Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις

1 Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις Ανίσωση με έναν άγνωστο ονομάζουμε κάθε ανισότητα που περιέχει μια μεταβλητή και η οποία αληθεύει για ορισμένες τιμές της μεταβλητής. Πχ: Οι x + > 7, 2(y +2) y - 1 είναι ανισώσεις με έναν άγνωστο. Αν ισχύει α >, να αποδείξετε ότι 2(α + 4) 6 < 20 Θα ξεκινήσουμε από την υπόθεση α >, θα εφαρμόσουμε τις ιδιότητες της διάταξης και θα καταλήξουμε στη ζητούμενη ανισότητα: 2(α + 4) 6 < 20 Έχουμε: 1ος τρόπος απόδειξης ανισοτήτων Ξεκινάμε από την υπόθεση και εφαρμόζοντας τις ιδιότητες της διάταξης, καταλήγουμε στην ανισότητα που ζητείται να αποδείξουμε. α > α + 4 > + 4 α + 4 > 7 Προσθέτουμε το 4 και στα δύο μέλη. www.ma8eno.gr Σελίδα 1

2 2 (α + 4) < 2 7 2(α + 4) < 14 2(α + 4) 6 < 14 16 2(α + 4) 6 < 20 Πολλαπλασιάζουμε με 2 και τα δύο μέλη. Αλλάζει η φορά της ανισότητας. Αφαιρούμε το 6 και από τα δύο μέλη. Απόδειξη α < α 7 θα εφαρμόσουμε τις ιδιότητες των ανισοτήτων και θα προσπαθήσουμε να καταλήξουμε σε μια σχέση που ισχύει. Έχουμε: α > α 7 Προσθέτουμε το και στα δύο μέλη. α + > α 7 + α > α 4 α α > α 4 α Αφαιρούμε τα α και από τα δύο μέλη. 2α < 4 Διαιρούμε με 2 και τα δύο μέλη. α < 2 Αλλάζει η φορά της ανισότητας. Καταλήξαμε στην ανισότητα α < 2, η οποία ισχύει από την υπόθεση. Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x και y ισχύει x 2 + 4y 2 4xy. Πότε ισχύει η ισότητα; Ξεκινάμε από την ανισότητα: Η τελευταία σχέση ισχύει, x 2 + 4y 2 αφού το τετράγωνο ενός 4xy έχουμε: x 2 + 4y 2 αριθμού είναι μεγαλύτερο ή 4xy 4xy 4xy 4xy ίσο με το μηδέν. x 2 4xy + 4y 2 0 www.ma8eno.gr Σελίδα 2

(x 2y) 2 0 Η ισότητα x 2 + 4y 2 4xy ισχύει όταν: (x 2y) 2 = 0 ή x 2y = 0 ή x = 2y Αν α < β και γ < δ, να δείξετε ότι α δ < β γ. γ < δ δ < γ (1) αλλά α < β (2) (1) + (2) α δ < β γ. Αν ισχύουν x > 1 και y < 2, να αποδείξετε ότι xy + 2 < y + 2x. Από τη σχέση x > 1 προκύπτει ότι x 1 > 0 (ή ότι 1 x < 0 ) και από τη σχέση y < 2 προκύπτει ότι y 2 < 0 (ή ότι 2 y > 0 ). xy + 2 < y + 2x ή xy + 2 y 2x < 0 μεταφέρουμε τους όρους στο 1ο μέλος xy y + 2 2x < 0 παραγοντοποιούμε y(x 1) 2(x 1) < 0 (x- 1) (y -2) < 0 Η τελευταία ανισότητα ισχύει: x 1> 0 και y 2 < 0,οπότε το γινόμενο τους είναι αρνητικό. Αν x >, να αποδείξετε ότι: x + 1 < x 5 < 4x 8 Για να αποδείξουμε ότι: x +1< x 5 < 4x 8 αρκεί να αποδείξουμε ότι: x 1< x 5 και x 5 < 4x 8 www.ma8eno.gr Σελίδα

4 Για την πρώτη ανισότητα έχουμε: x 1 < x 5 ή x x < 5 1 ή 2x < 6 ή x > Για τη δεύτερη ανισότητα έχουμε: x 5 < 4x 8 ή x 4x < 8 + 5 ή -x< -, που ισχύει Άρα ισχύει και η ζητούμενη διπλή ανισότητα. Αν ισχύει x < 2, να συγκρίνετε τους αριθμούς α = 2x και β = x. Θα βρούμε τη διαφορά α β και θα προσδιορίσουμε το πρόσημό της. Έχουμε: α β = (2x ) ( x) = = 2x + x = = x 6 = (x 2) Όμως ισχύει x < 2, άρα x 2 < 0 και (x 2) < 0. Δηλαδή ισχύει α β < 0, άρα α < β. Αν οι αριθμοί α και β είναι θετικοί και ισχύει α > β, τότε να αποδείξετε ότι α 2 > β 2. Γράφουμε την ανισότητα α > β δύο φορές και τις πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη: α > β α > β, άρα α α > β β ή α 2 > β 2 Ισχύει ότι α > 0 και β > 0, οπότε μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη τις δύο ανισότητες. www.ma8eno.gr Σελίδα 4

5 α) Αν x > 0, να αποδείξετε ότι x + 1 2. x β) Αν x < 0, να αποδείξετε ότι x + 1 2. x α) Ξεκινάμε από την ανισότητα Η τελευταία ανισότητα ισχύει, διότι το τετράγωνο ενός αριθμού είναι μεγαλύτερο του μηδενός. x + 1 x 2 που θέλουμε να αποδείξουμε. Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με x > 0 x + 1 x 2 ή x + 1 x x 2 x ή x2 + 1 x x 2x ή x2 +1 2x ή x 2 +1-2x 0 ή (x-1) 2 0 β) Ξεκινάμε από την ανισότητα x + 1 x 2 που θέλουμε να αποδείξουμε. Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με x < 0, οπότε θα αλλάξει η φορά της ανισότητας: x + 1 2 ή x + 1 x 2 x ή x x x 2 + 1 x x 2x ή x2 +1-2x ή x 2 +1+ 2x 0 ή (x+1) 2 0 Αν ισχύει 2 x 4 και 1 y 2, να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκονται οι παραστάσεις: α) x + y β) x y α) Προσθέτουμε κατά μέλη τις ανισότητες: 2 +1 x + y 4 + 2 ή 1 x + y 6 β) 1 y 2 ή 1 ( 1) y ( 1) 2 ( 1) ή 1 y 2 ή 2 y 1 Επειδή δεν επιτρέπεται να αφαιρέσουμε κατά μέλη δύο ανισότητες, εργαζόμαστε ως εξής: www.ma8eno.gr Σελίδα 5

6 προσθέτουμε κατά μέλη τις ανισότητες: 2 + ( 2) x + ( y) 4 + ( 1) ή 4 x y Αν ισχύει ότι 2 x 4 και 5 y, να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται το γινόμενο xy. Δεν επιτρέπεται να πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη τις ανισότητες 2 x 4 και 5 y, γιατί στη δεύτερη ανισότητα όλα τα μέλη είναι αρνητικά. 5 y ή 5 ( 1) y ( 1) ( 1) ή 5 y ή y 5 2 x (- y) 4 5 πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη τις ανισότητες ή 6 - xy 20 ή 6 xy 20 ή 20 xy 6 Αν ισχύει x 2 + y 2 = 2y 1, να βρείτε τους αριθμούς x και y. x 2 + y 2 = 2y 1 μεταφέρουμε όλους τους όρους στο 1ο μέλος x 2 + y 2-2y + 1 = 0 ή x 2 + (y 1) 2 = 0 Όμως η τελευταία σχέση ισχύει μόνο x = 0 και y 1 = 0 x = 0 και y = 1 www.ma8eno.gr Σελίδα 6

7 Αν 2 x 1 και 0 y 2, να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης Π = 2x y + 1. 2 4 x 1 2x 2 (1) 0. y 0 2 y 6 6 y 0 (2) (1) + (2) 10 2x y 2 10 + 1 2x y +1 2 + 1 9 2x y +1 Άρα η μέγιστη τιμή της παράστασης Π είναι και η ελάχιστη είναι 9 Λύνοντας ως προς x τις αx > β, αx < β, αx β, αx β Όταν α > 0, η φορά της ανίσωσης παραμένει Όταν α < 0, η φορά της ανίσωσης αντιστρέφεται Όταν α = 0, θέτουμε στην ανίσωση όπου α το 0. Να λυθεί η ανίσωση 6 - (2ω + ) > - 2 (ω - 2) 6 - (2ω + ) > - 2 (ω - 2) Πολλαπλασιασμοί 6-6ω - 9 > - 2ω + 4-6ω + 2ω > + 4-6 + 9 Χωρισμός γνωστών από αγνώστους - 4ω > 10 Αναγωγή όμοιων όρων ) 4ω 4 4 Διαίρεση με συντελεστή αγνώστου ω < 10 4 Αλλαγή φοράς γιατί διαιρούμε με αρνητικό www.ma8eno.gr Σελίδα 7

8 Να λύστε την ανίσωση x + 5 + (x - 1) > 4x + 7 Η ανίσωση x + 5 + (x - 1) > 4x + 7 γράφεται διαδοχικά: x+ 5 + x - > 4x + 7 x + x - 4x > - 5 + 7 0x > 5 Να λύστε την ανίσωση (x +2) - 2 (x -5) < 5(x + 2) - 4(x - 1) Η ανίσωση (x +2) - 2 (x -5) < 5(x + 2) - 4(x - 1) γράφεται διαδοχικά: x+ 6-2x +10 < 5x + 10-4x+4 x -2x - 5x +4x < -6-10+10+4 0x < -2 Όταν μια ανίσωση είναι π.χ 0x < -2 ή η 0y > 10 δεν αληθεύει για καμία τιμή της μεταβλητής της και λέγεται αδύνατη. Οι ανισώσεις 0.x > -, 0.y < 7 αληθεύουν για κάθε τιμή της μεταβλητής τους και λέγονται ταυτότητες. Συναληθεύουσες ανισώσεις (Συστήματα ανισώσεων) Για να βρούμε το διάστημα (ή τα διαστήματα) που συναληθεύουν (αν υπάρχουν) δύο ανισώσεις,τις λύουμε ξεχωριστά και μετά περνούμε τις λύσεις τους στο ίδιο σύστημα αξόνων από το οποίο βρίσκουμε το κοινό διάστημα λύσης τους (ή τα κοινά διαστήματα λύσης). www.ma8eno.gr Σελίδα 8

9 Παραδείγματα Εφαρμογές Να βρείτε που συναληθεύουν οι ανισώσεις: 2(x + 4) - (x + 6) < 12 - x και M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com 2x + x 6 + 5 2(1 + x) Για την πρώτη ανίσωση έχουμε: 2(x + 4) - (x + 6) < 12 - x 2x + 8 - x - 6 < 12 - x 2x - x + x < 12 + 6-8 2x < 10 M at h Com poser 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com 2x 2 < 10 2 x < 5 Για τη δεύτερη ανίσωση έχουμε: Mat h Composer 1. 1. 5 ht t p: / / www. m at hcom poser. com 2x + x 6 + 5 2(1 + x) 12x + x +10 12(1 + x) 12x + x +10 12 + 12x x 2. Άρα η ανίσωση αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό x 2 Κατασκευάζουμε άξονα και παριστάνουμε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: www.ma8eno.gr Σελίδα 9

10 x 2 5 x Οι ανισώσεις συναληθεύουν για κάθε πραγματικό αριθμό x με 2 x 5, δηλαδή οι ανισώσεις συναληθεύουν όταν x ε [2,5). Κλασματικές ανισώσεις Για να λύσουμε ανίσωση 1ου βαθμού κάνουμε: α) απαλοιφή παρανομαστών β) πράξεις γ) χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους δ) αναγωγή ομοίων όρων ε) κοινός παράγοντας ο άγνωστος Έτσι φθάνουμε σε μία από τις μορφές αx > β, αx < β, αx β, αx β Προσοχή στην απαλοιφή παρανομαστών: Πρέπει να γνωρίζουμε το πρόσημο του ΕΚΠ, διαφορετικά διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: α) ΕΚΠ > 0 β) ΕΚΠ < 0 γ) ΕΚΠ = 0 www.ma8eno.gr Σελίδα 10

11 Παραδείγματα Εφαρμογές Να επιλύσετε την ανίσωση: : ( x + 1) 2( x ) + 1 < 4 + 10 5 10 x 2x 6 1 + < 4 + + 10 5 10 x 2x 5 + < 4 + 10 5 10 x + 2x 5 10 10 < 10 4 + 10 10 5 10 2( x + ) < 40 + ( 2x 5) 6x 6 < 40 + 2x 5 6x 2x < 40 5 + 6 8x < 8 + 46 8x < 8 8x 8 > 8 8 x > 1 ( ) ( ) x + 1 2 x + 1 < 4 + 10 5 10 Να λύσετε την ανίσωση x 1 + 2x + 2 4 < x 6 x 1 + 2x + 2 4 < x 6 6(x 1) + (2x + ) < 2x 6x 6 + 6x + 9 < 2x 10x < x < 10 Να λύσετε την ανίσωση x 12 2 + x 2 + 4 x 12 2 + x 2 + 4 > x > x 2(x 12) + 2x + > 4x www.ma8eno.gr Σελίδα 11

12 2x 24 + 2x + > 4x 0 x > 21 0 > 21 αδύνατη Να λύσετε την ανίσωση x 2 + 1 2x 2 5 < x 10 2 5 x 2 + 1 2x 2 5 < x 10 2 5 5(x 2) + 2(1 2x) < x 4 5x 10 + 2 4x < x 4 0x < 4 αληθεύει για κάθε x R Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις x 1 < x + 5 και 2 x 2 x + 1 2 x 1 < x + 5 2x < 6 x < 2 x 2 x + 1 2 4 x 2x + 1 x x 1 Συναλήθευση 1 x < x 1 x Να εξετάσετε αν συναληθεύουν οι ανισώσεις : x 1 2 > x 2 + 1 και x 1 x 1 x 1 2 > x 2 + 1 2x 1 > x + 2 x > x 1 x 1 x 1 x 2x 2 x 1 Οι ανισώσεις δε συναληθεύουν x -1 x www.ma8eno.gr Σελίδα 12

1 Να βρείτε τα x R για τα οποία συναληθεύουν οι ανισώσεις : 2x x 1 > x και x 4 + x+ 1 < 0 8 2 2x x 1 > x 16x x + 1 > 8x 7x > 1 x > 1 8 7 x 4 + x + 1 < 0 2x 8 + x + 1 < 0 x < 7 x < 7 2 Συναλήθευση 1 < x < 7 7 x 1-7 7 x Οι ακέραιοι που ανήκουν στο διάστημα 1 (, 7) είναι οι 0, 1, 2. 7 www.ma8eno.gr Σελίδα 1