1 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A Οξυγώνιο τρίγωνο, όλες οι γωνίες οξείες B A µβλυγώνιο τρίγωνο, µία γωνία αµβλεία B B Ορθογώνιο τρίγωνο, µία γωνία είναι ορθή. A Οι πλευρές της ορθής γωνίας λέγονται κάθετες πλευρές και η τρίτη υποτείνουσα 3. Είδη τριγώνων από την άποψη των πλευρών : Σκαληνό, πλευρές άνισες A B Ισοσκελές, δύο πλευρές ίσες (η τρίτη λέγεται βάση) Ισόπλευρο τρίγωνο, όλες οι πλευρές ίσες
2 4. ευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου : Είναι οι διάµεσοι, τα ύψη και οι διχοτόµοι ιάµεσος τριγώνου ονοµάζεται το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει µία κορυφή του τριγώνου µε το µέσο της απέναντι πλευράς. Ύψος τριγώνου ονοµάζεται το ευθύγραµµο τµήµα που φέρουµε από µία κορυφή του τριγώνου κάθετα στην ευθεία της απέναντι πλευράς ιχοτόµος ενός τριγώνου ονοµάζεται το ευθύγραµµο τµήµα που φέρουµε από µία κορυφή του τριγώνου, χωρίζει τη γωνία σε δύο ίσες γωνίες και καταλήγει στην απέναντι πλευρά. 5. Ονοµασία γωνίας σε σχέση µε πλευρές του τριγώνου : Η γωνία που περιέχεται µεταξύ δύο πλευρών λέγεται περιεχόµενη γωνία των πλευρών αυτών (Η είναι περιεχόµενη των πλευρών, ) Οι γωνίες που έχουν κορυφές τα άκρα µιας πλευράς λέγονται γωνίες προσκείµενες στην πλευρά αυτή (Οι γωνίες, ɵ είναι προσκείµενες στην πλευρά ) ωνία απέναντι από πλευρά. (Η είναι απέναντι από την πλευρά ) Συµβολισµός πλευρών : = α, = β, = γ 6. Υπόµνηση Σε κάθε τρίγωνο το άθροισµα των γωνιών του είναι 180 ο δηλαδή + + ɵ = 180 ο Στο ορθογώνιο τρίγωνο οι οξείες γωνίες του έχουν άθροισµα 90 ο Στο ισοσκελές τρίγωνο οι γωνίες που πρόσκεινται στη βάση είναι ίσες Στο ισόπλευρο τρίγωνο όλες οι γωνίες του είναι ίσες µε 60 ο η κάθε µία Σε κάθε τρίγωνο κάθε πλευρά είναι µικρότερη από το άθροισµα των δύο άλλων (τριγωνική ανισότητ
3 7. Ίσα τρίγωνα : ύο τρίγωνα λέµε ότι είναι ίσα όταν έχουν τις πλευρές τους ίσες µία προς µία και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Ισχύει και το αντίστροφο. ηλαδή ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε θα έχουν τις πλευρές τους και τις αντίστοιχες γωνίες τους µία προς µία ίσες 8. Κριτήρια ισότητας τυχαίων τριγώνων : ύο πλευρές και η περιεχόµενη γωνία (Π Π) ία πλευρά και οι προσκείµενες γωνίες ( Π ) Τις τρείς πλευρές ίσες (Π Π Π) 9. Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων : ύο αντίστοιχες πλευρές τους ίσες ία αντίστοιχη πλευρά και µία αντίστοιχη οξεία γωνία ΣΧΟΛΙ 1. Πρόταση : Σε ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές είναι ίσες γωνίες και απέναντι από ίσες γωνίες είναι ίσες πλευρές 2. Ιδιότητες στο ισοσκελές τρίγωνο : Οι γωνίες που πρόσκεινται στην βάση είναι ίσες Το ύψος που αντιστοιχεί στην βάση είναι διάµεσος και διχοτόµος 3. Υπενθύµιση : Οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες 4. Υπενθύµιση : Σε παράλληλες ευθείες που τέµνονται από τρίτη οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες οι εντός εκτός και επί τα αυτά µέρη γωνίες είναι ίσες οι εντός και επί τα αυτά µέρη γωνίες είναι παραπληρωµατικές
4 5. Ιδιότητα µεσοκαθέτου : Κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ενός ευθυγράµµου τµήµατος ισαπέχει από τα άκρα του ευθυγράµµου τµήµατος και αντίστροφα : ν ισαπέχει από τα άκρα τµήµατος ανήκει στη µεσοκάθετο του τµήµατος 6. Ιδιότητα διχοτόµου : Κάθε σηµείο της διχοτόµου µιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας και αντίστροφα : ν σηµείο ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας βρίσκεται στην διχοτόµο της γωνίας 7. έθοδος : ν θέλω να αποδείξω ότι ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές αποδεικνύω ότι έχει δύο πλευρές ίσες ή δύο γωνίες ίσες ΣΚΗΣΕΙΣ 1. σηµείο της διχοτόµου ΟΡ της γωνίας Ο = Ο ΧΟΨ παίρνουµε σηµεία, και, Στις πλευρές ΟΧ και ΟΨ γωνίας αντίστοιχα έτσι ώστε Ο = Ο και Ο = Ο. ν είναι τυχαίο ΧΟΨ, δείξτε ότι = = (Π Π) Ο = Ο και Ο = Ο αφαιρούµε κατά µέλη Τα τρίγωνα έχουν = από το ( =, B = αντίστοιχα στοιχεία ίσων τριγώνων από το ( ε το κριτήριο (Π Π) συµπεραίνουµε = Ο ω ω Χ Υ
5 2. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ( = ). Στις προεκτάσεις της βάσης του παίρνουµε σηµεία και Ε έτσι ώστε = Ε. είξτε ότι τα τρίγωνα και Ε είναι ίσα είξτε ότι το τρίγωνο Ε είναι ισοσκελές ν Κ, Λ, Ρ είναι τα µέσα των, Ε και Ε δείξτε ότι το τρίγωνο ΚΛΡ είναι ισοσκελές = άρα B = ɵ (1) Συγκρίνουµε τα τρίγωνα, Ε Έχουν =, = Ε B =Ε ɵ παραπληρωµατικές ίσων από την (1) ε το κριτήριο (Π Π) συµπεραίνουµε =Ε πό το ( είναι = Ε, οπότε το Ε είναι ισοσκελές Συγκρίνουµε τα τρίγωνα ΚΡ, ΛΡΕ Έχουν Κ = ΛΕ ως µισά των ίσων και Ε Ρ = ΡΕ ως αθροίσµατα ίσων ( Ρ = Ρ και = Ε) και = Ε από το ισοσκελές Ε ε το κριτήριο (Π Π) συµπεραίνουµε ΚΡ = ΛΡΕ Οπότε ΚΡ = ΡΛ, άρα ΚΛΡ ισοσκελές Κ Ρ Λ Ε
6 3. Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών, ισοσκελούς τρίγωνου παίρνουµε σηµεία, Ε αντίστοιχα έτσι ώστε = Ε. είξτε ότι B = Ε ɵ ( ω = φ ɵ ) Τα τρίγωνα και Ε είναι ίσα = Ε δ) ν είναι το µέσο της δείξτε ότι = Ε Στο ισοσκελές είναι B = ɵ, άρα ω = ɵ φ (παραπληρώµατα ίσων) Συγκρίνουµε τα τρίγωνα, Ε Έχουν =, = Ε υπόθεση B = Ε ɵ από το ( ε το κριτήριο (Π Π) συµπεραίνουµε = Ε = Ε από ( δ) Συγκρίνουµε τα τρίγωνα, Ε Έχουν = Ε = B = Ε ɵ από τα ( ε το κριτήριο (Π Π) συµπεραίνουµε = Ε, οπότε = Ε ω φ Ε 4. είξτε ότι στις ίσες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάµεσοι. Έστω ότι = ΚΛΡ µε = ΚΛ, = ΚΡ, = ΛΡ και αντίστοιχες γωνίες ίσες. ε το κριτήριο (Π Π) συµπεραίνουµε ότι = ΚΛΝ, οπότε = ΚΝ Λ Κ Ν Ρ
7 5. ύο τρίγωνα και ΚΛΡ έχουν = ΚΡ, τη διχοτόµο ΚΝ. είξτε ότι Τα τρίγωνα και ΚΝΡ είναι ίσα Τα τρίγωνα και ΚΛΡ είναι ίσα = Ν ΚΡ µισά ίσων ε το κριτήριο (Π Π) συµπεραίνουµε ότι = ΚΝΡ ω ω πό το ( συµπεραίνουµε ότι =Ρ ε το κριτήριο ( Π ) συµπεραίνουµε ότι =Κ και διχοτόµο ίση µε = ΚΛΡ Λ Κ φ φ Ν Ρ 6. ύο τρίγωνα και ΚΛΡ έχουν = ΚΡ, = ΚΛ και διάµεσο ίση µε τη διάµεσο ΛΝ. είξτε ότι Τα τρίγωνα και ΚΛΝ είναι ίσα Τα τρίγωνα και ΚΛΡ είναι ίσα Κριτήριο ( Π Π Π ) πό το ( έχουµε =Κ ε ( Π Π ) συµπεραίνουµε ότι = ΚΛΡ Λ Κ Ν Ρ
8 7. Έστω γωνία ΧΟΨ, δύο σηµεία και στην ΟΧ και δύο σηµεία και στην ΟΨ έτσι ώστε Ο = Ο και Ο = Ο. Oι και τέµνονται στο Κ. είξτε ότι Ο = Ο Κ = Κ Η OK είναι διχοτόµος της γωνίας ΧΟΨ. X B Κριτήριο (Π Π) A Συγκρίνουµε τα τρίγωνα Κ, Κ Κ Έχουν = διαφορές των ίσων = από ( O Y Κ = Κ ɵ παραπληρώµατα ίσων από ( ε ( Π ) συµπεραίνουµε ότι Κ = Κ Κριτήριο (Π Π Π) στα ΟΚ, ΟΚ οπότε της ΧΟΨ ΟΚ = ΚΟ άρα ΟΚ διχοτόµος 8. Σε τρίγωνο προεκτείνουµε τις και κατά = και = αντίστοιχα. Η προέκταση της διαµέσου του τριγώνου τέµνει το στο. είξτε ότι Τα τρίγωνα και είναι ίσα Τα τρίγωνα και είναι ίσα To M είναι το µέσο του Κριτήριο (Π Π) Έχουν =, = ως κατακορυφήν = από το ( Κριτήριο ( Π ) πό το ( έχουµε ότι = Οµοίως αποδεικνύεται ότι = Και επειδή είναι =, θα είναι και =, άρα το είναι µέσο του
9 9. Έστω γωνία ΧΟΨ και δύο σηµεία και στις ΟΧ και ΟΨ αντίστοιχα έτσι ώστε Ο = Ο. ν είναι τυχαίο σηµείο της διχοτόµου της γωνίας ΧΟΨκαι οι, τέµνουν τις ΟΨ και ΟΧ στα και αντίστοιχα, δείξτε ότι Ο = Ο = Έχουν Ο = Ο Ο κοινή και Ο = Ο Κριτήριο (Π Π) Συγκρίνουµε τα τρίγωνα Ο, Ο Έχουν Ο = Ο, ΧΟΨ κοινή Ο = Ο από το ( ε ( Π ) συµπεραίνουµε ότι Ο Ο =Ο, συνεπώς = Χ Υ 10. ύο τρίγωνα και έχουν =, = και ύψος = ύψος. είξτε ότι = = = Ορθογώνια µε δύο αντίστοιχα στοιχεία ίσα Οµοίως Έχουν = από το ( = από το ( Εποµένως = ε (Π Π Π) συµπεραίνουµε ότι =
10 11. ύο τρίγωνα και έχουν ύψος Ζ = ύψος Ζ. είξτε ότι = Ζ = Ζ = Ορθογώνια µε δύο αντίστοιχα στοιχεία ίσα Οµοίως Έχουν = από το ( = από το ( και = από υπόθεση ε (Π Π) συµπεραίνουµε = Ζ, ύψος = ύψος και = Ζ 12. ύο τρίγωνα και έχουν ύψος Ζ = ύψος Ζ. είξτε ότι = Ζ = Ζ = Ορθογώνια µε δύο αντίστοιχα στοιχεία ίσα Έχουν = από το ( Ζ = Ζ από υπόθεση ορθογώνια Άρα ίσα Έχουν = από το ( = από υπόθεση = από το ( ε ( Π ) συµπεραίνουµε = =, ύψος = ύψος και Ζ Ζ
11 13. Έστω ισοσκελές τρίγωνο. Στις ίσες πλευρές και παίρνουµε σηµεία και Ε αντίστοιχα έτσι ώστε = 1 3 και Ε = 1. ν είναι το µέσο της 3 βάσης, να αποδείξετε ότι = Ε Το τρίγωνο Ε είναι ισοσκελές φού =, = 1 3 και Ε = 1 3, θα είναι = Ε, άρα και = Ε. Ε Τα τρίγωνα, Ε έχουν = Ε Άρα είναι ίσα = (ισοσκελές = πό το ( προκύπτει ότι = Ε άρα το Ε είναι ισοσκελές 14. Στις προεκτάσεις µιας χορδής ενός κύκλου κέντρου Ο παίρνουµε τµήµατα =. είξτε ότι Ο=Ο Τα τρίγωνα Ο και Ο είναι ίσα Επειδή Ο = Ο ως ακτίνες του κύκλου, το τρίγωνο Ο είναι ισοσκελές και εποµένως ω ˆ = φ ˆ. Άρα θα είναι και Ο=Ο ως παραπληρωµατικές ίσων Είναι Ο = Ο, = και Ο=Ο Οπότε από το (Π Π) θα είναι Ο = Ο ω Ο φ