ΚΕΦ. Εισαγωγή στη φυσική της κυματικής κίνησης.5-.6 Θεμελιώδεις λύσεις στον ελεύθερο χώρο. Συναρτήσεις Green..6. Γενικές ιδιότητες των θεμελιωδών λύσεων.6. Συναρτήσεις Green της είσωσης d Alembert στον ελεύθερο χώρο..6.3 Συναρτήσεις Green της είσωσης Helmholtz στον ελεύθερο χώρο..6.4 Θεωρήματα Green και Θεωρήματα ολοκληρωτικών αναπαραστάσεων 5//8 :56 AM
ΚΕΦ. Εισαγωγή στη φυσική της κυματικής κίνησης.-.6 Θεμελιώδης λύσεις στον ελεύθερο χώρο. Συναρτήσεις Green. Στο προηγούμενο εδάφιο είχαμε ασχοληθεί με την παρουσίαση απλών λύσεων των ομογενών εισώσεων d Alembert και Helmholtz στις δύο και τρεις διαστάσεις, που αντιπροσωπεύουν κυλινδρικά και σφαιρικά κύματα, αντίστοιχα. Εύκολα μπορούμε να επαληθεύσουμε ότι όντως οι λύσεις αυτές ικανοποιούν τις αντίστοιχες ομογενείς εισώσεις παντού, εκτός από την αρχή των χρησιμοποιούμενου συστήματος R και r, αντίστοιχα, όπου παρουσιάζουν ιδιόμορφη συντεταγμένων ( συμπεριφορά. Στο εδάφιο αυτό θα παρουσιάσουμε τις θεμελιώδεις λύσεις των ιδίων εισώσεων, δηλαδή λύσεις που ικανοποιούν την μη ομογενή είσωση d Alembert, Φ ( r;t t c Φ ( r;t F( r ;t Δ ( που υπόκεινται στον περιορισμό (αρχική συνθήκη Φ ( r;t, για t < t και την μη ομογενή είσωση Helmholtz, ο ο ( ( (, (a ΔΦ r; ω + k Φ r ; ω f r; ω, ( στην ειδική περίπτωση, όπου η συνάρτηση στο δεί μέλος των εισώσεων αυτών (όρος διέγερσης είναι της μορφής: και αντίστοιχα. ( δ( δ( F ;t t t r r r ( r ( r r f ;ω δ, (3, (4 Θεωρούμε (! ότι ο αναγνώστης διαθέτει κάποια εοικείωση με την συνάρτηση, Dirac-δ που εμφανίζεται σε δεί μέλος των σχέσεων (3 και (4, η οποία απέχει πολύ από την κλασσική έννοια της συναρτήσεως (μιάς ή περισσοτέρων μεταβλητών. Όντως, η συνάρτηση αυτή έχει την ιδιότητα ( δ rr -, για r r, (5 και, στην πραγματικότητα, αποκτά έννοια μέσα από την δράση της: 5//8 :4 PM
ΚΕΦ. Θεμελιώδεις λύσεις. Συναρτήσεις Green.- δ( rr - f ( r dr f ( r, (6 D πάνω σε κάθε συνεχή συνάρτηση f ( r, η οποία είναι στο αυθαίρετο χωρίο N D IR. Σημειώνουμε εδώ ότι στην ειδική περίπτωση υποθέσεις σχετικά με τα σύνολα συνεχών συναρτήσεων δυνατή η επέκταση του ορισμού της συναρτήσεως δ. N DIR απαιτούνται πρόσθετες f ( r, πάνω στα οποία είναι N Η λύση της μη ομογενούς εισώσεως (, για rr, IR, και t t <, με όρο διέγερσης της μορφής (3, αναφέρεται ως θεμελιώδης λύση (ή συνάρτηση Green της είσωσης d Alembert στον ελεύθερο χώρο. Επίσης, η λύση της μη ομογενούς N εισώσεως Helmholtz ( για rr, IR και k >, με όρο διέγερσης της μορφής (4, αναφέρεται ως θεμελιώδης λύση (ή συνάρτηση Green της είσωσης Helmholtz στον ελεύθερο χώρο. Δύο είναι οι πιο βασικοί λόγοι για την κατασκευή και μελέτη των ειδικών λύσεων των εισώσεων ( και ( (και γενικότερα κάθε κυματικής είσωσης, με όρους διέγερσης της μορφής (3 και (4, αντίστοιχα. Ο πρώτος λόγος είναι ότι οι παραπάνω θεμελιώδεις λύσεις και περισσότερο αυτές που αντιπροσωπεύουν εερχόμενα κύματα μακριά από την πηγή, έχουν ιδιαίτερη φυσική σημασία. Αναπαριστούν την κυματική διαταραχή που διεγείρεται σε ένα σημείο του χώρου (το σημείο x και διαδίδεται ομοιόμορφα προς όλες τις διευθύνσεις του χώρου. Έτσι, αντιπροσωπεύουν το κυματικό πεδίο που διεγείρεται από μία σημειακή πηγή (source wave potential. Η μελέτη του κυματικού πεδίου που εκπέμπεται από μία σημειακή πηγή (ή από περισσότερες πηγές αποτελεί από μόνη της μια χρήσιμη εφαρμογή στην αεροακουστική, στην θαλάσσια ακουστική, στις τηλεπικοινωνίες κ.λ.π. Αν και εδώ ασχολούμαστε με λύσεις των εισώσεων στον ελεύθερο χώρο σε ομογενές μέσο, οι εφαρμογές αυτές καθίστανται πολύ πιο σημαντικές και οι αντίστοιχες θεμελιώδεις λύσεις, βεβαίως, πολύ πιο πλούσιες και ενδιαφέρουσες, στην περίπτωση κυματικής διάδοσης σε μη ομογενές μέσο, όπως στην πραγματικότητα είναι τόσο το θαλάσσιο περιβάλλον στην περίπτωση διάδοσης ακουστικών κυμάτων όσο και η ατμόσφαιρα/ιονόσφαιρα ή οι οπτικές ίνες στη περίπτωση των τηλεπικοινωνιών. Ο δεύτερος, και ίσως περισσότερο σημαντικός λόγος για την κατασκευή των θεμελιωδών λύσεων μιας κυματικής είσωσης, όπως οι ( και (, είναι η δυνατότητα που μας προσφέρουν, σε συνδυασμό με τα αντίστοιχα θεωρήματα Green (βλ. κατωτέρω εδάφ..6.4 της ολοκληρωτικής αναπαράστασης της λύσεως πιο σύνθετων προβλημάτων κυματικής διάδοσης, τα οποία περιγράφονται από τις ίδιες κυματικές εισώσεις, αλλά αφορούν πλέον την κυματική διάδοση σε (ομογενές μέσο που περιέχει διάφορες ανομοιογένειες. Ως ένα τέτοιο παράδειγμα μπορούμε να φαντασθούμε κυματικό πεδίο που εκπέμπεται από μια ή περισσότερες πηγές και διαδίδεται σε ένα χώρο που περιλαμβάνει ένα ή περισσότερους σκεδαστές. Το θέμα αυτό συζητείται αναλυτικότερα σε επόμενο κεφάλαιο.
ΚΕΦ. Εισαγωγή στη φυσική της κυματικής κίνησης.-.6. Γενικές ιδιότητες των θεμελιωδών λύσεων Είναι προφανές από την μορφή που έχει ο όρος διέγερσης.6(3 ή.6(4, ότι η αντίστοιχη θεμελιώδης λύση θα είναι στην γενικότητα της συνάρτηση που εαρτάται και από την θέση της διέγερσης r, καθώς και από τον εναρκτήριο χρόνο t, στην περίπτωση της είσωσης d Alembert. Έτσι, θα συμβολίζουμε τις λύσεις του προβλήματος.6(,(3 ως ( ;t G A (,t,t Φ r r r, ( και τις αντίστοιχες λύσεις του προβλήματος.6(, (4 ως o ( r;k G H ( r r ;k, ή απλούστερα H ( Φ G rr ( Θα προχωρήσουμε στην συνέχεια στην διατύπωση ορισμένων γενικών ιδιοτήτων των συναρτήσεων Green, οι οποίες μας επιτρέπουν να κατανοήσουμε καλύτερα τη δομή τους αλλά και χρησιμότητά τους. (i Οι συναρτήσεις G A ( r,t r,t και H ( G rr θα πρέπει να αναπαραστούν μόνο εερχόμενα κύματα σε μεγάλες αποστάσεις r r από το σημείο διέγερσης (πηγή. (ii Οι συναρτήσεις Green G A ( r,t r,t και H ( G rr παρουσιάζουν ορισμένες συμμετρίες ως προς τα ορίσματα r r και t t. Μια τέτοια συμμετρία εκφράζεται από την ιδιότητα της αμοιβαιότητας (reciprocity, A ( A( G r,t r,t G r,t r,t, (3 G H ( GH ( rr r r. (4 Οι ανωτέρω σχέσεις προσδιορίζουν ότι οι λύσεις που εκφράζουν το κυματικό πεδίο που διεγείρεται από μιά σημειακή πηγή στη θέση r σε κάποιο σημείο του χώρου r (σημείο δέκτη παραμένουν οι ίδιες εάν πηγή και δέκτης εναλλαχθούν. Με βάση τις ανωτέρω ιδιότητες (3 και (4 καταλήγουμε στο ότι οι συναρτήσεις GA και GH μπορούν ισοδυνάμως να εκφραστούν ως άρτιες συναρτήσεις του ρ r r : και ( ( ( A A A G r,t r, t G r r ;t,t G ρ ;t,t, (5 5//8 :5 PM
ΚΕΦ. Θεμελιώδεις λύσεις. Συναρτήσεις Green..- ( ( ( G rr G r r G ρ. (6 H H H (iii Επιπροσθέτως, η συνάρτηση G A (,t,t r r παραμένει αναλλοίωτη σε μεταθέσεις της αρχής των χρόνων. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση αυτή εαρτάται μόνο από την χρονική διαφορά τ t t (time translation invanance, δηλαδή A ( A( G r,t r,t G ρ,τ. (7 Ολοκληρώνοντας χρονικά την διαφορική είσωση.6(, (3 στο διάστημα + ( t,t, όπου t t ε και t + t + ε, ε >, και κάνοντας χρήση της αρχικής συνθήκης.6(a και των ιδιοτήτων της συνάρτησης δ, λαμβάνουμε τις σχέσεις και + t t ( r r G A,t,t lim t + t t A ( ( c δ r r, (8 limg r,t r,t. (9 Τα τελευταία αποτελέσματα μας επιτρέπουν να εκφράσουμε την συνάρτηση μορφή του γινομένου G A στην όπου A ( ( A( G r,t r,t H t t K r,t r,t, ( ( t H t συνάρτηση Heaviside είναι η συνάρτηση step function ή Heaviside. Υπενθυμίζουμε ότι η ( t H t ορίζεται ως ( t H t, για t> t, για t< t. ( Στη σχέση (, η εμφανιζόμενη συνάρτηση K A (,t,t συνάρτηση η οποία ικανοποιεί την ομογενή είσωση d Alembert: ( r r K,t,t t ( c ΔK,t,t r r είναι μια βοηθητική r r, ( και τις αρχικές συνθήκες
ΚΕΦ. Εισαγωγή στη φυσική της κυματικής κίνησης.-3 και + t t ( r r K,t,t lim t + t t ( ( c δ r r, (3 lim K r,t r,t. (4 Εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι ο propagator K A (,t,t r r διαθέτει, όπως και η συνάρτηση Green G A ( r,t r,t, τις ιδιότητες της αμοιβαιότητας και του αναλλοίωτου σε χρονικές μεταθέσεις. Επιπροσθέτως, μια και ο τελεστής d Alembert t c Δ παραμένει αμετάβλητος σε μετασχηματισμούς που αντιστοιχούν σε αντιστροφές του χρόνου (time reversal transformations, από τις αρχικές συνθήκες (3 και (4 προκύπτει ότι η λύση της ομογενούς είσωσης ( για την συνάρτηση K A ( r,t r,t, θα είναι αντισυμμετρική ως προς τη χρονική διαφορά τ t t : ( ( K r,t r,t K r,t r,t. Με βάση τις ανωτέρω παρατηρήσεις έχουμε τελικώς ( ( ( K r,t r,t K r r, t t K ρ,τ, (5 όπου η συνάρτηση propagator K ( ρ,τ είναι άρτια συνάρτηση του ρ και περιττή συνάρτηση του τ. (iv Η συνάρτηση G A ( r,t r,t παρουσιάζει ιδιόμορφη συμπεριφορά στη θέση r r του χρόνου t t. Η ένταση της ιδιομορφίας αυτής είναι διαφορετική ανάλογα με την διάσταση του προβλήματος και τα χαρακτηριστικά του διαφορικού τελεστή της κυματικής εισώσεως. Ομοίως, η συνάρτηση H ( θέση r r G rr παρουσιάζει ιδιόμορφη συμπεριφορά στη, με ένταση ανάλογα με τη διάσταση του προβλήματος. Η τελευταία ιδιότητα αποτελεί μια ειδοποιό διαφορά των συναρτήσεων Green στις δύο και τρείς διαστάσεις, σε σχέση με την αντίστοιχη μονοδιάστατη περίπτωση, όπου το πεδίο της πηγής (που αντιπροσωπεύει η συνάρτηση Green παρουσιάζει απλή ασυνέχεια κλίσης στο σημείο της πηγής. 5//8 :5 PM
ΚΕΦ. Εισαγωγή στη φυσική της κυματικής κίνησης.-.6. Συναρτήσεις Green της είσωσης d Alembert στον ελεύθερο χώρο Η κατασκευή των συναρτήσεων Green G A (,t,t r r ή G (,τ A ρ στις δύο και στις τρεις διαστάσεις βασίζεται στην φασματική αναπαράσταση του τελεστή d Alembert c Δ στον ελεύθερο χώρο. Με αυτόν τον τρόπο επιτυγχάνεται σε πρώτο βήμα t μια ολοκληρωτικού τύπου (φασματική αναπαράσταση του propagator K ( ρ, τ, για τον οποίο υπενθυμίζουμε ότι ικανοποιεί την ομογενή είσωση.6.(. Στην συνέχεια, η αναπαράσταση αυτή διαμορφώνεται κατάλληλα έτσι ώστε να ικανοποιούνται και οι αρχικές συνθήκες.6.(3 και (4. Καταλήγουμε με αυτόν τον τρόπο στις ακόλουθες σχέσεις: c( π 3 IR ( k cτ sin K ( ρ, τ dk exp 3 ( jk ρ, ( k στις τρεις διαστάσεις, όπου 3 ( k,k,k x y z IR k η φασματική παράμετρος, και K ( ρ, τ dksin( kcτ J( k π c ρ, ( στις δύο διαστάσεις. k Κάνοντας χρήση της είσωσης.6..( και υπολογίζοντας τα ολοκληρώματα που εμπλέκονται στις ανωτέρω σχέσεις ( και (, καταλήγουμε τελικώς στα ακόλουθα αποτελέσματα: (i Τρεις διαστάσεις ( ρ c δ τ G A ( ρ, τ H( τ, όπου ρ ρ, (3a 4πρc ή ισοδύναμα, A ( x x ( G,t,t H t t x x δ t t c 4π c x x. (3b 5//8 :5 PM
ΚΕΦ. Θεμελιώδεις λύσεις. Συναρτήσεις Green..- (ii Δύο διαστάσεις ( τ ρ c ( c ( H G A ( ρ, τ H( τ, (4 πc τ ρ ή ισοδύναμα, ( ( x x ( G,t,t H t t A π H t t ( c t t x x c x x. (4a
ΚΕΦ. Εισαγωγή στη φυσική της κυματικής κίνησης.-.6.3 Συναρτήσεις Green της είσωσης Helmholtz στον ελεύθερο χώρο Η κατασκευή των συναρτήσεων Green G ( rr, ή G ( H H ρ της είσωσης Helmholtz στον ελεύθερο χώρο βασίζεται σε εφαρμογή του μετασχηματισμού Fourier. Ο μετασχηματισμός Fourier στην μία διάσταση χρησιμοποιείται εδώ στην μορφή: + ( ( ( x, ευθύς μετασχηματισμός Fourier (a G x g exp j g + π dx, αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier b ( G( x exp( j x και η γενίκευση του στις πολλές διαστάσεις είναι ( ( ( G x g exp jx d, ευθύς μετασχηματισμός Fourier (a N g( G( x exp( jx d, αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier (b π Περισσότερες λεπτομέρειες σχετικά με τον μετασχηματισμό Fourier και τις ιδιότητές του παρέχονται στο Παράρτημα (i Τρεις διαστάσεις Εφαρμόζοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier στην είσωση Helmholtz.6( στις τρεις διαστάσεις ως προς τις δύο από τις τρεις χωρικές μεταβλητές (έστω τις μεταβλητές x και x καταλήγουμε στην ακόλουθη μονοδιάστατη είσωση: ( ( ( ( π d g x 3;, x3 x3 + k ( g( x 3;, d x + 3 η οποία έχει την λύση ( g x ;, ( ( + 3 3 ( π k ( + exp j k x x 3 δ, (3. (4 5//8 :6 PM
ΚΕΦ. Θεμελιώδεις λύσεις. Συναρτήσεις Green..- Εφαρμόζοντας τώρα τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier στην συνάρτηση g x ;, λαμβάνουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα ( 3 ( xx + + G d d exp ( j k ( + x x 3 3 ( π k ( + 4. (5 Το ανωτέρω ολοκλήρωμα υπολογίζεται αναλυτικά, και έτσι λαμβάνουμε τελικώς για την συνάρτηση Green της είσωσης Helmholtz στον ελεύθερο χώρο στις τρεις διαστάσεις: G ( xx ( ( x x exp jk 4π x x. (6 (ii Δύο διαστάσεις Εφαρμόζοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμού Fourier στην είσωση Helmholtz.6( στις δύο διαστάσεις, ως προς την μία χωρική μεταβλητή (έστω τη μεταβλητή x καταλήγουμε στην ακόλουθη μονοδιάστατη είσωση: ( ( ( δ, (7 d g x ; x x + k g( x ; d x π η οποία έχει λύση την ακόλουθη : ( g x ; ( exp j k x x π k (8 Και πάλι, εφαρμόζοντας τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier στην ανωτέρω συνάρτηση g( x ;, καταλήγουμε στο ακόλουθο αποτέλεσμα για την συνάρτηση Green της είσωσης Helmholtz στις δύο διαστάσεις + exp ( j k x x xx ( ( G G x,x x,x π k d όπου, j ( j ( H ( K x x H ( kr, (9 4 4 ( ( R x x + x x, (
ΚΕΦ. Εισαγωγή στη φυσική της κυματικής κίνησης.-3 ( και H ( kr είναι η συνάρτηση Hankel πρώτου είδους και μηδενικής τάης ως προς το όρισμα kr. Αίζει εδώ να παρατηρήσουμε ότι οι συναρτήσεις Green της είσωσης Helmholtz στον ελεύθερο χώρο στις τρεις και δύο διαστάσεις, Ε. (6 και (9, αντίστοιχα, ταυτίζονται (με την προσέγγιση μιας απλής σταθεράς με τις απλές λύσεις της ίδιας εισώσεως που είχαμε δει σε προηγούμενο εδάφιο, βλ. Ε..5.3(5 και Ε..5.4(5, οι οποίες εκφράζουν σφαιρικά και κυλινδρικά κύματα, τα οποία διαδίδονται απομακρυνόμενα από το σημείο της πηγής x. 5//8 :6 PM
ΚΕΦ. Εισαγωγή στη φυσική της κυματικής κίνησης.-.6.4 Θεωρήματα Green. Θεωρήματα ολοκληρωτικών αναπαραστάσεων. Μια από τις πιο συναρπαστικές εφαρμογές των συναρτήσεων Green είναι η ικανότητά τους να μας προσφέρουν, μέσω κατάλληλων ολοκληρωτικών αναπαραστάσεων, τις γενικές λύσεις κυματικών προβλημάτων, στις δύο και τρεις διαστάσεις (λύσεις προβλημάτων αρχικών και συνοριακών τιμών, που χαρακτηρίζονται από την ίδια διαφορική είσωση (εδώ την είσωση d Alembert ή την είσωση Helmholtz, όχι πλέον στον ελεύθερο χώρο, αλλά παρουσία διαφόρων ανομοιογενειών, όπως πεπερασμένοι σκεδαστές. Χάριν, απλότητος, θα περιοριστούμε στην συνέχεια στην παρουσίαση τέτοιων ολοκληρωτικών αναπαραστάσεων για την επίλυση προβλημάτων συνοριακών τιμών της είσωσης Helmholtz στον ελεύθερο χώρο, με την παρουσία πεπερασμένων, σκεδαστών (δηλαδή σωμάτων με πεπερασμένες διαστάσεις. Συγκεκριμένα, θα ασχοληθούμε με μια ειδική περίπτωση, η οποία όμως βρίσκει πολύ χρήσιμες εφαρμογές, τη σκέδαση αρμονικού κυματικού πεδίου που διεγείρεται από σημειακή αρμονική πηγή στη θέση x X, βλ. Σχήμα.6., από πεπερασμένο σκεδαστή (σώμα D που περικλείεται από την επιφάνεια (σύνορο σκεδαστή S D. Στο σχήμα αυτό n είναι το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα στο σύνορο του σκεδαστή με διεύθυνση προς τα έω του σώματος n (( * D x X S D Σχήμα.6. Σκέδαση αρμονικού κυματικού πεδίου, που διεγείρεται από σημειακή πηγή στη θέση x X, από αδιαπέρατο, πεπερασμένο σκεδαστή D. 5//8 :6 PM
ΚΕΦ. Θεμελιώδεις λύσεις. Συναρτήσεις Green.- Στην εεταζόμενη περίπτωση, το κυματικό δυναμικό Φ ( x ικανοποιεί τη είσωση Helmholtz ( + k ( ( ΔΦ x Φ x δ x Χ, x D*, ( όπου D το χωρίο στο οποίο ορίζονται η συνάρτήση Φ ( x, δηλαδή * στις τρεις διαστάσεις, και D* IR \D στις δύο διαστάσεις. 3 D* IR \D Το μέσον διάδοσης θεωρείται ομογενές, δηλαδή k σταθερό παντού. Θα θεωρήσουμε επίσης την ιδανική περίπτωση όπου ο σκεδαστής είναι αδιαπέραστος από το κύμα (impenetrable scatterer. Η τελευταία υπόθεση μοντελοποιείται από συνοριακή συνθήκη της μορφής ( x αφ ( x + β Φ, n x S, ( όπου α, β IR, και Φ ( x/ n, x S, δηλώνει την τοπική παράγωγο του δυναμικού στην επιφάνεια του συνόρου σκεδαστή S D, κατά την διεύθυνση του καθέτου διανύσματος n. Επίσης, επιβάλλουμε την φυσική απαίτηση η λύση να συμπεριφέρεται ως εερχόμενα κύματα σε πολύ μακρινές αποστάσεις από την πηγή, δηλαδή ( Φ x αναπαριστά εερχόμενα κύματα, όταν x x. (3 Το θεώρημα Green που συνδέεται με τον διαφορικό τελεστή Laplace, ο οποίος εμπλέκεται στην είσωση Helmholtz (, και το οποίο θα χρησιμοποιηθεί στην συνέχεια για την κατασκευή της λύσεως του σύνθετου κυματικού προβλήματος (, (,(3 είναι το ακόλουθο: Φ ΦΔΦ ΦΔΦ dx Φ Φ ( Φ n D* D* ( x n( x ds ( x (4 όπου D * το χωρίο στο οποίο ορίζονται οι συναρτήσεις Φ( x και Φ ( x. Υπενθυμίζουμε ότι εκ κατασκευής η συνάρτηση Green της είσωσης Helmholtz στον ελεύθερο χώρο, ικανοποιεί H ( + H ( δ ( ΔxG xx k G xx x x, xx, IR, (5α 3 όπου ο δείκτης "x" στον διαφορικό τελεστή Δ έχει προστεθεί για να μας υπενθυμίζει την χωρική μεταβλητή ως προς την οποία νοείται η διαφόριση.
ΚΕΦ. Εισαγωγή στη φυσική της κυματικής κίνησης.-3 Ισοδύναμα, όμως μπορούμε να γράψουμε την είσωση (5 α στην μορφή H ( k GH ( ( Δ x G x x + x x δ x x, (5β και κάνοντας χρήση της ιδιότητας της αμοιβαιότητας και της αρτιότητας (συμμετρίας της συνάρτησης προκύπτει: ( x x k GH ( x x δ ( x x Δ G + x H. (6 Μπορούμε επίσης να αναγράψουμε την διαφορική είσωση του προβλήματος σκέδασης που εετάσουμε ( στην ακόλουθη ισοδύναμη μορφή ( + k ( ( ΔΦ x Φ x δ x X (7 Πολλαπλασιάζουμε στην συνέχεια την Ε. (6 επί την συνάρτηση κυματικού δυναμικών Φ ( x και την Ε. (7 επί την συνάρτηση Green G ( x x και αφαιρούμε κατά μέλη τις παραγόμενες εισώσεις. Τέλος, ολοκληρώνουμε το αποτέλεσμα στο χωρίο λαμβάνοντας: D * * ( x { GH ( Δ Φ( ( ( } Φ Δ G H x x D D * ( x xx x x xx d x { Φ( x δ ( x X GH ( x x δ ( x X } dx Φ( x H ( x X G. (8 Κάνοντας χρήση τώρα του θεωρήματος Green (4 για τις συναρτήσεις Φ GH και Φ λαμβάνουμε από την είσωση (8 Φ ( x ( x ( xx Φ GH Φ( x GH ( x X + GH ( x x Φ( x ds( x. (9 n n( D x Η τελευταία σχέση (9 αποτελεί στην εεταζόμενη περίπτωση την ολοκληρωτική αναπαράσταση της λύσεως του προβλήματος σκέδασης (, (, (3. Η αναπαράσταση αυτή ισχύει τόσο στις δύο όσο και στις τρεις διαστάσεις (με την κατάλληλη συνάρτηση Green G H. Η συνάρτηση G H που εμφανίζεται στο δεί μέλος της (9, εκτός και εντός του ολοκληρώματος επί του συνόρου - επιφάνειας του σκεδαστή S D, είναι η συνάρτηση Green της είσωσης Helmholtz στον ελεύθερο χώρο όπως ακριβώς δίδεται από την σχέση.6.3(6 στις τρεις διαστάσεις και από τη σχέση.6.3(9 στις δύο διαστάσεις, αντίστοιχα. 5//8 :6 PM
ΚΕΦ. Θεμελιώδεις λύσεις. Συναρτήσεις Green.-4 Παρατηρούμε, επίσης, ότι η λύση του προβλήματος σκέδασης που εετάζουμε παρέχεται στην μορφή ενός αθροίσματος δύο όρων της μορφής Φ( x Φ ( x + Φ ( x. ( I Ο πρώτος όρος της έκφρασης αυτής I D ( H ( Φ x G x X ( είναι ακριβώς το κυματικό πεδίο της σημειακής, αρμονικής πηγή στη θέση x X χωρίς την ύπαρη του σκεδαστή. Αναφέρεται ως εκ τούτου και πεδίο πηγής ή αδιατάρακτο κυματικό δυναμικό. Ο δεύτερος όρος του διαχωρισμού ( Φ D ( GH ( ( x ( x Φ x x x x D ( G ( xx H Φ n n ( x ds( x ( εκφράζει ακριβώς το πεδίο διαταραχής από την παρουσία του σκεδαστή στη συγκεκριμένη θέση του χώρου που καταλαμβάνει, καταστρέφοντας την ομογένεια του μέσου διάδοσης. Το δυναμικό αυτό αναφέρεται και ως δυναμικό περίθλασης ή σκέδασης (diffraction η scattering potential. Τα φαινόμενα περίθλασης - σκέδασης συζητούνται διεοδικότερα στο κεφάλαιο 4. Επίσης, από την μορφή του δυναμικού περίθλασης παρατηρούμε ότι αυτό συνίσταται από την υπέρθεση δευτερογενών κυματικών διαταραχών από πηγές κατάλληλης έντασης, που ευρίσκονται συνεχώς κατανεμημένες πάνω στο σύνορο S D. Το αποτέλεσμα αυτό είναι συναφές με την αρχή Huygens Fresnel, που συζητείται διεοδικότερα στο επόμενο κεφάλαιο.
.6 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: Κατασκευή της συναρτήσεως Green της είσωσης d Alembert στις και 3 διαστάσεις Θα χρησιμοποιήσουμε τον γενικευμένο μετασχηματισμό Fourier στην ακόλουθη μορφή: + ( ( exp( G x g i x d, ευθύς μετασχηματισμός Fourier, (α + g ( G ( x exp( i π x dx, αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier. (β x Άμεση συνέπεια των ανωτέρω ορισμών είναι τα ακόλουθα αποτελέσματα που αφορούν την συνάρτηση δ: exp δg ( dxδ ( x x exp( ix π και ( i x + π x, (α + δ ( x x exp( i( x x d π. (β Εφαρμόζοντας τον πολυδιάστατο (χώρου-χρόνου μετασχηματισμό Fourier στην είσωση d Alembert λαμβάνουμε: t x t όπου. c Δ G( x; t δ ( t t δ ( x x dtdx 4 ω ω ω ( ( ; exp ( + c g π i x + t, (3 Επιλύοντας την είσωση (3 ως προς την άγνωστη συνάρτηση g ( ; ω g ( ; ω ( i( x + ωt παίρνουμε 4 exp. (4 π c ω Εφαρμόζοντας τώρα τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier (α στην συνάρτηση g ( ; ω λαμβάνουμε,
( i( x + ωt exp i( x + ωt ( 4 exp G( x, t d dω π c ω ω exp ( ω ( k( x x 4 i t t π + c ω ω Ισοδύναμα, η ανωτέρω σχέση (5, θέτοντας R x x καιτ t t G (, τ όπου ( ωτ R 4 exp i + R d dω π ω c ω 4 exp( i d exp( iωτ dω π R c ω c + c ω ω π 4 ( ( ω dd ω. (5, γράφεται ως ακολούθως: exp ir F ; dω, (6 ω ( ω; exp ( ωτ (, F i f ω, (7a και f ( ω ; c ω c ω + c. (7b Για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα στο δεί μέλος της εισώσεως (7 + ω exp ( iωτ dω (8 c ω c ω+ c είναι βολικό να το θεωρήσουμε στο μιγαδικό επίπεδο, υπολογιζόμενο ισοδύναμα ως κλειστό επικαμπύλιο ολοκλήρωμα (contour integral, όπως εικονίζεται στο σχήμα.
Im( ω c c Re( ω Σχήμα (a Ο δρόμος ολοκλήρωσης για τ < Im( ω c c Re( ω Σχήμα (b Ο δρόμος ολοκλήρωσης για τ > 3
Με αυτόν το τρόπο έχουμε στις δύο εεταζόμενες περιπτώσεις + ω και ( ( ( ( < + exp iωτ f ω; dω exp iωτ f ω; dω, τ, (9a C ( ( ( ( exp iωτ f ω; dω exp iωτ f ω; dω, τ >. (9b ω + C Η μιγαδική συνάρτηση f ( ω; που είναι ο δεύτερος παράγοντας της ολοκληρωτέας είναι αναλυτική παντού εκτός από τα σημεία ω ±, (, c πάνω στο πραγματικό άονα, που είναι απλοί πόλοι τόσο της f ( ω;, όσο και της F ( ω;. Το ολοκλήρωμα Fourier μπορεί εύκολα να υπολογισθεί από τα ολοκληρωτικά υπόλοιπα της F ( ω; στις θέσεις ω καιω. Καθίσταται τώρα προφανές ότι στην περίπτωση τ < οι δύο πόλοι πρέπει να παρακαμφθούν, όπως, εικονίζεται στο Σχήμα (α, ισοδύναμα από το κλειστό επικαμπύλιο ολοκλήρωμα στην διαδρομή C γιατ <, Σχήμα (α, και στην διαδρομή C + γιατ >, Σχήμα (β, με τις φορές που εικονίζονται. Οι δρόμοι ολοκλήρωσης (integration contours C και C + νοούνται να απαρτίζονται από τον πραγματικό άονα και ημικύκλια στο άνω και κάτω ημιεπίπεδο, αντίστοιχα. Καθώς η ακτίνα των δύο ημικυκλίων μεγαλώνει τένοντας στο άπειρο, στην πρώτη περίπτωση(, ο παράγοντας της ολοκληρωτέας: τ < ( i( ωr iωi τ ( iωrτ ( ωiτ exp + exp exp + διότι ω I > καιτ <, με αποτέλεσμα το ολοκλήρωμα στο τμήμα που αντιστοιχεί στο τόο του άνω ηλικυκλίου να μηδενίζεται και να μη δίνει συνεισφορά. Το ίδιο ακριβώς συμβαίνει και στην δεύτερη περίπτωση ( τ καθότι > ( i( ωr iωi τ ( iωrτ ( ωiτ exp exp exp, διότι ω I > καιτ <, με αποτέλεσμα το ολοκλήρωμα στο τμήμα που αντιστοιχεί στο κάτω ημικύκλιο να μηδενίζεται και να μη δίνει συνεισφορά. Η επιλογή του δρόμου C για τ < έχει γίνει έτσι ώστε να εαιρούνται οι πόλοι ω,, καθότι τότε και μόνο τότε το ολοκλήρωμα μηδενίζεται, και επομένως G ( R ; τ <, πράγμα που επιβάλλεται από την αρχή της 4
αιτιότητας. Αντίθετα για τ > ο δρόμος ολοκλήρωσης στο μιγαδικό επίπεδο θα πρέπει να περικλείει τους πόλους ω καιω, ώστε το ολοκλήρωμα και η συνάρτηση G ( R ; τ > να μην μηδενίζονται ταυτοτικά. Σ αυτήν την περίπτωση ο υπολογισμός του ολοκληρώματος μπορεί να γίνει εύκολα από το θεώρημα ολοκληρωτικών υπολοίπων, ως ακολούθως: C exp ( iωτ f ( ω; dω πi es{ F( ω c } Res{ F( ω c } R ( + icτ exp( icτ exp π i c c Η ανωτέρω κατασκευή, και η πλήρωση της αρχής της αιτιότητας μπορεί ισοδύναμα να ικανοποιηθεί με την διαφορική μετάθεση των πόλων στο αρνητικό ημιεπίπεδο, όπως επιτυγχάνεται με την αντικατάσταση ω ω + iε, ε >. Με αυτήν την αντικατάσταση της μεταβλητής, οι πόλοι της ολοκληρωτέας μετατίθεται κατά διαφορική απόσταση ( ε > προς την πλευρά του αρνητικού φανταστικού άονα, δηλαδή όπως εικονίζεται στο Σχήμα. ω, ± c iε, Im( ω c c Re( ω iε Σχήμα (a Μετάθεση των πόλων στο αρνητικό φανταστικό ημιεπίπεδο. Ο δ ρόμος ολοκλήρωσης για τ <. 5
Im ( ω c c Re( ω iε Σχήμα (β Μετάθεση των πόλων στο αρνητικό φανταστικό ημιεπίπεδο. Ο δρόμος ολοκλήρωσης για τ >. Ο δρόμος της ολοκλήρωσης τότε είναι (i γιατ < : ο πραγματικός άονας μαζί με το ημικύκλιο στο άνω ημιεπίπεδο (καμπύλη C, Σχήμα α. (ii γιατ > : ο πραγματικός άονας μαζί με το ημικύκλιο στο κάτω ημιεπίπεδο (καμπύλη C +, Σχήμα β. Και πάλι κάνοντας χρήση του θεωρήματος υπολοίπων υπολογίζεται το ολοκλήρωμα για τ > (για τ < το αποτέλεσμα είναι εκ κατασκευής μηδενικό και το τελικό αποτέλεσμα λαμβάνεται αναζητώντας την οριακή συμπεριφορά του ολοκληρώματος γιαε. Καταλήγουμε λοιπόν στην ακόλουθη ολοκληρωτική αναπαράσταση της συναρτήσεως Green της είσωσης d Alembert στις τρεις διαστάσεις: 4 ( icτ exp( icτ exp G( R; τ H( τ exp( ir d( πi π c. ( Εύκολα μπορεί να διατυπώσει κανείς ότι η ανωτέρω σχέση γενικεύεται ως ακολούθως στις n,, 3 διαστάσεις 6
( icτ exp( icτ n+ ( n exp GA ( R; τ H( τ ( πi d exp( i π R c, n, ή 3. ( Θα προχωρήσουμε στην συνέχεια στην μελέτη του ολοκληρώματος Fourier που εμπλέκεται στην είσωση (, εχωριστά για n 3, και : (i Τρεις διαστάσεις ( n 3 Χρησιμοποιώντας σύστημα σφαιρικών συντεταγμένων στον φασματικό χώρο (, φθ,, όπου φ η πολική γωνία και θ η γωνία, αζιμουθίου, και προσανατολίζοντας το σύστημα αυτό ώστε ο πολικός άονας να ταυτίζεται με το διάνυσμα θέσης R (βλ. Σχήμα 3, έχουμε d sinθdφdθd, (3 R R cosθ, (4 όπου R R. Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (3 και (4 στη σχέση (, το δεί μέλος της σχέσης ( γράφεται ισοδύναμα στην ακόλουθη μορφή: π π... d sin d d d exp i Rcos 3 IR φ θ ( icτ exp( icτ exp θ θ φ ( θ c dcosθ exp ircosθ π exp icτ exp icτ c ( i Rcos ( ( ( ( exp θ π exp( icτ exp( icτ d ir c d π exp( i R exp( ir exp( ic exp( ic d irc τ τ isinr isin( cτ 4π τ. (5 ( π d sin ( R sin ( c Rc 3 Χρησιμοποιώντας την σχέση (5 στην σχέση ( γιατί n 3 λαμβάνουμε 4π 3 π ( 3 ( R ; τ ( τ sin( sin( ( GA H d R Rc cτ 7
Όμως + dsin ( R sin ( cτ dsin ( R sin ( ct d ( cos ( cτ R cos ( cτ R + + d exp( i( cτ R exp( i( cτ + R 4 π δ ( cτ R δ ( cτ + R 4 π π R R δ ( cτ R δ ( cτ R δ τ δ τ + + c c c, (6 όπου χρησιμοποιήθηκε η σχέση (β για τον ορισμό δ ( x x και η ακόλουθη ιδιότητα της συνάρτηση δ δ a ( a( x x δ ( x x Χρησιμοποιώντας την σχέση (6 στην σχέση (5 λαμβάνουμε ( 3 ( ; τ ( τ G R H A R R δ τ δ τ + c c 4π Rc. (7 Όμως ο δεύτερος όρος στο δεί μέλος της είσωσης (7 μπορεί να παραληφθεί, διότι έχει δράση x x x x όταν: t t + t + t, δηλαδή για χρόνο t < t όπου H( t t. Άρα c c καταλήγουμε στο τελικό αποτέλεσμα : ( R / c ( 3 δ τ GA ( R; τ H( τ. 4π Rc (8 8
(ii δύο διαστάσεις ( n, Στην περίπτωση αυτή έχουμε: 3 π c IR ( icτ ( ic ( exp exp GA ( R; τ H( τ ( πi dexp( ir τ. (9 Χρησιμοποιώντας σύστημα πολικών συντεταγμένων στο επίπεδο-φασματικό χώρο ( φ,, όπου R R cos Φ, όπου Φ η πολική γωνία και προσανατολίζεται το σύστημα ώστε ο πολικός άονας να ταυτίζεται με το διάνυσμα θέσης R, βλ. Σχήμα 3, έχουμε στην περίπτωση αυτή d dφd, και R R cosφ, όπου R R. y φ R x Σχήμα 3. Με βάση τα ανωτέρω το ολοκλήρωμα στο δεί μέλος της σχέσης (9 γράφεται στη μορφή IR π exp... d dφdexp ircosφ φ ( ( icτ exp( icτ c. ( Χρησιμοποιώντας το γνωστό αποτέλεσμα π ( a φ dφ dφ ( ia φ πj ( a π cos cos exp cos, (βλ. π.χ., Gradsteyn & Rizhik (965, 6.67, η σχέση ( γράφεται στην μορφή 9
IR... d π J ( R ( exp( icτ exp( icτ d c ( τ π i H c R π ( i J ( R sin ( cτ d ( τ c c c R. ( Υπενθυμίζουμε εδώ ότι οι συναρτήσεις ( ( J x, Y x, n,,..., προκύπτουν ως λύσεις της n n διαφορικής είσωσης Bessel: φ + φ + φ, η οποία έχει ως γενική λύση τις x x, συναρήσεις Hankel πρώτου και δευτέρου είδους και τάεως n: H x J x ± iy x. n ( ( ( ( n n n Για την μετάβαση στο τελευταίο στάδιο δεί μέλος της ανωτέρω είσωσης χρησιμοποιήθηκε το γνωστό αποτέλεσμα, b < a H b sin ( βt J ( at dt, a b < b a b a ( a (βλ. π.χ., Gradsteyn & Rizhik (965, 6.67. Επομένως, καταλήγουμε τελικά για την συνάρτηση Green της είσωσης d Alembert στις δύο διαστάσεις στην ακόλουθη έφραση: 3 ( π i H c R GA ( R; τ H( t ( π i π c c R ( τ ( τ H ( τ R H τ c π c c R ( τ. (
(iii Μία διάσταση (n Στην περίπτωση αυτή έχουμε ( icτ ( icτ ( exp exp GA ( R, τ H( τ ( πi dexp( ir π c H( τ ( πi dexp( ir isin( cτ c π Επομένως, ( cτ H( τ ( i sin GA ( R, τ H( τ ( πi exp( ir d π c c, R < cτ. (3 Επιπροσθέτως, χρησιμοποιώντας το γνωστό αποτέλεσμα π /, b< a sin ( ax cos( bx dx π /4, b a, x, b > a βλ. π.χ., Gradsteyn & Rizhik (965, 3.7.4, λαμβάνουμε τελικά: ( τ ( ( H GA ( R, τ H τ R. (4 c c Σύνοψη των ανωτέρω αποτελεσμάτων για τις συναρτήσεις ( n ( G R, τ, n,,3, και τις χωρικές και χρονικές παραγώγους αυτών παρουσιάζεται συγκριτικά στο Σχήμα 4, που ακολουθεί. A