3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ Η δυναµική ασχολείται µε την εξαγωγή και τη µελέτη του δυναµικού µοντέλου ενός ροµποτικού βραχίονα. Το δυναµικό µοντέλο συνίσταται στις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν αναλυτικά τη σχέση ανάµεσα στις ροπές των κινητήρων που κινούν τις αρθρώσεις του βραχίονα και την κίνηση της κατασκευής. Για το λόγο αυτό οι δυναµικές εξισώσεις ενός βραχίονα ονοµάζονται και εξισώσεις κίνησης του βραχίονα. Η µελέτη του δυναµικού µοντέλου ενός βραχίονα παίζει πολύ σηµαντικό ρόλο σε ολόκληρο τον κύκλο ζωής του, από το σχεδιασµό και την κατασκευή του µέχρι τη χρήση του σε ένα βιοµηχανικό ή άλλο περιβάλλον. Οι δυναµικές εξισώσεις µάλιστα είναι δυνατό να οριστούν µε δύο τρόπους, είτε στον τρισδιάστατο χώρο λειτουργίας του ροµπότ είτε στον χώρο των µεταβλητών των αρθρώσεων του. Στα πλαίσια των παρόντων σηµειώσεων πρόκειται να ασχοληθούµε µε το δυναµικό µοντέλο του χώρου αρθρώσεων. Για την εξαγωγή του τελευταίου εφαρµόζονται διάφορες µέθοδοι, η πιο συνήθης από τις οποίες είναι η µέθοδος Euer-Lagrange που θα παρουσιαστεί και στη συνέχεια. 3. H Μέθοδος Euer-Lagrange Για ένα ροµποτικό βραχίονα µε n βαθµούς κινητικότητας η δυναµική µοντελοποίηση µε τη µέθοδο Euer-Lagrange βασίζεται στην επιλογή ενός συνόλου µεταβλητών λ ( =,, n) που ονοµάζονται γενικευµένες συντεταγµένες και περιγράφουν τις θέσεις των συνδέσµων. Η µέθοδος χρησιµοποιεί για την εξαγωγή των εξισώσεων κίνησης το ενεργειακό µέγεθος λαγκρανζιανή (Lagrangan) που ορίζεται ως συνάρτηση των γενικευµένων συντεταγµένων ως εξής: L= U (3.) όπου και U είναι αντίστοιχα η ολική κινητική και η ολική δυναµική ενέργεια του συστήµατος. Για την περίπτωση ενός ροµποτικού βραχίονα ως γενικευµένες συντεταγµένες µπορούν να επιλεγούν οι µεταβλητές των αρθρώσεων, δηλαδή λ q q M = = M (3.) λ q n n Για παράδειγµα για έναν ανθρωποµορφικό βραχίονα (διαθέτει 3 βαθµούς κινητικότητας) ως γενικευµένες συντεταγµένες µπορούν να επιλεγούν οι 3 γωνίες των αρθρώσεων. Έτσι µε βάση την παραπάνω εξίσωση θα προκύψει η λαγκρανζιανή της κατασκευής, η οποία θα είναι συνάρτηση των 3 γωνιών των αρθρώσεων. Από τη στιγµή που έχει ορισθεί η λαγκρανζιανή του συστήµατος, οι δυναµικές εξισώσεις του βραχίονα προκύπτουν µε εφαρµογή της παρακάτω σχέσης d L L = ξ =, K, n (3.3) dt & λ λ όπου ξ είναι η γενικευµένη δύναµη που αντιστοιχεί στη γενικευµένη συντεταγµένη λ. Οι γενικευµένες δυνάµεις προκύπτουν από τις µη-συντηρητικές δυνάµεις που ασκούνται στην κατασκευή, π.χ. τις ροπές των κινητήρων που οδηγούν τις αρθρώσεις, τις ροπές τριβής στις αρθρώσεις καθώς επίσης και τις ροπές που αναπτύσσονται στις αρθρώσεις ως αποτέλεσµα των δυνάµεων επαφής που ασκούνται στο εργαλείο. Για την περίπτωση του ανθρωποµορφικού βραχίονα που αναφέραµε παραπάνω οι εξισώσεις κίνησης προκύπτουν µε διαδοχική εφαρµογή της τελευταίας σχέσης για =,, nλαµβάνοντας υπόψη την εκάστοτε γενικευµένη δύναµη.
Η τελευταία σχέση όταν εφαρµοστεί για =,, n µας δίνει τις αναλυτικές σχέσεις που ισχύουν ανάµεσα στις γενικευµένες δυνάµεις που ασκούνται στο βραχίονα και στις µετατοπίσεις, τις ταχύτητες και τις επιταχύνσεις των αρθρώσεων. Η σχέση όµως αυτή βασίζεται στην ολική κινητική και την ολική δυναµική ενέργεια του συστήµατος. Με τον υπολογισµό των µεγεθών αυτών θα ασχοληθούµε στη συνέχεια. 3. Προσδιορισµός της Ολικής Κινητικής Ενέργειας Θεωρούµε ένα ροµποτικό βραχίονα µε n το πλήθος συνδέσµους. Η ολική κινητική ενέργεια του βραχίονα προκύπτει ως άθροισµα των συνεισφορών κινητικής ενέργειας λόγω κίνησης των συνδέσµων και των συνεισφορών κινητικής ενέργειας λόγω της κίνησης των επενεργητών των αρθρώσεων. Θα έχουµε λοιπόν: όπου είναι η κινητική ενέργεια του συνδέσµου και κινητήρα που κινεί στην άρθρωση. n = ( + ) m (3.4) = m η κινητική ενέργεια του p& ω r p p Κινητική Ενέργεια Συνδέσµων Η κινητική ενέργεια του συνδέσµου δίδεται από τη σχέση ολοκλήρωσης (επί όλου του όγκου του ) της κινητικής ενέργειας των επί µέρους στοιχειωδών τµηµάτων (όπως φαίνεται στο προηγούµενο σχήµα) που τον αποτελούν, δηλαδή = p p ρ d & & (3.5) όπου ρ, p& είναι, αντίστοιχα, η πυκνότητά και θέση του στοιχειώδους τµήµατος d αναφορικά µε το αδρανειακό σύστηµα x0yz. 0 0 Αν p είναι η θέση του κέντρου µάζας του
συνδέσµου (που έχει µάζα m ρ d ) αναφορικά µε το αδρανειακό σύστηµα x 0yz, 0 0 δηλαδή Επειδή p p ρ d m, (3.6) έχουµε όπου r = rx ry r z p p (3.7) ( ω ) p& = p& + ω r = p& + S r (3.8) S 0 ωz ω y ω = ωz 0 ωx. (3.9) ωy ωx 0 Αντικαθιστώντας την (3.8) στην έκφραση (3.5) της κινητικής ενέργειας τρεις όρους: τον µεταφορικό τον αµοιβαίο, λαµβάνουµε p& p& ρ d = m p& p&, (3.) ( 3.7) ( 3.6 ) p S( ω ) 0 r ρ d = p S ω p p ρ d = & &, (3.) και τον περιστροφικό r S ω S ω r ρ d = ω S r S r ρ d ω = ω I ω (3.3) δεδοµένου ότι, όπως εύκολα µπορεί να αποδειχθεί, ( ω ) = ω, S r S r 0 rz r y S r = rz 0 rx ry rx 0 (3.4) και εποµένως ο τανυστής αδράνειας του συνδέσµου, αναφορικά µε το κέντρο µάζας του συνδέσµου αλλά εκφρασµένος στο αδρανειακό σύστηµα είναι 3
( y z ) x y x z x y ( x z ) y z x z y z ( x y ) r + r ρ d r r ρ d r r ρ d I S r S r ρ d r r ρ d r r ρ d r r ρ d = + (3.5) r r ρ d r r ρ d r + r ρ d και είναι συµµετρικός και προφανώς εξαρτάται από την θέση του συνδέσµου. Αυτό οφείλεται στο ότι η θέση του συνδέσµου ως προς το σύστηµα αναφοράς της βάσης (έτσι όπως περιέχεται στο µητρώο περιστροφής R ) εξαρτάται κάθε φορά από τις γωνίες των αρθρώσεων έως και. Από τις (3.3,5) γίνεται φανερό ότι αν θελήσουµε να κάνουµε χρήση του τανυστή αδράνειας I του συνδέσµου, αναφορικά µε το κέντρο µάζας του συνδέσµου αλλά εκφρασµένου στο (κατά D-H) σύστηµα του συνδέσµου, τότε αυτός είναι σταθερός στο σύστηµα αξόνων και ισχύει I I I I = R I R = I I I I I I xx xy xz yx yy yz zx zy zz οπότε µε βάση τις (3.-3, 6) η συνολική κινητική ενέργεια είναι (3.6) = m p& p& + ω R I R ω (3.7) Για να εκφράσουµε την παραπάνω σχέση µε βάση τις γενικευµένες συντεταγµένες (δηλ. γωνίες αρθρώσεων) πρέπει να κάνουµε χρήση των γεωµετρικών ιακωβιανών θέσης και προσανατολισµού, δηλαδή ληφθούν υπόψη οι συνεισφορές των ταχυτήτων των αρθρώσεων µέχρι και του τρέχοντος συνδέσµου, ( ) ( ) ( ) ( ) L (3.8) p& =I q& +I q& + +I q& = J q& P P P P όπου ( ) ( ) ( ) ( ) q& q& L q& J q& (3.9) ω =I +I + +I = O O O O ( ) ( ) ( ) J P = IP K I P 0 K 0 (3.0) ( ) ( ) ( ) JO = IO K I O 0 K 0 (3.) I I Τα διανύσµατα P j και O j που εµφανίζονται στις παραπάνω γεωµετρικές ιακωβιανές θέσης και προσανατολισµού θα δίνονται µε βάση τη διαφορική κινηµατική από τις σχέσεις z j για πρισµατική άρθρωση ( ) I Pj 0 = ( ) (3.) I zj ( p p ) O j j για περιστροφική άρθρωση z j όπου p j είναι το διάνυσµα θέσης της αρχής του συστήµατος j, p είναι το διάνυσµα θέσης του κέντρου µάζας του συνδέσµου και z j είναι το µοναδιαίο διάνυσµα του άξονα z του συστήµατος συντεταγµένων j. 4
Έτσι, µε τη βοήθεια της κινηµατικής και της διαφορικής κινηµατικής του βραχίονα η κινητική ενέργεια του συνδέσµου δίνεται από τη σχέση: = m q& J P J P q& + q& J O R I R J O q& (3.3) ( ) όπου m η µάζα του συνδέσµου, q το διάνυσµα των µεταβλητών των αρθρώσεων, J P και J O αντίστοιχα οι Ιακωβιανές θέσης και προσανατολισµού του συνδέσµου, R το µητρώο περιστροφής του συστήµατος αξόνων του συνδέσµου (nk frame ) ως προς το σύστηµα αναφοράς της βάσης (base frame) και I ο τανυστής αδράνειας του συνδέσµου εκφρασµένος στο σύστηµα αξόνων. 5