ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς Ν(μ, ) και Ν(μ, ). Ενδιαφερόματε να κατακευάουμε ένα διάτημα εμπιτούνης για τη διαφορά μ - μ. Η προέγγιη που ακολουθείται για την κατακευή αυτού του διατήματος εμπιτούνης βαίζεται υνήθως ε ανεξάρτητα δείγματα, δηλαδή ε δείγματα που επιλέγονται με τρόπο ώτε οι παρατηρήεις τους ενός να είναι ανεξάρτητες των παρατηρήεων του άλλου. Πολλές φορές όμως, όπως θα δούμε την υνέχεια, προκειμένου να ελαχιτοποιήουμε την επίδραη εξωτερικών παραγόντων, επιλέγουμε τα τυχαία δείγματα με τρόπο που οι παρατηρήεις του ενός υνδέονται με τις παρατηρήεις του άλλου χηματίζοντας ζεύγη. Αυτό, για παράδειγμα, υμβαίνει την περίπτωη που έχουμε δείγματα για ειοδήματα υζύγων ή αδελφών ή τις περιπτώεις που έχουμε να υγκρίνουμε τις πωλήεις δύο υποκατατημάτων μιας αλυίδας κατατημάτων ε δύο διαφορετικές τοποθείες. Στις επόμενες τρεις ενότητες (Α, Β, Γ) εξετάζουμε την περίπτωη των ανεξαρτήτων δειγμάτων και, την υνέχεια, την ενότητα που ακολουθεί (Δ), την περίπτωη δειγμάτων που οι παρατηρήεις τους έχουν επιλεγεί κατά ζεύγη. Α. Περίπτωη Γνωτών Διακυμάνεων (Ανεξάρτητα Δείγματα) Όπως είναι γνωτό, μια ημειακή εκτιμήτρια για την διαφορά μ -μ είναι το - όπου, είναι οι δειγματικοί μέοι των δύο δειγμάτων. 34
Όπως γνωρίζουμε, και Επομένως, ή ιοδύναμα, Ν (μ, Ν (μ, /) /m ) - Ν μ μ ( μ μ ), + m Z N (0, 1) + m Συνεπώς,το 100(1-α)% διάτημα εμπιτούνης για το μ - μ είναι το ± Z1 α/ + m Αυτό είναι ένα ακριβές διάτημα εμπιτούνης. Παρατήρηη: Αν οι πληθυμοί δεν είναι ακριβώς κανονικοί αλλά τα μεγέθη των δειγμάτων και m είναι αρκετά μεγάλα, το διάτημα εμπιτούνης που προαναφέρθηκε μπορεί, λόγω του κεντρικού οριακού θεωρήματος, να χρηιμοποιηθεί ως ένα κατά προέγγιη διάτημα εμπιτούνης για τη διαφορά μ - μ. Παράδειγμα: Προκειμένου να ελεγχθεί η ποιότητα δύο ειδών ελατικών αυτοκινήτων, έγινε ένας έλεγχος ε 100 ελατικά από κάθε είδος τυχαία επιλεγμένα (m100). Ως τοιχείο ποιότητας χρηιμοποιήθηκε ο αριθμός των χιλιομέτρων που τα ελατικά αυτά χρηιμοποιήθηκαν μέχρις ότου φθάουν ε ένα υγκεκριμένο ημείο φθοράς. Τα αποτελέματα αυτά (ε χιλιόμετρα) ήταν ως εξής: x 6400 km Από προηγούμενη πείρα είναι γνωτό ότι 1440000 35 y 5100 km 1960000
Να κατακευαθεί ένα 99% διάτημα εμπιτούνης για την διαφορά μ -μ. Λύη: Το ζητούμενο διάτημα είναι x y ± Z.995 + Για το δείγμα μας έχουμε, 1300 ±.58 (184) ή (85, 1775) Επομένως, με πιθανότητα.99 η διαφορά της μέης διάρκειας ζωής μεταξύ των δύο αυτών ειδών ελατικών έχει μια τιμή το διάτημα (85, 1775). Β. Περίπτωη Αγνώτων Ίων Διακυμάνεων (Ανεξάρτητα Δείγματα) Υποθέτουμε και πάλι ότι Χ Ν (μ, και ότι Χ, Υ είναι ανεξάρτητες. Τότε, ( μ μ ) Z Ν(0, 1) + m Υποθέτουμε ότι. 36 m ) και Υ Ν (μ, Έτω, οι διαπορές των δύο δειγμάτων αντίτοιχα ( αντίτοιχες αμερόληπτες εκτιμήτριες). Λόγω της ανεξαρτηίας, θα έχουμε ότι m V + + m (Οι βαθμοί ελευθερίας της V είναι -1+m-1 +m-). Δοθέντος επίης ότι Ζ και V είναι ανεξάρτητες έχουμε Z T t +m- V ( + m ) *, ) * οι
Από τις προηγούμενες χέεις προκύπτει ότι, όπου δηλαδή, p ( μ μ ) T t +m- + m + m + m p p p * ( 1) + (m 1) + m m ( ) + ( ) i i 1 i 1 + m Επομένως το 100(1-α)% διάτημα εμπιτούνης για την διαφορά μ -μ το τη περίπτωη αυτή είναι, i * ± t + m,1 α/ p + p m Παρατήρηη: Η διαπορά p ονομάζεται ταθμιμένη διαπορά (pooled variace). Χρηιμοποιείται δε γιατί έχουμε δύο ανεξάρτητες εκτιμήεις που προέρχονται από δύο διαφορετικά δείγματα για την ίδια ποότητα (το ). Είναι λοιπόν φυικό να κάνουμε χρήη και των δύο αυτών εκτιμήεων λαμβάνοντας όμως υπόψη μας (και δίνοντας την αντίτοιχη βαρύτητα) την ποιότητα της καθεμιάς από αυτές (δηλαδή το πόο ακριβής είναι η καθεμιά από αυτές με βάη το μέγεθος του δείγματος από το οποίο έχει προέλθει). Παρατήρηη: Είναι δυνατόν να αποδειχθεί, είτε μαθηματικά είτε πειραματικά, ότι η ταθμιμένη εκτιμήτρια p της κοινής διαποράς είναι μια αμερόληπτη εκτιμήτρια του. Σημείωη: Αν αλλά, m είναι αρκετά μεγάλα, μπορούμε να αντικατατήουμε το με το /(-1) και το με το 37
m * /(m-1) την αρχική χέη (αντίτοιχα το με το και το * με το δηλαδή, τις αμερόληπτες εκτιμήτριες των και αντίτοιχα). Τότε ένα κατά προέγγιη 100(1-α)% διάτημα εμπιτούνης για την διαφορά μ - μ είναι το ± Z1 α/ ( 1) + (m 1) ή ιοδύναμα, με τις αμερόληπτες εκτιμήτριες των διαπορών, * ± Z1 α/ + * m Παράδειγμα: Προκειμένου να υγκριθούν οι φοιτητές των τμημάτων Στατιτικής δύο διαφορετικών Πανεπιτημίων, επελέγηαν δύο τυχαία δείγματα από 50 και m60 φοιτητές του ιδίου έτους τους οποίους δόθηκε ένα υγκεκριμένο διαγώνιμα. Τα αποτελέματα το διαγώνιμα αυτό (ε βαθμολογία με κλίμακα 0-100) ήταν ως εξής: x 77 y 68 64 100 Να κατακευαθεί ένα 95% διάτημα εμπιτούνης για την διαφορά μ - μ της πραγματικής μέης απόδοης των φοιτητών τα δύο αυτά Πανεπιτήμια. Λύη: Υποθέτουμε ότι και ότι η απόδοη τα διαγωνίματα ακολουθεί την κανονική κατανομή. Για την ταθμιμένη διαπορά έχουμε, 50 * 64 + 60 *100 p 85.18 108 Το 95% διάτημα εμπιτούνης για τη διαφορά μ - μ είναι, ή, ιοδύναμα, 9 t 85.18 50 + 85.18 ± 108,.975 (5.60, 1.40) 60 38
(Επειδή τους πίνακες της κατανομής t δεν δίνεται τιμή για 16 βαθμούς ελευθερίας, χρηιμοποιούμε, από τους πίνακες της κανονικής κατανομής, την τιμή Ζ.975 1.96. Άλλωτε, για τους βαθμούς αυτούς ελευθερίας η κατανομή t προεγγίζεται χεδόν πλήρως από την τυποποιημένη κανονική κατανομή). Σημείωη 1: Μερικές φορές κάποιο από τα άκρα του διατήματος, ή και τα δύο, μπορεί να είναι αρνητικό πράγμα το οποίο αποτελεί ένδειξη ότι η μέη τιμή του δεύτερου πληθυμού υπερβαίνει την μέη τιμή του πρώτου πληθυμού. Σημείωη : Στο προηγούμενο πρόβλημα, δοθέντος ότι τα και m ήταν μεγάλα, μπορούαμε να βρούμε ένα κατά προέγγιη διάτημα εμπιτούνης για το μ - μ χωρίς να υποθέουμε ότι, χρηιμοποιώντας τον αντίτοιχο τύπο που δώαμε παραπάνω. Παρατήρηη: Η χρηιμοποίηη της μεθόδου που αναλύθηκε την περίπτωη που απαιτεί την επιβεβαίωη της υπόθεης αυτής. Όπως θα δούμε αργότερα (τους ελέγχους υποθέεων), υπάρχει τατιτική μεθοδολογία με την οποία μπορούμε να ελέγξουμε την υπόθεη αυτή. Παράδειγμα: Σε ένα εργοτάιο έχει βρεθεί ότι απαιτείται χρόνος περίπου ενός μηνός για να εκπαιδευθεί ένας καινούργιος εργαζόμενος και να φθάει τη μέγιτη δυνατή απόδοη. Στο εργοτάιο αυτό έχει προταθεί μια καινούργια μέθοδος εκπαίδευης για την ελάττωη του χρόνου αυτού. Προκειμένου να ελεγχθεί η αποτελεματικότητα της μεθόδου αυτής, επιλέγονται δύο ομάδες από 9 εργαζόμενους η καθεμία. Οι εργαζόμενοι αυτοί εκπαιδεύονται για μία περίοδο δύο εβδομάδων, την μιά βδομάδα με χρηιμοποίηη της παλιάς μεθόδου και την άλλη με χρηιμοποίηη της καινούργιας μεθόδου. Στην υνέχεια, ανατίθεται ε καθένα από τους εργαζόμενους που εκπαιδεύτηκαν η υναρμολόγηη μιας υκευής (εργαία για την οποία εκπαιδεύονται). Οι χρόνοι (ε λεπτά) που απαιτήθηκαν από τον κάθε εργαζόμενο για να υναρμολογήει το υγκεκριμένο 39
αντικείμενο μετά από το χρόνο της εκπαίδευης αυτής δίνονται τον πίνακα που ακολουθεί: ΧΡΟΝΟΣ ΠΟΥ ΑΠΑΙΤΗΘΗΚΕ (ε λεπτά) Συνήθης Μέθοδος Εκπαίδευης Χ 3 37 35 8 41 44 35 31 34 Νέα Μέθοδος Εκπαίδευης Υ 35 31 9 5 34 40 7 3 31 Να κατακευαθεί ένα 95% διάτημα εμπιτούνης για την διαφορά μεταξύ των μέων χρόνων που απαιτούνται για την υναρμολόγηη του υγκεκριμένου προϊόντος μετά από περίοδο εκπαίδευης δύο εβδομάδων για τη υνήθη και την καινούργια μέθοδο εκπαίδευης. Λύη: Ας υποθέουμε ότι μ Χ και μ είναι οι μέοι χρόνοι που απαιτούνται για τη υναρμολόγηη του προϊόντος μετά από εκπαίδευη με τη υνήθη και τη νέα μέθοδο αντίτοιχα. Ας υποθέουμε ότι η διακύμανη τους μέους χρόνους υναρμολόγηης είναι την πραγματικότητα υνάρτηη των διαφορών που οφείλονται τις προωπικότητες των εργαζομένων και ότι οι διακυμάνεις για τις μετρήεις από τους δύο πληθυμούς μπορούν να θεωρηθούν κατά προέγγιη ίες. Από τα δύο δείγματα μπορούν να υπολογιθούν τα εξής τοιχεία: x 35. y 31.56 m 9 ( x i x ) 195.56 ( y y ) i 1 m i 1 i 160. 330
p Επομένως, i 1 ( x x ) + ( y y) i m i 1 + m 19556. + 160. 9 + 9.4 s p i.4 4.7 Από τους πίνακες της κατανομής t t 9+9-,.975 t 16,.975.10 Αντικαθιτώντας τις τιμές τον τύπο που δίνει το διάτημα εμπιτούνης ± t + m, 1 α/ p 1 + 1 m έχουμε, (35. - 31.56) ± (.10) (4.7) / 9 ή ιοδύναμα, 3.66 ± 4.7 δηλαδή τελικά, (-1.06, 8.38) Επομένως, το εκτιμώμενο 95% διάτημα εμπιτούνης για την διαφορά των μέων χρόνων υναρμολόγηης είναι το (-1.06, 8.38). Λύη με τη χρήη του πακέτου Miitab Η κατακευή του διατήματος εμπιτούνης το πρόβλημα μπορεί να γίνει από το πακέτο Miitab ως εξής: Στο παράθυρο Data ειάγουμε τα δεδομένα ε δυό μεταβλητές π.χ. C1, C. Από την επιλογή tat επιλέγουμε Basic tatistics. Επιλέγουμε -ample t Επιλέγουμε amples i differet colums, το First τοποθετούμε την μεταβλητή C1 και το ecod την μεταβλητή C. 331
Επιλέγουμε Assume equal variaces και ΟΚ. MTB > Twoample 95.0 C1 C; UBC> Alterative 0; UBC> Pooled. TWOAMPLE T FOR C1 V C N MEAN TDEV E MEAN C1 9 35. 4.94 1.6 C 9 31.56 4.48 1.5 95 PCT CI FOR MU C1 - MU C: ( -1.0, 8.4) TTET MU C1 MU C (V NE): T 1.65 P0.1 DF 16 POOLED TDEV 4.7 Στον πίνακα αποτελεμάτων, έχουμε πρώτα τα ονόματα των μεταβλητών (C1, C), μετά τον αριθμό των παρατηρήεων (Ν), τον δειγματικό μέο (Mea), την τυπική απόκλιη (tdev), το τυπικό φάλμα του μέου (E Mea) για κάθε μεταβλητή. Στην υνέχεια, έχουμε το διάτημα εμπιτούνης (95 PCT CI FOR MU C1 - MU C) και τέλος κάποια τοιχεία για τον έλεγχο υπόθεης. Σημείωη: Παρατηρούμε ότι το μήκος του διατήματος που κατακευάαμε είναι πολύ μεγάλο και δεν δίνει την πραγματικότητα πολλές πληροφορίες για ουιατικά υμπεράματα. Σε μια τέτοια περίπτωη, θα ήταν, ίως, χρήιμο να αυξηθεί το μέγεθος του δείγματος και να επαναληφθεί η διαδικαία. Παρατήρηη: Όον αφορά τις υποθέεις που κάναμε για την κατακευή διατημάτων εμπιτούνης την ενότητα αυτή, θα πρέπει να παρατηρήουμε ότι μικρές αποκλίεις από την υπόθεη ότι ο πληθυμός ακολουθεί την κανονική κατανομή δεν επηρεάζουν οβαρά τις ιδιότητες των εκτιμητριών ή τον υντελετή εμπιτούνης το αντίτοιχο διάτημα εμπιτούνης. Από το άλλο 33
μέρος όπως είπαμε, θα πρέπει οι δύο υπό μελέτη πληθυμοί να έχουν, κατά προέγγιη τουλάχιτον, ίες διαπορές. Όταν οι διαπορές δεν είναι ίες αλλά ούτε τα μεγέθη των δειγμάτων είναι μεγάλα, τότε δεν ακολουθείται καμμιά από τις διαδικαίες που προαναφέρθηκαν. Στην τελευταία αυτή περίπτωη, ακολουθούμε την παρακάτω διαδικαία. Γ. Περίπτωη Αγνώτων Ανίων Διακυμάνεων (Ανεξάρτητα Δείγματα) Αν έχουμε λόγους να πιτεύουμε ότι οι διακυμάνεις των δύο πληθυμών απέχουν πολύ από το να είναι ίες, θα πρέπει να γίνουν οι εξής αλλαγές τη διαδικαία που εκθέαμε μέχρι τώρα: Η ταθμιμένη εκτιμήτρια p δεν είναι πιά κατάλληλη και θα * * πρέπει να χρηιμοποιηθούν οι δειγματικές διαπορές και των και αντίτοιχα. Επομένως, το 100(1-α)% διάτημα εμπιτούνης για το μ Χ - μ Υ τη περίπτωη αυτή είναι, * ± t v, 1 α/ + * m όπου οι βαθμοί ελευθερίας ν της κατανομής t δίνονται από τον τύπο * * ( / + /m ) * * ( / ) ( /m ) v 1 + m 1 Φυικά, το αποτέλεμα τρογγυλοποιείται τον πληιέτερο ακέραιο. Αν τα μεγέθη των δειγμάτων και m είναι μεγάλα, * * χρηιμοποιούμε τις εκτιμήτριες και (αντίτοιχα τις, ) των διαπορών και των δύο πληθυμών και αξιοποιούμε το γεγονός ότι για μεγάλα δείγματα η τατιτική υνάρτηη 333
(μ * / + * μ /m ) (μ μ ) /( 1) + /(m 1) ακολουθεί, ύμφωνα με το κεντρικό οριακό θεώρημα, κατά προέγγιη, την κατανομή Ν(0,1). Το διάτημα εμπιτούνης, επομένως, κατακευάζεται όπως την περίπτωη Α. Συγκεκριμένα, το 100(1-α)% διάτημα εμπιτούνης για την διαφορά μ Χ -μ Υ έχει άκρα * ± Z1 α/ / + Παράδειγμα: (Συνέχεια του προηγουμένου παραδείγματος). Αν το τελευταίο παράδειγμα δεν είματε ε θέη να υποθέουμε ιότητα των διαπορών των δύο πληθυμών, θα χρηιμοποιούαμε την τελευταία αυτή μέθοδο για την κατακευή του διατήματος εμπιτούνης οπότε ο αριθμός ν των βαθμών ελευθερίας για την κατανομή t που θα χρηιμοποιούαμε θα ήταν, * /m v 9.44 9 9.44 9 8 + + 0.03 9 0.03 9 8 Επομένως, το 95% διάτημα εμπιτούνης για την διαφορά μ Χ -μ Υ είναι, (35. - 31.56) ± (.10) 4. 44 / 9 + 0. 03 / 9 ή ιοδύναμα, 3.66 ± (.10) 495. επομένως, 3.66 ± 4.71 δηλαδή τελικά, (-1.05, 8.37) Παρατηρούμε ότι το διάτημα εμπιτούνης που προέκυψε με την μέθοδο αυτή ελάχιτα διαφέρει από εκείνο που είχαμε υπολογίει προηγουμένως. 334
Χρηιμοποίηη του τατιτικού πακέτου TATGRAPHIC Και την περίπτωη των δύο δειγμάτων μπορούμε να χρηιμοποιήουμε το τατιτικό πακέτο TATGRAPHIC για να κάνουμε την ανάλυη που μόλις εξηγήαμε. Από το βαικό μενού επιλέγουμε το ETIMATION AND TETING. Στην υνέχεια, από αυτό επιλέγουμε τη δυνατότητα (TWO AMPLE ANALI). Μετά την ειαγωγή των τοιχείων τα πεδία AMPLE 1 και AMPLE, αντίτοιχα με το F6 παίρνουμε τον πίνακα που ακολουθεί. TWO-AMPLE ANALI REULT AMPLE 1 AMPLE POOLED AMPLE TATITIC:NUMBER OF OB. 9 9 18 AVERAGE 35. 31.5556 33.3889 VARIANCE 4.4444 0.078.361 TD. DEVIATION 4.94413 4.4754 4.7155 MEDIAN 35 31 33 DIFFERENCE BETWEEN MEAN 3.66667 CONF. INTERVAL FOR DIFF. IN MEAN: 95 PERCENT (EQUAL VAR.) AMPLE 1-AMPLE -1.04687 8.3801 16D.F. (UNEQUAL VAR.)AMPLE 1-AMPLE -1.05066 8.38399 15.8D.F. RATIO OF VARIANCE 1.053 CONF. INTERVAL FOR RATIO OF VARIANCE: 0 PERCENT AMPLE 1 AMPLE HPOTHEI TET FOR H0:DIFF0 COMPUTED t TATITIC 1.64948 V ALT: NE IG. LEVEL 0.11854 AT ALPHA.05 O DO NOT REJECT H0. 335
Στον πίνακα αυτό, έχουμε τις δειγματικές τατιτικές υναρτήεις (sample statistics) για τα δύο δείγματα (AMPLE 1, AMPLE ) και για το ταθμιμένο δείγμα (POOLED). Για κάθε μια από τις περιπτώεις αυτές, ο πίνακας μας δίνει τις τιμές του μέου (AVERAGE), της διαποράς (VARIANCE), της τυπικής απόκλιης (TD. DEVIATION) και της διαμέου (MEDIAN). Στην υνέχεια, δίνει τις διαφορές των δειγματικών μέων (DIFFERENCE BETWEEN MEAN) και το διάτημα εμπιτούνης για τη διαφορά των δύο μέων (CONF. INTERVAL FOR DIFF. IN MEAN) για επίπεδο που επιλέγει ο ερευνητής (την περίπτωή μας έχουμε επιλέξει το 95%). Στην υνέχεια, παρέχονται τα χετικά αποτελέματα για την περίπτωη που η υπόθεη των ίων διαπορών ιχύει (EQUAL VAR.) μαζί με τους βαθμούς ελευθερίας, όπως επίης και για την περίπτωη ανίων διαπορών (UNEQUAL VAR.) μαζί με τους βαθμούς ελευθερίας, πριν από την τρογγυλοποίηη, ύμφωνα με τον τύπο που έχουμε δώει. Έτι, για την περίπτωη των ίων διαπορών δίνει διάτημα εμπιτούνης το (-1.04687, 8.3801) που προκύπτει από 16 βαθμούς ελευθερίας ενώ για την περίπτωη ανίων διαπορών δίνει διάτημα εμπιτούνης το (-1.05066, 8.38399) με 15.8 βαθμούς ελευθερίας. Το υπόλοιπο μέρος του πίνακα αναφέρεται τον λόγο των διαπορών επίης και τον έλεγχο υποθέεων για μέες τιμές που θα υναντήουμε αργότερα. Λύη με το πακέτο P Η κατακευή του διαγράμματος ελέγχου της κανονικότητας το πρόβλημα μπορεί να γίνει από το πακέτο P ως εξής: Ειάγουμε τα δεδομένα των δύο μεθόδων εκπαίδευης Χ και Υ ε μια μεταβλητή π.χ.. Ειάγουμε μια καινούργια μεταβλητή π.χ. GR τις οποίας οι τιμές είναι 1 και που υποδηλώνουν ε ποιά μέθοδο εκπαίδευης αντιτοιχεί η κάθε παρατήρηη της μεταβλητής. Από την επιλογή tatistics, επιλέγουμε Compare meas. 336
Επιλέγουμε Idepedet-amples T Test. Στο παράθυρο που εμφανίζεται το πεδίο Test Variables, επιλέγουμε την μεταβλητή και το πεδίο Groupig variable, επιλέγουμε την μεταβλητή GR. Επιλέγουμε Defie groups. Στο παράθυρο που εμφανίζεται, επιλέγουμε Use specified groups και το Group 1 βάζουμε την τιμή 1 που αντιτοιχεί την μέθοδο εκπαίδευης Χ και Group βάζουμε την τιμή που αντιτοιχεί την μέθοδο εκπαίδευης Υ και επιλέγουμε cotiue. Στο αρχικό παράθυρο, επιλέγουμε ΟΚ. Group tatistics GR 1.00.00 N td. td. Error Mea Deviatio Mea 9 35. 4.9441 1.6480 9 31.5556 4.475 1.4917 Idepedet amples Test Equal variaces assumed Equal variaces ot assumed Levee's Test for Equality of Variaces F ig. t df t-test for Equality of Meas ig. Mea td. Error 95% Cofidece Iterval of the Differece (-tailed) Differece Differece Lower Upper.061.807 1.649 16.119 3.6667.9-1.0457 8.3790 1.649 15.844.119 3.6667.9-1.0495 8.388 Στoν πρώτο πίνακα αποτελεμάτων, φαίνονται τα ονόματα των μεταβλητών (ΧΥ, GR), ο αριθμός των παρατηρήεων (Ν), ο δειγματικός μέος (Mea), η τυπική απόκλιη (td. Deviatio) και το τυπικό φάλμα του μέου (td. Error Mea) για κάθε μέθοδο εκπαίδευης. Στον δεύτερο πίνακα αποτελεμάτων, έχουμε δύο ειρές αποτελεμάτων, πρώτα για την περίπτωη που έχουμε ίες διακυμάνεις (παράδειγμα ελίδα 58) και μετά για την περίπτωη που έχουμε άνιες διακυμάνεις (παράδειγμα ελίδα 60). Στην αρχή, υπάρχει ο έλεγχος του Leve (Leve s Test for Equality of Variaces) για το αν μπορούμε να δεχθούμε την υπόθεη ότι οι διακυμάνεις των 337
δύο μεταβλητών είναι ίδιες. Βλέπουμε ότι το p-value είναι 0.807, άρα δεχόματε την υπόθεη της ιότητας των διακυμάνεων. Στην υνέχεια, υπάρχουν κάποια τοιχεία που αφορούν τον έλεγχο τατιτικής υπόθεης (που θα δούμε αργότερα) και το διάτημα εμπιτούνης (95% Cofidece Iterval of the Differece). Λύη με τη χρήη του πακέτου Miitab Η κατακευή του διατήματος εμπιτούνης το πρόβλημα μπορεί να γίνει από το πακέτο Miitab ως εξής: Στο παράθυρο Data, ειάγουμε τα δεδομένα ε δυό μεταβλητές π.χ. C1, C. Από την επιλογή tat, επιλέγουμε Basic tatistics. Επιλέγουμε -ample t Επιλέγουμε amples i differet colums, το First τοποθετούμε την μεταβλητή C1 και το ecod την μεταβλητή C και ΟΚ. MTB > Twoample 95.0 C1 C; UBC> Alterative 0. TWOAMPLE T FOR C1 V C N MEAN TDEV E MEAN C1 9 35. 4.94 1.6 C 9 31.56 4.48 1.5 95 PCT CI FOR MU C1 - MU C: ( -1.1, 8.4) TTET MU C1 MU C (V NE): T 1.65 P0.1 DF 15 Στον πίνακα αποτελεμάτων, έχουμε πρώτα τα ονόματα των μεταβλητών (C1, C), μετά τον αριθμό των παρατηρήεων (Ν), τον δειγματικό μέο (Mea), την τυπική απόκλιη (tdev), το τυπικό φάλμα του μέου (E Mea) για κάθε μεταβλητή. Στην υνέχεια, έχουμε το διάτημα εμπιτούνης (95 PCT CI FOR MU C1 - MU C) και τέλος κάποια τοιχεία για τον έλεγχο υπόθεης. 338
Σημείωη 1: Υπάρχει η δυνατότητα τα δεδομένα να ειαχθούν ε μια μεταβλητή και να κατακευάουμε μια δεύτερη μεταβλητή που θα δηλώνει ε ποια μέθοδο εκπαίδευης αντιτοιχεί κάθε παρατήρηη (όπως τον τρόπο ειαγωγής των δεδομένων το P). Σημείωη : Αν θέλουμε διάτημα εμπιτούνης διαφορετικό από 95%, επιλέγουμε Optios το παράθυρο Idepedet-amples T Test και την υνέχεια δηλώνουμε το επιθυμητό επίπεδο εμπιτούνης και Cotiue. Σημείωη 3: Το πρόβλημα που εξετάαμε την τελευταία ενότητα, το οποίο αναφέρεται ε πληθυμούς με διαφορετικές διαπορές την βιβλιογραφία χαρακτηρίζεται ως πρόβλημα των Behres-Fisher από τα ονόματα των επιτημόνων οι οποίοι πρώτοι το αντιμετώπιαν. Δ. Παρατηρήεις Κατά Ζεύγη Στις τρεις προηγούμενες ενότητες, εξετάαμε μεθόδους κατακευής διατημάτων εμπιτούνης για την διαφορά των μέων τιμών δύο πληθυμών που είναι ανεξάρτητοι με μεθοδολογία που βαίζεται ε επιλογή ανεξαρτήτων τυχαίων δειγμάτων. Υπάρχουν όμως περιπτώεις που οι παρατηρήεις του ενός δείγματος δεν είναι ανεξάρτητες από τις παρατηρήεις το άλλο δείγμα. Η εξάρτηη μπορεί να εμφανιθεί, είτε διότι οι παρατηρήεις τα δύο δείγματα έχουν επιλεγεί κατά ζεύγη με βάη κάποιο χαρακτηριτικό, είτε διότι έχουμε επαναλαμβανόμενες παρατηρήεις πάνω τα ίδια άτομα ή τοιχεία. Και τις δύο αυτές περιπτώεις, η μεταβλητή που χρηιμοποιείται για την μελέτη του προβλήματος είναι εκείνη που αναφέρεται τη διαφορά των τιμών των παρατηρήεων και όχι ' αυτές καθαυτές τις παρατηρήεις. Ένα παράδειγμα προβλήματος που εμπίπτει την πρώτη κατηγορία είναι αυτό που αναφέρεται την μελέτη της αποτελεματικότητας ενός νέου φαρμάκου. Για παράδειγμα, έτω ότι μας ενδιαφέρει αν ένα νέο φάρμακο για την χολητερίνη ελαττώνει τον κίνδυνο καρδιακής προβολής. Όπως είναι φυικό, υπάρχουν και άλλοι παράγοντες που επηρεάζουν τον κίνδυνο καρδιακής 339
προβολής, όπως η ηλικία, η κληρονομικότητα, το κάπνιμα, η πίεη κ.λ.π. Αν λοιπόν ε μια τέτοια περίπτωη παίρναμε δύο ανεξάρτητα δείγματα, οι παρατηρήεις θα είχαν μεγάλες τυπικές αποκλίεις μέρος των οποίων θα οφειλόταν ε άλλους παράγοντες και όχι ' αυτούς που θα θέλαμε να εξετάουμε. Ένας τρόπος να αποφύγουμε το πρόβλημα αυτό είναι να πάρουμε ένα τυχαίο δείγμα από άτομα με τα ίδια περίπου χαρακτηριτικά και την υνέχεια να το χωρίουμε ε δύο δείγματα, έτι ώτε ε κάθε άτομο που ανήκει την ελεγχόμενη ομάδα να αντιτοιχεί ένα άτομο της ομάδας που θα υποτεί τη θεραπεία. Η αντιτοίχιη θα γίνει με βάη την ομάδα ηλικίας, το επίπεδο χολητερίνης, τις υνήθειες καπνίματος, την πίεη του αίματος και όλους τους άλλους παράγοντες που είναι δυνατόν να θεωρηθεί ότι επηρεάζουν το ενδεχόμενο καρδιακής προβολής. Με τον τρόπο αυτό, είναι αν να έχουμε, κατά προέγγιη, το ίδιο άτομο ταυτόχρονα και την ελεγχόμενη ομάδα και την ομάδα που θα υποτεί τη θεραπεία. Ως παράδειγμα της δεύτερης κατηγορίας, ας θεωρήουμε την περίπτωη που μας ενδιαφέρει να ελέγξουμε και να υγκρίνουμε την ποιότητα δύο διαφορετικών ειδών λαδιού αυτοκινήτου. Αν πάρουμε δύο ανεξάρτητα δείγματα και ελέγξουμε την απόδοη της καθεμιάς από τις δύο μάρκες λαδιού, ε καθένα από τα δύο δείγματα είναι αναμενόμενο να έχουμε μεγάλες αποκλίεις που να οφείλονται ε άλλους παράγοντες (π.χ. κυβιμός αυτοκινήτου, ποιότητα ελατικών κ.λ.π.) και όχι ε αυτόν που πραγματικά θέλουμε να ελέγξουμε. Σε τέτοιες περιπτώεις, παίρνουμε ένα μόνο τυχαίο δείγμα από αυτοκίνητα, τοποθετούμε το λάδι της μιας κατακευάτριας εταιρείας τα αυτοκίνητα αυτά και ελέγχουμε τα χιλιόμετρα που τα αυτοκίνητα αυτά θα διανύουν μέχρις ότου τα λάδια φθάουν ε ένα υγκεκριμένο επίπεδο φθοράς. Στην υνέχεια, χρηιμοποιούμε τα ίδια αυτοκίνητα (κατά προτίμηη με τους ίδιους οδηγούς και κάτω από τις ίδιες υνθήκες οδήγηης) και ελέγχουμε την δεύτερη μάρκα λαδιού όον αφορά τις αποτάεις που διανύονται μέχρις ότου το λάδι φθάει το ίδιο επίπεδο φθοράς όπως και προηγούμενα. Και τις δύο περιπτώεις που προαναφέραμε, θα έχουμε δύο ειρές μετρήεων Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1,Υ,...,Υ. 340
Δοθέντος όμως ότι τα δείγματα δεν θα είναι ανεξάρτητα, θεωρούμε ότι έχουμε ζευγάρια παρατηρήεων (Χ i,υ i ), i1,,...,. Στην υνέχεια θεωρούμε τις διαφορές των παρατηρήεων D i i - i, i1,,...,. Καταλήγουμε δηλαδή τελικά ε ένα πρόβλημα παρατηρήεων D 1, D,..., D, οπότε η ανάλυή μας θα είναι ανάλυη που αναφέρεται ουιατικά ε ένα μόνο δείγμα. Για το δείγμα των διαφορών θα έχουμε, ή, ιοδύναμα, D D i 1 341 D ( D i D) i 1 ( D i D) * i 1 D 1 Ακολουθώντας πιά τη γνωτή μεθοδολογία, θα έχουμε ότι το 100(1-α)% διάτημα εμπιτούνης για τη διαφορά των μέων τιμών των δύο πληθυμών μ - μ θα είναι το, D D ± t 1, 1 α/ 1 ή ιοδύναμα, * D D ± t 1, 1 α/ Σημείωη: Εξυπακούεται ότι η υμπεραματολογία αυτή ιχύει με την προϋπόθεη ότι οι διαφορές των παρατηρήεων ακολουθούν την κανονική κατανομή. Παράδειγμα: Προκειμένου να γίνει ύγκριη της ποιότητας δύο ειδών λαδιού αυτοκινήτου, μια εταιρεία προταίας καταναλωτών ενδιαφέρεται να κατακευάει ένα 95% διάτημα εμπιτούνης για τη διαφορά μ D μ -μ της μέης κατανάλωης βενζίνης (μετρούμενης ε χιλιόμετρα/λίτρο) με την χρηιμοποίηη των δύο διαφορετικών i
ειδών λαδιού. Για τον λόγο αυτό, χρηιμοποιούνται τέερα αυτοκίνητα τα οποία δοκιμάζονται ε απόταη 1000km, την πρώτη φορά, χρηιμοποιώντας το λάδι μηχανής τύπου Α και την δεύτερη φορά, χρηιμοποιώντας το λάδι μηχανής τύπου Β. Οι μετρήεις τις οποίες η εταιρεία κατέληξε δίνονται τον πίνακα που ακολουθεί. Λάδι Α: Χ i Α υ τ ο κ ί ν η τ ο 1 3 4 19.77 18.90 0.0 16.9 Λάδι Β: Υ ι 18.91 18.1 18.84 16.9 D i i - i 0.86 0.69 1.36-0.33 Από τις παρατηρήεις αυτές έχουμε: * D D 0.645 0.503 Δοθέντος ότι t 0.975,3 3.18, θα έχουμε ότι το 95% διάτημα εμπιτούνης για την διαφορά μ D μ - μ θα είναι το, 0.645 ± 3.18 0709. ή (-0.485, 1.775) Λύη με το πακέτο P Η κατακευή του διατήματος εμπιτούνης το πρόβλημα μπορεί να γίνει από το πακέτο P ως εξής: Ειάγουμε τα δεδομένα για το λάδι Α τη μεταβλητή π.χ. Χ. Ειάγουμε τα δεδομένα για το λάδι Β τη μεταβλητή π.χ. Υ. Από την επιλογή tatistics, επιλέγουμε Compare meas. Επιλέγουμε Paired amples T-test. Στο παράθυρο που εμφανίζεται, επιλέγουμε τις μεταβλητές μας (Χ και Υ) τις τοποθετούμε το πεδίο Paired Variables και επιλέγουμε ΟΚ. 34
Pair 1 Paired amples tatistics td. td. Error Mea N Deviatio Mea 18.7900 4 1.75.8761 18.00 4.91.4610 Paired amples Correlatios Pair 1 & N Correlatio ig. 4.990.010 Paired amples Test Pair 1 - Paired Differeces 95% Cofidece Iterval of the td. td. Error Differece ig. Mea Deviatio Mea Lower Upper t df (-tailed).5700.8490.445 -.7810 1.910 1.343 3.7 Στoν πρώτο πίνακα αποτελεμάτων, φαίνονται τα ονόματα των μεταβλητών (Χ, ), ο δειγματικός μέος (Mea), ο αριθμός των παρατηρήεων (Ν), η τυπική απόκλιη (td. Deviatio) και το τυπικό φάλμα του μέου (td. Error Mea) για κάθε λάδι. Στον δεύτερο πίνακα αποτελεμάτων, έχουμε την υχέτιη μεταξύ των μεταβλητών Χ και Υ. Στον τρίτο πίνακα, έχουμε κάποια τοιχεία που αφορούν τον έλεγχο τατιτικής υπόθεης (που θα δούμε αργότερα) και το διάτημα εμπιτούνης (95% Cofidece Iterval of the Differece). Σημείωη: Αν θέλουμε διάτημα εμπιτούνης διαφορετικό από 95%, επιλέγουμε Optios το παράθυρο Paired-samples T Test και την υνέχεια, δηλώνουμε το επιθυμητό επίπεδο εμπιτούνης και Cotiue. Λύη με τη χρήη του πακέτου Miitab Η κατακευή του διατήματος εμπιτούνης το πρόβλημα μπορεί να γίνει από το πακέτο Miitab ως εξής: Στο παράθυρο Data, ειάγουμε τα δεδομένα ε δυο μεταβλητές π.χ. C1,C για κάθε τύπο λαδιού. 343
Από την επιλογή Calc, επιλέγουμε Mathematical Expressios. Στο πεδίο Variable, τοποθετούμε τη μεταβλητή C3. Στο πεδίο expressio, γράφουμε C1-C και επιλέγουμε ΟΚ. Από την επιλογή tat, επιλέγουμε Basic tatistics. Επιλέγουμε 1-ample t Στο παράθυρο που ανοίγει, επιλέγουμε τη μεταβλητή που έχουμε περάει τη διαφορά των δεδομένων δηλαδή C3 και την τοποθετούμε το πεδίο Variables. Επιλέγουμε διάτημα εμπιτούνης (Cofidece Iterval) και το πεδίο level επιλέγουμε 95% και ΟΚ. MTB > TIterval 95.0 C3. N MEAN TDEV E MEAN 95.0 PERCENT C.I. C3 4 0.570 0.849 0.45 ( -0.781, 1.91) Στον πίνακα αποτελεμάτων, έχουμε πρώτα το όνομα της μεταβλητής (C3), μετά τον αριθμό των παρατηρήεων (Ν), τον δειγματικό μέο (Mea), την τυπική απόκλιη (tdev), το τυπικό φάλμα του μέου (E Mea) και τέλος το διάτημα εμπιτούνης (95.0% C.I.). Σημείωη: Η επιλογή Test mea χρηιμοποιείται για τον έλεγχο υποθέεων όπως θα δούμε τη υνέχεια. Παρατήρηη: Η ανάλυη του προβλήματος με παρατηρήεις κατά ζεύγη το τατιτικό πακέτο tatgraphics δίνεται με την θεώρηη των διαφορών των παρατηρήεων των δύο δειγμάτων ως παρατηρήεις που προέρχονται από ένα δείγμα και την τη υνέχεια ανάλυή τους με την μέθοδο του ενός δείγματος. Σχηματική Παρουίαη της Διαδικαίας Κατακευής Διατημάτων Εμπιτούνης για την Διαφορά Μέων Τιμών Κανονικών Πληθυμών Ο τρόπος κατακευής διατημάτων εμπιτούνης για την διαφορά μέων τιμών κανονικών πληθυμών και οι ενέργειες που πρέπει να γίνουν ανάλογα με την χέη των διακυμάνεων των δύο 344
αυτών πληθυμών μπορεί να παρουιαθεί με το παρακάτω διάγραμμα. Διατήματα Εμπιτούνης για την Διαφορά Μέων Τιμών Κανονικών Πληθυμών ΑΡΧΗ ανεξάρτητα δείγματα ΟΧΙ D ± t 1,1 α/ * D NAI, γνωτά ΝΑΙ ± Z 1 α/ + m OI, * * ΟΧΙ ΟΧΙ μεγάλα δείγματα ΝΑΙ ΝΑΙ * * p p ± t ν, 1 α/ + ± t ν, 1 α/ + m m ν + m - * * [ / + /m] * * ( 1)x + (m 1) ν y *4 *4 p / /m + m + 1 m 1 p ταθμιμένη διαπορά 345