3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις 3. Ενεργειακή θεώρηση σε συνεχή συστήµατα Έστω η δοκός του σχήµατος, µε τις αντίστοιχες φορτίσεις. + = p() EA = Q Σχήµα 3. οκός µε αξονική ένταση. Η συνολική δυναµική ενέργεια του συστήµατος Π είναι Π= U + V όπου U είναι η ενέργεια παραµόρφωσης και V είναι το δυναµικό εξωτερικών δυνάµεων. Για την παρούσα περίπτωση, Π= σεdv p d Q Με βάση το γεγονός ότι λόγω της κινηµατικής σχέσης ΕΑ Εε Α d = η ενέργεια Π γράφεται και d ΕΑ Π= d pd Q ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης ε =, ισχύει, και συγκεκριµένα Π ( ). Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (fnctonal). Αρχή της Στάσιµης Τιµής της υναµικής Ενέργειας: Από τις συναρτήσεις µετατοπίσεων που είναι συµβατές µε τις κινηµατικές σχέσεις και ικανοποιούν τις βασικές συνοριακές συνθήκες η συνάρτηση που ικανοποιεί τις εξισώσεις ισορροπίας είναι αυτή που δίνει στο Π στάσιµη τιµή. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Εισαγωγή στις αριθµητικές µεθόδους σελίδα από 3
Για να εφαρµόσω την αρχή της στάσιµης τιµής της δυναµικής ενέργειας, µας ενδιαφέρει η µεταβολή του Π για µεταβολές του. Το Π έχει στάσιµη τιµή όταν η µεταβολή του είναι µηδέν. Πως θα ορίσω την µεταβολή του συναρτησιακού? 3. Βασικά στοιχεία Λογισµού των Μεταβολών Έστω ( ) εξετάζω, και που αποτελεί µία υποθετική λύση του προβλήµατος συνοριακών τιµών που = +εζ όπου ζ ( ) ικανοποιεί τις βασικές οµογενείς συνθήκες (κατά τα άλλα είναι τυχαία συνάρτηση). ΠΡΟΣΟΧΗ Αν το πρόβληµα µε άγνωστη συνάρτηση έχει οµογενείς βασικές συνθήκες, τότε τις ζ ( ). Αν τώρα κάποια βασική ίδιες αυτές βασικές οµογενείς συνθήκες θα ικανοποιεί και η συνοριακή συνθήκη της είναι µη-οµογενής, τότε η ζ ( ) θα πρέπει να ικανοποιεί την αντίστοιχη οµογενή συνθήκη. Ορισµός Αν οριστεί η ( ) ζ όπως παραπάνω (τυχαία µεν αλλά να ικανοποιεί τις βασικές οµογενείς βασικές συνθήκες) τότε η ζ ( ) λέγεται ΑΠΟ ΕΚΤΗ συνάρτηση. () ()= ()+δ () = δ=εζ() = Ορίζω µεταβολή της δ= εζ ( ), ως εξής: και τότε, δπ συµβολίζεται η µεταβολή του Π λόγω µεταβολής δ της συνάρτησης. Βασικές Ιδιότητες της Μεταβολής µίας Συνάρτησης Ισχύει δ ( ) = ( δ) = δ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Εισαγωγή στις αριθµητικές µεθόδους σελίδα από 3
δηλαδή η παράγωγος της συνάρτησης µεταβολής, είναι ίδια µε την µεταβολή της παραγώγου παραγώγου. Επίσης, οµοίως, δ ( ) = ( δ) = δ Επίσης, ισχύουν: δ ( ) = δ ( ) δ f d= = δ = δ δ δ δ δ ( a) a( δ) f d =, µε a τυχαία αριθµητική σταθερά. Εποµένως, η δυναµική ενέργεια του συστήµατος ΕΑ Π= έχει την ακόλουθη µεταβολή d pd Q δπ= ΕΑ δ δ δ =ΕΑ δ d pδd Qδ ( ) d p d Q ( δ ) δ δ () d p d Q [ δ] p d Q d δ δ δ δ δ ( p) δd Qδ =ΕΑ =ΕΑ ΕΑ =ΕΑ ΕΑ ΕΑ + Για να έχω ισορροπία, θα πρέπει το Π να έχει στάσιµη τιµή, οπότε, Π= { ΕΑ Q} ΕΑ ( ) δ δ δ ΕΑ + p δd = Η διαγραφή του όρου οφείλεται στη βασική απαίτηση της µεταβολής αποδεκτή (να ικανοποιεί τις οµογενείς βασικές συνθήκες του προβλήµατος). ηλαδή, θα πρέπει η µεταβολή να είναι «συµβατή µε τις βασικές συνοριακές συνθήκες» (δηλαδή τις «στηρίξεις» του συστήµατος), άρα δ είναι τυχαία. Εποµένως, { } δ ( ) ΕΑ Q ΕΑ + p δd = δ =, κατά τα άλλα όµως η δ να είναι Από την ανωτέρω σχέση συµπεραίνω ότι επειδή το δ είναι τυχαίο, ΕΑ = Q στο = ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Εισαγωγή στις αριθµητικές µεθόδους σελίδα 3 από 3
που είναι η φυσική συνοριακή συνθήκη στο, και επειδή η δ είναι τυχαία, ΕΑ + p= στο πεδίο. Εποµένως η θεώρηση της εξίσωσης ισορροπίας είναι ισοδύναµη µε το την αρχή της στάσιµης τιµής της δυναµικής ενέργειας. 3.3 Αρχή υνατών Έργων (µετατοπίσεων) Η αρχή των δυνατών έργων είναι ουσιαστικά µία παραλλαγή της αρχής της στάσιµης τιµής της δυναµικής ενέργειας. Η αρχή αυτή διατυπώνεται ως εξής: ηλαδή, Αν σε ένα παραµορφώσιµο σώµα που ισορροπεί επιβάλλουµε ένα επιπλέον ) το οποίο σύστηµα κινηµατικό (παραµορφώσεις ε µετατοπίσεις ονοµάζεται και «δυνατό σύστηµα» (vrtal system) τυχαίο µεν, αλλά που να ικανοποιεί τις κινηµατικές εξισώσεις και τις οµογενείς βασικές συνοριακές συνθήκες, τότε το «εσωτερικό δυνατό έργο» µε τις «δυνατές» παραµορφώσεις έργο» W et µετατοπίσεις W nt των εσωτερικών δυνάµεων ε είναι ίσο µε το «εξωτερικό δυνατό ( ) των εξωτερικών δυνάµεων µε τις αντίστοιχες «δυνατές» ( ). W nt = W et ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ Στην προκείµενη περίπτωση, θεωρώ ( ) = δυνατές µετατοπίσεις ε = δυνατές παραµορφώσεις Τότε, λόγω του ότι έχουµε Θέτοντας d d = ε = και W = σε dv = Εεε Α d=εα d nt W = p d + Q = p d + Q W et = W nt et όπως ορίζει η αρχή των δυνατών έργων, έχω ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Εισαγωγή στις αριθµητικές µεθόδους σελίδα 4 από 3
ΕΑ d= pd+ Q Παρατηρήστε πως αν συµβολίσω = δ (δεδοµένου ότι και οι δύο είναι τυχαίες αποδεκτές συναρτήσεις), τότε έχω την σχέση (), δηλαδή ότι παίρνω από το θεώρηµα της στάσιµης τιµής της δυναµικής ενέργειας. 3.4 υναµική ενέργεια ελαστικών συστηµάτων Θα παρουσιάσουµε µερικά παραδείγµατα δυναµικής ενέργειας σε ελαστικά συστήµατα. Α) Ράβδος µε αξονική ένταση + = p() EA = Q Σχήµα 3.3 οκός µε αξονική ένταση. Π= U + V Στάσιµη τιµή Π= σεαd p d Q Π= ΕΑ d p d Q δπ= d p d Q () δπ= ΕΑ δ δ δ = µε δ αποδεκτή συνάρτηση (τυχαία) δηλαδή δ = εκεί που έχω βασικές συνοριακές συνθήκες. Ολοκληρώνοντας κατά µέλη καταλήγω στην ιαφορική εξίσωση και τις φυσικές συνοριακές συνθήκες. Η εξίσωση () γράφεται και : Ή δ ΕΑ δ = + δ d p d Q ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Εισαγωγή στις αριθµητικές µεθόδους σελίδα 5 από 3
σε Α d = p d + Q (3) µε δηλαδή σ =Ε ε =Ε δ ε = δ = ε, ικανοποιούν την κιν. σχέση ε ( = ). Η (3) γράφεται Wnt = W et που αποτελεί την έκφραση της αρχής των δυνατών έργων για το σύστηµά µας. Β) Καµπτόµενη δοκός q() M EI w() Σχήµα 3.4 οκός µε καµπτική ένταση. Π= U + V = M kd q wd M w Π= ΕΙw d q wd M w Στάσιµη τιµή δπ= w w d q wd M w (4) δπ= ΕΙ δ δ δ µε δ w τυχαία αποδεκτή συνάρτηση δηλαδή ικανοποιεί τις βασικές οµογενείς συνοριακές Συνθήκες (εδώ δw δw = = στην διαφορική εξίσωση και τις φυσικές συνορακές συνθήκες. Η (4) γράφεται : ή αλλιώς ΕΙ w δw d = q δwd + M δw ). Ολοκληρώνοντας κατά µέλη ( φορές) καταλήγω ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Εισαγωγή στις αριθµητικές µεθόδους σελίδα 6 από 3
δ Mk d= q w d+ M w µε ή δ w w, k = δ w = w M =ΕΙ k= ΕΙ w W = W αρχή δυνατών έργων nt et Γ) Ράβδος µε αξονική ένταση και µε µη σταθερή διατοµή + = p() EA = Q Σχήµα 3.5 οκός µεταβλητής διατοµής υπό αξονική ένταση. Αποδεικνύεται εύκολα πως η ενέργεια είναι Π= ΕΑ d pd Q Προσοχή όµως, εδώ το εµβαδό της διατοµής δεν είναι σταθερό, άρα το Α στο πρώτο ολοκλήρωµα δεν µπορεί να βγεί έξω από το ολοκλήρωµα. Γενική Παρατήρηση Μία γενική κατηγορία προβληµάτων που µας ενδιαφέρουν είναι τα εξής: d d g h = p d d (5) µε συνοριακές συνθήκες: = = q ή = = ή = q = ή = q = q ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Εισαγωγή στις αριθµητικές µεθόδους σελίδα 7 από 3
Ερώτηση: Μήπως υπάρχει κάποιο συναρτησιακό Π ( ) για το οποίο η συνθήκη δπ= να µας δίνει την ως άνω εξίσωση? Απάντηση: Το ζητούµενο συναρτησιακό Π ( ) είναι το εξής (για το πρώτο ζεύγος συνοριακών συνθηκών): Π = + ( ) g( ) d h( ) d p( ) d g q Αποδεικνύεται ότι (η απόδειξη να γίνει ως άσκηση): δπ= [διαφορική εξίσωση και φυσική συνοριακή συνθήκη] 3.5 Ασθενής Μορφή του Προβλήµατος Θα ασχοληθούµε µε το κάτωθι πρόβληµα ( S ) στο ΕΑ k= p = συνοριακές συνθήκες = q ( S ) Η ανωτέρω διατύπωση ονοµάζεται "ισχυρή" µορφή του προβλήµατος ( S ). Θεωρώντας µία τυχαία αποδεκτή συνάρτηση µορφή του προβλήµατος ( W ): ( ), µπορώ να γράψω την "ασθενή" ( ΕΑ + ) = = q k p d ( W ) Η "ασθενής" µορφή θα συµβολίζεται ( W ). Αν η λύση του ( S ) τότε σίγουρα θα είναι λύση του ( W ). Το αντίστροφο δεν είναι απολύτως προφανές, όµως αποδεικνύεται εύκολα. Εφόσον η ( W ) ισχύει για κάθε f ( ) ( ) = a ΕΑ k+ p ( ) όπου a είναι µία θετική σταθερά. Τότε, af d f = = ( ), θεωρήστε πως ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Εισαγωγή στις αριθµητικές µεθόδους σελίδα 8 από 3
άρα ισχύει η διαφορική εξίσωση: ΕΑ k+ p = Μπορώ να προχωρήσω λίγο ακόµη, µετατρέποντας το πρόβληµα σε µία "συµµετρική" ασθενή µορφή. Ολοκληρώνοντας κατά µέλη την ασθενή µορφή: και έχω ηλαδή ( ) ΕΑ k+ p wd= ΕΑ ΕΑ d k d+ p d= ΕΑ ΕΑ ( ) q ΕΑ d k d+ p d= ΕΑ d + k d p d ΕΑ q = ( W ) Η ανωτέρω έκφραση αποτελεί την "συµµετρική ασθενή" µορφή του προβλήµατος και συµβολίζεται µε (. W ) Με άλλα λόγια το υπόψη πρόβληµα τίθεται ισοδύναµα ως ακολούθως: ) ( ) Βρείτε την που ικανοποιεί την ( W για κάθε αποδεκτή συνάρτηση. Παρατήρηση : Αν γράψω την ενέργεια του συστήµατος Π= U + V = ΕΑ d+ k d p d q ΕΑ Και εφαρµόσω το διάγραµµα στάσιµης τιµής, τότε αν θέσω δπ= ΕΑ δ d + k δ d p δ d ΕΑ q δ = = ) δ (οπότε δ τότε καταλήγω στην σχέση ( W ) υπάρχει µία πλήρης ισοδυναµία µεταξύ των δ και. δηλαδή στην συµµετρική ασθενή µορφή. Σηµειώνεται πως ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Εισαγωγή στις αριθµητικές µεθόδους σελίδα 9 από 3
Με άλλα λόγια, για συστήµατα που έχουν δυναµική ενέργεια η ασθενής µορφή δεν είναι τίποτε άλλο από την σχέση δπ= που είναι ουσιαστικά η αρχή των δυνατών έργων. Για τον ίδιο λόγο η "ασθενής µορφή" λέγεται και "µορφή µεταβολής", προκύπτει δηλαδή από την µεταβολή κάποιου συναρτησιακού. 3.6 Μέθοδοι Galerkn και Raylegh Rtz Η επίλυση του προβλήµατος, µέσω της "ισχυρής µορφής" ( S ) δεν είναι πάντοτε εφικτή. Αντ αυτού θα ήθελα µία προσεγγιστική λύση, η οποία όπως θα δούµε µπορεί να επιτευχθεί µέσω της ( W ). Χρησιµοποιώντας την ( W ) θα ήθελα κατ αρχάς, τα ολοκληρώµατα και ΕΑ d k d να ορίζονται (δηλ. να µην "απειρίζονται"). Θα ήθελα λοιπόν οι συναρτήσεις και να έχουν πεπερασµένα ολοκληρώµατα όσον αφορά τις παραγώγους τους: w d< και d ( ) < Αυτό συµβαίνει όταν οι, είναι "αρκούντως οµαλές", δηλαδή δεν παρουσιάζουν ιδιαίτερες ασυνέχειες. Θα επανέλθουµε στο υπόψη ζήτηµα πιο αναλυτικά. Εκτός από αυτόν τον περιορισµό, η w( ) θα πρέπει να είναι αποδεκτή συνάρτηση. Κατά τα άλλα η ( ) είναι µία τυχαία συνάρτηση. 3.6. Μέθοδος Galerkn Έστω ( ) φ, =,,..., µε βάση του χώρου των συναρτήσεων. Τότε = φ a = φ a αυτό όµως δεν είναι ιδιαιτέρως επιθυµητό. Θα ήθελα έναν πεπερασµένο αριθµό συναρτήσεων φ ( ). Προφανώς όσο µεγαλύτερος ο αριθµός αυτός, τόσο καλύτερη η ακρίβεια, αλλά αυτό θα µας απασχολήσει αργότερα. Έστω λοιπόν συναρτήσεις φ µε = φ a το πλήθος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Εισαγωγή στις αριθµητικές µεθόδους σελίδα από 3
= φ a µην ξεχνάτε ότι η συνθήκες. Στο πρόβληµα που εξετάζω θα πρέπει =. Εποµένως και θα πρέπει να ικανοποιεί τις οµογενείς βασικές συνοριακές a φ =. Επίσης τα β είναι τυχαία, ενώ τα είναι ουσιαστικά οι άγνωστοι του προβλήµατος. Με δεδοµένη αυτήν την προσέγγιση, θα πρέπει να ικανοποιήσω την ( W ). Θέτοντας ( jφ j)( φ ) ( jφj)( φ) p ( a φ) d Q a φ ΕΑ a a d+ k a a d K = ΕΑ φφ d+ kφφ d j j j = (6) φ φ (7) F = p d+ Q η παραπάνω "ασθενής µορφή" γράφεται: a Kj aj F = j= = εφόσον τα a είναι τυχαία, θα πρέπει Ka j j = F, =,,..., j= που αποτελεί ένα σύστηµα µε εξισώσεις και αγνώστους. Σε µητρωϊκή µορφή όπου [ Κ] a = F [ K] K K K K K K K K K = [... T a = aa a ] [... T F = FF F ] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Εισαγωγή στις αριθµητικές µεθόδους σελίδα από 3
Η εύρεση των a µε µία απλή αντιστροφή του µητρώου [ Κ ] [ ] a = Κ F σηµαίνει και εύρεση της (προσεγγιστικής) άγνωστης συνάρτησης φ a που αποτελεί µία προσέγγιση της πραγµατικής λύσης. Με την µέθοδο αυτή, από ένα σύστηµα άπειρους βαθµούς ελευθερίας, παίρνουµε ένα σύστηµα µε (δηλαδή έναν πεπερασµένο αριθµό) βαθµούς ελευθερίας. ηλαδή ένα σύστηµα συνεχές ανάγεται σε ένα διακριτό. Η τεχνική αυτή λέγεται ΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗ. 3.6. Μέθοδος Raylegh Rtz Μία "συγγενής" µέθοδος µε την Galerkn είναι η µέθοδος Raylegh Rtz η οποία καταλήγει ακριβώς στο ίδιο αποτέλεσµα, αλλά ξεκινά από την "ενέργεια" (δηλαδή το συναρτησιακό Π ( ) ) και όχι την ασθενή µορφή. Θεωρώ την προσέγγιση και = φ a Π = ΕΑ + ΕΑ ( ) d k d p d q Π= ΕΑ + ΕΑ ( aφ ) d k( aφ) d p( aφ) d q aφ Π a a,,..., a Τώρα το αποτελεί συνάρτηση των, δηλαδή το πρόβληµα «διακριτοποιείται». Εποµένως για να έχω στάσιµη τιµή, θα πρέπει Π =, =,,..., a Εύκολα αποδεικνύεται ότι αυτές οι εξισώσεις είναι οι ίδιες µε αυτές της Galerkn. Kj aj = F, =,,..., j= και σε µητρωϊκή µορφή [ Κ] a = F Παρατήρηση Ι Η προσεγγιστική λύση του προβλήµατος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Εισαγωγή στις αριθµητικές µεθόδους σελίδα από 3
φ a Ικανοποιεί τις βασικές συνοριακές συνθήκες. Πράγµατι διότι, a φ φ = = =. Τι γίνεται µε τις υπόλοιπες συνοριακές συνθήκες; = φ =? a q Η αλήθεια είναι πως στην γενική περίπτωση οι φυσικές συνοριακές συνθήκες δεν ικανοποιούνται ακριβώς. Όπως επίσης η. Εξ. δεν ικανοποιείται σε κάθε σηµείο του διαστήµατος. Με άλλα λόγια η "ικανοποίηση" της ιαφορικής Εξίσωσης και των φυσικών συνοριακών συνθηκών είναι προσεγγιστικής µορφής. Παρατήρηση ΙΙ Στα ανωτέρω χρησιµοποιήσαµε ένα σύνολο συναρτήσεων φ ( ), για την επίλυση του προβλήµατος µε προσεγγιστικό τρόπο. Από την στιγµή που γίνει η επιλογή των συναρτήσεων αυτών, η διαδικασία είναι συστηµατική:. υπολογίζονται τα ολοκληρώµατα στις σχέσεις (6) και (7). µορφώνονται το µητρώο [ K ] και το διάνυσµα P 3. Επιλύεται το σύστηµα ως προς τους αγνώστους a. Τίθενται όµως κάποια σηµαντικά ερωτήµατα: Τι είδους συναρτήσεις θα πρέπει να διαλέξω (πολυωνυµικές, τριγωνοµετρικές ή άλλου είδους)? Πόσες συναρτήσεις θα πρέπει να διαλέξω? Τα ερωτήµατα αυτά προφανώς δεν είναι εύκολο να απαντηθούν, η απάντηση τους δε εξαρτάται από το πρόβληµα που θέλουµε να λύσουµε, καθώς και την επιθυµητή ακρίβεια στην προσεγγιστική λύση. Τα επόµενα κεφάλαια προσπαθούν να απαντήσουν στα ανωτέρω ερωτήµατα, µέσω της µεθοδολογίας των Πεπερασµένων Στοιχείων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Εισαγωγή στις αριθµητικές µεθόδους σελίδα 3 από 3