως μειωμένος κατά μία μονάδα. Είναι προφανές ότι όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός Ν τόσο καλύτερη η προσέγγιση του ολοκληρώματος. 3. new-raph Νewton-Raphson, ρίζες εξισώσεων Ο αριθμός των επαναλήψεων Ν πρέπει να είναι αρκετά μεγάλος ώστε να ικανοποιείται η λύση στον αριθμό TOL όπου ζητείται η ακρίβεια της λύσεως. Ο αριθμός TOL πρέπει να είναι αρκούντως μικρός. 4. bisect Επίλυση εξισώσεων με διαδοχικές διχοτομήσεις Στην εφαρμογή αυτή ο αριθμός των διχοτομήσεων πρέπει να είναι μεγάλος. Είναι προφανές ότι όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των διχοτομήσεων τόσο καλύτερη η προσέγγιση της λύσεως. 5. iter Επίλυση εξισώσεων με διαδοχικές επαναλήψεις O αριθμός Ε στην ακρίβεια του οποίου στηρίζεται η αριθμητική προσέγγιση πρέπει να είναι αρκούντως μικρός. Α τιμή της αρχικής προσεγγίσεως XARX μικρή έχει σημασία, απλώς επιβραδύνει την σύγκλιση εάν η τιμή αυτή είναι μακράν της τελικής λύσεως. 6. gauss Eπίλυση συστήματος εξισώσεων, απαλοιφή Gauss Κανένα σχόλιο. 7. g-s Eπίλυση συστήματος εξισώσεων Gauss-Seidel Η αριθμητική τεχνική κατά Gauss-Seidel, αν και δύναται να εφαρμοσθεί σε οποιοδήποτε πίνακα με μη μηδενικά διαγώνια στοιχεία, εγγυάται σύγκλιση εάν ο πίνακας έχει διαγώνια στοιχεία όταν αυτά είναι μεγαλύτερα ή ίσα του αθροίσματος των απολύτων τιμών των στοιχείων της αντιστοίχου γραμμής είτε όταν ο πίνακας είναι συμμετρικός και η ορίζουσα x T Αx είναι θετική με Α τον πίνακα και x το οποιοδήποτε με μη μηδενική στήλη διάνυσμα. x T είναι ο ανάστροφος πίνακας. Ο αριθμός των επαναλήψεων ΝCOUNTMX πρέπει να είναι αρκετά μεγάλος ώστε να ικανοποιείται η λύση στον αριθμό ERRORMX όπου ζητείται η ακρίβεια της λύσεως. Ο αριθμός ERRORMX πρέπει να είναι αρκούντως μικρός. 1

8. g-s-over Eπίλυση συστήματος εξισώσεων Gauss-Seidel με υπερχαλάρωση Ισχύουν οι παρατηρήσεις της προηγούμενης παραγράφου. Ο αριθμός των επαναλήψεων ΝCOUNTMX πρέπει να είναι αρκετά μεγάλος ώστε να ικανοποιείται η λύση στον αριθμό ERRORMX όπου ζητείται η ακρίβεια της λύσεως. Ο αριθμός ERRORMX πρέπει να είναι αρκούντως μικρός. Η επιλογή του αριθμού υπερχαλαρώσεως OMEGA μπορεί να ευρεθεί και με ένα αλγόριθμο, ιδέ Υπολογιστική Μηχανική Ρευστών Ιωάννου Β. Σούλη. Η ακριβής εύρεση του αριθμού OMEGA επιταχύνει την λύση τα μέγιστα. 9. thomas Eπίλυση τριδιαγωνικού συστήματος εξισώσεων κατά Thomas Σε πολλές περιπτώσεις το σύστημα των αριθμητικών εξισώσεων έχει τον πίνακα των συντελεστών των άγνωστων A σε τέτοια μορφή ώστε τα περισσότερα απ αυτά να είναι μηδενικά και μόνο τα στοιχεία που βρίσκονται στη κύρια διαγώνιο και στις δευτερεύουσες διαγώνιες που βρίσκονται πάνω και κάτω της κυρίας διαγώνιου να είναι μη μηδενικά. Η τεχνική Thomas εφαρμόζεται σε αριθμητικά συστήματα εξισώσεων όπου το σύνολο των μη μηδενικών στοιχείων κάθε γραμμής είναι τρία (τριδιαγωνικός πίνακας). ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 10. euler Τεχνική Euler για επίλυση παραβολικών εξισώσεων t 1 H αριθμητική λύση είναι ευσταθής εάν και μόνο εάν ικανοποιείται το κριτήριο ευστάθειας y. Το χρονικό βήμα δt υπόκειται από την ανωτέρω συνθήκη σε περιορισμούς. Εάν ο συντελεστής διαχύσεως είναι πολύ μεγάλος τότε το χρονικό βήμα περιορίζεται αισθητά. 11. expl Τεχνική explicit για επίλυση παραβολικών εξισώσεων Ισχύουν οι παρατηρήσεις της προηγούμενης παραγράφου. 1. lax Τεχνική Lax για επίλυση παραβολικών εξισώσεων Ισχύουν οι παρατηρήσεις της προηγούμενης παραγράφου. 13. frog Tεχνική Leap-frog για επίλυση παραβολικών εξισώσεων Ισχύουν οι παρατηρήσεις της προηγούμενης παραγράφου. 14. cran Πεπλεγμένη τεχνική Cran-Nicolson για επίλυση παραβολικών εξισώσεων Η αριθμητική προσέγγιση θα δώσει σύγκλιση κάτω από οποιεσδήποτε συνθήκες εφ όσον 1/<θ<1.0. Στη περίπτωση όπου θ<1/, για να υπάρξει σταθερότητα πρέπει, ν δt < 1 ( 1 - θ ) ΕΠΙΛΥΣΗ YΠΕΡΒΟΛΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 15. lax-wen Tεχνική Lax-Wendroff για επίλυση υπερβολικών εξισώσεων Η επίλυση υπόκειται σε περιορισμούς σχετικά με το μέγιστο των χωρικών και χρονικών βημάτων. Εν γένει πρέπει να ισχύει ότι, Δt u μ έγσιτο < 1.0. Δx

16. Maccom Tεχνική Mac-Cormac για επίλυση υπερβολικών εξισώσεων Ισχύουν οι παρατηρήσεις της προηγούμενης παραγράφου. 17. r- Tεχνική τεσσάρων βημάτων Runge-Kuttα για επίλυση υπερβολικών εξισώσεων Κανένα σχόλιο. ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΡΟΕΣ 18. tan Eκκένωση δεξαμενής Κανένα σχόλιο. 19. οcfsb Υποκρίσιμη ροή ελεύθερης επιφάνειας, ρητή τεχνική Mac-Cormac Η χρήση του κριτηρίου Courant-Friedrichs-Levy (CFL) είναι ένας ασφαλής τρόπος για την επιλογή του χρονικού βήματος Δt. Είναι, Δ t = FT 0.5Δx /( u c ) όπου FT ο συντελεστής για το κριτήριο CFL και c η ταχύτητα του ήχου εντός του ύδατος, c = gh Η εύρεση της κατάλληλης τιμής για τον συντελεστή CFL γίνεται με την τεχνική δοκιμασίας-λάθους. Να προσεχθεί ότι η τεχνική των πολλαπλών βημάτων του αριθμητικού σχήματος του Mac-Cormac εφαρμόζεται δύο φορές: μια για την εξίσωση της συνέχειας της μάζας και (μετά) μια για την διατήρηση της ορμής. Η ταχύτητα U στην έξοδο και το βάθος ροής h επίσης στην έξοδο είναι οι φυσικές ποσότητες που πρέπει να ορισθούν ως οριακές συνθήκες για υποκρίσιμη ροή. 0. ocfsp Υπερκρίσιμη ροή ελεύθερης επιφάνειας, ρητή τεχνική Mac-Cormac Ισχύουν οι παρατηρήσεις της προηγούμενης παραγράφου. Πρέπει να προσεχθεί η εφαρμογή των οριακών συνθηκών που είναι διαφορετική για υποκρίσιμη απ ότι για υπερκρίσιμη ροή. Στην υπερκρίσιμη ροή η ταχύτητα U στην είσοδο και το βάθος ροής h επίσης στην είσοδο είναι οι φυσικές ποσότητες που πρέπει να ορισθούν ως οριακές συνθήκες για υποκρίσιμη ροή. 1. οcfimp Υπερκρίσιμη ροή ελεύθερης επιφάνειας, πεπλεγμένη τεχνική Mac-Cormac Το αριθμητικό σχήμα της πεπλεγμένης τεχνικής Mac-Cormac σχηματίζει διδιαγωνικό σχήμα το οποίον είναι προφανώς ταχύτατο στην επίλυσή του. Το σχήμα αυτό είναι δεύτερης τάξεως ακριβείας και ευσταθές άνευ συνθηκών.. non-uni Ανομoιόμoρφη ροή, τραπεζοειδής διατομή Για την επίλυση του προβλήματος της υποκρίσιμης ροής, όπως είναι το παρόν πρόβλημα εφαρμόζονται οι συνθήκες σταθερού βάθους h και σταθερής ταχύτητας U στην έξοδο του χώρου ροής. Η είσοδος αφήνεται ελεύθερη οριακών συνθηκών. Για την επίλυση του προβλήματος της υπερκρίσιμης ροής εφαρμόζονται οι συνθήκες σταθερού βάθους h και σταθερής ταχύτητας U στην είσοδο του χώρου ροής. Η έξοδος αφήνεται ελεύθερη οριακών συνθηκών. 3

3. 1dmoist Μονοδιάστατη ροή υγρασίας D δt 1 H αριθμητική λύση είναι ευσταθής εάν και μόνο εάν ικανοποιείται το κριτήριο ευστάθειας <. Το χρονικό βήμα δt υπόκειται από την ανωτέρω συνθήκη σε περιορισμούς. Εάν ο συντελεστής διαχύσεως είναι πολύ μεγάλος τότε το χρονικό βήμα περιορίζεται αισθητά. 4. salinity Μεταφορά και διάχυση Χρησιμοποιείται η μέθοδος της ρητής τεχνικής Mac-Cormac. Στο ρητό αυτό αριθμητικό σχήμα η αναπαράσταση της χρονικής μεταβολής, η οποία χρησιμοποιείται ως ψευδο-χρονική επαύξηση, γίνεται με τη χρήση δύο βημάτων, προβλέψεως-διορθώσεως, ενώ η χωρική μεταβολή στο πρώτο βήμα χρησιμοποιεί προς τα εμπρός διαφορά στο δε δεύτερο κεντρική. 5. bouss Ροή Boussinesq Η εξίσωση της ροής, h ( dh ) [ ] Qi t n x x δύναται να αναπτυχθεί με προς τα εμπρός διαφορά στον χρόνο και με κεντρική διαφορά ως προς τον χώρο ροής για την πρώτη παράγωγο και προς τα πίσω για την δεύτερη παράγωγο. Επομένως η ανωτέρω εξίσωση γράφεται, dh n ( dh ) n n 1 n [ ] i 1 [ ] i 1 hi hi x x Qi t n x και d h d h d h d h h i 1 i 1 i i i i i 1 i 1 n n 1 h n [ [ ] i i x x Qi t n x Στην ανωτέρω εξίσωση n είναι οι τιμές της προηγούμενης χρονικής στιγμής. 6. scour Μεταφορά φερτών και εναπόθεση Η μονοδιάστατη εξίσωση ροής που διέπει την μεταβολή του πυθμένα ενός φυσικού αγωγού συναρτήσει του χρόνου είναι, h t Q s x όπου h είναι το υψόμετρο του πυθμένα στον ανοικτό αγωγό και Q s (m 3 /s/m) είναι η στερεοπαροχή ανά μονάδα πλάτους η οποία σε μια πειραματική της μορφή δίνεται από την εξίσωση, Qs CU όπου C ο πειραματικός συντελεστής στερεομεταφοράς και U (=Q S/h) η μέση ταχύτητα σε κάθε διατομή μελέτης του αγωγού. Η ροή αναλύεται σε πεπερασμένες διαφορές χρησιμοποιώντας προς τα εμπρός διαφορές για την χρονική μεταβολή και προς τα οπίσω διαφορά για την χωρική μεταβολή. 4

7. hammer Πλήγμα κριού Πρέπει να ισχύει η συνθήκη Courant ήτοι, c t 1.0 όπου c η ταχύτητα μεταδόσεως του ήχου στο ρευστό. x Στο πρόβλημα μελετάται μόνο η περίπτωση γραμμικής μεταβολής του κλεισίματος της βαλβίδας στα κατάντη ενός αγωγού με απότομο κλείσιμο της βαλβίδας. Απότομο κλείσιμο εννοείται ότι Τ<L/c όπου Τ ολικός χρόνος κλεισίματος και L το μήκος του αγωγού. Στις εξισώσεις ροής δεν συμπεριλαμβάνονται οι τριβές αλλά ούτε και ο υπολογισμός της ταχύτητος μεταδόσεως του ήχου (διαταραχές πιέσεως). ΔΙΣΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΡΟΕΣ. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ 8. dmoist Δυο διαστάσεων ακόρεστη ροή, ρητή τεχνική πεπερασμένων διαφορών Για ένα πρόβλημα, στο οποίο οι οριακές τιμές της υγρασίας είναι πλήρως καθορισμένες για t>0, το όριο της σταθερότητας της λύσης είναι, 1 1 1 D t( ). x y Στο ρητό αριθμητικό σχήμα Mac-Cormac με το οποίο θα γίνει η διακριτοποίηση της εξισώσεως, η αναπαράσταση της χρονικής μεταβολής της γενικής μορφής εξισώσεως, u [ t f ( u,v )] [ g( u,v )] = 0 γίνεται με την χρήση δύο βημάτων: προβλέψεως-διορθώσεως, ενώ η χωρική μεταβολή στο πρώτο βήμα χρησιμοποιεί προς τα εμπρός διαφορά στο δε δεύτερο κεντρική. Έτσι, Πρώτο βήμα, f ( u,v ) - f ( u,v ) g( u,v ) - g( u,v ) u ~ i 1, j i, j i, j 1 i, j i, j = u i, j - [ ]δt Δεύτερο βήμα, ~ ~ f ( u,v ) - f ( u,v ) 1 1 u { u u ~ i, j i-1, j i, j = - [ i, j i, j g~ ( u,v ) i, j g~ ( u,v ) - i, j-1 ]δt ~ όπου f ( u,v ) i 1, j και g~ ( u,v )i 1, j είναι οι τιμές των συναρτήσεων f(u,v) και g(u,v) κάνοντας χρήση των ενδιάμεσων τιμών u ~ i 1, j, v ~ i 1, j κ.ο.κ για τις υπόλοιπες άγνωστες μεταβλητές. Οι συναρτήσεις f(u,v) και g(u,v) στην προκειμένη περίπτωση της μεταδόσεως του βαθμωτού μεγέθους, της υγρασίας δίνονται ως, θ f(u,v) = D θ g(u, v) = D K 5

Για οριζόντια ροή ο όρος Κ τίθεται ίσος με μηδέν. Είναι φρόνιμο ο λόγος Δx/Δy να είναι όσο το δυνατόν πλησιέστερος προς την μονάδα. Με τον τρόπο αυτό διευκολύνεται η σύγκλιση της λύσεως του προβλήματος. Στην εξίσωση, = ( D t x ) ( D y K ) ο συντελεστής διαχύσεως D=D x=d y υπολογίζεται από πειραματική συνάρτηση και η οποία για δοθέν έδαφος δύναται να πάρει την μορφή, -5.0 9.34 C D= 3.33 x10 e (m /min) Η υδραυλική αγωγιμότητα δίνεται, -13.0 54.11C K = 3.33 x10 e (m/min) Η λύση είναι άμεσα εξαρτώμενη από τις τιμές των D και K. Να προσεχθούν οι μονάδες του συντελεστή διαχύσεως και της υδραυλικής αγωγιμότητας. Η επίλυση ακόρεστης ροής απαιτεί μεγαλύτερο υπολογιστικό χρόνο από ότι η επίλυση αντιστοίχου προβλήματος κορεσμένης ροής. 9. laplace Δυναμική ροή, ρητή τεχνική πεπερασμένων διαφορών Η θεωρία της δυναμική ροής, Φ, έχει περιορισμένο εύρος εφαρμογών σχετικά με την θεωρία της ροϊκής συναρτήσεως, Ψ. Η χρήση της ροϊκής συναρτήσεως Ψ επιτρέπει επίλυση προβλημάτων και στροβιλής ροής γεγονός που είναι αποτρεπτικό με την χρήση του δυναμικού πεδίου Φ. Πρέπει να προσεχθεί η εφαρμογή των οριακών συνθηκών στα στερεά όρια του προβλήματος. Λίγο περισσότερη προσοχή χρειάζεται η εφαρμογή των συνθηκών αυτών στις γωνίες του προβλήματος. Είναι φρόνιμο ο λόγος Δx/Δy να είναι όσο το δυνατόν πλησιέστερος προς την μονάδα. 30. gwflow Κορεσμένη ροή, ρητή τεχνική πεπερασμένων διαφορών Στο πρόβλημα κορεσμένης ροής της Υπόγειας Υδραυλικής το πεδίο των πιέσεων ικανοποιεί την εξίσωση Laplace, Φ Φ y = 0 U K, V K x y όπου Κ συντελεστής διαπερατότητας του πορώδους υλικού και Φ (=p/ρg z) το υδραυλικό φορτίο. Στην εφαρμογή των οριακών συνθηκών στα όρια να γίνει αντιληπτό ότι το φορτίο Φ στα αριστερά και δεξιά του χώρου ροής παραμένει σταθερό και καθορίζεται από το βάθος (ύψος) του ύδατος στους αντίστοιχους χώρους. Στις γωνίες πρέπει να γίνει σωστή εφαρμογή των συνθηκών ροής είτε το τοίχωμα είναι αδιαπέρατο είτε αυτό έχει σταθερό φορτίο. Η παροχή που υπολογίζεται αναφέρεται ανά μονάδα μέτρου κατά πλάτος του φράγματος. Είναι φρόνιμο ο λόγος Δx/Δy να είναι όσο το δυνατόν πλησιέστερος προς την μονάδα. Ο υπολογισμός των μερικών παραγώγων πρώτης τάξεως είναι καλύτερα να γίνεται με κεντρικές διαφορές διότι είναι μεγαλύτερης ακρίβειας. 31. advdif Μεταφορά-διάχυση, ρητή τεχνική πεπερασμένων διαφορών Εάν ο συντελεστής διάχυσης Ε είναι σταθερός και ανεξάρτητος του βαθμωτού μεγέθους C τότε, 6

( UC) ( VC ) = E( ) t Στο ρητό αριθμητικό σχήμα Mac-Cormac η αναπαράσταση της χρονικής μεταβολής, χρησιμοποιείται ως πραγματική χρονική επαύξηση και γίνεται με τη χρήση δύο βημάτων, προβλέψεως-διορθώσεως, ενώ η χωρική μεταβολή στο πρώτο βήμα χρησιμοποιεί προς τα εμπρός διαφορά ενώ στο δεύτερο κεντρική ως κατωτέρω, Πρώτο βήμα, C ~ i Δεύτερο βήμα, = C i C E [ f ( C ) - f ( C ) g( C ) - g( C ) - i 1 i j 1 j δt - δt i 1, j - Ci, j Ci-1, j Ci, j 1 - Ci, j Ci, j-1 ]δt ~ ~ f ( C ) - f ( C ) g~ ( C ) - g~ ( C ) ( C ~ 1 1 C C ) - i 1 i-1 j 1 j-1 i = δt - δt i i C ~ - C ~ C ~ C ~ - C ~ C ~ i 1, j i, j i-1, j i, j 1 i, j i, j-1 E [ ] ~ όπου f ( C ) i 1 είναι η προκύπτουσα τιμή της συνάρτησης f(u)=uc κάνοντας χρήση της ενδιάμεσης τιμής C ~ i 1 και g~ ( C )i 1 είναι η προκύπτουσα τιμή της συνάρτησης g(u)=vc κάνοντας χρήση της ενδιάμεσης τιμής C ~ i 1 κ.ο.κ. Τo αριθμητικό αυτό σχήμα είναι δεύτερης τάξεως ακρίβειας. ΔΙΣΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΡΟΕΣ. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝOI OΓKOI 3. fvcom Συμπιεστή ροή, ρητή τεχνική πεπερασμένων όγκων Στην επίλυση προβλημάτων συμπιεστής ροής οι εξισώσεις είναι έντονα μη-γραμμικές και απαιτούν ιδιαίτερη αντιμετώπιση. Η τεχνική που εφαρμόζεται επιλύει την μεικτή ροή όπου υποηχητικές ροές συνυπάρχουν με διηχητικές ροές με άγνωστα τα μεταξύ τους όρια. Το αριθμητικό σχήμα διατηρεί την ανάντη επίδραση στο χώρο ροής (upwind scheme). Η πυκνότητα δηλαδή παίρνει τιμές μόνο από τα ανάντη. Τα κρουστικά κύματα (shoc waves) πρέπει να είναι το πολύ μέχρι Mach<1.3. Η αριθμητική τεχνική είναι δευτέρας τάξεως ακριβείας. Η ταχύτητα συγκλίσεως της λύσεως εξαρτάται από την εφαρμογή και την πολυπλοκότητα της γεωμετρίας και των συνθηκών ροής του προβλήματος. Λόγω της δευτέρας τάξεως ακριβείας, η κάλυψη των οριακών συνθηκών των στερεών ορίων απαιτεί ιδιαίτερη προσέγγιση. Ο βέλτιστος συντελεστής υπερ χαλαρώσεως είναι πάντα κοντά στο 1.46 σε τέτοιου είδους προβλήματα. Η τεχνική αυτή εφαρμόζεται σε γεωμετρίες με καμπύλα όρια. Υπάρχει δυσκολία στο να περιγραφεί η γεωμετρία του προβλήματος. Τα δεδομένα της γεωμετρίας εισάγονται ως συντεταγμένες στα όρια ένα προς ένα. Κοντά στην είσοδο της πτερυγώσεως αλλά και κοντά στην έξοδο από αυτήν απαιτείται η τροφοδοσία πολλών δεδομένων για να καλυφθεί επαρκώς ο σχηματισμός της γεωμετρίας. Δυσκολία υπάρχει και στην εφαρμογή των περιοδικών ορίων για την κάλυψη προβλημάτων με πτερυγώσεις (σειρά πτεργυγίων). Στην περίπτωση αυτή εφαρμόζονται συντελεστές χαλαρώσεως. Είναι φρόνιμο ο λόγος Δx/Δy να είναι όσο το δυνατόν πλησιέστερος προς την μονάδα. 7

33. fvincom Ασυμπίεστη ροή, ρητή τεχνική πεπερασμένων όγκων Ισχύουν οι παρατηρήσεις της προηγούμενης παραγράφου. Με την παρατήρηση ότι το πρόβλημα είναι ασυνήθιστα πιο εύκολο λόγω της ασυμπιέστου ροής. 34. fvunsat Ακόρεστη ροή, ρητή τεχνική πεπερασμένων όγκων Ισχύουν οι περισσότερες από τις παρατηρήσεις της προηγούμενης παραγράφου. Η λύση είναι άμεσα εξαρτώμενη από τις τιμές των D και K. Να προσεχθούν οι μονάδες του συντελεστή διαχύσεως και της υδραυλικής αγωγιμότητας. Η επίλυση ακόρεστης ροής απαιτεί μεγαλύτερο υπολογιστικό χρόνο από ότι η επίλυση αντιστοίχου προβλήματος κορεσμένης ροής. Για ένα πρόβλημα, στο οποίο οι οριακές τιμές της υγρασίας είναι πλήρως καθορισμένες για t>0, το όριο της σταθερότητας της λύσης είναι, 1 1 1 D t( ). x y Είναι φρόνιμο ο λόγος Δx/Δy να είναι όσο το δυνατόν πλησιέστερος προς την μονάδα. 35. fvunstdy Ασταθής ροή ελεύθερης επιφάνειας, ρητή τεχνική πεπερασμένων όγκων Υπάρχει δυσκολία στο να περιγραφεί η γεωμετρία του προβλήματος. Τα δεδομένα της γεωμετρίας εισάγονται ως συντεταγμένες στα όρια ένα προς ένα. Κοντά σε έντονες γεωμετρικές κλίσεις ο αριθμός των κόμβων που περιγράφον την πρέπει να είναι αρκετά μεγάλος. Ιδιαιτερότητες παρουσιάζονται κατά την εφαρμογή των οριακών συνθηκών στην είσοδο και έξοδο εκ του χώρου ροής. Στην έξοδο το βάθος υπολογίζεται από τον εσωτερικό χώρο ροής ενώ στην είσοδο χρησιμοποιείται η χαρακτηριστική εξίσωση. Παντού στα κατάντη του φράγματος υπάρχει μια πολύ μικρή τιμή του βάθους του ύδατος κατά τη χρονική στιγμή της θραύσεως. Το χρονικό βήμα Δt πρέπει να ικανοποιεί τα γνωστά κριτήρια συγκλίσεως. Η χρήση του κριτηρίου Courant-Friedrichs-Levy (CFL) είναι ένας ασφαλής τρόπος για την επιλογή του μέγιστου χρονικού βήματος Δt. Είναι, Δ t = FT 0.5Δx /( u c ) όπου FT ο συντελεστής για το κριτήριο CFL και c η ταχύτητα του ήχου εντός του ύδατος, c = gh Η τιμή του Δt δεν πρέπει να υπερβαίνει την ανωτέρω τιμή. Εάν ο λόγος Δx/Δy είναι κοντά στην μονάδα τότε δεν υπάρχουν προβλήματα στην σύγκλιση της λύσεως. Ο λόγος αυτός μπορεί να μεταβάλλεται χωρίς να υπάρχουν αισθητές διαφορές στα αποτελέσματα. Στις πρώτες χρονικές στιγμές Ο αριθμός των ανακυκλώσεων προκειμένου να ευρεθεί η λύση, διαρκούντως του Δt, είναι σχετικά μεγάλος. Λίγο αργότερα και εφ όσον έχει στρώσει η λύση ο αριθμός αυτός πέφτει κατά πολύ. Για τις εξισώσεις συνέχειας της μάζης, x-ορμής και y-ορμής οι διαφορές των XFLUX ορίζονται από τις ανάντη τιμές (upwind scheme) ενώ οι διαφορές YFLUX από τις κατάντη τιμές. 36. fvocfimp Σταθερή ροή ελεύθερης επιφάνειας, τεχνική πεπερασμένων όγκων Ισχύουν οι περισσότερες από τις παρατηρήσεις της προηγούμενης παραγράφου. Για την επίλυση του προβλήματος της υποκρίσιμης ροής, εφαρμόζονται οι συνθήκες σταθερού βάθους h στην έξοδο του χώρου ροής και σταθερής παροχής. Η είσοδος αφήνεται ελεύθερη οριακών συνθηκών. Αν χρειασθεί οριοθετείται μόνο η γωνία ροής. Για την επίλυση του προβλήματος της υπερκρίσιμης ροής εφαρμόζονται οι συνθήκες σταθερού βάθους h και σταθερής ταχύτητας U στην είσοδο του χώρου ροής. Η έξοδος αφήνεται ελεύθερη οριακών συνθηκών. 8

Η χρήση του κριτηρίου Courant-Friedrichs-Levy (CFL) είναι ένας ασφαλής τρόπος για την επιλογή του μέγιστου χρονικού βήματος Δt. Είναι, Δ t = FT 0.5Δx /( u c ) όπου FT ο συντελεστής για το κριτήριο CFL και c η ταχύτητα του ήχου εντός του ύδατος, c = gh Η τιμή του Δt δεν πρέπει να υπερβαίνει την ανωτέρω τιμή. Εάν ο λόγος Δx/Δy είναι κοντά στην μονάδα τότε δεν υπάρχουν προβλήματα στην σύγκλιση της λύσεως. 37. pgοcfexp Σταθερή ροή ελεύθερης επιφάνειας, ρητή τεχνική σε φυσικό υπολογιστικό δίκτυο Ισχύουν οι περισσότερες από τις παρατηρήσεις της προ-προηγούμενης παραγράφου. Για την επίλυση του προβλήματος της υποκρίσιμης ροής, εφαρμόζονται οι συνθήκες σταθερού βάθους h στην έξοδο του χώρου ροής και σταθερής παροχής. Η είσοδος αφήνεται ελεύθερη οριακών συνθηκών. Αν χρειασθεί οριοθετείται μόνο η γωνία ροής. Για την επίλυση του προβλήματος της υπερκρίσιμης ροής εφαρμόζονται οι συνθήκες σταθερού βάθους h και σταθερής ταχύτητας U στην είσοδο του χώρου ροής. Η έξοδος αφήνεται ελεύθερη οριακών συνθηκών. Για την επίλυση του προβλήματος της μεικτής ροής (υποκρίσιμης-υπερκρίσιμης), εφαρμόζονται οι συνθήκες σταθερού βάθους h στην έξοδο του χώρου ροής και ολικού φορτίου στην είσοδο. Για τις εξισώσεις συνέχειας της μάζης, x-ορμής και y-ορμής οι διαφορές των XFLUX ορίζονται από τις ανάντη τιμές (upwind scheme) ενώ οι διαφορές YFLUX από τις κατάντη τιμές. Η τιμή του Δt δεν πρέπει να υπερβαίνει την CFL τιμή. Εάν ο λόγος Δx/Δy είναι κοντά στην μονάδα τότε δεν υπάρχουν προβλήματα στην σύγκλιση της λύσεως. 9