ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ 5 Εισαγωγή Σ αυτό το κεφάαιο θα δούµε ότι οι ροπές µιας τυχαίας µεταβητής µπορούν να υποογιστούν µε τη βοήθεια κατάηων συναρτήσεων Αυτές οι συναρτήσεις καούνται ροπογεννήτριες Θα παρουσιάσουµε τον τρόπο µε τον οποίο αυτές οι συναρτήσεις χρησιµοποιούνται για τον υποογισµό των ροπών µιας τυχαίας µεταβητής 5 Ροπογεννήτριες Η ροπογεννήτρια είναι µία συνάρτηση που χρησιµεύει για τον υποογισµό όων των ροπών,,k µιας τυχαίας µεταβητής τάξεως µ, Ορισµός Ροπογεννήτρια Η ροπογεννήτρια mom gg fuco µιας τυχαίας µεταβητής είναι η πραγµατική συνάρτηση µε τύπο για κάθε που ανήκει σε ένα διάστηµα της µορφής δ, δ, δ > Αν η τυχαία µεταβητή είναι διακριτή µε φορέα S και συνάρτηση πιθανότητας f x, η x ροπογεννήτρια της θα δίνεται από τον τύπο f x, < δ, ενώ, αν η τυχαία µεταβητή είναι συνεχής µε συνάρτηση πυκνότητας f x, η ροπογεννήτρια της θα δίνεται από τον τύπο x f x dx, < δ Σηµειώνουµε ότι η ποσότητα x f x dx x S είναι ο µετασχηµατισµός Lplc της συνάρτησης f x Όπως φαίνεται από τον προηγούµενο ορισµό, η ροπογεννήτρια δεν υπάρχει για κάθε περιοριζόµαστε σε εκείνες τις τιµές του R για τις οποίες υπάρχει σύγκιση R αά d d Έχουµε E, όπου έχουµε υποθέσει ότι µπορούµε να εναάξουµε τη d d d θέση των και E Αυτή η ενααγή των θέσεων είναι εν γένει επιτρεπτή Έχουµε ότι E d d d d Παραγωγίζοντας δύο φορές την έχουµε E d d d 3

Άρα, E Στη γενική περίπτωση, η οστή παράγωγος της ροπογεννήτριας της δίνεται από τον τύπο, από τον οποίο συνεπάγεται ότι µ E Συνεπώς, η ροπή τάξεως µ της είναι ίση µε την τιµή της οστής παραγώγου της στο σηµείο Αν είναι η ροπογεννήτρια της τυχαίας µεταβητής, τότε E Η επόµενη πρόταση είναι πού! σηµαντική και παρατίθεται χωρίς απόδειξη Πρόταση 5 Η ροπογεννήτρια µιας τυχαίας µεταβητής χαρακτηρίζει µονοσήµαντα την κατανοµή της, δηαδή αν, είναι δύο τυχαίες µεταβητές µε ροπογεννήτριες,, αντίστοιχα και αν για κάποιο δ >, ισχύει ότι, για κάθε δ, δ, τότε οι τυχαίες µεταβητές και έχουν την ίδια κατανοµή Έστω µία τυχαία µεταβητή µε ροπογεννήτρια και, b δύο πραγµατικοί αριθµοί Τότε, η ροπογεννήτρια του γραµµικού συνδυασµού b + b θα δίνεται από τον τύπο: Παράδειγµα Η ροπογεννήτρια της διακριτής τυχαίας µεταβητής δίνεται από τον τύπο: xp Να υποογιστεί η µέση τιµή και η διακύµανση της τυχαίας µεταβητής Λύση Είναι και + Εποµένως E, E E V x Παράδειγµα Έστω µία τυχαία µεταβητή µε συνάρτηση πιθανότητας f x c, x,, K, όπου c είναι µία πραγµατική σταθερά α Να βρεθεί η ροπογεννήτρια της β Να βρεθεί η τιµή της σταθεράς c γ Να υποογιστεί η µέση τιµή και η διακύµανση της δ Να δοθεί ο τύπος της ροπογεννήτριας της τυχαίας µεταβητής 3 + x x c Λύση α f x c, c < c x x c β Επειδή έχουµε c Εποµένως,, < l c γ Παραγωγίζοντας δύο φορές τη ροπογεννήτρια βρίσκουµε 4

, + 3 Εποµένως, E, E 6, V E 3 5 δ Είναι 3, για < l 3 3 3 Παράδειγµα 3 Η ροπογεννήτρια µιας τυχαίας µεταβητής δίνεται από τον τύπο: xp, R α Να βρεθεί η τιµή της σταθεράς R β Να δειχτεί ότι οι ροπές E,,, K της τυχαίας µεταβητής δίνονται από τον τύπο E, αν περιττός και E 3L, αν,,, K Λύση α Από τη συνθήκη βρίσκουµε β Λόγω της σχέσης E ο υποογισµός των ποσοτήτων E µπορεί να γίνει αν! αναπτύξουµε τη συνάρτηση σε σειρά ως προς γύρω από το µηδέν και εντοπίσουµε το συντεεστή του Έχουµε xp!! Εποµένως, για,, K, ο!!!! συντεεστής του! για είναι ίσος µε µηδέν ενώ ο συντεεστής του! L L! L L για είναι:! Η ισότητα L L αποδεικνύεται εύκοα µε επαγωγή επί του Συνεπώς, E, αν και E 3L, αν Θα µπορούσαµε να προσδιορίσουµε τις ροπές E,,, K, αν παραγωγίζουµε συνεχώς τη ροπογεννήτρια και στη συνέχεια χρησιµοποιούσαµε τον τύπο: E,,, K Στην περίπτωσή µας, η διαδικασία που χρησιµοποιήσαµε δίνει το αποτέεσµα µε ευκοότερο τρόπο Παράδειγµα 4 Έστω µία διακριτή τυχαία µεταβητή για την οποία ισχύει ότι: E 6,,, K α Να δειχτεί ότι η ροπογεννήτρια της τυχαίας µεταβητής δίνεται από τον τύπο: 4+ 6, R β Να δειχτεί ότι η τυχαία µεταβητή παίρνει µόνο δύο τιµές, µε αντίστοιχες πιθανότητες 4 και 6 5

Λύση α Χρησιµοποιούµε τον τύπο: E + και βρίσκουµε! + 6 + 6 4+ 6!, R β Έστω µία διακριτή τυχαία µεταβητή η οποία παίρνει µόνο τις τιµές και µε αντίστοιχες πιθανότητες 4 και 6, δηαδή f y P y 4, αν y και f y P y 6, αν y Τότε θα έχουµε y f y f + f 4+ 6, R Επειδή, R, οι τυχαίες y µεταβητές και θα έχουν την ίδια κατανοµή Στο ίδιο συµπέρασµα θα καταήξουµε αν γράψουµε τη ροπογεννήτρια στη µορφή x f x και παρατηρήσουµε ότι για να ισχύει η σχέση x x x f x 4+ 6 για κάθε R θα πρέπει f x 4, αν x, f x 6, αν x και f x, αού θ x Παράδειγµα 5 Για την τυχαία µεταβητή µε συνάρτηση πυκνότητας f x θ I x, όπου, x, I, x, θ > και > σταθερές παράµετροι, να υποογιστούν:, x, α Η συνάρτηση κατανοµής x P x της τυχαίας µεταβητής F και η πιθανότητα P < < + β Η ροπογεννήτρια, για <θ γ Να υποογιστεί η µέση τιµή E και η διασπορά v θ y θ x Λύση α Είναι F x P x θ dy, x x >, P < < + + f x dx + + f x dx θ θ x dx θ β x x θ θ θ dx, < θ θ + θ γ Μετά από πράξεις, έχουµε E, θ v θ E E E 6

5 Παραδείγµατα υποογισµών Παράδειγµα 6 ιωνυµική κατανοµή Έστω ~ B, p, όπου θετικός ακέραιος και p [, ] Τότε Είναι p + p x x x x x p p p p p + p x x x x x x Η τεευταία ισότητα είναι συνέπεια του διωνυµικού αναπτύγµατος + b b,, b R x x Στη συνέχεια θα υποογίσουµε τη µέση τιµή και τη διασπορά της τυχαίας µεταβητής Είναι p + p p και συνεπώς p Επίσης, p + p p + p + p p και εποµένως E p + p Άρα, V E E p + p p p p Παράδειγµα 7 Κατανοµή Posso Έστω ~ Posso, > Τότε Είναι x x x E P x x! x! x x x x Στη συνέχεια θα υποογίσουµε τη µέση τιµή και τη διασπορά της τυχαίας µεταβητής Είναι και συνεπώς Επίσης, + και εποµένως E + Άρα, E E V 3 Παράδειγµα 8 Έστω ότι η ροπογεννήτρια µιας τυχαίας µεταβητής είναι, R Ποια είναι η τιµή της πιθανότητας P ; Λύση Παρατηρούµε ότι η είναι η ροπογεννήτρια της Posso3 Από την Πρόταση 3 έπεται ότι 3 ~ Posso 3 Συνεπώς, P 7

Παράδειγµα 9 Εκθετική κατανοµή Έστω ~ Εκθετική, > Τότε, < x x x Είναι dx dx, για < Παρατηρούµε ότι η ροπογεννήτρια της Εκθετικής κατανοµής ορίζεται µόνο για εκείνες τις τιµές του που είναι µικρότερες του Στη συνέχεια θα υποογίσουµε τη µέση τιµή και τη διασπορά της τυχαίας µεταβητής µε χρήση ροπογεννητριών Είναι και 3 Για, V Άρα, E E και Παράδειγµα Τυπική κανονική κατανοµή Έστω Z ~ N, z z z xp dz π π Z z Είναι Z E dz z z xp + dz dz dy π π π y Στην προτεευταία ισότητα θέσαµε y z Επιπέον, φ Z Z Παράδειγµα Κανονική κατανοµή Έστω ~ N µ, σ µ Από την Πρόταση 3 έχουµε Z ~ N, Χρησιµοποιούµε τα αποτεέσµατα του προηγούµενου σ παραδείγµατος και έχουµε σz+ µ µ E σz µ Z σ σ µ σ xp + µ σ σz+ µ µ σz µ µ σ Επιπέον έχουµε φ E φz σ xp µ Στη συνέχεια θα υποογίσουµε τη µέση τιµή και τη διασπορά της µε τη χρήση ροπογεννητριών Είναι σ µ + σ xp + µ σ σ και µ + σ xp + µ + σ xp + µ Για, µ, E µ +σ 8

Εποµένως, E E + V µ σ µ σ Παράδειγµα Έστω ~ Gmm, Να βρεθεί η ροπογεννήτρια της u u du x x x u Είναι x dx x dx u du Γ Γ Γ Γ, < Στην τρίτη ισότητα θέσαµε u x Στη συνέχεια θα υποογίσουµε τη µέση τιµή και τη διασπορά της µε τη χρήση των ροπογεννητριών Είναι + + και, < + Για, + και + Άρα, V E E 53 Κατανοµή του αθροίσµατος ανεξάρτητων τυχαίων µεταβητών Η Πρόταση 35 µπορεί να γενικευτεί στην περίπτωση των δτµ, Η µέση τιµή µιας συνάρτησης g, της δτµ, είναι E [ g, ] g x, y p x, y, αν η δτµ, είναι διακριτή µε από κοινού y x συνάρτηση πιθανότητας p x, y, ενώ E [ g, ] g x, y f x, y dxdy, αν η δτµ, είναι συνεχής µε από κοινού συνάρτηση πυκνότητας f x, y Ισχύει η ακόουθη πρόταση Πρόταση Έστω τυχαίες µεταβητές, που ορίζονται στον ίδιο πιθανοθεωρητικό χώρο Ω, I, P Αν οι, είναι ανεξάρτητες τότε E [ g h ] E[ g ] E[ h ], όπου g και h είναι πραγµατικές συναρτήσεις Απόδειξη Θα αποδείξουµε την πρόταση στην περίπτωση κατά την οποία οι τυχαίες µεταβητές και είναι συνεχείς Η απόδειξη είναι παρόµοια στην περίπτωση κατά την οποία οι και είναι διακριτές τυχαίες µεταβητές Έστω f x, y η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας της διδιάστατης δτµ, και f, f οι συναρτήσεις πυκνότητας των, ιαδοχικά, έχουµε g x h y f x, y dxdy g x h y f x f y dxdy h y f y dy 9 g x f x E[ g h ] dx E[ h ] E[ g ]

Αν, είναι δύο ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές και,, + είναι οι ροπογεννήτριες των +,, +, αντίστοιχα, διαδοχικά έχουµε E + Υποθέτουµε ότι η πραγµατική µεταβητή του παραπάνω τύπου παίρνει τιµές σε ένα κατάηο διάστηµα σύγκισης των ροπογεννητριών Ο παραπάνω τύπος επεκτείνεται άµεσα µε επαγωγή µε συνέπεια η ροπογεννήτρια του αθροίσµατος πεπερασµένου πήθους ανεξάρτητων τυχαίων µεταβητών ισούται µε το γινόµενο των ροπογεννητριών τους Τα παραπάνω αποτεέσµατα µας βοηθούν να προσδιορίσουµε την κατανοµή του αθροίσµατος πεπερασµένου πήθους ανεξάρτητων τυχαίων µεταβητών Στη συνέχεια παραθέτουµε τρία σχετικά παραδείγµατα Παράδειγµα 3 Αν ~ Posso και ~ Posso, και, είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές, τότε + ~ Posso + Λύση Η ύση θα δοθεί µε δύο τρόπους, > ος τρόπος Το ενδεχόµενο { + },,, K µπορεί να γραφεί ως η τοµή των ξένων µεταξύ τους ενδεχοµένων { } και { },, K, ιαδοχικά έχουµε P [ + ] P[, ] P[ ] P[ ]!! + +! + Άρα, + ~ Posso +!!!!!! + ος τρόπος Έστω,, + οι ροπογεννήτριες των,, +, αντίστοιχα Τότε, αφού οι, είναι ανεξάρτητες, ισχύει ότι + Όµως, και Άρα, xp{ + + }, R + Άρα, προκύπτει άµεσα ότι + ~ Posso + Το αποτέεσµα του προηγούµενου παραδείγµατος µπορεί να γενικευτεί για την περίπτωση που έχουµε, K, ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές τέτοιες ώστε ~ Posso,, K, Τότε +L+ ~ Posso +L + Παράδειγµα 4 Αν ~ B, p, ~ B m, p και, είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές, τότε + ~ B + m, p 3

Λύση Έστω, +, οι ροπογεννήτριες των,, +, αντίστοιχα Τότε, αφού οι, είναι ανεξάρτητες, ισχύει ότι + Όµως, έχουµε m p + p Άρα, p + p και + m η p + p Άρα, προκύπτει άµεσα ότι + ~ B + m, p + Το αποτέεσµα του προηγούµενου παραδείγµατος µπορεί να γενικευτεί για την περίπτωση που έχουµε, K, ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές τέτοιες ώστε ~ B, p,, K, Τότε +L + ~ B +L +, p Παράδειγµα 5 Αν ~ N µ, σ, ~ N µ, σ και, είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές, τότε + b ~ N µ + bµ, σ + b, όπου, b R Λύση Έστω σ, + b, οι ροπογεννήτριες των,, + b, αντίστοιχα Αφού, ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές, διαδοχικά έχουµε + b + b b + b E b Χρησιµοποιούµε κατάηα αποτεέσµατα του Κεφααίου 3 και έχουµε σ σ b σ + b σ xp + µ xp + µ b xp + µ + b, + b µ Άρα, προκύπτει άµεσα ότι + b ~ N µ + bµ, σ + b σ R Το αποτέεσµα του προηγούµενου παραδείγµατος µπορεί να γενικευτεί για την περίπτωση που έχουµε, K, ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές τέτοιες ώστε ~ N µ, σ,, K, Τότε +L + ~, N, µ σ όπου,, K R 3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο ΙΣΧΥΡΟΣ ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΓΑΛΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ ΟΡΙΑΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 6 Εισαγωγή Σ αυτό το κεφάαιο θα παρουσιάσουµε τα πιο σηµαντικά θεωρητικά αποτεέσµατα της Θεωρίας Πιθανοτήτων που είναι τα Οριακά Θεωρήµατα τα οποία ταξινοµούνται σε δύο κατηγορίες Στη πρώτη κατηγορία συµπεριαµβάνονται οι Νόµοι των Μεγάων Αριθµών οι οποίοι δίνουν τη θεωρητική βάση της διαισθητικής και πειραµατικής διαπίστωσης των Μαθηµατικών του 8 ου -9 ου αιώνα σύµφωνα µε την οποία, αν επαναάβουµε ένα πείραµα τύχης ποές φορές τότε ο στατιστικός ορισµός της πιθανότητας που αποδίδεται στον Vo ss είναι αηθής Επιπέον οι Νόµοι των Μεγάων Αριθµών συνιστούν ένα ισχυρό εργαείο για τη µεέτη διάφορων θεωρητικών και εφαρµοσµένων προβηµάτων Πιθανοτήτων και Στατιστικής Στη δεύτερη κατηγορία συµπεριαµβάνονται τα Κεντρικά Οριακά Θεωρήµατα σύµφωνα µε τα οποία, κάτω από αρκετά γενικές συνθήκες, η κατανοµή του αθροίσµατος ενός µεγάου αριθµού τυχαίων µεταβητών µπορεί να προσεγγιστεί ικανοποιητικά από µία κανονική κατανοµή Σε αυτό το κεφάαιο θα παρουσιάσουµε τον Ισχυρό Νόµο των Μεγάων Αριθµών και το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα 6 Όρια ακοουθιών τυχαίων µεταβητών Στο παρόν εδάφιο παραθέτουµε κάποιους ορισµούς που θα µας βοηθήσουν να παρουσιάσουµε τον Ισχυρό Νόµο των Μεγάων Αριθµών και το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Θεωρούµε µία ακοουθία τυχαίων µεταβητών,,, K που ορίζονται στον ίδιο πιθανοθεωρητικό χώρο Ω, I, P ίνουµε τους ακόουθους ορισµούς Ορισµός Λέµε ότι έχουµε µία ακοουθία ανεξάρτητων dpd τυχαίων µεταβητών,,, K αν ισχύει ότι P B, K, B P B LP B, όπου B,, K, είναι οποιαδήποτε υποσύνοα του R Ορισµός Λέµε ότι έχουµε µία ακοουθία ισόνοµων dclly dsbud τυχαίων µεταβητών,,,k αν όες οι τυχαίες µεταβητές ακοουθούν την ίδια κατανοµή Στη συνέχεια παραθέτουµε δύο έννοιες συγκίσεως µιας ακοουθίας τυχαίων µεταβητών,,, K 3

Ορισµός α Λέµε ότι η ακοουθία τυχαίων µεταβητών,,, K συγκίνει µε πιθανότητα ή σχεδόν βεβαίως ή σχεδόν παντού covgs wh pobbly στην τυχαία µεταβητή αν και µόνο αν P{ ω Ω ω ω} Ισοδύναµα, lm P > ε για ένα τουάχιστον µε, για κάθε ε > β Λέµε ότι η ακοουθία τυχαίων µεταβητών,,, K συγκίνει κατά κατανοµή covgs dsbuo στην τυχαία µεταβητή αν και µόνο αν lm F x F x, για κάθε σηµείο συνέχειας της συνάρτησης κατανοµής F της, όπου F είναι η συνάρτηση κατανοµής της ακοουθίας,,, K Η σχεδόν βέβαια σύγκιση συνεπάγεται ότι, σε ένα σύνοο του οποίου η πιθανότητα εµφάνισης είναι ίση µε, για κάθε δειγµατικό σηµείο ω η διαφορά ω ω γίνεται αυθαίρετα µικρή όταν το αυξάνεται απεριόριστα Αποδεικνύεται ότι, αν η ακοουθία τυχαίων µεταβητών,,, K συγκίνει σχεδόν παντού στην τυχαία µεταβητή, τότε συγκίνει και κατά κατανοµή στην τυχαία µεταβητή Παράδειγµα Έστω,, K ανεξάρτητες και ισόνοµες τυχαίες µεταβητές που ακοουθούν την Οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα, Έστω mx, K, είξτε ότι Z συγκίνει, : : καθώς, κατά κατανοµή σε µία τυχαία µεταβητή Z η οποία ακοουθεί την Εκθετική κατανοµή µε παράµετρο τη µονάδα Λύση Είναι FZ z P[ z] P P < z z P z < z z P <, < z < Η τέταρτη ισότητα είναι συνέπεια της ανεξαρτησίας των z τυχαίων µεταβητών, K, Ισχύει ότι F z F z, Z Z όπου Z ~ Εκθετική, δηαδή η τυχαία µεταβητή Z συγκίνει, καθώς, κατά κατανοµή στην τυχαία µεταβητή Z 6 Ο Ισχυρός Νόµος των Μεγάων Αριθµών Ο Ισχυρός Νόµος των Μεγάων Αριθµών Th Sog Lw of Lg Numbs είναι ένα από τα πιο γνωστά αποτεέσµατα της Θεωρίας Πιθανοτήτων Σύµφωνα µε το παρακάτω θεώρηµα, το οποίο παρατίθεται χωρίς απόδειξη, κάτω από κατάηες υποθέσεις, ο δειγµατικός µέσος µιας ακοουθίας ανεξάρτητων τυχαίων 33

µεταβητών που ακοουθούν µία κοινή κατανοµή συγκίνει σχεδόν βεβαίως προς τον θεωρητικό µέσο τη µέση τιµή της κατανοµής Θεώρηµα 6 Ισχυρός Νόµος των Μεγάων Αριθµών, ΙΝΜΑ Έστω µία ακοουθία ανεξάρτητων και ισόνοµων τυχαίων µεταβητών,,, K τέτοιων ώστε να υπάρχει η µέση τιµή και η διακύµανση της τυχαίας µεταβητής δηαδή να ισχύει ότι µ E < και σ V < Τότε η τυχαία µεταβητή δηαδή η ακοουθία των δειγµατικών µέσων συγκίνει µε πιθανότητα ή σχεδόν βεβαίως ή σχεδόν παντού στη θεωρητική µέση τιµή µ, καθώς, δηαδή P lm µ Ο ΙΝΜΑ αρχικά αποδείχθηκε από τον Γάο Μαθηµατικό Bol στην ειδική περίπτωση κατά την οποία η ακοουθία,,, K είναι µία ακοουθία τυχαίων µεταβητών Boull Η γενική µορφή του ΙΝΜΑ, όπως παρουσιάζεται στο Θεώρηµα 5, αποδείχθηκε από τον Ρώσο Μαθηµατικό Kolmogoov Παράδειγµα Θεωρούµε µία ακοουθία ανεξάρτητων δοκιµών ενός τυχαίου πειράµατος Έστω A ένα συγκεκριµένο ενδεχόµενο του πειράµατος και P A η πιθανότητα να συµβεί το ενδεχόµενο A σε µία οποιαδήποτε δοκιµή Έστω η τυχαία µεταβητή τέτοια ώστε, αν το ενδεχόµενο A συµβαίνει κατά την οστή δοκιµή και, αν το ενδεχόµενο A δεν συµβαίνει κατά την οστή δοκιµή Ισχύει ότι E P + P P A Από τον ΙΝΜΑ, η τυχαία µεταβητή + L+ συγκίνει σχεδόν παντού στη E P Το αποτέεσµα του παραδείγµατος µπορεί να ερµηνευτεί ως εξής Αφού η τυχαία µεταβητή A +L+ αναπαριστά τον αριθµό των φορών κατά τις οποίες το ενδεχόµενο A συµβαίνει στις πρώτες δοκιµές του πειράµατος, η πιθανότητα P A είναι το οριακό ποσοστό των φορών κατά τις οποίες συµβαίνει το ενδεχόµενο A Παράδειγµα 3 Έστω,, K µία ακοουθία ανεξάρτητων συνεχών τυχαίων µεταβητών µε συνάρτηση πυκνότητας f x cx x, x, όπου c κατάηη πραγµατική σταθερά Να βρεθεί το όριο της ακοουθίας των δειγµατικών µέσων,,, Kµε την έννοια της σχεδόν βεβαίας σύγκισης 34

Λύση Από την ισότητα x dx c 6c 5 f x 4 4x+ x dx βρίσκουµε c Σύµφωνα µε τον Ισχυρό 5 6 Νόµο των Μεγάων Αριθµών, αν η µέση τιµή µ και η διακύµανση σ της ακοουθίας,, K είναι πεπερασµένες, η ακοουθία των δειγµατικών µέσων,,, K θα συγκίνει µε πιθανότητα σχεδόν 5 3 βεβαίως στη µέση τιµή µ Είναι µ E[ ] x 4 4x+ x dx < 6 5 4 8 Επιπέον, E [ ] 4 4 + 6 x x x dx Άρα, V [ ] E[ ] E[ ] < 7 7 Συνεπώς, P lm Παράδειγµα 4 Νόµος των Μεγάων Αριθµών του Chbyshv Έστω,, K µία ακοουθία ανεξάρτητων τυχαίων µεταβητών µε E µ, V σ,,, K Αν ορίσουµε, µ µ,,, K και υποθέσουµε ότι lm σ, να αποδειχθεί ότι η ακοουθία µ συγκίνει µε πιθανότητα στο µηδέν Λύση Έστω ε > Εφαρµόζουµε την ανισότητα του Chbyshv για την τυχαία µεταβητή και έχουµε P V E > ε και επειδή lmv lm lm, V σ ε θα έχουµε lm P E > ε Το ζητούµενο προκύπτει άµεσα διότι E E E µ µ 63 Το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Th Cl Lm Thom είναι ένα από τα πιο αξιοσηµείωτα αποτεέσµατα της Θεωρίας Πιθανοτήτων Σύµφωνα µε το παρακάτω θεώρηµα, το άθροισµα ενός µεγάου αριθµού ανεξάρτητων τυχαίων µεταβητών ακοουθεί µία κατανοµή η οποία προσεγγίζει την κανονική κατανοµή Όπως θα δούµε στα Παραδείγµατα 6 και 7, το ακόουθο θεώρηµα παρέχει, επιπέον, µία απή µέθοδο για να υποογίζουµε, κατά προσέγγιση, πιθανότητες αθροισµάτων ανεξάρτητων τυχαίων µεταβητών 35

Θεώρηµα 6 Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα, ΚΟΘ Έστω µία ακοουθία ανεξάρτητων και ισόνοµων τυχαίων µεταβητών,,, K τέτοιων ώστε µ E και σ V < Τότε, η τυχαία µεταβητή Z + + σ L + µ συνάρτηση κατανοµής της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής Φ, συγκίνει κατά κατανοµή, καθώς, στη δηαδή ισχύει ότι lm P Z x Φ x d, π x για κάθε x R Εναακτικά, η τυχαία µεταβητή τυχαία µεταβητή Z µπορεί να γραφεί στη µορφή: µ Z, όπου : Η σ Z είναι ο γενικός όρος της ακοουθίας των τυποποιηµένων δειγµατικών µέσων Η πρώτη µορφή του Κεντρικού Οριακού Θεωρήµατος αποδείχθηκε από τον Dov γύρω στα 733 µχ για την ειδική περίπτωση που οι τυχαίες µεταβητές, K,, είναι δίτιµες και ακοουθούν την κατανοµή Boull µε πιθανότητα επιτυχίας p Η απόδειξη του Dov γενικεύτηκε από τον Lplc για οποιαδήποτε τιµή της πιθανότητας p Μία αυστηρή απόδειξη του ΚΟΘ, όπως αυτό διατυπώνεται στο Θεώρηµα 5, δόθηκε από τον Ρώσο Μαθηµατικό Lypuov, µαθητή του Chbyshv, την περίοδο 9-9 Στη συνέχεια παραθέτουµε κάποιες εφαρµογές του ΚΟΘ Για την απόδειξη του ΚΟΘ, παραπέµπουµε στο βιβίο του Μ Κούτρα [4], Εισαγωγή στις Πιθανότητες, Μέρος ΙΙ, σε 335-337 Το ΚΟΘ µας επιτρέπει να κατανοήσουµε το όγο για τον οποίον η κανονική κατανοµή κατέχει εξέχουσα θέση στη Θεωρία Πιθανοτήτων και στη Στατιστική Τα χαρακτηριστικά πχ βάρος, ύψος των ατόµων ενός υπό εξέταση πηθυσµού περιγράφονται από κατάηες τυχαίες µεταβητές που µπορούν να θεωρηθούν ως αποτέεσµα άθροισης ποών µικρών τυχαίων παραγόντων Η συσσώρευση ποών τέτοιων µικρών τυχαίων παραγόντων οδηγεί σε µία µη αµεητέα τυχαία ποσότητα, η οποία σύµφωνα µε το ΚΟΘ, θα ακοουθεί κατά προσέγγιση την κανονική κατανοµή Παράδειγµα 5 Οι καθηµερινές διακυµάνσεις µιας µετοχής στο Χρηµατιστήριο Αθηνών ακοουθούν, αυτό το χρονικό διάστηµα, κάποια άγνωστη κατανοµή µε γνωστή µέση τιµή µ 5 και διασπορά σ 5 Αν η τιµή µιας µετοχής σήµερα είναι 3 ευρώ ποια είναι η πιθανότητα σε ένα µήνα τριάντα ηµέρες από σήµερα η τιµή της µετοχής να βρίσκεται κάπου ανάµεσα στα 7 και 35 ευρώ; 36

Λύση Έστω, K, 3 ανεξάρτητες και ισόνοµες τυχαίες µεταβητές που αναπαριστούν τις καθηµερινές διακυµάνσεις της µετοχής Ζητάµε την πιθανότητα p 3 3 5 p P 7 3+ 35 P 3 5 P 3 3 5 3 P 3 5 + 5 5 3 3 3 5 3 3 + 5 Από το ΚΟΘ η τυχαία µεταβητή Z : συγκίνει κατά κατανοµή στη συνάρτηση κατανοµής 5 Φ της τυπικής κανονικής κατανοµής Άρα, 3 p Φ Φ 3 5 5 3 5 3 5 Φ Φ 3 5 Η δεύτερη ισότητα είναι συνέπεια της Πρότασης 3 3 5 3 5 3 Φ +Φ 3 5 5 Παράδειγµα 6 Έστω,, K, ανεξάρτητες τυχαίες µεταβητές οι οποίες είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένες στο διάστηµα, Υποογίστε, κατά προσέγγιση, την πιθανότητα P > 6 Λύση Ισχύει ότι E και V Από το ΚΟΘ έχουµε 5 6 5 P > 6 P > Φ 6 Παράδειγµα 7 Έστω ότι ρίχνουµε ένα αµερόηπτο ζάρι δέκα φορές Υποθέτουµε ότι οι ρίψεις είναι ανεξάρτητες Βρείτε κατά προσέγγιση την πιθανότητα να είναι το άθροισµα των εµφανιζόµενων αριθµών µεγαύτερο του 3 και µικρότερο ή ίσο του 4 Λύση Έστω ότι η τυχαία µεταβητή ότι 7 35 E και V Από το ΚΟΘ έχουµε αναπαριστά το αποτέεσµα του οστού ζαριού, K,, Ισχύει 7 3 4 P < P 3 < 35 7 35 7 4 Φ 35 6 7 65 37

Παράδειγµα 8 είξτε ότι! Λύση Έστω,,, K µία ακοουθία ανεξάρτητων και ισόνοµων τυχαίων µεταβητών που ακοουθούν την κατανοµή Posso µε παράµετρο ίση µε τη µονάδα Ισχύει ότι ~ Posso Posso, ~ όπου Από το ΚΟΘ έχουµε P P P! V E Φ, όπου Φ είναι η συνάρτηση κατανοµής της τυπικής κανονικής κατανοµής Παράδειγµα 9 Ο αριθµός των φοιτητών που διαέγουν το µάθηµα της Ψυχοογίας είναι µία τυχαία µεταβητή που ακοουθεί την κατανοµή Posso µε παράµετρο ίση µε Ο καθηγητής έχει αποφασίσει ότι, αν ο αριθµός αυτός είναι µεγαύτερος ή ίσος του, θα διαιρέσει τους φοιτητές σε δύο τµήµατα, ενώ αν είναι µικρότερος του, θα διδάξει το µάθηµα σε ένα τµήµα αποτεούµενο από όους τους φοιτητές Χρησιµοποιώντας το ΚΟΘ υποογίστε, κατά προσέγγιση, την πιθανότητα να διαιρέσει ο καθηγητής τους φοιτητές σε δύο τµήµατα Λύση Έστω η τυχαία µεταβητή που αναπαριστά τον αριθµό των φοιτητών που διαέγουν το µάθηµα της Ψυχοογίας Ισχύει ότι ~ Posso Η τυχαία µεταβητή µπορεί να γραφεί ως εξής: + L +, όπου, K,, είναι ανεξάρτητες και ισόνοµες τυχαίες µεταβητές που ακοουθούν την κατανοµή Posso µε παράµετρο ίση µε τη µονάδα Από το ΚΟΘ έχουµε P P Φ 8, όπου Φ είναι η συνάρτηση κατανοµής της τυπικής κανονικής κατανοµής Παράδειγµα ύο παίκτες Α και Β παίζουν το εξής παιχνίδι Ρίχνουν διαδοχικά ένα ζάρι και αν η ένδειξη είναι, 3 ή 5, ο παίκτης Α δίνει στον παίκτη Β ποσό, ή 3 ευρώ, αντίστοιχα Αν η ένδειξη είναι, 4 ή 6, ο παίκτης Β δίνει στον παίκτη Α ποσό 3, ή ευρώ, αντίστοιχα Να υποογισθεί η πιθανότητα σε 6 ρίψεις α ο παίκτης Α να κερδίσει τουάχιστον 7 ευρώ β ο παίκτης Α να κερδίσει το πού 9 ευρώ Λύση Έστω το κέρδος του παίκτη Α κατά την οστή ρίψη του ζαριού, K,,6 38

Έχουµε P j, j 3,,,,,3 Το συνοικό κέρδος του παίκτη Α σε 6 ρίψεις του ζαριού 6 6 θα δίνεται από την τυχαία µεταβητή S Σύµφωνα µε το ΚΟΘ η τυποποιηµένη τυχαία µεταβητή S E S Z ακοουθεί κατά προσέγγιση την τυπική κανονική κατανοµή N, V S Όµως, E jp j [ 3 + + + + + 3] 6 V j E 4 j P j 3 j Εποµένως, 6 E S E, V S 6 V 4 6 8 3 S 7 α Η ζητούµενη πιθανότητα είναι P S 7 P P Z Φ 539 8 8 S 9 P 8 8 β Οµοίως, S 9 P P Z 4 Φ4 879 Παράδειγµα Μία ασφαιστική εταιρεία θέει να εκτιµήσει το µέσο ύψος µ των ετήσιων απαιτήσεων ανά ασφαισµένο σε µία συγκεκριµένη κατηγορία ασφάισης Για το όγο αυτό η εταιρεία αµβάνει ένα τυχαίο δείγµα ασφαισµένων, εξετάζει το ύψος των απαιτήσεων που έχει το κάθε άτοµο σε ένα οικονοµικό έτος και υποογίζει το µέσο όρο παρατηρήσεων Αν δεχτούµε ότι τα ύψη των απαιτήσεων είναι ανεξάρτητες και ισόνοµες τυχαίες µεταβητές µε διακύµανση ίση µε 56 ευρώ, τι µέγεθος δείγµατος θα πρέπει να χρησιµοποιηθεί ώστε µε πιθανότητα τουάχιστον 99% η εκτιµήση της εταιρείας να µην απέχει από το θεωρητικό πραγµατικό µέσο µ περισσότερο από 3 ευρώ; Λύση Έστω το ύψος των ετήσιων απαιτήσεων του οστού ασφαισµένου Οι τυχαίες µεταβητές,, K, είναι ανεξάρτητες και ισόνοµες µε E µ, V σ 6 56,,, K, Το συνοικό ύψος των ετήσιων απαιτήσεων για τους ασφαισµένους περιγράφεται από την τυχαία µεταβητή S S Θέουµε να προσδιορίσουµε την τιµή του για την οποία ισχύει P 3< µ < 3 99 αρκετά µεγάο, εφαρµόζουµε το ΚΟΘ και έχουµε Για P 3 < S 3 µ < 3 P 6 < S µ 3 < σ 6 3 P 6 < Z 3 3 3 < Φ Φ 6 6 6 39

3 S µ 3 3 Φ, 6 όπου Z ~ N, Πρέπει Φ 99 Φ 995 σ 6 6 Από πίνακες της τυπικής κανονικής κατανοµής N,, έχουµε Φ 5 9949, Φ58 995 Συνεπώς αν ζητήσουµε 3 να ισχύει Φ Φ58 6 εξασφαίζεται η ισχύς της προηγούµενης ανισότητας Αφού η Φ z είναι 3 6 58 γνήσιως αύξουσα, 58 893 6 3 Συνεπώς, το έαχιστο µέγεθος δείγµατος είναι ίσο µε 9 Η πού µεγάη τιµή του, δικαιοογεί, εκ των υστέρων, τη χρήση του ΚΟΘ 4