ΓΙΟ-ΓΙΟ ΚΙ ΚΟΨΙΜΟ ΝΗΜΤΟΣ Ο ομογενής κύλινδρος(γιο-γιό) του σχήμτος έχει μάζ Μ=5kg κι κτίν R=0,m. Γύρω πό τον κύλινδρο είνι τυλιγμένο βρές κι μη εκττό νήμ, το ελεύθερο άκρο του οποίου τρβάμε προς τ πάνω τη χρονική στιγμή t=0, σκώντς κτκόρυφη δύνμη F, όπως φίνετι στο σχήμ. Η δύνμη υτή προσδίδει στο σημείο εφρμογής, κτκόρυφη επιτάχυνση =8m/s προς τ πάνω. Ν υπολογίσετε:. το μέτρο της γωνικής επιτάχυνσης του γιο-γιό Κ F β. το μέτρο της δύνμης F που σκούμε στο νήμ γ. το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζς του γιο-γιό δ. το μέτρο της τχύτητς του κέντρου μάζς του γιο-γιό τη χρονική στιγμή t =s ε. την μετβολή του μήκους νήμτος που νήκει στο ευθύγρμμο τμήμ του πό τη χρονική στιγμή t=0 μέχρι την χρονική στιγμή t. στ. Ν περιγράψετε τις ενεργεικές μετβολές πό την χρονική στιγμή t=0 μέχρι τη στιγμή t. Την χρονική στιγμή t κόβετι το νήμ. ζ. Ν υπολογίσετε το μέτρο της τχύτητς που έχει έν σημείο του κυλίνδρου το οποίο βρίσκετι στο ίδιο κτκόρυφο επίπεδο με το κέντρο Κ του γιο-γιό κι πέχει πό υτό πόστση r=0,m, την χρονική στιγμή t =,8s. Δίνετι η ροπή δράνεις του γιο-γιό ως προς τον άξον περιστροφής του Ι cm = MR κι η επιτάχυνση της βρύτητς g=0m/s. Η ντίστση του έρ θεωρείτι μελητέ.
Λύση:. Επειδή το νήμ είνι βρές η δύνμη που σκούμε στο άκρο υτού έχει μέτρο, κάθε στιγμή, ίση με την τάση του νήμτος. F=T F γων Τ επ cm Κ Z Ζ B cm Ο Θεμελιώδης Νόμος της Μηχνικής(Θ.Ν.Μ.) γι τη μετφορική κίνηση δίνει: ΣF=Μ. cm BT= Μ. cm MgT= Μ. cm () O Θεμελιώδης Νόμος της Στροφικής Κίνησης (Θ.Ν.Σ.Κ.) ως της το κέντρο μάζς κι θεωρώντς θετικές τις ριστερόστροφες ροπές, δίνει: Στ=Ι. cm γων T. R= Ι. cm γων T. R= ΜR. γων T= ΜR. γων () Επειδή το νήμ είνι μη εκττό, το σημείο της περιφέρεις του γιο-γιό που εφάπτετι στο ευθύγρμμο τμήμ του νήμτος(σημείο Ζ) θ έχει κάθε στιγμή κτκόρυφη επιτάχυνση ίση με την επιτάχυνση του άκρου του νήμτος. Οπότε λόγω της ρχής της επλληλίς: a Z a a a cm a a R acm a cm = γων R- (3) Με πρόσθεση κτά μέλη των σχέσεων () κι () έχουμε: Μg ΜR. γων = Μ. cm Μg= ΜR. γων +Μ( γων R ) g=,5r. γων γων g 0 8 8 γων =60rad/s,5R,5 0, 0,3
β. πό την σχέση () έχουμε ότι: F=T= 5 0, 60 F=30N γ. πό την σχέση () έχουμε ότι: cm Μg F 50 30 cm cm =4m/s M 5 δ. Το γιο-γιό εκτελεί ομλά επιτχυνόμενη μετφορική κίνηση χωρίς ρχική τχύτητ: = cm t =4. =8m/s Επίσης το γιο-γιό εκτελεί ομλά επιτχυνόμενη περιστροφική κίνηση χωρίς ρχική τχύτητ, οπότε: ω= γων t =60. ω=0rad/s ε. Όπως φίνετι στο πρκάτω σχήμ, η μετβολή Δl του μήκους που έχει ξετυλιχθεί είνι ίσο με την κτκόρυφη μεττόπιση του Δψ ελεύθερου άκρου κι της κτκόρυφης μεττόπισης Δψ του κέντρου μάζς του γιο-γιό Δh cm. Γι την κτκόρυφη μεττόπιση του ελεύθερου L L+Δl άκρου ισχύει: Δψ Δψ =6m t Δψ 8 Δh cm Γι την κτκόρυφη μεττόπιση του κέντρου μάζς του γιο-γιό ισχύει: Δh Δh =8m cm cmt Δhcm 4 Άρ: Δl=Δψ +Δh cm Δl=Δψ +Δh cm Δl=4m στ. Το έργο της δύνμης F μέχρι τη χρονική στιγμή t είνι: W F =F. Δψ =30. 6 W F =480J
H μετβολή της βρυτικής δυνμικής ενέργεις είνι ίση με το ντίθετο του έργο του βάρους B μέχρι τη χρονική στιγμή t είνι: ΔU=-W W =-Mg(-Δψ ) ΔU=5. 0. 8 ΔU=400J Η μετφορική κινητική ενέργει μέχρι τη χρονική στιγμή t είνι: Κ μετ =60 J μετ Μucm 5 8 Η κινητική ενέργει λόγω της στροφικής κίνησης μέχρι τη χρονική στιγμή t είνι: Κ στρ =70 J 4 στρ Ιω ΜR ω 5 0, 0 Πρτηρούμε ότι επληθεύετι η ρχή διτήρησης της ενέργεις: W F +ΔU= μετ +Κ στρ Δηλδή η μετβολή της βρυτικής δυνμικής ενέργεις κι η ενέργει που προσφέρετι μέσω του έργου της δύνμης F ισούτι με το άθροισμ της κινητικής ενέργεις λόγω μετφορικής κίνησης κι της κινητικής ενέργεις λόγω στροφικής κίνησης. ζ. Ότν το νήμ κοπεί, τότε στο γιο-γιό σκείτι μόνο το βάρος του, έτσι η ροπή που εφρμόζετι στο γιο-γιό είνι μηδέν, οπότε το γιο-γιό μετά την χρονική στιγμή t θ διτηρήσει την γωνική τχύτητ που είχε ποκτήσει τότε(ω=0rad/s). Τυτόχρον, το γιο-γιό εκτελεί μί ευθύγρμμη ομλά επιτχυνόμενη(μετφορική) κίνηση με επιτάχυνση μέτρου =g κι ρχική τχύτητ, την μετφορική τχύτητ που είχε ποκτήσει τη στιγμή t (u o,cm =8m/s). Η μετφορική τχύτητ τη χρονική στιγμή t έχει μέτρο:, =u o,cm + cm (t -t ), =8+0(,8-), =6 m/s Λόγω της ρχής της επλληλίς, την χρονική όλ τ σημεί του γιο-γιό έχουν τχύτητ λόγω της μετφορικής κίνησης κι γρμμική τχύτητ λόγω της στροφικής κίνησης, εφπτομενική στην κυκλική τους τροχιάς. Το σημείο της περιφέρεις που πέχει πό το κέντρο Κ του γιογιό πόστση 0,m έχει γρμμική τχύτητ μέτρου u M Μ r Ν R u N
,M =ω. r =0. 0, =m/s Άρ, το μέτρο της τχύτητς του σημείου Μ είνι: u u u 6 cm, u M =0m/s γρ 400 Την ίδι κτά μέτρο τχύτητ έχει κι το σημείο Ν που είνι το ντιδιμμετρικό του σημείου Μ. Πέτρος Κρπέτρος Λυκεικές Τάξεις Μεσοβουνίων pkarapetros@hotmail.com