ΝΙΚΟΛΑΟΥ Λ. ΚΕΧΡΗ ΑΡΧΙΜΗΔΟΥΣ Π ρ ό β λ η μ α β ο ε ι κ ό ν Ὑπὸ ΝΙΚΟΛΑΟΥ Λ. ΚΕΧΡΗ (Αθήνα, Ιούλιος 016) Αθήνα, Ιούλιος 016 0
Ἁρχιμήδους βοεικόν πρόβλημα 1 Αθήνα, Ιούλιος 016
ΝΙΚΟΛΑΟΥ Λ. ΚΕΧΡΗ Π ρ ό β λ η μ α β ο ε ι κ ό ν Πρόβλημα, ὃπερ Ἀρχιμήδης ἐν ἐπιγράμμασιν εὑρὼν τοῖς ἐν Ἀλεξανδρείᾳ περὶ ταῦτα πραγματευομένοις ζητεῖν ἀπέστειλεν ἐν τῇ πρὸς Ἐρατοσθένην τὸν Κυρηναῖον ἐπιστολῇ. Πληθὺν Ἠελίοιο βοῶν, ὦ ξεῖνε, μέτρησον, φροντίδ' ἐπιστήσας, εἰ μετέχεις σοφίης, πόσση ἄρ' ἐν πεδίοις Σικελῆς ποτ' ἐβόσκετο νήσου Θρινακίης τετραχῇ στίφεα δασσαμένη Το πλήθος των ϐοδιών του Ηλίου, ξένε, µέτρησε µε ϕροντίδα επισταµένη, αν µετέχεις της σοφίας, πόσα ϐοσκούσαν στης Σικελίας τις πεδιάδες κάποτε, στης Θρινακίας το νησί, σε τέσσερα κοπάδια χωρισµένα, 5 5 χροιὴν ἀλλάσσοντα τὸ μὲν λευκοῖο ανάλογα µε το χρώμα τους το ένα μεν γάλακτος, κυανέῳ δ ἕτερον χρώματι λευκό του γάλακτος, µαύρο δε το ἕτερον χρώμα, που έλαµπε, το άλλο δε ή- λαμπόμενον, ἂλλογε μὲν ξανθόν, τὸ δὲ ποικίλον. ἐν δὲ ἑκάστῳ στίφει ἔ- τανε ξανθό και το άλλο παρδαλό. Σε σαν ταῦροι πλήθεσι βριθόμενοι έκαστο κοπάδι δε, ήτανε ταύροι πλήθος 9 9 συμμετρίης τοιῆσδε τετευχότες ἀργότριχας μὲν κυανέων ταύρων ἡμίσει λευκοί ήσαν ίσοι με το ήμισυ και ένα που ετύγχανον τέτοιας συμμετρίας οι ἠδὲ τρίτῳ καὶ ξανθοῖς σύμπασιν ἴ- τριτον των μαύρων ταύρων συν όλους σους, ὦ ξεῖνε, νόησον, αὐτὰρ κυανέους τῷ τετράτῳ τε μέρει αφ' έτερου ήσαν ίσοι με το ένα τέταρ- τους ξανθούς. Ξένε νὸησε, Οι μαύροι τον 13 13 μικτοχρόων καὶ πέμπτῳ, ἔτι ξανθοῖσί τε πᾶσιν. τοὺς δ ὑπολειπομένους συν όλους τους ξανθούς. Οι δε ὑπο- και ένα πέμπτον μέρος των παρδαλών ποικιλόχρωτας ἄθρει ἀργεννῶν ταύρων ἓκτῳ μέρει ἑβδομάτῳ τε καὶ ξαν- κτον και ένα έβδομον μέρος των λευλειπόμενοι παρδαλοί ίσοι με το ένα έ- θοῖς αὖτις πᾶσιν ἰσαζομένους. κών συν όλους τους ξανθούς. Αθήνα, Ιούλιος 016
Ἁρχιμήδους βοεικόν πρόβλημα 17 17 θηλείαισι δὲ βουσὶ τάδ ἒπλετο λευκότριχες μέν ἦσαν συμπάσης κυανέ- σχέσεις. Οι λευκές ήσαν ίσες ακριβώς, Ως προς τις αγελάδες δε, οι ακόλουθες ης ἀγέλης τῷ τριτάτῳ τε μέρει καὶ με το ένα τρίτον και ένα τέταρτον της τετράτῳ ἀτρεκὲς ἶσαι αὐτὰρ κυάνεαι τῷ τετράτῳ τε πάλιν σες με το ένα μαύρης αγέλης. Οι δε μαύρες ήσαν ί- τέταρτον 1 1 μικτοχρόων καὶ πέμπτῳ ὁμοῦ μέρει και ένα πέμπτον όλων των παρδαλών, ἰσάζοντο σὺν ταύροις πάσης δ εἰς σὺν των ταύρων. όταν ήρχοντο δε όλες νομὸν ἐρχομένης ξανθοτρίχων ἀγέλης μαζί εις βοσκήν, οι παρδαλές ήταν ίσες πέμπτῳ μέρει ἠδὲ καὶ ἓκτῳ ποικίλαι με το ένα πέμπτον και ένα έκτον μέρος ἰσάριθμον πλῆθος ἒχον τετραχῇ. των ξανθών. 5 5 ξανθαὶ δ ἠριθμεῦντο μέρους τρίτου Οι δε ξανθές αν αριθμούντο θα ήσαν ί- ἡμίσει ἶσαι ἀργεννῆς ἀγέλη ἑβδομάτῳ τε μέρει. ξεῖνε, σὺ δ Ἠελίοιο βο- το έβδομον μέρος της αγέλης των λευ- σες με το ήμισυ του τρίτου μέρους συν ῶν πόσαι ἀτρεκὲς εἰπών, χωρὶς μὲν κών. Ξένε, συ, αν μου πείς με ακρίβεια ταύρων ζατρεφέων ἀριθμόν, πόσα ήσαν τα βόδια του Ηλίου, χωριστά και πόσοι οι καλοθρεμμένοι ταύροι, 9 9 χωρὶς δ αὖ θήλειαι ὅσαι κατὰ χρῶμα χωριστά δε πάλι πόσες ήσαν οι αγελάδες εκάστου χρώματος, δεν θα χαρα- ἓκασται, οὐκ ἄιδρίς κε λέγοι οὐδ ἀ- ριθμῶν ἀδαής, οὐ μήν πώ γε σοφοῖς κτηρίζεσαι ως ανίδεος και ἀδαής των ἐναρίθμιος. ἀλλ ἴθι φράζευ καὶ τάδε αριθμών, αλλά ούτε ακόμη δυνατόν να πάντα βοῶν Ἠελίοιο πάθη. συγκαταριθμηθής με τους σοφούς. Έ- λα λοιπόν σκέψου και τα ακόλουθα για τα βόδια του Ηλίου. 33 33 ἀργότριχες ταῦροι μὲν ἐπεὶ μιξαίατο Αν οι λευκοί ταύροι αναμιγνύονταν με πληθὺν κυανέοις, ἵσταντ ἔμπεδον ἰ- το πλήθος των μαύρων, βρίσκονταν σε σόμετροι εἰς βάθος εἰς εὖρός τε, τὰ συμπαγή σχηματισμό, ο οποίος έχει το δ αὖ περιμήκεα πάντῃ πίμπλαντο αυτό μέτρον εις βάθος και εις πλάτος, πλίνθου Θρινακίης πεδία. οι πεδιάδες της Θρινακίας θα εγέμιζαν εξ ολοκλήρου από το τετράγωνον αυτό. 3 Αθήνα, Ιούλιος 016
ΝΙΚΟΛΑΟΥ Λ. ΚΕΧΡΗ 37 37 ξανθοὶ δ αὖτ εἰς ἓν καὶ ποικίλοι ἀ- Από το άλλο δε μέρος αν οι ξανθοί και θροισθέντες ἵσταντ ἀμβολάδην ἐξ ἑ- οι παρδαλοί συναθροιστούν μαζί, σταθούν αρχόμενοι ἐξ ἑνος, βαθμηδόν, θα νος ἀρχόμενοι σχῆμα τελειοῦντες τὸ τρικράσπεδον οὔτε προσόντων ἀλλοχρόων ταύρων οὔτ ἐπιλειπομένων. θα περισσεύουν ή θα χρειαστούν ταύ- σχηματίζουν τέλειο τρίπλευρο και δεν ροι άλλων χρωματισμών. 41 41 ταύτα συνεξευρὼν καὶ ἐνὶ πραπίδεσσιν ἀθροίσας καὶ πληθέων ἀποδοὺς, μέσα εις την σκέψιν σου, και εκφράσης Αν αυτά τα εύρης και τα συμπεριλάβης ὦ ξένε, πὰντα μέτρα ἔρχεο κυδιόων όλα τα μέτρα των πληθών, ω ξένε, ά- νικηφόρος, ἴσθι τε πάντως κεκριμένος ταύτῃ ὄμπνιος ἐν σοφἰῃ. χθης νικητής και να γνωρίζης ότι έχεις πελθε υπερηφανευόμενος ότι ανεδεί- κριθή τέλειος εις αυτήν την σοφίαν. Από τα επιτάγµατα του προβλήµατος καταλήγουµε στις παρακάτω εξισώσεις 1 : Λ = 3) + 1 Μ + Ξ Μ = 4 5) + 1 Π + Ξ Π = 6 7) + 1 Λ + Ξ λ = 3 4) + 1 (Μ + μ) μ = 4 5) + 1 (Π + π) π = 5 6) + 1 (Ξ + ξ) ξ = 6 7) + 1 (Λ + λ) όπου Λ=λευκοί, Μ=µαύροι, Π=ποικιλόχρωµοι, Ξ=ξανθοί ταύροι, αντίστοιχα και λ=λευκές µ=µαύρες, π=ποικιλόχρωµες, ξ=ξανθές αγελάδες, αντίστοιχα. Καταλήγουμε λοιπόν σε ένα σύστηµα 7 εξισώσεων µε 8 αγνώστους. Λύνοντας 1 Μεταπτυχιακή Εργασία Ιστορία των προβληµάτων στα Μαθηµατικά Γεωργία Νικολάου Γκρίτζαλη Αθήνα, Ιούλιος 016 4
Ἁρχιμήδους βοεικόν πρόβλημα αυτό το σύστηµα παίρνουµε την εξής µονοπαραµετρική λύση : Λ = 1036648t Μ = 7460514t Π = 7358060t Ξ = 4149387t λ = 706360t µ = 489346t π = 351580t ξ = 543913t όπου t ϑετικός ακέραιος. Αυτά όµως τα στοιχεία δεν αρκούν για να υπολογίσει κανείς τον ακριβή αριθµό των ϐοδιών. Ο Αρχιµήδης δίνει δύο ακόµη συνθήκες. Λ + Μ = τέλειο τετράγωνο = n (1) Ξ + Π = τρίγωνος αριθμός = () Από την (1) παίρνουμε : Λ + Μ = n 1036648t + 7460514t = n 1786996t = n 3 11 9 4657 t = n για να ισχύει αυτό μπρούμε να θέσουμε t = 3 11 9 4657 s, για κάποιο ακέραιο s. Από την () παίρνουμε : Ξ + Π = 11507447t = 7 353 4657 t = (7 353 4657) (3 11 9 4657 s ) = m + m 3 (7 353 4657) (3 11 9 4657 s ) + 1 = 4m + 4m + 1 (m + 1) = D ( 4657 s) + 1 όπου D = 3 7 11 9 353 = 479494. Αυτή είναι της μορφής P DQ = 1. Θα πρέπει τότε να βρούμε την ελάχιστη λύση (P,Q) για την οποία 4657 να διαιρεί το Q. Αναγνωρίζοντας ότι (P m + DQ m ) = (P + DQ) m ο A.Amthor έδειξε το 1880, ότι για m = 39 τότε η (P m,q m ) είναι η ζητούμενη λύση. Ο συνολικός αριθμός των βοδιών, θα δίνεται από τον τύπο ) Q39 T = c( 4657 όπου c = 3 11 9 41 107 4657 5743 = 4571490814418. 5 Αθήνα, Ιούλιος 016